โมดูลัสของจำนวนที่ไม่เป็นลบคือจำนวนที่ไม่เป็นลบ โมดูลัสจำนวน

วันนี้เพื่อน ๆ จะไม่มีน้ำมูกหรือน้ำมูก แต่ฉันจะส่งคุณไปต่อสู้กับหนึ่งในคู่ต่อสู้ที่น่าเกรงขามที่สุดในหลักสูตรพีชคณิตเกรด 8-9 แทน

ใช่ คุณเข้าใจทุกอย่างถูกต้องแล้ว เรากำลังพูดถึงความไม่เท่าเทียมกันกับโมดูลัส เราจะดูเทคนิคพื้นฐานสี่ประการที่คุณจะได้เรียนรู้ในการแก้ปัญหาดังกล่าวประมาณ 90% แล้วอีก 10% ที่เหลือล่ะ? เราจะพูดถึงพวกเขาในบทเรียนแยกต่างหาก :)

อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะวิเคราะห์เทคนิคใดๆ ฉันอยากจะเตือนคุณถึงข้อเท็จจริงสองประการที่คุณจำเป็นต้องรู้อยู่แล้ว มิฉะนั้น คุณอาจเสี่ยงที่จะไม่เข้าใจเนื้อหาของบทเรียนวันนี้เลย

สิ่งที่คุณต้องรู้อยู่แล้ว

Captain Obviousness ดูเหมือนจะบอกเป็นนัยว่าเพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยโมดูลัส คุณจำเป็นต้องรู้สองสิ่ง:

1. ความไม่เท่าเทียมกันได้รับการแก้ไขอย่างไร
2. โมดูลคืออะไร?

เริ่มจากจุดที่สองกันก่อน

คำจำกัดความของโมดูล

ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ มีสองคำจำกัดความ: พีชคณิตและกราฟิก เริ่มต้นด้วย - พีชคณิต:

คำนิยาม. โมดูลัสของตัวเลข $x$ อาจเป็นตัวเลขนั้นเอง ถ้าไม่เป็นลบ หรือเป็นจำนวนที่อยู่ตรงข้าม ถ้า $x$ เดิมยังคงเป็นลบ

มันเขียนแบบนี้:

\[\ซ้าย| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

พูดง่ายๆ ก็คือ โมดูลัสคือ “ตัวเลขที่ไม่มีเครื่องหมายลบ” และอยู่ในความเป็นคู่นี้ (ในบางสถานที่คุณไม่จำเป็นต้องทำอะไรกับหมายเลขเดิม แต่ในบางสถานที่คุณจะต้องลบเครื่องหมายลบบางประเภทออก) นั่นคือจุดที่ความยากลำบากทั้งหมดอยู่ที่นักเรียนระดับเริ่มต้น

นอกจากนี้ยังมีคำจำกัดความทางเรขาคณิตด้วย การรู้ก็มีประโยชน์เช่นกัน แต่เราจะหันไปใช้เฉพาะในกรณีที่ซับซ้อนและบางกรณีพิเศษเท่านั้น ซึ่งวิธีการทางเรขาคณิตสะดวกกว่าพีชคณิต (สปอยเลอร์: ไม่ใช่วันนี้)

คำนิยาม. ให้จุด $a$ ถูกทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน จากนั้นโมดูล $\left| x-a \right|$ คือระยะห่างจากจุด $x$ ถึงจุด $a$ บนเส้นนี้

หากคุณวาดภาพคุณจะได้สิ่งนี้:

คำจำกัดความของโมดูลกราฟิก

ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง จากคำจำกัดความของโมดูล คุณสมบัติหลักจะตามมาทันที: โมดูลัสของตัวเลขจะเป็นปริมาณที่ไม่เป็นลบเสมอ- ข้อเท็จจริงนี้จะเป็นหัวข้อสีแดงที่ดำเนินอยู่ในเรื่องราวทั้งหมดของเราในวันนี้

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน วิธีช่วงเวลา

ทีนี้มาดูความไม่เท่าเทียมกันกัน มีพวกมันมากมาย แต่งานของเราตอนนี้คือต้องสามารถแก้ไขอย่างน้อยที่สุดก็ง่ายที่สุด สิ่งที่ลดความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นเช่นเดียวกับวิธีช่วงเวลา

ฉันมีบทเรียนสำคัญสองบทในหัวข้อนี้ (อย่างไรก็ตาม มีประโยชน์มาก - ฉันแนะนำให้ศึกษาบทเรียนเหล่านี้):

1. วิธีช่วงเวลาสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน (โดยเฉพาะดูวิดีโอ)
2. อสมการเชิงตรรกศาสตร์แบบเศษส่วนเป็นบทเรียนที่กว้างขวางมาก แต่หลังจากนั้น คุณจะไม่มีคำถามใดๆ เลย

หากคุณรู้ทั้งหมดนี้ หากวลี "เปลี่ยนจากความไม่เท่าเทียมกันไปสู่สมการ" ไม่ได้ทำให้คุณมีความปรารถนาที่คลุมเครือที่จะชนกำแพงคุณก็พร้อมแล้ว: ยินดีต้อนรับสู่หัวข้อหลักของบทเรียน :)

1. อสมการของรูปแบบ “โมดูลัสน้อยกว่าฟังก์ชัน”

นี่เป็นหนึ่งในปัญหาที่พบบ่อยที่สุดเกี่ยวกับโมดูล จำเป็นต้องแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม:

\[\ซ้าย| ฉ\ขวา| \ltg\]

ฟังก์ชัน $f$ และ $g$ สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่โดยปกติแล้วจะเป็นพหุนาม ตัวอย่างของความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \ขวา| \ltx+7; \\ & \ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \ซ้าย| ((x)^(2))-2\ซ้าย| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

ทั้งหมดสามารถแก้ไขได้ในบรรทัดเดียวตามรูปแบบต่อไปนี้:

\[\ซ้าย| ฉ\ขวา| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\ลูกศรขวา \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \right.\right)\]

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าเรากำจัดโมดูลออกไป แต่ในทางกลับกัน เราก็ได้รับความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า (หรือซึ่งเป็นสิ่งเดียวกัน นั่นคือระบบของความไม่เท่าเทียมกันทั้งสอง) แต่การเปลี่ยนแปลงนี้คำนึงถึงปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมด: หากตัวเลขใต้โมดูลัสเป็นบวก วิธีการก็จะได้ผล หากเป็นลบก็ยังใช้งานได้ และถึงแม้จะมีฟังก์ชันที่ไม่เพียงพอที่สุดแทนที่ $f$ หรือ $g$ วิธีการก็ยังใช้งานได้

โดยธรรมชาติแล้วคำถามก็เกิดขึ้น: ง่ายกว่านี้ไม่ได้เหรอ? น่าเสียดายที่มันเป็นไปไม่ได้ นี่คือจุดรวมของโมดูล

แต่พอมีปรัชญาแล้ว มาแก้ไขปัญหาสองสามข้อกัน:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| 2x+3 \ขวา| \lt x+7\]

สารละลาย. ดังนั้นเราจึงมีความไม่เท่าเทียมกันแบบคลาสสิกของรูปแบบ "โมดูลัสน้อยกว่า" - ไม่มีอะไรจะแปลงด้วยซ้ำ เราทำงานตามอัลกอริทึม:

\[\begin(align) & \left| ฉ\ขวา| \lt g\ลูกศรขวา -g \lt f \lt g; \\ & \ซ้าย| 2x+3 \ขวา| \lt x+7\ลูกศรขวา -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

