บทเรียนนี้ครอบคลุมแนวคิดเรื่องเศษส่วนพีชคณิต ผู้คนต้องเผชิญกับเศษส่วนในสถานการณ์ชีวิตที่เรียบง่ายที่สุด เมื่อจำเป็นต้องแบ่งวัตถุออกเป็นหลายส่วน เช่น ตัดเค้กออกเป็นสิบคนเท่าๆ กัน แน่นอนว่าทุกคนจะได้รับเค้กชิ้นหนึ่ง ในกรณีนี้ เรากำลังเผชิญกับแนวคิดเรื่องเศษส่วนตัวเลข แต่สถานการณ์ก็เป็นไปได้เมื่อวัตถุถูกแบ่งออกเป็นส่วนที่ไม่ทราบจำนวน เช่น ด้วย x ในกรณีนี้ แนวคิดเรื่องนิพจน์เศษส่วนเกิดขึ้น คุณคุ้นเคยกับนิพจน์ทั้งหมดแล้ว (ไม่มีการแบ่งออกเป็นนิพจน์พร้อมตัวแปร) และคุณสมบัติของนิพจน์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ต่อไปเราจะดูแนวคิดเรื่องเศษส่วนตรรกยะรวมถึงค่าตัวแปรที่ยอมรับได้
นิพจน์เหตุผลแบ่งออกเป็น นิพจน์จำนวนเต็มและเศษส่วน.
คำนิยาม.เศษส่วนที่เป็นตรรกยะคือนิพจน์เศษส่วนของรูปแบบ โดยที่ พหุนาม - ตัวเศษ, - ตัวส่วน.
ตัวอย่างการแสดงออกที่มีเหตุผล:
- นิพจน์เศษส่วน - สำนวนทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์แรก ตัวเศษคือ และตัวส่วนคือ
ความหมาย เศษส่วนพีชคณิตเหมือนใครๆ การแสดงออกทางพีชคณิตขึ้นอยู่กับค่าตัวเลขของตัวแปรที่รวมอยู่ด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่งในตัวอย่างแรก ค่าของเศษส่วนขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปร และ และในตัวอย่างที่สองขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรเท่านั้น
พิจารณางานทั่วไปประการแรก: การคำนวณค่า เศษส่วนตรรกยะสำหรับค่าต่าง ๆ ของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น
ตัวอย่างที่ 1คำนวณค่าของเศษส่วนสำหรับ a) , b) , c)
สารละลาย.เรามาแทนที่ค่าของตัวแปรเป็นเศษส่วนที่ระบุ: ก) , ข) , ค) - ไม่มีอยู่ (เนื่องจากคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้)
คำตอบ:ก) 3; ข) 1; ค) ไม่มีอยู่จริง
อย่างที่คุณเห็น มีปัญหาทั่วไปสองประการเกิดขึ้นสำหรับเศษส่วนใดๆ: 1) การคำนวณเศษส่วน 2) การค้นหา ค่าที่ถูกต้องและไม่ถูกต้องตัวแปรตัวอักษร
คำนิยาม.ค่าตัวแปรที่ถูกต้อง- ค่าของตัวแปรที่นิพจน์สมเหตุสมผล เรียกว่าชุดของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปร โอดีซหรือ ขอบเขตของคำจำกัดความ.
ค่าของตัวแปรตามตัวอักษรอาจไม่ถูกต้องหากตัวส่วนของเศษส่วนที่ค่าเหล่านี้เป็นศูนย์ ในกรณีอื่นๆ ทั้งหมด ค่าของตัวแปรนั้นถูกต้อง เนื่องจากสามารถคำนวณเศษส่วนได้
ตัวอย่างที่ 2
สารละลาย.เพื่อให้นิพจน์นี้สมเหตุสมผล ตัวส่วนของเศษส่วนไม่เท่ากับศูนย์มีความจำเป็นและเพียงพอ ดังนั้นเฉพาะค่าของตัวแปรเหล่านั้นเท่านั้นที่จะไม่ถูกต้องซึ่งตัวส่วนเท่ากับศูนย์ ตัวส่วนของเศษส่วนคือ ดังนั้นเราจึงแก้สมการเชิงเส้น:
ดังนั้น เมื่อพิจารณาจากค่าของตัวแปรแล้ว เศษส่วนจึงไม่มีความหมาย
คำตอบ: -5.
