ความน่าจะเป็นคลาสสิกและคุณสมบัติของมัน

ความน่าจะเป็นเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น มีคำจำกัดความหลายประการของแนวคิดนี้ ให้เราให้คำจำกัดความที่เรียกว่าคลาสสิก

ความน่าจะเป็นเหตุการณ์ คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นประโยชน์สำหรับเหตุการณ์หนึ่งๆ ต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันทั้งหมดของประสบการณ์ที่เหตุการณ์นี้อาจปรากฏขึ้น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A แสดงโดย พี(เอ)(ที่นี่ ร– ตัวอักษรตัวแรกของคำภาษาฝรั่งเศส ความน่าจะเป็น- ความน่าจะเป็น)

ตามคำนิยาม

โดยที่จำนวนผลการทดสอบเบื้องต้นเอื้ออำนวยต่อการเกิดขึ้นของเหตุการณ์

จำนวนผลการทดสอบเบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมด

คำจำกัดความของความน่าจะเป็นนี้เรียกว่า คลาสสิค- เกิดขึ้นในระยะเริ่มแรกของการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็น

ตัวเลขนี้มักเรียกว่าความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์ กในประสบการณ์

ยิ่งความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ยิ่งมาก ก็ยิ่งเกิดขึ้นบ่อยขึ้น และในทางกลับกัน ยิ่งความน่าจะเป็นของเหตุการณ์น้อยลง ความถี่ที่จะเกิดขึ้นก็จะยิ่งน้อยลง เมื่อความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งใกล้หรือเท่ากับหนึ่ง เหตุการณ์จะเกิดขึ้นในการทดลองเกือบทั้งหมด เหตุการณ์ดังกล่าวเรียกได้ว่าเป็น เกือบจะแน่นอนกล่าวคือสามารถนับความเกิดขึ้นได้อย่างแน่นอน

ในทางตรงกันข้าม เมื่อความน่าจะเป็นเป็นศูนย์หรือน้อยมาก เหตุการณ์จะเกิดขึ้นน้อยมาก เหตุการณ์ดังกล่าวกล่าวกันว่าเป็น แทบจะเป็นไปไม่ได้เลย.

บางครั้งความน่าจะเป็นจะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์: พี(เอ) 100%คือเปอร์เซ็นต์เฉลี่ยของจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ก.

ตัวอย่าง 2.13.ขณะกดหมายเลขโทรศัพท์ผู้สมัครสมาชิกลืมหนึ่งหลักและกดหมายเลขโดยการสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่โทรออกหมายเลขที่ถูกต้อง

สารละลาย.

ให้เราแสดงโดย กเหตุการณ์ - “หมายเลขที่ต้องการถูกหมุนแล้ว”

ผู้สมัครสมาชิกสามารถกดหมายเลขใดก็ได้ใน 10 หลัก ดังนั้นจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 10 ผลลัพธ์เหล่านี้เข้ากันไม่ได้ เป็นไปได้เท่ากัน และรวมเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ โปรดปรานการจัดงาน กมีเพียงผลลัพธ์เดียวเท่านั้น (มีเพียงหมายเลขที่ต้องการเท่านั้น)

ความน่าจะเป็นที่ต้องการคืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์ต่อจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมด:

สูตรความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกเป็นวิธีคำนวณความน่าจะเป็นที่ง่ายและไม่ต้องทดลอง อย่างไรก็ตามความเรียบง่ายของสูตรนี้ถือว่าหลอกลวงมาก ความจริงก็คือเมื่อใช้งานมักจะมีคำถามสองข้อที่ยากมากเกิดขึ้น:

1. จะเลือกระบบผลการทดลองได้อย่างไรเพื่อให้เป็นไปได้เท่าเทียมกันและเป็นไปได้หรือไม่?

2. วิธีค้นหาตัวเลข มและ n?

หากมีวัตถุหลายชิ้นเกี่ยวข้องกับการทดลอง การเห็นผลที่เป็นไปได้ที่เท่าเทียมกันไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป

นักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่ D'Alembert เข้าสู่ประวัติศาสตร์ของทฤษฎีความน่าจะเป็นด้วยความผิดพลาดอันโด่งดังของเขา สาระสำคัญก็คือเขากำหนดความเท่าเทียมกันของผลลัพธ์อย่างไม่ถูกต้องในการทดลองด้วยเหรียญเพียงสองเหรียญ!

ตัวอย่างที่ 2.14 - ข้อผิดพลาดของดาล็องแบร์). มีการโยนเหรียญที่เหมือนกันสองเหรียญ ความน่าจะเป็นที่จะตกอยู่ฝั่งเดียวกันเป็นเท่าไหร่?

วิธีแก้ปัญหาของดาล็องแบร์

การทดลองนี้มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันสามประการ:

1. เหรียญทั้งสองจะตกลงบนหัว

2. เหรียญทั้งสองจะตกลงบนก้อย

3. เหรียญหนึ่งจะตกบนหัว และอีกเหรียญหนึ่งจะตกที่ก้อย

การตัดสินใจที่ถูกต้อง

การทดลองนี้มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันสี่ประการ:

1. เหรียญแรกจะตกหัว เหรียญที่สองก็จะตกหัวด้วย

2. เหรียญแรกจะตกลงบนก้อย เหรียญที่สองก็จะตกลงบนก้อยด้วย

3. เหรียญแรกจะตกบนหัว และเหรียญที่สองจะตกที่ก้อย

4. เหรียญแรกจะตกที่หาง และเหรียญที่สองจะตกที่หัว

ในจำนวนนี้ ผลลัพธ์สองรายการจะเป็นผลดีต่อเหตุการณ์ของเรา ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ

ดาล็องแบร์ทำหนึ่งในข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดเมื่อคำนวณความน่าจะเป็น: เขารวมผลลัพธ์เบื้องต้นสองอย่างเข้าด้วยกัน ดังนั้นจึงทำให้ความน่าจะเป็นไม่เท่ากันกับผลลัพธ์ที่เหลือของการทดลอง

สถาบันการศึกษาเทศบาล

โรงยิมหมายเลข 6

ในหัวข้อ “คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น”

จบโดยนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 "B"

คลีมันโตวา อเล็กซานดรา.

ครูคณิตศาสตร์: Videnkina V. A.