อย่ารีบเปิดวงเล็บที่มีเครื่องหมาย "ลบ" นำหน้า: ค่อนข้างเป็นไปได้ว่าคุณจะทำผิดพลาดอย่างน่ารังเกียจเมื่อรีบเร่ง

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

ปัญหาลดลงเหลือความไม่เท่าเทียมกันเบื้องต้นสองประการ ให้เราสังเกตคำตอบของพวกเขาบนเส้นจำนวนคู่ขนาน:

จุดตัดของชุด

จุดตัดของเซตเหล่านี้จะเป็นคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

สารละลาย. งานนี้ยากขึ้นเล็กน้อย ขั้นแรก เรามาแยกโมดูลโดยเลื่อนเทอมที่สองไปทางขวา:

\[\ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

เห็นได้ชัดว่าเรามีความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ "โมดูลมีขนาดเล็กกว่า" อีกครั้งดังนั้นเราจึงกำจัดโมดูลโดยใช้อัลกอริธึมที่ทราบอยู่แล้ว:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

ตอนนี้ให้ความสนใจ: บางคนจะบอกว่าฉันเป็นคนนิสัยไม่ดีกับวงเล็บทั้งหมดนี้ แต่ให้ฉันเตือนคุณอีกครั้งว่าเป้าหมายหลักของเราคือ แก้ความไม่เท่าเทียมกันให้ถูกต้องแล้วได้คำตอบ- ต่อมาเมื่อคุณเชี่ยวชาญทุกสิ่งที่อธิบายไว้ในบทเรียนนี้อย่างสมบูรณ์แล้ว คุณสามารถบิดเบือนมันได้เองตามที่คุณต้องการ: วงเล็บเปิด เพิ่มเครื่องหมายลบ ฯลฯ

ขั้นแรกเราจะกำจัดเครื่องหมายลบสองเท่าทางด้านซ้าย:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\ซ้าย(x+1 \ขวา)\]

ทีนี้มาเปิดวงเล็บทั้งหมดในอสมการสองเท่ากัน:

เรามาดูอสมการสองเท่ากันดีกว่า. คราวนี้การคำนวณจะจริงจังกว่านี้:

\[\left\( \begin(จัดแนว) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(จัดตำแหน่ง) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( จัดตำแหน่ง)\right.\]

อสมการทั้งสองเป็นแบบกำลังสองและสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีช่วงเวลา (นั่นคือเหตุผลที่ฉันพูดว่า: ถ้าคุณไม่รู้ว่าสิ่งนี้คืออะไร จะเป็นการดีกว่าที่จะไม่เข้าร่วมโมดูล) เรามาดูสมการในอสมการแรกกันดีกว่า:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\ซ้าย(x+5 \ขวา)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(จัดแนว)\]

อย่างที่คุณเห็น ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีเบื้องต้น ทีนี้มาดูอสมการที่สองของระบบกัน คุณจะต้องใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ที่นั่น:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(จัดแนว)\]

เราทำเครื่องหมายตัวเลขผลลัพธ์บนเส้นคู่ขนานสองเส้น (แยกสำหรับความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรกและแยกจากที่สอง):

อีกครั้ง เนื่องจากเรากำลังแก้ระบบอสมการ เราจึงสนใจจุดตัดของเซตสีเทา: $x\in \left(-5;-2 \right)$ นี่คือคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(-5;-2 \right)$

ฉันคิดว่าหลังจากตัวอย่างเหล่านี้ รูปแบบการแก้ปัญหามีความชัดเจนมาก:

1. แยกโมดูลโดยการย้ายพจน์อื่นๆ ทั้งหมดไปไว้ฝั่งตรงข้ามของอสมการ ดังนั้นเราจึงได้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $\left| ฉ\ขวา| \ltg$.
2. แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันนี้ด้วยการกำจัดโมดูลตามโครงร่างที่อธิบายไว้ข้างต้น เมื่อถึงจุดหนึ่ง จำเป็นต้องย้ายจากความไม่เท่าเทียมกันสองเท่าไปเป็นระบบสองนิพจน์ที่เป็นอิสระ ซึ่งแต่ละนิพจน์สามารถแก้ไขได้แยกกันอยู่แล้ว
3. สุดท้าย สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือตัดผลเฉลยของนิพจน์อิสระทั้งสองนี้ - เท่านี้ก็เรียบร้อย เราก็จะได้คำตอบสุดท้าย

อัลกอริธึมที่คล้ายกันมีอยู่สำหรับอสมการประเภทต่อไปนี้ เมื่อโมดูลัสมากกว่าฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม มี "แต่" ที่ร้ายแรงอยู่สองสามประการ เราจะพูดถึง "แต่" เหล่านี้ตอนนี้

2. อสมการของรูปแบบ “โมดูลัสมีค่ามากกว่าฟังก์ชัน”

พวกเขามีลักษณะเช่นนี้:

\[\ซ้าย| ฉ\ขวา| \gtg\]

คล้ายกับครั้งก่อน? ดูเหมือนว่า. แต่ปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขด้วยวิธีที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง อย่างเป็นทางการโครงการมีดังนี้:

\[\ซ้าย| ฉ\ขวา| \gt g\ลูกศรขวา \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจะพิจารณาสองกรณี:

1. อันดับแรก เราเพียงเพิกเฉยต่อโมดูลและแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันตามปกติ
2. โดยพื้นฐานแล้ว เราจะขยายโมดูลด้วยเครื่องหมายลบ จากนั้นคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วย −1 ขณะที่ฉันมีเครื่องหมายอยู่

ในกรณีนี้ ตัวเลือกจะรวมกับวงเล็บเหลี่ยม เช่น เรามีข้อกำหนดสองประการรวมกันอยู่ตรงหน้าเรา

โปรดทราบอีกครั้ง: นี่ไม่ใช่ระบบ แต่เป็นระบบทั้งหมด ในคำตอบ ชุดต่างๆ จะรวมกันแทนที่จะตัดกัน- นี่คือความแตกต่างพื้นฐานจากประเด็นที่แล้ว!

