การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบจำนวนตำแหน่ง
มาดูการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบเลขฐานสองกันดีกว่า เลขคณิตของระบบเลขฐานสองขึ้นอยู่กับการใช้ตารางในการบวก ลบ และคูณตัวเลข ตัวถูกดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะอยู่ที่แถวบนสุดและคอลัมน์แรกของตาราง และผลลัพธ์อยู่ที่จุดตัดของคอลัมน์และแถว:
มาดูรายละเอียดการดำเนินการแต่ละอย่างกัน
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.ตารางบวกไบนารีนั้นง่ายมาก ในกรณีเดียวเท่านั้นเมื่อทำการบวก 1+1, มีการโอนเข้าหลักสำคัญที่สุด -
การลบเมื่อดำเนินการลบ จำนวนที่น้อยกว่าจะถูกลบออกจากจำนวนที่มากกว่าในค่าสัมบูรณ์เสมอ และวางเครื่องหมายที่เกี่ยวข้องไว้ ในตารางการลบ 1 ที่มีแถบหมายถึงเงินกู้ที่อยู่ในอันดับสูงสุด
การคูณการดำเนินการคูณจะดำเนินการโดยใช้ตารางสูตรคูณตามรูปแบบปกติที่ใช้ในระบบเลขฐานสิบพร้อมการคูณตามลำดับของตัวคูณด้วยหลักถัดไปของตัวคูณ
แผนก.การดำเนินการหารจะดำเนินการโดยใช้อัลกอริทึมที่คล้ายคลึงกับอัลกอริทึมสำหรับการดำเนินการหารในระบบเลขฐานสิบ
ข้อมูลต่อไปนี้ใช้กับเครื่องคิดเลขนี้ด้วย:
การแปลงตัวเลขเป็นระบบเลขฐานสอง เลขฐานสิบหก ทศนิยม และเลขฐานแปด
การคูณเลขฐานสอง
รูปแบบจุดลอยตัว
ตัวอย่างหมายเลข 1 แสดงหมายเลข 133.54 ในรูปแบบจุดลอยตัว
สารละลาย- เรามาแทนตัวเลข 133.54 ในรูปแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ทำให้เป็นมาตรฐาน:
1.3354*10 2 = 1.3354*ประสบการณ์ 10 2
ตัวเลข 1.3354*exp 10 2 ประกอบด้วยสองส่วน: แมนทิสซา M=1.3354 และเลขชี้กำลัง 10 =2
ถ้าแมนทิสซาอยู่ในช่วง 1 ≤ M การแสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลังแบบดีนอร์มัลไลซ์.
หากแมนทิสซาอยู่ในช่วง 0.1 ≤ M ลองแทนตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลังแบบดีนอร์มัลไลซ์: 0.13354*exp 10 3
ตัวอย่างหมายเลข 2 แทนเลขฐานสอง 101.10 2 ในรูปแบบมาตรฐาน เขียนในมาตรฐาน IEEE754 32 บิต
ตารางความจริง
การคำนวณขีดจำกัด
เลขคณิตในระบบเลขฐานสอง
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบไบนารี่จะดำเนินการในลักษณะเดียวกับในระบบทศนิยม แต่ถ้าในระบบเลขฐานสิบการโอนและการยืมจะดำเนินการในสิบหน่วยดังนั้นในระบบเลขฐานสอง - สองหน่วย ตารางแสดงกฎสำหรับการบวกและการลบในระบบเลขฐานสอง- เมื่อบวกสองหน่วยในระบบเลขฐานสอง บิตนี้จะเป็น 0 และหน่วยจะถูกถ่ายโอนไปยังบิตที่สำคัญที่สุด
- เมื่อลบหนึ่งออกจากศูนย์ หนึ่งจะถูกยืมมาจากหลักสูงสุด โดยที่จะมี 1 หน่วยที่อยู่ในหลักนี้จะให้สองหน่วยในหลักที่ใช้คำนวณการกระทำ เช่นเดียวกับหนึ่งในหลักกลางทั้งหมด
การเพิ่มตัวเลขโดยคำนึงถึงเครื่องหมายบนเครื่องเป็นลำดับของการดำเนินการต่อไปนี้:
- แปลงตัวเลขเดิมเป็นรหัสที่ระบุ
- การเพิ่มรหัสในระดับบิต
- การวิเคราะห์ผลลัพธ์ที่ได้รับ
เมื่อดำเนินการในโค้ดส่วนเสริมของ two (ส่วนเสริมของ two ที่แก้ไขแล้ว) หากหน่วยพกพาปรากฏในบิตเครื่องหมายอันเป็นผลมาจากการบวก ยูนิตนั้นจะถูกยกเลิก
การดำเนินการลบในคอมพิวเตอร์จะดำเนินการโดยการบวกตามกฎ: X-Y=X+(-Y) การดำเนินการเพิ่มเติมจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับการดำเนินการเพิ่มเติม
ตัวอย่างหมายเลข 1
ให้ไว้: x=0.110001; y= -0.001001 เพิ่มโค้ดที่แก้ไขแบบย้อนกลับ
ให้ไว้: x=0.101001; y= -0.001101 เพิ่มโค้ดที่แก้ไขเพิ่มเติม 
ตัวอย่างหมายเลข 2 แก้ตัวอย่างการลบเลขฐานสองโดยใช้วิธีส่วนเสริมและแบบโรลโอเวอร์ของ 1
ก) 11 - 10
สารละลาย.