โวโรเนซ, 2008

หลายเกมใช้ลูกเต๋า ลูกบาศก์มี 6 ด้าน แต่ละด้านมีจำนวนจุดที่แตกต่างกัน ตั้งแต่ 1 ถึง 6 ผู้เล่นทอยลูกเต๋าและดูว่าด้านที่ตกมีกี่จุด (ด้านที่อยู่ด้านบน) . บ่อยครั้งที่จุดบนใบหน้าของลูกบาศก์จะถูกแทนที่ด้วยหมายเลขที่สอดคล้องกันแล้วพูดถึงการหมุน 1, 2 หรือ 6 การขว้างลูกบาศก์ถือได้ว่าเป็นการทดลอง การทดลอง การทดสอบ และผลลัพธ์ที่ได้คือ ผลการทดสอบหรือเหตุการณ์เบื้องต้น ผู้คนสนใจที่จะคาดเดาเหตุการณ์นี้หรือเหตุการณ์นั้นและทำนายผลลัพธ์ พวกเขาสามารถทำนายอะไรได้บ้างเมื่อพวกเขาทอยลูกเต๋า? ตัวอย่างเช่น:

1) เหตุการณ์ A - ทอยหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6

2) เหตุการณ์ B - หมายเลข 7, 8 หรือ 9 ปรากฏขึ้น

3) เหตุการณ์ C - หมายเลข 1 ปรากฏขึ้น

เหตุการณ์ A ที่คาดการณ์ไว้ในกรณีแรกจะเกิดขึ้นแน่นอน โดยทั่วไปแล้ว เหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอนในประสบการณ์นั้นๆ เรียกว่า เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ .

เหตุการณ์ B ที่คาดการณ์ไว้ในกรณีที่สองจะไม่เกิดขึ้น มันเป็นไปไม่ได้เลย โดยทั่วไป เหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นในประสบการณ์ที่กำหนดเรียกว่า เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ .

และเหตุการณ์ C ที่ทำนายไว้กรณีที่ 3 จะเกิดขึ้นหรือไม่? เราไม่สามารถตอบคำถามนี้ได้อย่างแน่ชัด เนื่องจากข้อ 1 อาจหลุดหรือไม่ก็ได้ เหตุการณ์ที่อาจจะเกิดขึ้นหรืออาจไม่เกิดขึ้นในประสบการณ์นั้นๆ เรียกว่า เหตุการณ์สุ่ม .

เมื่อนึกถึงเหตุการณ์ที่น่าเชื่อถือ เรามักจะไม่ใช้คำว่า “อาจจะ” ตัวอย่างเช่น หากวันนี้เป็นวันพุธ พรุ่งนี้ก็เป็นวันพฤหัสบดี นี่ถือเป็นเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ ในวันพุธ เราจะไม่พูดว่า: “พรุ่งนี้อาจเป็นวันพฤหัสบดี” เราจะพูดสั้น ๆ และชัดเจน: “พรุ่งนี้เป็นวันพฤหัสบดี” จริงอยู่ที่ถ้าเรามีแนวโน้มที่จะใช้วลีที่สวยงามเราสามารถพูดได้ว่า: “ด้วยความน่าจะเป็นร้อยเปอร์เซ็นต์ฉันบอกว่าพรุ่งนี้เป็นวันพฤหัสบดี” ในทางตรงกันข้าม ถ้าวันนี้เป็นวันพุธ การเริ่มวันศุกร์ในวันพรุ่งนี้ก็เป็นไปไม่ได้ เมื่อประเมินเหตุการณ์นี้ในวันพุธ เราสามารถพูดได้ว่า “ฉันแน่ใจว่าพรุ่งนี้ไม่ใช่วันศุกร์” หรือนี่: “เหลือเชื่อเลยที่พรุ่งนี้เป็นวันศุกร์” ถ้าเรามีแนวโน้มที่จะใช้วลีที่สวยงาม เราสามารถพูดได้ว่า: “ความน่าจะเป็นที่พรุ่งนี้เป็นวันศุกร์จะเป็นศูนย์” ดังนั้นเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้คือเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด ด้วยความน่าจะเป็นร้อยเปอร์เซ็นต์(เช่น เกิดขึ้นใน 10 กรณีจาก 10 กรณี, ใน 100 กรณีจาก 100 กรณี เป็นต้น) เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือเหตุการณ์ที่ไม่เคยเกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด ด้วยความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ .

แต่น่าเสียดาย (และอาจจะโชคดี) ไม่ใช่ทุกสิ่งในชีวิตที่ชัดเจนและแม่นยำนัก มันจะเป็นเช่นนั้นตลอดไป (เหตุการณ์บางอย่าง) มันจะไม่มีวันเป็น (เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้) บ่อยครั้งที่เราต้องเผชิญกับเหตุการณ์สุ่ม ซึ่งบางเหตุการณ์ก็มีโอกาสเป็นไปได้มากกว่า และเหตุการณ์อื่นๆ มีโอกาสน้อยกว่า โดยปกติแล้วผู้คนจะใช้คำว่า "มีโอกาสมากขึ้น" หรือ "มีโอกาสน้อยกว่า" ตามที่พวกเขาพูดโดยไม่ได้ตั้งใจโดยอาศัยสิ่งที่เรียกว่าสามัญสำนึก แต่บ่อยครั้งมากที่การประมาณการดังกล่าวไม่เพียงพอเนื่องจากสิ่งสำคัญคือต้องรู้ นานแค่ไหนเปอร์เซ็นต์อาจเป็นเหตุการณ์สุ่มหรือ กี่ครั้งเหตุการณ์สุ่มเหตุการณ์หนึ่งมีแนวโน้มมากกว่าเหตุการณ์อื่น กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องการความแม่นยำ เชิงปริมาณคุณต้องสามารถระบุลักษณะความน่าจะเป็นด้วยตัวเลขได้

เราได้ดำเนินการขั้นตอนแรกในทิศทางนี้แล้ว เราบอกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างที่เกิดขึ้นนั้นมีลักษณะดังนี้ หนึ่งร้อยเปอร์เซ็นต์และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้จะเกิดขึ้นคือ ศูนย์- เนื่องจาก 100% เท่ากับ 1 ผู้คนจึงเห็นด้วยกับสิ่งต่อไปนี้:

1) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ถือว่าเท่ากัน 1;

2) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ถือว่าเท่ากัน 0.

จะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มได้อย่างไร? ท้ายที่สุดมันก็เกิดขึ้น โดยบังเอิญซึ่งหมายความว่าไม่เป็นไปตามกฎหมาย อัลกอริธึม หรือสูตร ปรากฎว่าในโลกของการสุ่มมีกฎหมายบางข้อที่อนุญาตให้คำนวณความน่าจะเป็นได้ นี่คือสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า - ทฤษฎีความน่าจะเป็น .

คณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับ แบบอย่างปรากฏการณ์ความเป็นจริงบางอย่างรอบตัวเรา ในบรรดาแบบจำลองทั้งหมดที่ใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น เราจะจำกัดตัวเองให้อยู่เพียงแบบจำลองที่ง่ายที่สุด

รูปแบบความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก

หากต้องการค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เมื่อทำการทดลอง คุณควร:

1) ค้นหาหมายเลข N ของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองนี้

2) ยอมรับสมมติฐานที่ว่าผลลัพธ์ทั้งหมดนี้มีโอกาสเท่าเทียมกัน

3) หาจำนวน N(A) ของผลลัพธ์การทดลองที่มีเหตุการณ์ A เกิดขึ้น

4) หาผลหาร ; มันจะเท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A

เป็นธรรมเนียมที่จะต้องแสดงถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A: P(A) คำอธิบายสำหรับการกำหนดนี้ง่ายมาก: คำว่า "ความน่าจะเป็น" ในภาษาฝรั่งเศสคือ ความน่าจะเป็นในภาษาอังกฤษ– ความน่าจะเป็น.การกำหนดใช้อักษรตัวแรกของคำ

เมื่อใช้สัญกรณ์นี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ตามโครงร่างคลาสสิกสามารถพบได้โดยใช้สูตร

พี(ก)=.