จากคำตอบของตัวอย่าง กฎสำหรับการค้นหาค่าที่ไม่ถูกต้องของตัวแปรมีดังนี้ - ตัวส่วนของเศษส่วนเท่ากับศูนย์และพบรากของสมการที่เกี่ยวข้อง
ลองดูตัวอย่างที่คล้ายกันหลายตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 3กำหนดว่าเศษส่วนไม่สมเหตุสมผลที่ค่าของตัวแปร .
สารละลาย..
คำตอบ..
ตัวอย่างที่ 4กำหนดว่าเศษส่วนไม่สมเหตุสมผลที่ค่าของตัวแปร
สารละลาย..
มีสูตรอื่นของปัญหานี้ - ค้นหา ขอบเขตของคำจำกัดความหรือ ช่วงของค่านิพจน์ที่ยอมรับได้ (APV)- ซึ่งหมายถึงการค้นหาค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของตัวแปร ในตัวอย่างของเรา ค่าเหล่านี้คือค่าทั้งหมดยกเว้น สะดวกในการพรรณนาโดเมนของคำจำกัดความบนแกนจำนวน
ในการทำเช่นนี้เราจะตัดจุดนั้นออกตามที่ระบุในรูป:
ข้าว. 1
ดังนั้น, โดเมนคำจำกัดความเศษส่วนจะมีตัวเลขทั้งหมดยกเว้น 3
คำตอบ..
ตัวอย่างที่ 5กำหนดว่าเศษส่วนไม่สมเหตุสมผลที่ค่าของตัวแปร
สารละลาย..
ให้เราพรรณนาวิธีแก้ปัญหาผลลัพธ์บนแกนตัวเลข:
ข้าว. 2
คำตอบ..
ตัวอย่างที่ 6
สารละลาย.- เราได้รับความเท่าเทียมกันของตัวแปรสองตัว เราจะยกตัวอย่างเชิงตัวเลข: หรือ ฯลฯ
ให้เราอธิบายวิธีแก้ปัญหานี้บนกราฟในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน:
ข้าว. 3. กราฟของฟังก์ชัน
พิกัดของจุดใดๆ ที่วางอยู่บนกราฟนี้ไม่รวมอยู่ในช่วงของค่าเศษส่วนที่ยอมรับได้
คำตอบ..
ในตัวอย่างที่กล่าวถึง เราพบสถานการณ์ที่มีการหารด้วยศูนย์ ตอนนี้ให้พิจารณากรณีที่สถานการณ์ที่น่าสนใจยิ่งขึ้นเกิดขึ้นกับการแบ่งประเภท
ตัวอย่างที่ 7กำหนดว่าเศษส่วนไม่สมเหตุสมผลที่ค่าของตัวแปร
สารละลาย..
ปรากฎว่าเศษส่วนไม่สมเหตุสมผลเลย แต่ใครๆ ก็สามารถแย้งได้ว่าไม่เป็นเช่นนั้นเพราะ: 
.
อาจดูเหมือนว่าหากนิพจน์สุดท้ายเท่ากับ 8 ที่ ดังนั้นนิพจน์ดั้งเดิมก็สามารถคำนวณได้เช่นกัน ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่ อย่างไรก็ตาม ถ้าเราแทนที่มันลงในนิพจน์ดั้งเดิม เราจะได้ว่ามันไม่มีเหตุผล
คำตอบ..