โดยทั่วไปแล้ว นักเรียนหลายคนสับสนอย่างสิ้นเชิงกับสหภาพแรงงานและทางแยก ดังนั้นเรามาแก้ไขปัญหานี้กัน:

• "∪" คือสัญลักษณ์สหภาพ อันที่จริงนี่คือตัวอักษรสุกใส "U" ซึ่งมาจากภาษาอังกฤษและเป็นคำย่อของ "Union" เช่น "สมาคม".
• "∩" คือป้ายสี่แยก เรื่องไร้สาระนี้ไม่ได้มาจากที่ไหนเลย แต่ดูเหมือนเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับ “∪”

เพื่อให้จำง่ายยิ่งขึ้น เพียงวาดขาไปที่ป้ายเหล่านี้เพื่อทำแว่นตา (อย่ากล่าวหาว่าฉันส่งเสริมการติดยาและโรคพิษสุราเรื้อรัง: หากคุณศึกษาบทเรียนนี้อย่างจริงจัง แสดงว่าคุณติดยาแล้ว):

ความแตกต่างระหว่างจุดตัดและการรวมกันของเซต

เมื่อแปลเป็นภาษารัสเซียหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: สหภาพ (ผลรวม) รวมถึงองค์ประกอบจากทั้งสองชุดดังนั้นจึงไม่น้อยไปกว่าแต่ละชุด แต่จุดตัด (ระบบ) จะรวมเฉพาะองค์ประกอบที่พร้อมกันทั้งชุดแรกและชุดที่สอง ดังนั้นจุดตัดกันของเซตจึงไม่ใหญ่กว่าเซตต้นทาง

มันเลยชัดเจนขึ้น? นั่นเยี่ยมมาก เรามาฝึกกันต่อ

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| 3x+1 \ขวา| \gt 5-4x\]

สารละลาย. เราดำเนินการตามโครงการ:

\[\ซ้าย| 3x+1 \ขวา| \gt 5-4x\ลูกศรขวา \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ ขวา.\]

เราแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันในประชากรแต่ละอย่าง:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

เราทำเครื่องหมายแต่ละชุดผลลัพธ์บนเส้นจำนวน จากนั้นจึงรวมเข้าด้วยกัน:

ยูเนี่ยนของชุด

เห็นได้ชัดว่าคำตอบจะเป็น $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

คำตอบ: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

สารละลาย. ดี? ไม่มีอะไร - ทุกอย่างเหมือนกัน เราย้ายจากความไม่เท่าเทียมกันด้วยมอดุลัสไปสู่ชุดของอสมการสองประการ:

\[\ซ้าย| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\ลูกศรขวา \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

เราแก้ไขทุกความไม่เท่าเทียมกัน น่าเสียดายที่รากที่นั่นจะไม่ดีนัก:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2) \\\end(จัดแนว)\]

ความไม่เท่าเทียมกันประการที่สองนั้นค่อนข้างจะรุนแรง:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2) \\\end(จัดแนว)\]

ตอนนี้คุณต้องทำเครื่องหมายตัวเลขเหล่านี้บนสองแกน - หนึ่งแกนสำหรับความไม่เท่าเทียมกันแต่ละอัน อย่างไรก็ตาม คุณต้องทำเครื่องหมายจุดตามลำดับที่ถูกต้อง ยิ่งตัวเลขมาก จุดก็จะเคลื่อนไปทางขวามากขึ้น

และนี่คือการตั้งค่ารอเราอยู่ ถ้าทุกอย่างชัดเจนด้วยตัวเลข $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (เงื่อนไขในตัวเศษของตัวแรก เศษส่วนน้อยกว่าพจน์ในตัวเศษของวินาที ดังนั้นผลรวมจึงน้อยกว่าด้วย) โดยมีตัวเลข $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ ก็จะไม่มีปัญหาเช่นกัน (จำนวนบวกเป็นลบมากกว่าอย่างเห็นได้ชัด) จากนั้นสองสามอย่างสุดท้ายทุกอย่างก็ไม่ชัดเจน อันไหนมากกว่า: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ หรือ $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? การวางจุดบนเส้นจำนวนและที่จริงแล้วคำตอบจะขึ้นอยู่กับคำตอบของคำถามนี้

ลองเปรียบเทียบกัน:

\[\begin(เมทริกซ์) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ วี -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(เมทริกซ์)\]

เราแยกรากได้จำนวนที่ไม่เป็นลบทั้งสองข้างของอสมการ ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์ยกกำลังสองทั้งสองข้าง:

\[\begin(เมทริกซ์) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(เมทริกซ์)\]

ฉันคิดว่ามันไม่ใช่เรื่องง่ายที่ $4\sqrt(13) \gt 3$ ดังนั้น $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$ จุดสุดท้ายบนแกนจะถูกวางดังนี้:

กรณีของรากที่น่าเกลียด

ฉันขอเตือนคุณว่าเรากำลังแก้เซต ดังนั้นคำตอบจะเป็นการรวม ไม่ใช่จุดตัดของเซตสีเทา

คำตอบ: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

อย่างที่คุณเห็น โครงการของเราใช้งานได้ดีกับทั้งปัญหาง่ายและปัญหาที่ยากมาก “จุดอ่อน” เพียงอย่างเดียวในแนวทางนี้คือคุณต้องเปรียบเทียบจำนวนอตรรกยะให้ถูกต้อง (และเชื่อฉันเถอะว่าสิ่งเหล่านี้ไม่ได้เป็นเพียงรากเท่านั้น) แต่บทเรียนแยกต่างหาก (และจริงจังมาก) จะเน้นไปที่ประเด็นการเปรียบเทียบ และเราก็เดินหน้าต่อไป

3. ความไม่เท่าเทียมกันกับ "ก้อย" ที่ไม่เป็นลบ

ตอนนี้เรามาถึงส่วนที่น่าสนใจที่สุดแล้ว นี่คือความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม:

\[\ซ้าย| ฉ\ขวา| \gt\ซ้าย| ก\ขวา|\]

โดยทั่วไปแล้ว อัลกอริธึมที่เราจะพูดถึงตอนนี้นั้นถูกต้องสำหรับโมดูลเท่านั้น มันใช้ได้กับความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด โดยรับประกันว่านิพจน์ที่ไม่เป็นลบทางซ้ายและขวา:

จะทำอย่างไรกับงานเหล่านี้? เพียงจำไว้ว่า:

ในความไม่เท่าเทียมกับ "หาง" ที่ไม่เป็นลบ ทั้งสองฝ่ายสามารถยกขึ้นเป็นพลังธรรมชาติใดก็ได้ จะไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติม

ก่อนอื่นเราจะสนใจเรื่องการยกกำลังสอง - มันเผาโมดูลและรูท:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f \\\end(จัดแนว)\]

อย่าสับสนกับการหารากของกำลังสอง:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| ฉ \right|\ne ฉ\]

เกิดข้อผิดพลาดนับไม่ถ้วนเมื่อนักเรียนลืมติดตั้งโมดูล! แต่นี่เป็นเรื่องราวที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง (สมการไร้เหตุผล) ดังนั้นเราจะไม่พูดถึงเรื่องนี้ในตอนนี้ มาแก้ไขปัญหาสองสามข้อกันดีกว่า:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \ขวา|\]

สารละลาย. ลองสังเกตสองสิ่งทันที:

1. นี่ไม่ใช่ความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด จุดบนเส้นจำนวนจะถูกแทง
2. เห็นได้ชัดว่าความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองด้านไม่เป็นลบ (นี่คือคุณสมบัติของโมดูล: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$)

ดังนั้นเราจึงสามารถยกกำลังสองของความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองด้านเพื่อกำจัดโมดูลัสและแก้ไขปัญหาโดยใช้วิธีช่วงเวลาปกติ:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)) \\\end(จัดแนว)\]

ในขั้นตอนสุดท้าย ฉันโกงนิดหน่อย: ฉันเปลี่ยนลำดับของคำศัพท์ โดยใช้ประโยชน์จากความเท่าเทียมกันของโมดูล (อันที่จริง ฉันคูณนิพจน์ $1-2x$ ด้วย −1)

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ขวา)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

เราแก้โดยใช้วิธีช่วงเวลา เรามาเปลี่ยนจากอสมการไปสู่สมการกัน:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3) \\\end(จัดแนว)\]

เราทำเครื่องหมายรากที่พบบนเส้นจำนวน อีกครั้ง: ทุกจุดถูกแรเงาเพราะอสมการเดิมไม่เข้มงวด!