ลองจินตนาการถึงตัวเลข 11 2 และ -10 2 ในโค้ดย้อนกลับ
เลขฐานสอง 0000011 มีรหัสซึ่งกันและกัน 0.0000011
มาบวกตัวเลข 00000011 และ 11111101 กัน
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
เกิดโอเวอร์โฟลว์ในหลักที่ 2 (1 + 1 = 10) ดังนั้นเราจึงเขียน 0 และเลื่อน 1 ไปที่หลักที่ 3
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
เป็นผลให้เราได้รับ:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
เกิดการยกยอดจากบิตเครื่องหมาย มาเพิ่ม (เช่น 1) เข้ากับหมายเลขผลลัพธ์ (ซึ่งจะเป็นการดำเนินการตามขั้นตอนการถ่ายโอนแบบวน)
เป็นผลให้เราได้รับ:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
ผลลัพธ์ของการบวก: 00000001 มาแปลงเป็นเลขทศนิยมกันดีกว่า ในการแปลส่วนจำนวนเต็ม คุณต้องคูณตัวเลขของตัวเลขด้วยระดับของตัวเลขที่สอดคล้องกัน
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
ผลการบวก (เครื่องหมายทศนิยม): 1
b) 111-010 ลองจินตนาการถึงตัวเลข 111 2 และ -010 2 ในโค้ดย้อนกลับ
รหัสย้อนกลับสำหรับจำนวนบวกจะเหมือนกับรหัสไปข้างหน้า สำหรับจำนวนลบ ตัวเลขทุกหลักจะถูกแทนที่ด้วยค่าตรงข้าม (1 คูณ 0, 0 คูณ 1) และป้อนหน่วยในหลักเครื่องหมาย
เลขฐานสอง 0000111 มีรหัสซึ่งกันและกัน 0.0000111
เลขฐานสอง 0000010 มีรหัสซึ่งกันและกัน 1.1111101
มาบวกตัวเลข 00000111 และ 11111101 กัน
เกิดโอเวอร์โฟลว์ในหลักที่ 0 (1 + 1 = 10) ดังนั้นเราจึงเขียน 0 และเลื่อน 1 ไปที่หลักที่ 1
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
เกิดโอเวอร์โฟลว์ในหลักที่ 1 (1 + 1 = 10) ดังนั้นเราจึงเขียน 0 และย้าย 1 ไปยังหลักที่ 2
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
เกิดโอเวอร์โฟลว์ในหลักที่ 2 (1 + 1 + 1 = 11) ดังนั้นเราจึงเขียน 1 และเลื่อน 1 ไปที่หลักที่ 3
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
เกิดโอเวอร์โฟลว์ในหลักที่ 3 (1 + 1 = 10) ดังนั้นเราจึงเขียน 0 และเลื่อน 1 ไปที่หลักที่ 4
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
โอเวอร์โฟลว์เกิดขึ้นในบิตที่ 4 (1 + 1 = 10) ดังนั้นเราจึงเขียน 0 และเลื่อน 1 ไปที่หลักที่ 5
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
เกิดโอเวอร์โฟลว์ในหลักที่ 5 (1 + 1 = 10) ดังนั้นเราจึงเขียน 0 และเลื่อน 1 ไปที่หลักที่ 6
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
โอเวอร์โฟลว์เกิดขึ้นในบิตที่ 6 (1 + 1 = 10) ดังนั้นเราจึงเขียน 0 และเลื่อน 1 ไปที่หลักที่ 7
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
โอเวอร์โฟลว์เกิดขึ้นในบิตที่ 7 (1 + 1 = 10) ดังนั้นเราจึงเขียน 0 และเลื่อน 1 ไปที่หลักที่ 8
