กำหนดรูปหลายเหลี่ยมนูน แนวคิดเรื่องสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การกำหนดความนูนของรูปหลายเหลี่ยม

อัลกอริทึม Kirus–Back ถือว่ามีรูปหลายเหลี่ยมนูนที่ใช้เป็นหน้าต่าง

อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ ปัญหาในการตัดรูปหลายเหลี่ยมออกมักเกิดขึ้น และไม่ได้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปนูนหรือไม่ในตอนแรก ในกรณีนี้ ก่อนที่จะเริ่มขั้นตอนการตัด จำเป็นต้องพิจารณาว่าจะให้รูปหลายเหลี่ยมใด - นูนหรือไม่

ให้เราให้คำจำกัดความบางประการเกี่ยวกับความนูนของรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมจะถือว่านูนหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

1) ในรูปหลายเหลี่ยมนูน จุดยอดทั้งหมดจะอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นซึ่งมีขอบใดๆ (ตาม ด้านในสัมพันธ์กับขอบที่กำหนด);

2) มุมภายในทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมน้อยกว่า 180°;

3) เส้นทแยงมุมทั้งหมดที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมอยู่ภายในรูปหลายเหลี่ยมนี้

4) ทุกมุมของรูปหลายเหลี่ยมถูกเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกัน (รูปที่ 3.3-1)

เพื่อพัฒนาการเป็นตัวแทนเชิงวิเคราะห์ของเกณฑ์ความนูนสุดท้าย เราใช้ผลคูณเวกเตอร์

งานศิลปะของเว็กเตอร์ ว เวกเตอร์สองตัว ก และ ข (รูปที่ 3.3-2 ก) กำหนดเป็น:

A x ,a y ,a z และ b x ,b y ,b z เป็นเส้นโครงบนแกนพิกัด X ,Y ,Z ตามลำดับ ของเวกเตอร์ตัวประกอบ กและ ข,

- ฉัน, เจ, เค– เวกเตอร์หน่วยตามแนวแกนพิกัด X, Y, Z

ข้าว.3.3 ‑ 1

ข้าว.3.3 ‑ 2

หากเราพิจารณาการแสดงสองมิติของรูปหลายเหลี่ยมเป็นตัวแทนใน ประสานงานเครื่องบินระบบพิกัดสามมิติ XY X,Y,Z (รูปที่ 3.3-2 b) จากนั้นนิพจน์สำหรับการก่อตัว ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เวกเตอร์ คุณและ วีโดยที่เวกเตอร์ คุณและ วีเป็นขอบที่อยู่ติดกันซึ่งสร้างมุมของรูปหลายเหลี่ยม สามารถเขียนเป็นตัวกำหนดได้:

เวกเตอร์ของผลคูณกากบาทตั้งฉากกับระนาบซึ่งมีเวกเตอร์ตัวประกอบอยู่ ทิศทางของเวกเตอร์ผลิตภัณฑ์ถูกกำหนดโดยกฎสว่านหรือกฎสกรูด้านขวา

สำหรับกรณีที่ปรากฏในรูปที่. 3.3-2 ข ), เวกเตอร์ วซึ่งสอดคล้องกับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ วี, คุณ, จะมีทิศทางเดียวกันกับทิศทาง แกนพิกัดซี.

เมื่อพิจารณาว่าเส้นโครงบนแกน Z ของเวกเตอร์ตัวประกอบในกรณีนี้มีค่าเท่ากับศูนย์ ผลคูณเวกเตอร์สามารถแสดงได้เป็น:

(3.3-1)

เวกเตอร์หน่วย เคเป็นบวกเสมอ จึงเป็นเครื่องหมายของเวกเตอร์ วผลคูณเวกเตอร์จะถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของดีเทอร์มิแนนต์ D ในนิพจน์ข้างต้นเท่านั้น โปรดทราบว่าขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ เมื่อทำการแลกเปลี่ยนเวกเตอร์แฟคเตอร์ คุณและ วีเครื่องหมายเวกเตอร์ วจะเปลี่ยนตรงกันข้าม

มันจะตามมาว่าถ้าเป็นเวกเตอร์ วีและ คุณพิจารณาขอบสองอันที่อยู่ติดกันของรูปหลายเหลี่ยม จากนั้นลำดับของการแสดงเวกเตอร์ในผลคูณเวกเตอร์สามารถจัดวางตามการเคลื่อนที่ของมุมของรูปหลายเหลี่ยมที่กำลังพิจารณา หรือขอบที่สร้างมุมนี้ วิธีนี้ช่วยให้คุณใช้กฎต่อไปนี้เป็นเกณฑ์ในการพิจารณาความนูนของรูปหลายเหลี่ยม:

หากขอบทุกคู่ของรูปหลายเหลี่ยมเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

หากสัญญาณของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์สำหรับแต่ละมุมไม่ตรงกัน แสดงว่ารูปหลายเหลี่ยมนั้นไม่นูน