กำจัดเครื่องหมายมอดุลัส

ฉันขอเตือนคุณสำหรับผู้ที่ดื้อรั้นเป็นพิเศษ: เรานำสัญญาณจากความไม่เท่าเทียมกันครั้งล่าสุดซึ่งเขียนไว้ก่อนที่จะไปสู่สมการ และเราทาสีทับพื้นที่ที่ต้องการในความไม่เท่าเทียมกันเดียวกัน ในกรณีของเราคือ $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$

นั่นคือทั้งหมดที่ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

คำตอบ: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

สารละลาย. เราทำทุกอย่างเหมือนกัน ฉันจะไม่แสดงความคิดเห็น - แค่ดูลำดับของการกระทำ

ยกกำลังสอง:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \right|. \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \ขวา))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ ขวา))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\เลอ 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

วิธีช่วงเวลา:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ ลูกศรขวา x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\ลูกศรขวา \varnothing \\\end(จัดแนว)\]

มีเพียงรากเดียวบนเส้นจำนวน:

คำตอบคือช่วงเวลาทั้งหมด

คำตอบ: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

บันทึกเล็กๆ น้อยๆ เกี่ยวกับงานสุดท้าย ตามที่นักเรียนคนหนึ่งของฉันระบุไว้อย่างถูกต้อง นิพจน์ย่อยทั้งสองในความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นเชิงบวกอย่างเห็นได้ชัด ดังนั้นจึงสามารถละเครื่องหมายโมดูลัสได้โดยไม่เป็นอันตรายต่อสุขภาพ

แต่นี่เป็นระดับการคิดที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงและเป็นแนวทางที่แตกต่าง - มันสามารถเรียกได้ว่าเป็นวิธีการของผลที่ตามมาอย่างมีเงื่อนไข เกี่ยวกับเรื่องนี้ - ในบทเรียนแยกต่างหาก ตอนนี้เรามาดูส่วนสุดท้ายของบทเรียนของวันนี้แล้วดูอัลกอริธึมสากลที่ใช้งานได้เสมอ แม้ว่าวิธีการก่อนหน้านี้ทั้งหมดจะไร้พลังก็ตาม :)

4. วิธีการแจกแจงตัวเลือก

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเทคนิคทั้งหมดนี้ไม่ได้ช่วยอะไร? หากไม่สามารถลดความไม่เท่าเทียมกันเป็นหางที่ไม่เป็นลบได้หากไม่สามารถแยกโมดูลได้หากโดยทั่วไปมีความเจ็บปวดความโศกเศร้าความเศร้าโศก?

จากนั้น “ปืนใหญ่” ของคณิตศาสตร์ทั้งหมดก็มาถึงที่เกิดเหตุ ซึ่งเป็นวิธีแบบเดรัจฉาน สัมพันธ์กับอสมการกับโมดูลัส มีลักษณะดังนี้:

1. เขียนนิพจน์ย่อยทั้งหมดและตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์
2. แก้สมการผลลัพธ์และทำเครื่องหมายรากที่พบในเส้นจำนวนหนึ่งเส้น
3. เส้นตรงจะแบ่งออกเป็นหลายส่วน โดยแต่ละโมดูลจะมีป้ายตายตัวและเผยให้เห็นไม่ซ้ำกัน
4. แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันในแต่ละส่วนดังกล่าว (คุณสามารถพิจารณาขอบเขตรากที่ได้รับในขั้นตอนที่ 2 แยกกันเพื่อความน่าเชื่อถือ) รวมผลลัพธ์ - นี่จะเป็นคำตอบ :)

แล้วยังไงล่ะ? อ่อนแอ? อย่างง่ายดาย! เป็นเวลานานเท่านั้น มาดูในทางปฏิบัติ:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\ซ้าย| x+2 \ขวา| \lt \ซ้าย| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

สารละลาย. เรื่องไร้สาระนี้ไม่ได้เดือดลงไปถึงความไม่เท่าเทียมกันเช่น $\left| ฉ\ขวา| \lt g$, $\ซ้าย| ฉ\ขวา| \gt g$ หรือ $\left| ฉ\ขวา| \lt \ซ้าย| g \right|$ ดังนั้นเราจึงดำเนินการล่วงหน้า

เราเขียนนิพจน์ submodular จัดให้เป็นศูนย์และค้นหาราก:

\[\begin(align) & x+2=0\ลูกศรขวา x=-2; \\ & x-1=0\ลูกศรขวา x=1 \\\end(จัดแนว)\]

โดยรวมแล้ว เรามีรากสองอันที่แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสามส่วน ซึ่งภายในแต่ละโมดูลจะถูกเปิดเผยโดยไม่ซ้ำกัน:

การแบ่งเส้นจำนวนด้วยศูนย์ของฟังก์ชันย่อย

มาดูแต่ละส่วนแยกกัน

1. ให้ $x \lt -2$. จากนั้นนิพจน์ย่อยทั้งสองจะเป็นค่าลบ และความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end (จัดแนว)\]

เรามีข้อจำกัดที่ค่อนข้างง่าย ลองตัดมันด้วยสมมติฐานเบื้องต้นว่า $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

แน่นอนว่าตัวแปร $x$ ต้องไม่น้อยกว่า −2 และมากกว่า 1.5 ในเวลาเดียวกัน ไม่มีวิธีแก้ปัญหาในพื้นที่นี้

1.1. ให้เราพิจารณากรณีเส้นเขตแดนแยกกัน: $x=-2$ ลองแทนจำนวนนี้ลงในอสมการเดิมแล้วตรวจดู: จริงไหม?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \ซ้าย| -3\ขวา|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\ลูกศรขวา \varnothing \\\end(จัดแนว)\]

เห็นได้ชัดว่าห่วงโซ่การคำนวณทำให้เราเกิดความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ดังนั้น อสมการดั้งเดิมจึงเป็นเท็จเช่นกัน และ $x=-2$ จะไม่รวมอยู่ในคำตอบ

2. ให้ $-2 \lt x \lt 1$ โมดูลด้านซ้ายจะเปิดด้วยเครื่องหมาย "บวก" อยู่แล้ว แต่โมดูลด้านขวาจะยังคงเปิดด้วย "เครื่องหมายลบ" เรามี:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราตัดกับข้อกำหนดเดิมอีกครั้ง:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

และขอย้ำอีกครั้งว่าเซตของคำตอบนั้นว่างเปล่า เนื่องจากไม่มีตัวเลขใดที่ทั้งน้อยกว่า −2.5 และมากกว่า −2

2.1. และอีกครั้งเป็นกรณีพิเศษ: $x=1$ เราแทนที่ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \ซ้าย| 3\ขวา| \lt \ซ้าย| 0\ขวา|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\ลูกศรขวา \varnothing \\\end(จัดแนว)\]

เช่นเดียวกับ “กรณีพิเศษ” ก่อนหน้านี้ ตัวเลข $x=1$ ไม่ได้รวมอยู่ในคำตอบอย่างชัดเจน

