เรียกว่าแกนแอบซิสซาและแกนพิกัด พิกัด เวกเตอร์. พิกัดเวกเตอร์มักจะระบุอยู่ในแบบฟอร์ม (x, ย)และเวกเตอร์เองเป็น: =(x, y)
สูตรหาพิกัดเวกเตอร์สำหรับปัญหาสองมิติ
ในกรณีของปัญหาสองมิติ เวกเตอร์ที่ทราบ พิกัดของจุด ก(x 1; ปี 1)และ บี(x 2 ; ย 2 ) สามารถคำนวณได้:
= (x 2 - x 1; และ 2 - ปี 1)
สูตรหาพิกัดเวกเตอร์สำหรับปัญหาเชิงพื้นที่
ในกรณีที่เกิดปัญหาเชิงพื้นที่เวกเตอร์ที่ทราบ พิกัดของจุดก (x 1; และ 1;z 1 ) และบี (x 2 ; ย 2 ; z 2 ) สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
= (x 2 - x 1 ; ย 2 - ย 1 ; z 2 - z 1 ).
พิกัดให้คำอธิบายที่ครอบคลุมของเวกเตอร์ เนื่องจากเป็นไปได้ที่จะสร้างเวกเตอร์เองโดยใช้พิกัด เมื่อทราบพิกัดแล้วจึงง่ายต่อการคำนวณและ ความยาวเวกเตอร์- (ทรัพย์สิน 3 ด้านล่าง)
คุณสมบัติของพิกัดเวกเตอร์
1. อะไรก็ได้ เวกเตอร์ที่เท่ากันในระบบพิกัดเดียวได้ พิกัดที่เท่ากัน.
2. พิกัด เวกเตอร์คอลลิเนียร์สัดส่วน. โดยมีเงื่อนไขว่าไม่มีเวกเตอร์ตัวใดเป็นศูนย์
3. กำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ใดๆ เท่ากับผลรวมของกำลังสองของเวกเตอร์นั้น พิกัด.
4.ระหว่างการผ่าตัด การคูณเวกเตอร์บน เบอร์จริงแต่ละพิกัดจะคูณด้วยตัวเลขนี้
5. เมื่อบวกเวกเตอร์ เราจะคำนวณผลรวมของค่าที่เกี่ยวข้อง พิกัดเวกเตอร์.
6. ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์สองตัวเท่ากับผลรวมของผลคูณของพิกัดที่สอดคล้องกัน
การค้นหาพิกัดของเวกเตอร์เป็นเงื่อนไขทั่วไปสำหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง ความสามารถในการค้นหาพิกัดเวกเตอร์จะช่วยคุณแก้ปัญหาอื่นๆ ที่ซับซ้อนกว่าในหัวข้อที่คล้ายกัน ในบทความนี้เราจะดูสูตรในการหาพิกัดเวกเตอร์และปัญหาต่างๆ
การหาพิกัดของเวกเตอร์ในระนาบ
เครื่องบินคืออะไร? ระนาบถือเป็นปริภูมิสองมิติ ซึ่งเป็นปริภูมิที่มีสองมิติ (มิติ x และมิติ y) เช่น กระดาษแบน พื้นผิวโต๊ะเรียบ รูปทรงที่ไม่ใช่ปริมาตร (สี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู) ก็เป็นระนาบเช่นกัน ดังนั้น หากในประโยคปัญหาคุณจำเป็นต้องค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ที่อยู่บนระนาบ เราจะจำค่า x และ y ได้ทันที คุณสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ได้ดังนี้: พิกัด AB ของเวกเตอร์ = (xB – xA; yB – xA) สูตรแสดงว่าคุณต้องลบพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุด
ตัวอย่าง:
- Vector CD มีพิกัดเริ่มต้น (5; 6) และสุดท้าย (7; 8)
- ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์นั้นเอง
- เมื่อใช้สูตรข้างต้นเราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2)
- ดังนั้น พิกัดของเวกเตอร์ซีดี = (2; 2)
- ดังนั้น พิกัด x เท่ากับ 2 พิกัด y ก็คือ 2 เช่นกัน
การหาพิกัดของเวกเตอร์ในอวกาศ
พื้นที่คืออะไร? อวกาศเป็นมิติสามมิติอยู่แล้ว โดยให้พิกัด 3 พิกัด: x, y, z หากคุณต้องการค้นหาเวกเตอร์ที่อยู่ในอวกาศ สูตรจะไม่เปลี่ยนแปลงในทางปฏิบัติ เพิ่มพิกัดเดียวเท่านั้น ในการค้นหาเวกเตอร์ คุณต้องลบพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดสิ้นสุด AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)
ตัวอย่าง:
- เวกเตอร์ DF มีค่าเริ่มต้น (2; 3; 1) และสุดท้าย (1; 5; 2)
- เมื่อใช้สูตรข้างต้น เราจะได้: พิกัดเวกเตอร์ DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1)
- โปรดจำไว้ว่าค่าพิกัดอาจเป็นลบได้ ไม่มีปัญหา
จะหาพิกัดเวกเตอร์ออนไลน์ได้อย่างไร?