เนื่องจากขอบของรูปหลายเหลี่ยมถูกระบุในรูปแบบของพิกัดของจุดสิ้นสุด จึงสะดวกกว่าที่จะใช้ดีเทอร์มิแนนต์เพื่อกำหนดเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ในบทเรียนนี้เราจะเริ่มต้น หัวข้อใหม่และแนะนำแนวคิดใหม่สำหรับเรา: “รูปหลายเหลี่ยม” เราจะดูแนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับรูปหลายเหลี่ยม: ด้าน มุมยอด ความนูน และความไม่นูน แล้วเราจะพิสูจน์ ข้อเท็จจริงที่สำคัญที่สุดเช่นทฤษฎีบทผลรวม มุมภายในรูปหลายเหลี่ยม ทฤษฎีบทผลรวม มุมภายนอกรูปหลายเหลี่ยม ด้วยเหตุนี้เราจะเข้าใกล้การศึกษากรณีพิเศษของรูปหลายเหลี่ยมซึ่งจะพิจารณาในบทเรียนต่อไป

หัวข้อ: รูปสี่เหลี่ยม

บทเรียน: รูปหลายเหลี่ยม

ในหลักสูตรเรขาคณิต เราศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตและได้ตรวจสอบสิ่งที่ง่ายที่สุดแล้ว: สามเหลี่ยมและวงกลม ในเวลาเดียวกัน เรายังกล่าวถึงกรณีพิเศษเฉพาะของตัวเลขเหล่านี้ เช่น ด้านขวา หน้าจั่ว และสามเหลี่ยมปกติ ตอนนี้ได้เวลาพูดคุยเกี่ยวกับเรื่องทั่วไปมากขึ้นและ ตัวเลขที่ซับซ้อน - รูปหลายเหลี่ยม.

โดยมีกรณีพิเศษ รูปหลายเหลี่ยมเราคุ้นเคยอยู่แล้ว - นี่คือสามเหลี่ยม (ดูรูปที่ 1)

ข้าว. 1. สามเหลี่ยม

ชื่อนี้เน้นย้ำอยู่แล้วว่านี่คือรูปที่มีสามมุม ดังนั้นใน รูปหลายเหลี่ยมอาจมีหลายอย่างเช่น มากกว่าสาม ตัวอย่างเช่น ลองวาดรูปห้าเหลี่ยม (ดูรูปที่ 2) เช่น รูปที่มีห้ามุม

ข้าว. 2. เพนตากอน. รูปหลายเหลี่ยมนูน

คำนิยาม.รูปหลายเหลี่ยม- ตัวเลขที่ประกอบด้วยหลายจุด (มากกว่าสอง) และจำนวนส่วนที่เชื่อมโยงตามลำดับ จุดเหล่านี้เรียกว่า ยอดเขารูปหลายเหลี่ยมและเซกเมนต์ต่างๆ ฝ่าย- ในกรณีนี้ ไม่มีด้านที่อยู่ติดกันสองด้านอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และไม่มีด้านสองด้านที่ไม่อยู่ติดกันตัดกัน

คำนิยาม.รูปหลายเหลี่ยมปกติ- นี้ รูปหลายเหลี่ยมนูนซึ่งด้านและมุมทุกด้านเท่ากัน

ใดๆ รูปหลายเหลี่ยมแบ่งเครื่องบินออกเป็นสองส่วน: ภายในและภายนอก พื้นที่ภายในเรียกอีกอย่างว่า รูปหลายเหลี่ยม.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เช่น เมื่อพวกเขาพูดถึงรูปห้าเหลี่ยม พวกเขาหมายถึงทั้งบริเวณภายในและเส้นขอบของมัน และขอบเขตภายในจะรวมถึงจุดทั้งหมดที่อยู่ด้านในของรูปหลายเหลี่ยมด้วย เช่น จุดยังหมายถึงรูปห้าเหลี่ยม (ดูรูปที่ 2)

รูปหลายเหลี่ยมบางครั้งเรียกว่า n-gon เพื่อเน้นย้ำถึงกรณีทั่วไปของการมีอยู่ของมุมที่ไม่ทราบจำนวน (n ชิ้น)

คำนิยาม. เส้นรอบวงรูปหลายเหลี่ยม- ผลรวมของความยาวของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม

ตอนนี้เราต้องทำความคุ้นเคยกับประเภทของรูปหลายเหลี่ยม พวกเขาแบ่งออกเป็น นูนและ ไม่นูน- ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมที่แสดงในรูปที่ 1 2 นูนออกมา และในรูป 3 ไม่นูน

ข้าว. 3. รูปหลายเหลี่ยมไม่นูน

คำจำกัดความ 1. รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูนถ้าเมื่อลากเส้นตรงผ่านด้านใดด้านหนึ่งให้ทั้งหมด รูปหลายเหลี่ยมอยู่เพียงด้านเดียวของเส้นตรงนี้ ไม่นูนเป็นคนอื่น รูปหลายเหลี่ยม.

มันง่ายที่จะจินตนาการว่าเมื่อขยายด้านใดด้านหนึ่งของรูปห้าเหลี่ยมในรูป 2 ทั้งหมดจะอยู่ด้านหนึ่งของเส้นตรงนี้ กล่าวคือ มันนูน แต่เมื่อลากเส้นตรงผ่านรูปสี่เหลี่ยมในรูป 3 เราเห็นแล้วว่าแบ่งออกเป็นสองส่วนคือ มันไม่นูน

แต่มีอีกคำจำกัดความหนึ่งของความนูนของรูปหลายเหลี่ยม

คำจำกัดความ 2 รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูนหากเมื่อเลือกจุดภายในสองจุดใดๆ และเชื่อมต่อมันเข้ากับเซ็กเมนต์ จุดทั้งหมดของเซ็กเมนต์ก็เป็นจุดภายในของรูปหลายเหลี่ยมด้วย

การสาธิตการใช้คำจำกัดความนี้สามารถเห็นได้ในตัวอย่างการสร้างส่วนต่างๆ ในรูปที่ 2 และ 3.