3. ส่วนสุดท้ายของบรรทัด: $x \gt 1$ ที่นี่โมดูลทั้งหมดจะเปิดขึ้นโดยมีเครื่องหมายบวก:

\[\begin(จัดแนว) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

และอีกครั้งที่เราตัดกันเซตที่พบด้วยข้อจำกัดเดิม:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

ในที่สุด! เราได้พบช่วงเวลาที่จะเป็นคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

สุดท้ายนี้ มีหมายเหตุหนึ่งที่อาจช่วยคุณจากความผิดพลาดโง่ๆ เมื่อแก้ไขปัญหาจริง:

คำตอบของอสมการด้วยโมดูลัสมักจะแสดงถึงเซตต่อเนื่องบนเส้นจำนวน - ช่วงเวลาและเซ็กเมนต์ จุดที่แยกออกมานั้นพบได้น้อยกว่ามาก และบ่อยครั้งที่ขอบเขตของการแก้ปัญหา (จุดสิ้นสุดของส่วน) เกิดขึ้นพร้อมกับขอบเขตของช่วงที่พิจารณา

ดังนั้น หากไม่รวมขอบเขต ("กรณีพิเศษ" เดียวกันในคำตอบ พื้นที่ทางซ้ายและขวาของขอบเขตเหล่านี้แทบจะไม่รวมอยู่ในคำตอบเลย และในทางกลับกัน: เส้นขอบเข้าสู่คำตอบ ซึ่งหมายความว่าบางพื้นที่รอบ ๆ จะเป็นคำตอบด้วย

โปรดคำนึงถึงสิ่งนี้เมื่อตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของคุณ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

เพื่อแนะนำเด็กนักเรียนให้รู้จักกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์เช่นโมดูลัสของตัวเลข
เพื่อสอนให้เด็กนักเรียนมีทักษะในการค้นหาโมดูลตัวเลข
เสริมสร้างเนื้อหาที่เรียนรู้โดยทำงานต่างๆ ให้สำเร็จ

งาน

เสริมสร้างความรู้ของเด็กเกี่ยวกับโมดูลัสของตัวเลข
โดยการแก้ปัญหาการทดสอบ ให้ตรวจสอบว่านักเรียนเชี่ยวชาญเนื้อหาที่เรียนอย่างไร
ปลูกฝังความสนใจในบทเรียนคณิตศาสตร์ต่อไป
เพื่อปลูกฝังการคิดเชิงตรรกะ ความอยากรู้อยากเห็น และความอุตสาหะในเด็กนักเรียน

แผนการสอน

1. แนวคิดทั่วไปและคำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลข
2. ความหมายทางเรขาคณิตของโมดูล
3. โมดูลัสของตัวเลขและคุณสมบัติของมัน
4. การแก้สมการและอสมการที่มีโมดูลัสของตัวเลข
5. ข้อมูลทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับคำว่า “โมดูลัสของตัวเลข”
6. การมอบหมายให้รวบรวมความรู้ในหัวข้อที่ครอบคลุม
7. การบ้าน.

แนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับโมดูลัสของตัวเลข

โมดูลัสของตัวเลขมักจะเรียกว่าตัวเลขนั้นเอง หากไม่มีค่าลบ หรือจำนวนเดียวกันนั้นเป็นลบ แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

นั่นคือ โมดูลัสของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ a ก็คือตัวเลขนั้นเอง:

และโมดูลัสของจำนวนจริงลบ x จะเป็นจำนวนตรงข้าม:

ในการบันทึกจะมีลักษณะดังนี้:

เพื่อความเข้าใจที่เข้าถึงได้มากขึ้น เรามายกตัวอย่างกัน ตัวอย่างเช่น โมดูลัสของเลข 3 คือ 3 และโมดูลัสของเลข -3 คือ 3

จากนี้ไปโมดูลัสของตัวเลขหมายถึงค่าสัมบูรณ์นั่นคือค่าสัมบูรณ์ แต่ไม่คำนึงถึงเครื่องหมายของมัน เพื่อให้ง่ายยิ่งขึ้น จำเป็นต้องลบเครื่องหมายออกจากหมายเลข

โมดูลของตัวเลขสามารถกำหนดได้และมีลักษณะดังนี้: |3|, |x|, |a| ฯลฯ

ตัวอย่างเช่น โมดูลัสของหมายเลข 3 จะแสดงแทน |3|

นอกจากนี้ ควรจำไว้ว่าโมดูลัสของตัวเลขไม่เคยเป็นลบ: |a|≥ 0

|5| = 5, |-6| = 6, |-12.45| = 12.45 น. เป็นต้น

ความหมายทางเรขาคณิตของโมดูล

โมดูลัสของตัวเลขคือระยะทางที่วัดเป็นหน่วยของหน่วยจากจุดเริ่มต้นไปยังจุด คำจำกัดความนี้เปิดเผยโมดูลจากมุมมองทางเรขาคณิต

ลองใช้เส้นพิกัดและกำหนดจุดสองจุดไว้ ให้จุดเหล่านี้สอดคล้องกับตัวเลขเช่น −4 และ 2

ทีนี้มาสนใจตัวเลขนี้กัน เราจะเห็นว่าจุด A ที่ระบุบนเส้นพิกัดนั้นสอดคล้องกับตัวเลข -4 และหากคุณดูดีๆ คุณจะเห็นว่าจุดนี้อยู่ห่างจากจุดอ้างอิง 0 ประมาณ 4 ส่วน ตามมาว่าความยาวของส่วน OA เท่ากับสี่หน่วย ในกรณีนี้ความยาวของส่วน OA ซึ่งก็คือหมายเลข 4 จะเป็นโมดูลัสของหมายเลข -4

ในกรณีนี้ โมดูลของตัวเลขจะแสดงและเขียนดังนี้: |−4| = 4.

ตอนนี้เรามากำหนดจุด B บนเส้นพิกัดกัน

จุด B นี้จะสอดคล้องกับตัวเลข +2 และอย่างที่เราเห็น จุด B นี้จะอยู่ห่างจากจุดกำเนิดสองหน่วย จากนี้ไปความยาวของส่วน OB เท่ากับสองหน่วย ในกรณีนี้ เลข 2 จะเป็นโมดูลัสของเลข +2

ในการบันทึกจะมีลักษณะดังนี้: |+2| = 2 หรือ |2| = 2.

ตอนนี้เรามาสรุปกัน หากเราใช้จำนวนที่ไม่รู้จัก a และกำหนดบนเส้นพิกัดว่าเป็นจุด A ดังนั้นในกรณีนี้ ระยะห่างจากจุด A ถึงจุดกำเนิด ซึ่งก็คือความยาวของส่วน OA จะเป็นโมดูลัสของตัวเลข “a อย่างแน่นอน” ".