หากคุณไม่ต้องการค้นหาพิกัดด้วยตัวเองด้วยเหตุผลบางประการ คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ได้ ในการเริ่มต้น ให้เลือกมิติเวกเตอร์ มิติของเวกเตอร์มีหน้าที่รับผิดชอบมิติของมัน มิติที่ 3 หมายความว่าเวกเตอร์อยู่ในอวกาศ มิติที่ 2 หมายความว่าเวกเตอร์อยู่บนระนาบ จากนั้น ใส่พิกัดของจุดลงในช่องที่เหมาะสม จากนั้นโปรแกรมจะกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ให้กับคุณ ทุกอย่างง่ายมาก
เมื่อคลิกปุ่ม หน้าจะเลื่อนลงโดยอัตโนมัติและให้คำตอบที่ถูกต้องพร้อมกับขั้นตอนการแก้ปัญหา
ขอแนะนำให้ศึกษาหัวข้อนี้ให้ดีเพราะแนวคิดของเวกเตอร์นั้นไม่เพียงพบในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังพบในฟิสิกส์ด้วย นักศึกษาคณะเทคโนโลยีสารสนเทศก็ศึกษาหัวข้อเวกเตอร์เช่นกัน แต่ในระดับที่ซับซ้อนกว่า
ในที่สุดฉันก็ได้รับมือกับหัวข้ออันกว้างใหญ่และรอคอยมานานนี้ เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์- ก่อนอื่น เล็กน้อยเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงในส่วนนี้... ตอนนี้คุณจำหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนที่มีทฤษฎีบทมากมาย การพิสูจน์ ภาพวาด ฯลฯ ได้อย่างแน่นอน สิ่งที่ต้องซ่อน วิชาที่ไม่มีใครรักและมักจะคลุมเครือสำหรับนักเรียนในสัดส่วนที่มีนัยสำคัญ เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ที่น่าแปลกก็คืออาจดูน่าสนใจและเข้าถึงได้ง่ายกว่า คำว่า “วิเคราะห์” มีความหมายว่าอย่างไร? วลีทางคณิตศาสตร์ที่ซ้ำซากจำเจสองวลีเข้ามาในใจทันที: "วิธีการแก้ปัญหาแบบกราฟิก" และ "วิธีการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์" วิธีการแบบกราฟิกแน่นอนว่าเกี่ยวข้องกับการสร้างกราฟและภาพวาด วิเคราะห์เดียวกัน วิธีเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหา ส่วนใหญ่ผ่านการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต ในเรื่องนี้อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดของเรขาคณิตวิเคราะห์นั้นง่ายและโปร่งใส บ่อยครั้งที่การใช้สูตรที่จำเป็นอย่างระมัดระวังก็เพียงพอแล้ว - และคำตอบก็พร้อมแล้ว! ไม่ แน่นอน เราจะไม่สามารถทำได้หากไม่มีภาพวาดเลย และนอกจากนี้ เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นในเนื้อหา ฉันจะพยายามอ้างอิงสิ่งเหล่านี้โดยไม่จำเป็น
บทเรียนที่เพิ่งเปิดใหม่เกี่ยวกับเรขาคณิตไม่ได้อ้างว่าเสร็จสมบูรณ์ทางทฤษฎี แต่มุ่งเน้นไปที่การแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ ฉันจะรวมเฉพาะสิ่งที่สำคัญในทางปฏิบัติเท่านั้นในการบรรยายของฉัน หากคุณต้องการความช่วยเหลือที่สมบูรณ์เพิ่มเติมในส่วนย่อยใด ๆ ฉันขอแนะนำวรรณกรรมที่เข้าถึงได้ง่ายต่อไปนี้:
1) เรื่องที่คนหลายชั่วอายุคนคุ้นเคยกันดี: หนังสือเรียนเรื่องเรขาคณิตของโรงเรียน, ผู้เขียน - แอล.เอส. Atanasyan และบริษัท- ไม้แขวนเสื้อห้องล็อกเกอร์ของโรงเรียนนี้พิมพ์ซ้ำไปแล้ว 20 (!) ครั้ง ซึ่งแน่นอนว่าไม่ใช่ขีดจำกัด
2) เรขาคณิตใน 2 เล่ม- ผู้เขียน แอล.เอส. อตานาเซียน, บาซีเลฟ วี.ที.- นี่คือวรรณกรรมสำหรับโรงเรียนมัธยมปลาย คุณจะต้องมี เล่มแรก- งานที่ไม่ค่อยพบบ่อยอาจหลุดลอยไปจากสายตาของฉัน และบทช่วยสอนจะเป็นประโยชน์อันล้ำค่า
สามารถดาวน์โหลดหนังสือทั้งสองเล่มได้ฟรีทางออนไลน์ นอกจากนี้ คุณสามารถใช้ไฟล์เก็บถาวรของฉันกับโซลูชันสำเร็จรูปซึ่งสามารถพบได้ในหน้านี้ ดาวน์โหลดตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง.
