บ่อยครั้งในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ที่คุณต้องค้นหา ค่าที่น้อยที่สุด ฟังก์ชั่น ตอนนี้เราจะบอกวิธีการทำเช่นนี้
วิธีค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน: คำแนะนำ เพื่อคำนวณค่าที่น้อยที่สุด ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง สำหรับ ส่วนนี้ คุณต้องปฏิบัติตามอัลกอริทึมนี้: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ค้นหาจุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์รวมถึงจุดวิกฤตทั้งหมดในส่วนที่กำหนด จากนั้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ นั่นคือ แก้สมการโดยที่ x เท่ากับศูนย์ ค้นหาว่าค่าใดมีค่าน้อยที่สุด พิจารณาว่าฟังก์ชันมีค่าเท่าใด จุดสิ้นสุด - กำหนดค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ เปรียบเทียบข้อมูลที่ได้รับกับค่าต่ำสุด จำนวนผลลัพธ์ที่น้อยกว่าจะเป็นค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน
โปรดทราบว่าหากไม่มีฟังก์ชันในส่วนใดส่วนหนึ่ง จุดที่เล็กที่สุด ซึ่งหมายความว่าในส่วนที่กำหนดจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง ดังนั้น ควรคำนวณค่าที่น้อยที่สุดบนเซกเมนต์จำกัดของฟังก์ชัน
ในกรณีอื่นๆ ทั้งหมด ค่าของฟังก์ชันจะคำนวณตามอัลกอริทึมที่ระบุ ในแต่ละจุดของอัลกอริทึม คุณจะต้องแก้โจทย์ง่ายๆ สมการเชิงเส้น มีรากเดียว แก้สมการโดยใช้รูปภาพเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด
จะหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซกเมนต์ที่เปิดเพียงครึ่งเดียวได้อย่างไร? ในช่วงครึ่งเปิดหรือเปิดของฟังก์ชัน ควรหาค่าที่น้อยที่สุด ดังต่อไปนี้ - ที่จุดสิ้นสุดของค่าฟังก์ชัน ให้คำนวณขีดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้แก้สมการที่กำหนดจุดมีแนวโน้มโดยค่า a+0 และ b+0 โดยที่ a และ b เป็นชื่อ จุดวิกฤติ .
ตอนนี้คุณรู้วิธีหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันแล้ว สิ่งสำคัญคือการคำนวณทั้งหมดอย่างถูกต้องแม่นยำและไม่มีข้อผิดพลาด
ในบทความนี้ ผมจะพูดถึงวิธีนำทักษะการค้นหาไปประยุกต์ใช้กับการศึกษาฟังก์ชัน เพื่อค้นหาค่าที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุด จากนั้นเราจะแก้ไขปัญหาต่าง ๆ จากงาน B15 เปิดธนาคาร งานสำหรับ.
ตามปกติเรามาจำทฤษฎีกันก่อน
เมื่อเริ่มต้นการศึกษาฟังก์ชันใดๆ เราจะพบว่า
ในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชัน คุณต้องตรวจสอบว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นในช่วงใดและลดลงช่วงใด
ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและตรวจสอบช่วงของเครื่องหมายคงที่ นั่นคือช่วงที่อนุพันธ์ยังคงรักษาเครื่องหมายไว้
ช่วงเวลาที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นบวกคือช่วงของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น
ช่วงเวลาที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบคือช่วงของฟังก์ชันที่ลดลง
1. มาแก้งาน B15 (หมายเลข 245184) กัน
เพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะทำตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:
ก) ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
b) ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน
c) ลองทำให้มันเป็นศูนย์กัน
d) ให้เราค้นหาช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน
e) ค้นหาจุดที่ฟังก์ชันใช้ มูลค่าสูงสุด .