ในการเขียนจะมีลักษณะดังนี้: |a| = โอเอ

โมดูลัสของตัวเลขและคุณสมบัติของมัน

ทีนี้ลองเน้นคุณสมบัติของโมดูลพิจารณากรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้วเขียนโดยใช้นิพจน์ตามตัวอักษร:

ประการแรก โมดูลัสของตัวเลขเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ซึ่งหมายความว่าโมดูลัสของจำนวนบวกจะเท่ากับตัวเลขนั้นเอง: |a| = ก ถ้า a > 0;

ประการที่สอง โมดูลที่ประกอบด้วยตัวเลขตรงข้ามจะเท่ากัน: |a| = |–ก|. นั่นคือ คุณสมบัตินี้บอกเราว่าจำนวนที่ตรงกันข้ามจะมีโมดูลเท่ากันเสมอ เช่นเดียวกับบนเส้นพิกัด แม้ว่าพวกมันจะมีจำนวนที่ตรงกันข้าม แต่ก็อยู่ห่างจากจุดอ้างอิงเท่ากัน จากนี้ไปโมดูลของตัวเลขตรงข้ามเหล่านี้จะเท่ากัน

ประการที่สาม โมดูลัสของศูนย์จะเท่ากับศูนย์หากตัวเลขนี้เป็นศูนย์: |0| = 0 ถ้า a = 0 ในที่นี้เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าโมดูลัสของศูนย์เป็นศูนย์ตามคำจำกัดความ เนื่องจากมันสอดคล้องกับจุดกำเนิดของเส้นพิกัด

คุณสมบัติประการที่สี่ของโมดูลัสคือโมดูลัสของผลิตภัณฑ์ของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้ ทีนี้เรามาดูความหมายกันดีกว่า หากเราทำตามคำจำกัดความ คุณและฉันรู้ว่าโมดูลัสของผลคูณของจำนวน a และ b จะเท่ากับ a b หรือ −(ab b) ถ้า a b ≥ 0 หรือ – (a b) ถ้า a b มากกว่า 0. การบันทึก B จะมีลักษณะดังนี้: |a b| = |ก| |ข|.

คุณสมบัติประการที่ห้าคือโมดูลัสของผลหารของตัวเลขเท่ากับอัตราส่วนของโมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้: |a: b| = |ก| : |ข|.

และคุณสมบัติของโมดูลตัวเลขดังต่อไปนี้:

การแก้สมการและอสมการที่เกี่ยวข้องกับโมดูลัสของตัวเลข

เมื่อเริ่มแก้ปัญหาที่มีโมดูลัสตัวเลข คุณควรจำไว้ว่าเพื่อที่จะแก้ปัญหาดังกล่าว จำเป็นต้องเปิดเผยสัญญาณของโมดูลัสโดยใช้ความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติที่สอดคล้องกับปัญหานี้

ภารกิจที่ 1

ตัวอย่างเช่น หากภายใต้เครื่องหมายโมดูล มีนิพจน์ที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร ดังนั้นโมดูลก็ควรจะขยายตามคำจำกัดความ:

แน่นอนว่าเมื่อแก้ไขปัญหามีหลายกรณีที่โมดูลถูกเปิดเผยโดยไม่ซ้ำกัน เช่น ถ้าเราเอา

ที่นี่เราจะเห็นว่าการแสดงออกภายใต้เครื่องหมายโมดูลัสนั้นไม่เป็นลบสำหรับค่า x และ y ใด ๆ

หรือตัวอย่างเช่น เอาล่ะ

เราจะเห็นว่านิพจน์โมดูลัสนี้ไม่เป็นค่าบวกสำหรับค่าใด ๆ ของ z

ภารกิจที่ 2

เส้นพิกัดจะแสดงอยู่ตรงหน้าคุณ ในบรรทัดนี้จำเป็นต้องทำเครื่องหมายตัวเลขที่โมดูลัสจะเท่ากับ 2

สารละลาย

ก่อนอื่นเราต้องวาดเส้นพิกัด คุณรู้อยู่แล้วว่าในการทำเช่นนี้ ขั้นแรกบนเส้นตรง คุณต้องเลือกจุดเริ่มต้น ทิศทาง และส่วนของหน่วย ต่อไป เราต้องวางจุดจากจุดกำเนิดซึ่งเท่ากับระยะทางของสองส่วนของหน่วย

อย่างที่คุณเห็นมีจุดดังกล่าวสองจุดบนเส้นพิกัดซึ่งจุดหนึ่งตรงกับหมายเลข -2 และอีกจุดหนึ่งตรงกับหมายเลข 2

ข้อมูลประวัติเกี่ยวกับโมดูลัสของตัวเลข

คำว่า "โมดูล" มาจากชื่อภาษาละตินว่าโมดูลัส ซึ่งแปลว่า "การวัด" คำนี้บัญญัติโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ Roger Cotes แต่สัญญาณโมดูลัสได้รับการแนะนำโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Karl Weierstrass เมื่อเขียน โมดูลจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ต่อไปนี้: | -

คำถามเพื่อรวบรวมความรู้เกี่ยวกับเนื้อหา

ในบทเรียนวันนี้ เราได้ทำความคุ้นเคยกับแนวคิดเช่นโมดูลัสของตัวเลข และตอนนี้เรามาตรวจสอบว่าคุณเชี่ยวชาญหัวข้อนี้ได้อย่างไรโดยการตอบคำถามที่วางไว้:

1. ตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนบวกชื่ออะไร?
2. ตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนลบชื่ออะไร?
3. ตั้งชื่อตัวเลขที่ตรงข้ามกับศูนย์ มีตัวเลขเช่นนี้หรือไม่?
4. ตั้งชื่อตัวเลขที่ไม่สามารถเป็นโมดูลัสของตัวเลขได้
5. กำหนดโมดูลัสของตัวเลข

การบ้าน

1. ด้านหน้าของคุณคือตัวเลขที่คุณต้องจัดเรียงโมดูลจากมากไปหาน้อย หากคุณทำงานถูกต้อง คุณจะพบชื่อของบุคคลแรกที่นำคำว่า "โมดูล" มาสู่คณิตศาสตร์

2. ลากเส้นพิกัดแล้วหาระยะห่างจาก M (-5) และ K (8) ถึงจุดกำเนิด

วิชา > คณิตศาสตร์ > คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6

โมดูลัสของตัวเลขหมายเลขนี้จะถูกเรียกเองหากไม่เป็นลบ หรือเรียกหมายเลขเดียวกันที่มีเครื่องหมายตรงกันข้ามหากเป็นลบ

ตัวอย่างเช่น โมดูลัสของตัวเลข 5 คือ 5 และโมดูลัสของตัวเลข –5 ก็คือ 5 เช่นกัน

นั่นคือโมดูลัสของตัวเลขเข้าใจว่าเป็นค่าสัมบูรณ์ซึ่งเป็นค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขนี้โดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมายของมัน

แสดงดังต่อไปนี้: |5|, | เอ็กซ์|, |ก- ฯลฯ

กฎ:

คำอธิบาย:

|5| = 5
อ่านได้ดังนี้: โมดูลัสของเลข 5 คือ 5

|–5| = –(–5) = 5
อ่านได้ดังนี้: โมดูลัสของตัวเลข –5 คือ 5

|0| = 0
อ่านได้ดังนี้: โมดูลัสของศูนย์คือศูนย์

คุณสมบัติของโมดูล:

1) โมดูลัสของตัวเลขเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ: |ก| ≥ 0 2) โมดูลของตัวเลขตรงข้ามมีค่าเท่ากัน: |ก| = |–ก| 3) กำลังสองของโมดูลัสของตัวเลขเท่ากับกำลังสองของจำนวนนี้: |ก- 2 = ก 2 4) โมดูลัสของผลิตภัณฑ์ของตัวเลขเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้: |ก · ข| = |ก| · | ข| 6) โมดูลัสของจำนวนหารจะเท่ากับอัตราส่วนของโมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้: |ก : ข| = |ก| : |ข| 7) โมดูลัสของผลรวมของตัวเลขน้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของโมดูลัส: |ก + ข| ≤ |ก| + |ข| 8) โมดูลัสของความแตกต่างระหว่างตัวเลขน้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของโมดูลัส: |ก – ข| ≤ |ก| + |ข| 9) โมดูลัสของผลรวม/ผลต่างของตัวเลขมากกว่าหรือเท่ากับโมดูลัสของผลต่างของโมดูลัส: |ก ± ข| ≥ ||ก| – |ข|| 10) ตัวคูณบวกคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายมอดุลัสได้: |ม · ก| = ม · | ก|, ม >0 11) พลังของตัวเลขสามารถดึงออกจากเครื่องหมายโมดูลัสได้: |กเค | - ก- k ถ้ามี k อยู่ 12) ถ้า | ก| = |ข| แล้ว ก = ± ข

ความหมายทางเรขาคณิตของโมดูล

โมดูลัสของตัวเลขคือระยะห่างจากศูนย์ถึงตัวเลขนั้น

ตัวอย่างเช่น ลองหาเลข 5 อีกครั้ง ระยะห่างจาก 0 ถึง 5 จะเท่ากับจาก 0 ถึง –5 (รูปที่ 1) และเมื่อมันเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเราที่จะรู้เฉพาะความยาวของส่วนนั้น เครื่องหมายนั้นไม่เพียงแต่มีความหมายเท่านั้น แต่ยังมีความหมายอีกด้วย อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงทั้งหมด: เราวัดระยะทางด้วยจำนวนบวกหรือจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ให้ราคาหารของสเกลของเราเท่ากับ 1 ซม. จากนั้นความยาวของส่วนตั้งแต่ศูนย์ถึง 5 คือ 5 ซม. และจากศูนย์ถึง –5 ก็เท่ากับ 5 ซม.

ในทางปฏิบัติ มักจะวัดระยะทางไม่เพียงแต่จากศูนย์เท่านั้น แต่จุดอ้างอิงอาจเป็นตัวเลขใดก็ได้ (รูปที่ 2) แต่สิ่งนี้ไม่ได้เปลี่ยนสาระสำคัญ สัญลักษณ์ของแบบฟอร์ม |a – b| แสดงระยะห่างระหว่างจุด กและ ขบนเส้นจำนวน

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ | เอ็กซ์ – 1| = 3.

สารละลาย .

ความหมายของสมการคือระยะห่างระหว่างจุด เอ็กซ์และ 1 เท่ากับ 3 (รูปที่ 2) ดังนั้นจากจุดที่ 1 เรานับสามดิวิชั่นทางซ้ายและสามดิวิชั่นทางด้านขวา - และเราจะเห็นค่าทั้งสองอย่างชัดเจน เอ็กซ์:
เอ็กซ์ 1 = –2, เอ็กซ์ 2 = 4.

เราสามารถคำนวณมันได้

│เอ็กซ์ – 1 = 3
│เอ็กซ์ – 1 = –3

│เอ็กซ์ = 3 + 1
│เอ็กซ์ = –3 + 1

│เอ็กซ์ = 4
│ เอ็กซ์ = –2.

คำตอบ : เอ็กซ์ 1 = –2; เอ็กซ์ 2 = 4.

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาโมดูลนิพจน์:

สารละลาย .

ก่อนอื่น มาดูกันว่านิพจน์นั้นเป็นบวกหรือลบ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราแปลงนิพจน์เพื่อให้ประกอบด้วยตัวเลขที่เป็นเนื้อเดียวกัน อย่ามองหารากของ 5 - มันค่อนข้างยาก มาทำให้มันง่ายขึ้น: ยก 3 และ 10 ไปที่รากกัน จากนั้นเปรียบเทียบขนาดของตัวเลขที่ประกอบเป็นความแตกต่าง:

3 = √9 ดังนั้น 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

เราจะเห็นว่าเลขตัวแรกน้อยกว่าตัวที่สอง ซึ่งหมายความว่านิพจน์นั้นเป็นลบ นั่นคือ คำตอบนั้นน้อยกว่าศูนย์:

3√5 – 10 < 0.

แต่ตามกฎแล้ว โมดูลัสของจำนวนลบจะเป็นจำนวนเดียวกันและมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เรามีการแสดงออกเชิงลบ จึงต้องเปลี่ยนป้ายเป็นป้ายตรงข้าม นิพจน์ตรงกันข้ามสำหรับ 3√5 – 10 คือ –(3√5 – 10) ลองเปิดวงเล็บในนั้นแล้วรับคำตอบ:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

คำตอบ .

หัวหน้าฝ่าย ShMO
ครูคณิตศาสตร์ _______Kalashnikova Zh.Yuสถาบันการศึกษางบประมาณของเทศบาล
"โรงเรียนมัธยมหมายเลข 89"
การทดสอบเฉพาะเรื่องทางคณิตศาสตร์สำหรับเกรด 6
ตามตำราเรียนของ I.I. Zubareva และ A.G. มอร์ดโควิช
เรียบเรียงโดย: ครูคณิตศาสตร์:
คาลาชนิโควา Zhanna Yuryevna
สโตลโบวา ลุดมิลา อันโตนอฟนา
ซาโต เซเวอร์สค์
2559
เนื้อหา
การทดสอบครั้งที่ 1 …………………………………………………………………….3-6
การทดสอบครั้งที่ 2 ………………………………………………………………………………………………….7-10
การทดสอบครั้งที่ 3 ………………………………………………………………………………………………….11-14
คำตอบ…………………………………………………………………………………………………..15
การทดสอบครั้งที่ 1 “จำนวนบวกและลบ”
ตัวเลือกที่ 1
ป้อนจำนวนเศษส่วนติดลบ:
-165
38
-7.92
67อธิบายเหตุการณ์ “ตัวเลข -5.5 ถูกทำเครื่องหมายบนรังสีพิกัด”
เชื่อถือได้
เป็นไปไม่ได้
สุ่ม

ตัวเลขสี่ตัวใดที่ใหญ่ที่สุด?
8,035
80,35
0,8035
803,5
จุดใดอยู่บนเส้นพิกัดทางด้านขวาของจุด O (0)
ม (-4)
อี (-15)
เค (15)
ง(-1.2)
กลางคืนอุณหภูมิอากาศอยู่ที่ -5°C ในระหว่างวัน เทอร์โมมิเตอร์อยู่ที่ +3 °C แล้ว อุณหภูมิอากาศเปลี่ยนแปลงอย่างไร?
เพิ่มขึ้น 8o
ลดลง 2o
เพิ่มขึ้น 2o
ลดลง 8o
จุด x(-2) ถูกทำเครื่องหมายไว้บนเส้นพิกัด – จุดศูนย์กลางของสมมาตร ระบุพิกัดของจุดที่อยู่บนเส้นนี้อย่างสมมาตรกับจุด x

