ค้นหาความหมายของสำนวนและถ้า ค่านิพจน์ตัวเลข

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. กำหนดแนวทางการดำเนินการ ดำเนินการขั้นแรกในวงเล็บด้านใน 489–296=193 จากนั้นคูณ 193∙8=1544 และ 34∙10=340 การดำเนินการถัดไป: 340+1544=1884 ต่อไป หาร 1884:4=461 แล้วลบ 461–410=60 คุณได้พบความหมายของสำนวนนี้แล้ว

ตัวอย่าง. ค้นหาค่าของนิพจน์ 2sin 30°∙cos 30°∙tg 30°∙ctg 30° ลดความซับซ้อน การแสดงออกนี้- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร tg α∙ctg α=1 รับ: 2ซิน 30°∙cos 30°∙1=2ซิน 30°∙cos 30° เป็นที่รู้กันว่าบาป 30°=1/2 และ cos 30°=√3/2 ดังนั้น 2ซิน 30°∙cos 30°=2∙1/2∙√3/2=√3/2 คุณได้พบความหมายของสำนวนนี้แล้ว

ค่าของนิพจน์พีชคณิตจาก หากต้องการค้นหาค่าของนิพจน์พีชคณิตที่กำหนดให้กับตัวแปร ให้จัดนิพจน์ให้ง่ายขึ้น ทดแทนตัวแปร ค่าบางอย่าง- ทำตามขั้นตอนที่จำเป็นให้เสร็จสิ้น ผลลัพธ์ที่ได้คือตัวเลขซึ่งจะเป็นค่าของนิพจน์พีชคณิตสำหรับตัวแปรที่กำหนด

ตัวอย่าง. ค้นหาค่าของนิพจน์ 7(a+y)–3(2a+3y) โดยมี a=21 และ y=10 ลดความซับซ้อนของนิพจน์นี้แล้วได้: a–2y แทนค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปรแล้วคำนวณ: a–2y=21–2∙10=1 นี่คือค่าของนิพจน์ 7(a+y)–3(2a+3y) โดยมี a=21 และ y=10

โปรดทราบ

มีนิพจน์พีชคณิตที่ไม่สมเหตุสมผลสำหรับค่าบางค่าของตัวแปร ตัวอย่างเช่น นิพจน์ x/(7–a) ไม่สมเหตุสมผลหาก a=7 เพราะ ในกรณีนี้ ตัวส่วนของเศษส่วนจะกลายเป็นศูนย์

แหล่งที่มา:

หา ค่าที่น้อยที่สุดการแสดงออก
ค้นหาความหมายของสำนวนสำหรับค 14

การเรียนรู้ที่จะทำให้นิพจน์ในคณิตศาสตร์ง่ายขึ้นเป็นสิ่งจำเป็นเพียงเพื่อที่จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องและรวดเร็ว สมการต่างๆ- การลดความซับซ้อนของนิพจน์เกี่ยวข้องกับการลดจำนวนขั้นตอน ซึ่งทำให้การคำนวณง่ายขึ้นและประหยัดเวลา

คำแนะนำ

เรียนรู้การคำนวณกำลังของค เมื่อคูณเลขยกกำลัง c จะได้ตัวเลขที่มีฐานเท่ากัน และเพิ่มเลขยกกำลัง b^m+b^n=b^(m+n) เมื่อหารองศาด้วย ในบริเวณเดียวกันพวกมันได้รับกำลังของตัวเลข โดยมีฐานเท่ากัน และเลขยกกำลังถูกลบออก และเลขชี้กำลังของตัวหาร b^m จะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล: b^n=b^(m-n) เมื่อยกกำลังเป็นยกกำลัง จะได้กำลังของตัวเลข โดยฐานยังคงเท่าเดิม และเลขยกกำลังจะคูณกัน (b^m)^n=b^(mn) เมื่อยกกำลัง แต่ละตัวประกอบ ถูกยกกำลังนี้ (abc)^m=a^m *b^m*c^m

พหุนามตัวประกอบ เช่น ลองจินตนาการว่ามันเป็นผลมาจากปัจจัยหลายประการ - และ monomials เอามันออกไป ตัวคูณทั่วไปออกจากวงเล็บ เรียนรู้สูตรพื้นฐานสำหรับการคูณแบบย่อ: ผลต่างของกำลังสอง ผลต่างกำลังสอง ผลรวม ผลต่างของลูกบาศก์ ลูกบาศก์ของผลรวม และผลต่าง ตัวอย่างเช่น m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2 สูตรเหล่านี้เป็นสูตรหลักในการทำให้เข้าใจง่าย ใช้วิธีการเลือก สี่เหลี่ยมเต็มอยู่ในรูปตรีโกณมิติ ax^2+bx+c

ย่อเศษส่วนให้บ่อยที่สุด ตัวอย่างเช่น (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c) แต่จำไว้ว่าคุณสามารถลดตัวคูณได้เท่านั้น ถ้าเป็นตัวเศษและตัวส่วน เศษส่วนพีชคณิตคูณด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์ ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง คุณสามารถแปลงนิพจน์ได้สองวิธี: แบบลูกโซ่และแบบการกระทำ วิธีที่สองจะดีกว่าเพราะว่า ตรวจสอบผลลัพธ์ของการกระทำระดับกลางได้ง่ายกว่า

มักจำเป็นต้องแยกรากออกจากนิพจน์ รากคู่จะถูกแยกจากนิพจน์หรือตัวเลขที่ไม่เป็นลบเท่านั้น สามารถแยกรากแปลกออกจากนิพจน์ใดก็ได้