ในบรรดาเครื่องมือต่างๆ ฉันขอเสนอการพัฒนาของตัวเองอีกครั้ง - แพคเกจซอฟต์แวร์ในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ซึ่งจะทำให้ชีวิตง่ายขึ้นอย่างมาก และประหยัดเวลาได้มาก
สันนิษฐานว่าผู้อ่านคุ้นเคยกับแนวคิดและตัวเลขทางเรขาคณิตขั้นพื้นฐาน: จุด เส้น ระนาบ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมด้านขนาน ลูกบาศก์ ฯลฯ ขอแนะนำให้จำทฤษฎีบทบางทฤษฎีอย่างน้อยก็ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสวัสดีผู้ทำซ้ำ)
และตอนนี้เราจะพิจารณาตามลำดับ: แนวคิดของเวกเตอร์, การกระทำกับเวกเตอร์, พิกัดเวกเตอร์ ฉันแนะนำให้อ่านเพิ่มเติม บทความที่สำคัญที่สุด ผลคูณดอทของเวกเตอร์, และนอกจากนี้ยังมี เวกเตอร์และผลคูณของเวกเตอร์- งานในท้องถิ่น - การแบ่งส่วนในส่วนนี้ - จะไม่ฟุ่มเฟือยเช่นกัน จากข้อมูลข้างต้น คุณสามารถเชี่ยวชาญได้ สมการของเส้นตรงในระนาบกับ ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดซึ่งจะช่วยให้ เรียนรู้การแก้ปัญหาเรขาคณิต- บทความต่อไปนี้มีประโยชน์เช่นกัน: สมการของเครื่องบินในอวกาศ, สมการของเส้นตรงในอวกาศ,ปัญหาเบื้องต้นเกี่ยวกับเส้นตรงและระนาบ, ส่วนอื่นๆ ของเรขาคณิตวิเคราะห์ โดยปกติแล้ว งานมาตรฐานจะได้รับการพิจารณาไปพร้อมกัน
แนวคิดเรื่องเวกเตอร์ เวกเตอร์ฟรี
ก่อนอื่น เรามาทวนคำจำกัดความของเวกเตอร์แบบโรงเรียนกันก่อน เวกเตอร์เรียกว่า กำกับส่วนที่ระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:
ในกรณีนี้ จุดเริ่มต้นของส่วนคือจุด จุดสิ้นสุดของส่วนคือจุด เวกเตอร์นั้นเขียนแทนด้วย ทิศทางเป็นสิ่งสำคัญ ถ้าคุณเลื่อนลูกศรไปที่ปลายอีกด้านของเซ็กเมนต์ คุณจะได้เวกเตอร์ และมันก็เป็นเช่นนั้นแล้ว เวกเตอร์ที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง- สะดวกในการระบุแนวคิดของเวกเตอร์ด้วยการเคลื่อนไหวของร่างกาย: คุณต้องยอมรับว่าการเข้าประตูสถาบันหรือการออกจากประตูสถาบันเป็นสิ่งที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง
สะดวกในการพิจารณาแต่ละจุดของเครื่องบินหรืออวกาศตามที่เรียกว่า เวกเตอร์เป็นศูนย์- สำหรับเวกเตอร์ดังกล่าว จุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นตรงกัน
- บันทึก: ที่นี่และต่อไป คุณสามารถสรุปได้ว่าเวกเตอร์อยู่ในระนาบเดียวกันหรือคุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในอวกาศ - สาระสำคัญของวัสดุที่นำเสนอนั้นใช้ได้กับทั้งระนาบและอวกาศ
การกำหนด:หลายคนสังเกตเห็นแท่งไม้นั้นทันทีโดยไม่มีลูกศรอยู่ในชื่อ และบอกว่ามีลูกศรอยู่ด้านบนด้วย! จริงอยู่คุณสามารถเขียนด้วยลูกศร: แต่ก็เป็นไปได้เช่นกัน รายการที่ฉันจะใช้ในอนาคต- ทำไม เห็นได้ชัดว่านิสัยนี้พัฒนาขึ้นด้วยเหตุผลในทางปฏิบัติ เพราะนักกีฬาของฉันที่โรงเรียนและมหาวิทยาลัยกลายเป็นคนที่มีขนาดแตกต่างกันเกินไปและมีขนดก ในวรรณกรรมเพื่อการศึกษา บางครั้งพวกเขาไม่สนใจการเขียนอักษรรูปลิ่มเลย แต่เน้นตัวอักษรด้วยตัวหนา: ซึ่งหมายความว่านี่คือเวกเตอร์
นั่นคือโวหาร และตอนนี้เกี่ยวกับวิธีการเขียนเวกเตอร์:
1) เวกเตอร์สามารถเขียนด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่สองตัว: 
และอื่น ๆ ในกรณีนี้คืออักษรตัวแรก อย่างจำเป็นหมายถึงจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และตัวอักษรตัวที่สองหมายถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์
2) เวกเตอร์เขียนด้วยตัวอักษรละตินตัวเล็ก:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวกเตอร์ของเราสามารถกำหนดใหม่ให้สั้นลงได้ด้วยอักษรละตินตัวเล็ก
ความยาวหรือ โมดูลเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เรียกว่าความยาวของเซ็กเมนต์ ความยาวของเวกเตอร์ศูนย์คือศูนย์ ตรรกะ
ความยาวของเวกเตอร์แสดงด้วยเครื่องหมายโมดูลัส: ,
เราจะเรียนรู้วิธีค้นหาความยาวของเวกเตอร์ (หรือเราจะทำซ้ำ ขึ้นอยู่กับว่าใคร) ในภายหลัง
นี่เป็นข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ที่เด็กนักเรียนทุกคนคุ้นเคย ในเรขาคณิตวิเคราะห์ที่เรียกว่า เวกเตอร์ฟรี.