(-1) และ (1)
(-1) และ (1)
(3) และ (-3)
(0) และ (-4)
จุดใดบนเส้นพิกัดไม่สมมาตรเทียบกับจุดกำเนิด - จุด O (0)
บี(-5) และค(5)
D(0.5) และ E(-0.5)
M(-3) และ K(13)
เอ(18) และเอ็กซ์(-18)
ผลรวมของตัวเลข 0.316+0.4 เป็นเท่าใด?
0,356
0,716
4,316
0,32
คำนวณ 25% ของจำนวน 0.4
0,1
0,001
10
100
คำนวณผลต่าง 9100 และ 0.03
0,05
0,6
9,03
350ตัวเลือก 2
ป้อนจำนวนเศษส่วนที่เป็นลบ
8,63
-1045
913-0,2
อธิบายเหตุการณ์ “เลข 7 ถูกทำเครื่องหมายบนรังสีพิกัด”
สุ่ม
เป็นไปไม่ได้
เชื่อถือได้
ตัวเลขใดมีค่าน้อยที่สุด?
15,49
154,9
1,549
1549
จุดใดอยู่บนเส้นพิกัดทางด้านซ้ายของจุด O(0)
เอ(-0.5)
บี(6)
ม(0.5)
เค(38)
ในระหว่างวัน เทอร์โมมิเตอร์แสดงอุณหภูมิ +5°C และตอนเย็น -2°C อุณหภูมิอากาศเปลี่ยนแปลงอย่างไร?
เพิ่มขึ้น 3o
ลดลง 7o
ลดลง 3o
เพิ่มขึ้น 7o
จุดศูนย์กลางสมมาตรถูกทำเครื่องหมายไว้บนเส้นพิกัด - จุด A(-3) ระบุพิกัดของจุดที่อยู่บนเส้นนี้อย่างสมมาตรกับจุด A

(-2) และ (2)
(0) และ (-5)
(-6) และ (1)
(-1) และ (-5)
จุดใดของเส้นพิกัดไม่สมมาตรเทียบกับจุดกำเนิด - จุด O(0)
เอ(6) และบี(-6)
ค(12) และ ดี(-2)
M(-1) และ K(1)
X (-9) และ Y (9)
ผลรวมของตัวเลข 0.237 และ 0.3 คืออะไร?
0,24
3,237
0,537
0,267
คำนวณ 20% ของ 0.5
10
0,1
0,2
0,01
คำนวณผลต่าง 0.07 และ 31001250.5
1
425การทดสอบครั้งที่ 2 โมดูลตัวเลข ตัวเลขตรงข้าม.
ตัวเลือกที่ 1
จำนวนใดที่ให้มามีโมดูลัสน้อยที่สุด
-11
1013-4,196
-4,2
ระบุสมการที่ไม่ถูกต้อง
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 โมดูลัสของจำนวนที่ไม่เป็นลบคือจำนวนที่ไม่เป็นลบ ข้อความนี้เป็นจริงหรือไม่?
ใช่
เลขที่
ตัวเลขใดต่อไปนี้อยู่ตรงข้ามกับตัวเลข -34?43-43-3434ค่าของนิพจน์ -(-m) คือเท่าใด ถ้า m = -15
+15
-15
คำนวณค่าของนิพจน์: -2.5∙4--919
-10
1
-1
แก้สมการ: x=40-40
40
40 หรือ -40
จำนวนเต็มใดอยู่บนเส้นพิกัดระหว่างตัวเลข 2.75 ถึง 3.9
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
อสมการ -30>-50 จริงหรือไม่
เลขที่
แสดงรายการจำนวนเต็มทั้งหมด x ถ้า x≤30, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
ตัวเลือกที่ 2
ตัวเลขใดมีโมดูลัสมากที่สุด?
-0,6
-50,603
493550,530
ระบุสมการที่ไม่ถูกต้อง
-1.5=1.512=12-117=117-325=-325โมดูลัสของจำนวนลบสามารถเป็นจำนวนลบได้หรือไม่
ใช่
เลขที่

ตัวเลขใดต่อไปนี้ตรงข้ามกับ 124?
-24
24
-124124ค่าของนิพจน์ –(-k) คือเท่าใด ถ้า k = -9
-9
+9
คำนวณค่าของนิพจน์: 2.5:-0.5+1.250
15
-2,5
2,5
แก้สมการ x=100100
-100
100 หรือ -100
จำนวนเต็มใดอยู่บนเส้นพิกัดระหว่างตัวเลข 1 ถึง - 4.5
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
อสมการ -25 จริงหรือไม่?<-10?
ใช่
เลขที่
แสดงรายการจำนวนเต็มทั้งหมด x ถ้า x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
การทดสอบหมายเลข 3 การเปรียบเทียบตัวเลข
ตัวเลือกที่ 1
อสมการใดเป็นเท็จ
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3

-320 -920>
<
=
จริงหรือไม่ที่เลข 0 มากกว่าจำนวนลบใดๆ?
ใช่
เลขที่
จำนวน a ไม่เป็นลบ เราจะเขียนข้อความนี้เป็นความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างไร?
ก<0a≤0a≥0a>0ระบุจำนวนที่ใหญ่ที่สุดของตัวเลขที่กำหนด
0,16
-3018-0,4
0,01
ค่าธรรมชาติของ x คืออสมการx≤44, 3, 2 จริงหรือไม่
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
สำหรับค่าจำนวนเต็มของ y ใดที่อสมการ y เป็นจริง?<-2?0
-1
0, -1, 1
ไม่มีค่าดังกล่าว
ตัวเลข -6; -3.8; -115; 0.8 ตั้งอยู่:
ในลำดับที่ลดลง
ในลำดับที่เพิ่มขึ้น
ในความระส่ำระสาย
พยากรณ์อากาศออกอากาศทางวิทยุ คาดว่าอุณหภูมิจะลดลงถึง -20 °C อธิบายเหตุการณ์นี้:
เป็นไปไม่ได้
เชื่อถือได้
สุ่ม
ตัวเลือกที่ 2
อสมการใดเป็นจริง?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
ต้องเขียนเครื่องหมายอะไรระหว่างเศษส่วนเหล่านี้เพื่อให้อสมการเป็นจริง?
-1315 -715<
>
=
จริงหรือไม่ที่เลข 0 น้อยกว่าจำนวนลบใดๆ?
ใช่
เลขที่
จำนวน x ต้องไม่มากกว่าศูนย์ เราจะเขียนข้อความนี้เป็นความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างไร?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35ค่าธรรมชาติของ a คืออสมการ a≤3 จริงหรือไม่ 1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
สำหรับค่าจำนวนเต็มของ m ใดที่ความไม่เท่าเทียมกัน m เป็นจริง?<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
ไม่มีค่าดังกล่าว
หมายเลข 1,2; -1.2; -427; -100 ตั้งอยู่:
ในความระส่ำระสาย
ในลำดับที่เพิ่มขึ้น
ในลำดับที่ลดลง
จุด A(5) ถูกทำเครื่องหมายบนเส้นพิกัด จุด B อีกจุดหนึ่งถูกทำเครื่องหมายแบบสุ่มบนบรรทัดนี้ พิกัดของมันกลายเป็นเลขตรงข้ามกับ 5 อธิบายเหตุการณ์นี้
สุ่ม
เชื่อถือได้
เป็นไปไม่ได้
คำตอบ
การทดสอบครั้งที่ 1 การทดสอบครั้งที่ 2
ลำดับ ทางเลือกที่ 1 ทางเลือกที่ 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
ลำดับ ทางเลือกที่ 1 ทางเลือกที่ 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4

การทดสอบหมายเลข 3
ลำดับ ทางเลือกที่ 1 ทางเลือกที่ 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3