บ่อยครั้งทุกประเด็นของโครงร่างความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกข้างต้นจะแสดงออกมาเป็นวลีเดียวที่ค่อนข้างยาว

คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ในระหว่างการทดสอบบางอย่างคืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์อันเป็นผลมาจากเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นกับจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากันของการทดสอบนี้

ตัวอย่างที่ 1- ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ในการโยนลูกเต๋าหนึ่งครั้งจะเป็น: ก) 4; ข) 5; c) จำนวนคะแนนเท่ากัน d) จำนวนคะแนนที่มากกว่า 4; e) จำนวนคะแนนที่หารด้วยสามไม่ลงตัว

สารละลาย- โดยรวมแล้วมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด N=6 รายการ: การหลุดออกจากหน้าลูกบาศก์ด้วยจำนวนคะแนนเท่ากับ 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 เราเชื่อว่าไม่มีผลลัพธ์ใดที่ได้เปรียบเหนือผลลัพธ์อื่น ๆ กล่าวคือ เรา ยอมรับสมมติฐานที่ว่าความเท่าเทียมกันของผลลัพธ์เหล่านี้

ก) ในผลลัพธ์ประการหนึ่ง เหตุการณ์ A ที่เราสนใจจะเกิดขึ้น - หมายเลข 4 จะปรากฏขึ้น ซึ่งหมายความว่า N(A)=1 และ

ป ( ก )= =.

b) วิธีแก้ไขและคำตอบเหมือนกับในย่อหน้าก่อนหน้า

c) เหตุการณ์ B ที่เราสนใจจะเกิดขึ้นในสามกรณีอย่างแน่นอนเมื่อจำนวนคะแนนคือ 2, 4 หรือ 6 ซึ่งหมายความว่า

เอ็น ( บี )=3 และ ป ( บี )==.

d) เหตุการณ์ C ที่เราสนใจจะเกิดขึ้นในสองกรณีที่จำนวนคะแนนคือ 5 หรือ 6 ซึ่งหมายความว่า

เอ็น ( ค ) =2 และ Р(С)=.

e) จากตัวเลขที่เป็นไปได้หกตัวที่จับได้ สี่ (1, 2, 4 และ 5) ไม่สามารถหารด้วยสามได้ และอีกสอง (3 และ 6) ที่เหลือหารด้วยสามลงตัว ซึ่งหมายความว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจเกิดขึ้นในสี่ในหกที่เป็นไปได้และน่าจะเป็นไปได้เท่ากันและน่าจะเป็นไปได้เท่ากันของผลลัพธ์ของการทดลอง ดังนั้นคำตอบจึงกลายเป็นว่า

- - ข) ; วี) ; ช) ; ง)

ลูกเต๋าจริงอาจแตกต่างจากลูกบาศก์ในอุดมคติ (แบบจำลอง) ดังนั้นเพื่ออธิบายพฤติกรรมของมันจึงจำเป็นต้องมีแบบจำลองที่แม่นยำและมีรายละเอียดมากขึ้นโดยคำนึงถึงข้อดีของด้านหนึ่งเหนืออีกด้านหนึ่งการมีแม่เหล็กที่เป็นไปได้ ฯลฯ แต่ “ปีศาจอยู่ในรายละเอียด” และความแม่นยำมากขึ้นมีแนวโน้มที่จะนำไปสู่ความซับซ้อนมากขึ้น และการได้รับคำตอบจะกลายเป็นปัญหา เราจำกัดตัวเองให้พิจารณาแบบจำลองความน่าจะเป็นที่ง่ายที่สุด โดยที่ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากัน

หมายเหตุ 1- ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง คำถามที่ถูกถาม: “ความน่าจะเป็นที่จะได้ทอยลูกเต๋าแบบสามต่อหนึ่งคืออะไร?” นักเรียนตอบว่า “ความน่าจะเป็นคือ 0.5” และเขาอธิบายคำตอบของเขา: “สามคนจะขึ้นมาหรือไม่ก็ตาม ซึ่งหมายความว่ามีผลลัพธ์ทั้งหมดสองรายการ และหนึ่งในนั้นคือเหตุการณ์ที่เราสนใจเกิดขึ้น เมื่อใช้แผนความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก เราได้คำตอบ 0.5” มีข้อผิดพลาดในการให้เหตุผลนี้หรือไม่? เมื่อมองแวบแรกไม่มี อย่างไรก็ตาม มันยังคงมีอยู่และเป็นพื้นฐาน ใช่ จริงๆ แล้ว สามคนจะเกิดขึ้นหรือไม่ก็ตาม กล่าวคือ ด้วยคำจำกัดความของผลลัพธ์ของการทอย N=2 เป็นความจริงเช่นกันที่ N(A) = 1 และแน่นอนว่าเป็นความจริงเช่นกัน

=0.5 นั่นคือ คำนึงถึงสามจุดของโครงการความน่าจะเป็น แต่การดำเนินการตามจุดที่ 2) มีข้อสงสัย แน่นอน จากมุมมองทางกฎหมายล้วนๆ เรามีสิทธิ์ที่จะเชื่อว่าการทอยสามก็มีแนวโน้มที่จะไม่ล้มพอๆ กัน แต่เราจะคิดเช่นนั้นโดยไม่ละเมิดสมมติฐานตามธรรมชาติของเราเองเกี่ยวกับ "ความเหมือนกัน" ของขอบได้หรือไม่ ไม่แน่นอน! ที่นี่เรากำลังจัดการกับการใช้เหตุผลที่ถูกต้องภายในโมเดลที่แน่นอน มีเพียงโมเดลนี้เท่านั้นที่ “ผิด” ไม่สอดคล้องกับปรากฏการณ์จริง

หมายเหตุ 2- เมื่อพูดถึงความน่าจะเป็น อย่ามองข้ามสถานการณ์สำคัญต่อไปนี้ ถ้าเราบอกว่าตอนโยนลูกเต๋าความน่าจะเป็นที่จะได้หนึ่งแต้มก็คือ

นี่ไม่ได้หมายความว่าการทอยลูกเต๋า 6 ครั้งคุณจะได้หนึ่งแต้มอย่างแน่นอน โยนลูกเต๋า 12 ครั้งคุณจะได้หนึ่งแต้มสองเท่าอย่างแน่นอน การโยนลูกเต๋า 18 ครั้งคุณจะได้หนึ่งแต้มพอดีสามแต้ม ครั้ง ฯลฯ คำนี้น่าจะเป็นการเก็งกำไร เราถือว่าสิ่งที่น่าจะเกิดขึ้นมากที่สุด บางทีถ้าเราทอยลูกเต๋า 600 ครั้ง แต้มหนึ่งก็จะขึ้นมา 100 เท่า หรือประมาณ 100 แต้ม

มาดูคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นโดยใช้สูตรและตัวอย่าง

เหตุการณ์สุ่มเรียกว่า เข้ากันไม่ได้หากไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ตัวอย่างเช่นเมื่อเราโยนเหรียญสิ่งหนึ่งจะเกิดขึ้น - "แขนเสื้อ" หรือตัวเลข" และไม่สามารถปรากฏพร้อมกันได้เนื่องจากมีเหตุผลที่เป็นไปไม่ได้ เหตุการณ์ต่างๆ เช่น การชนและการพลาดหลังจากการยิงเข้ากันอาจเข้ากันไม่ได้

เหตุการณ์สุ่มในรูปแบบเซตจำกัด เต็มกลุ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่ หากในระหว่างการทดลองแต่ละครั้งมีเหตุการณ์หนึ่งและมีเหตุการณ์เหล่านี้เพียงเหตุการณ์เดียวเท่านั้นที่ปรากฏ - เหตุการณ์ที่เป็นไปได้เท่านั้น

ลองดูตัวอย่างเดียวกันของการโยนเหรียญ:

เหรียญที่หนึ่ง เหตุการณ์เหรียญที่สอง

1) “ตราแผ่นดิน” “ตราแผ่นดิน”

2) “ตราอาร์ม” “หมายเลข”

3) “หมายเลข” “ตราแผ่นดิน”

4) “หมายเลข” “หมายเลข”

หรือเรียกโดยย่อว่า “GG”, - “GC”, - “CHG”, - “CHCH”

เหตุการณ์ที่เรียกว่า เป็นไปได้เท่าเทียมกันหากเงื่อนไขการวิจัยเปิดโอกาสให้แต่ละรายการปรากฏเท่ากัน

ดังที่คุณเข้าใจเมื่อคุณโยนเหรียญที่สมมาตร มันก็มีความเป็นไปได้เหมือนกัน และมีโอกาสที่ทั้ง "แขนเสื้อ" และ "หมายเลข" จะปรากฏขึ้น เช่นเดียวกับการทอยลูกเต๋าแบบสมมาตร เนื่องจากมีความเป็นไปได้ที่หน้าที่มีหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6 อาจปรากฏขึ้น

สมมติว่าตอนนี้เราโยนลูกบาศก์โดยเปลี่ยนจุดศูนย์ถ่วง เช่น ไปทางด้านที่มีเลข 1 จากนั้นส่วนใหญ่แล้วด้านตรงข้ามจะหลุดออกไป นั่นคือด้านที่มีตัวเลขต่างกัน ดังนั้นในแบบจำลองนี้ ความเป็นไปได้ที่จะเกิดตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 แต่ละตัวจะแตกต่างกัน

เหตุการณ์สุ่มที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันและเป็นไปได้อย่างมีเอกลักษณ์เรียกว่ากรณีต่างๆ

มีเหตุการณ์สุ่มที่เป็นกรณีและมีเหตุการณ์สุ่มที่ไม่ใช่กรณี ด้านล่างนี้เราจะดูเหตุการณ์เหล่านี้โดยใช้ตัวอย่าง

กรณีเหล่านั้นอันเป็นผลมาจากเหตุการณ์สุ่มเกิดขึ้นเรียกว่ากรณีที่เป็นประโยชน์สำหรับเหตุการณ์นั้น

หากเราแสดงโดย ซึ่งมีอิทธิพลต่อเหตุการณ์ในทุกกรณีที่เป็นไปได้ และโดย - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม เราสามารถเขียนคำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็นได้:

คำนิยาม

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คืออัตราส่วนของจำนวนคดีที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์นี้ต่อจำนวนรวมของคดีที่เป็นไปได้ทั้งหมด นั่นคือ:

คุณสมบัติของความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นแบบดั้งเดิมได้รับการพิจารณาแล้ว และตอนนี้เรามาดูคุณสมบัติพื้นฐานและสำคัญของความน่าจะเป็นกัน

คุณสมบัติ 1.ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้มีค่าเท่ากับหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น หากลูกบอลทั้งหมดในถังเป็นสีขาว เหตุการณ์ การเลือกลูกบอลสีขาวแบบสุ่มจะได้รับผลกระทบจากกรณีต่างๆ

คุณสมบัติ 2.ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์

คุณสมบัติ 3.ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มเป็นจำนวนบวก:

ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ จะเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน:

ตอนนี้เรามาแก้ตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่างโดยใช้คำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็น

ตัวอย่างคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น

ตัวอย่างที่ 1

งาน

ในตะกร้ามีลูกบอล 20 ลูก โดยเป็นสีขาว 10 ลูก สีแดง 7 ลูก และสีดำ 3 ลูก สุ่มเลือกลูกบอลหนึ่งลูก เลือกลูกบอลสีขาว (เหตุการณ์) ลูกบอลสีแดง (เหตุการณ์) และลูกบอลสีดำ (เหตุการณ์) ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม

สารละลาย

ตามเงื่อนไขของปัญหา พวกเขามีส่วนช่วย และจากกรณีที่เป็นไปได้ ดังนั้นตามสูตร (1):

– ความน่าจะเป็นของลูกบอลสีขาว

ในทำนองเดียวกันสำหรับสีแดง:

และสำหรับสีดำ: .

คำตอบ

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม , , .

ตัวอย่างที่ 2

งาน

กล่องหนึ่งประกอบด้วยหลอดไฟฟ้าที่เหมือนกัน 25 หลอด ซึ่งหลอดชำรุด 2 หลอด ค้นหาความน่าจะเป็นที่หลอดไฟฟ้าที่เลือกแบบสุ่มไม่มีข้อบกพร่อง

สารละลาย

ตามเงื่อนไขของปัญหา หลอดไฟทั้งหมดจะเหมือนกันและเลือกเพียงหลอดเดียวเท่านั้น ความเป็นไปได้ทั้งหมดให้เลือก ในบรรดาหลอดไฟทั้งหมด 25 ดวง มี 2 ดวงที่ชำรุด ซึ่งหมายความว่าหลอดไฟที่เหลือมีความเหมาะสม ดังนั้นตามสูตร (1) ความน่าจะเป็นในการเลือกหลอดไฟฟ้าที่เหมาะสม (เหตุการณ์ ) จึงเท่ากับ:

คำตอบ

ความน่าจะเป็นที่หลอดไฟฟ้าที่เลือกแบบสุ่มไม่ชำรุด =

ตัวอย่างที่ 3

งาน

มีการโยนเหรียญสองเหรียญแบบสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าว:

1) – เสื้อคลุมแขนตกลงบนเหรียญทั้งสอง;

2) – เสื้อคลุมแขนหล่นลงบนเหรียญใบหนึ่ง และเหรียญที่สองมีตัวเลข;

3) – ตัวเลขตกลงบนทั้งสองเหรียญ;