พูดง่ายๆ ก็คือ - เวกเตอร์สามารถพล็อตได้จากจุดใดก็ได้:
เราคุ้นเคยกับการเรียกเวกเตอร์ดังกล่าวว่าเท่ากัน (คำจำกัดความของเวกเตอร์ที่เท่ากันจะได้รับด้านล่าง) แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ พวกมันคือ SAME VECTOR หรือ เวกเตอร์ฟรี- ทำไมฟรี? เพราะในการแก้ปัญหา คุณสามารถ "แนบ" เวกเตอร์ "โรงเรียน" นี้หรือนั้นกับจุดใดก็ได้ของระนาบหรือพื้นที่ที่คุณต้องการ นี่เป็นคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมมาก! ลองนึกภาพส่วนที่กำกับซึ่งมีความยาวและทิศทางตามอำเภอใจ - มันสามารถ "โคลน" ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง และจริงๆ แล้ว ณ จุดใดก็ได้ในอวกาศ มีอยู่ทุกที่ มีนักเรียนคนหนึ่งพูดว่า: อาจารย์ทุกคนต่างให้ความสำคัญกับเวกเตอร์ ท้ายที่สุดมันไม่ได้เป็นเพียงสัมผัสที่มีไหวพริบ แต่ทุกอย่างถูกต้อง - คุณสามารถเพิ่มส่วนที่กำกับไว้ที่นั่นได้เช่นกัน แต่อย่าเพิ่งรีบดีใจไป เพราะนิสิตเองต่างหากที่ต้องทนทุกข์ =)
ดังนั้น, เวกเตอร์ฟรี- นี้ พวงของ ส่วนกำกับที่เหมือนกัน คำจำกัดความของเวกเตอร์ของโรงเรียน ซึ่งให้ไว้ที่ตอนต้นของย่อหน้า: “ส่วนที่กำกับเรียกว่าเวกเตอร์…” โดยนัย เฉพาะเจาะจงส่วนตรงที่นำมาจากชุดที่กำหนด ซึ่งเชื่อมโยงกับจุดเฉพาะในระนาบหรือพื้นที่
ควรสังเกตว่าจากมุมมองของฟิสิกส์ แนวคิดของเวกเตอร์อิสระโดยทั่วไปนั้นไม่ถูกต้อง และประเด็นของการประยุกต์ใช้ก็มีความสำคัญ อันที่จริงการตีโดยตรงด้วยแรงเดียวกันที่จมูกหรือหน้าผากซึ่งเพียงพอที่จะพัฒนาตัวอย่างโง่ ๆ ของฉันนั้นนำมาซึ่งผลที่ตามมาที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม, ไม่ว่างเวกเตอร์ยังพบได้ในหลักสูตร vyshmat (อย่าไปที่นั่น :))
การดำเนินการกับเวกเตอร์ เส้นตรงของเวกเตอร์
หลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนครอบคลุมการกระทำและกฎเกณฑ์หลายประการด้วยเวกเตอร์: การบวกตามกฎสามเหลี่ยม การบวกตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน กฎผลต่างเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ฯลฯเพื่อเป็นจุดเริ่มต้น ให้เราทำซ้ำกฎสองข้อที่เกี่ยวข้องโดยเฉพาะในการแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์
กฎสำหรับการบวกเวกเตอร์โดยใช้กฎสามเหลี่ยม
พิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวโดยพลการและ: 
คุณต้องหาผลบวกของเวกเตอร์พวกนี้ เนื่องจากเวกเตอร์ทั้งหมดถือว่าฟรี เราจึงแยกเวกเตอร์นั้นออกไป จบเวกเตอร์: 
ผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับกฎ ขอแนะนำให้ใส่ความหมายทางกายภาพลงไป: ปล่อยให้ร่างกายบางส่วนเดินทางไปตามเวกเตอร์ แล้วไปตามเวกเตอร์ จากนั้นผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ของเส้นทางผลลัพธ์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดที่จุดที่มาถึง กฎที่คล้ายกันถูกกำหนดขึ้นสำหรับผลรวมของเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้ อย่างที่พวกเขาพูดกันว่าร่างกายสามารถโน้มตัวไปตามซิกแซกหรืออาจจะเป็นแบบอัตโนมัติ - ไปตามเวกเตอร์ผลลัพธ์ของผลรวม
ยังไงก็ตามหากเวกเตอร์ถูกเลื่อนออกไป เริ่มเวกเตอร์ แล้วเราจะได้ค่าที่เท่ากัน กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานการบวกเวกเตอร์
ประการแรก เกี่ยวกับความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า คอลลิเนียร์ถ้าพวกมันอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นคู่ขนาน พูดคร่าวๆ, เรากำลังพูดถึงเวกเตอร์คู่ขนาน แต่สำหรับคำเหล่านั้น คำคุณศัพท์ "collinear" มักจะถูกใช้เสมอ
ลองนึกภาพเวกเตอร์เชิงเส้นสองตัว หากลูกศรของเวกเตอร์เหล่านี้หันไปในทิศทางเดียวกัน ก็จะเรียกเวกเตอร์ดังกล่าว ร่วมกำกับ- หากลูกศรชี้ไปในทิศทางที่ต่างกัน เวกเตอร์ก็จะเป็นเช่นนี้ ทิศทางตรงกันข้าม.
การกำหนด:ความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์เขียนด้วยสัญลักษณ์ความเท่าเทียมตามปกติ: ในขณะที่รายละเอียดเป็นไปได้: (เวกเตอร์มีทิศทางร่วม) หรือ (เวกเตอร์มีทิศทางตรงกันข้าม)
การทำงานเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์บนตัวเลขคือเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ และเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางร่วมและทิศทางตรงกันข้ามที่
กฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขนั้นง่ายต่อการเข้าใจโดยใช้รูปภาพ: 
มาดูรายละเอียดเพิ่มเติม:
1) ทิศทาง หากตัวคูณเป็นลบ แสดงว่าเวกเตอร์ เปลี่ยนทิศทางในทางตรงกันข้าม
2) ความยาว หากตัวคูณอยู่ภายใน หรือ ความยาวของเวกเตอร์ ลดลง- ดังนั้น ความยาวของเวกเตอร์คือครึ่งหนึ่งของความยาวของเวกเตอร์ ถ้าโมดูลัสของตัวคูณมากกว่า 1 แสดงว่าความยาวของเวกเตอร์ เพิ่มขึ้นภายในเวลาที่กำหนด.