f) ค้นหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้
ฉันอธิบายวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสำหรับงานนี้ในวิดีโอสอน:
เบราว์เซอร์ของคุณอาจไม่รองรับ เพื่อใช้เทรนเนอร์” ชั่วโมงสอบ Unified State " ให้ลองดาวน์โหลด
2. มาแก้งาน B15 (หมายเลข 282862) กัน
ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน
เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันรับค่าสูงสุดของส่วนที่จุดสูงสุดที่ x=2 ลองหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้:
คำตอบ: 5
3. มาแก้งาน B15 (หมายเลข 245180):
ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน
1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}
2. เพราะตามโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดั้งเดิม title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}
3. ตัวเศษ เท่ากับศูนย์ ที่ . ลองตรวจสอบว่ามันเป็นของ ฟังก์ชัน ODZ - เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาตรวจสอบว่าเงื่อนไข title="4-2x-x^2>0"> при .!}
หัวข้อ="4-2(-1)-((-1))^2>0">,
ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นเป็นของฟังก์ชัน ODZ
ลองตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์ทางด้านขวาและด้านซ้ายของจุด:
เราจะเห็นว่าฟังก์ชันนี้รับค่าสูงสุด ณ จุดนั้น ทีนี้ลองหาค่าของฟังก์ชันที่:
หมายเหตุ 1. โปรดทราบว่าในปัญหานี้ เราไม่พบโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน เราเพียงแต่แก้ไขข้อจำกัดและตรวจสอบว่าจุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์เป็นของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันหรือไม่ ปรากฏว่าเพียงพอแล้วสำหรับงานนี้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป มันขึ้นอยู่กับงาน
หมายเหตุ 2. เมื่อศึกษาพฤติกรรม ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน คุณสามารถใช้กฎนี้:
ถ้าฟังก์ชันภายนอกของฟังก์ชันเชิงซ้อนเพิ่มขึ้น ฟังก์ชันนั้นก็จะรับค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ณ จุดเดียวกันนั้น ฟังก์ชั่นภายใน รับคุณค่าสูงสุด สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น: ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา I หากค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์จากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน ถ้าฟังก์ชันภายนอกของฟังก์ชันเชิงซ้อนลดลง ฟังก์ชันก็จะรับค่าที่มากที่สุด ณ จุดเดียวกับที่ฟังก์ชันภายในรับค่าที่น้อยที่สุด - สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของฟังก์ชันที่ลดลง: ฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลา I หากค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์จากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน
ในตัวอย่างของเรา ฟังก์ชันภายนอกจะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมจะมีนิพจน์ - ตรีโกณมิติกำลังสอง ซึ่งเมื่อมีค่าสัมประสิทธิ์นำเป็นลบ จะใช้ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ณ จุดนั้น
อัลกอริธึมมาตรฐานสำหรับการแก้ปัญหาดังกล่าวเกี่ยวข้องกับการกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาต่างๆ หลังจากค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันแล้ว จากนั้นจึงคำนวณค่าที่จุดสูงสุด (หรือต่ำสุด) ที่พบ และที่ขอบเขตของช่วงเวลา ขึ้นอยู่กับคำถามที่อยู่ในเงื่อนไข
ฉันแนะนำให้คุณทำสิ่งที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย ทำไม ฉันเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้
ฉันเสนอให้แก้ไขปัญหาดังกล่าวดังนี้:
1. ค้นหาอนุพันธ์ กำหนดช่วงเวลา .
ขณะแก้ตัวอย่างที่นำเสนอนั้น ไม่ได้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาอย่างละเอียด สมการกำลังสอง คุณควรจะสามารถทำเช่นนี้ได้ พวกเขาควรรู้ด้วย
ลองดูตัวอย่าง:
77422. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y=x 3 –3x+4 บนเซ็กเมนต์ [–2;0]
มาหาศูนย์ของอนุพันธ์กัน:
จุด x = –1 อยู่ในช่วงที่ระบุในเงื่อนไข
เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด –2, –1 และ 0:
ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันคือ 6
คำตอบ: 6
77425. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 – 3x 2 + 2 บนเซ็กเมนต์