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
เป็นผลให้เราได้รับ:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
เกิดการยกยอดจากบิตเครื่องหมาย มาเพิ่ม (เช่น 1) เข้ากับหมายเลขผลลัพธ์ (ซึ่งจะเป็นการดำเนินการตามขั้นตอนการถ่ายโอนแบบวน)
เป็นผลให้เราได้รับ:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
ผลลัพธ์เพิ่มเติม: 00000101
เราได้หมายเลข 00000101 ในการแปลงทั้งส่วนคุณต้องคูณตัวเลขของตัวเลขด้วยระดับของตัวเลขที่สอดคล้องกัน
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
ผลการบวก (เครื่องหมายทศนิยม): 5
การบวกของจำนวนจริงจุดลอยตัวไบนารี
บนคอมพิวเตอร์ จำนวนใดๆ สามารถแสดงในรูปแบบจุดลอยตัวได้ รูปแบบจุดลอยตัวแสดงในรูป:
ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 10101 ในรูปแบบจุดลอยตัวสามารถเขียนได้ดังนี้:
คอมพิวเตอร์ใช้รูปแบบการเขียนตัวเลขที่เป็นมาตรฐานโดยให้ตำแหน่งของจุดทศนิยมอยู่หน้าเลขนัยสำคัญของแมนทิสซาเสมอ เช่น ตรงตามเงื่อนไข:
ข -1 ≤|M| จำนวนที่ทำให้เป็นมาตรฐาน - นี่คือตัวเลขที่มีเลขนัยสำคัญหลังจุดทศนิยม (เช่น 1 ในระบบเลขฐานสอง) ตัวอย่างการทำให้เป็นมาตรฐาน:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
เมื่อเพิ่มตัวเลขทศนิยม การจัดตำแหน่งคำสั่งซื้อจะดำเนินการไปยังคำสั่งซื้อที่สูงกว่า: 
อัลกอริทึมสำหรับการเพิ่มจำนวนจุดลอยตัว:
- การจัดตำแหน่งคำสั่งซื้อ
- การเติมแมนทิสซาในโค้ดเพิ่มเติมที่แก้ไข
- การทำให้ผลลัพธ์เป็นมาตรฐาน
ตัวอย่างหมายเลข 4
ก=0.1011*2 10 , B=0.0001*2 11
1. การจัดตำแหน่งคำสั่งซื้อ
ก=0.01011*2 11 , B=0.0001*2 11
2. การเติมแมนทิสซาในโค้ดที่แก้ไขเพิ่มเติม
MA เพิ่มเติม mod =00.01011
ม็อดเพิ่มเติมของ MB =00.0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
เอ+บี=0.01101*2 11
3. การทำให้ผลลัพธ์เป็นมาตรฐาน
เอ+บี=0.1101*2 10
ตัวอย่างหมายเลข 3 เขียนเลขฐานสิบในระบบเลขฐานสองและเพิ่มตัวเลขสองตัวในระบบเลขฐานสอง
ภารกิจในการกำหนดค่าในระบบตัวเลขและฐานต่างๆ
ภารกิจที่ 1ในการเข้ารหัสอักขระ @, $, &, % จะใช้เลขฐานสองตามลำดับสองหลัก อักขระตัวแรกตรงกับตัวเลข 00 การใช้อักขระเหล่านี้ ลำดับต่อไปนี้ได้รับการเข้ารหัส: $%&&@$ ถอดรหัสลำดับนี้และแปลงผลลัพธ์เป็นระบบเลขฐานสิบหก
สารละลาย.
1. ลองเปรียบเทียบเลขฐานสองกับอักขระที่เข้ารหัส:
00 — @, 01 — $, 10 — &, 11 — %
3. แปลงเลขฐานสองเป็นระบบเลขฐานสิบหก:
0111 1,010 0001 = 7A1
คำตอบ. 7A1 16.
ภารกิจที่ 2สวนมีไม้ผล 100 ต้น โดยเป็นต้นแอปเปิ้ล 33 ต้น 22 ต้น ...
– ลูกแพร์ 16 x – ลูกพลัม 17 x – เชอร์รี่ ฐานของระบบจำนวน (x) คืออะไร
สารละลาย.