เพื่อทำความเข้าใจตัวอย่างนี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น เรามาแก้ปัญหาต่อไปนี้: เศษส่วนที่ระบุมีค่าเท่ากับศูนย์ที่ค่าใด
48. ประเภทของนิพจน์พีชคณิต
นิพจน์พีชคณิตสร้างขึ้นจากตัวเลขและตัวแปรโดยใช้เครื่องหมายของการบวก การลบ การคูณ การหาร การยกกำลังตรรกยะ และการแยกราก และใช้วงเล็บ
ตัวอย่างนิพจน์พีชคณิต:
หากนิพจน์พีชคณิตไม่มีการแบ่งออกเป็นตัวแปรและการแยกรากออกจากตัวแปร (โดยเฉพาะการยกกำลังด้วยเศษส่วน) จะเรียกว่าจำนวนเต็ม จากที่เขียนไว้ข้างต้น นิพจน์ 1, 2 และ 6 เป็นจำนวนเต็ม
หากนิพจน์พีชคณิตประกอบด้วยตัวเลขและตัวแปรโดยใช้การดำเนินการของการบวก การลบ การคูณ การยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังและการหารตามธรรมชาติ และการหารเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร จะถูกเรียกว่าเศษส่วน ดังนั้น สำนวนที่ 3 และ 4 จึงเป็นเศษส่วน
นิพจน์จำนวนเต็มและเศษส่วนเรียกว่านิพจน์เหตุผล ดังนั้น จากนิพจน์เหตุผลที่เขียนข้างต้น นิพจน์ 1, 2, 3, 4 และ 6 จึงเป็น
หากนิพจน์พีชคณิตเกี่ยวข้องกับการหารากของตัวแปร (หรือการเพิ่มตัวแปรเป็นกำลังเศษส่วน) นิพจน์พีชคณิตดังกล่าวจะเรียกว่าไม่มีเหตุผล ดังนั้น สำนวนที่ 5 และ 7 ข้างต้นจึงไม่มีเหตุผล
ดังนั้น นิพจน์พีชคณิตจึงสามารถมีเหตุผลและไม่มีเหตุผลได้ ในทางกลับกัน นิพจน์เหตุผลจะถูกแบ่งออกเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วน
49. ค่าที่ถูกต้องของตัวแปร โดเมนของคำจำกัดความของนิพจน์พีชคณิต
ค่าของตัวแปรที่นิพจน์พีชคณิตสมเหตุสมผลเรียกว่าค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร ชุดของค่าตัวแปรที่อนุญาตทั้งหมดเรียกว่าโดเมนของคำจำกัดความของนิพจน์พีชคณิต
นิพจน์ทั้งหมดเหมาะสมสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น ดังนั้นสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร นิพจน์ทั้งหมด 1, 2, 6 จากย่อหน้าที่ 48 ก็สมเหตุสมผล
นิพจน์เศษส่วนไม่สมเหตุสมผลสำหรับค่าของตัวแปรที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ ดังนั้นนิพจน์เศษส่วน 3 จากย่อหน้า 48 เหมาะสมสำหรับทุกคน o ยกเว้น และนิพจน์เศษส่วน 4 เหมาะสมสำหรับทุกคน a, b, c ยกเว้นค่า a
การแสดงออกที่ไม่ลงตัวนั้นไม่สมเหตุสมผลสำหรับค่าเหล่านั้นของตัวแปรที่กลายเป็นจำนวนลบของการแสดงออกที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายของรากของกำลังคู่หรือภายใต้เครื่องหมายของการยกกำลังเศษส่วน ดังนั้น การแสดงออกที่ไม่ลงตัว 5 จึงสมเหตุสมผลเฉพาะกับ a, b ซึ่งและการแสดงออกที่ไม่ลงตัว 7 นั้นสมเหตุสมผลสำหรับและเท่านั้น (ดูย่อหน้าที่ 48)
หากในนิพจน์พีชคณิต ตัวแปรได้รับค่าที่ถูกต้อง ก็จะได้นิพจน์เชิงตัวเลข ค่าของมันถูกเรียกว่าค่าของนิพจน์พีชคณิตสำหรับค่าที่เลือกของตัวแปร
ตัวอย่าง. ค้นหาค่าของนิพจน์เมื่อ
สารละลาย. เรามี
50. แนวคิดของการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่เหมือนกัน ตัวตน.