ลองหาอนุพันธ์กัน ฟังก์ชันที่กำหนด :
มาหาศูนย์ของอนุพันธ์กัน:
จุด x = 2 เป็นของช่วงที่ระบุในเงื่อนไข
เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดที่ 1, 2 และ 4:
ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ –2
คำตอบ: –2
77426. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 – 6x 2 บนเซ็กเมนต์ [–3;3]
มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:
มาหาศูนย์ของอนุพันธ์กัน:
จุด x = 0 อยู่ในช่วงที่ระบุในเงื่อนไข
เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด –3, 0 และ 3:
ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ 0
คำตอบ: 0
77429. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 – 2x 2 + x +3 บนเซกเมนต์
มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:
3x 2 – 4x + 1 = 0
เราได้ราก: x 1 = 1 x 1 = 1/3
ช่วงเวลาที่ระบุในเงื่อนไขมีเพียง x = 1
มาหาค่าของฟังก์ชันที่จุดที่ 1 และ 4:
เราพบว่าค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ 3
คำตอบ: 3
77430. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 + 2x 2 + x + 3 บนเซ็กเมนต์ [– 4; –1]
มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:
มาหาศูนย์ของอนุพันธ์แล้วแก้สมการกำลังสอง:
3x 2 + 4x + 1 = 0
มารับรากกันเถอะ:
ช่วงเวลาที่ระบุในเงื่อนไขประกอบด้วยราก x = –1
เราค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด –4, –1, –1/3 และ 1:
เราพบว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือ 3
คำตอบ: 3
77433. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 – x 2 – 40x +3 บนเซกเมนต์
มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:
มาหาศูนย์ของอนุพันธ์แล้วแก้สมการกำลังสอง:
3x 2 – 2x – 40 = 0
มารับรากกันเถอะ:
ช่วงเวลาที่ระบุในเงื่อนไขมีราก x = 4
ค้นหาค่าฟังก์ชันที่จุดที่ 0 และ 4:
เราพบว่าค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ –109
คำตอบ: –109
ลองพิจารณาวิธีกำหนดค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดโดยไม่มีอนุพันธ์ วิธีนี้สามารถใช้ได้หากคุณมี ปัญหาใหญ่ - หลักการนั้นง่าย - เราแทนที่ค่าจำนวนเต็มทั้งหมดจากช่วงเวลาลงในฟังก์ชัน (ความจริงก็คือในต้นแบบดังกล่าวทั้งหมดคำตอบคือจำนวนเต็ม)
77437. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y=7+12x–x 3 บนเซ็กเมนต์ [–2;2]
คะแนนทดแทนจาก –2 ถึง 2:
ดูโซลูชัน
77434. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 บนเซ็กเมนต์ [–2;0]
นั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!
ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh
ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก
คำชี้แจงปัญหา 2:
ด้วยฟังก์ชันที่กำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง คุณต้องค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันในช่วงเวลานี้
รากฐานทางทฤษฎี ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบท Weierstrass ที่สอง):
หากมีการกำหนดฟังก์ชันและต่อเนื่องในช่วงเวลาปิด ฟังก์ชันนั้นจะถึงค่าสูงสุดและต่ำสุดในช่วงเวลานี้
ฟังก์ชันสามารถเข้าถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดได้ด้วย จุดภายใน ช่องว่างหรือที่ขอบเขตของมัน เรามาอธิบายตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดกัน
คำอธิบาย: ความคิดเห็น:
“สูงสุด” และ “มูลค่าสูงสุด” เป็นสิ่งที่แตกต่างกัน สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของค่าสูงสุดและความเข้าใจตามสัญชาตญาณของวลี "ค่าสูงสุด"
อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหา 2
ตัวอย่างที่ 4:
กำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน สารละลาย:
4) เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) จากค่าที่ได้รับและจดคำตอบ
ฟังก์ชันในส่วนนี้ถึงค่าสูงสุด ณ จุดที่มีพิกัด
ฟังก์ชันในส่วนนี้ถึงค่าต่ำสุดที่จุดที่มีพิกัด
คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณได้โดยดูที่กราฟของฟังก์ชันที่กำลังศึกษา ความคิดเห็น: ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดที่จุดสูงสุด และค่าต่ำสุดที่ขอบเขตของเซ็กเมนต์
เป็นกรณีพิเศษ
สมมติว่าเราต้องค้นหาค่าสูงสุดและ ค่าต่ำสุด ฟังก์ชันบางอย่างในช่วงเวลาหนึ่ง หลังจากเสร็จสิ้นขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมแล้วนั่นคือ การคำนวณอนุพันธ์จะเห็นได้ชัดว่าใช้เวลาเท่านั้น ค่าลบ ทั่วทั้งส่วนที่พิจารณา จำไว้ว่าถ้าอนุพันธ์เป็นลบ ฟังก์ชันก็จะลดลง เราพบว่าฟังก์ชันลดลงทั่วทั้งเซ็กเมนต์ สถานการณ์นี้แสดงอยู่ในกราฟหมายเลข 1 ในตอนต้นของบทความ
ฟังก์ชันจะลดลงในส่วนดังกล่าว เช่น มันไม่มีจุดสุดโต่ง จากภาพ คุณจะเห็นว่าฟังก์ชันจะใช้ค่าที่น้อยที่สุดบนขอบเขตด้านขวาของเซ็กเมนต์ และค่าที่ใหญ่ที่สุดทางด้านซ้าย ถ้าอนุพันธ์ในช่วงนั้นเป็นบวกทุกจุด ฟังก์ชันก็จะเพิ่มขึ้น ค่าที่น้อยที่สุดจะอยู่ที่ขอบด้านซ้ายของส่วน ค่าที่ใหญ่ที่สุดจะอยู่ทางด้านขวา
ในทางปฏิบัติ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้อนุพันธ์ในการคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน เราทำการดำเนินการนี้เมื่อเราทราบวิธีลดต้นทุน เพิ่มผลกำไร คำนวณภาระการผลิตที่เหมาะสมที่สุด ฯลฯ นั่นคือในกรณีที่เราต้องกำหนดค่าที่เหมาะสมที่สุดของพารามิเตอร์ ในการแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างถูกต้อง คุณต้องมีความเข้าใจที่ดีว่าค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดคืออะไร
ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1
โดยปกติแล้วเราจะกำหนดค่าเหล่านี้ภายในช่วงเวลา x ซึ่งอาจสอดคล้องกับโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชันหรือบางส่วน มันอาจเป็นเหมือนส่วน [a; b ] และช่วงเวลาเปิด (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), ช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุด (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) หรือช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุด - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .
ในเนื้อหานี้ เราจะบอกวิธีคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนด้วยตัวแปรหนึ่งตัว y=f(x) y = f (x) .
คำจำกัดความพื้นฐาน
เริ่มต้นด้วยการกำหนดคำจำกัดความพื้นฐานเช่นเคย
คำจำกัดความ 1
ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = f (x) ในช่วง x คือค่า m a x y = f (x 0) x ∈ X ซึ่งสำหรับค่าใดๆ x x ∈ X, x ≠ x 0 ทำให้ความไม่เท่าเทียมกัน f (x) ≤ ฉ (x) ถูกต้อง 0) .
คำจำกัดความ 2
ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = f (x) ในช่วง x คือค่า m i n x ∈ X y = f (x 0) ซึ่งสำหรับค่าใดๆ x ∈ X, x ≠ x 0 ทำให้ความไม่เท่าเทียมกัน f(X f (x) ≥ ฉ (x 0) .
คำจำกัดความเหล่านี้ค่อนข้างชัดเจน ง่ายกว่านั้น เราสามารถพูดได้ว่า: ค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือค่าสูงสุด คุ้มค่ามาก บนช่วงเวลาที่ทราบที่ abscissa x 0 และค่าที่น้อยที่สุดคือค่าที่ยอมรับได้น้อยที่สุดในช่วงเวลาเดียวกันที่ x 0
คำจำกัดความ 3
จุดคงที่คือค่าเหล่านั้นของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่อนุพันธ์ของมันกลายเป็น 0
ทำไมเราต้องรู้ว่าจุดคงที่คืออะไร? เพื่อตอบคำถามนี้ เราต้องจำทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ จากนั้นจุดที่อยู่นิ่งคือจุดที่ปลายสุดของฟังก์ชันหาอนุพันธ์อยู่ (เช่น ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดในพื้นที่) ดังนั้นฟังก์ชันจะใช้ค่าที่น้อยที่สุดหรือมากที่สุดในช่วงเวลาหนึ่งอย่างแม่นยำที่จุดใดจุดหนึ่งที่อยู่นิ่ง
ฟังก์ชันยังสามารถรับค่าที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุด ณ จุดที่มีการกำหนดฟังก์ชันนั้นเอง และไม่มีอนุพันธ์ลำดับแรกอยู่
คำถามแรกที่เกิดขึ้นเมื่อศึกษาหัวข้อนี้: ในทุกกรณีเราสามารถกำหนดค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดในช่วงเวลาที่กำหนดได้หรือไม่? ไม่ เราไม่สามารถทำเช่นนี้ได้เมื่อขอบเขตของช่วงที่กำหนดตรงกับขอบเขตของพื้นที่นิยาม หรือถ้าเรากำลังเผชิญกับช่วงอนันต์ นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นที่ฟังก์ชันในส่วนที่กำหนดหรือที่ระยะอนันต์จะมีขนาดเล็กหรือไม่มีสิ้นสุด ค่าขนาดใหญ่ - ในกรณีเหล่านี้ ไม่สามารถระบุค่าที่ใหญ่ที่สุดและ/หรือน้อยที่สุดได้
จุดเหล่านี้จะชัดเจนขึ้นหลังจากแสดงบนกราฟ:
รูปแรกแสดงให้เราเห็นฟังก์ชันที่รับค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด (m a x y และ m i n y) ที่จุดที่นิ่งซึ่งอยู่บนส่วน [ - 6 ; 6].
ให้เราตรวจสอบรายละเอียดกรณีที่ระบุไว้ในกราฟที่สอง มาเปลี่ยนค่าของเซ็กเมนต์เป็น [ 1 ; 6 ] และเราพบว่าค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันจะได้มา ณ จุดที่มี abscissa บนขอบเขตด้านขวาของช่วงเวลา และค่าน้อยที่สุดที่ จุดนิ่ง .
ในรูปที่สาม ฝีของจุดแสดงถึงจุดขอบเขตของส่วน [ - 3 ; 2]. สอดคล้องกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันที่กำหนด
ตอนนี้เรามาดูภาพที่สี่กัน ในนั้น ฟังก์ชันจะใช้ m a x y (ค่าที่ใหญ่ที่สุด) และ m i n y (ค่าที่น้อยที่สุด) ที่จุดคงที่บน ช่วงเวลาเปิด (- 6 ; 6) .
หากเราใช้ช่วงเวลา [ 1 ; 6) จากนั้นเราสามารถพูดได้ว่าค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนนั้นจะบรรลุที่จุดที่นิ่ง เราจะไม่รู้จักคุณค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ฟังก์ชันสามารถรับค่าสูงสุดที่ x เท่ากับ 6 ถ้า x = 6 อยู่ในช่วงเวลา นี่เป็นกรณีที่แสดงในกราฟที่ 5
บนกราฟ 6 ค่าต่ำสุด ฟังก์ชั่นนี้ ได้มาจากขอบเขตด้านขวาของช่วงเวลา (- 3; 2 ] และเราไม่สามารถสรุปได้แน่ชัดเกี่ยวกับค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด
ในรูปที่ 7 เราจะเห็นว่าฟังก์ชันจะมีค่า m x y ที่จุดที่อยู่กับที่โดยมีจุด Abscissa เท่ากับ 1 ฟังก์ชันจะถึงค่าต่ำสุดที่ขอบเขตของช่วง c ด้านขวา - ที่ค่าอนันต์ลบ ค่าฟังก์ชันจะเข้าใกล้ y = 3 แบบไม่แสดงกำกับ
หากเราใช้ช่วงเวลา x ∈ 2; + ∞ จากนั้นเราจะเห็นว่าฟังก์ชันที่กำหนดจะไม่ใช้ค่าที่น้อยที่สุดหรือใหญ่ที่สุด หาก x มีแนวโน้มเป็น 2 ค่าของฟังก์ชันจะมีแนวโน้มที่จะลบอนันต์เนื่องจากเส้นตรง x = 2 เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง ถ้า abscissa มีแนวโน้มที่จะบวกอนันต์ ค่าฟังก์ชันจะเข้าใกล้ y = 3 แบบไม่แสดงกำกับ นี่เป็นกรณีที่แสดงในรูปที่ 8
ในย่อหน้านี้ เราจะนำเสนอลำดับของการกระทำที่ต้องทำเพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์หนึ่งๆ
ก่อนอื่น เรามาค้นหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชันกันก่อน เรามาตรวจสอบว่ากลุ่มที่ระบุในเงื่อนไขรวมอยู่ในนั้นหรือไม่
ทีนี้ลองคำนวณคะแนนที่มีอยู่ในส่วนนี้ซึ่งไม่มีอนุพันธ์ตัวแรกอยู่ ส่วนใหญ่มักพบได้ในฟังก์ชันที่มีการโต้แย้งเขียนไว้ใต้เครื่องหมายโมดูลัสหรือใน ฟังก์ชั่นพลังงาน เลขชี้กำลังซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะที่เป็นเศษส่วน
ต่อไปเรามาดูกันว่าจุดใดที่อยู่นิ่งอยู่ ส่วนที่กำหนด - ในการทำเช่นนี้ คุณต้องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน จากนั้นจัดให้เป็น 0 แล้วแก้สมการผลลัพธ์ จากนั้นเลือกรากที่เหมาะสม หากเราไม่ได้รับจุดคงที่จุดเดียวหรือไม่ตกอยู่ในส่วนที่กำหนด เราก็ไปยังขั้นตอนต่อไป
เรากำหนดว่าฟังก์ชันจะใช้ค่าใด ณ จุดคงที่ที่กำหนด (ถ้ามี) หรือ ณ จุดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (ถ้ามี) หรือเราคำนวณค่าสำหรับ x = a และ x = ข
5. เรามีค่าฟังก์ชันจำนวนหนึ่ง ซึ่งตอนนี้เราต้องเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด นี่จะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันที่เราต้องค้นหา
เรามาดูวิธีการใช้อัลกอริทึมนี้อย่างถูกต้องเมื่อแก้ไขปัญหา
ตัวอย่างที่ 1
เงื่อนไข: ให้ฟังก์ชัน y = x 3 + 4 x 2 กำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์ [ 1 ; 4 ] และ [ - 4 ; - 1 ] .
สารละลาย:
เริ่มต้นด้วยการหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชันที่กำหนด ในกรณีนี้ มันจะเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้น 0 กล่าวอีกนัยหนึ่ง D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + . ทั้งสองส่วนที่ระบุในเงื่อนไขจะอยู่ภายในพื้นที่คำจำกัดความ
ตอนนี้เราคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันตามกฎการแยกเศษส่วน:
y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x3
เราได้เรียนรู้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะมีอยู่ที่ทุกจุดของเซ็กเมนต์ [ 1 ; 4 ] และ [ - 4 ; - 1 ] .
ตอนนี้เราจำเป็นต้องกำหนดจุดคงที่ของฟังก์ชัน ลองทำโดยใช้สมการ x 3 - 8 x 3 = 0 เขามีเพียงหนึ่งเดียว รากที่แท้จริง เท่ากับ 2 มันจะเป็นจุดคงที่ของฟังก์ชันและจะตกอยู่ในส่วนแรก [1; 4].
ให้เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนแรกและ ณ จุดนี้ นั่นคือ สำหรับ x = 1, x = 2 และ x = 4:
ปี (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 ปี (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 ปี (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
เราพบว่าค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 จะได้ที่ x = 1 และค่า m i n y x ∈ ที่เล็กที่สุด [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – ที่ x = 2
ส่วนที่สองไม่มีจุดคงที่เพียงจุดเดียว ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องคำนวณค่าฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนที่กำหนดเท่านั้น:
ปี (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
นี่หมายถึง m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , ฉันไม่มี x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = ย (- 4) = - 3 3 4 .
คำตอบ: สำหรับส่วน [ 1 ; 4 ] - ม x ย x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , ฉันไม่มี x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 สำหรับเซ็กเมนต์ [ - 4 ; - 1 ] - ม x ย x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , ฉันไม่มี x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = ย (- 4) = - 3 3 4 .
ดูภาพ:
ก่อนที่คุณจะเรียน วิธีนี้ เราขอแนะนำให้คุณทบทวนวิธีคำนวณขีดจำกัดด้านเดียวและขีดจำกัดที่อนันต์อย่างถูกต้อง พร้อมทั้งเรียนรู้วิธีพื้นฐานในการค้นหา หากต้องการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและ/หรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาเปิดหรืออนันต์ ให้ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้ตามลำดับ
ขั้นแรก คุณต้องตรวจสอบว่าช่วงที่กำหนดเป็นส่วนย่อยของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้หรือไม่
ให้เราพิจารณาจุดทั้งหมดที่มีอยู่ในช่วงเวลาที่ต้องการและไม่มีอนุพันธ์อันดับแรก มักเกิดขึ้นในฟังก์ชันที่อาร์กิวเมนต์อยู่ในเครื่องหมายโมดูลัส และในฟังก์ชันยกกำลังที่มีเศษส่วน ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล - หากจุดเหล่านี้หายไป คุณสามารถดำเนินการขั้นตอนต่อไปได้
ตอนนี้เรามาดูกันว่าจุดใดที่อยู่นิ่งจะตกภายในช่วงเวลาที่กำหนด ขั้นแรก เราเทียบอนุพันธ์กับ 0 แก้สมการ และเลือกรากที่เหมาะสม ถ้าเราไม่มีจุดหยุดนิ่งจุดเดียวหรือไม่ตกในช่วงเวลาที่กำหนด เราจะดำเนินการต่อไปทันที ถูกกำหนดโดยประเภทของช่วงเวลา
หากช่วงเวลาอยู่ในรูปแบบ [ a ; b) จากนั้นเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x = a และด้านเดียว จำกัด ลิม x → ข - 0 ฉ (x) .
หากช่วงเวลาอยู่ในรูปแบบ (a; b ] เราต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x = b และลิมิตด้านเดียว lim x → a + 0 f (x)
หากช่วงเวลามีรูปแบบ (a ; b) เราจำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด ด้านเดียว lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
หากช่วงเวลาอยู่ในรูปแบบ [ a ; + ∞) จากนั้นเราจำเป็นต้องคำนวณค่าที่จุด x = a และลิมิตที่บวกอนันต์ lim x → + ∞ f (x) .
หากช่วงเวลาดูเหมือน (- ∞ ; b ] เราจะคำนวณค่าที่จุด x = b และขีดจำกัดที่ลบอนันต์ lim x → - ∞ f (x)
ถ้า - ∞ ; b จากนั้นเราจะพิจารณาลิมิตด้านเดียว lim x → b - 0 f (x) และลิมิตที่ลบอนันต์ lim x → - ∞ f (x)
ถ้า - ∞; + ∞ จากนั้นเราจะพิจารณาขีด จำกัด ของลบและบวกอนันต์ lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x)
ในตอนท้ายคุณต้องสรุปตามค่าฟังก์ชันและขีดจำกัดที่ได้รับ มีตัวเลือกมากมายที่นี่ ดังนั้นหากขีด จำกัด ด้านเดียวเท่ากับลบอนันต์หรือบวกอนันต์ก็ชัดเจนทันทีว่าไม่มีอะไรสามารถพูดเกี่ยวกับค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันได้ ด้านล่างนี้เราจะดูตัวอย่างทั่วไปหนึ่งตัวอย่าง คำอธิบายโดยละเอียด จะช่วยให้คุณเข้าใจว่าอะไรคืออะไร หากจำเป็น คุณสามารถกลับไปที่รูปที่ 4 - 8 ในส่วนแรกของเนื้อหาได้
เงื่อนไข: ฟังก์ชันที่กำหนด y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . คำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดในช่วงเวลา - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ) .
สารละลาย
ก่อนอื่น เราจะหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชัน ตัวส่วนของเศษส่วนประกอบด้วยกำลังสองซึ่งไม่ควรเปลี่ยนเป็น 0:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
เราได้รับโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันซึ่งช่วงเวลาทั้งหมดที่ระบุในเงื่อนไขเป็นสมาชิก
ตอนนี้เรามาแยกความแตกต่างของฟังก์ชันและรับ:
y" = 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 จ 1 x 2 + x - 6 " = 3 จ 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · จ 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
ดังนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงมีอยู่ตลอดขอบเขตคำจำกัดความของมัน
มาดูการหาจุดคงที่กันดีกว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันกลายเป็น 0 ที่ x = - 1 2 . นี่คือจุดคงที่ซึ่งอยู่ในช่วงเวลา (- 3 ; 1 ] และ (- 3 ; 2) .
ลองคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ x = - 4 สำหรับช่วงเวลา (- ∞ ; - 4 ] รวมถึงขีดจำกัดที่ลบอนันต์:
y (- 4) = 3 อี 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 อี 1 6 - 4 µ - 0 . 456 ลิม x → - ∞ 3 จ 1 x 2 + x - 6 = 3 จ 0 - 4 = - 1
เนื่องจาก 3 e 1 6 - 4 > - 1 หมายความว่า m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 ซึ่งไม่อนุญาตให้เราระบุค่าที่น้อยที่สุดของ ฟังก์ชัน เราสามารถสรุปได้เพียงว่ามีข้อ จำกัด ต่ำกว่า - 1 เนื่องจากเป็นค่านี้ที่ฟังก์ชันเข้าใกล้เชิงเส้นกำกับที่ลบอนันต์
ลักษณะเฉพาะของช่วงที่สองคือไม่มีจุดคงที่จุดเดียวและไม่มีขอบเขตที่เข้มงวดเพียงจุดเดียว ดังนั้นเราจึงไม่สามารถคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันได้ เมื่อกำหนดขีดจำกัดที่ลบอนันต์และอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็น - 3 ทางด้านซ้าย เราจะได้ค่าเพียงช่วงเวลาหนึ่งเท่านั้น:
ลิม x → - 3 - 0 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 = ลิม x → - 3 - 0 3 จ 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 จ 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 อี 1 (+ 0) - 4 = 3 อี + ∞ - 4 = + ∞ ลิม x → - ∞ 3 อี 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 อี 0 - 4 = - 1
ซึ่งหมายความว่าค่าฟังก์ชันจะอยู่ในช่วงเวลา - 1; +
ในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันในช่วงที่สาม เราจะกำหนดค่าของมันที่จุดคงที่ x = - 1 2 ถ้า x = 1 นอกจากนี้เรายังจำเป็นต้องทราบขีดจำกัดด้านเดียวสำหรับกรณีที่ข้อโต้แย้งมีแนวโน้มที่จะ - 3 ทางด้านขวา:
y - 1 2 = 3 อี 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 อี 4 25 - 4 data - 1 . 444 ปี (1) = 3 อี 1 1 2 + 1 - 6 - 4 data - 1 . 644 ลิม x → - 3 + 0 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 = ลิม x → - 3 + 0 3 จ 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 จ 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 อี 1 (- 0) - 4 = 3 อี - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
ปรากฎว่าฟังก์ชันจะรับค่าสูงสุดที่จุดคงที่ m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 ส่วนค่าที่น้อยที่สุดนั้นเราไม่สามารถระบุได้ ทุกสิ่งที่เรารู้ คือการมีอยู่ของขีดจำกัดล่างถึง - 4
สำหรับช่วงเวลา (- 3 ; 2) ให้นำผลลัพธ์ของการคำนวณก่อนหน้ามาคำนวณอีกครั้งว่าขีดจำกัดด้านเดียวเท่ากับเท่าใดเมื่อพุ่งไปที่ 2 ทางด้านซ้าย:
y - 1 2 = 3 อี 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 อี - 4 25 - 4 data - 1 . 444 ลิม x → - 3 + 0 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 ลิม x → 2 - 0 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 = ลิม x → - 3 + 0 3 จ 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 อี 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 อี 1 - 0 - 4 = 3 อี - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4
ซึ่งหมายความว่า m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 และไม่สามารถกำหนดค่าที่น้อยที่สุดได้และค่าของฟังก์ชันจะถูกจำกัดจากด้านล่างด้วยตัวเลข - 4 .
จากสิ่งที่เราได้จากการคำนวณสองครั้งก่อนหน้านี้ เราสามารถพูดได้ว่าในช่วงเวลา [ 1 ; 2) ฟังก์ชันจะใช้ค่าสูงสุดที่ x = 1 แต่ไม่สามารถหาค่าที่เล็กที่สุดได้
ในช่วงเวลา (2 ; + ∞) ฟังก์ชันจะไม่ถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุด เช่น จะใช้ค่าจากช่วงเวลา - 1 ; + .
ลิม x → 2 + 0 3 อี 1 x 2 + x - 6 - 4 = ลิม x → - 3 + 0 3 อี 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 อี 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 อี 1 (+ 0) - 4 = 3 อี + ∞ - 4 = + ∞ ลิม x → + ∞ 3 อี 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 อี 0 - 4 = - 1
เมื่อคำนวณว่าค่าของฟังก์ชันจะเท่ากับเท่าใดที่ x = 4 เราจะพบว่า m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 และฟังก์ชันที่กำหนดที่บวกอนันต์จะเข้าใกล้เส้นตรงเชิงกำกับเชิงกำกับ y = - 1
ลองเปรียบเทียบสิ่งที่เราได้จากการคำนวณแต่ละครั้งกับกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด ในรูป เส้นกำกับจะแสดงด้วยเส้นประ
นั่นคือทั้งหมดที่เราต้องการบอกคุณเกี่ยวกับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน ลำดับการกระทำที่เราให้ไว้จะช่วยให้คุณคำนวณที่จำเป็นได้อย่างรวดเร็วและง่ายดายที่สุด แต่โปรดจำไว้ว่ามันมักจะมีประโยชน์ในการค้นหาก่อนว่าฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลาใดและจะเพิ่มขึ้นเมื่อใด หลังจากนั้นคุณสามารถสรุปเพิ่มเติมได้ วิธีนี้ทำให้คุณสามารถกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันได้แม่นยำยิ่งขึ้น และปรับผลลัพธ์ที่ได้รับให้เหมาะสม
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
บนส่วน
- ต่อไป เราจะแทนค่า x นี้ลงในสมการของฟังก์ชัน 
บนส่วน 