คำนิยาม. เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมคือส่วนใดๆ ที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่ไม่อยู่ติดกัน

เพื่ออธิบายคุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมมีสองประการ ทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับมุมของพวกเขา: ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูนและ ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูน- มาดูพวกเขากันดีกว่า

ทฤษฎีบท. ผลบวกของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูน (n-gon)

จำนวนมุม (ด้าน) อยู่ที่ไหน

หลักฐานที่ 1 ให้เราพรรณนาในรูป 4 นูน n-gon

ข้าว. 4. นูน n-gon

จากจุดยอดเราวาดเส้นทแยงมุมที่เป็นไปได้ทั้งหมด พวกเขาแบ่ง n-gon ออกเป็นสามเหลี่ยม เพราะว่า แต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยมจะก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยม ยกเว้นด้านที่อยู่ติดกับจุดยอด จากรูปจะเห็นได้ง่ายว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากับผลรวมของมุมภายในของ n-gon ทุกประการ เนื่องจากผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ ดังนั้น ผลรวมของมุมภายในของ n-gon จึงเป็น:

Q.E.D.

หลักฐานที่ 2 การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อีกอย่างหนึ่งเป็นไปได้ ลองวาด n-gon ที่คล้ายกันในรูปนี้ 5 และเชื่อมต่อจุดภายในกับจุดยอดทั้งหมด

ข้าว. 5.

เราได้พาร์ติชั่นของ n-gon เป็นรูปสามเหลี่ยม n รูป (เท่ากับด้านที่มีรูปสามเหลี่ยมมากเท่าๆ กัน) ผลรวมของมุมทั้งหมดเท่ากับผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมและผลรวมของมุมที่ จุดภายในและนี่คือมุม เรามี:

Q.E.D.

พิสูจน์แล้ว

ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว เห็นได้ชัดว่าผลรวมของมุมของ n-gon ขึ้นอยู่กับจำนวนด้าน (บน n) ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยม และผลรวมของมุมคือ ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและผลรวมของมุมเท่ากับ ฯลฯ

ทฤษฎีบท. ผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูน (n-gon)

โดยที่จำนวนมุม (ด้าน) ของมันอยู่ที่ใด และ , … คือมุมภายนอก

การพิสูจน์. ให้เราพรรณนารูป n-gon ที่นูนออกมาในรูปนี้ 6 และกำหนดมุมภายในและภายนอก

ข้าว. 6. นูน n-gon ด้วยมุมภายนอกที่กำหนด

เพราะ มุมด้านนอกเชื่อมต่อกับมุมด้านในให้ติดกันแล้ว และในทำนองเดียวกันสำหรับมุมภายนอกที่เหลือ แล้ว:

ในระหว่างการแปลง เราใช้ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วเกี่ยวกับผลรวมของมุมภายในของ n-gon

พิสูจน์แล้ว

จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วมีดังนี้ ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจคือผลรวมของมุมภายนอก นูน n-gonเท่ากับ ตามจำนวนมุม (ด้าน) ยังไงก็ตาม ตรงกันข้ามกับผลรวมของมุมภายใน

อ้างอิง

1. อเล็กซานดรอฟ เอ.ดี. และอื่นๆ เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - ม.: การศึกษา, 2549.
2. บูตูซอฟ วี.เอฟ., คาดอมเซฟ เอส.บี., ปราโซลอฟ วี.วี. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - อ.: การศึกษา, 2554.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - ม.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ()
2. Narod.ru ()
3. Xvatit.com ()

การบ้าน

รูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้ล้อมรอบเราทุกที่ รูปหลายเหลี่ยมนูนอาจเป็นรูปธรรมชาติ เช่น รวงผึ้ง หรือรูปหลายเหลี่ยมเทียม (ที่มนุษย์สร้างขึ้น) ตัวเลขเหล่านี้ใช้ในการผลิต ประเภทต่างๆการเคลือบ การทาสี สถาปัตยกรรม การตกแต่ง ฯลฯ รูปหลายเหลี่ยมนูนมีคุณสมบัติว่าจุดทั้งหมดจะอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นตรงที่ตัดผ่านจุดยอดที่อยู่ติดกันคู่หนึ่ง รูปทรงเรขาคณิต- มีคำจำกัดความอื่น ๆ รูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ในระนาบครึ่งระนาบเดียวโดยสัมพันธ์กับเส้นตรงใดๆ ที่มีด้านใดด้านหนึ่ง

ในการรู้ เรขาคณิตเบื้องต้นจะถูกพิจารณาเป็นพิเศษเสมอ รูปหลายเหลี่ยมง่ายๆ- เพื่อให้เข้าใจคุณสมบัติทั้งหมดดังกล่าวจำเป็นต้องเข้าใจธรรมชาติของมัน อันดับแรก คุณควรเข้าใจว่าเส้นใดๆ ที่จุดสิ้นสุดตรงกันเรียกว่าปิด นอกจากนี้รูปร่างที่เกิดขึ้นจากมันสามารถมีการกำหนดค่าได้หลากหลาย รูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมปิดอย่างง่าย เส้นขาดซึ่งลิงค์ข้างเคียงไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุดเชื่อมโยงและจุดยอดของมันคือด้านข้างและจุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนี้ตามลำดับ เส้นโพลีไลน์ธรรมดาไม่ควรมีจุดตัดกันเอง

จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมจะเรียกว่าจุดติดกันหากเป็นจุดยอดของด้านใดด้านหนึ่ง รูปทรงเรขาคณิตที่ได้ หมายเลขที่ nยอดเขาและด้วยเหตุนี้ ปริมาณที่ nข้างเรียกว่าเอ็นกอน เส้นแบ่งนั้นเรียกว่าขอบเขตหรือรูปร่างของรูปทรงเรขาคณิตนี้ ระนาบรูปหลายเหลี่ยมหรือรูปหลายเหลี่ยมแบนเป็นส่วนที่มีขอบเขตของระนาบใดๆ ที่ล้อมรอบด้วยระนาบนั้น ด้านที่อยู่ติดกันของรูปทรงเรขาคณิตนี้คือส่วนของเส้นขาดที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดหนึ่ง พวกมันจะไม่อยู่ติดกันหากมาจากจุดยอดที่แตกต่างกันของรูปหลายเหลี่ยม

คำจำกัดความอื่นของรูปหลายเหลี่ยมนูน

ในเรขาคณิตเบื้องต้น มีคำจำกัดความอีกหลายประการที่มีความหมายเทียบเท่ากัน ซึ่งระบุว่ารูปหลายเหลี่ยมใดเรียกว่านูน นอกจากนี้สูตรทั้งหมดนี้ใน ในระดับเดียวกันเป็นเรื่องจริง รูปหลายเหลี่ยมจะถือว่านูนถ้า:

ทุกส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดภายในนั้นจะอยู่ภายในนั้นทั้งหมด

เส้นทแยงมุมทั้งหมดอยู่ภายในนั้น

มุมภายในใดๆ จะต้องไม่เกิน 180°

รูปหลายเหลี่ยมจะแบ่งระนาบออกเป็น 2 ส่วนเสมอ อันหนึ่งมีจำนวนจำกัด (สามารถล้อมเป็นวงกลมได้) และอีกอันไม่จำกัด อันแรกเรียกว่าขอบเขตภายใน และอันที่สองคือขอบเขตภายนอกของรูปทรงเรขาคณิตนี้ รูปหลายเหลี่ยมนี้คือจุดตัด (หรืออีกนัยหนึ่งคือองค์ประกอบร่วม) ของระนาบครึ่งระนาบหลายอัน ยิ่งไปกว่านั้น แต่ละส่วนที่สิ้นสุดที่จุดที่เป็นของรูปหลายเหลี่ยมจะเป็นของมันโดยสมบูรณ์

ความหลากหลายของรูปหลายเหลี่ยมนูน

คำจำกัดความของรูปหลายเหลี่ยมนูนไม่ได้ระบุว่ามีหลายประเภท นอกจากนี้แต่ละคนยังมีเกณฑ์ที่แน่นอน ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมนูนที่มีมุมภายในเท่ากับ 180° จึงเรียกว่านูนแบบอ่อน รูปทรงเรขาคณิตนูนที่มีจุดยอดสามจุดเรียกว่าสามเหลี่ยม สี่ - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ห้า - ห้าเหลี่ยม ฯลฯ n-gons นูนแต่ละอันมีคุณสมบัติตรงตามข้อกำหนดที่สำคัญที่สุดต่อไปนี้: n ต้องเท่ากับหรือมากกว่า 3 แต่ละค่า ของรูปสามเหลี่ยมนูนออกมา รูปทรงเรขาคณิต ประเภทนี้ซึ่งจุดยอดทั้งหมดอยู่ในวงกลมเดียวกัน เรียกว่า จารึกไว้ในวงกลม รูปหลายเหลี่ยมนูนจะเรียกว่า circumscribed ถ้าทุกด้านใกล้กับวงกลมสัมผัสกัน กล่าวกันว่ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันทุกประการก็ต่อเมื่อสามารถนำรูปหลายเหลี่ยมมารวมกันได้โดยการซ้อนทับกัน รูปหลายเหลี่ยมระนาบคือระนาบรูปหลายเหลี่ยม (ส่วนหนึ่งของระนาบ) ที่ถูกจำกัดด้วยรูปทรงเรขาคณิตนี้

รูปหลายเหลี่ยมนูนปกติ

รูปหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มี มุมเท่ากันและฝ่ายต่างๆ ข้างในมีจุด 0 ซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดแต่ละจุดเท่ากัน เรียกว่าศูนย์กลางของรูปทรงเรขาคณิตนี้ ส่วนที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางกับจุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนี้เรียกว่าอะโพเธม และส่วนที่เชื่อมต่อจุด 0 กับด้านข้างเรียกว่ารัศมี

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติคือสี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยมปกติเรียกว่าด้านเท่ากันหมด สำหรับตัวเลขดังกล่าว มีกฎต่อไปนี้: แต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนมีค่าเท่ากับ 180° * (n-2)/ n

โดยที่ n คือจำนวนจุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนูนนี้

พื้นที่ใดๆ รูปหลายเหลี่ยมปกติกำหนดโดยสูตร:

โดยที่ p เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด และ h เท่ากับความยาวของเส้นตั้งฉากใน

คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมนูน

รูปหลายเหลี่ยมนูนมี คุณสมบัติบางอย่าง- ดังนั้นส่วนที่เชื่อมต่อ 2 จุดใด ๆ ของรูปทรงเรขาคณิตจึงจำเป็นต้องอยู่ในนั้น การพิสูจน์:

สมมติว่า P คือรูปหลายเหลี่ยมนูนที่กำหนด ใช้เวลา 2 จุดใดก็ได้เช่น A, B ซึ่งเป็นของร.ป คำจำกัดความที่มีอยู่ของรูปหลายเหลี่ยมนูน จุดเหล่านี้จะอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นซึ่งมีด้าน P อยู่ด้วย ดังนั้น AB ก็มีคุณสมบัตินี้เช่นกันและอยู่ใน P รูปหลายเหลี่ยมนูนสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมหลายๆ รูปได้เสมอด้วยเส้นทแยงมุมทั้งหมดที่ ถูกดึงออกมาจากจุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง

มุมของรูปทรงเรขาคณิตนูน

มุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนคือมุมที่เกิดขึ้นจากด้านข้าง มุมภายในจะอยู่ในพื้นที่ภายในของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด มุมที่เกิดจากด้านข้างมาบรรจบกันที่จุดยอดหนึ่งเรียกว่ามุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน ด้วยมุมภายในของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนดเรียกว่าภายนอก แต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่อยู่ภายในจะเท่ากับ:

โดยที่ x คือขนาดของมุมภายนอก นี้ สูตรง่ายๆใช้กับรูปทรงเรขาคณิตประเภทนี้

ใน กรณีทั่วไปสำหรับมุมภายนอกก็มี กฎต่อไปนี้: แต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนมีค่าเท่ากับความแตกต่างระหว่าง 180° กับขนาดของมุมภายใน สามารถมีค่าได้ตั้งแต่ -180° ถึง 180° ดังนั้น เมื่อมุมภายในเป็น 120° มุมภายนอกจะเป็น 60°

ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน

ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูนถูกกำหนดโดยสูตร:

โดยที่ n คือจำนวนจุดยอดของ n-gon

ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนนั้นคำนวณได้ง่ายมาก พิจารณารูปทรงเรขาคณิตใดๆ ดังกล่าว ในการหาผลรวมของมุมภายในรูปหลายเหลี่ยมนูน คุณต้องเชื่อมต่อจุดยอดจุดหนึ่งกับจุดยอดอื่นๆ จากผลของการกระทำนี้ จะได้รูปสามเหลี่ยม (n-2) เป็นที่ทราบกันว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ จะเท่ากับ 180° เสมอ เนื่องจากจำนวนในรูปหลายเหลี่ยมใดๆ คือ (n-2) ผลรวมของมุมภายในของรูปนั้นจึงเท่ากับ 180° x (n-2)

ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน ซึ่งก็คือมุมภายนอกสองมุมภายในและมุมภายนอกที่อยู่ติดกัน สำหรับรูปทรงเรขาคณิตนูนที่กำหนดจะเท่ากับ 180° เสมอ จากข้อมูลนี้ เราสามารถหาผลรวมของมุมทั้งหมดได้:

ผลรวมของมุมภายในคือ 180° * (n-2) จากนี้ ผลรวมของมุมภายนอกทั้งหมดของรูปที่กำหนดจะถูกกำหนดโดยสูตร:

180° * n-180°-(n-2)= 360°

ผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนใดๆ จะเป็น 360° เสมอ (โดยไม่คำนึงถึงจำนวนด้าน)

มุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูน โดยทั่วไปจะแสดงด้วยความแตกต่างระหว่าง 180° และค่าของมุมภายใน

คุณสมบัติอื่นของรูปหลายเหลี่ยมนูน

นอกจากคุณสมบัติพื้นฐานของรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้แล้ว ยังมีคุณสมบัติอื่นๆ ที่เกิดขึ้นเมื่อจัดการกับมันอีกด้วย ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมใดๆ จึงสามารถแบ่งออกเป็น n-gons นูนหลายๆ รูปได้ ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องดำเนินการต่อแต่ละด้านแล้วตัดรูปทรงเรขาคณิตนี้ตามเส้นตรงเหล่านี้ นอกจากนี้ยังสามารถแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นส่วนนูนหลายๆ ส่วนเพื่อให้จุดยอดของแต่ละส่วนตรงกับจุดยอดทั้งหมด จากรูปทรงเรขาคณิตดังกล่าว คุณสามารถสร้างสามเหลี่ยมได้ง่ายๆ โดยการลากเส้นทแยงมุมทั้งหมดจากจุดยอดจุดเดียว ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมใดๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมจำนวนหนึ่งได้ในที่สุด ซึ่งกลายเป็นว่ามีประโยชน์มากในการแก้โจทย์ งานต่างๆที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตดังกล่าว

เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมนูน

ส่วนของเส้นขาดที่เรียกว่าด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมมักแสดงด้วยตัวอักษรต่อไปนี้: ab, bc, cd, de, ea เหล่านี้คือด้านของรูปทรงเรขาคณิตที่มีจุดยอด a, b, c, d, e ผลรวมของความยาวของด้านทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมนูนนี้เรียกว่าเส้นรอบรูป

วงกลมของรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมนูนสามารถจารึกหรือจำกัดขอบเขตได้ วงกลมที่สัมผัสทุกด้านของรูปทรงเรขาคณิตนี้เรียกว่าถูกจารึกไว้ รูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวเรียกว่า circumscribed จุดศูนย์กลางของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปหลายเหลี่ยมคือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของทุกมุมภายในรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวเท่ากับ:

โดยที่ r คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ และ p คือกึ่งปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด

วงกลมที่มีจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า วงกลมล้อมรอบมัน ในกรณีนี้ รูปทรงเรขาคณิตนูนนี้เรียกว่าจารึกไว้ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่อธิบายไว้รอบๆ รูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวคือจุดตัดของสิ่งที่เรียกว่าเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของทุกด้าน

เส้นทแยงมุมของรูปทรงเรขาคณิตนูน

เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นส่วนที่เชื่อมต่อกัน ยอดเขาใกล้เคียง- แต่ละอันอยู่ภายในรูปทรงเรขาคณิตนี้ จำนวนเส้นทแยงมุมของ n-gon นั้นถูกกำหนดโดยสูตร:

ยังไม่มีข้อความ = n (n - 3)/ 2.

จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่เล่น บทบาทที่สำคัญในเรขาคณิตเบื้องต้น จำนวนรูปสามเหลี่ยม (K) ที่สามารถแบ่งรูปหลายเหลี่ยมนูนแต่ละรูปได้คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนจะขึ้นอยู่กับจำนวนจุดยอดเสมอ

การแบ่งพาร์ติชันรูปหลายเหลี่ยมนูน

ในบางกรณีต้องแก้ ปัญหาทางเรขาคณิตจำเป็นต้องแบ่งรูปหลายเหลี่ยมนูนออกเป็นสามเหลี่ยมหลายๆ รูปโดยมีเส้นทแยงมุมที่ไม่ต่อเนื่องกัน ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยการหาสูตรบางอย่าง

คำจำกัดความของปัญหา: ให้เราเรียกส่วนที่ถูกต้องของ n-gon ที่นูนออกมาให้กลายเป็นสามเหลี่ยมหลายรูปที่มีเส้นทแยงมุมตัดกันที่จุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนี้เท่านั้น

วิธีแก้: สมมุติว่า P1, P2, P3..., Pn คือจุดยอดของ n-gon นี้ หมายเลข Xn คือจำนวนพาร์ติชัน ให้เราพิจารณาเส้นทแยงมุมผลลัพธ์ของรูปทรงเรขาคณิต Pi Pn อย่างรอบคอบ ในข้อใดข้อหนึ่ง พาร์ติชันที่ถูกต้องР1 Pn เป็นของสามเหลี่ยมจำนวนหนึ่ง Р1 Pi Pn ซึ่งมี 1

ให้ i = 2 เป็นกลุ่มหนึ่งของพาร์ติชันปกติ โดยจะมี P2 Pn ในแนวทแยงเสมอ จำนวนพาร์ติชันที่รวมอยู่ในนั้นตรงกับจำนวนพาร์ติชันของ (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันเท่ากับ Xn-1

ถ้า i = 3 แล้วพาร์ติชันอีกกลุ่มนี้จะมีเส้นทแยงมุม P3 P1 และ P3 Pn เสมอ ในกรณีนี้ จำนวนพาร์ติชันปกติที่อยู่ในกลุ่มนี้จะตรงกับจำนวนพาร์ติชันของ (n-2)-gon P3 P4... Pn กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันจะเท่ากับ Xn-2

ให้ i = 4 จากนั้นในบรรดาสามเหลี่ยมนั้น ฉากกั้นที่ถูกต้องจะมีสามเหลี่ยม P1 P4 Pn อย่างแน่นอน ซึ่งจะอยู่ติดกับรูปสี่เหลี่ยม P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5... Pn จำนวนพาร์ติชันปกติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ X4 และจำนวนพาร์ติชันของ (n-3)-gon คือ Xn-3 จากทั้งหมดข้างต้น เราสามารถพูดได้ว่าจำนวนพาร์ติชันปกติทั้งหมดที่มีอยู่ในกลุ่มนี้เท่ากับ Xn-3 X4 กลุ่มอื่นๆ ที่มี i = 4, 5, 6, 7... จะมี Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... พาร์ติชันปกติ

ให้ i = n-2 จากนั้นจำนวนพาร์ติชั่นที่ถูกต้องในกลุ่มนี้จะตรงกับจำนวนพาร์ติชั่นในกลุ่มที่ i=2 (หรืออีกนัยหนึ่งคือเท่ากับ Xn-1)

เนื่องจาก X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2... ดังนั้น จำนวนพาร์ติชันทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมนูนจะเท่ากับ:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

จำนวนพาร์ติชันปกติที่ตัดกันหนึ่งเส้นทแยงมุมภายใน

เมื่อตรวจสอบกรณีใดกรณีหนึ่ง อาจสันนิษฐานได้ว่าจำนวนเส้นทแยงมุมของ n-gons นูนเท่ากับผลคูณของพาร์ติชันทั้งหมดของรูปนี้ลงใน (n-3)