แหล่งที่มา:

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกด้วยพลัง

ฟังก์ชันตรีโกณมิติเกิดขึ้นครั้งแรกในฐานะเครื่องมือเชิงนามธรรม การคำนวณทางคณิตศาสตร์การพึ่งพาปริมาณ มุมที่คมชัดวี สามเหลี่ยมมุมฉากจากความยาวของด้านข้าง ปัจจุบันมีการใช้กันอย่างแพร่หลายทั้งในด้านวิทยาศาสตร์และเทคนิค กิจกรรมของมนุษย์- สำหรับการคำนวณเชิงปฏิบัติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติคุณสามารถใช้เครื่องมือต่าง ๆ ขึ้นอยู่กับข้อโต้แย้งที่กำหนด - เครื่องมือที่เข้าถึงได้มากที่สุดหลายรายการมีคำอธิบายอยู่ด้านล่าง

คำแนะนำ

ใช้ตัวอย่างเช่นอันที่ติดตั้งโดยค่าเริ่มต้นด้วย ระบบปฏิบัติการโปรแกรมเครื่องคิดเลข จะเปิดขึ้นโดยเลือกรายการ "เครื่องคิดเลข" ในโฟลเดอร์ "ยูทิลิตี้" จากส่วนย่อย "มาตรฐาน" ซึ่งอยู่ในส่วน "โปรแกรมทั้งหมด" ส่วนนี้สามารถเปิดได้โดยคลิกที่ปุ่ม "เริ่ม" ไปที่เมนูการทำงานหลัก หากคุณกำลังใช้ เวอร์ชันวินโดวส์ 7 จากนั้นคุณสามารถป้อน "เครื่องคิดเลข" ในช่อง "ค้นหาโปรแกรมและไฟล์" ของเมนูหลัก จากนั้นคลิกลิงก์ที่เกี่ยวข้องในผลการค้นหา

นับปริมาณ การดำเนินการที่จำเป็นและคิดถึงลำดับที่ควรจะทำ หากคุณพบว่ามันยาก คำถามนี้โปรดทราบว่าการดำเนินการที่อยู่ในวงเล็บจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงทำการหารและคูณ และการลบจะดำเนินการใน วิธีสุดท้าย- เพื่อให้จำอัลกอริธึมของการกระทำที่ทำได้ง่ายขึ้น ในนิพจน์เหนือเครื่องหมายตัวดำเนินการแต่ละเครื่องหมาย (+,-,*,:) ด้วยดินสอเส้นเล็ก ให้จดตัวเลขที่สอดคล้องกับการดำเนินการของการกระทำนั้น

ดำเนินการตามขั้นตอนแรกตามลำดับที่กำหนดไว้ นับในใจของคุณว่าการกระทำนั้นทำได้ง่ายด้วยวาจาหรือไม่ หากจำเป็นต้องคำนวณ (ในคอลัมน์) ให้จดไว้ใต้นิพจน์เพื่อระบุหมายเลขซีเรียลของการดำเนินการ

ติดตามลำดับการกระทำที่ทำไปอย่างชัดเจน ประเมินสิ่งที่ต้องลบออกจากอะไร แบ่งออกเป็นอะไร ฯลฯ บ่อยครั้งที่คำตอบในนิพจน์นั้นไม่ถูกต้องเนื่องจากทำผิดพลาด ในขั้นตอนนี้.

คุณสมบัติที่โดดเด่นการแสดงออกคือการมีอยู่ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์- มันถูกระบุด้วยเครื่องหมายบางอย่าง (การคูณ การหาร การลบหรือการบวก) ลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะได้รับการแก้ไขด้วยวงเล็บหากจำเป็น การดำเนินการทางคณิตศาสตร์หมายถึงการค้นหา

สิ่งที่ไม่ใช่การแสดงออก

ไม่ใช่ทุก สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์สามารถจัดเป็นนิพจน์ได้

ความเท่าเทียมกันไม่ใช่การแสดงออก ไม่ว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะมีความเท่าเทียมกันหรือไม่นั้นไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่น a=5 คือความเท่าเทียมกัน ไม่ใช่นิพจน์ แต่ 8+6*2=20 ก็ไม่ถือเป็นนิพจน์เช่นกัน แม้ว่าจะมีคูณก็ตาม ตัวอย่างนี้ยังอยู่ในหมวดหมู่ของความเท่าเทียมกันด้วย

แนวคิดเรื่องการแสดงออกและความเท่าเทียมกันไม่ได้แยกจากกัน แนวคิดแรกรวมอยู่ในแนวคิดหลัง เครื่องหมายเท่ากับเชื่อมโยงสองนิพจน์:
5+7=24:2

สมการนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้น:
5+7=12

นิพจน์จะถือว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่แสดงนั้นสามารถทำได้เสมอ 9+:-7 ไม่ใช่นิพจน์ แม้ว่าจะมีสัญญาณของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อยู่ที่นี่ก็ตาม เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะดำเนินการเหล่านี้

นอกจากนี้ยังมีรายการทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนิพจน์อย่างเป็นทางการแต่ไม่มีความหมาย ตัวอย่างของการแสดงออกดังกล่าว:
46:(5-2-3)

จะต้องหารเลข 46 ด้วยผลของการกระทำในวงเล็บและนั่นเอง เท่ากับศูนย์- คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ การกระทำดังกล่าวถือเป็นสิ่งต้องห้าม