4) – เสื้อคลุมแขนปรากฏขึ้นอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

สารละลาย

ที่นี่เรากำลังเผชิญกับสี่เหตุการณ์ ให้เราพิจารณาว่ากรณีใดบ้างที่ส่งผลต่อแต่ละกรณี เหตุการณ์หนึ่งที่ก่อให้เกิดเหตุการณ์นี้คือเมื่อตราอาร์ม (ตัวย่อ "GG") ปรากฏบนเหรียญทั้งสอง

เพื่อให้เข้าใจเหตุการณ์นี้ ลองจินตนาการว่าเหรียญหนึ่งเป็นเงิน และเหรียญที่สองเป็นทองแดง เมื่อโยนเหรียญอาจมีกรณี:

1) บนเสื้อคลุมแขนสีเงินบนแขนเสื้อทองแดง - ตัวเลข (เราแสดงว่าเป็น "GC");

2) บนหมายเลขเงินบนทองแดง - แขนเสื้อ (- "CHG")

ซึ่งหมายความว่าเหตุการณ์ได้รับการอำนวยความสะดวกตามกรณีและ.

เหตุการณ์นี้มีเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น: ตัวเลขบนเหรียญทั้งสองคือ “HH”

ดังนั้นเหตุการณ์หรือ (GG, HC, CG, HC) จึงรวมกลุ่มของเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ เหตุการณ์ทั้งหมดเหล่านี้เข้ากันไม่ได้ เนื่องจากมีเพียงหนึ่งเหตุการณ์เท่านั้นที่เกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากการทอย นอกจากนี้ สำหรับเหรียญสมมาตร ทั้งสี่เหตุการณ์มีความเป็นไปได้เท่ากัน ดังนั้นจึงถือเป็นกรณีๆ ไป มีเหตุการณ์ที่เป็นไปได้สี่เหตุการณ์

มีเหตุการณ์เดียวเท่านั้นที่มีส่วนร่วมในเหตุการณ์นี้ ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ:

งานนี้ได้รับการส่งเสริมในสองกรณีดังนั้น:

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเหมือนกับสำหรับ:

กิจกรรมได้รับการส่งเสริมโดยสามกรณี: GG, GC, CG และดังนั้น:

เนื่องจากพิจารณาเหตุการณ์ GG, GC, CG, BC ซึ่งเป็นไปได้เท่าเทียมกันและสร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ ดังนั้นการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจึงเป็นเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ (เราแสดงด้วยตัวอักษรซึ่งสนับสนุนโดยทั้ง 4 กรณีต่างๆ ดังนั้นความน่าจะเป็น:

ซึ่งหมายความว่าคุณสมบัติแรกของความน่าจะเป็นได้รับการยืนยันแล้ว

คำตอบ

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ตัวอย่างที่ 4

งาน

จะมีการโยนลูกเต๋าสองลูกที่มีรูปทรงเรขาคณิตเหมือนกันและสม่ำเสมอ ค้นหาความน่าจะเป็นของผลบวกที่เป็นไปได้ทั้งสองข้างที่ปรากฏ

สารละลาย

เพื่อให้แก้ปัญหาได้สะดวกยิ่งขึ้น ลองจินตนาการว่าลูกบาศก์หนึ่งเป็นสีขาวและอีกลูกบาศก์หนึ่งเป็นสีดำ ลูกเต๋าสีขาวทั้งหกด้านแต่ละด้านสามารถมีหนึ่งในหกด้านของลูกเต๋าสีดำได้ ดังนั้นคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเป็น

เนื่องจากความเป็นไปได้ของการปรากฏตัวของใบหน้าบนลูกบาศก์ที่แยกจากกันนั้นเหมือนกัน (ลูกบาศก์นั้นมีรูปทรงเรขาคณิตที่ถูกต้อง!) ดังนั้นความเป็นไปได้ของการปรากฏตัวของใบหน้าแต่ละคู่จะเหมือนกันและเป็นผลมาจากการโยน ปรากฏเพียงคู่เดียวเท่านั้น ความหมายของเหตุการณ์ไม่เข้ากันและเป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน เหล่านี้เป็นกรณีและมี 36 กรณีที่เป็นไปได้

ทีนี้ลองพิจารณาความเป็นไปได้ของค่ารวมบนใบหน้า แน่นอนว่าผลรวมที่น้อยที่สุดคือ 1 + 1 = 2 และผลรวมที่ใหญ่ที่สุดคือ 6 + 6 = 12 ส่วนที่เหลือของผลรวมจะเพิ่มขึ้นทีละหนึ่งโดยเริ่มจากวินาที ให้เราแสดงเหตุการณ์ที่มีดัชนีเท่ากับผลรวมของจุดที่ตกลงบนใบหน้าของลูกบาศก์ สำหรับแต่ละเหตุการณ์เหล่านี้ เราจะเขียนกรณีที่เป็นประโยชน์โดยใช้สัญลักษณ์ โดยที่ผลรวมคือจุดที่ขอบด้านบนของลูกบาศก์สีขาว และคือจุดที่ขอบของลูกบาศก์สีดำ

ดังนั้นสำหรับกิจกรรมนี้:

สำหรับ – หนึ่งกรณี (1 + 1);

สำหรับ – สองกรณี (1 + 2; 2 + 1);

สำหรับ – สามกรณี (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

สำหรับ – สี่กรณี (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

สำหรับ – ห้ากรณี (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

สำหรับ – หกกรณี (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

สำหรับ – ห้ากรณี (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

สำหรับ – สี่กรณี (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

สำหรับ – สามกรณี (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

สำหรับ – สองกรณี (5 + 6; 6 + 5);

สำหรับ – หนึ่งกรณี (6 + 6)

ดังนั้นค่าความน่าจะเป็นคือ:

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 5

งาน

ก่อนเริ่มเทศกาล มีการขอให้ผู้เข้าร่วมสามคนจับฉลาก โดยผู้เข้าร่วมแต่ละคนจะเข้าใกล้ถังและสุ่มเลือกไพ่หนึ่งในสามใบที่มีหมายเลข 1, 2 และ 3 ซึ่งหมายถึงหมายเลขซีเรียลของการแสดงของผู้เข้าร่วมรายนี้

ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าว:

1) – หมายเลขซีเรียลในคิวตรงกับหมายเลขการ์ด นั่นคือ หมายเลขซีเรียลของประสิทธิภาพ

2) – ไม่มีหมายเลขเดียวในคิวที่ตรงกับหมายเลขประสิทธิภาพ

3) – มีเพียงตัวเลขเดียวในคิวที่ตรงกับหมายเลขประสิทธิภาพ

4) – อย่างน้อยหนึ่งตัวเลขในคิวตรงกับหมายเลขประสิทธิภาพ

สารละลาย

ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการเลือกไพ่คือการเรียงสับเปลี่ยนของสามองค์ประกอบ จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนดังกล่าวจะเท่ากับ การเรียงสับเปลี่ยนแต่ละครั้งเป็นเหตุการณ์ ให้เราแสดงเหตุการณ์เหล่านี้โดย เรากำหนดให้แต่ละเหตุการณ์มีการเรียงสับเปลี่ยนที่สอดคล้องกันในวงเล็บ:

; ; ; ; ; .