ข้อพิสูจน์สมมติฐานนี้: ลองจินตนาการว่า P1n = Xn * (n-3) แล้ว n-gon ใดๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็น (n-2)-สามเหลี่ยมได้ ยิ่งกว่านั้น (n-3)-รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถเกิดขึ้นได้จากพวกมัน นอกจากนี้แต่ละรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็จะมีเส้นทแยงมุมด้วย เนื่องจากรูปเรขาคณิตนูนนี้สามารถวาดเส้นทแยงมุมสองเส้นได้ ซึ่งหมายความว่าสามารถวาดเส้นทแยงมุมเพิ่มเติม (n-3) ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (n-3) ใดก็ได้ จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าในพาร์ติชันปกติใด ๆ เป็นไปได้ที่จะวาด (n-3) - เส้นทแยงมุมที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหานี้

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนูน

บ่อยครั้งเมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ ของเรขาคณิตเบื้องต้น จำเป็นต้องกำหนดพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนูน สมมติว่า (Xi. Yi) i = 1,2,3... n เป็นลำดับพิกัดของจุดยอดที่อยู่ติดกันทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่มีจุดตัดในตัวมันเอง ในกรณีนี้พื้นที่จะคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1))

โดยที่ (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1)

ชุดจุดนูนบนระนาบ

เซตของจุดบนระนาบหรือในอวกาศสามมิติเรียกว่า นูนหากจุดสองจุดใดๆ ของเซตนี้สามารถเชื่อมต่อกันด้วยส่วนของเส้นตรงที่อยู่ในเซตนี้ทั้งหมด

ทฤษฎีบท 1- จุดตัดของเซตนูนจำนวนจำกัดคือเซตนูน

ผลที่ตามมาจุดตัดของเซตนูนจำนวนจำกัดคือเซตนูน

จุดมุม.

เรียกว่าจุดขอบเขตของเซตนูน เชิงมุมหากเป็นไปได้ที่จะวาดส่วนผ่านจุดนั้นซึ่งจุดทั้งหมดไม่อยู่ในชุดที่กำหนด

ชุดของรูปร่างที่แตกต่างกันสามารถมีจุดมุมที่มีจำนวนจำกัดหรือไม่จำกัด

รูปหลายเหลี่ยมนูน

รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูนถ้ามันอยู่ด้านใดด้านหนึ่งของเส้นแต่ละเส้นที่ลากผ่านจุดยอดที่อยู่ติดกันสองจุด

ทฤษฎีบท: ผลรวมของมุมของ n-gon ที่นูนคือ 180° *(n-2)

6) การแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น m ด้วยตัวแปรสองตัว

กำหนดระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นด้วยตัวแปรสองตัว

สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันบางส่วนหรือทั้งหมดอาจเป็น ≥

ลองพิจารณาอสมการแรกในระบบพิกัด X1OX2 มาสร้างเส้นตรงกันเถอะ

ซึ่งเป็นเส้นเขตแดน

เส้นตรงนี้แบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่ง 1 และ 2 (รูปที่ 19.4)

ฮาล์ฟเพลน 1 มีจุดกำเนิด ส่วนฮาล์ฟเพลน 2 ไม่มีจุดกำเนิด

ในการพิจารณาว่าระนาบครึ่งระนาบนั้นตั้งอยู่บนด้านใดของเส้นเขตแดน คุณจะต้องเลือกจุดใดก็ได้บนระนาบ (ควรเป็นจุดเริ่มต้น) และแทนที่พิกัดของจุดนี้ให้เป็นอสมการ หากความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง ระนาบครึ่งจะหันไปทางจุดนี้ หากไม่เป็นจริง ให้หันไปในทิศทางตรงกันข้ามกับจุดนั้น

ทิศทางของระนาบครึ่งระนาบจะแสดงในรูปพร้อมลูกศร

คำจำกัดความ 15. วิธีแก้ความไม่เท่าเทียมกันของระบบคือ ระนาบครึ่งระนาบที่มีเส้นเขตแดนและตั้งอยู่ด้านใดด้านหนึ่ง

คำจำกัดความ 16. จุดตัดของระนาบครึ่งซึ่งแต่ละระนาบถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกันของระบบ เรียกว่าโดเมนโซลูชันของระบบ (SO)

คำจำกัดความ 17. ขอบเขตการแก้ปัญหาของระบบที่ตรงตามเงื่อนไขที่ไม่เป็นลบ (xj ≥ 0, j =) เรียกว่าขอบเขตของวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นลบหรือยอมรับได้ (ADS)

หากระบบความไม่เท่าเทียมกันนั้นสอดคล้องกัน OR และ ODR อาจเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม พื้นที่รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่มีขอบเขต หรือจุดเดียว

หากระบบความไม่เท่าเทียมกันไม่สอดคล้องกัน OR และ ODR จะเป็นเซตว่าง

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหา OR และ ODE ของระบบความไม่เท่าเทียมกันและกำหนดพิกัดของจุดมุมของ ODE

สารละลาย. ลองหา OR ของอสมการแรก: x1 + 3x2 ≥ 3 มาสร้างเส้นเขต x1 + 3x2 – 3 = 0 (รูปที่ 19.5) ลองแทนที่พิกัดของจุด (0,0) ลงในอสมการ: 1∙0 + 3∙0 > 3; เนื่องจากพิกัดของจุด (0,0) ไม่เป็นไปตามพิกัด ดังนั้นคำตอบของอสมการ (19.1) จึงเป็นระนาบครึ่งระนาบที่ไม่มีจุด (0,0)