นิพจน์ตัวเลขและพีชคณิต

นิพจน์ทางคณิตศาสตร์มีสองประเภท

หากนิพจน์ประกอบด้วยตัวเลขและสัญลักษณ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เท่านั้น นิพจน์ดังกล่าวจะเรียกว่าตัวเลข หากในนิพจน์พร้อมกับตัวเลข มีตัวแปรที่แสดงด้วยตัวอักษรหรือไม่มีตัวเลขเลย นิพจน์นั้นประกอบด้วยตัวแปรและสัญลักษณ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เท่านั้น เรียกว่าพีชคณิต

ความแตกต่างพื้นฐานระหว่างค่าตัวเลขและค่าพีชคณิตก็คือ นิพจน์เชิงตัวเลขมีเพียงความหมายเดียวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ค่าของนิพจน์ตัวเลข 56–2*3 จะเท่ากับ 50 เสมอ ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงได้ นิพจน์พีชคณิตสามารถมีค่าได้หลายค่า เนื่องจากตัวเลขใดๆ ก็สามารถทดแทนได้ ดังนั้น หากในนิพจน์ b–7 เราแทน 9 ด้วย b ค่าของนิพจน์จะเป็น 2 และถ้า 200 จะเป็น 193

แหล่งที่มา:

นิพจน์ตัวเลขและพีชคณิต

คุณในฐานะผู้ปกครองในกระบวนการให้ความรู้แก่บุตรหลานของคุณจะต้องเผชิญกับความต้องการความช่วยเหลือในการแก้ปัญหาการบ้านในวิชาคณิตศาสตร์พีชคณิตและเรขาคณิตมากกว่าหนึ่งครั้ง และหนึ่งในทักษะพื้นฐานที่คุณต้องเรียนรู้คือวิธีค้นหาความหมายของสำนวน หลายคนถึงทางตันเพราะเราเรียน ป.3-5 ผ่านมากี่ปีแล้ว? หลายอย่างถูกลืมไปแล้ว และบางส่วนยังไม่ได้รับการเรียนรู้ กฎของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์นั้นเรียบง่ายและคุณสามารถจดจำได้ง่าย เรามาเริ่มกันที่พื้นฐานว่านิพจน์ทางคณิตศาสตร์คืออะไร

คำจำกัดความของนิพจน์

นิพจน์ทางคณิตศาสตร์คือชุดของตัวเลข เครื่องหมายการกระทำ (=, +, -, *, /) วงเล็บ และตัวแปร โดยสรุป นี่คือสูตรที่จะต้องค้นหาค่า สูตรดังกล่าวพบได้ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ตั้งแต่สมัยเรียนแล้วหลอกหลอนนักเรียนที่เลือกวิชาพิเศษที่เกี่ยวข้อง วิทยาศาสตร์ที่แน่นอน. นิพจน์ทางคณิตศาสตร์แบ่งเป็นตรีโกณมิติ พีชคณิต และอื่นๆ อย่าไปเจาะลึกเรื่อง "เถื่อน" มากนัก

ทำการคำนวณใดๆ ในตัวแบบร่างก่อน แล้วจึงเขียนใหม่ สมุดงาน- ด้วยวิธีนี้คุณจะหลีกเลี่ยงการข้ามและสิ่งสกปรกที่ไม่จำเป็น
คำนวณจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่จะต้องดำเนินการในนิพจน์อีกครั้ง โปรดทราบว่าตามกฎแล้ว การดำเนินการในวงเล็บจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงทำการหารและการคูณ และในตอนท้ายสุดคือการลบและการบวก เราขอแนะนำให้เน้นการกระทำทั้งหมดด้วยดินสอและวางตัวเลขไว้เหนือการกระทำตามลำดับที่ดำเนินการ ในกรณีนี้ทั้งคุณและลูกจะนำทางได้ง่ายขึ้น
เริ่มคำนวณตามลำดับการกระทำอย่างเคร่งครัด ให้เด็กถ้าการคำนวณง่าย ๆ ลองคิดในใจ แต่ถ้ายากก็ให้เขียนด้วยดินสอตามตัวเลขที่ตรงกัน หมายเลขซีเรียลนิพจน์และดำเนินการคำนวณใน ในการเขียนภายใต้สูตร;
โดยทั่วไปให้ค้นหาค่า การแสดงออกที่เรียบง่ายไม่ใช่เรื่องยากหากดำเนินการคำนวณทั้งหมดตามกฎและ ในลำดับที่ถูกต้อง- คนส่วนใหญ่ประสบปัญหาในการค้นหาความหมายของสำนวนในขั้นตอนนี้ ดังนั้นควรระมัดระวังและอย่าทำผิดพลาด
ห้ามใช้เครื่องคิดเลข ซามิ สูตรทางคณิตศาสตร์และงานในชีวิตลูกของคุณอาจไม่มีประโยชน์ แต่นั่นไม่ใช่จุดประสงค์ของการเรียนวิชานี้ สิ่งสำคัญคือการพัฒนา การคิดเชิงตรรกะ- หากคุณใช้เครื่องคิดเลข ความหมายของทุกสิ่งจะหายไป
งานของคุณในฐานะผู้ปกครองไม่ใช่การแก้ปัญหาให้ลูกของคุณ แต่เพื่อช่วยเขาในเรื่องนี้เพื่อชี้แนะเขา ให้เขาคำนวณทั้งหมดด้วยตัวเอง และคุณต้องแน่ใจว่าเขาไม่ได้ทำผิดพลาด อธิบายว่าทำไมเขาถึงต้องทำแบบนี้ ไม่ใช่อย่างอื่น
เมื่อพบคำตอบของนิพจน์แล้ว ให้จดไว้หลังเครื่องหมาย “=”
เปิด หน้าสุดท้ายหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ โดยปกติแล้วทุกแบบฝึกหัดจะมีคำตอบอยู่ในเล่ม การตรวจสอบว่าทุกอย่างคำนวณถูกต้องหรือไม่ ไม่ใช่เรื่องเสียหาย

การค้นหาความหมายของสำนวนนั้นเป็นขั้นตอนง่ายๆ สิ่งสำคัญคือการจำกฎพื้นฐานที่เราเผชิญ หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์. อย่างไรก็ตาม ในทางกลับกัน เมื่อคุณต้องการช่วยลูกของคุณรับมือกับสูตรและแก้ปัญหา ปัญหาก็จะซับซ้อนมากขึ้น ท้ายที่สุดตอนนี้คุณไม่ใช่นักเรียน แต่เป็นครูและการศึกษาในอนาคตของไอน์สไตน์ก็วางอยู่บนไหล่ของคุณ

เราหวังว่าบทความของเราจะช่วยคุณค้นหาคำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับวิธีการค้นหาความหมายของสำนวนและคุณสามารถหาสูตรต่างๆ ได้อย่างง่ายดาย!

ฉัน. สำนวนที่ใช้ตัวเลขและเครื่องหมายร่วมกับตัวอักษรได้ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์และวงเล็บเรียกว่านิพจน์พีชคณิต

ตัวอย่างนิพจน์พีชคณิต:

2m -n; 3 · (2ก + ข); 0.24x; 0.3ก -ข · (4a + 2b); ก 2 – 2ab;

เนื่องจากตัวอักษรในนิพจน์พีชคณิตสามารถถูกแทนที่ด้วยตัวอักษรบางตัวได้ ตัวเลขที่แตกต่างกันแล้วตัวอักษรนั้นก็เรียกว่าตัวแปรและตัวมันเอง การแสดงออกทางพีชคณิต- นิพจน์ที่มีตัวแปร

ครั้งที่สอง หากในนิพจน์พีชคณิตตัวอักษร (ตัวแปร) จะถูกแทนที่ด้วยค่าและดำเนินการตามที่ระบุหมายเลขผลลัพธ์จะเรียกว่าค่าของนิพจน์พีชคณิต

ตัวอย่าง.

ค้นหาความหมายของสำนวน:

2) |x| + |ย| -|z| ที่ x = -8; ย = -5; ซี = 6.

สารละลาย.

1) a + 2b -c โดยมี = -2; ข = 10; ค = -3.5 แทนที่จะเป็นตัวแปร ลองแทนค่าของมันแทน เราได้รับ:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |ย| -|z| ที่ x = -8; ย = -5; z = 6 ทดแทน ค่าที่ระบุ- โปรดจำไว้ว่าโมดูล จำนวนลบเท่ากับจำนวนตรงข้ามและโมดูล จำนวนบวกเท่ากับจำนวนนี้เอง เราได้รับ:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

ที่สามค่าของตัวอักษร (ตัวแปร) ที่นิพจน์พีชคณิตสมเหตุสมผลเรียกว่าค่าที่อนุญาตของตัวอักษร (ตัวแปร)

ตัวอย่าง. อยู่ที่ค่าไหน.การแสดงออกของตัวแปร

ไม่สมเหตุสมผลเหรอ?สารละลาย.

เรารู้ว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ดังนั้น แต่ละนิพจน์เหล่านี้จึงไม่สมเหตุสมผลเมื่อพิจารณาถึงค่าของตัวอักษร (ตัวแปร) ที่เปลี่ยนตัวส่วนของเศษส่วนให้เป็นศูนย์!

ในตัวอย่างที่ 1) ค่านี้คือ a = 0 แน่นอนว่าหากคุณแทนที่ 0 แทน a คุณจะต้องหารตัวเลข 6 ด้วย 0 แต่ไม่สามารถทำได้ คำตอบ: นิพจน์ 1) ไม่สมเหตุสมผลเมื่อ a = 0

ในตัวอย่างที่ 2) ตัวส่วนของ x คือ 4 = 0 ที่ x = 4 ดังนั้นจึงไม่สามารถหาค่านี้ x = 4 ได้ คำตอบ: นิพจน์ 2) ไม่สมเหตุสมผลเมื่อ x = 4

ในตัวอย่างที่ 3) ตัวส่วนคือ x + 2 = 0 เมื่อ x = -2 คำตอบ: นิพจน์ 3) ไม่สมเหตุสมผลเมื่อ x = -2
ในตัวอย่างที่ 4) ตัวส่วนคือ 5 -|x| = 0 สำหรับ |x| = 5 และตั้งแต่ |5| = 5 และ |-5| = 5 ดังนั้นคุณไม่สามารถรับ x = 5 และ x = -5 ได้ คำตอบ: นิพจน์ 4) ไม่สมเหตุสมผลที่ x = -5 และที่ x = 5 IV. กล่าวกันว่าสำนวนสองสำนวนมีความเท่ากันถ้ามีสำนวนใดๆค่าที่ยอมรับได้

ตัวแปรค่าที่สอดคล้องกันของนิพจน์เหล่านี้จะเท่ากัน

ตัวอย่าง: 5 (a – b) และ 5a – 5b ก็เท่ากัน เนื่องจากความเท่าเทียมกัน 5 (a – b) = 5a – 5b จะเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ a และ b ความเท่าเทียมกัน 5 (a – b) = 5a – 5b คือเอกลักษณ์ ตัวตน

คือความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องสำหรับค่าที่อนุญาตทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น ตัวอย่างของตัวตนที่คุณทราบอยู่แล้ว เช่น คุณสมบัติของการบวกและการคูณ และคุณสมบัติการแจกแจง การแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่งที่เท่ากันเรียกว่า การเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์ หรือเพียงการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์

นิพจน์ที่มีตัวแปรจะดำเนินการตามคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข

ตัวอย่าง.ก)

แปลงนิพจน์ให้เท่ากันโดยใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ:

สารละลาย 1) 10·(1.2x + 2.3y); 2) 1.5·(ก -2b + 4c); 3) ก·(6ม. -2n + k)

- ให้เรานึกถึงคุณสมบัติการแจกแจง (กฎ) ของการคูณ:(กฎการกระจายของการคูณสัมพันธ์กับการบวก: ในการคูณผลรวมของตัวเลขสองตัวด้วยตัวเลขที่สาม คุณสามารถคูณแต่ละพจน์ด้วยตัวเลขนี้แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้)
(ก-ข) ค=ก-ข ค(กฎการกระจายของการคูณสัมพันธ์กับการลบ: ในการคูณผลต่างของตัวเลขสองตัวด้วยตัวเลขที่สามคุณสามารถคูณเครื่องหมายลบและลบด้วยตัวเลขนี้แยกกันและลบตัวที่สองจากผลลัพธ์แรก)

1) 10·(1.2x + 2.3y) = 10 · 1.2x + 10 · 2.3y = 12x + 23y

2) 1.5·(ก -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c

3) ก·(6นาที -2n + k) = 6โมงเช้า - 2วัน+อัค

ข)แปลงนิพจน์ให้เท่ากันโดยใช้การสลับและ คุณสมบัติเชื่อมโยง(กฎหมาย) การบวก:

4) x + 4.5 +2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4 วินาที -3 -2.5 -2.3 วินาที

ไม่สมเหตุสมผลเหรอ?ลองใช้กฎหมาย (คุณสมบัติ) ของการบวก:

ก+ข=ข+ก(สับเปลี่ยน: การจัดเรียงเงื่อนไขใหม่จะไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง)
(ก+ข)+ค=ก+(ข+ค)(แบบรวมกัน: ในการบวกเลขตัวที่สามเข้ากับผลรวมของสองเทอม คุณสามารถเพิ่มผลรวมของเลขตัวที่สองและสามเข้ากับตัวเลขตัวแรกได้)

4) x + 4.5 +2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9

6) 6) 5.4 วินาที -3 -2.5 -2.3 วินาที = (5.4 วินาที -2.3 วินาที) + (-3 -2.5) = 3.1 วินาที -5.5

วี)แปลงนิพจน์ให้เท่ากันโดยใช้คุณสมบัติการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยง (กฎ) ของการคูณ:

7) 4 · เอ็กซ์ · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); (-1); 9) 3ก · (-3) · 2 วินาที

ไม่สมเหตุสมผลเหรอ?ลองใช้กฎ (คุณสมบัติ) ของการคูณ:

มี·ข=บี·ก(สับเปลี่ยน: การจัดเรียงปัจจัยใหม่ไม่ทำให้ผลิตภัณฑ์เปลี่ยนแปลง)
(ก) ค=ก (ข ค)(แบบรวมกัน: หากต้องการคูณผลคูณของตัวเลขสองตัวด้วยตัวเลขที่สาม คุณสามารถคูณตัวเลขแรกด้วยผลคูณของตัวเลขที่สองและสามได้)

7) 4 · เอ็กซ์ · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у

9) 3ก · (-3) · 2 วินาที = -18as

หากมีการกำหนดนิพจน์พีชคณิตในรูปแบบของเศษส่วนที่ลดได้ การใช้กฎในการลดเศษส่วนก็สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ เช่น แทนที่ด้วยนิพจน์ที่เรียบง่ายกว่าที่เหมือนกัน

ตัวอย่าง.

ไม่สมเหตุสมผลเหรอ?ลดความซับซ้อนโดยใช้การลดเศษส่วน การลดเศษส่วนหมายถึงการหารทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน (นิพจน์) ที่ไม่ใช่ศูนย์ เศษส่วน 10) จะลดลง 3บี - เศษส่วนที่ 11) จะลดลงก และเศษส่วน 12) จะลดลง 7น

- เราได้รับ:

นิพจน์พีชคณิตใช้ในการสร้างสูตรสูตรคือนิพจน์พีชคณิตที่เขียนด้วยความเท่าเทียมกันและแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ตัวอย่าง: สูตรเส้นทางที่คุณทราบ s=v เสื้อ

(s - ระยะทางที่เดินทาง, v - ความเร็ว, t - เวลา) จำสูตรอื่นที่คุณรู้

หน้า 1 จาก 1 1 การออกแบบที่ซับซ้อน- ตัวอย่างเช่น จะเกิดอะไรขึ้นถ้าปัญหาเดียวกันเกี่ยวข้องกับการบวก ลบ และคูณเศษส่วน?

ก่อนอื่น คุณต้องแปลงเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม จากนั้นเราจะดำเนินการตามที่จำเป็นตามลำดับ - ตามลำดับเดียวกับสำหรับ ตัวเลขธรรมดา- กล่าวคือ:

การยกกำลังเสร็จสิ้นก่อน - กำจัดนิพจน์ทั้งหมดที่มีเลขชี้กำลังออก
จากนั้น - การหารและการคูณ
ขั้นตอนสุดท้ายคือการบวกและการลบ

แน่นอน หากมีวงเล็บในนิพจน์ ลำดับการดำเนินการจะเปลี่ยนไป - จะต้องนับทุกสิ่งที่อยู่ในวงเล็บก่อน และจำเกี่ยวกับเศษส่วนเกิน: คุณต้องเน้นทั้งส่วนเฉพาะเมื่อการกระทำอื่น ๆ เสร็จสิ้นแล้วเท่านั้น

มาแปลงเศษส่วนทั้งหมดจากนิพจน์แรกไปเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม แล้วทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

ทีนี้ลองหาค่าของนิพจน์ที่สองกัน ที่นี่เศษส่วนด้วย ทั้งส่วนไม่ แต่มีวงเล็บ เราก็เลยบวกก่อน แล้วค่อยหารเท่านั้น โปรดทราบว่า 14 = 7 · 2 แล้ว:

สุดท้ายนี้ ลองพิจารณาตัวอย่างที่สาม มีวงเล็บและระดับอยู่ที่นี่ - ควรนับแยกกันจะดีกว่า เมื่อพิจารณาว่า 9 = 3 3 เรามี:

ให้ความสนใจกับตัวอย่างสุดท้าย หากต้องการเพิ่มเศษส่วนเป็นยกกำลัง คุณต้องแยกตัวเศษออกจากกำลังนี้ และแยกตัวส่วนออกจากกัน

คุณสามารถตัดสินใจได้แตกต่างออกไป หากเราจำคำจำกัดความของระดับได้ ปัญหาก็จะลดลงเหลือ การคูณสามัญเศษส่วน:

เศษส่วนหลายชั้น

จนถึงตอนนี้ เราพิจารณาเฉพาะเศษส่วนที่ "บริสุทธิ์" เท่านั้น เมื่อมีทั้งตัวเศษและส่วน ตัวเลขธรรมดา- ซึ่งค่อนข้างสอดคล้องกับคำจำกัดความของเศษส่วนจำนวนที่ให้ไว้ในบทเรียนแรกสุด

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวเศษหรือส่วนมีมากกว่า วัตถุที่ซับซ้อน- ตัวอย่างเช่นอีกอันหนึ่ง เศษส่วนที่เป็นตัวเลข- โครงสร้างดังกล่าวเกิดขึ้นค่อนข้างบ่อย โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อทำงานกับสำนวนที่ยาว นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

มีกฎเพียงข้อเดียวในการทำงานกับเศษส่วนหลายระดับ: คุณต้องกำจัดมันทันที การถอดชั้น "พิเศษ" ออกนั้นค่อนข้างง่าย หากคุณจำได้ว่าเครื่องหมายทับหมายถึงการดำเนินการแบ่งมาตรฐาน ดังนั้นเศษส่วนใดๆ สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

การใช้ข้อเท็จจริงนี้และทำตามขั้นตอน เราสามารถลดเศษส่วนหลายชั้นให้เหลือเศษส่วนธรรมดาได้อย่างง่ายดาย ลองดูตัวอย่าง:

งาน. แปลงเศษส่วนหลายชั้นให้เป็นเศษส่วนสามัญ:

ในแต่ละกรณี เราจะเขียนเศษส่วนหลักใหม่ โดยแทนที่เส้นหารด้วยเครื่องหมายหาร โปรดจำไว้ว่าจำนวนเต็มใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนโดยมีส่วนเป็น 1 ได้ นั่นก็คือ 12 = 12/1; 3 = 3/1 เราได้รับ:

ใน ตัวอย่างสุดท้ายเศษส่วนถูกยกเลิกก่อนการคูณครั้งสุดท้าย

ลักษณะเฉพาะของการทำงานกับเศษส่วนหลายระดับ

มีความละเอียดอ่อนอย่างหนึ่งในเศษส่วนหลายระดับที่ต้องจำไว้เสมอ ไม่เช่นนั้นคุณอาจได้รับคำตอบที่ผิด แม้ว่าการคำนวณทั้งหมดจะถูกต้องก็ตาม ลองดู:

ตัวเศษประกอบด้วยเลข 7 ตัวเดียว และตัวส่วนประกอบด้วยเศษส่วน 12/5
ตัวเศษประกอบด้วยเศษส่วน 7/12 และตัวส่วนประกอบด้วยตัวเลข 5 แยกจากกัน

ดังนั้นสำหรับรายการหนึ่งเราได้สองรายการอย่างสมบูรณ์ การตีความที่แตกต่างกัน- หากคุณนับ คำตอบก็จะแตกต่างออกไปด้วย:

เพื่อให้แน่ใจว่าบันทึกจะถูกอ่านอย่างไม่คลุมเครือเสมอ ให้ใช้กฎง่ายๆ: เส้นแบ่งของเศษส่วนหลักต้องยาวกว่าเส้นของเศษส่วนที่ซ้อนกัน ควรหลายครั้ง

หากคุณปฏิบัติตามกฎนี้ เศษส่วนข้างต้นควรเขียนดังนี้:

ใช่ มันอาจจะดูไม่น่าดูและใช้พื้นที่มากเกินไป แต่คุณจะนับอย่างถูกต้อง สุดท้ายนี้ มีตัวอย่างสองสามตัวอย่างที่มีเศษส่วนหลายชั้นเกิดขึ้นจริง:

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

เรามาทำงานกับตัวอย่างแรกกันดีกว่า มาแปลงเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นเศษส่วนเกินแล้วดำเนินการบวกและหาร:

ลองทำแบบเดียวกันกับตัวอย่างที่สอง มาแปลงเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมแล้วดำเนินการที่จำเป็น เพื่อไม่ให้ผู้อ่านเบื่อ ฉันจะละเว้นการคำนวณที่ชัดเจนบางประการ เรามี:

เนื่องจากตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพื้นฐานมีผลรวมอยู่ กฎสำหรับการเขียนเศษส่วนหลายชั้นจึงถูกสังเกตโดยอัตโนมัติ นอกจากนี้ ในตัวอย่างสุดท้าย เราตั้งใจให้ 46/1 อยู่ในรูปเศษส่วนเพื่อทำการหาร

ฉันจะสังเกตด้วยว่าในทั้งสองตัวอย่าง แท่งเศษส่วนมาแทนที่วงเล็บ ประการแรก เราพบผลรวม แล้วจึงพบเพียงผลหารเท่านั้น

บางคนก็บอกว่าการเปลี่ยนผ่านไป เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมในตัวอย่างที่สองซ้ำซ้อนอย่างเห็นได้ชัด บางทีนี่อาจเป็นเรื่องจริง แต่การทำเช่นนี้เรารับประกันตนเองจากข้อผิดพลาด เพราะครั้งต่อไปตัวอย่างอาจซับซ้อนกว่านี้มาก เลือกสิ่งที่สำคัญกว่าสำหรับตัวคุณเอง: ความเร็วหรือความน่าเชื่อถือ

คำตอบ: _________
2. ราคาสินค้า 3200 รูเบิล สินค้าชิ้นนี้ราคาเท่าไหร่หลังจากลดราคาลง 5% แล้ว?
ก. 3040 ถู บ. 304 น. โวลต์ 1600 ถู ก. 3100 หน้า
3. โดยเฉลี่ยแล้ว นักเรียนในชั้นเรียนทำข้อสอบที่เสนอได้สำเร็จ 7.5 งาน Maxim ทำงานเสร็จ 9 งาน ผลลัพธ์ของเขาสูงกว่าค่าเฉลี่ยกี่เปอร์เซ็นต์?
คำตอบ: _________
4. แถวประกอบด้วย ตัวเลขธรรมชาติ- ข้อใดต่อไปนี้ ลักษณะทางสถิติไม่สามารถแสดงออกได้ จำนวนเศษส่วน?
ก. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
บีแฟชั่น
บี. ค่ามัธยฐาน
D. ข้อมูลไม่มีลักษณะดังกล่าว
5. สมการใดไม่มีราก?
ก. x =x ข. x =6 ค. x =0 ง. x =−5
6. ตัวเลข A และ B ถูกทำเครื่องหมายบนเส้นพิกัด (รูปที่ 35) เปรียบเทียบตัวเลข –A และ B

ก. –ก< В
ข. –ก > ข
ข. –ก = ข
ง. ไม่สามารถเปรียบเทียบได้
7. ลดรูปนิพจน์ a (a – 2) – (a – 1)(a + 1)
คำตอบ: _________
8. ค่าของตัวแปรใดที่ต้องทราบเพื่อหาค่าของนิพจน์ (5a – 2b)(5a + 2b) – 4b (3a – b) + 6a (2b – 1)?
ก.ก และ ข ข.ก
ง. ค่าของนิพจน์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปร
9. แก้สมการ (x – 2)2 + 8x = (x – 1)(1 + x)
คำตอบ: _________
10. แก้ระบบสมการ ( 3x−2y=5, 5x+6y=27.
คำตอบ: _________
11. ในการนั่งรถ 3 ชั่วโมง และนั่งรถไฟ 4 ชั่วโมง นักท่องเที่ยวเดินทางเป็นระยะทาง 620 กม. และความเร็วของรถไฟสูงกว่าความเร็วของรถ 10 กม./ชม. ความเร็วของรถไฟและความเร็วของรถเป็นเท่าใด?
เราสร้างระบบสมการขึ้นมาโดยแสดงความเร็วของรถเป็น x km/h และความเร็วของรถไฟเป็น y km/h อันไหนเรียบเรียงได้ถูกต้อง?
A. ( 3x+4y=620, x−y=10 B. ( 3x+4y=620, y−x=10
V. ( 4x+3y=620, x−y=10 G. ( 4x+3y=620, y−x=10
12. จุดใดไม่อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน y = –0.6x + 1
ก. (3; –0.8) ข. (–3; 0.8) ข. (2; –0.2) ง. (–2; 2.2)
13. ในพิกัดจตุภาคใดไม่มีจุดเดียวบนกราฟของฟังก์ชัน y = –0.6x + 1.5?
คำตอบ: _________
14. กำหนดตามสูตร ฟังก์ชันเชิงเส้นกราฟที่ตัดแกน x ที่จุด (2; 0) และแกน y ที่จุด (0; 7)
คำตอบ: _________ ช่วยด้วย

1. จงหาค่าของนิพจน์ a a−1 ถ้า a = 0.25 คำตอบ: _________ 2. สินค้าราคา 3200 รูเบิล สินค้าชิ้นนี้ราคาเท่าไหร่หลังจากลดราคาลง 5% แล้ว?

ก. 3040 ถู บ. 304 น. โวลต์ 1600 ถู ก. 3100 หน้า 3. โดยเฉลี่ยแล้ว นักเรียนในชั้นเรียนทำข้อสอบที่เสนอได้สำเร็จ 7.5 งาน Maxim ทำงานเสร็จ 9 งาน ผลลัพธ์ของเขาสูงกว่าค่าเฉลี่ยกี่เปอร์เซ็นต์? คำตอบ: _________ 4. ชุดข้อมูลประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติ สถิติใดต่อไปนี้ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ก. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต B. โหมด C. ค่ามัธยฐาน D. ข้อมูลไม่มีลักษณะดังกล่าว 5. สมการใดไม่มีราก? A. x =x B. x =6 C. x =0 D. x =−5 6. ตัวเลข A และ B ถูกทำเครื่องหมายไว้บนเส้นพิกัด (รูปที่ 35) เปรียบเทียบตัวเลข –A และ BA –A< В Б. –А >B B. –A = BD ไม่สามารถเปรียบเทียบได้ 7. ลดความซับซ้อนของนิพจน์ a (a – 2) – (a – 1)(a + 1) คำตอบ: _________ 8. ค่าของตัวแปรใดที่คุณต้องรู้เพื่อค้นหาค่าของนิพจน์ (5a – 2b)(5a + 2b) – 4b (3a – b) + 6a (2b – 1)? A. a และ b B. a C. b D. ค่าของนิพจน์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปร 9. แก้สมการ (x – 2)2 + 8x = (x – 1)(1 + x) คำตอบ: _________ 10. แก้ระบบสมการ ( 3x−2y=5, 5x+6y=27 คำตอบ: _________ 11. ในการนั่งรถ 3 ชั่วโมง และนั่งรถไฟ 4 ชั่วโมง นักท่องเที่ยวเดินทางเป็นระยะทาง 620 กม. และ ความเร็วของรถไฟคือ 10 กม./ชม. ซึ่งมากกว่าความเร็วของรถไฟเป็นเท่าใด และความเร็วของรถคือเท่าไร? /h ข้อใดถูกต้อง −y=10 B. ( 3x+4y=620, y−x=10 V. ( 4x+3y=620, x−y=10 G. ( 4x+3y=620, y−x=10 12. จุดใดไม่อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน y = –0.6x + 1? A. (3; –0.8) B. (–3; 0.8) B. (2; –0.2) ) D. (–2; 2,2) 13. ในพิกัดจตุภาคใดไม่มีจุดเดียวบนกราฟของฟังก์ชัน y = –0.6x + 1.5? คำตอบ: _________ 14. ใช้สูตรเพื่อกำหนดฟังก์ชันเชิงเส้น โดยที่กราฟตัดแกน x ที่จุด (2; 0) และแกน y ที่จุด (0; 7) คำตอบ: _________ ตัวเลือกที่ 2 1. ค้นหาค่าของนิพจน์ x x−2 ถ้า x = 2.25 คำตอบ: _________ 2. ราคาสินค้า 1,600 รูเบิล ราคาสินค้าเท่าไหร่หลังจากราคาเพิ่มขึ้น 5. %? ก. 1760 ถู บ. 1,700 ถู V. 1605 ถู ก. 1680 ถู 3. ในระหว่างกะ ช่างกลึงของร้านประมวลผลชิ้นส่วนโดยเฉลี่ย 12.5 ชิ้น Petrov ดำเนินการ 15 ชิ้นส่วนระหว่างกะนี้ ผลลัพธ์ของเขาสูงกว่าค่าเฉลี่ยกี่เปอร์เซ็นต์? คำตอบ: ____________ 4. ในชุดข้อมูล ตัวเลขทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม ลักษณะใดต่อไปนี้ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้? ก. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต B. โหมด C. ค่ามัธยฐาน D. ข้อมูลไม่มีลักษณะดังกล่าว 5. สมการใดไม่มีราก? A. x =0 B. x =7 C. x =−x D. x =−6 6. ตัวเลข B และ C ถูกทำเครื่องหมายไว้บนเส้นพิกัด (รูปที่ 36) เปรียบเทียบตัวเลข B และ –C ก.บี > –ซี บี.บี< –С В. В = –С Г. Сравнить невозможно 7. Упростите выражение х (х – 6) – (х – 2)(х + 2). Ответ: ___________ 8. Значения каких переменных надо знать, чтобы найти значение выражения (3х – 4у)(3х + 4у) – 3х (3х – у) + 3у (1 – х)? А. x Б. у В. x и у Г. Значение выражения не зависит от значений переменных 9. Решите уравнение (х + 3)2 – х = (х – 2)(2 + x). Ответ: ___________ 10. Решите систему уравнений { 2x+5y=−1, 3x−2y=8. Ответ: ___________ 11. Масса 5 см3 железа и 10 см3 меди равна 122 г. Масса 4 см3 железа มวลมากขึ้นทองแดง 2 cm3 ต่อ 14.6 กรัม มีความหนาแน่นของเหล็กและความหนาแน่นของทองแดงเป็นเท่าใด เราได้รวบรวมระบบสมการเพื่อแสดงถึงความหนาแน่นของเหล็ก x g/cm3 และความหนาแน่นของทองแดงด้วย y g/cm3 ระบบใดได้รับการออกแบบอย่างถูกต้อง? A. ( 5x+10y=122, 4x−2y=14.6 B. ( 5x+10y=122, 4y−2x=14.6 C. ( 10x+5y=122, 4x−2y=14.6 D. ( 10x+5y=122 , 4y−2x=14.6 12. จุดใดไม่อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน y = –1.2x – 1.4? A. (–1; –0.2) B. (–2 ; 1) B. (0; – 1.4) D. (–3; 2.2) 13. พิกัดควอแดรนท์ในพิกัดใดไม่มีจุดใดจุดหนึ่งในกราฟของฟังก์ชัน y = 1.8x – 7.2 คำตอบ: ___________ 14. ใช้สูตรเพื่อกำหนดฟังก์ชันเชิงเส้นที่กราฟตัดกัน แกน x ที่จุด (–4; 0) และแกน y ที่จุด (0; 3)