เหตุการณ์ที่ระบุไว้มีความเป็นไปได้เท่าเทียมกันและเป็นไปได้โดยเฉพาะ นั่นคือเป็นกรณีต่างๆ ให้เราแสดงดังนี้: (1 ชม. 2 ชม. 3 ชม.) – ตัวเลขที่สอดคล้องกันในคิว

เริ่มกันที่งานเลย จึงมีกรณีดีเพียงกรณีเดียวคือ

มี 2 ​​กรณีที่เป็นประโยชน์ต่องานนี้ ดังนั้น:

กิจกรรมได้รับการส่งเสริม 3 กรณี: , ดังนั้น:

นอกจากนี้ ภายในงานยังอำนวยความสะดวกโดย ได้แก่

คำตอบ

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ – ​​.

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ – ​​.

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ – อัปเดต: 15 กันยายน 2017 โดย: บทความทางวิทยาศาสตร์.Ru

ปัญหาในการกำหนดความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก
ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ในบทที่สาม เราจะดูปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้คำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็นโดยตรง เพื่อศึกษาเนื้อหาในบทความนี้อย่างมีประสิทธิภาพ ฉันขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับแนวคิดพื้นฐาน ทฤษฎีความน่าจะเป็นและ พื้นฐานของการรวมกัน- งานในการพิจารณาความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกโดยมีความน่าจะเป็นที่มีแนวโน้มว่าจะมีอยู่ในงานอิสระ/การควบคุมบนเทอร์เวอร์ ดังนั้นเรามาเตรียมตัวให้พร้อมสำหรับงานจริงจังกันดีกว่า คุณอาจถามว่ามีอะไรร้ายแรงเกี่ยวกับเรื่องนี้? ...เพียงสูตรดั้งเดิมสูตรเดียว ฉันเตือนคุณถึงเรื่องเหลาะแหละ - งานเฉพาะเรื่องนั้นค่อนข้างหลากหลายและหลายงานอาจทำให้คุณสับสนได้ง่าย ในเรื่องนี้นอกจากการทำงานผ่านบทเรียนหลักแล้วยังพยายามศึกษางานเพิ่มเติมในหัวข้อที่อยู่ในกระปุกออมสิน โซลูชั่นสำเร็จรูปสำหรับคณิตศาสตร์ขั้นสูง- เทคนิคการแก้ปัญหาคือเทคนิคการแก้ปัญหา แต่ "เพื่อน" ยังคง "ต้องเป็นที่รู้จักด้วยสายตา" เพราะแม้แต่จินตนาการอันมากมายก็มีจำกัดและยังมีงานมาตรฐานที่เพียงพออีกด้วย ฉันจะพยายามแยกแยะให้ได้คุณภาพดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

จำคลาสสิกของประเภท:

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดสอบบางอย่างจะเท่ากับอัตราส่วน โดยที่:

– จำนวนทั้งหมด เป็นไปได้เท่าเทียมกัน, ระดับประถมศึกษาผลลัพธ์ของการทดสอบนี้ในรูปแบบใด เหตุการณ์เต็มกลุ่ม;

- ปริมาณ ระดับประถมศึกษาผลลัพธ์อันเป็นผลดีต่อการจัดงาน

และหยุดรถทันที คุณเข้าใจเงื่อนไขที่ขีดเส้นใต้หรือไม่? นี่หมายถึงความเข้าใจที่ชัดเจน ไม่ใช่สัญชาตญาณ ถ้าไม่อย่างนั้น ก็ยังดีกว่าถ้ากลับมาอ่านบทความที่ 1 อีกครั้ง ทฤษฎีความน่าจะเป็นและหลังจากนั้นก็เดินหน้าต่อไปเท่านั้น

โปรดอย่าข้ามตัวอย่างแรก - ฉันจะทำซ้ำประเด็นสำคัญขั้นพื้นฐานในนั้นและบอกวิธีจัดรูปแบบโซลูชันให้ถูกต้องและสามารถทำได้ด้วยวิธีใด:

ปัญหาที่ 1

โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 15 ลูก สีแดง 5 ลูก และสีดำ 10 ลูก สุ่มหยิบลูกบอล 1 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็น: a) สีขาว b) สีแดง c) สีดำ

สารละลาย: ข้อกำหนดเบื้องต้นที่สำคัญที่สุดสำหรับการใช้คำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็นคือ ความสามารถในการนับจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด.

ในโกศมีลูกบอลทั้งหมด 15 + 5 + 10 = 30 ลูก และเห็นได้ชัดว่าข้อเท็จจริงต่อไปนี้เป็นจริง:

– การรับลูกบอลใด ๆ ก็เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน (โอกาสที่เท่าเทียมกันผลลัพธ์)ในขณะที่ผลลัพธ์ ระดับประถมศึกษา และรูปแบบ เหตุการณ์เต็มกลุ่ม (เช่นผลการทดสอบลูกหนึ่งใน 30 ลูกจะถูกลบออกอย่างแน่นอน).

ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:

พิจารณาเหตุการณ์: – ลูกบอลสีขาวจะถูกดึงออกมาจากโกศ งานนี้ได้รับความโปรดปราน ระดับประถมศึกษาผลลัพธ์ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
– ความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกบอลสีขาวออกมาจากโกศ

น่าแปลกที่แม้ในงานง่ายๆ เช่นนี้ เราก็สามารถสร้างความไม่ถูกต้องร้ายแรงได้ ซึ่งฉันได้เน้นไปแล้วในบทความแรกเกี่ยวกับ ทฤษฎีความน่าจะเป็น- หลุมพรางอยู่ที่นี่อยู่ที่ไหน? มันไม่ถูกต้องที่จะโต้แย้งที่นี่ “เนื่องจากครึ่งหนึ่งของลูกบอลเป็นสีขาว ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาว» - คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นหมายถึง ประถมศึกษาผลลัพธ์และเศษส่วนต้องถูกเขียนลงไป!