3) โปรดทราบว่า เวกเตอร์ทั้งหมดอยู่ในแนวเดียวกันในขณะที่เวกเตอร์ตัวหนึ่งแสดงผ่านอีกตัวหนึ่ง ตัวอย่างเช่น สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน: หากเวกเตอร์ตัวหนึ่งสามารถแสดงผ่านอีกเวกเตอร์หนึ่งได้ เวกเตอร์นั้นจำเป็นต้องอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้น: ถ้าเราคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เราจะได้เส้นตรง(สัมพันธ์กับต้นฉบับ) เวกเตอร์.
4) เวกเตอร์มีทิศทางร่วม เวกเตอร์และยังมีกำกับร่วมด้วย เวกเตอร์ใดๆ ของกลุ่มแรกจะมีทิศทางตรงข้ามกับเวกเตอร์ใดๆ ของกลุ่มที่สอง
เวกเตอร์ใดเท่ากัน?
เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันหากอยู่ในทิศทางเดียวกันและมีความยาวเท่ากัน- โปรดทราบว่าความเป็นทิศทางร่วมหมายถึงความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ คำจำกัดความจะไม่ถูกต้อง (ซ้ำซ้อน) ถ้าเราพูดว่า: “เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันถ้าพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน มีทิศทางร่วม และมีความยาวเท่ากัน”
จากมุมมองของแนวคิดของเวกเตอร์อิสระ เวกเตอร์ที่เท่ากันนั้นเป็นเวกเตอร์เดียวกันดังที่กล่าวไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า
พิกัดเวกเตอร์บนเครื่องบินและในอวกาศ
ประเด็นแรกคือการพิจารณาเวกเตอร์บนเครื่องบิน ขอให้เราพรรณนาระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนและพล็อตมันจากจุดกำเนิดของพิกัด เดี่ยวเวกเตอร์ และ :
เวกเตอร์และ ตั้งฉาก- มุมฉาก = ตั้งฉาก ฉันขอแนะนำให้คุณค่อยๆ ทำความคุ้นเคยกับคำศัพท์: แทนที่จะมีความเท่าเทียมและตั้งฉาก เราใช้คำตามลำดับ ความสอดคล้องกันและ ตั้งฉาก.
การกำหนด:ความตั้งฉากของเวกเตอร์เขียนด้วยสัญลักษณ์ตั้งฉากตามปกติ เช่น:
เวกเตอร์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์หรือ ออร์ต- เวกเตอร์เหล่านี้ก่อตัวขึ้น พื้นฐานบนพื้นผิว ฉันคิดว่าพื้นฐานคืออะไรมีความชัดเจนสำหรับหลาย ๆ คน ข้อมูลโดยละเอียดเพิ่มเติมสามารถพบได้ในบทความ การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์กล่าวง่ายๆ ก็คือพื้นฐานและที่มาของพิกัดจะกำหนดทั้งระบบ - นี่คือรากฐานชนิดหนึ่งที่ชีวิตทางเรขาคณิตที่สมบูรณ์และสมบูรณ์เดือดพล่าน
บางครั้งเรียกว่าพื้นฐานที่สร้างขึ้น ออร์โธนอร์มอลพื้นฐานของระนาบ: "ortho" - เนื่องจากเวกเตอร์พิกัดตั้งฉาก คำคุณศัพท์ "ทำให้เป็นมาตรฐาน" หมายถึงหน่วย เช่น ความยาวของเวกเตอร์ฐานเท่ากับหนึ่ง
การกำหนด:พื้นฐานมักจะเขียนอยู่ในวงเล็บซึ่งข้างใน ตามลำดับอย่างเคร่งครัดเวกเตอร์พื้นฐานจะถูกแสดงรายการไว้ เช่น: เวกเตอร์พิกัด มันเป็นสิ่งต้องห้ามจัดเรียงใหม่
ใดๆเวกเตอร์เครื่องบิน วิธีเดียวเท่านั้นแสดงเป็น: 
, ที่ไหน - ตัวเลขซึ่งเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์ในพื้นฐานนี้ และการแสดงออกนั้นเอง 
เรียกว่า การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐาน .
เสิร์ฟอาหารค่ำ:
เริ่มจากตัวอักษรตัวแรกของตัวอักษร: . ภาพวาดแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าเมื่อแยกย่อยเวกเตอร์เป็นพื้นฐาน จะใช้สิ่งที่เพิ่งกล่าวถึง:
1) กฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: และ ;
2) การบวกเวกเตอร์ตามกฎสามเหลี่ยม: .