1. โปรดทราบว่าเงื่อนไขทั้งหมดเป็นตัวเลขสองหลัก ในระบบตัวเลขใดๆ ก็สามารถแสดงได้ดังนี้:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขของตัวเลขที่สอดคล้องกันของตัวเลข
สำหรับตัวเลขสามหลักจะเป็นดังนี้:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ขวาน 2 + bx + c
2. สภาวะของปัญหาคือ:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
ลองแทนตัวเลขลงในสูตร:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2
3. แก้สมการกำลังสอง:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121 รากที่สองของ D คือ 11
รากของสมการกำลังสอง:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 หรือ x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9
4. จำนวนลบไม่สามารถเป็นฐานของระบบจำนวนได้ ดังนั้น x เท่ากับ 9 เท่านั้น
คำตอบ.ฐานที่ต้องการของระบบตัวเลขคือ 9
ภารกิจที่ 3ในระบบตัวเลขที่มีฐานบางฐาน เลขฐานสิบ 12 จะเขียนเป็น 110 ค้นหาฐานนี้
สารละลาย.
ขั้นแรกเราจะเขียนเลข 110 ผ่านสูตรการเขียนตัวเลขในระบบเลขตำแหน่งเพื่อหาค่าในระบบเลขฐานสิบ แล้วจึงหาฐานด้วยกำลังเดรัจฉาน
110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x
เราต้องได้ 12 ลอง 2: 2 2 + 2 = 6 ลอง 3: 3 2 + 3 = 12
ซึ่งหมายความว่าฐานของระบบตัวเลขคือ 3
คำตอบ.ฐานที่ต้องการของระบบตัวเลขคือ 3
ระบบเลขฐานสิบหกและฐานแปด
ภารกิจที่ 1ตัวเลขใดในระบบเลขฐานสิบหกตรงกับหมายเลข 11000101
สารละลาย.
เมื่อแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบหก เลขตัวแรกจะถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มๆ ละสี่หลัก โดยเริ่มจากจุดสิ้นสุด ถ้าจำนวนหลักหารด้วยสี่ไม่ลงตัว สี่หลักแรกจะขึ้นต้นด้วยศูนย์ แต่ละสี่มีความสอดคล้องกับหนึ่งหลักในระบบเลขฐานสิบหกไม่ซ้ำกัน
11000101 = 1100 0101 = C5 16
ไม่จำเป็นต้องมีโต๊ะโต้ตอบต่อหน้าต่อตา การนับเลขฐานสองของ 15 ตัวแรกสามารถทำได้ในหัวหรือเขียนตามลำดับ ไม่ควรลืมว่า 10 ในระบบทศนิยมสอดคล้องกับ A ในเลขฐานสิบหก, 11 ถึง B, 12 ถึง C, 13 ถึง D, 14 ถึง E, 15 ถึง F
คำตอบ. 11000101 = C5 16
ภารกิจที่ 2คำนวณผลรวมของเลขฐานสอง x และ y โดยที่ x = 10100 และ y = 10101 แสดงผลลัพธ์เป็นเลขฐานแปด
สารละลาย.
ลองเพิ่มตัวเลขสองตัวกัน กฎของเลขคณิตไบนารีและทศนิยมเหมือนกัน:
เมื่อแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปด เลขตัวแรกจะถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มๆ ละสามหลัก โดยเริ่มจากจุดสิ้นสุด หากจำนวนหลักหารด้วยสามไม่ลงตัว สามตัวแรกจะนำหน้าด้วยศูนย์:
คำตอบ.ผลรวมของเลขฐานสอง 10100 และ 10101 ที่แสดงในระบบเลขฐานแปดคือ 51
การแปลงเป็นระบบเลขฐานสอง
ภารกิจที่ 1ค่าของ 37 ในระบบเลขฐานสองคืออะไร?
สารละลาย.
คุณสามารถแปลงโดยการหารด้วย 2 และรวมส่วนที่เหลือในลำดับย้อนกลับ
อีกวิธีหนึ่งคือการแยกตัวเลขออกเป็นผลรวมของกำลังสองโดยเริ่มจากค่าสูงสุดซึ่งผลลัพธ์ที่คำนวณได้จะน้อยกว่าจำนวนที่กำหนด เมื่อทำการแปลง ควรแทนที่กำลังที่หายไปของตัวเลขด้วยศูนย์:
37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101
คำตอบ. 37 10 = 100101 2 .