สำหรับประเด็นอื่นๆ ให้พิจารณาเหตุการณ์ต่อไปนี้ในทำนองเดียวกัน:

– ลูกบอลสีแดงจะถูกดึงออกมาจากโกศ
– ลูกบอลสีดำจะถูกดึงออกมาจากโกศ

เหตุการณ์ได้รับผลสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น 5 ประการ และเหตุการณ์หนึ่งได้รับผลสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น 10 ประการ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันคือ:

การตรวจสอบงานเซิร์ฟเวอร์หลายอย่างโดยทั่วไปนั้นดำเนินการโดยใช้ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ก่อให้เกิดกลุ่มที่สมบูรณ์- ในกรณีของเรา เหตุการณ์ต่างๆ จะรวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าผลรวมของความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องจะต้องเท่ากับ 1:

มาตรวจสอบว่าสิ่งนี้เป็นจริงหรือไม่: นั่นคือสิ่งที่ฉันต้องการให้แน่ใจ

คำตอบ:

โดยหลักการแล้ว สามารถเขียนคำตอบได้อย่างละเอียดมากขึ้น แต่โดยส่วนตัวแล้ว ผมเคยชินกับการใส่แต่ตัวเลขลงไป เพราะเมื่อคุณเริ่ม "ตอกย้ำ" ปัญหาเป็นร้อยเป็นพัน คุณจึงพยายามลดการเขียน วิธีแก้ปัญหาให้ได้มากที่สุด อย่างไรก็ตามเกี่ยวกับความกะทัดรัด: ในทางปฏิบัติตัวเลือกการออกแบบ "ความเร็วสูง" เป็นเรื่องปกติ โซลูชั่น:

รวม: 15 + 5 + 10 = 30 ลูกในโกศ ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
– ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีขาวออกมาจากโกศ
– ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีแดงออกจากโกศ
– ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีดำออกมาจากโกศ

คำตอบ:

อย่างไรก็ตาม หากเงื่อนไขมีหลายจุด ก็มักจะสะดวกกว่าในการกำหนดวิธีแก้ปัญหาด้วยวิธีแรกซึ่งใช้เวลานานกว่าเล็กน้อย แต่ในขณะเดียวกันก็ "วางทุกอย่างไว้บนชั้นวาง" และทำให้ง่ายขึ้น เพื่อนำทางปัญหา

มาอุ่นเครื่องกันเถอะ:

ปัญหาที่ 2

ร้านค้าได้รับตู้เย็นจำนวน 30 ตู้ โดย 5 ตู้มีข้อบกพร่องจากการผลิต ตู้เย็นหนึ่งใบจะถูกสุ่มเลือก ความน่าจะเป็นที่จะไม่มีข้อบกพร่องเป็นเท่าใด?

เลือกตัวเลือกการออกแบบที่เหมาะสมและตรวจสอบตัวอย่างที่ด้านล่างของหน้า

ในตัวอย่างที่ง่ายที่สุด จำนวนทั่วไปและจำนวนผลลัพธ์ที่ดีนั้นอยู่เพียงผิวเผิน แต่ในกรณีส่วนใหญ่คุณต้องขุดมันฝรั่งด้วยตัวเอง ชุดปัญหาที่เป็นที่ยอมรับเกี่ยวกับสมาชิกที่ถูกลืม:

ปัญหา 3

เมื่อกดหมายเลขโทรศัพท์ผู้สมัครสมาชิกลืมตัวเลขสองตัวสุดท้าย แต่จำไว้ว่าหนึ่งในนั้นคือศูนย์และอีกอันเป็นเลขคี่ ค้นหาความน่าจะเป็นที่เขาจะกดหมายเลขที่ถูกต้อง

บันทึก : 0 เป็นเลขคู่ (หารด้วย 2 โดยไม่มีเศษ)

สารละลาย: ก่อนอื่นเราจะหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด ตามเงื่อนไข ผู้สมัครสมาชิกจำได้ว่าตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์และอีกหลักหนึ่งเป็นเลขคี่ ต่อไปนี้จะมีเหตุผลมากกว่าที่จะไม่ยุ่งยากกับการผสมผสานและการใช้งาน วิธีการแสดงรายการผลลัพธ์โดยตรง - นั่นคือเมื่อทำการแก้ปัญหา เราเพียงเขียนชุดค่าผสมทั้งหมด:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

และเรานับผลลัพธ์ทั้งหมด: 10 ผลลัพธ์

ผลลัพธ์ที่ดีมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นคือตัวเลขที่ถูกต้อง

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
– ความน่าจะเป็นที่สมาชิกจะกดหมายเลขที่ถูกต้อง

คำตอบ: 0,1

เศษส่วนทศนิยมดูค่อนข้างเหมาะสมในทฤษฎีความน่าจะเป็น แต่คุณยังสามารถยึดถือสไตล์วิชมาตอฟแบบดั้งเดิมได้ ซึ่งจะใช้เฉพาะกับเศษส่วนธรรมดาเท่านั้น

งานขั้นสูงสำหรับโซลูชันอิสระ:

ปัญหาที่ 4

ผู้ใช้บริการลืมรหัส PIN สำหรับซิมการ์ดของเขา แต่จำไว้ว่ารหัสนั้นมี "ห้า" สามตัว และหนึ่งในตัวเลขนั้นอาจเป็น "เจ็ด" หรือ "แปด" ความน่าจะเป็นที่จะอนุมัติสำเร็จในการลองครั้งแรกเป็นเท่าใด

ที่นี่คุณยังสามารถพัฒนาแนวคิดเกี่ยวกับความเป็นไปได้ที่สมาชิกจะถูกลงโทษในรูปแบบของรหัส puk แต่น่าเสียดายที่การให้เหตุผลจะอยู่นอกเหนือขอบเขตของบทเรียนนี้

วิธีแก้ไขและคำตอบอยู่ด้านล่าง

บางครั้งการรวมรายการเข้าด้วยกันกลายเป็นงานที่ต้องใช้ความอุตสาหะมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งนี่เป็นกรณีถัดไปซึ่งไม่ใช่กลุ่มปัญหาที่ได้รับความนิยมน้อยกว่าที่มีการทอยลูกเต๋า 2 ลูก (น้อยกว่า - ปริมาณมากขึ้น):

ปัญหาที่ 5

จงหาความน่าจะเป็นที่เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูก จำนวนรวมจะเป็นดังนี้:

ก) ห้าคะแนน;
b) ไม่เกินสี่คะแนน
c) รวม 3 ถึง 9 คะแนน

สารละลาย: ค้นหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:

วิธีที่ด้านข้างของลูกเต๋าลูกที่ 1 สามารถหลุดออกมาได้ และด้วยวิธีต่างๆ ด้านข้างของลูกบาศก์ที่ 2 อาจหลุดออกมาได้ โดย กฎสำหรับการคูณชุดค่าผสม, ทั้งหมด: การรวมกันที่เป็นไปได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละหน้าลูกบาศก์ที่ 1 ก็ได้ สั่งคู่ กับแต่ละคนขอบของลูกบาศก์ที่ 2 ให้เราตกลงกันว่าจะเขียนคู่ดังกล่าวให้อยู่ในรูป โดยที่ คือ เลขที่ปรากฏบนลูกเต๋าตัวที่ 1 และ คือ ตัวเลขที่ปรากฏบนลูกเต๋าตัวที่ 2 ตัวอย่างเช่น:

– ลูกเต๋าลูกแรกได้ 3 แต้ม ลูกเต๋าลูกที่สองได้ 5 แต้ม รวมแต้ม 3 + 5 = 8;
– ลูกเต๋าลูกแรกได้ 6 แต้ม ลูกเต๋าลูกที่สองได้ 1 แต้ม รวมแต้ม 6 + 1 = 7;
– 2 แต้มบนลูกเต๋าทั้งสองลูก ผลรวม: 2 + 2 = 4