ทีนี้ ให้พลอตเวกเตอร์จากจุดอื่นใดบนระนาบทางจิตใจ เห็นได้ชัดว่าความเสื่อมสลายของเขาจะ "ติดตามเขาอย่างไม่ลดละ" นี่คืออิสรภาพของเวกเตอร์ - เวกเตอร์ "นำทุกสิ่งมาด้วยตัวมันเอง" แน่นอนว่าคุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับเวกเตอร์ใดๆ เป็นเรื่องตลกที่ไม่จำเป็นต้องลงจุดเวกเตอร์พื้นฐาน (ฟรี) จากจุดเริ่มต้น คุณสามารถวาดเวกเตอร์ตัวหนึ่งที่ด้านล่างซ้ายและอีกตัวที่มุมขวาบนและจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง! จริงอยู่ คุณไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ เนื่องจากครูจะแสดงความคิดริเริ่มและดึง "เครดิต" ให้คุณในสถานที่ที่ไม่คาดคิด
เวกเตอร์แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงกฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เวกเตอร์นั้นมีทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ฐาน เวกเตอร์นั้นอยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ฐาน สำหรับเวกเตอร์เหล่านี้ พิกัดตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ คุณสามารถเขียนอย่างพิถีพิถันได้ดังนี้:
และเวกเตอร์พื้นฐานก็เป็นดังนี้: (อันที่จริงพวกมันแสดงออกมาผ่านตัวมันเอง)
และในที่สุดก็: , . ว่าแต่ การลบเวกเตอร์คืออะไร แล้วทำไมฉันไม่พูดถึงกฎการลบล่ะ ฉันจำไม่ได้ว่าที่ไหนในพีชคณิตเชิงเส้น ฉันสังเกตว่าการลบเป็นกรณีพิเศษของการบวก ดังนั้น การขยายตัวของเวกเตอร์ “de” และ “e” จึงเขียนเป็นผลรวมได้อย่างง่ายดาย: , 
- ทำตามรูปวาดเพื่อดูว่าการบวกเวกเตอร์แบบเก่าที่ดีตามกฎสามเหลี่ยมใช้ได้ผลในสถานการณ์เหล่านี้อย่างชัดเจนเพียงใด
การพิจารณาสลายตัวของแบบฟอร์ม 
บางครั้งเรียกว่าการสลายตัวของเวกเตอร์ ในระบบออร์ต(เช่น ในระบบเวกเตอร์หน่วย) แต่นี่ไม่ใช่วิธีเดียวในการเขียนเวกเตอร์ ตัวเลือกต่อไปนี้เป็นเรื่องปกติ:
หรือมีเครื่องหมายเท่ากับ:
เวกเตอร์พื้นฐานเขียนดังนี้: และ
นั่นคือพิกัดของเวกเตอร์จะแสดงอยู่ในวงเล็บ ในปัญหาเชิงปฏิบัติ จะใช้ตัวเลือกสัญลักษณ์ทั้งสามแบบ
ฉันสงสัยว่าจะพูดหรือไม่ แต่ฉันจะพูดต่อไป: พิกัดเวกเตอร์ไม่สามารถจัดเรียงใหม่ได้. อย่างเคร่งครัดเป็นอันดับแรกเราเขียนพิกัดที่สอดคล้องกับเวกเตอร์หน่วย เป็นอันดับสองอย่างเคร่งครัดเราเขียนพิกัดที่สอดคล้องกับเวกเตอร์หน่วย แท้จริงแล้ว และ เป็นเวกเตอร์สองตัวที่ต่างกัน
เราหาพิกัดบนเครื่องบินได้ ทีนี้ลองดูเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ เกือบทุกอย่างจะเหมือนกันตรงนี้! มันจะเพิ่มอีกหนึ่งพิกัด การสร้างภาพวาดสามมิติเป็นเรื่องยาก ดังนั้นฉันจะจำกัดตัวเองให้อยู่ที่เวกเตอร์เพียงตัวเดียว ซึ่งเพื่อความง่ายฉันจะแยกออกจากจุดกำเนิด: 
ใดๆเวกเตอร์อวกาศ 3 มิติ วิธีเดียวเท่านั้นขยายออกไปตามหลักออร์โธนอร์มอล: 
โดยที่พิกัดของเวกเตอร์ (ตัวเลข) อยู่ที่ไหนบนพื้นฐานนี้
ตัวอย่างจากภาพ: 
- มาดูกันว่ากฎเวกเตอร์ทำงานอย่างไรที่นี่ ขั้นแรก ให้คูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: (ลูกศรสีแดง) (ลูกศรสีเขียว) และ (ลูกศรราสเบอร์รี่) ประการที่สอง นี่คือตัวอย่างของการเพิ่มเวกเตอร์หลายตัว ในกรณีนี้ สามตัว: เวกเตอร์ผลรวมเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นเริ่มต้น (จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์) และสิ้นสุดที่จุดสุดท้ายที่มาถึง (จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์)
เวกเตอร์ทั้งหมดของพื้นที่สามมิตินั้นเป็นอิสระเช่นกัน พยายามแยกเวกเตอร์ออกจากจุดอื่นในใจแล้วคุณจะเข้าใจว่าการสลายตัวของมัน "จะยังคงอยู่กับมัน"
คล้ายกับเคสแบนนอกเหนือจากการเขียน 
รุ่นที่มีวงเล็บถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย: ทั้ง .
หากไม่มีเวกเตอร์พิกัดหนึ่ง (หรือสอง) ตัวในส่วนขยาย ก็จะใส่ศูนย์เข้าไปแทนที่ ตัวอย่าง:
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน 
) – มาเขียนกันเถอะ ;
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน 
) – มาเขียนกันเถอะ ;
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน 
) – มาเขียนกัน
เวกเตอร์พื้นฐานเขียนดังนี้:
นี่อาจเป็นความรู้ทางทฤษฎีขั้นต่ำทั้งหมดที่จำเป็นในการแก้ปัญหาเรขาคณิตวิเคราะห์ อาจมีคำศัพท์และคำจำกัดความมากมาย ดังนั้น แนะนำให้กาน้ำชาอ่านและทำความเข้าใจข้อมูลนี้อีกครั้ง และจะเป็นประโยชน์สำหรับผู้อ่านที่จะอ้างอิงถึงบทเรียนพื้นฐานเป็นครั้งคราวเพื่อดูดซึมเนื้อหาได้ดีขึ้น ความเป็นเส้นตรง, ความตั้งฉาก, พื้นฐาน orthonormal, การสลายตัวของเวกเตอร์ - แนวคิดเหล่านี้และแนวคิดอื่น ๆ มักจะถูกนำมาใช้ในอนาคต ฉันต้องการทราบว่าเนื้อหาของไซต์ไม่เพียงพอที่จะผ่านการทดสอบทางทฤษฎีหรือการประชุมสัมมนาในเรขาคณิตเนื่องจากฉันเข้ารหัสทฤษฎีบททั้งหมดอย่างระมัดระวัง (และไม่มีการพิสูจน์) - เพื่อสร้างความเสียหายต่อรูปแบบการนำเสนอทางวิทยาศาสตร์ แต่เป็นข้อดีสำหรับคุณ ความเข้าใจในเรื่อง หากต้องการรับข้อมูลทางทฤษฎีโดยละเอียด โปรดโค้งคำนับศาสตราจารย์อตานาสยาน
และเราไปยังส่วนที่ใช้งานได้จริง:
ปัญหาที่ง่ายที่สุดของเรขาคณิตวิเคราะห์
การดำเนินการกับเวกเตอร์ในพิกัด
ขอแนะนำอย่างยิ่งให้เรียนรู้วิธีการแก้ปัญหางานที่จะได้รับการพิจารณาโดยอัตโนมัติและสูตร จดจำคุณไม่จำเป็นต้องจำมันโดยตั้งใจ แต่พวกเขาจะจำมันเอง =) สิ่งนี้สำคัญมากเนื่องจากปัญหาอื่น ๆ ของเรขาคณิตวิเคราะห์นั้นขึ้นอยู่กับตัวอย่างเบื้องต้นที่ง่ายที่สุดและจะน่ารำคาญที่จะใช้เวลาเพิ่มเติมในการกินเบี้ย . ไม่จำเป็นต้องติดกระดุมบนเสื้อเพราะมีหลายสิ่งที่คุ้นเคยจากโรงเรียน
การนำเสนอเนื้อหาจะดำเนินไปในทิศทางคู่ขนาน - ทั้งสำหรับเครื่องบินและอวกาศ ด้วยเหตุผลที่ว่าทุกสูตร...คุณจะเห็นเอง
จะหาเวกเตอร์จากจุดสองจุดได้อย่างไร?
หากให้จุดสองจุดของระนาบแล้วเวกเตอร์จะมีพิกัดต่อไปนี้: 
หากให้จุดสองจุดในอวกาศแล้วเวกเตอร์จะมีพิกัดต่อไปนี้:
นั่นคือ, จากพิกัดจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์คุณต้องลบพิกัดที่เกี่ยวข้อง จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์.
ออกกำลังกาย:สำหรับจุดเดียวกัน ให้เขียนสูตรในการหาพิกัดของเวกเตอร์ สูตรในตอนท้ายของบทเรียน
ตัวอย่างที่ 1
ให้จุดสองจุดของระนาบและ. ค้นหาพิกัดเวกเตอร์
สารละลาย:ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:
หรืออาจใช้รายการต่อไปนี้:
สุนทรียศาสตร์จะตัดสินสิ่งนี้:
โดยส่วนตัวแล้วฉันคุ้นเคยกับการบันทึกเวอร์ชันแรกแล้ว
คำตอบ:
ตามเงื่อนไขนั้น ไม่จำเป็นต้องสร้างภาพวาด (ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์) แต่เพื่อที่จะชี้แจงบางจุดสำหรับหุ่นจำลอง ฉันจะไม่ขี้เกียจ: 
คุณต้องเข้าใจอย่างแน่นอน ความแตกต่างระหว่างพิกัดจุดและพิกัดเวกเตอร์:
พิกัดจุด– เป็นพิกัดสามัญในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ฉันคิดว่าทุกคนรู้วิธีพล็อตจุดบนระนาบพิกัดตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 แต่ละจุดมีสถานที่ที่เข้มงวดบนเครื่องบินและไม่สามารถเคลื่อนย้ายไปที่ใดก็ได้
พิกัดของเวกเตอร์– นี่คือการขยายตามพื้นฐาน ในกรณีนี้ เวกเตอร์ใดๆ ก็ตามนั้นฟรี ดังนั้นหากต้องการหรือจำเป็น เราก็สามารถย้ายมันออกจากจุดอื่นบนเครื่องบินได้อย่างง่ายดาย สิ่งที่น่าสนใจคือสำหรับเวกเตอร์ คุณไม่จำเป็นต้องสร้างแกนหรือระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเลย คุณเพียงต้องการพื้นฐานเท่านั้น ในกรณีนี้คือพื้นฐานออร์โธนอร์มอลของระนาบ
บันทึกพิกัดของจุดและพิกัดของเวกเตอร์ดูเหมือนจะคล้ายกัน: , และ ความหมายของพิกัดอย่างแน่นอน แตกต่างและคุณควรตระหนักดีถึงความแตกต่างนี้ แน่นอนว่าความแตกต่างนี้ใช้ได้กับพื้นที่ด้วย
ท่านสุภาพสตรีและสุภาพบุรุษ เรามาเติมมือกันเถอะ:
ตัวอย่างที่ 2
ก) คะแนนและได้รับ ค้นหาเวกเตอร์และ.
b) ให้คะแนน 
และ . ค้นหาเวกเตอร์และ.
c) คะแนนและได้รับ ค้นหาเวกเตอร์และ.
d) ให้คะแนน ค้นหาเวกเตอร์ 
.
บางทีนั่นอาจจะเพียงพอแล้ว นี่เป็นตัวอย่างให้คุณตัดสินใจด้วยตัวเอง พยายามอย่าละเลยสิ่งเหล่านั้น มันจะได้ผลตอบแทน ;-) ไม่จำเป็นต้องวาดรูป แนวทางแก้ไขและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
สิ่งสำคัญในการแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์คืออะไร?สิ่งสำคัญคือต้องระมัดระวังเป็นอย่างยิ่งเพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดแบบ "สองบวกสองเท่ากับศูนย์" อย่างเชี่ยวชาญ ฉันขอโทษทันทีหากฉันทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่ง =)
จะหาความยาวของส่วนได้อย่างไร?
ความยาวตามที่ระบุไว้แล้วจะถูกระบุด้วยเครื่องหมายโมดูลัส
หากให้จุดสองจุดของระนาบ และ ความยาวของส่วนสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร
หากมีการกำหนดสองจุดในอวกาศความยาวของส่วนสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร
บันทึก: สูตรจะยังคงถูกต้องหากมีการสลับพิกัดที่เกี่ยวข้อง: และ แต่ตัวเลือกแรกจะเป็นมาตรฐานมากกว่า
ตัวอย่างที่ 3
สารละลาย:ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:
คำตอบ: 
เพื่อความชัดเจนฉันจะวาดรูป 
ส่วนของเส้น - นี่ไม่ใช่เวกเตอร์และแน่นอนว่าคุณไม่สามารถเคลื่อนย้ายมันไปไหนได้ นอกจากนี้ หากคุณวาดเป็นขนาด: 1 หน่วย = 1 ซม. (เซลล์สมุดบันทึกสองเซลล์) ดังนั้นคำตอบที่ได้จึงสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ไม้บรรทัดธรรมดาโดยการวัดความยาวของส่วนนั้นโดยตรง
ใช่ วิธีแก้ปัญหานั้นสั้น แต่มีประเด็นสำคัญอีกสองสามประเด็นที่ฉันต้องการชี้แจง:
ประการแรก เราใส่มิติข้อมูลลงในคำตอบ: "หน่วย" สภาพไม่ได้บอกว่ามันคืออะไร มิลลิเมตร เซนติเมตร เมตร หรือกิโลเมตร ดังนั้น วิธีแก้ไขที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์คือสูตรทั่วไป: "หน่วย" - เรียกโดยย่อว่า "หน่วย"
ประการที่สอง ให้เราทำซ้ำเนื้อหาของโรงเรียนซึ่งมีประโยชน์ไม่เพียง แต่สำหรับงานที่พิจารณาเท่านั้น:
ให้ความสนใจกับ เทคนิคที่สำคัญ – ลบตัวคูณออกจากใต้รูท- จากการคำนวณ เราได้ผลลัพธ์ และรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ดีคือการลบปัจจัยออกจากใต้ราก (ถ้าเป็นไปได้) รายละเอียดเพิ่มเติมกระบวนการมีลักษณะดังนี้: 
- แน่นอนว่าการทิ้งคำตอบไว้อย่างที่เป็นอยู่นั้นไม่ใช่ความผิดพลาด แต่แน่นอนว่ามันจะเป็นข้อบกพร่องและเป็นข้อโต้แย้งที่หนักหน่วงสำหรับการพูดเล่นของครู
ต่อไปนี้เป็นกรณีทั่วไปอื่นๆ: 
บ่อยครั้งที่รากสร้างจำนวนที่ค่อนข้างมาก เช่น จะทำอย่างไรในกรณีเช่นนี้? ใช้เครื่องคิดเลขตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย 4 ลงตัวหรือไม่: ใช่แล้ว มันถูกแบ่งแยกโดยสิ้นเชิง ดังนี้: 
- หรือบางทีตัวเลขสามารถหารด้วย 4 อีกครั้งได้? - ดังนั้น: 
- หลักสุดท้ายของตัวเลขเป็นเลขคี่ ดังนั้นการหารด้วย 4 เป็นครั้งที่สามจะไม่ได้ผลอย่างเห็นได้ชัด ลองหารด้วยเก้า: . ผลที่ตามมา:
พร้อม.
บทสรุป:หากเราได้รับตัวเลขที่ไม่สามารถแยกออกมาทั้งหมดได้ภายใต้รูทเราจะพยายามลบตัวประกอบออกจากใต้รูท - ใช้เครื่องคิดเลขเพื่อตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย: 4, 9, 16, 25, 36 หรือไม่ 49 เป็นต้น
เมื่อแก้ไขปัญหาต่าง ๆ มักพบรากเหง้า พยายามดึงปัจจัยจากใต้รากเสมอเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาเกรดต่ำกว่าและไม่จำเป็นในการสรุปวิธีแก้ปัญหาตามความคิดเห็นของครู
เรามาทำซ้ำการยกกำลังสองและค่ากำลังอื่นๆ กัน: 
กฎการดำเนินการด้วยพลังในรูปแบบทั่วไปมีอยู่ในตำราพีชคณิตของโรงเรียน แต่ฉันคิดว่าจากตัวอย่างที่ให้มา ทุกอย่างหรือเกือบทุกอย่างก็ชัดเจนอยู่แล้ว
งานสำหรับโซลูชันอิสระที่มีส่วนในพื้นที่:
ตัวอย่างที่ 4
คะแนนและได้รับ ค้นหาความยาวของส่วน.
คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน
จะหาความยาวของเวกเตอร์ได้อย่างไร?
หากให้เวกเตอร์ระนาบมา สูตรจะคำนวณความยาวของเวกเตอร์
หากกำหนดเวกเตอร์อวกาศ ความยาวจะถูกคำนวณโดยสูตร 
.