ลองพิจารณาสองนิพจน์ เมื่อเรามี . ตัวเลข 0 และ 3 เรียกว่าค่าตามลำดับ นิพจน์สำหรับ ให้เราค้นหาค่าที่สอดคล้องกันของนิพจน์เดียวกันสำหรับ
ค่าที่สอดคล้องกันของสองนิพจน์สามารถเท่ากันได้ (ตัวอย่างเช่นในตัวอย่างที่พิจารณาความเท่าเทียมกันเป็นจริง) หรืออาจแตกต่างจากกัน (เช่นในตัวอย่างที่พิจารณา)
ค่าที่ถูกต้องของตัวแปร
รวมอยู่ในนิพจน์เศษส่วน
เป้าหมาย:พัฒนาความสามารถในการค้นหาค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปรที่รวมอยู่ในนิพจน์เศษส่วน
ความคืบหน้าของบทเรียน
I. ช่วงเวลาขององค์กร
ครั้งที่สอง งานช่องปาก.
– แทนตัวเลขแทน * แล้วตั้งชื่อเศษส่วนผลลัพธ์:
ก) ; ข) ; วี) ; ช) ;
ง) ; จ) ; และ) ; ชม) .
ที่สาม คำอธิบายของวัสดุใหม่
คำอธิบายของเนื้อหาใหม่เกิดขึ้นในสามขั้นตอน:
1. การอัพเดตความรู้ของนักศึกษา
2. การพิจารณาคำถามว่าเศษส่วนตรรกยะสมเหตุสมผลเสมอหรือไม่
3. ที่มาของกฎสำหรับการค้นหาค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปรที่รวมอยู่ในเศษส่วนตรรกยะ
ในการอัพเดตความรู้ นักเรียนสามารถถามได้ดังนี้
คำถาม:
- เศษส่วนใดเรียกว่าตรรกยะ?
– ทุกเศษส่วนเป็นนิพจน์เศษส่วนหรือไม่?
– จะค้นหาค่าของเศษส่วนตรรกยะสำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้นได้อย่างไร?
เพื่อชี้แจงคำถามเกี่ยวกับค่าที่อนุญาตของตัวแปรที่รวมอยู่ในเศษส่วนตรรกยะคุณสามารถขอให้นักเรียนทำงานให้เสร็จสิ้นได้
การมอบหมาย: ค้นหาค่าของเศษส่วนสำหรับค่าที่ระบุของตัวแปร:
ที่ เอ็กซ์ = 4; 0; 1.
เมื่อทำภารกิจนี้สำเร็จแล้วผู้เรียนจะเข้าใจว่าเมื่อใด เอ็กซ์= 1 ไม่สามารถหาค่าของเศษส่วนได้ วิธีนี้ช่วยให้พวกเขาสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้: คุณไม่สามารถแทนที่ตัวเลขเป็นเศษส่วนตรรกยะที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ได้ (นักเรียนจะต้องจัดทำข้อสรุปนี้และพูดออกเสียงด้วยตนเอง)
หลังจากนี้ ครูแจ้งให้นักเรียนทราบว่าค่าทั้งหมดของตัวแปรที่นิพจน์เหตุผลสมเหตุสมผลเรียกว่าค่าที่ถูกต้องของตัวแปร
1) หากนิพจน์เป็นจำนวนเต็มค่าทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้นจะถูกต้อง
2) ในการค้นหาค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปรของนิพจน์เศษส่วนคุณต้องตรวจสอบว่าค่าใดที่ตัวส่วนเป็นศูนย์ ตัวเลขที่พบจะไม่ใช่ค่าที่ถูกต้อง
IV. การก่อตัวของทักษะและความสามารถ
1. № 10, № 11.
คำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปรที่รวมอยู่ในนิพจน์เศษส่วนอาจฟังดูแตกต่างออกไป เช่น เมื่อพิจารณาเศษส่วนตรรกยะก็บอกได้ว่าทุกจำนวนยกเว้น เอ็กซ์= 4 หรือว่าค่าที่อนุญาตของตัวแปรไม่รวมตัวเลข 4 นั่นก็คือ เอ็กซ์ ≠ 4.
ทั้งสองสูตรถูกต้อง สิ่งสำคัญคือต้องแน่ใจว่ารูปแบบถูกต้อง
แบบฟอร์มตัวอย่าง:
4เอ็กซ์ (เอ็กซ์ + 1) = 0
คำตอบ: เอ็กซ์≠ 0 และ เอ็กซ์≠ 1 (หรือตัวเลขทั้งหมดยกเว้น 0 และ –1)
3. หมายเลข 14 (ก, ค) หมายเลข 15
เมื่อปฏิบัติงานเหล่านี้นักเรียนควรคำนึงถึงความจำเป็นในการพิจารณาค่าตัวแปรที่อนุญาต
ช) 
คำตอบ: เอ็กซ์ = 0.
ติดตามเหตุผลของเหตุผลทั้งหมด
ในชั้นเรียนที่มีการฝึกอบรมระดับสูง คุณสามารถแสดงหมายเลข 18 และหมายเลข 20 เพิ่มเติมได้
สารละลาย
ในบรรดาเศษส่วนทั้งหมดที่มีตัวเศษบวกเท่ากัน เศษส่วนที่มากกว่าคือเศษส่วนที่มีตัวส่วนน้อยที่สุด นั่นคือจำเป็นต้องค้นหาว่ามีค่าเท่าใด กการแสดงออก ก 2 + 5 รับค่าที่น้อยที่สุด
ตั้งแต่การแสดงออก ก 2 ไม่สามารถเป็นลบสำหรับค่าใดๆ ได้ กจากนั้นนิพจน์ ก 2 + 5 จะใช้ค่าที่น้อยที่สุดเมื่อ ก = 0.
คำตอบ: ก = 0.
เมื่อโต้แย้งในทำนองเดียวกัน เราพบว่าจำเป็นต้องค้นหาค่า กซึ่งนิพจน์ ( ก– 3) 2 + 1 รับค่าที่น้อยที่สุด
คำตอบ: ก = 3.
สารละลาย
.
ในการตอบคำถาม คุณต้องแปลงนิพจน์ในตัวส่วนของเศษส่วนก่อน
เศษส่วนจะมีค่ามากที่สุดหากนิพจน์ (2 เอ็กซ์ +
+ ที่) 2 + 9 รับค่าที่น้อยที่สุด ตั้งแต่ (2 เอ็กซ์ + ที่) 2 ไม่สามารถรับค่าลบได้ ดังนั้นค่าที่น้อยที่สุดของนิพจน์ (2 เอ็กซ์ + ที่) 2 + 9 เท่ากับ 9
แล้วค่าของเศษส่วนเดิมคือ = 2
V. สรุปบทเรียน
คำถามที่พบบ่อย:
– ค่าใดที่เรียกว่าค่าที่ถูกต้องของตัวแปรที่รวมอยู่ในนิพจน์?
– ค่าที่ถูกต้องสำหรับตัวแปรของนิพจน์ทั้งหมดคืออะไร?
– จะค้นหาค่าที่ถูกต้องสำหรับตัวแปรในนิพจน์เศษส่วนได้อย่างไร?
– มีเศษส่วนตรรกยะซึ่งค่าตัวแปรทั้งหมดถูกต้องหรือไม่? ยกตัวอย่างเศษส่วนดังกล่าว
การบ้าน:หมายเลข 12, หมายเลข 14 (ข, ง), หมายเลข 212