แน่นอนว่าจำนวนเงินที่น้อยที่สุดจะได้รับจากคู่หนึ่ง และจำนวนที่ใหญ่ที่สุดคือ "หก" สองอัน

ก) พิจารณาเหตุการณ์: – เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูก 5 แต้มจะปรากฏขึ้น มาเขียนและนับจำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนเหตุการณ์นี้:

ทั้งหมด: 4 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
– ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

b) พิจารณาเหตุการณ์: – จะมีการทอยคะแนนไม่เกิน 4 แต้ม นั่นคือ 2 หรือ 3 หรือ 4 คะแนน เราแสดงรายการและนับชุดค่าผสมที่ดีอีกครั้งฉันจะเขียนจำนวนคะแนนทั้งหมดทางด้านซ้ายและหลังเครื่องหมายทวิภาค - คู่ที่เหมาะสม:

ทั้งหมด: 6 ชุดค่าผสมที่ดี ดังนั้น:
– ความน่าจะเป็นที่จะทอยได้ไม่เกิน 4 แต้ม

c) พิจารณาเหตุการณ์: – จะมีการทอยคะแนน 3 ถึง 9 แต้ม ที่นี่คุณสามารถใช้ถนนตรงได้ แต่... ด้วยเหตุผลบางอย่างที่คุณไม่ต้องการ ใช่ มีบางคู่ระบุไว้แล้วในย่อหน้าก่อนๆ แต่ยังมีงานอีกมากที่ต้องทำ

วิธีที่ดีที่สุดในการดำเนินการคืออะไร? ในกรณีเช่นนี้ เส้นทางวงเวียนจะกลายเป็นเหตุผล ลองพิจารณาดู เหตุการณ์ตรงกันข้าม: – 2 หรือ 10 หรือ 11 หรือ 12 คะแนนจะถูกทอย

ประเด็นคืออะไร? เหตุการณ์ตรงกันข้ามได้รับการสนับสนุนจากคู่รักจำนวนน้อยกว่ามาก:

ทั้งหมด: 7 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
– ความน่าจะเป็นที่คุณจะหมุนน้อยกว่าสามแต้มหรือมากกว่า 9 แต้ม

นอกจากการลงรายการและการนับผลลัพธ์โดยตรงต่างๆ แล้ว สูตรผสม- และปัญหาใหญ่อีกครั้งเกี่ยวกับลิฟต์:

ปัญหาที่ 7

มีคน 3 คนเข้าไปในลิฟต์ของอาคาร 20 ชั้นที่ชั้น 1 และไปกันเถอะ ค้นหาความน่าจะเป็นที่:

ก) พวกเขาจะออกบนชั้นต่างๆ
b) สองคนจะออกจากชั้นเดียวกัน
c) ทุกคนจะลงที่ชั้นเดียวกัน

บทเรียนอันน่าตื่นเต้นของเราสิ้นสุดลงแล้ว และในที่สุด ฉันขอแนะนำอีกครั้งว่าหากไม่แก้ไข อย่างน้อยก็ค่อย ๆ เข้าใจ ปัญหาเพิ่มเติมเกี่ยวกับการกำหนดความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก- อย่างที่ฉันบอกไปแล้วว่า “การเสริมด้วยมือ” ก็มีความสำคัญเช่นกัน!

ต่อไปตลอดหลักสูตร - นิยามทางเรขาคณิตของความน่าจะเป็นและ ทฤษฎีบทการบวกและคูณความน่าจะเป็นและ... โชคลาภเป็นหลัก!

โซลูชั่นและคำตอบ:

ภารกิจที่ 2: สารละลาย: 30 – 5 = 25 ตู้เย็นไม่มีตำหนิ

– ความน่าจะเป็นที่ตู้เย็นที่เลือกแบบสุ่มไม่มีข้อบกพร่อง
คำตอบ :

ภารกิจที่ 4: สารละลาย: ค้นหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
วิธีที่คุณสามารถเลือกสถานที่ที่มีหมายเลขที่น่าสงสัยอยู่ และทุกๆจาก 4 ตำแหน่งนี้สามารถระบุได้ 2 หลัก (เจ็ดหรือแปด) ตามกฎของการคูณชุดค่าผสม จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด: .
อีกวิธีหนึ่ง วิธีแก้ปัญหาสามารถแสดงรายการผลลัพธ์ทั้งหมดได้ (โชคดีที่มีเพียงไม่กี่ผลลัพธ์):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
ผลลัพธ์ที่ดีมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น (รหัสพินที่ถูกต้อง)
ดังนั้น ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
– ความน่าจะเป็นที่สมาชิกเข้าสู่ระบบในครั้งแรก
คำตอบ :

ภารกิจที่ 6: สารละลาย: ค้นหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
ตัวเลขบนลูกเต๋า 2 ลูกสามารถปรากฏได้หลายวิธี

ก) พิจารณาเหตุการณ์: – เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูกผลคูณของแต้มจะเท่ากับเจ็ด ไม่มีผลลัพธ์ที่น่าพอใจสำหรับเหตุการณ์หนึ่งๆ ตามคำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็น:
, เช่น. เหตุการณ์นี้เป็นไปไม่ได้

b) พิจารณาเหตุการณ์: – เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูกผลคูณของแต้มจะต้องมีอย่างน้อย 20 ผลลัพธ์ต่อไปนี้เป็นผลดีต่อเหตุการณ์นี้:

รวมทั้งหมด: 8
ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
– ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

c) พิจารณาเหตุการณ์ตรงกันข้าม:
– ผลคูณของแต้มจะเท่ากัน
– ผลคูณของแต้มจะเป็นคี่
เรามาแสดงรายการผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นผลดีต่องานนี้:

ทั้งหมด: 9 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ
ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:
เหตุการณ์ตรงกันข้ามจะรวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ ดังนั้น:
– ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

คำตอบ :

ปัญหาที่ 8: สารละลาย: ลองคำนวณจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด: 10 เหรียญสามารถตกได้หลายวิธี
อีกวิธีหนึ่ง: วิธีที่เหรียญ 1 ล้มได้ และวิธีที่เหรียญที่ 2 จะล้มได้ และ … และวิธีที่เหรียญ 10 ล้มได้ ตามกฎของการคูณการผสม 10 เหรียญสามารถล้มได้ วิธี
ก) พิจารณาเหตุการณ์: – หัวจะปรากฏบนเหรียญทั้งหมด เหตุการณ์นี้สนับสนุนโดยผลลัพธ์เดียว ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:
b) พิจารณาเหตุการณ์: – เหรียญ 9 เหรียญจะลงหัว และหนึ่งเหรียญจะลงก้อย
มีเหรียญที่สามารถหยอดหัวได้ ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น: .
c) พิจารณาเหตุการณ์: – หัวจะปรากฏบนเหรียญครึ่งหนึ่ง
มีอยู่ การผสมผสานที่เป็นเอกลักษณ์ของเหรียญห้าเหรียญที่สามารถลงหัวได้ ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:
คำตอบ :