หา x0 ถ้าแทนเจนต์ขนานกัน เครื่องคิดเลขออนไลน์

คำแนะนำ

เรากำหนดค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์กับเส้นโค้งที่จุด M
เส้นโค้งที่แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) มีความต่อเนื่องในบริเวณใกล้จุด M (รวมถึงจุด M ด้วย)

หากไม่มีค่า f'(x0) แสดงว่าไม่มีค่าแทนเจนต์หรือค่านั้นทำงานในแนวตั้ง ด้วยเหตุนี้ การมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x0 เกิดจากการมีอยู่ของแทนเจนต์แทนเจนต์ที่ไม่ใช่แนวตั้งกับกราฟของฟังก์ชันที่จุด (x0, f(x0)) ในกรณีนี้สัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์จะเท่ากับ f "(x0) ดังนั้นจึงชัดเจน ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์ – การคำนวณความชันของแทนเจนต์

ค้นหาค่า Abscissa ของจุดสัมผัสซึ่งแสดงด้วยตัวอักษร "a" ถ้ามันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสัมผัสจุดที่กำหนด "a" จะเป็นพิกัด x ของมัน กำหนดค่า ฟังก์ชั่น f(a) โดยการแทนที่ลงในสมการ ฟังก์ชั่นค่าแอบซิสซา

หาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของสมการ ฟังก์ชั่น f'(x) และแทนค่าของจุด "a" ลงไป

เอา สมการทั่วไปแทนเจนต์ซึ่งกำหนดเป็น y = f(a) = f (a)(x – a) และแทนที่ค่าที่พบของ a, f(a), f "(a) ลงไป เป็นผลให้ จะได้คำตอบของกราฟและแทนเจนต์

แก้ปัญหาด้วยวิธีอื่นหากจุดสัมผัสกันที่กำหนดไม่ตรงกับจุดสัมผัสกัน ในกรณีนี้ จำเป็นต้องแทนที่ "a" แทนตัวเลขในสมการแทนเจนต์ หลังจากนี้แทนที่จะใช้ตัวอักษร "x" และ "y" ให้แทนที่ค่าพิกัดของจุดที่กำหนด แก้สมการผลลัพธ์ที่ไม่ทราบค่า “a” แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการแทนเจนต์

เขียนสมการแทนเจนต์ด้วยตัวอักษร "a" หากข้อความปัญหาระบุสมการ ฟังก์ชั่นและสมการ เส้นขนานสัมพันธ์กับแทนเจนต์ที่ต้องการ หลังจากนี้เราต้องการอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นไปยังพิกัดที่จุด “a” แทนค่าที่เหมาะสมลงในสมการแทนเจนต์แล้วแก้ฟังก์ชัน

ระดับรายการ

สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

คุณรู้อยู่แล้วว่าอนุพันธ์คืออะไร? ถ้าไม่ก็อ่านหัวข้อก่อน แล้วคุณบอกว่าคุณรู้อนุพันธ์ มาตรวจสอบกันตอนนี้เลย ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชันเมื่อส่วนเพิ่มของอาร์กิวเมนต์เท่ากับ คุณจัดการหรือไม่? มันควรจะทำงาน ตอนนี้หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง คำตอบ: . มันได้ผลเหรอ? หากคุณประสบปัญหากับตัวอย่างเหล่านี้ ฉันขอแนะนำให้คุณกลับไปที่หัวข้อและศึกษาอีกครั้ง ฉันรู้ว่าหัวข้อนี้ใหญ่มาก แต่อย่างอื่นก็ไม่มีประโยชน์ที่จะไปต่อ พิจารณากราฟของฟังก์ชันบางอย่าง:

ลองเลือกจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นกราฟ ปล่อยให้มันเป็น Abscissa แล้วพิกัดก็เท่ากัน จากนั้นเราเลือกจุดที่มี abscissa ใกล้กับจุดนั้น ลำดับของมันคือ:

ลองวาดเส้นตรงผ่านจุดเหล่านี้กัน มันถูกเรียกว่าซีแคนต์ (เช่นเดียวกับในเรขาคณิต) ให้เราแสดงมุมเอียงของเส้นตรงกับแกนดังนี้ เช่นเดียวกับวิชาตรีโกณมิติ มุมนี้วัดจากทิศทางบวกของแกน x ทวนเข็มนาฬิกา มุมสามารถรับค่าอะไรได้บ้าง? ไม่ว่าคุณจะเอียงเส้นตรงนี้อย่างไร ครึ่งหนึ่งก็จะยังคงอยู่ ดังนั้น มุมที่เป็นไปได้สูงสุดคือ และมุมต่ำสุดที่เป็นไปได้คือ วิธี, . ไม่รวมมุมเนื่องจากตำแหน่งของเส้นตรงในกรณีนี้เกิดขึ้นพร้อมกันทุกประการและมีเหตุผลมากกว่าที่จะเลือกมุมที่เล็กกว่า ลองพิจารณาจุดในรูปว่าเส้นตรงขนานกับแกนแอบซิสซาและ a คือแกนพิกัด:

จากรูปจะเห็นได้ว่า ก. ดังนั้นอัตราส่วนที่เพิ่มขึ้นคือ:

(เนื่องจากเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า)

ตอนนี้ลดเลย จากนั้นจุดจะเข้าใกล้จุด เมื่อมีค่าน้อยที่สุด อัตราส่วนจะเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดนั้น จะเกิดอะไรขึ้นกับซีแคนต์? จุดนั้นจะอยู่ใกล้กับจุดนั้นอย่างไม่สิ้นสุดจึงถือว่าจุดเดียวกันได้ แต่เส้นตรงที่มีจุดร่วมเพียงจุดเดียวและเส้นโค้งนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่า แทนเจนต์(วี ในกรณีนี้เงื่อนไขนี้สำเร็จได้ในพื้นที่เล็กๆ เท่านั้น - ใกล้จุด แต่ก็เพียงพอแล้ว) พวกเขาบอกว่าในกรณีนี้ผู้ตัดออกจะใช้เวลา ตำแหน่งที่จำกัด.

ลองเรียกมุมเอียงของเส้นตัดกับแกนกัน แล้วปรากฎว่าเป็นอนุพันธ์

นั่นคือ อนุพันธ์จะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด

เนื่องจากแทนเจนต์คือเส้นตรง ตอนนี้เรามาจำสมการของเส้นกัน:

ค่าสัมประสิทธิ์รับผิดชอบคืออะไร? เพื่อความชันของเส้นตรง นี่คือสิ่งที่เรียกว่า: ความลาดชัน- มันหมายความว่าอะไร? และความจริงที่ว่ามันเท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างเส้นตรงกับแกน! นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

แต่เราได้กฎนี้มาจากการพิจารณาฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น จะเกิดอะไรขึ้นหากฟังก์ชันลดลง? มาดูกัน:
ตอนนี้มุมป้าน และการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันเป็นลบ ลองพิจารณาอีกครั้ง: . อีกด้านหนึ่ง.. เราได้รับ: นั่นคือทุกอย่างเหมือนกับใน ครั้งสุดท้าย- ให้เรากำหนดทิศทางของจุดไปยังจุดนั้นอีกครั้ง และเส้นตัดของเส้นตัดจะเข้าสู่ตำแหน่งที่จำกัด นั่นคือ มันจะเปลี่ยนเป็นเส้นสัมผัสของกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น ดังนั้น เรามากำหนดกฎข้อสุดท้ายกัน:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ หรือ (ซึ่งเหมือนกัน) ความชันของแทนเจนต์นี้:

นี่คือมัน ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์โอเค ทั้งหมดนี้น่าสนใจ แต่ทำไมเราถึงต้องการมัน? ที่นี่ ตัวอย่าง:
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันและค่าแทนเจนต์ที่จุดแอบซิสซา ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น
สารละลาย.
ดังที่เราทราบเมื่อเร็ว ๆ นี้ ค่าของอนุพันธ์ ณ จุดแทนเจนต์จะเท่ากับความชันของแทนเจนต์ ซึ่งในทางกลับกัน เท่ากับแทนเจนต์มุมเอียงของแทนเจนต์นี้กับแกน abscissa: . ซึ่งหมายความว่าในการหาค่าของอนุพันธ์ เราจำเป็นต้องหาค่าแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ ในรูปเราได้ทำเครื่องหมายจุดสองจุดที่วางอยู่บนเส้นสัมผัสกันซึ่งเราทราบพิกัดแล้ว เอาล่ะมาจบกัน สามเหลี่ยมมุมฉากผ่านจุดเหล่านี้แล้วหาแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์!

มุมเอียงของเส้นสัมผัสกันกับแกนคือ ลองหาแทนเจนต์ของมุมนี้: . ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับ
คำตอบ:- ตอนนี้ลองด้วยตัวเอง:

คำตอบ:

รู้ ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์เราสามารถอธิบายกฎได้ง่ายๆ ว่าอนุพันธ์ ณ จุดสูงสุดหรือต่ำสุดในพื้นที่นั้นเท่ากับศูนย์ อันที่จริง ค่าแทนเจนต์ของกราฟที่จุดเหล่านี้คือ "แนวนอน" ซึ่งก็คือ ขนานกับแกน x:

ทำไม เท่ากับมุมระหว่างเส้นคู่ขนาน? แน่นอนศูนย์! และแทนเจนต์ของศูนย์ด้วย เท่ากับศูนย์- ดังนั้นอนุพันธ์จึงเท่ากับศูนย์:

อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งนี้ในหัวข้อ “ความซ้ำซ้อนของฟังก์ชัน จุดสุดยอด”

ทีนี้มาเน้นที่แทนเจนต์ตามอำเภอใจกัน สมมติว่าเรามีฟังก์ชันบางอย่าง เช่น . เราได้วาดกราฟของมันแล้วและต้องการวาดเส้นสัมผัสกัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง เช่น ณ จุดหนึ่ง เราใช้ไม้บรรทัดแนบไปกับกราฟแล้ววาด:

เรารู้อะไรเกี่ยวกับบรรทัดนี้? สิ่งสำคัญที่สุดที่ต้องรู้เกี่ยวกับการตรงไปคืออะไร ประสานงานเครื่องบิน- เนื่องจากเส้นตรงเป็นภาพ ฟังก์ชันเชิงเส้นจะสะดวกมากที่จะรู้สมการของมัน นั่นคือสัมประสิทธิ์ในสมการ

แต่เรารู้แล้ว! นี่คือความชันของแทนเจนต์ ซึ่งเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดนั้น:

ในตัวอย่างของเรามันจะเป็นดังนี้:

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการค้นหามัน มันง่ายเหมือนปลอกลูกแพร์: ท้ายที่สุดแล้ว - มูลค่าของ ในเชิงกราฟิก นี่คือพิกัดของจุดตัดของเส้นกับแกนกำหนด (ท้ายที่สุดคือที่ทุกจุดของแกน):

มาวาดมันกัน (เพื่อให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า) จากนั้น (ไปยังมุมเดียวกันระหว่างแทนเจนต์กับแกน x) คืออะไรและเท่ากับ? ตัวเลขแสดงให้เห็นชัดเจนว่า ก. จากนั้นเราจะได้รับ:

เรารวมสูตรที่ได้รับทั้งหมดเข้ากับสมการของเส้นตรง:

ตอนนี้ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

  1. หา สมการแทนเจนต์ไปยังฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง
  2. เส้นสัมผัสของพาราโบลาตัดแกนเป็นมุม ค้นหาสมการของแทนเจนต์นี้
  3. เส้นตรงขนานกับเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน ค้นหาแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน
  4. เส้นตรงขนานกับเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน ค้นหาแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:


สมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน คำอธิบายโดยย่อและสูตรพื้นฐาน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ หรือความชันของแทนเจนต์นี้:

สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง:

อัลกอริทึมในการค้นหาสมการแทนเจนต์:

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

สำหรับ สำเร็จลุล่วงการสอบ Unified State สำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

คนที่ได้รับ การศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับมันมาก นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะยังมีอะไรเปิดกว้างอยู่ตรงหน้าพวกเขาอีกมาก ความเป็นไปได้มากขึ้นและชีวิตจะสดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

ช่วยคุณโดยการแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้อง แก้ปัญหากับเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไขมัน (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันก็เหมือนกับกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

  1. ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ - 299 ถู
  2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - 999 ถู

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

ในกรณีที่สอง เราจะให้คุณโปรแกรมจำลอง “6,000 ปัญหาพร้อมวิธีแก้ไขและคำตอบ สำหรับแต่ละหัวข้อ ในทุกระดับของความซับซ้อน” มันจะเพียงพอที่จะแก้ไขปัญหาในทุกหัวข้ออย่างแน่นอน

ในความเป็นจริงมันเป็นมากกว่าเครื่องจำลอง - โปรแกรมทั้งหมดการตระเตรียม. หากจำเป็น คุณก็สามารถใช้งานได้ฟรีเช่นกัน

การเข้าถึงข้อความและโปรแกรมทั้งหมดนั้นมีให้ตลอดระยะเวลาที่เว็บไซต์มีอยู่

และโดยสรุป...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดอยู่ที่ทฤษฎีเท่านั้น

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

นี้ โปรแกรมคณิตศาสตร์ค้นหาสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน \(f(x)\) ที่จุดที่ผู้ใช้ระบุ \(a\)

โปรแกรมไม่เพียงแสดงสมการแทนเจนต์เท่านั้น แต่ยังแสดงกระบวนการแก้ปัญหาอีกด้วย

เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้อาจมีประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย โรงเรียนมัธยมศึกษาในการเตรียมตัวสำหรับ การทดสอบและการสอบเมื่อทดสอบความรู้ก่อนการสอบ Unified State เพื่อให้ผู้ปกครองได้ควบคุมการแก้ปัญหาต่างๆในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต

หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างครูสอนพิเศษหรือซื้อตำราเรียนใหม่ หรือคุณเพียงต้องการทำการบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดได้ ด้วยวิธีนี้คุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมและ/หรือฝึกอบรมของคุณเองได้น้องชาย

หรือน้องสาวในขณะที่ระดับการศึกษาด้านปัญหาที่กำลังแก้ไขเพิ่มขึ้น

หากคุณต้องการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เราก็มีหน้าที่ค้นหาอนุพันธ์

หากคุณไม่คุ้นเคยกับกฎสำหรับการเข้าสู่ฟังก์ชัน เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับกฎเหล่านั้น
ป้อนนิพจน์ฟังก์ชัน \(f(x)\) และตัวเลข \(a\)
ฉ(x)=
ก=

ค้นหาสมการแทนเจนต์
พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock ไว้

ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชเพจ
JavaScript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
ต่อไปนี้เป็นคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีเปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ

เพราะ มีคนจำนวนมากยินดีแก้ไขปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิวแล้ว
ภายในไม่กี่วินาทีวิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...


ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจว่าอะไร เข้าไปในทุ่งนา.



เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

ความลาดชันโดยตรง

จำได้ว่ากราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น \(y=kx+b\) เป็นเส้นตรง เรียกหมายเลข \(k=tg \alpha \) ความชันของเส้นตรงและมุม \(\alpha \) คือมุมระหว่างเส้นนี้กับแกน Ox

ถ้า \(k>0\) แล้ว \(0 ถ้า \(kสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

ถ้าจุด M(a; f(a)) อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และหาก ณ จุดนี้ สามารถวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันได้ ไม่ใช่ ตั้งฉากกับแกน Abscissa จากความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ตามมาว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์เท่ากับ f "(a) ต่อไปเราจะพัฒนาอัลกอริทึมสำหรับการเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันใด ๆ

ให้ฟังก์ชัน y = f(x) และจุด M(a; f(a)) ถูกกำหนดไว้บนกราฟของฟังก์ชันนี้ ให้รู้ว่ามี f"(a) มาสร้างสมการแทนเจนต์ของกราฟกันดีกว่า ฟังก์ชันที่กำหนดวี จุดที่กำหนดให้- สมการนี้ไม่เหมือนกับสมการของเส้นตรงใดๆ แกนขนานพิกัดมีรูปแบบ y = kx + b ดังนั้นงานคือการหาค่าของสัมประสิทธิ์ k และ b

ทุกอย่างชัดเจนด้วยสัมประสิทธิ์เชิงมุม k: เป็นที่ทราบกันว่า k = f"(a) ในการคำนวณค่า b เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นตรงที่ต้องการผ่านจุด M(a; f(a)) ซึ่งหมายความว่าหากเราแทนพิกัดของจุด M ลงในสมการของเส้นตรง เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง: \(f(a)=ka+b\) นั่นคือ \(b = f(a) - คะ\)

ยังคงทดแทนค่าที่พบของสัมประสิทธิ์ k และ b ลงในสมการของเส้นตรง:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a )(x-ก) $$

เราได้รับ สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน\(y = f(x) \) ที่จุด \(x=a \)

อัลกอริทึมในการค้นหาสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน \(y=f(x)\)
1. กำหนด abscissa ของจุดสัมผัสกันด้วยตัวอักษร \(a\)
2. คำนวณ \(f(a)\)
3. ค้นหา \(f"(x)\) และคำนวณ \(f"(a)\)
4. แทนตัวเลขที่พบ \(a, f(a), f"(a) \) ลงในสูตร \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

หนังสือ (หนังสือเรียน) บทคัดย่อของการสอบ Unified State และ Unified State Examination ทดสอบเกมออนไลน์ปริศนา พล็อตกราฟของฟังก์ชัน พจนานุกรมตัวสะกดของภาษารัสเซีย พจนานุกรมคำสแลงเยาวชน แคตตาล็อกของโรงเรียนรัสเซีย แคตตาล็อกของสถาบันการศึกษาระดับมัธยมศึกษาของรัสเซีย แคตตาล็อกของมหาวิทยาลัยในรัสเซีย รายชื่อ ของปัญหา การหา GCD และ LCM ลดความซับซ้อนของพหุนาม (การคูณพหุนาม)





























กลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของงานนำเสนอ หากคุณสนใจ งานนี้กรุณาดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม

ประเภทบทเรียน:การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

วิธีการสอน:ภาพการค้นหาบางส่วน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

  1. แนะนำแนวคิดเรื่องแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง ค้นหาว่าความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คืออะไร หาสมการแทนเจนต์ และสอนวิธีค้นหามันสำหรับฟังก์ชันเฉพาะ
  2. การพัฒนา การคิดเชิงตรรกะ, ทักษะการวิจัย, การคิดเชิงหน้าที่, การพูดทางคณิตศาสตร์
  3. พัฒนาทักษะการสื่อสารในการทำงานส่งเสริมการพัฒนา กิจกรรมอิสระนักเรียน.

อุปกรณ์:คอมพิวเตอร์ เครื่องฉายมัลติมีเดีย เอกสารประกอบคำบรรยาย

แผนการสอน

ฉันช่วงเวลาขององค์กร
<слайд 2, 3>การตรวจสอบความพร้อมของนักเรียนสำหรับบทเรียน ระบุหัวข้อและคำขวัญของบทเรียน

ครั้งที่สองกำลังอัปเดตวัสดุ
(กระตุ้นความสนใจ แสดงการขาดความรู้เกี่ยวกับแทนเจนต์ กำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์ของบทเรียน)<слайд 5>

เรามาคุยกันว่าอะไรคือแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน? คุณเห็นด้วยกับข้อความที่ว่า “เส้นสัมผัสกันเป็นเส้นตรงที่มีจุดร่วมหนึ่งจุดพร้อมกับเส้นโค้งที่กำหนด” หรือไม่?
มีการอภิปรายเกิดขึ้น ข้อความของเด็ก (ใช่และทำไม ไม่ใช่และเพราะเหตุใด) ในระหว่างการสนทนาเราก็ได้ข้อสรุปว่า คำสั่งนี้ไม่จริง

ตัวอย่าง. <слайд 6>
1) เส้นตรง x = 1 มีจุดร่วมหนึ่งจุด M(1; 1) โดยมีพาราโบลา y = x2 แต่ไม่ได้สัมผัสกับพาราโบลา เส้นตรง y = 2x – 1 ที่ผ่านจุดเดียวกันนั้นสัมผัสกับพาราโบลานี้<рисунок 1>.
2) ในทำนองเดียวกัน เส้นตรง x = π ไม่ได้สัมผัสกับกราฟ ย = เพราะxแม้ว่าจะมีจุดร่วมเพียงจุดเดียว K(π; 1) ในทางกลับกัน เส้น y = - 1 ที่ผ่านจุดเดียวกันจะสัมผัสกับกราฟ แม้ว่าจะมีจุดร่วมในรูปแบบมากมายไม่สิ้นสุด

(π+2 πk; 1) โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งแต่ละตัวแตะที่กราฟ<рисунок 2>.


รูปที่ 1
รูปที่ 2

การกำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์สำหรับเด็กในบทเรียน: <слайд 7>ค้นหาว่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคืออะไร จะเขียนสมการแทนเจนต์ได้อย่างไร?
เราต้องการอะไรสำหรับสิ่งนี้?
จำ มุมมองทั่วไปสมการของเส้นตรง เงื่อนไขของเส้นขนาน นิยามของอนุพันธ์ กฎการหาอนุพันธ์

ที่สาม งานเตรียมการเพื่อศึกษาเนื้อหาใหม่
การซักถามเนื้อหาโดยใช้การ์ด: (งานเสร็จสิ้นบนกระดาน)
นักเรียน 1 คน: กรอกตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น

นักเรียน 2: จำกฎของความแตกต่าง

นักเรียน 3: เขียนสมการของเส้นตรง ย =เคเอ็กซ์ + 4ผ่านจุด A(3; -2)
(ย = -2x+4)

นักเรียนคนที่ 4: เขียนสมการเส้นตรง ย=3x+ขผ่านจุด C(4; 2)
(y = 3x – 2)

ที่เหลือเป็นงานแนวหน้า<слайд 8>

  1. ระบุคำจำกัดความของอนุพันธ์
  2. เส้นใดต่อไปนี้ขนานกัน? y = 0.5x; ย = - 0.5x; y = - 0.5x + 2 เพราะเหตุใด

เดาชื่อนักวิทยาศาสตร์<слайд 9>:

คีย์คำตอบ

นักวิทยาศาสตร์คนนี้คือใครและงานของเขาเกี่ยวข้องกับอะไร เราจะได้ทราบในบทต่อไป
การตรวจสอบคำตอบของนักเรียนโดยใช้การ์ด<слайд 10>

IV ศึกษาเนื้อหาใหม่
ในการกำหนดสมการของเส้นตรงบนระนาบ เรารู้เชิงมุมของเส้นตรงก็เพียงพอแล้ว
ค่าสัมประสิทธิ์และพิกัดของจุดหนึ่ง

  • เริ่มจากความชันกันก่อน <слайд 11>


รูปที่ 3

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน ย =ฉ(เอ็กซ์)หาอนุพันธ์ได้ที่จุด A (x 0 ,ฉ(x 0)) <рисунок 3>.
ลองเลือกจุดบนมัน ม (x 0 + Δx,ฉ(x 0 + Δх))และวาดเส้นตัด เช้า..
คำถาม: ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตัดเป็นเท่าใด? (∆f/∆x=tgβ)

เราจะเข้าใกล้จุดตามแนวส่วนโค้ง มตรงประเด็น ก- ในกรณีนี้เป็นเส้นตรง เช้า.จะหมุนรอบจุดหนึ่ง กเข้าใกล้ (สำหรับเส้นเรียบ) ไปยังตำแหน่งที่จำกัด - เส้นตรง ที่- กล่าวอีกนัยหนึ่ง< TAM → 0 если длина АМ → 0. Прямую ที่ซึ่งมีคุณสมบัตินี้เรียกว่า แทนเจนต์ ไปยังกราฟของฟังก์ชัน ย =ฉ(เอ็กซ์)ที่จุด A(x 0 , ฉ(x 0)) <слайд 12>

ปัจจัยความลาดชันตัดออก เช้า.ที่ เช้า.→ 0 มีแนวโน้มไปทางความชันแทนเจนต์ ที่ Δf/Δx → ฉ "(x 0)- มูลค่าอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง x 0ลองหามุมแทนเจนต์เป็นค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม พวกเขาพูดอย่างนั้น แทนเจนต์คือตำแหน่งจำกัดของเส้นตัดที่ ∆x → 0.

การมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x 0 เทียบเท่ากับการมีอยู่ของแทนเจนต์ (ไม่ใช่แนวตั้ง) ที่จุด (x 0 , ฉ(x 0 )) กราฟิก ในขณะที่ความชันของแทนเจนต์เท่ากับ ฉ "(x 0)- นี่คือ ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์. <слайд 13>

นิยามแทนเจนต์: <слайд 14>แทนเจนต์ของกราฟที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง x 0ฟังก์ชั่น ฉเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่ง (x 0 ,ฉ(x 0))และมีความลาดชัน ฉ "(x 0).
ลองวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันกัน ย = ฉ(x)ที่จุด x 1, x 2, x 3,<рисунок 4>และสังเกตมุมที่เกิดขึ้นกับแกน x (นี่คือมุมที่วัดในทิศทางบวกจากทิศทางบวกของแกนถึงเส้นตรง)


รูปที่ 4

เราจะเห็นว่ามุม α 1 เป็นมุมแหลม มุม α 3 เป็นมุมป้าน และมุม α 2 เท่ากับศูนย์ เนื่องจากเป็นเส้นตรง ลขนานกับแกน โอ้.แทนเจนต์ของมุมแหลมจะเป็นค่าบวก และแทนเจนต์ของมุมป้านจะเป็นค่าลบ นั่นเป็นเหตุผล ฉ "(x 1)>0 , ฉ "(x 2) = 0 , ฉ "(x 3)< 0 . <слайд 15, 16>

  • ตอนนี้เรามาดูสมการแทนเจนต์กันดีกว่า <слайд 17, 18>ไปยังกราฟของฟังก์ชัน ฉที่จุด A( x 0 ,ฉ(x 0)).
มุมมองทั่วไปของสมการเส้นตรง ย =เคเอ็กซ์ +ข.
  1. มาหาความชันกัน เค =ฉ "(x 0)เราได้รับ ย =ฉ "(x0)∙x+ขฉ(x) =ฉ "(x 0)∙x+ข
  2. มาหากัน. ข. ข =ฉ(x 0) -ฉ "(x 0)∙x 0.
  3. ลองแทนค่าที่ได้รับ เคและ ขเข้าไปในสมการของเส้นตรง: ย = ฉ "(x 0 )∙ x+ ฉ( x 0 ) - ฉ "(x 0 )∙ x 0 หรือ ย = ฉ( x 0 ) + ฉ "(x 0 )( เอ็กซ์- x 0 )
  • สรุปเนื้อหาการบรรยาย <слайд 19>

ค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคืออะไร?
- ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คืออะไร?
- กำหนดอัลกอริธึมสำหรับค้นหาสมการแทนเจนต์ที่จุดใดจุดหนึ่ง?

1. ค่าฟังก์ชัน ณ จุดสัมผัส
2. อนุพันธ์ทั่วไปของฟังก์ชัน
3. มูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดสัมผัส
4. แทนค่าที่พบลงในสมการแทนเจนต์ทั่วไป

V การรวมเนื้อหาที่ศึกษา

1. งานช่องปาก:
1) <слайд 20>จุดใดบนกราฟ?<рисунок 5>สัมผัสกับมัน
ก) แนวนอน;
b) รูปแบบที่มีแกน abscissa มุมแหลม;
c) รูปแบบที่มีแกน abscissa มุมป้าน?
2) <слайд 21>ค่าของการโต้แย้งคืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน กำหนดไว้ตามกำหนดการ <рисунок 6>
ก) เท่ากับ 0;
ข) มากกว่า 0;
ค) น้อยกว่า 0?


รูปที่ 5

รูปที่ 6

3) <слайд 22>รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)และแทนเจนต์ที่จุดแอบซิสซา x 0- ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ "(เอ็กซ์)ตรงจุด x 0<рисунок 7>.


รูปที่ 7

2.งานเขียน.
หมายเลข 253 (ก, ข), หมายเลข 254 (ก, ข) (งานภาคสนามพร้อมความเห็น)

3. แก้ไขปัญหาการสนับสนุน<слайд 23>
ลองดูปัญหาสี่ประเภท เด็ก ๆ อ่านเงื่อนไขของปัญหา เสนออัลกอริธึมการแก้ปัญหา นักเรียนคนหนึ่งวาดมันไว้บนกระดาน ที่เหลือเขียนลงในสมุดบันทึก
1. หากมีการระบุจุดสัมผัส
เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 3 – 3x – 1ที่จุด M โดยมีแอบซิสซา –2
สารละลาย:

  1. มาคำนวณค่าของฟังก์ชันกัน: ฉ(-2) =(-2) 3 – 3(-2) – 1 = -3 ;
  2. ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ "(x) = 3x 2 – 3;
  3. มาคำนวณมูลค่าของอนุพันธ์กัน: ฉ "(-2)= - 9.;
  4. ลองแทนค่าเหล่านี้ลงในสมการแทนเจนต์: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15

คำตอบ: y = 9x + 15

2. ตามพิกัดของจุดสัมผัส
เขียนสมการแทนเจนต์ที่จุดบนกราฟ ด้วย y-ordinate 0 = 1.
สารละลาย:

คำตอบ: ย = –x + 2.

3. ทิศทางที่กำหนด
เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟ y = x 3 – 2x + 7ขนานไปกับเส้น ย = x.
สารละลาย.
แทนเจนต์ที่ต้องการจะขนานกับเส้นตรง ย = x- ซึ่งหมายความว่าพวกมันมีความชันเท่ากัน เค = 1, ย"(x) = 3x2 – 2แอบซิสซา x 0 จุดสัมผัสเป็นไปตามสมการ 3x 2 – 2 = 1โดยที่ x 0 = ±1.
ตอนนี้เราสามารถเขียนสมการแทนเจนต์ได้: y = x + 5และ y = x + 9.
คำตอบ: y = x + 5, y = x + 9.

4. เงื่อนไขการสัมผัสกันระหว่างกราฟกับเส้นตรง
งาน. อะไร ขตรง y = 0.5x + ขสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) = ?
สารละลาย.
จำไว้ว่าความชันของแทนเจนต์คือค่าของอนุพันธ์ ณ จุดแทนเจนต์ ความชันของเส้นนี้คือ k = 0.5 จากที่นี่เราจะได้สมการในการกำหนด abscissa x ของจุดสัมผัส: ฉ "(x) == 0.5. แน่นอนว่ารากของมันคือ –x = 1 ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้คือ y(1) = 1 ดังนั้น พิกัดของจุดสัมผัสคือ (1; 1) ตอนนี้ยังคงต้องเลือกค่าของพารามิเตอร์ b ที่เส้นตรงผ่านจุดนี้นั่นคือพิกัดของจุดเป็นไปตามสมการของเส้นตรง: 1 = 0.5 1 + b โดยที่ b = 0.5

5. ทำงานอิสระการศึกษาในธรรมชาติ <слайд 24>

ทำงานเป็นคู่.


ตรวจสอบ: ผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาจะถูกป้อนลงในตารางบนกระดาน (หนึ่งคำตอบจากแต่ละคู่) การอภิปรายคำตอบ

6. การหามุมตัดกันของกราฟของฟังก์ชันกับเส้นตรง <слайд 25>
มุมตัดกันของกราฟของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)และตรง ลคือมุมที่เส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชันตัดกับเส้นตรงที่จุดเดียวกัน
หมายเลข 259 (a, b), หมายเลข 260 (a) - ถอดแยกชิ้นส่วนที่บอร์ด

7. งานอิสระที่มีลักษณะการควบคุม <слайд 26>(งานมีความแตกต่างครูตรวจสอบในบทเรียนต่อไป)
ตัวเลือกที่ 1

ตัวเลือกที่ 2

  1. เส้นสัมผัสของกราฟของฟังก์ชันอยู่ที่จุดใด ฉ(x) = 3x 2 - 12x + 7ขนานกับแกน x?
  2. เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x)= x 2 - 4ที่แอบซิสซา x 0= - 2. วาดภาพให้สมบูรณ์
  3. ดูว่าเส้นตรงหรือไม่ y = 12x – 10สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y = 4x 3.

ตัวเลือกที่ 3

VI สรุปบทเรียน<слайд 27>
1. ตอบคำถาม
- สิ่งที่เรียกว่าแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง?
- ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คืออะไร?
- กำหนดอัลกอริธึมสำหรับค้นหาสมการแทนเจนต์ที่จุดใดจุดหนึ่ง?
2. จำเป้าหมายและวัตถุประสงค์ของบทเรียนว่าเราบรรลุเป้าหมายนี้หรือไม่?
3. อะไรคือความยากในบทเรียน คุณชอบส่วนไหนของบทเรียนมากที่สุด?
4. ให้คะแนนบทเรียน
ความเห็นที่ 7 การบ้าน: ย่อหน้าที่ 19 (1, 2) เลขที่ 253 (ค) เลขที่ 255 (ง) เลขที่ 256 (ง) เลขที่ 257 (ง) เลขที่ 259 (ง) เตรียมรายงานเรื่องไลบ์นิซ<слайд 28>.

วรรณกรรม<слайд 29>

1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A.N.Kolmogorov, A.M.Abramov, Y.P. ดุดนิตซินและคนอื่น ๆ ; ภายใต้. เอ็ด เอ.เอ็น. โคลโมโกรอฟ - อ.: การศึกษา, 2547.
2. วัสดุการสอนเรื่องพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์สำหรับเกรด 10 / B.M. Ivlev, S.M. ชวาร์ตซเบิร์ด. - อ.: การศึกษา, 2546.
3. แผ่นดิสก์มัลติมีเดียบริษัท "1C" 1C: ครูสอนพิเศษ คณิตศาสตร์ (ตอนที่ 1) + ตัวเลือกการสอบ Unified State. 2006.
4. เปิดธนาคารงานคณิตศาสตร์/ http://mathege.ru/