ภารกิจที่ 2มีเลขศูนย์สำคัญกี่ตัวในรูปแบบเลขฐานสองของเลขทศนิยม 73
สารละลาย.
ให้เราแยกเลข 73 เป็นผลรวมของกำลังของสอง โดยเริ่มจากค่าสูงสุดแล้วคูณเลขยกกำลังที่หายไปด้วยศูนย์ และค่าที่มีอยู่ด้วยหนึ่ง:
73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001
คำตอบ.การแสดงเลขฐานสองของเลขฐานสิบ 73 มีศูนย์สำคัญสี่ตัว
ภารกิจที่ 3คำนวณผลรวมของตัวเลข x และ y สำหรับ x = D2 16, y = 37 8 นำเสนอผลลัพธ์ในระบบเลขฐานสอง
สารละลาย.
โปรดจำไว้ว่าแต่ละหลักของเลขฐานสิบหกประกอบด้วยเลขฐานสองสี่หลัก แต่ละหลักของเลขฐานแปดประกอบด้วยสาม:
D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111
มาบวกตัวเลขผลลัพธ์กัน:
คำตอบ.ผลรวมของตัวเลข D2 16 และ y = 37 8 ที่แสดงในระบบเลขฐานสองคือ 11110001
ภารกิจที่ 4ที่ให้ไว้: ก= D7 16, ข= 331 8 . หมายเลขไหน คที่เขียนในระบบเลขฐานสองตรงตามเงื่อนไข ก< c < b ?
- 11011001
- 11011100
- 11010111
- 11011000
สารละลาย.
ลองแปลงตัวเลขเป็นระบบเลขฐานสอง:
D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001
ตัวเลขสี่ตัวแรกของตัวเลขทั้งหมดเหมือนกัน (1101) ดังนั้นการเปรียบเทียบจึงง่ายขึ้นโดยการเปรียบเทียบตัวเลขสี่หลักล่าง
ตัวเลขแรกจากรายการมีค่าเท่ากับตัวเลข ขจึงไม่เหมาะ
จำนวนที่สองมากกว่า ข- หมายเลขที่สามคือ ก.
เฉพาะหมายเลขที่สี่เท่านั้นที่เหมาะสม: 0111< 1000 < 1001.
คำตอบ.ตัวเลือกที่สี่ (11011000) ตรงตามเงื่อนไข ก< c < b .
การแปลงเป็นระบบเลขทศนิยม
ภารกิจที่ 1 24 16 ตรงกับตัวเลขใดในระบบทศนิยม?
สารละลาย.
24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36
คำตอบ. 24 16 = 36 10
ภารกิจที่ 2เป็นที่ทราบกันว่า X = 12 4 + 4 5 + 101 2 ค่าของ X ในระบบเลขฐานสิบคืออะไร?
สารละลาย.
12 4 = 1 * 4 1 + 2 * 4 0 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
ค้นหาตัวเลข: X = 6 + 4 + 5 = 15
คำตอบ.เอ็กซ์ = 15 10
ภารกิจที่ 3คำนวณค่าของผลรวม 10 2 + 45 8 + 10 16 ในรูปแบบทศนิยม
สารละลาย.
ลองแปลงแต่ละพจน์เป็นระบบเลขทศนิยม:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
ผลรวมคือ: 2 + 37 + 16 = 55
คำตอบ. 55 10
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบเลขฐานสอง
ระบบตัวเลข
หมายเลขหัวข้อ:
ในระบบเลขฐานสอง การดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะดำเนินการตามกฎเดียวกันกับในระบบเลขฐานสิบ เนื่องจาก ทั้งสองแบบเป็นตำแหน่ง (พร้อมด้วยฐานแปด เลขฐานสิบหก ฯลฯ)
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป
การบวกเลขฐานสองหลักเดียวจะดำเนินการตามกฎต่อไปนี้:
ในกรณีหลังนี้ เมื่อบวกสองตัว ตัวเลขลำดับต่ำจะล้น และเลข 1 จะถูกโอนไปยังตัวเลขลำดับสูง การโอเวอร์โฟลว์จะเกิดขึ้นหากผลรวมเท่ากับฐานของระบบตัวเลข (ในกรณีนี้คือเลข 2) หรือมากกว่านั้น (ไม่เกี่ยวข้องสำหรับระบบเลขฐานสอง)
ตัวอย่างเช่น ลองบวกเลขฐานสองสองตัว:
การลบ
การลบเลขฐานสองหลักเดียวจะดำเนินการตามกฎต่อไปนี้:
0 - 1 = (ยืมตัวจากตำแหน่งสูง) 1
การคูณ
การคูณเลขฐานสองหลักเดียวจะดำเนินการตามกฎต่อไปนี้:
แผนก
การหารจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับในระบบเลขทศนิยม:
ตัวอย่างที่ 1 ค้นหา X ถ้า ในการแปลงด้านซ้ายของความเสมอภาค เราใช้กฎของ De Morgan สำหรับการบวกเชิงตรรกะและกฎของการปฏิเสธซ้ำซ้อนอย่างต่อเนื่อง: ตามกฎการกระจายสำหรับการบวกเชิงตรรกะ: ตามกฎการแยกตัวที่สามและ กฎการแยกค่าคงที่: เราถือเอาผลลัพธ์ด้านซ้ายไปทางด้านขวา: X = B ในที่สุดเราได้: X = B ตัวอย่างที่ 2 ลดความซับซ้อนของนิพจน์เชิงตรรกะ ตรวจสอบความถูกต้องของการทำให้เข้าใจง่ายโดยใช้ตารางความจริงสำหรับต้นฉบับ และเกิดการแสดงออกเชิงตรรกะ ในเวลาเดียวกัน สัญญาณจากตัวเชื่อมต่อจะถูกป้อนไปยังอินพุตของอินเวอร์เตอร์ ที่เอาต์พุตซึ่งมีการรับรู้สัญญาณ X&Y ซึ่งในทางกลับกัน จะถูกป้อนไปยังอินพุตตัวใดตัวหนึ่งของตัวเชื่อมต่อตัวที่สอง 3. พิสูจน์โดยการสร้างตารางความจริงว่าฟังก์ชันลอจิคัล P = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) กำหนดการถ่ายโอนไปยังหลักที่มีนัยสำคัญที่สุดเมื่อบวกเลขฐานสอง (A และ B เป็นพจน์, Po คือการถ่ายโอน จากหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด) 33. มีไม้ผลในสวนจำนวน 100 ต้น โดยมีต้นแอปเปิ้ล 33 ต้น ลูกแพร์ 22 ต้น ลูกพลัม 16 ต้น และเชอร์รี่ 5 ต้น ต้นไม้นับในระบบเลขใด 2. คูณจำนวนที่กำหนดและผลลัพธ์ที่เป็นเศษส่วนของผลิตภัณฑ์ด้วยฐานของระบบใหม่อย่างสม่ำเสมอ จนกระทั่งส่วนที่เป็นเศษส่วนของผลิตภัณฑ์เท่ากับศูนย์หรือได้ความแม่นยำที่ต้องการในการแสดงตัวเลข เราแบ่งตัวเลขจากขวาไปซ้ายออกเป็นสามกลุ่มและเขียนเลขฐานแปดที่สอดคล้องกันไว้ข้างใต้แต่ละตัวเลข: เราได้ค่าเลขฐานแปดของตัวเลขเดิม: 5410628 ตัวอย่างที่ 2.23 ลองแปลงตัวเลข 10000000001111100001112 เป็นระบบเลขฐานสิบหกกัน การแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขที่มีฐาน q = 2 เป็นระบบเลขฐานสอง ในการแปลงตัวเลขใดๆ ที่เขียนในระบบตัวเลขที่มีฐาน q = 2 เป็นระบบเลขฐานสอง คุณต้องแทนที่แต่ละหลักของตัวเลขนี้ด้วย n -หลักเทียบเท่าในระบบเลขฐานสอง
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบเลขฐานสอง
ตัวอย่าง 2.29.ลองดูตัวอย่างการบวกเลขฐานสอง:
การลบ เมื่อดำเนินการลบ จำนวนที่น้อยกว่าจะถูกลบออกจากจำนวนที่มากกว่าในค่าสัมบูรณ์เสมอ และวางเครื่องหมายที่เกี่ยวข้องไว้ ในตารางการลบ 1 ที่มีแถบหมายถึงเงินกู้ที่อยู่ในอันดับสูงสุด
ตัวอย่าง 2.31. ลองดูตัวอย่างการคูณเลขฐานสอง:
คุณจะเห็นว่าการคูณนั้นขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงของตัวคูณและการบวก
แผนก. การดำเนินการหารจะดำเนินการโดยใช้อัลกอริทึมที่คล้ายคลึงกับอัลกอริทึมสำหรับการดำเนินการหารในระบบเลขฐานสิบ
การบวกในระบบตัวเลขอื่นๆ ด้านล่างนี้เป็นตารางเพิ่มเติมในระบบเลขฐานแปด:
2.42. จัดเรียงสัญญาณของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพื่อให้ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริงในระบบไบนารี่:
เขียนคำตอบสำหรับตัวเลขแต่ละตัวในระบบเลขระบุและเลขทศนิยม 2.44. เลขใดอยู่ข้างหน้าแต่ละรายการต่อไปนี้:
2.45. เขียนจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วงตัวเลขต่อไปนี้:
ก) ในระบบไบนารี
b) ในระบบฐานแปด
c) ในระบบเลขฐานสิบหก
เขียนคำตอบสำหรับตัวเลขแต่ละตัวในระบบเลขระบุและเลขทศนิยม
2.47. ค้นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขต่อไปนี้:
2.48. ผลรวมของเลขฐานแปด 17 8 + 1700 8 + 170000 3 + 17000000 8 +
+ 1700000000 8 แปลงเป็นระบบเลขฐานสิบหก
ค้นหาหลักที่ห้าจากซ้ายของจำนวนที่เท่ากับจำนวนนี้
 |
กู้คืนหมายเลขที่ไม่รู้จักซึ่งระบุด้วยเครื่องหมายคำถาม
ตัวอย่างต่อไปนี้เกี่ยวกับการบวกและการลบโดยพิจารณาก่อน
Le ในระบบใดที่ตัวเลขถูกแสดง
หัวข้อบทเรียน: การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบจำนวนตำแหน่ง
ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
การสอน: ทำให้นักเรียนคุ้นเคยกับการบวก การลบ การคูณ และการหารในระบบเลขฐานสอง และดำเนินการพัฒนาทักษะเบื้องต้นในการดำเนินการเหล่านี้
ทางการศึกษา: พัฒนาความสนใจของนักเรียนในการเรียนรู้สิ่งใหม่ ๆ แสดงความเป็นไปได้ของแนวทางการคำนวณที่ไม่ได้มาตรฐาน
พัฒนาการ: พัฒนาความสนใจ ความเข้มงวดในการคิด และทักษะการใช้เหตุผล
โครงสร้างบทเรียน
ช่วงเวลาขององค์กร –1 นาที
ตรวจการบ้านโดยใช้แบบทดสอบปากเปล่า –15 นาที
การบ้าน -2 นาที
แก้ไขปัญหาด้วยการวิเคราะห์พร้อมกันและการพัฒนาวัสดุอย่างอิสระ -25 นาที
สรุปบทเรียน -2 นาที
ความก้าวหน้าของบทเรียน
ช่วงเวลาขององค์กร
ตรวจการบ้าน (สอบปากเปล่า) .
ครูอ่านคำถามตามลำดับ นักเรียนตั้งใจฟังคำถามโดยไม่ต้องจดบันทึก มีเพียงคำตอบเท่านั้นที่ถูกบันทึกไว้และสั้นมาก (ถ้าตอบได้คำเดียวก็เขียนได้แต่คำนี้)
ระบบตัวเลขคืออะไร? -เป็นระบบเครื่องหมายที่เขียนตัวเลขตามกฎเกณฑ์บางอย่างโดยใช้เครื่องหมายของตัวอักษรบางตัวที่เรียกว่าตัวเลข )
คุณรู้จักระบบตัวเลขอะไรบ้าง?( ไม่ใช่ตำแหน่งและตำแหน่ง )
ระบบใดที่เรียกว่าไม่มีตำแหน่ง? -MSS เรียกว่าไม่ใช่ตำแหน่งหากค่าเทียบเท่าเชิงปริมาณ (ค่าเชิงปริมาณ) ของตัวเลขในตัวเลขไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งในสัญลักษณ์ของตัวเลข ).
MSS ตำแหน่งฐานคืออะไร? -เท่ากับจำนวนหลักที่ประกอบเป็นตัวอักษร )
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ใดที่ควรใช้ในการแปลงจำนวนเต็มจากเลขฐานสิบไปเป็นค่าอื่น -โดยการแบ่ง )
จะต้องทำอะไรเพื่อแปลงตัวเลขจากทศนิยมเป็นไบนารี่? -หารด้วย 2 ตามลำดับ )
เลข 11.1 จะลดลงกี่เท่า? 2 เมื่อย้ายลูกน้ำไปทางซ้ายหนึ่งที่? -2 ครั้ง )
ตอนนี้เรามาฟังบทกวีเกี่ยวกับหญิงสาวที่ไม่ธรรมดาและตอบคำถามกันดีกว่า -บทกวีดังขึ้น )
สาวพิเศษ
นางมีอายุหนึ่งพันหนึ่งร้อยปี
เธอเข้าเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่หนึ่งร้อยหนึ่ง
เธอถือหนังสือนับร้อยเล่มในกระเป๋าเอกสารของเธอ
ทั้งหมดนี้เป็นจริงไม่ใช่เรื่องไร้สาระ
เมื่อปัดฝุ่นด้วยความสูงหลายสิบฟุต
เธอเดินไปตามถนน
ลูกสุนัขวิ่งตามเธออยู่เสมอ
มีหางเดียวแต่มีหนึ่งร้อยขา
เธอจับทุกเสียง
ด้วยหูทั้งสิบของคุณ
และมือสีแทนสิบมือ
พวกเขาถือกระเป๋าเอกสารและสายจูง
และดวงตาสีฟ้าเข้มสิบดวง
เรามองโลกตามปกติ
แต่ทุกอย่างจะกลายเป็นปกติอย่างสมบูรณ์
เมื่อไหร่คุณจะเข้าใจเรื่องราวของฉัน?
/ เอ็น. สตาริคอฟ /
แล้วหญิงสาวอายุเท่าไหร่? -อายุ 12 ปี ) เธอเข้าเรียนชั้นอะไร? -ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ) เธอมีแขนและขากี่อัน? -2แขน2ขา ) ลูกสุนัขมี 100 ขาได้อย่างไร? -4 อุ้งเท้า )
หลังจากเสร็จสิ้นการทดสอบ นักเรียนจะอ่านคำตอบออกมาดังๆ ทำการทดสอบตัวเอง และนักเรียนจะให้คะแนนตัวเอง
เกณฑ์:
10 คำตอบที่ถูกต้อง (อาจมีข้อผิดพลาดเล็กน้อย) – “5”;
9 หรือ 8 – “4”;
7, 6 – “3”;
ส่วนที่เหลือคือ "2"
ครั้งที่สอง การบ้านที่ได้รับมอบหมาย (2 นาที)
10111
2
- 1011
2
= ?
(
1100
2
)
10111
2
+ 1011
2
= ?
(
100010
2
)
10111
2
* 1011
2
= ?
(
11111101
2
))
III. การทำงานกับวัสดุใหม่
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบเลขฐานสอง
เลขคณิตของระบบเลขฐานสองขึ้นอยู่กับการใช้ตารางในการบวก ลบ และคูณตัวเลข ตัวถูกดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะอยู่ที่แถวบนสุดและคอลัมน์แรกของตาราง และผลลัพธ์อยู่ที่จุดตัดของคอลัมน์และแถว:
0
1
1
1
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.
ตารางบวกไบนารีนั้นง่ายมาก ในกรณีเดียวเท่านั้น เมื่อทำการบวก 1+1 จะมีการยกยอดเกิดขึ้นหรือไม่
1001 + 1010 = 10011
1101 + 1011 = 11000
11111 + 1 = 100000
1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101
10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )
การลบ
เมื่อดำเนินการลบ จำนวนที่น้อยกว่าจะถูกลบออกจากจำนวนที่มากกว่าในค่าสัมบูรณ์เสมอ และวางเครื่องหมายที่เกี่ยวข้องไว้ ในตารางการลบ 1 ที่มีแถบหมายถึงเงินกู้ที่อยู่ในอันดับสูงสุด 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0
101011111 – 110101101 = – 1001110
100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )
การคูณ
การดำเนินการคูณจะดำเนินการโดยใช้ตารางสูตรคูณตามรูปแบบปกติที่ใช้ในระบบเลขฐานสิบพร้อมการคูณตามลำดับของตัวคูณด้วยหลักถัดไปของตัวคูณ 11001 * 1101 = 101000101
11001,01 * 11,01 = 1010010,0001
การคูณจะขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงของตัวคูณและการบวก
111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )
V. สรุปบทเรียน
บัตรสำหรับงานนักเรียนเพิ่มเติม
ดำเนินการทางคณิตศาสตร์:
ก) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );
10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );
101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );
ข) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );