1°. สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเรียกว่าสมการที่มีตัวแปรอยู่ในเลขชี้กำลัง
การแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของกำลัง นั่นคือ กำลังสองกำลังที่มีฐานเดียวกันจะเท่ากันก็ต่อเมื่อเลขชี้กำลังเท่ากันเท่านั้น
2°. วิธีการพื้นฐานในการแก้สมการเลขชี้กำลัง:
1) สมการที่ง่ายที่สุดมีคำตอบ
2) สมการของรูปแบบลอการิทึมถึงฐาน ก ลดขนาดเป็นรูป;
3) สมการของรูปแบบเทียบเท่ากับสมการ ;
4) สมการของแบบฟอร์ม 
เท่ากับสมการ
5) สมการของรูปแบบลดลงโดยการแทนที่สมการ จากนั้นจึงแก้ชุดสมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย
6) สมการส่วนกลับ 
โดยการทดแทนจะลดเป็นสมการแล้วแก้ชุดสมการ
7) สมการที่เป็นเนื้อเดียวกันด้วยความเคารพ ก(x)และ บีจี(x)ระบุว่า 
พิมพ์ 
ผ่านการแทนที่พวกมันจะลดลงเป็นสมการ จากนั้นจึงแก้ชุดสมการได้
การจำแนกประเภทของสมการเลขชี้กำลัง
1. สมการแก้ได้โดยไปที่ฐานเดียว.
ตัวอย่างที่ 18 แก้สมการ 
.
วิธีแก้ไข: ลองใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าฐานพลังทั้งหมดเป็นพลังของหมายเลข 5: .
2. แก้สมการได้โดยส่งผ่านไปยังเลขชี้กำลังหนึ่งตัว.
สมการเหล่านี้แก้ได้โดยการแปลงสมการดั้งเดิมให้อยู่ในรูป ซึ่งถูกลดขนาดให้เหลือน้อยที่สุดโดยใช้สมบัติของสัดส่วน
ตัวอย่างที่ 19 แก้สมการ:
3. แก้สมการได้โดยการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ.
ถ้าเลขชี้กำลังแต่ละตัวในสมการแตกต่างจากอีกตัวด้วยจำนวนที่แน่นอน สมการก็จะแก้ได้โดยการใส่เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังน้อยที่สุดออกจากวงเล็บ
ตัวอย่างที่ 20 แก้สมการ
วิธีแก้: ลองหาดีกรีที่มีเลขชี้กำลังน้อยที่สุดจากวงเล็บทางด้านซ้ายของสมการ:
ตัวอย่างที่ 21 แก้สมการ 
วิธีแก้: ลองแยกพจน์ที่มีเลขยกกำลังที่มีฐาน 4 ทางด้านขวาของสมการออกจากกันทางด้านซ้ายของสมการ โดยมีฐาน 3 จากนั้นนำเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังน้อยที่สุดออกจากวงเล็บ:
4. สมการที่ลดเป็นสมการกำลังสอง (หรือลูกบาศก์).
สมการต่อไปนี้จะลดลงเป็นสมการกำลังสองสำหรับตัวแปร y ใหม่:
ก) ประเภทของการเปลี่ยนตัวในกรณีนี้
b) ประเภทของการทดแทน และ
ตัวอย่างที่ 22 แก้สมการ 
.
วิธีแก้ไข: มาทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรและแก้สมการกำลังสองกันดีกว่า:
.
คำตอบ: 0; 1.
5. สมการที่เป็นเนื้อเดียวกันด้วยความเคารพต่อฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
สมการของรูปแบบคือสมการเอกพันธ์ของระดับที่สองเทียบกับสิ่งที่ไม่ทราบ เอ็กซ์และ ขx- สมการดังกล่าวจะลดลงโดยการหารทั้งสองข้างก่อนแล้วจึงแทนที่เป็นสมการกำลังสอง
ตัวอย่างที่ 23 แก้สมการ
วิธีแก้: หารทั้งสองข้างของสมการด้วย:
เมื่อใส่ เราจะได้สมการกำลังสองพร้อมราก
ตอนนี้ปัญหาอยู่ที่การแก้ชุดสมการ 
- จากสมการแรกเราจะพบว่า สมการที่สองไม่มีราก เนื่องจากมีค่าใดๆ ก็ตาม x.
คำตอบ: -1/2
6. สมการตรรกยะเกี่ยวกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง.
ตัวอย่างที่ 24 แก้สมการ
วิธีแก้ไข: หารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 3 ครั้งและแทนที่จะเป็นสองเราได้รับฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลหนึ่งฟังก์ชัน:
7. สมการของแบบฟอร์ม 
.
สมการดังกล่าวที่มีชุดของค่าที่ยอมรับได้ (APV) ซึ่งกำหนดโดยเงื่อนไขโดยการใช้ลอการิทึมของทั้งสองข้างของสมการจะลดลงเป็นสมการที่เทียบเท่ากันซึ่งจะเท่ากับชุดของสมการสองสมการหรือ
ตัวอย่างที่ 25. แก้สมการ: .
.
สื่อการสอน
แก้สมการ:
1. ; 2. ; 3. 
;
4. 
; 5. ; 6. ;
9. 
; 10. 
; 11. 
;
14. 
; 15. ;
16. 
; 17. 
;
18. ; 19. 
;
20. ; 21. 
;
22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
.
26. ค้นหาผลคูณของรากของสมการ 
.
27. จงหาผลรวมของรากของสมการ 
.
ค้นหาความหมายของสำนวน:
28. , ที่ไหน x 0- รากของสมการ ;
29. , ที่ไหน x 0– รากทั้งหมดของสมการ 
.
แก้สมการ:
31. 
; 32. .
คำตอบ: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4.0,0.5; 50; 6.0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10. 8; 11.5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23.4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27.3; 28.11; 29.54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
หัวข้อที่ 8
อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล
1°. เรียกว่าอสมการที่มีตัวแปรอยู่ในเลขชี้กำลัง อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล
2°. วิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลของแบบฟอร์มจะขึ้นอยู่กับคำสั่งต่อไปนี้:
ถ้า แล้วอสมการก็เท่ากับ ;
ถ้า แล้วอสมการจะเท่ากับ
เมื่อแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล จะใช้เทคนิคเดียวกันกับการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล
ตัวอย่างที่ 26 แก้ความไม่เท่าเทียมกัน 
(วิธีการเปลี่ยนไปใช้ฐานเดียว).
วิธีแก้ปัญหา: ตั้งแต่ 
จากนั้นอสมการที่กำหนดสามารถเขียนได้เป็น: 
- เนื่องจาก ดังนั้นอสมการนี้จึงเท่ากับอสมการ 
.
เมื่อแก้อสมการสุดท้าย เราได้
ตัวอย่างที่ 27. แก้อสมการ: ( โดยนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ).
วิธีแก้ไข: ลองนำอสมการออกจากวงเล็บทางด้านซ้าย ทางด้านขวาของอสมการ แล้วหารอสมการทั้งสองข้างด้วย (-2) โดยเปลี่ยนเครื่องหมายของอสมการไปตรงกันข้าม:
เนื่องจาก จากนั้นเมื่อย้ายไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันของตัวบ่งชี้ สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันก็จะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้ามอีกครั้ง เราได้รับ. ดังนั้น เซตของคำตอบทั้งหมดของอสมการนี้คือช่วง
ตัวอย่างที่ 28 แก้ความไม่เท่าเทียมกัน ( โดยการแนะนำตัวแปรใหม่).
วิธีแก้ปัญหา: ให้ . จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันนี้จะอยู่ในรูปแบบ: 
หรือ 
ซึ่งคำตอบคือช่วง
จากที่นี่. เนื่องจากฟังก์ชันเพิ่มขึ้น ดังนั้น .
สื่อการสอน
ระบุชุดวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:
1. ; 2. ; 3. ;
6.อยู่ที่ค่าอะไร xจุดบนกราฟฟังก์ชันอยู่ใต้เส้นตรงหรือไม่?
7.มีค่าแค่ไหน xจุดบนกราฟของฟังก์ชันอยู่ไกลถึงเส้นตรงเป็นอย่างน้อยหรือไม่?
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
8. 
; 9. 
; 10. ;
13. ระบุวิธีแก้จำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดของอสมการ 
.
14. ค้นหาผลคูณของจำนวนเต็มที่มากที่สุดและจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด คำตอบของอสมการ 
.
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
15. ; 16. 
; 17. 
;
18. 
; 19. ; 20. ;
21. 
; 22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
; 26. 
.
ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน:
27. 
; 28. 
.
29. ค้นหาชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ที่มีค่าของแต่ละฟังก์ชันมากกว่า 3:
และ 
.
คำตอบ: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0.5); 16. ; 17. (-1; 0)ยู(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0.5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. (a)=a^(\frac( 1) (n))\) เราได้รับว่า \(\sqrt(3^3)=((3^3))^(\frac(1)(2))\) ต่อไป โดยใช้คุณสมบัติขององศา \((a^b)^c=a^(bc)\) เราจะได้ \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\)
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
เรายังรู้ด้วยว่า \(a^b·a^c=a^(b+c)\) เมื่อใส่ค่านี้ทางด้านซ้าย เราจะได้: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\)
\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
ตอนนี้จำไว้ว่า: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) สูตรนี้สามารถใช้ในทิศทางตรงกันข้ามได้: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\) จากนั้น \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\)
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)
เมื่อนำคุณสมบัติ \((a^b)^c=a^(bc)\) ไปทางด้านขวา เราจะได้: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\)
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)
และตอนนี้ฐานของเราเท่ากันและไม่มีสัมประสิทธิ์รบกวน ฯลฯ ดังนั้นเราจึงสามารถทำการเปลี่ยนแปลงได้
ตัวอย่าง
- แก้สมการเลขชี้กำลัง \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
สารละลาย:
|
\(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) |
เราใช้คุณสมบัติกำลังอีกครั้ง \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) ในทิศทางตรงกันข้าม |
|
|
\(4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0\) |
ตอนนี้จำไว้ว่า \(4=2^2\) |
|
|
\((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\) |
โดยใช้คุณสมบัติขององศา เราแปลง: |
|
|
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) |
เราดูสมการอย่างละเอียดและเห็นว่าการแทนที่ \(t=2^x\) แนะนำตัวมันเอง |
|
|
\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) |
อย่างไรก็ตาม เราพบค่าของ \(t\) และเราต้องการ \(x\) เรากลับไปที่ X's โดยทำการแทนที่แบบย้อนกลับ |
|
|
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) |
ลองแปลงสมการที่สองโดยใช้สมบัติกำลังลบ... |
|
|
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) |
...และเราตัดสินใจจนกว่าจะได้คำตอบ |
|
|
\(x_1=1\) \(x_2=-1\) |
คำตอบ : \(-1; 1\).
คำถามยังคงอยู่ - จะเข้าใจได้อย่างไรว่าเมื่อใดควรใช้วิธีใด? สิ่งนี้มาพร้อมกับประสบการณ์ ใช้คำแนะนำทั่วไปในการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนจนกว่าคุณจะพัฒนาได้ - “ถ้าคุณไม่รู้ว่าต้องทำอะไร จงทำในสิ่งที่ทำได้” นั่นคือ ดูว่าคุณสามารถแปลงสมการโดยหลักการได้อย่างไร แล้วลองทำดู - จะเกิดอะไรขึ้นหากเกิดอะไรขึ้น? สิ่งสำคัญคือทำเฉพาะการแปลงทางคณิตศาสตร์เท่านั้น
สมการเลขชี้กำลังที่ไม่มีคำตอบ
ลองดูอีกสองสถานการณ์ที่มักทำให้นักเรียนสับสน:
- จำนวนบวกยกกำลังเท่ากับศูนย์ เช่น \(2^x=0\);
- จำนวนบวกเท่ากับกำลังของจำนวนลบ เช่น \(2^x=-4\)
มาลองแก้โดยใช้กำลังดุร้ายกัน ถ้า x เป็นจำนวนบวก เมื่อ x เพิ่มขึ้น กำลังทั้งหมด \(2^x\) จะเพิ่มขึ้นเท่านั้น:
\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\)
\(x=0\); \(x=0\); \(2^0=1\)
โดย. X ลบยังคงอยู่ จำคุณสมบัติ \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) เราตรวจสอบ:
\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)
แม้ว่าตัวเลขจะน้อยลงในแต่ละขั้นตอน แต่ก็ไม่มีวันถึงศูนย์เลย ระดับลบไม่ได้ช่วยเรา เรามาถึงข้อสรุปเชิงตรรกะ:
จำนวนบวกไม่ว่าในระดับใดก็ตามจะยังคงเป็นจำนวนบวก
ดังนั้นสมการทั้งสองข้างต้นจึงไม่มีคำตอบ
สมการเลขชี้กำลังที่มีฐานต่างกัน
ในทางปฏิบัติ บางครั้งเราพบสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่มีฐานต่างกันซึ่งไม่สามารถลดซึ่งกันและกันได้ และในขณะเดียวกันก็พบสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเดียวกัน มีลักษณะดังนี้: \(a^(f(x))=b^(f(x))\) โดยที่ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนบวก
ตัวอย่างเช่น:
\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)
สมการดังกล่าวสามารถแก้ได้อย่างง่ายดายโดยการหารด้วยด้านใดๆ ของสมการ (โดยปกติจะหารด้วยด้านขวา ซึ่งก็คือ \(b^(f(x))\) คุณสามารถหารด้วยวิธีนี้ได้เนื่องจากเป็นจำนวนบวก เป็นบวกต่อกำลังใดๆ (นั่นคือ เราไม่หารด้วยศูนย์)
\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)
ตัวอย่าง
- แก้สมการเลขชี้กำลัง \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
สารละลาย:
|
\(5^(x+7)=3^(x+7)\) |
ในกรณีนี้ เราไม่สามารถเปลี่ยนห้าเป็นสามได้ หรือในทางกลับกัน (อย่างน้อยก็โดยไม่ต้องใช้ ) ซึ่งหมายความว่าเราไม่สามารถอยู่ในรูปแบบ \(a^(f(x))=a^(g(x))\) อย่างไรก็ตามตัวชี้วัดจะเหมือนกัน |
|
|
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) |
ตอนนี้จำคุณสมบัติ \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) และใช้มันจากซ้ายไปในทิศทางตรงกันข้าม ทางด้านขวา เราก็ลดเศษส่วนลง. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) |
ดูเหมือนสิ่งต่างๆ จะไม่ดีขึ้นเลย แต่จำคุณสมบัติของกำลังอีกอย่างหนึ่งไว้: \(a^0=1\) หรืออีกนัยหนึ่ง: “ตัวเลขใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับ \(1\)” การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: “เราสามารถแสดงเป็นตัวเลขใดๆ ยกกำลังศูนย์ได้” มาใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้โดยทำให้ฐานทางด้านขวาเหมือนกับทางด้านซ้าย |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) |
เอาล่ะ! มากำจัดฐานกันเถอะ |
|
|
เรากำลังเขียนตอบกลับ |
คำตอบ : \(-7\).
บางครั้ง "ความเหมือนกัน" ของเลขชี้กำลังอาจไม่ชัดเจน แต่การใช้คุณสมบัติของเลขชี้กำลังอย่างชำนาญสามารถแก้ไขปัญหานี้ได้
ตัวอย่าง
- แก้สมการเลขชี้กำลัง \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
สารละลาย:
|
\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
สมการดูน่าเศร้ามาก... ไม่เพียงแต่ฐานจะไม่สามารถลดให้เป็นจำนวนเดียวกันได้ (เจ็ดจะไม่เท่ากับ \(\frac(1)(3)\)) แต่เลขชี้กำลังก็ต่างกันด้วย .. อย่างไรก็ตาม ลองใช้ deuce เลขชี้กำลังซ้ายแทน |
|
|
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
เมื่อนึกถึงคุณสมบัติ \((a^b)^c=a^(b·c)\) เราเปลี่ยนรูปจากทางซ้าย: |
|
|
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
ตอนนี้ เมื่อนึกถึงคุณสมบัติของระดับลบ \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) เราก็แปลงจากทางขวา: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) |
|
|
\(49^(x-2)=3^(x-2)\) |
ฮาเลลูยา! ตัวชี้วัดก็เหมือนกัน! |
คำตอบ : \(2\).