ขอให้เราค้นหาวิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของระบบที่เหลืออยู่ในทำนองเดียวกัน เราพบว่า OR และ ODR ของระบบอสมการคือ ABCD รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน

มาหาจุดมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมกัน เรากำหนดให้จุด A เป็นจุดตัดของเส้นตรง

เมื่อแก้ระบบ เราได้ A(3/7, 6/7)

เราพบว่าจุด B เป็นจุดตัดของเส้นตรง

จากระบบเราได้รับ B(5/3, 10/3) ในทำนองเดียวกัน เราค้นหาพิกัดของจุด C และ D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10)

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา OR และ ODE ของระบบอสมการ

สารละลาย. ลองสร้างเส้นตรงแล้วหาคำตอบของอสมการ (19.5)-(19.7) OR และ ODR เป็นพื้นที่หลายเหลี่ยมที่ไม่มีขอบเขต ACFM และ ABDEKM ตามลำดับ (รูปที่ 19.6)

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหา OR และ ODE ของระบบอสมการ

สารละลาย. ให้เราค้นหาวิธีแก้ไขอสมการ (19.8)-(19.10) (รูปที่ 19.7) OR หมายถึง ABC ของพื้นที่หลายหน้าแบบไม่จำกัด ODR - จุด B

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหา OP และ ODP ของระบบอสมการ

สารละลาย. ด้วยการสร้างเส้นตรง เราจะพบวิธีแก้ความไม่เท่าเทียมกันของระบบ OR และ ODR เข้ากันไม่ได้ (รูปที่ 19.8)

แบบฝึกหัด

ค้นหา OR และ ODE ของระบบความไม่เท่าเทียมกัน

ทฤษฎีบท. ถ้า xn ® a แล้ว .

การพิสูจน์. จาก xn ® a ตามนั้น ในเวลาเดียวกัน:

, เช่น. , เช่น. - ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท. ถ้า xn ® a ลำดับ (xn) จะถูกผูกไว้

ควรสังเกตว่าข้อความสนทนาไม่เป็นความจริงเช่น ขอบเขตของลำดับไม่ได้หมายความถึงการลู่เข้าของมัน

ตัวอย่างเช่นลำดับ ไม่มีขีดจำกัด

การขยายฟังก์ชันไปสู่อนุกรมกำลัง

การขยายฟังก์ชันไปสู่อนุกรมกำลังมีความสำคัญอย่างยิ่งในการแก้ปัญหาต่างๆ ของการศึกษาฟังก์ชัน การสร้างความแตกต่าง การอินทิเกรต การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ การคำนวณขีดจำกัด การคำนวณค่าโดยประมาณของฟังก์ชัน

แนวคิดเรื่องรูปหลายเหลี่ยม

คำจำกัดความ 1

รูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปทรงเรขาคณิตในระนาบซึ่งประกอบด้วยส่วนที่ต่อกันเป็นคู่ โดยส่วนที่อยู่ติดกันไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ในกรณีนี้ เซ็กเมนต์จะถูกเรียก ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมและจุดจบของพวกเขา- จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม.

คำจำกัดความ 2

$n$-gon คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอด $n$

ประเภทของรูปหลายเหลี่ยม

คำจำกัดความ 3

ถ้ารูปหลายเหลี่ยมอยู่บนด้านเดียวกันของเส้นใดๆ ที่ลากผ่านด้านข้างเสมอ รูปหลายเหลี่ยมนั้นจะถูกเรียก นูน(รูปที่ 1)

รูปที่ 1 รูปหลายเหลี่ยมนูน

คำจำกัดความที่ 4

หากรูปหลายเหลี่ยมวางอยู่บนด้านตรงข้ามของเส้นตรงอย่างน้อยหนึ่งเส้นที่ลากผ่านด้านข้าง รูปหลายเหลี่ยมนั้นจะเรียกว่าไม่นูน (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่นูน

ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยม

ให้เราแนะนำทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท 1

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมนูนถูกกำหนดดังนี้

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับรูปหลายเหลี่ยมนูน $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ มาเชื่อมต่อจุดยอด $A_1$ กับจุดยอดอื่นๆ ของรูปหลายเหลี่ยมนี้กัน (รูปที่ 3)

รูปที่ 3.

ด้วยการเชื่อมต่อนี้ เราจะได้สามเหลี่ยม $n-2$ เมื่อรวมมุมของพวกมัน เราจะได้ผลรวมของมุมของ -gon ที่กำหนด เนื่องจากผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ $(180)^0,$ เราจึงได้ว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมนูนถูกกำหนดโดยสูตร

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

แนวคิดเรื่องรูปสี่เหลี่ยม

การใช้คำจำกัดความของ $2$ ทำให้ง่ายต่อการแนะนำคำจำกัดความของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

คำจำกัดความที่ 5

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอด $4$ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4 สี่เหลี่ยม

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน แนวคิดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบบนูนและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ไม่นูนจะมีความหมายคล้ายกัน ตัวอย่างคลาสสิกของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ได้แก่ สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 5)

รูปที่ 5 รูปสี่เหลี่ยมนูน

ทฤษฎีบท 2

ผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนคือ $(360)^0$

การพิสูจน์.

ตามทฤษฎีบท $1$ เรารู้ว่าผลรวมของมุมของเหลี่ยมนูนถูกกำหนดโดยสูตร

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ดังนั้น ผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านนูนจึงเท่ากับ

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว