จงหาเวกเตอร์ x ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a การหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด ตัวอย่าง และคำตอบ

คำแนะนำ

หากเวกเตอร์ดั้งเดิมแสดงไว้ในภาพวาดในระบบพิกัดสองมิติสี่เหลี่ยมและจำเป็นต้องสร้างเวกเตอร์ตั้งฉากที่นั่น ให้ดำเนินการต่อจากคำจำกัดความตั้งฉากของเวกเตอร์บนระนาบ โดยระบุว่ามุมระหว่างส่วนที่กำหนดคู่ดังกล่าวจะต้องเท่ากับ 90° สามารถสร้างเวกเตอร์ดังกล่าวได้จำนวนอนันต์ ดังนั้นให้วาดเข้าไปเลย ทำเลที่ตั้งสะดวกระนาบตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิม วางส่วนไว้บนนั้น เท่ากับความยาวให้จุดคู่ที่เรียงลำดับแล้วกำหนดให้ปลายด้านหนึ่งเป็นจุดกำเนิดของเวกเตอร์ตั้งฉาก ทำสิ่งนี้โดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์และไม้บรรทัด

ถ้าให้เวกเตอร์ดั้งเดิมมา พิกัดสองมิติā = (X₁;Y₁) สมมติว่า ผลิตภัณฑ์ดอทคู่ของเวกเตอร์ตั้งฉากจะต้องเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าคุณต้องเลือกเวกเตอร์ ō = (X₂,Y₂) ที่ต้องการ โดยที่ค่าความเท่าเทียมกัน (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 จะคงอยู่ ซึ่งสามารถทำได้ดังนี้: เลือกค่าใดก็ได้ ค่าที่ไม่ใช่ศูนย์สำหรับพิกัด X₂ และคำนวณพิกัด Y₂ โดยใช้สูตร Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁ ตัวอย่างเช่น สำหรับเวกเตอร์ ā = (15;5) จะมีเวกเตอร์ ō โดยมี abscissa เท่ากับหนึ่งและลำดับเท่ากับ -(15*1)/5 = -3 กล่าวคือ ō = (1;-3)

สำหรับสามมิติและอื่นๆ ระบบตั้งฉากพิกัดเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอเดียวกันสำหรับความตั้งฉากของเวกเตอร์นั้นเป็นจริง - ผลคูณสเกลาร์ของพวกมันจะต้องเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ถ้ากำหนดทิศทางเริ่มต้นโดยพิกัด ā = (X₁,Y₁,Z₁) ให้เลือกคู่อันดับของจุด ō = (X₂,Y₂,Z₂) ซึ่งตั้งฉากกับพิกัดดังกล่าวที่เป็นไปตามเงื่อนไข (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0 วิธีที่ง่ายที่สุดคือการกำหนด X₂ และ Y₂ ค่าเดียวและ Z₂ คำนวณจากความเท่าเทียมกันแบบง่าย Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/Z₁ ตัวอย่างเช่น สำหรับเวกเตอร์ ā = (3,5,4) จะได้รูปแบบต่อไปนี้: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0 จากนั้นหาค่า abscissa และกำหนดลำดับของ เวกเตอร์ตั้งฉากเป็นหนึ่ง และในกรณีนี้ มันจะเท่ากับ -(3+5)/4 = -2

แหล่งที่มา:

• หาเวกเตอร์ถ้ามันตั้งฉาก

พวกมันถูกเรียกว่าตั้งฉาก เวกเตอร์ซึ่งมุมระหว่างนั้นคือ 90° เวกเตอร์ตั้งฉากถูกสร้างขึ้นโดยใช้เครื่องมือวาดภาพ หากทราบพิกัดของพวกเขา คุณสามารถตรวจสอบหรือค้นหาความตั้งฉากของเวกเตอร์ได้ วิธีการวิเคราะห์.

คุณจะต้อง

• - ไม้โปรแทรกเตอร์;
• - เข็มทิศ;
• - ไม้บรรทัด.

คำแนะนำ

สร้างเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ณ จุดที่จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ ให้คืนค่าตั้งฉากกับเวกเตอร์ ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ โดยตั้งมุมไว้ 90 องศา หากคุณไม่มีไม้โปรแทรกเตอร์ ให้ใช้เข็มทิศทำ

ตั้งไว้ที่จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ วาดวงกลม รัศมีโดยพลการ- จากนั้นสร้างสองจุดโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่วงกลมแรกตัดกับเส้นตรงที่เวกเตอร์อยู่ รัศมีของวงกลมเหล่านี้จะต้องเท่ากันและใหญ่กว่าวงกลมแรกที่สร้างขึ้น ที่จุดตัดของวงกลม ให้สร้างเส้นตรงที่จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมที่จุดกำเนิดของมัน และลากเส้นเวกเตอร์นั้นตั้งฉากกับเวกเตอร์นี้

เวกเตอร์หน่วยคือ: , โดยที่ – โมดูลเวกเตอร์

คำตอบ:
.

บันทึก.พิกัดของเวกเตอร์หน่วยต้องไม่เกินหนึ่ง

6.3. ค้นหาโคไซน์ความยาวและทิศทางของเวกเตอร์ - เปรียบเทียบกับคำตอบในย่อหน้าก่อนหน้า วาดข้อสรุป

ความยาวของเวกเตอร์คือโมดูลัส:

และเราสามารถค้นหาโคไซน์ทิศทางได้โดยใช้สูตรสำหรับวิธีระบุเวกเตอร์วิธีใดวิธีหนึ่ง:

จากนี้เราจะเห็นว่าโคไซน์ทิศทางเป็นพิกัดของเวกเตอร์หน่วย

คำตอบ:
,
,
,
.

6.4. หา
.

จำเป็นต้องดำเนินการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข การบวก และโมดูลัส

เราคูณพิกัดของเวกเตอร์ด้วยเทอมตัวเลขต่อเทอม

เราบวกพิกัดของเทอมเวกเตอร์ทีละเทอม

การหาโมดูลัสของเวกเตอร์

คำตอบ:

6.5. กำหนดพิกัดเวกเตอร์
, เส้นตรงกับเวกเตอร์ โดยรู้ว่า
และทิศตรงข้ามกับเวกเตอร์ .

เวกเตอร์ แนวตรงกับเวกเตอร์ ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์หน่วยเท่ากับเวกเตอร์หน่วย ด้วยเครื่องหมายลบเท่านั้น เพราะ มุ่งไปในทิศทางตรงกันข้าม

เวกเตอร์หน่วยมีความยาวเท่ากับ 1 ซึ่งหมายความว่าหากคุณคูณด้วย 5 ความยาวก็จะเท่ากับ 5

เราพบ

คำตอบ:

6.6. คำนวณผลิตภัณฑ์ดอท
และ
- เวกเตอร์ตั้งฉากหรือไม่? และ ,และ ในหมู่พวกเขาเองเหรอ?

ลองทำผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์กัน

หากเวกเตอร์ตั้งฉาก ผลคูณสเกลาร์ของพวกมันจะเป็นศูนย์

เราเห็นแล้วว่าในกรณีของเราเวกเตอร์ และ ตั้งฉาก

คำตอบ:
,
, เวกเตอร์ไม่ตั้งฉาก

บันทึก.ความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์สเกลาร์มีประโยชน์เพียงเล็กน้อยในทางปฏิบัติ แต่ยังคงมีอยู่ ผลลัพธ์ของการกระทำดังกล่าวสามารถอธิบายและคำนวณได้ทางเรขาคณิต

6.7. หางานทำ จุดวัสดุที่ใช้แรงนั้น
เมื่อย้ายจากจุด B ไปยังจุด C

ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์สเกลาร์คืองาน เวกเตอร์แรงอยู่ตรงนี้ , เวกเตอร์การกระจัดคือ
- และผลคูณของเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นงานที่ต้องการ

หางาน

6.8. ค้นหามุมภายในที่จุดยอด ก และ มุมภายนอกที่ด้านบน ค สามเหลี่ยม เอบีซี .

จากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ เราได้สูตรในการหามุม:

ใน
เราจะมองหามุมภายในเป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่ง

ในการหามุมภายนอก คุณต้องรวมเวกเตอร์เข้าด้วยกันเพื่อให้พวกมันออกมาจากจุดหนึ่ง ภาพอธิบายสิ่งนี้

เป็นที่น่าสังเกตว่า
เพียงแต่มีพิกัดเริ่มต้นต่างกัน

การค้นหาเวกเตอร์และมุมที่จำเป็น

คำตอบ: มุมภายในที่จุดยอด A = , มุมภายนอกที่จุดยอด B = .

6.9. ค้นหาเส้นโครงของเวกเตอร์: และ

ให้เราจำเวกเตอร์เวกเตอร์:
,
,
.

การฉายภาพยังพบได้จากผลคูณสเกลาร์ด้วย

-การฉายภาพ ขบน ก.

เวกเตอร์ที่ได้รับก่อนหน้านี้

,
,

ค้นหาการฉายภาพ

ค้นหาเส้นโครงที่สอง

คำตอบ:
,

บันทึก.เครื่องหมายลบเมื่อค้นหาเส้นโครงหมายความว่าเส้นโครงไม่ได้ลงมาบนเวกเตอร์นั้นเอง แต่ไปในทิศทางตรงกันข้ามบนเส้นที่เวกเตอร์นี้อยู่

6.10. คำนวณ
.

ลองทำผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์กัน

เรามาค้นหาโมดูลกันดีกว่า

เราค้นหาไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์จากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์

คำตอบ:
,
,
.

6.11. หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เอบีซี และความยาวของส่วนสูงลงมาจากจุด C

ความหมายทางเรขาคณิตของโมดูลัสของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์คือมันเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์เหล่านี้ และพื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน

พื้นที่ของสามเหลี่ยมยังหาได้จากผลคูณของความสูงและฐานหารด้วย 2 ซึ่งสามารถหาสูตรในการหาความสูงได้

ดังนั้นเราจึงหาความสูงได้

คำตอบ:
,
.

6.12. ค้นหาเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ และ .

ผลลัพธ์ของดอทโปรดัคคือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมสองตัว และเวกเตอร์หน่วยก็คือเวกเตอร์ที่หารด้วยความยาวของมัน

ก่อนหน้านี้เราพบว่า:

,

คำตอบ:
.

6.13. กำหนดขนาดและทิศทางโคไซน์ของโมเมนต์แรง
ใช้กับ A สัมพันธ์กับจุด C

ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์คือโมเมนต์แห่งแรง เรามายกตัวอย่างสำหรับงานนี้กัน

การค้นหาช่วงเวลาแห่งพลัง

คำตอบ:
.

6.14. เวกเตอร์โกหกไหม ,และ อยู่ในเครื่องบินลำเดียวกันเหรอ? เวกเตอร์เหล่านี้สามารถสร้างพื้นฐานของปริภูมิได้หรือไม่? ทำไม หากทำได้ ให้ขยายเวกเตอร์เป็นฐานนี้
.

เพื่อตรวจสอบว่าเวกเตอร์อยู่ในระนาบเดียวกันหรือไม่ จำเป็นต้องทำผลคูณของเวกเตอร์เหล่านี้

ผลคูณผสมไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเวกเตอร์จึงไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน (ไม่ใช่ระนาบระนาบ) และสามารถสร้างฐานได้ มาย่อยสลายกันเถอะ บนพื้นฐานนี้

ให้เราขยายตามพื้นฐานด้วยการแก้สมการ

คำตอบ: เวกเตอร์ ,และ อย่านอนอยู่ในระนาบเดียวกัน
.

6.15. หา
- ทำไม เท่ากับปริมาตรพีระมิดที่มีจุดยอด A, B, C, D และความสูงลดลงจากจุด A ถึงฐาน BCD

ช ความหมายทางเรขาคณิต ผลิตภัณฑ์ผสมคือว่านี่คือปริมาตรของเส้นขนานที่เกิดจากเวกเตอร์เหล่านี้

ปริมาตรของปิรามิดนั้นน้อยกว่าปริมาตรของปิรามิดถึงหกเท่า

ปริมาตรของปิรามิดสามารถพบได้ดังนี้:

เราได้สูตรการหาความสูง

การหาความสูง

ตอบ ปริมาตร = 2.5 ส่วนสูง = .

6.16. คำนวณ
และ
.

– เราขอเชิญคุณคิดเกี่ยวกับงานนี้ด้วยตัวเอง

- มาทำงานกันเถอะ

ก่อนหน้านี้ได้รับ

คำตอบ:
.

6.17. คำนวณ

มาทำตามขั้นตอนในส่วนต่างๆ กัน

3)

ลองสรุปค่าที่ได้รับ

คำตอบ:
.

6.18. ค้นหาเวกเตอร์
โดยรู้ว่ามันตั้งฉากกับเวกเตอร์ และ และการฉายภาพลงบนเวกเตอร์ เท่ากับ 5

มาแบ่งงานนี้ออกเป็นสองงานย่อย

1) ค้นหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ และ ความยาวตามใจชอบ

เราได้เวกเตอร์ตั้งฉากจากผลคูณเวกเตอร์

ก่อนหน้านี้เราพบว่า:

เวกเตอร์ที่ต้องการจะมีความยาวแตกต่างจากเวกเตอร์ที่ได้รับเท่านั้น

2) มาหากัน ผ่านสมการ

6.19. ค้นหาเวกเตอร์
เป็นไปตามเงื่อนไข
,
,
.

ให้เราพิจารณาเงื่อนไขเหล่านี้โดยละเอียด

นี่คือระบบสมการเชิงเส้น มาเขียนและแก้ระบบนี้กัน

คำตอบ:

6.20. กำหนดพิกัดของเวกเตอร์
, พลานาร์กับเวกเตอร์ และ และตั้งฉากกับเวกเตอร์
.

ในงานนี้มีสองเงื่อนไข: coplanarity ของเวกเตอร์และตั้งฉาก; ก่อนอื่นมาทำตามเงื่อนไขแรกให้สำเร็จก่อนแล้วจึงทำอย่างที่สอง

1) ถ้าเวกเตอร์เป็นแบบระนาบเดียวกัน ผลคูณผสมของพวกมันจะเท่ากับศูนย์

จากที่นี่เราได้รับการขึ้นอยู่กับพิกัดของเวกเตอร์

ลองหาเวกเตอร์กัน .

2) ถ้าเวกเตอร์ตั้งฉาก ผลคูณสเกลาร์ของพวกมันจะเป็นศูนย์

เราได้รับการพึ่งพาครั้งที่สองของพิกัดของเวกเตอร์ที่ต้องการ

เพื่อความคุ้มค่าใดๆ เวกเตอร์จะเป็นไปตามเงื่อนไข มาทดแทนกันเถอะ
.

คำตอบ:
.

เรขาคณิตวิเคราะห์

ในส่วนของคำถาม ให้ค้นหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดโดยผู้เขียน อันนา อาฟานาซิวาคำตอบที่ดีที่สุดคือ เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่ขนานกันสองตัวจะพบว่าเป็นเวกเตอร์เหล่านั้น ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์อ่า เพื่อค้นหามัน คุณต้องเขียนดีเทอร์มิแนนต์ บรรทัดแรกจะประกอบด้วยหน่วย เวกเตอร์ I,j,kอันที่สองมาจากพิกัดของเวกเตอร์ a ส่วนอันที่สามมาจากพิกัดของเวกเตอร์ b ดีเทอร์มิแนนต์ถือเป็นส่วนขยายตามบรรทัดแรก ในกรณีของคุณ คุณจะได้ค่า akhv=20i-10k หรือ ahv=(20,0,-10)

ตอบกลับจาก 22 คำตอบ[คุรุ]

สวัสดี! นี่คือหัวข้อที่เลือกสรรพร้อมคำตอบสำหรับคำถามของคุณ: ค้นหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนดสองตัว

ตอบกลับจาก ยืดออก[มือใหม่]
เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่ขนานกันสองตัวพบว่าเป็นผลคูณเวกเตอร์ xx เพื่อค้นหาคุณจะต้องเขียนดีเทอร์มิแนนต์ บรรทัดแรกจะประกอบด้วย เวกเตอร์หน่วย I, j, k ตัวที่สองมาจากพิกัดของเวกเตอร์ a ตัวที่สามมาจากพิกัดของเวกเตอร์ b ดีเทอร์มิแนนต์ถือเป็นส่วนขยายตามบรรทัดแรก ในกรณีของคุณ คุณจะได้ค่า akhv=20i-10k หรือ ahv=(20,0,-10)

ตอบกลับจาก เฮย์ก้า[คุรุ]
แก้คร่าวๆ แบบนี้ครับ; แต่ก่อนอื่นอ่านเองทั้งหมด!! -
คำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ d และ r ถ้า d=-c+a+2b; r=-b+2a.
โมดูลัสของเวกเตอร์ a คือ 4 โมดูลัสของเวกเตอร์ b คือ 6 มุมระหว่างเวกเตอร์ a และ b คือ 60 องศา เวกเตอร์ c ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b
จุด E และ F อยู่ที่ด้าน AD และ BC ตามลำดับ สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCDและ AE=ED, BF: FC = 4: 3 a) จงเขียนเวกเตอร์ EF ในรูปของเวกเตอร์ m = เวกเตอร์ AB และเวกเตอร์ n = เวกเตอร์ AD b) เวกเตอร์ความเท่าเทียมกัน EF = x คูณด้วยเวกเตอร์ซีดีสามารถคงค่าใดๆ ของ x ได้หรือไม่ -

บทความนี้เปิดเผยความหมายของความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัวบนระนาบในปริภูมิสามมิติ และการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์หนึ่งคู่หรือทั้งคู่ หัวข้อนี้ใช้ได้กับปัญหาเกี่ยวกับสมการเส้นตรงและระนาบ

เราจะพิจารณาเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว แก้วิธีการหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด และสัมผัสกับสถานการณ์ในการค้นหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์สองตัว

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว

ลองใช้กฎเกี่ยวกับเวกเตอร์ตั้งฉากบนระนาบและในปริภูมิสามมิติ

คำจำกัดความ 1

โดยให้มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวเท่ากับ 90 ° (π 2 เรเดียน) เรียกว่า ตั้งฉาก.

สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไรและในสถานการณ์ใดที่จำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับความตั้งฉากของพวกเขา?

การสร้างความตั้งฉากสามารถทำได้ผ่านการวาดภาพ เมื่อวาดเวกเตอร์บนเครื่องบินจาก คะแนนที่ได้รับคุณสามารถวัดมุมระหว่างพวกมันได้ทางเรขาคณิต แม้ว่าความตั้งฉากของเวกเตอร์จะถูกสร้างขึ้นแล้ว แต่ก็จะไม่แม่นยำทั้งหมด บ่อยครั้งที่งานเหล่านี้ไม่อนุญาตให้คุณทำเช่นนี้โดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ วิธีนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อไม่มีความรู้เกี่ยวกับเวกเตอร์อีก

กรณีส่วนใหญ่ของการพิสูจน์ความตั้งฉากของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์สองตัวบนระนาบหรือในอวกาศนั้นเสร็จสิ้นแล้ว เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว.

ทฤษฎีบท 1

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว a → และ b → เท่ากับศูนย์เพื่อให้เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน a → , b → = 0 ก็เพียงพอแล้วสำหรับการตั้งฉากของพวกมัน

หลักฐานที่ 1

ปล่อยให้เวกเตอร์ที่กำหนด a → และ b → ตั้งฉาก จากนั้นเราจะพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน a ⇀, b → = 0

จากคำนิยามของ ผลคูณดอทของเวกเตอร์เรารู้ว่ามันเท่าเทียมกัน ผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ที่กำหนดและโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนด ตามเงื่อนไข a → และ b → ตั้งฉากกัน ดังนั้นตามคำจำกัดความ มุมระหว่างพวกมันคือ 90 ° จากนั้นเราก็มี → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .

ส่วนที่สองของการพิสูจน์

โดยมีเงื่อนไขว่า ⇀, b → = 0 พิสูจน์ความตั้งฉากของ a → และ b →

ในความเป็นจริงการพิสูจน์เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับข้อพิสูจน์ก่อนหน้านี้ เป็นที่ทราบกันว่า a → และ b → ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งหมายความว่าจากความเท่าเทียมกัน a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ เราพบโคไซน์ จากนั้นเราจะได้ cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 ตั้งแต่โคไซน์ เท่ากับศูนย์เราสามารถสรุปได้ว่ามุม a →, b → ^ ของเวกเตอร์ a → และ b → เท่ากับ 90 ° ตามคำนิยามแล้ว นี่เป็นทรัพย์สินที่จำเป็นและเพียงพอ

สภาพตั้งฉากบนระนาบพิกัด

บท ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ในพิกัดแสดงให้เห็นถึงความไม่เท่าเทียมกัน (a → , b →) = a x · b x + a y · b y ใช้ได้กับเวกเตอร์ที่มีพิกัด a → = (a x , a y) และ b → = (b x , b y) บนระนาบ และ (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y สำหรับเวกเตอร์ a → = (a x , a y , a z) และ b → = (b x , b y , b z) ในอวกาศ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัวในระนาบพิกัดคือ x · b x + a y · b y = 0 สำหรับ พื้นที่สามมิติ a x · b x + a y · by + a z · b z = 0

ลองนำไปปฏิบัติและดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

ตรวจสอบคุณสมบัติของความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4)

สารละลาย

เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณต้องหาผลคูณสเกลาร์ ถ้าตามเงื่อนไขมีค่าเท่ากับศูนย์ แสดงว่าตั้งฉากกัน

(ก → , b →) = a x · b x + a y · by = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 เป็นไปตามเงื่อนไข ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ที่กำหนดตั้งฉากกับระนาบ

คำตอบ:ใช่แล้ว เวกเตอร์ที่กำหนดให้ a → และ b → นั้นตั้งฉากกัน

ตัวอย่างที่ 2

ให้พิกัดเวกเตอร์ i → , j → , k → ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ i → - j → และ i → + 2 · j → + 2 · k → สามารถตั้งฉากได้หรือไม่

สารละลาย

เพื่อที่จะจดจำวิธีการกำหนดพิกัดเวกเตอร์ คุณต้องอ่านบทความเกี่ยวกับ พิกัดเวกเตอร์ใน ระบบสี่เหลี่ยมพิกัดดังนั้น เราพบว่าเวกเตอร์ที่ให้มา i → - j → และ i → + 2 · j → + 2 · k → มีพิกัดที่สอดคล้องกัน (1, - 1, 0) และ (1, 2, 2) มาทดแทนกันเถอะ ค่าตัวเลขและเราได้รับ: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1

นิพจน์ไม่เท่ากับศูนย์ (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0 ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ i → - j → และ i → + 2 j → + 2 k → ไม่ตั้งฉากเนื่องจากไม่ตรงตามเงื่อนไข

คำตอบ:ไม่ เวกเตอร์ i → - j → และ i → + 2 · j → + 2 · k → ไม่ตั้งฉาก

ตัวอย่างที่ 3

ให้เวกเตอร์ a → = (1, 0, - 2) และ b → = (แลม, 5, 1) จงหาค่าของ แล ที่เวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากกัน

สารละลาย

เราใช้เงื่อนไขตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัวในปริภูมิ รูปทรงสี่เหลี่ยมแล้วเราก็ได้

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ lad = 2

คำตอบ:เวกเตอร์ตั้งฉากกับค่า แล = 2

มีหลายกรณีที่คำถามเรื่องการตั้งฉากเป็นไปไม่ได้แม้ว่าจะมีความจำเป็นและก็ตาม สภาพที่เพียงพอ- เมื่อพิจารณาข้อมูลที่ทราบแล้วในด้านทั้งสามด้านของสามเหลี่ยมบนเวกเตอร์สองตัว ก็เป็นไปได้ที่จะค้นหา มุมระหว่างเวกเตอร์และตรวจสอบมัน

ตัวอย่างที่ 4

เมื่อกำหนดรูปสามเหลี่ยม A B C โดยมีด้าน A B = 8, A C = 6, B C = 10 ซม. ตรวจสอบเวกเตอร์ A B → และ A C → เพื่อดูความตั้งฉาก

สารละลาย

ถ้าเวกเตอร์ A B → และ A C → ตั้งฉากกัน สามเหลี่ยม A B C จะถือเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก จากนั้นเราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส โดยที่ B C คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ความเท่าเทียมกัน B C 2 = A B 2 + AC 2 จะต้องเป็นจริง ตามมาด้วย 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 ซึ่งหมายความว่า A B และ A C เป็นขาของสามเหลี่ยม A B C ดังนั้น A B → และ A C → จึงตั้งฉากกัน

สิ่งสำคัญคือต้องเรียนรู้วิธีค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับค่าที่กำหนด สิ่งนี้เป็นไปได้ทั้งบนเครื่องบินและในอวกาศ โดยมีเงื่อนไขว่าเวกเตอร์ตั้งฉาก

การหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนดในระนาบ

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ a → อาจมี จำนวนอนันต์เวกเตอร์ตั้งฉากบนเครื่องบิน ลองพรรณนาสิ่งนี้บนเส้นพิกัด

เมื่อกำหนดเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ a → นอนอยู่บนเส้นตรง a จากนั้น b → ที่กำหนด ซึ่งอยู่บนเส้นตั้งฉากกับเส้น a จะตั้งฉากกับ a → ถ้าเวกเตอร์ i → ตั้งฉากกับเวกเตอร์ j → หรือเวกเตอร์ใดๆ แลมบ์ → โดยที่ แล เท่ากับใดๆ จำนวนจริงยกเว้นศูนย์ จากนั้นการหาพิกัดของเวกเตอร์ b → ตั้งฉากกับ a → = (a x , a y) จะลดลงเหลือเซตของคำตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ → = (a x , a y) . ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องเขียนเงื่อนไขตั้งฉากของเวกเตอร์ในรูปแบบต่อไปนี้: a x · b x + a y · b y = 0 เรามี b x และ b y ซึ่งเป็นพิกัดที่ต้องการของเวกเตอร์ตั้งฉาก เมื่อ a x ≠ 0 ค่าของ b y ไม่ใช่ศูนย์ และ b x สามารถคำนวณได้จากความไม่เท่าเทียมกัน a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x สำหรับ a x = 0 และ a y ≠ 0 เราจะกำหนดค่า b x ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และค้นหา b y จากนิพจน์ b y = - a x · b x a y

ตัวอย่างที่ 5

กำหนดเวกเตอร์ที่มีพิกัด a → = (- 2 , 2) จงหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับสิ่งนี้

สารละลาย

ให้เราแสดงเวกเตอร์ที่ต้องการเป็น b → (b x , b y) . พิกัดของมันสามารถพบได้จากเงื่อนไขที่ว่าเวกเตอร์ a → และ b → ตั้งฉากกัน จากนั้นเราจะได้: (a → , b →) = a x · bx + a y · b y = - 2 · bx + 2 · by = 0 ลองกำหนด b y = 1 และแทน: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 ดังนั้น จากสูตรเราจะได้ b x = - 2 - 2 = 1 2 ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ b → = (1 2 , 1) เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ a →

คำตอบ:ข → = (1 2 , 1) .

หากตั้งคำถามเกี่ยวกับปริภูมิสามมิติ ปัญหาก็จะได้รับการแก้ไขตามหลักการเดียวกัน สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนด a → = (a x , a y , a z) นั่นก็คือ ชุดอนันต์เวกเตอร์ตั้งฉาก จะแก้ไขปัญหานี้บนระนาบพิกัดสามมิติ ให้ → นอนอยู่บนเส้นก ระนาบตั้งฉากกับเส้นตรง a เขียนแทนด้วย α ในกรณีนี้ เวกเตอร์ b → ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ จากระนาบ α จะตั้งฉากกับ a →

จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของ b → ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ a → = (a x , a y , a z) .

ให้ b → ได้รับพร้อมกับพิกัด b x , b y และ b z . ในการค้นหาจำเป็นต้องใช้คำจำกัดความของเงื่อนไขตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว ต้องมีความเท่าเทียมกัน a x · b x + a y · by + a z · b z = 0 จากเงื่อนไข a → ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าพิกัดใดพิกัดหนึ่งไม่มีค่า เท่ากับศูนย์- สมมติว่า a x ≠ 0, (a y ≠ 0 หรือ a z ≠ 0) ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์หารความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ด้วยพิกัดนี้ เราได้นิพจน์ b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . เรากำหนดค่าใด ๆ ให้กับพิกัด b y และ b x คำนวณค่าของ b x ตามสูตร b x = - a y · b y + a z · b z a x เวกเตอร์ตั้งฉากที่ต้องการจะมีค่า a → = (a x, a y, a z)

ลองดูหลักฐานโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 6

กำหนดเวกเตอร์ด้วยพิกัด a → = (1, 2, 3)  ค้นหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

สารละลาย

ให้เราแสดงเวกเตอร์ที่ต้องการด้วย b → = (b x , b y , b z) . ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่ว่าเวกเตอร์ตั้งฉาก ผลคูณสเกลาร์จะต้องเท่ากับศูนย์

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 by + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

หากค่าคือ b y = 1, b z = 1 ดังนั้น b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5 ตามนั้นพิกัดของเวกเตอร์ b → (- 5 , 1 , 1) . เวกเตอร์ b → เป็นหนึ่งในเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

คำตอบ:ข → = (- 5 , 1 , 1) .

การค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนดสองตัว

เราจำเป็นต้องค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ในพื้นที่สามมิติ มันตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์ a → (a x , a y , a z) และ b → = (b x , b y , b z) โดยมีเงื่อนไขว่าเวกเตอร์ a → และ b → เป็นเส้นตรง ก็เพียงพอแล้วที่จะหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับ a → หรือ b → ในโจทย์

เมื่อแก้โจทย์จะใช้แนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → และ b → เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้ง a → และ b → พร้อมกัน ในการแก้ปัญหานี้ จะใช้ผลคูณเวกเตอร์ a → × b → สำหรับปริภูมิสามมิติ จะมีรูปแบบ a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

ลองดูที่ผลคูณเวกเตอร์โดยละเอียดโดยใช้ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 7

จะได้เวกเตอร์ b → = (0, 2, 3) และ a → = (2, 1, 0) ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ใดๆ ที่ตั้งฉากกับข้อมูลพร้อมกัน

สารละลาย

ในการแก้ปัญหา คุณต้องหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ (โปรดดูย่อหน้า การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เพื่อหาเวกเตอร์) เราได้รับ:

ก → × b → = ฉัน → เจ → k → 2 1 0 0 2 3 = ฉัน → 1 3 + เจ → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - เจ → 2 3 - ฉัน → 0 2 = 3 ผม → + (- 6) เจ → + 4 k →

คำตอบ: (3 , - 6 , 4) - พิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากพร้อมกันกับ a → และ b → ที่กำหนด

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

โอห์ม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกเราจะแนะนำแนวคิดของเซ็กเมนต์

คำจำกัดความ 1

เราจะเรียกส่วนนั้นว่าเป็นส่วนหนึ่งของเส้นที่ล้อมรอบด้วยจุดทั้งสองด้าน

คำจำกัดความ 2

ส่วนปลายของส่วนคือจุดที่จำกัดส่วนนั้น

เพื่อแนะนำคำจำกัดความของเวกเตอร์ ลองเรียกปลายด้านหนึ่งของเซกเมนต์ว่าเป็นจุดเริ่มต้น

คำจำกัดความ 3

เราจะเรียกเวกเตอร์ (เซ็กเมนต์ที่มีทิศทาง) ว่าเซ็กเมนต์ที่มีจุดขอบเขตเป็นจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

สัญลักษณ์: \overline(AB) เป็นเวกเตอร์ AB ที่เริ่มต้นที่จุด A และสิ้นสุดที่จุด B

มิฉะนั้น ให้ใช้อักษรตัวเล็กตัวเดียว: \overline(a) (รูปที่ 1)

คำจำกัดความที่ 4

เราจะเรียกเวกเตอร์ศูนย์ว่าจุดใดๆ ที่เป็นของระนาบ

สัญลักษณ์: \overline(0) .

ตอนนี้เราขอแนะนำคำจำกัดความโดยตรง เวกเตอร์คอลลิเนียร์.

นอกจากนี้เรายังจะแนะนำคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ซึ่งเราจะต้องใช้ในภายหลัง

คำนิยาม 6

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดสองตัวคือสเกลาร์ (หรือตัวเลข) ที่เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์สองตัวนี้โดยมีโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้

ในทางคณิตศาสตร์มันอาจจะดูเหมือน ดังต่อไปนี้:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

ดอทโปรดัคยังสามารถพบได้โดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ดังต่อไปนี้

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

สัญลักษณ์ของความตั้งฉากผ่านสัดส่วน

ทฤษฎีบท 1

เพื่อให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ตั้งฉากกัน มีความจำเป็นและเพียงพอที่ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับศูนย์

การพิสูจน์.

ความจำเป็น: ให้เราได้รับเวกเตอร์ \overline(α) และ \overline(β) ที่มีพิกัด (α_1,α_2,α_3) และ (β_1,β_2,β_3) ตามลำดับ และพวกมันตั้งฉากกัน จากนั้นเราจะต้องพิสูจน์ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้

เนื่องจากเวกเตอร์ \overline(α) และ \overline(β) ตั้งฉากกัน มุมระหว่างพวกมันคือ 90^0 ลองหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้โดยใช้สูตรจากคำจำกัดความ 6

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

ความพอเพียง: ให้ความเท่าเทียมกันเป็นจริง \overline(α)\cdot \overline(β)=0- ขอให้เราพิสูจน์ว่าเวกเตอร์ \overline(α) และ \overline(β) จะตั้งฉากกัน

ตามคำจำกัดความที่ 6 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

ดังนั้น เวกเตอร์ \overline(α) และ \overline(β) จะตั้งฉากกัน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 1

พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ที่มีพิกัด (1,-5,2) และ (2,1,3/2) ตั้งฉากกัน

การพิสูจน์.

ลองหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้โดยใช้สูตรที่ให้ไว้ข้างต้น

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

ซึ่งหมายความว่าตามทฤษฎีบทที่ 1 เวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากกัน

การหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนดสองตัวโดยใช้ผลคูณไขว้

ก่อนอื่นเราขอแนะนำแนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ก่อน

คำนิยาม 7

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวจะเป็นเวกเตอร์ที่จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองที่กำหนด และความยาวของมันจะเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ และเวกเตอร์นี้ที่มีสองเวกเตอร์ด้วย อันแรกมีทิศทางเดียวกันกับ ระบบคาร์ทีเซียนพิกัด

การกำหนด: \overline(α)x\overline(β)x.

ในการหาผลคูณเวกเตอร์ เราจะใช้สูตร

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

เนื่องจากเวกเตอร์ของผลคูณครอสของเวกเตอร์สองตัวตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองตัวนี้ มันจะเป็นเวกเตอร์ นั่นคือ เพื่อที่จะหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์สองตัว คุณเพียงแค่ต้องหาผลคูณเวกเตอร์ของพวกมัน

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ด้วยพิกัด \overline(α)=(1,2,3) และ \overline(β)=(-1,0,3)

ลองหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์เหล่านี้กัน

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x