วิธีการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต
โดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมคางหมูและวิธีซิมป์สัน?

วิธีการเชิงตัวเลขเป็นส่วนที่ค่อนข้างใหญ่ในวิชาคณิตศาสตร์ระดับสูง และหนังสือเรียนที่จริงจังในหัวข้อนี้มีหลายร้อยหน้า ในทางปฏิบัติ เอกสารทดสอบมักเสนอให้แก้ไขปัญหาบางอย่างโดยใช้วิธีเชิงตัวเลข และปัญหาที่พบบ่อยประการหนึ่งคือการคำนวณโดยประมาณ อินทิกรัลที่แน่นอน- ในบทความนี้ ผมจะดูสองวิธีในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยประมาณ - วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูและ วิธีซิมป์สัน.

คุณจำเป็นต้องรู้อะไรบ้างจึงจะเชี่ยวชาญวิธีการเหล่านี้ได้? อาจฟังดูตลก แต่คุณอาจไม่สามารถอินทิกรัลได้เลย และคุณไม่เข้าใจว่าอินทิกรัลคืออะไร จากวิธีการทางเทคนิคคุณจะต้องมีไมโครเครื่องคิดเลข ใช่ ใช่ การคำนวณประจำโรงเรียนรอเราอยู่ ยังดีกว่า ดาวน์โหลดเครื่องคิดเลขกึ่งอัตโนมัติของฉันสำหรับวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูและวิธีซิมป์สัน เครื่องคิดเลขเขียนด้วย Excel และจะลดเวลาที่ต้องใช้ในการแก้ปัญหาและแก้ไขปัญหาลงสิบเท่า สำหรับหุ่น Excel จะมีวิดีโอคู่มือมาให้ด้วย! โดยวิธีการบันทึกวิดีโอครั้งแรกด้วยเสียงของฉัน

ก่อนอื่น ลองถามตัวเองก่อน: เหตุใดเราจึงต้องคำนวณโดยประมาณเลย ดูเหมือนว่าคุณจะสามารถหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันได้และใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ โดยคำนวณค่าที่แน่นอนของอินทิกรัลจำกัดเขต เพื่อตอบคำถาม มาดูตัวอย่างสาธิตพร้อมรูปภาพกันทันที

คำนวณอินทิกรัลจำกัดจำนวน

ทุกอย่างจะดี แต่ในตัวอย่างนี้ ปริพันธ์ไม่ได้ถูกถ่าย - ข้างหน้าคุณคือปริพันธ์ที่ยังไม่ได้ถ่าย ที่เรียกว่า ลอการิทึมอินทิกรัล- อินทิกรัลนี้มีอยู่จริงหรือไม่? ให้เราพรรณนากราฟของฟังก์ชันปริพันธ์ในการวาด:

ทุกอย่างเรียบร้อยดี อินทิกรัลมีความต่อเนื่องบนเซกเมนต์ และอินทิกรัลจำกัดจำนวนเท่ากับตัวเลขของพื้นที่แรเงา มีเพียงข้อเดียวเท่านั้น: ไม่สามารถรับอินทิกรัลได้ และในกรณีเช่นนี้ วิธีการเชิงตัวเลขก็เข้ามาช่วยเหลือ ในกรณีนี้ปัญหาเกิดขึ้นในสองสูตร:

1) คำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยประมาณ โดยปัดเศษผลลัพธ์ให้เป็นทศนิยมตำแหน่งที่กำหนด- เช่น ทศนิยมสูงสุดสองตำแหน่ง ทศนิยมสูงสุดสามตำแหน่ง เป็นต้น สมมติว่าคำตอบโดยประมาณคือ 5.347 จริงๆ แล้วมันอาจจะไม่ถูกต้องทั้งหมด (ในความเป็นจริง เช่น คำตอบที่ถูกต้องกว่าคือ 5.343) หน้าที่ของเราคือ เท่านั้นเองเพื่อปัดเศษผลลัพธ์ให้เป็นทศนิยมสามตำแหน่ง

2) คำนวณอินทิกรัลจำกัดประมาณ ด้วยความแม่นยำที่แน่นอน- ตัวอย่างเช่น คำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยประมาณด้วยความแม่นยำ 0.001 มันหมายความว่าอะไร? ซึ่งหมายความว่าเราจะต้องค้นหาค่าประมาณนั้น โมดูโล่ (ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง)แตกต่างจากความจริงไม่เกิน 0.001

มีวิธีการพื้นฐานหลายวิธีในการคำนวณโดยประมาณของอินทิกรัลจำกัดเขตที่เกิดปัญหา:

ส่วนการรวมจะถูกแบ่งออกเป็นหลายส่วนและมีการสร้างรูปขั้นบันไดซึ่งอยู่ใกล้กับพื้นที่ไปยังพื้นที่ที่ต้องการ:

อย่าตัดสินจากภาพวาดอย่างเคร่งครัดความแม่นยำไม่เหมาะ - ช่วยให้เข้าใจสาระสำคัญของวิธีการเท่านั้น

ความคิดก็คล้ายกัน ส่วนการรวมจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนตรงกลางหลายส่วน และกราฟของฟังก์ชันปริพันธ์จะเข้าใกล้ เส้นขาดเส้น:

ดังนั้น พื้นที่ของเรา (แรเงาสีน้ำเงิน) จึงประมาณด้วยผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู (สีแดง) จึงเป็นที่มาของชื่อวิธี จะเห็นว่าวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูให้ค่าประมาณได้ดีกว่าวิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้ามาก (โดยมีจำนวนส่วนของพาร์ติชันเท่ากัน) และโดยธรรมชาติแล้ว ยิ่งเราพิจารณาส่วนกลางที่มีขนาดเล็กลงเท่าใด ความแม่นยำก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูพบได้เป็นครั้งคราวในงานภาคปฏิบัติและจะมีการกล่าวถึงตัวอย่างหลายตัวอย่างในบทความนี้

วิธีซิมป์สัน (วิธีพาราโบลา)- นี่เป็นวิธีการขั้นสูงกว่า - กราฟของปริพันธ์ไม่ได้ประมาณด้วยเส้นขาด แต่ประมาณด้วยพาราโบลาขนาดเล็ก มีพาราโบลาเล็กๆ มากมายพอๆ กับที่มีส่วนตรงกลาง หากเราใช้สามส่วนที่เหมือนกัน วิธีของซิมป์สันจะให้การประมาณที่แม่นยำยิ่งกว่าวิธีสี่เหลี่ยมหรือวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู

ฉันไม่เห็นประเด็นในการสร้างภาพวาดเนื่องจากการประมาณภาพจะถูกซ้อนทับบนกราฟของฟังก์ชัน (เส้นแบ่งของย่อหน้าก่อนหน้า - และถึงกระนั้นก็เกือบจะใกล้เคียงกัน)

ปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดจำนวนโดยใช้สูตรของซิมป์สันเป็นงานที่ได้รับความนิยมมากที่สุดในทางปฏิบัติ และวิธีการพาราโบลาจะได้รับความสนใจเป็นอย่างมาก

จะคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูได้อย่างไร

ขั้นแรกให้สูตรทั่วไป บางทีทุกคนอาจไม่ชัดเจนในทันที... ใช่ Karlsson อยู่กับคุณ - ตัวอย่างที่เป็นประโยชน์จะชี้แจงทุกอย่าง! เงียบสงบ. ความสงบสุขเท่านั้น

ให้เราพิจารณาอินทิกรัลที่แน่นอน โดยที่ ฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลานั้น เรามาแบ่งส่วนกัน เท่ากันส่วน:
- ในกรณีนี้ เห็นได้ชัด: (ขีดจำกัดล่างของการรวม) และ (ขีดจำกัดบนของการรวม) คะแนน เรียกอีกอย่างว่า โหนด.

จากนั้นสามารถคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตได้โดยประมาณ ตามสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู:
, ที่ไหน:
ขั้นตอน;
– ค่าปริพันธ์ ณ จุดต่างๆ .

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยประมาณโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู ปัดเศษผลลัพธ์ให้เป็นทศนิยมสามตำแหน่ง

ก) การแบ่งส่วนของการบูรณาการออกเป็น 3 ส่วน
b) แบ่งส่วนของการรวมออกเป็น 5 ส่วน

สารละลาย:
ก) โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับหุ่นจำลอง ฉันเชื่อมโยงจุดแรกกับภาพวาดที่แสดงให้เห็นหลักการของวิธีการอย่างชัดเจน ถ้ามันยาก ให้ดูภาพวาดในขณะที่คุณแสดงความคิดเห็น นี่คือบางส่วน:

ตามเงื่อนไขจะต้องแบ่งส่วนบูรณาการออกเป็น 3 ส่วน กล่าวคือ
ลองคำนวณความยาวของแต่ละส่วนของพาร์ติชัน: - ฉันเตือนคุณว่าพารามิเตอร์นั้นเรียกอีกอย่างว่า ขั้นตอน.

จะมีกี่จุด (โหนดพาร์ติชัน)? ก็จะมี อีกหนึ่งกว่าจำนวนส่วน:

สูตรทั่วไปของสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเหลือขนาดที่น่าพอใจ:

สำหรับการคำนวณ คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขขนาดเล็กทั่วไปได้:

โปรดทราบว่า ตามเงื่อนไขของปัญหา การคำนวณทั้งหมดควรปัดเศษเป็นทศนิยมตำแหน่งที่ 3.

ในที่สุด:

จากมุมมองทางเรขาคณิต เราคำนวณผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสามอัน (ดูภาพด้านบน).

b) มาแบ่งส่วนการรวมออกเป็น 5 ส่วนเท่า ๆ กันนั่นคือ เหตุใดจึงจำเป็น? เพื่อป้องกันไม่ให้ Phobos-Grunt ตกสู่มหาสมุทร เราจะเพิ่มความแม่นยำในการคำนวณโดยการเพิ่มจำนวนส่วน

ถ้า ดังนั้นสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

มาหาขั้นตอนของพาร์ติชั่นกัน:
นั่นคือความยาวของส่วนตรงกลางแต่ละส่วนคือ 0.6

เมื่อจบงาน จะสะดวกในการคำนวณทั้งหมดอย่างเป็นทางการโดยใช้ตารางการคำนวณ:

ในบรรทัดแรกเราเขียนว่า "ตัวนับ"

ฉันคิดว่าทุกคนสามารถเห็นได้ว่าบรรทัดที่สองเกิดขึ้นได้อย่างไร - อันดับแรกเราเขียนขีด จำกัด ล่างของการรวมเข้าด้วยกัน ค่าที่เหลือจะได้มาจากการเพิ่มขั้นตอนอย่างต่อเนื่อง

ฉันคิดว่าเกือบทุกคนเข้าใจหลักการในการกรอกสิ่งสำคัญที่สุด ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้ว - อย่างที่พวกเขาพูดนับอย่าเกียจคร้าน

เป็นผลให้:

มีการชี้แจงจริงๆและเป็นเรื่องจริงจัง! หากค่าโดยประมาณสำหรับ 3 ส่วนของพาร์ติชันคือ จากนั้นสำหรับ 5 ส่วน . ดังนั้นด้วยความมั่นใจในระดับสูงเราจึงสามารถพูดอย่างนั้นได้อย่างน้อยที่สุด

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยประมาณโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีความแม่นยำถึงทศนิยมสองตำแหน่ง (ไม่เกิน 0.01)

สารละลาย:เกือบจะเป็นงานเดียวกัน แต่ในสูตรที่แตกต่างกันเล็กน้อย ความแตกต่างพื้นฐานจากตัวอย่างที่ 1 คือเรา เราไม่รู้เราควรแบ่งส่วนการรวมออกเป็นกี่ส่วนเพื่อให้ได้ทศนิยมสองตำแหน่งที่ถูกต้อง กล่าวอีกนัยหนึ่งเราไม่รู้ความหมายของ.

มีสูตรพิเศษที่ช่วยให้คุณกำหนดจำนวนส่วนของพาร์ติชันเพื่อรับประกันความถูกต้องที่ต้องการ แต่ในทางปฏิบัติมักนำไปใช้ได้ยาก ดังนั้นจึงเป็นประโยชน์ที่จะใช้วิธีการที่เรียบง่าย

ขั้นแรก ส่วนการรวมจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนใหญ่หลายๆ ส่วน โดยปกติจะเป็น 2-3-4-5 ให้เราแบ่งส่วนของการรวมเข้าด้วยกันเป็น 5 ส่วนเดียวกัน สูตรนี้คุ้นเคยอยู่แล้ว:

และแน่นอนว่าขั้นตอนนั้นก็รู้เช่นกัน:

แต่มีคำถามอีกข้อหนึ่งเกิดขึ้น: ผลลัพธ์ควรปัดเศษเป็นตัวเลขใด? เงื่อนไขไม่ได้บอกอะไรว่าจะทิ้งทศนิยมไว้กี่ตำแหน่ง คำแนะนำทั่วไปคือ: คุณต้องเพิ่มตัวเลข 2-3 หลักตามความแม่นยำที่ต้องการ- ในกรณีนี้ ความแม่นยำที่ต้องการคือ 0.01 ตามคำแนะนำ หลังจากจุดทศนิยมเราจะปล่อยอักขระห้าตัวไว้หลังจุดทศนิยม (เป็นไปได้สี่ตัว):

เป็นผลให้:
ให้เราแสดงการประมาณโดย

หลังผลลัพธ์หลัก จำนวนส่วน สองเท่า- ในกรณีนี้จำเป็นต้องแบ่งออกเป็น 10 ส่วน และเมื่อจำนวนเซ็กเมนต์เพิ่มขึ้น ความคิดที่สดใสก็เข้ามาในใจว่าฉันเบื่อที่จะเอานิ้วจิ้มไมโครเครื่องคิดเลขแล้ว ดังนั้นฉันขอแนะนำให้ดาวน์โหลดและใช้เครื่องคิดเลขกึ่งอัตโนมัติของฉันอีกครั้ง (ลิงก์ที่จุดเริ่มต้นของบทเรียน)

สำหรับสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูมีรูปแบบดังนี้:

ในเวอร์ชันกระดาษ รายการสามารถย้ายไปยังบรรทัดถัดไปได้อย่างปลอดภัย

มาคำนวณขั้นตอนพาร์ติชั่นกัน:

สรุปผลการคำนวณในตาราง:


เมื่อจดโน้ตบุ๊กเสร็จแล้ว การเปลี่ยนโต๊ะยาวให้เป็นโต๊ะสองชั้นจะเป็นประโยชน์

เป็นผลให้:

ตอนนี้เรามาคำนวณความคลาดเคลื่อนระหว่างการประมาณ:

ตรงนี้เราใช้เครื่องหมายโมดูลัส เนื่องจากเราสนใจ ความแตกต่างที่แน่นอนและไม่ใช่ว่าผลลัพธ์ใดจะมากกว่าและผลลัพธ์ใดจะน้อยกว่า

สำหรับการดำเนินการเพิ่มเติม ฉันพบวิธีแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ 2 วิธีเป็นการส่วนตัว:

1) วิธีแรกคือ “การเปรียบเทียบแบบตัวต่อตัว” เนื่องจากผลการประเมินความผิดพลาดที่เกิดขึ้น มากกว่าเกินความแม่นยำที่ต้องการ: จากนั้นจึงจำเป็นต้องเพิ่มจำนวนส่วนของพาร์ติชันเป็นสองเท่าอีกครั้งและคำนวณ การใช้เครื่องคิดเลข Excel คุณจะได้ผลลัพธ์ที่เสร็จสิ้นภายในไม่กี่วินาที: . ตอนนี้เราประเมินข้อผิดพลาดอีกครั้ง: . คะแนนที่ได้รับ น้อยเกินความแม่นยำที่ต้องการ: ดังนั้นการคำนวณจึงเสร็จสิ้น สิ่งที่เหลืออยู่คือการปัดเศษผลลัพธ์สุดท้าย (แม่นยำที่สุด) ให้เป็นทศนิยมสองตำแหน่งแล้วให้คำตอบ

2) อีกวิธีที่มีประสิทธิภาพมากกว่านั้นขึ้นอยู่กับการใช้สิ่งที่เรียกว่า กฎของรุ่งตามที่เราเข้าใจผิดในการประมาณค่าอินทิกรัลจำกัดจำนวนไม่เกิน ในปัญหาของเรา: ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนวณ อย่างไรก็ตาม ความเร็วของการแก้ปัญหาในกรณีนี้ต้องแลกมาด้วยความแม่นยำ: - อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์นี้เป็นที่ยอมรับได้ เนื่องจาก "ขีดจำกัดข้อผิดพลาด" ของเราอยู่ที่หนึ่งในร้อยพอดี

จะเลือกอะไรดี? มุ่งเน้นไปที่วิธีการสอนหรือความชอบของครู

คำตอบ: แม่นยำถึง 0.01 (ใช้กฎของรุ่ง).

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยประมาณโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีความแม่นยำ 0.001

ตรงนี้อีกครั้งคืออินทิกรัลอินทิกรัล (โคไซน์เกือบเป็นอินทิกรัล) ในสารละลายตัวอย่าง ขั้นตอนแรกจะแบ่งออกเป็น 4 ส่วน กล่าวคือ วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์และตัวอย่างโดยประมาณของการออกแบบขั้นสุดท้ายในตอนท้ายของบทเรียน

จะคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยใช้สูตรของซิมป์สันได้อย่างไร

หากคุณกำลังมองหาเฉพาะวิธี Simpson ในหน้านี้ ฉันขอแนะนำให้คุณอ่านตอนต้นของบทเรียนก่อน และดูตัวอย่างแรกเป็นอย่างน้อย ด้วยเหตุผลที่ว่าแนวคิดและเทคนิคหลายอย่างจะคล้ายกับวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู

เรามาเริ่มด้วยสูตรทั่วไปกันก่อน
ให้เราพิจารณาอินทิกรัลที่แน่นอน โดยที่ ฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลานั้น เรามาแบ่งส่วนกัน สม่ำเสมอปริมาณ เท่ากันเซ็กเมนต์ ส่วนจำนวนคู่จะแสดงด้วย

ในทางปฏิบัติ ส่วนต่างๆ อาจเป็น:
สอง:
สี่:
แปด:
สิบ:
ยี่สิบ:
ฉันจำตัวเลือกอื่นไม่ได้

ความสนใจ!ตัวเลขนี้เข้าใจว่าเป็นตัวเลขเดียว นั่นคือ เป็นสิ่งต้องห้ามลดตัวอย่างเช่นสองได้รับ บันทึก เท่านั้น ย่อมาจากว่าจำนวนเซ็กเมนต์ สม่ำเสมอ- และไม่มีการพูดถึงการลดหย่อนแต่อย่างใด

ดังนั้นพาร์ติชันของเราจะเป็นดังนี้:

เงื่อนไขมีความคล้ายคลึงกับวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู:
จุดที่เรียกว่า โหนด.

สูตรซิมป์สันสำหรับการคำนวณโดยประมาณของอินทิกรัลจำกัดเขตมีรูปแบบดังนี้
, ที่ไหน:
– ความยาวของแต่ละส่วนเล็ก ๆ หรือ ขั้นตอน;
– ค่าปริพันธ์ที่จุด .

การให้รายละเอียดฮีปนี้ ฉันจะวิเคราะห์สูตรโดยละเอียดเพิ่มเติม:
– ผลรวมของค่าแรกและค่าสุดท้ายของปริพันธ์
– ผลรวมของเงื่อนไขด้วย สม่ำเสมอดัชนีคูณด้วย 2;
– ผลรวมของเงื่อนไขด้วย แปลกดัชนีจะคูณด้วย 4

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยประมาณโดยใช้สูตรของซิมป์สันด้วยความแม่นยำ 0.001 เริ่มแยกออกเป็นสองส่วน

อินทิกรัลนั้นไม่ละลายน้ำอีกแล้ว

สารละลาย:ฉันดึงความสนใจของคุณไปที่ประเภทของงานทันที - จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน ด้วยความแม่นยำที่แน่นอน- ความหมายนี้มีการแสดงความคิดเห็นไว้แล้วในตอนต้นของบทความ รวมถึงการใช้ตัวอย่างเฉพาะในย่อหน้าก่อนหน้า เช่นเดียวกับวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู มีสูตรที่จะกำหนดจำนวนส่วนที่ต้องการทันที (ค่า "en") เพื่อให้แน่ใจว่าได้ความแม่นยำที่ต้องการ จริงอยู่ที่คุณจะต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับสี่และแก้ไขปัญหาสุดขั้ว คนที่เข้าใจสิ่งที่ฉันหมายถึงและชื่นชมปริมาณงานก็ยิ้ม อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่เรื่องน่าหัวเราะ การค้นหาอนุพันธ์ที่สี่ของฟังก์ชันอินทิเกรตดังกล่าวจะไม่ใช่คนโง่เขลาอีกต่อไป แต่เป็นโรคจิตทางคลินิก ดังนั้นในทางปฏิบัติ วิธีการประมาณค่าความผิดพลาดแบบง่ายจึงมักถูกนำมาใช้เกือบทุกครั้ง

มาเริ่มตัดสินใจกันเลย หากเรามีพาร์ติชั่นสองส่วนก็จะมีโหนด อีกหนึ่ง- และสูตรของซิมป์สันมีรูปแบบที่กะทัดรัดมาก:

มาคำนวณขั้นตอนพาร์ติชั่นกัน:

กรอกตารางการคำนวณ:

ฉันขอแสดงความคิดเห็นอีกครั้งเกี่ยวกับวิธีการกรอกตาราง:

ในบรรทัดบนสุด เราเขียน "ตัวนับ" ของดัชนี

ในบรรทัดที่สอง ขั้นแรกเราเขียนขีดจำกัดล่างของการบูรณาการ จากนั้นจึงเพิ่มขั้นตอนตามลำดับ

ในบรรทัดที่สามเราป้อนค่าของปริพันธ์ เช่น ถ้า แล้ว ควรทิ้งทศนิยมไว้กี่ตำแหน่ง?แท้จริงแล้วสภาพไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้อีก หลักการเหมือนกับในวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู เราดูที่ความแม่นยำที่ต้องการ: 0.001 และบวกเพิ่มอีก 2-3 หลัก นั่นคือคุณต้องปัดเศษเป็นทศนิยม 5-6 ตำแหน่ง

เป็นผลให้:

ได้รับผลเบื้องต้นแล้ว ตอนนี้ สองเท่าจำนวนเซ็กเมนต์สูงสุดสี่: . สูตรของซิมป์สันสำหรับพาร์ติชันนี้มีรูปแบบดังต่อไปนี้:

มาคำนวณขั้นตอนพาร์ติชั่นกัน:

กรอกตารางการคำนวณ:


ดังนั้น:

มาหาค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่างการประมาณ:

กฎของรุ่งสำหรับวิธีของซิมป์สันนั้นอร่อยมาก หากเมื่อใช้ วิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้ากลางและวิธีการสี่เหลี่ยมคางหมูเราได้รับ "การปล่อยตัว" หนึ่งในสาม แต่ตอนนี้ - มากเท่ากับหนึ่งในสิบห้า:
และความแม่นยำที่นี่จะไม่ได้รับผลกระทบอีกต่อไป:

แต่เพื่อให้ภาพสมบูรณ์ ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหา "ง่าย ๆ" โดยที่คุณต้องดำเนินการเพิ่มเติม: เนื่องจากจำเป็นต้องมีความแม่นยำมากกว่า: จากนั้นจำเป็นต้องเพิ่มจำนวนเซ็กเมนต์เป็นสองเท่าอีกครั้ง:

สูตรของซิมป์สันเติบโตขึ้นอย่างก้าวกระโดด:

มาคำนวณขั้นตอนกัน:

และกรอกตารางการคำนวณอีกครั้ง:

ดังนั้น:

โปรดทราบว่าขอแนะนำให้อธิบายการคำนวณโดยละเอียดที่นี่เนื่องจากสูตรของซิมป์สันค่อนข้างยุ่งยากและหากคุณปังทันที:
แล้วเหล้านี่จะดูเหมือนงานแฮ็คเลย และด้วยบันทึกที่มีรายละเอียดมากขึ้น ครูจะรู้สึกประทับใจที่คุณลบปุ่มไมโครเครื่องคิดเลขอย่างเป็นเรื่องเป็นราวเป็นเวลาหนึ่งชั่วโมง การคำนวณโดยละเอียดสำหรับกรณีที่ "ยาก" มีอยู่ในเครื่องคิดเลขของฉัน

เราประเมินข้อผิดพลาด:

ข้อผิดพลาดน้อยกว่าความแม่นยำที่ต้องการ: - สิ่งที่เหลืออยู่คือการประมาณที่แม่นยำที่สุดโดยปัดเศษให้เป็นทศนิยมสามตำแหน่งแล้วเขียน:

คำตอบ: แม่นยำถึง 0.001

ตัวอย่างที่ 5

คำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยประมาณโดยใช้สูตรของซิมป์สันด้วยความแม่นยำ 0.0001 เริ่มแยกออกเป็นสองส่วน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายโดยประมาณและคำตอบท้ายบทเรียน

ในส่วนสุดท้ายของบทเรียน เราจะดูตัวอย่างทั่วไปสองสามตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 6

คำนวณค่าโดยประมาณของอินทิกรัลจำกัดเขต โดยใช้สูตรของซิมป์สัน โดยแบ่งส่วนการอินทิเกรตออกเป็น 10 ส่วน การคำนวณจะต้องแม่นยำถึงทศนิยมตำแหน่งที่สาม

วันนี้เราจะมาทำความรู้จักกับวิธีการอินทิเกรตเชิงตัวเลขอีกวิธีหนึ่ง นั่นคือวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู ด้วยความช่วยเหลือนี้ เราจะคำนวณอินทิกรัลจำกัดจำนวนด้วยระดับความแม่นยำที่กำหนด ในบทความ เราจะอธิบายสาระสำคัญของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู วิเคราะห์วิธีการหาสูตร เปรียบเทียบวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูกับวิธีสี่เหลี่ยม และเขียนค่าประมาณของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของวิธีนี้ เราจะอธิบายแต่ละส่วนพร้อมตัวอย่างเพื่อความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับเนื้อหา

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

สมมติว่าเราจำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต ∫ ab f (x) d x โดยประมาณ โดยอินทิกรัล y = f (x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลา [ a ; ข ] . เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แบ่งส่วน [a; b ] ออกเป็นช่วงความยาว h เท่าๆ กัน โดยมีจุด a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

มาหาขั้นตอนพาร์ติชั่นกัน: h = b - a n ลองพิจารณาโหนดจากความเท่าเทียมกัน x i = a + i · h, i = 0, 1, - - , n.

ในส่วนประถมศึกษา เราจะพิจารณาฟังก์ชันปริพันธ์ x i - 1 ; x ผม, ผม = 1, 2, . - , n.

เมื่อ n เพิ่มขึ้นอย่างไม่สิ้นสุด เราจะลดกรณีทั้งหมดให้เหลือเพียงสี่ตัวเลือกที่ง่ายที่สุด:

ให้เราเลือกส่วน x i - 1 ; x ผม, ผม = 1, 2, . - - , n. ให้เราแทนที่ฟังก์ชัน y = f (x) ในแต่ละกราฟด้วยส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่มีพิกัด x i - 1 ; ฉ x ฉัน - 1 และ x ฉัน ; ฉ x ฉัน มาทำเครื่องหมายด้วยสีน้ำเงินในรูปภาพ

ขอให้เราใช้นิพจน์ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h เป็นค่าโดยประมาณของอินทิกรัล ∫ x i - 1 x i f (x) d x เหล่านั้น. สมมุติว่า ∫ x i - 1 x i f (x) d x µ f (x i - 1) + f (x i) 2 ชั่วโมง .

เรามาดูกันว่าเหตุใดวิธีการอินทิเกรตเชิงตัวเลขที่เรากำลังศึกษาจึงเรียกว่าวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องค้นหาความหมายของความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เขียนจากมุมมองทางเรขาคณิต

ในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูจำเป็นต้องคูณผลรวมครึ่งหนึ่งของฐานด้วยความสูง ในกรณีแรก พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจะประมาณเท่ากับสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน f (x i - 1), f (x i) ความสูง h ในกรณีที่สี่ของกรณีที่เรากำลังพิจารณาอินทิกรัลที่กำหนด ∫ x i - 1 x f (x) d x นั้นประมาณเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน - f (x i - 1), - f (x i) และความสูง h ซึ่งต้องใช้เครื่องหมาย “-” ในการคำนวณค่าโดยประมาณของอินทิกรัลจำกัดขอบเขต ∫ x i - 1 x i f (x) d x ในกรณีที่พิจารณาครั้งที่สองและสาม เราจำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างในพื้นที่ของบริเวณสีแดงและสีน้ำเงินที่เราทำเครื่องหมายด้วย ฟักออกมาในรูปด้านล่าง

มาสรุปกัน สาระสำคัญของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูมีดังนี้: เราสามารถแสดงอินทิกรัลจำกัด ∫ ab f (x) d x เป็นผลรวมของปริพันธ์ของรูปแบบ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ในแต่ละเซ็กเมนต์พื้นฐานและในการแทนที่โดยประมาณที่ตามมา ∫ x i - 1 x i f (x) d x µ f (x i - 1) + f (x i) 2 · ชม.

สูตรวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู

ขอให้เรานึกถึงคุณสมบัติที่ห้าของอินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ ab f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x เพื่อให้ได้สูตรของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูจำเป็นต้องแทนที่ค่าโดยประมาณแทนค่าปริพันธ์ ∫ x i - 1 x i f (x) d x: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x data ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f ( x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x data h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

คำจำกัดความ 1

สูตรวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู:∫ x i - 1 x i f (x) d x data h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

การประมาณค่าความผิดพลาดสัมบูรณ์ของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู

ให้เราประมาณค่าความผิดพลาดสัมบูรณ์ของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูดังนี้:

คำจำกัดความ 2

δ n ≤ ม a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = ม a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) ข - 3 12 n 2

ภาพประกอบกราฟิกของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูแสดงในรูป:

ตัวอย่างการคำนวณ

ลองดูตัวอย่างการใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยประมาณ เราจะให้ความสนใจเป็นพิเศษกับงานสองประเภท:

• การคำนวณอินทิกรัลจำกัดโดยวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูสำหรับหมายเลขพาร์ติชันที่กำหนดของเซ็กเมนต์ n
• การค้นหาค่าโดยประมาณของอินทิกรัลจำกัดจำนวนด้วยความแม่นยำที่ระบุ

สำหรับ n ที่กำหนด การคำนวณระดับกลางทั้งหมดจะต้องดำเนินการด้วยความแม่นยำในระดับสูงเพียงพอ ความแม่นยำในการคำนวณควรสูงขึ้นและมีค่า n มากขึ้น

หากเรามีความแม่นยำในการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน การคำนวณขั้นกลางทั้งหมดจะต้องดำเนินการตามลำดับความสำคัญตั้งแต่สองลำดับความสำคัญขึ้นไปอย่างแม่นยำยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น หากตั้งค่าความแม่นยำเป็น 0.01 เราจะทำการคำนวณขั้นกลางด้วยความแม่นยำ 0.0001 หรือ 0.00001 สำหรับ n ขนาดใหญ่ การคำนวณขั้นกลางจะต้องดำเนินการด้วยความแม่นยำที่สูงกว่า

ลองดูกฎข้างต้นพร้อมตัวอย่าง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เปรียบเทียบค่าของอินทิกรัลจำกัดที่คำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ และรับโดยใช้วิธีรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

ดังนั้น ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 data 9, 613805

ตัวอย่างที่ 1

เมื่อใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู เราคำนวณอินทิกรัลจำกัดขอบเขต ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x สำหรับ n เท่ากับ 10

สารละลาย

สูตรสำหรับวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูคือ ∫ x i - 1 x i f (x) d x data h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

ในการใช้สูตร เราจำเป็นต้องคำนวณขั้นตอน h โดยใช้สูตร h = b - a n กำหนดโหนด x i = a + i · h, i = 0, 1, - - , n, คำนวณค่าของฟังก์ชันปริพันธ์ f (x) = 7 x 2 + 1

ขั้นตอนการแบ่งพาร์ติชันคำนวณดังนี้: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 5. ในการคำนวณปริพันธ์ที่โหนด x i = a + i · h, i = 0, 1, - - , n เราจะมีทศนิยมสี่ตำแหน่ง:

ผม = 0: x 0 = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ ฉ (x 0) = ฉ (0) = 7 0 2 + 1 = 7 ผม = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ ฉ (x 1) = ฉ (0. 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5. 6. - - ผม = 10: x 10 = 0 + 10 · 0 5 = 5 ⇒ ฉ (x 10) = ฉ (5) = 7 5 2 + 1 data 0, 2692

ป้อนผลการคำนวณลงในตาราง:

ฉัน	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x ฉัน	0	0 . 5	1	1 , 5	2	2 , 5	3	3 , 5	4	4 , 5	5
ฉ (x ฉัน)	7	5 , 6	3 , 5	2 , 1538	1 , 4	0 , 9655	0 , 7	0 , 5283	0 , 4117	0 , 3294	0 , 2692

ลองแทนค่าที่ได้รับลงในสูตรของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 data h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5.6 + 3.5 + 2.1538 + 1.4 + 0.9655 + 0.7 + 0.5283 + 0.4117 + 0.3294 + 0.2692 = 9.6117

ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์ของเรากับผลลัพธ์ที่คำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ ค่าที่ได้จะตรงกันกับหนึ่งในร้อย

คำตอบ:∫ 0 5 7 ว x x 2 + 1 = 9 , 6117

ตัวอย่างที่ 2

เมื่อใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู เราคำนวณค่าของอินทิกรัลจำกัด ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ด้วยความแม่นยำ 0.01

สารละลาย

ตามเงื่อนไขของปัญหา a = 1; ข = 2 , ฉ (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δn ≤ 0.01

ให้เราค้นหา n ซึ่งเท่ากับจำนวนจุดของพาร์ติชันของส่วนการรวม โดยใช้ความไม่เท่าเทียมกันในการประมาณค่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) · (ข - ก) 3 12 n 2 . เราจะทำสิ่งนี้: เราจะค้นหาค่าของ n ซึ่งความไม่เท่าเทียมกัน m a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) · (ข - ก) 3 12 n 2 ≤ 0.01 เมื่อให้ n สูตรสี่เหลี่ยมคางหมูจะให้ค่าโดยประมาณของอินทิกรัลจำกัดเขตด้วยความแม่นยำที่กำหนด

ขั้นแรก เราจะหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของโมดูลัสของอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันในช่วงเวลา [ 1 ; 2].

ฉ " (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ ฉ "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

ฟังก์ชันอนุพันธ์อันดับสองคือพาราโบลากำลังสอง f "" (x) = x 2 . จากคุณสมบัติของมัน เรารู้ว่ามันเป็นค่าบวกและเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา [1; 2]. ในเรื่องนี้ m a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) = ฉ "" (2) = 2 2 = 4 .

ในตัวอย่างที่ให้มา กระบวนการหา m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) กลายเป็นเรื่องที่ค่อนข้างง่าย ในกรณีที่ซับซ้อน คุณสามารถใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันเพื่อทำการคำนวณได้ หลังจากพิจารณาตัวอย่างนี้แล้ว เราจะนำเสนอวิธีการอื่นในการค้นหา m a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) .

ให้เราแทนที่ค่าผลลัพธ์เป็นอสมการ m a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) · (ข - ก) 3 12 n 2 ≤ 0.01

4 (2 - 1) 3 12 ไม่มี 2 ≤ 0.01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5.7735

จำนวนช่วงเบื้องต้นที่มีการแบ่งส่วนการรวม n ออกเป็นจำนวนธรรมชาติ สำหรับพฤติกรรมการคำนวณ เราใช้ n เท่ากับ 6 ค่า n นี้จะช่วยให้เราบรรลุความแม่นยำที่ระบุของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูด้วยการคำนวณขั้นต่ำ

มาคำนวณขั้นตอนกัน: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

ลองหาโหนด x i = a + i · h, i = 1, 0, - - , n , เรากำหนดค่าของปริพันธ์ที่โหนดเหล่านี้:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 1 6 = 7 6 ⇒ ฉ (x 1) = ฉ 7 6 = 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 data 0.5266 - - i = 6: x 10 = 1 + 6 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 data 1.9833

เราเขียนผลการคำนวณในรูปแบบของตาราง:

ฉัน	0	1	2	3	4	5	6
x ฉัน	1	7 6	4 3	3 2	5 3	11 6	2
ฉ x ฉัน	0 , 4	0 , 5266	0 , 6911	0 , 9052	1 , 1819	1 , 5359	1 , 9833

แทนที่ผลลัพธ์ที่ได้ลงในสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x µ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0, 4 + 2 0.5266 + 0.6911 + 0.9052 + 1.1819 + 1.5359 + 1.9833 กลับไปยัง 1.0054

ในการเปรียบเทียบ เราจะคำนวณอินทิกรัลดั้งเดิมโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

อย่างที่คุณเห็นเราได้รับความแม่นยำในการคำนวณแล้ว

คำตอบ: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x พรีเมี่ยม 1.0054

สำหรับจำนวนเต็มที่มีรูปแบบซับซ้อน การค้นหาจำนวน n จากอสมการเพื่อประมาณค่าความผิดพลาดสัมบูรณ์ไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป ในกรณีนี้วิธีการต่อไปนี้จะเหมาะสม

ให้เราแสดงค่าโดยประมาณของอินทิกรัลจำกัดขอบเขต ซึ่งได้มาจากการใช้วิธีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสำหรับโหนด n เช่น I n ลองเลือกตัวเลขใดก็ได้ n การใช้สูตรของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูเราคำนวณอินทิกรัลเริ่มต้นสำหรับจำนวนโหนดเดียว (n = 10) และสองเท่า (n = 20) และค้นหาค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่างสองค่าโดยประมาณที่ได้รับ I 20 - ฉัน 10.

หากค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่างสองค่าโดยประมาณที่ได้รับนั้นน้อยกว่าความแม่นยำที่ต้องการ I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

หากค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่างสองค่าโดยประมาณที่ได้รับนั้นมากกว่าความแม่นยำที่ต้องการ จำเป็นต้องทำซ้ำขั้นตอนโดยมีจำนวนโหนดเป็นสองเท่า (n = 40)

วิธีนี้ต้องใช้การคำนวณจำนวนมาก ดังนั้นจึงควรใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์เพื่อประหยัดเวลา

มาแก้ปัญหาโดยใช้อัลกอริธึมด้านบน เพื่อประหยัดเวลา เราจะละเว้นการคำนวณขั้นกลางโดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู

ตัวอย่างที่ 3

จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลจำกัด ∫ 0 2 x e x d x โดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูด้วยความแม่นยำ 0.001

สารละลาย

ลองหา n เท่ากับ 10 กับ 20 กัน เมื่อใช้สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู เราจะได้ I 10 = 8.4595380, I 20 = 8.4066906

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001 ซึ่งต้องมีการคำนวณเพิ่มเติม

ลองหา n เท่ากับ 40: I 40 = 8, 3934656

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001 ซึ่งต้องมีการคำนวณอย่างต่อเนื่อง

ลองหา n เท่ากับ 80: I 80 = 8, 3901585

I 80 - I 40 = 8, 3901585 - 8, 3934656 = 0, 0033071 > 0, 001 ซึ่งต้องเพิ่มจำนวนโหนดอีกสองเท่า

ลองหา n เท่ากับ 160: I 160 = 8, 3893317

ฉัน 160 - ฉัน 80 = 8.3893317 - 8.3901585 = 0.0008268< 0 , 001

ค่าโดยประมาณของอินทิกรัลดั้งเดิมสามารถหาได้โดยการปัดเศษ I 160 = 8, 3893317 เป็นส่วนหนึ่งในพัน: ∫ 0 2 x e x d x µ µ 8, 389

เพื่อการเปรียบเทียบ ลองคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตเดิมโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 data 8, 3890561 ได้รับความแม่นยำที่ต้องการแล้ว

คำตอบ: ∫ 0 2 x e x d x data 8, 389

ข้อผิดพลาด

การคำนวณระดับกลางเพื่อกำหนดค่าของอินทิกรัลจำกัดเขตส่วนใหญ่จะดำเนินการโดยประมาณ ซึ่งหมายความว่าเมื่อ n เพิ่มขึ้น ข้อผิดพลาดในการคำนวณจะเริ่มสะสม

ให้เราเปรียบเทียบค่าประมาณของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูกับวิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้าเฉลี่ย:

δ n ≤ ม a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 12 = ม a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = ม a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) · ข - 3 24 n 2 .

วิธีสี่เหลี่ยมสำหรับ n ที่กำหนดซึ่งมีปริมาณงานคำนวณเท่ากันจะให้ข้อผิดพลาดครึ่งหนึ่ง สิ่งนี้ทำให้วิธีนี้เป็นที่นิยมมากขึ้นในกรณีที่ทราบค่าของฟังก์ชันในส่วนตรงกลางของส่วนประถมศึกษา

ในกรณีที่ไม่ได้ระบุฟังก์ชันที่จะรวมเข้าด้วยกันในเชิงวิเคราะห์ แต่เป็นชุดของค่าที่โหนด เราสามารถใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูได้

หากเราเปรียบเทียบความแม่นยำของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูกับวิธีสี่เหลี่ยมด้านขวาและด้านซ้าย วิธีแรกจะมีความแม่นยำมากกว่าวิธีที่สองในด้านความแม่นยำของผลลัพธ์

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

5.3 วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู

ให้เราหาสูตรของสี่เหลี่ยมคางหมูในลักษณะเดียวกับสูตรของสี่เหลี่ยมจากการพิจารณาทางเรขาคณิต ลองแทนที่กราฟของฟังก์ชัน y = f(x) (รูปที่ 5.1) ด้วยเส้นแบ่ง (รูปที่ 5.7) ที่ได้ดังนี้ จากจุด a = x 0 , x 1 , x 2 ,…, xn = b เราวาดพิกัดจนกระทั่งพวกมันตัดกับเส้นโค้ง y = f(x) ปลายของพิกัดจะเชื่อมต่อกันด้วยส่วนตรง

จากนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งสามารถประมาณได้เท่ากับพื้นที่ของร่างที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมคางหมู เนื่องจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูที่สร้างขึ้นบนส่วนที่มีความยาว h = เท่ากับ h จากนั้นเมื่อใช้สูตรนี้สำหรับ i = 0, 2, …, n – 1 เราจะได้สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมคางหมู:

ฉัน=»ฉัน tr =h= (5.7)

การประมาณค่าความผิดพลาด เพื่อประมาณค่าความผิดพลาดของสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู เราใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 5.2 ปล่อยให้ฟังก์ชัน f สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องสองครั้งในช่วงเวลา การประมาณค่าความผิดพลาดต่อไปนี้ใช้ได้กับสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู:

- ฉัน – ฉัน tr | ปอนด์ ชม. 2 , (5.8)

โดยที่ M 2 = |f "(x)|.

ตัวอย่างที่ 5.2

ให้เราคำนวณค่าอินทิกรัลโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู (5.7) และเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้กับผลลัพธ์ของตัวอย่างที่ 5.1

การใช้ตารางค่าฟังก์ชัน e จากตัวอย่างที่ 5.1 และการคำนวณโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู (5.7) เราได้รับ: I tr = 0.74621079

ให้เราประเมินข้อผิดพลาดของค่าที่ได้รับ ในตัวอย่าง (5.1) เราได้รับค่าประมาณ: | f "(x)| £ M 2 = 2 ดังนั้นตามสูตร (5.8)

ฉัน – ฉัน tr | ปอนด์ (0.1) 2 » 1.7× 10 -3 .

เมื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ของตัวอย่างที่ 5.1 และ 5.2 เราจะเห็นว่าวิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้าเฉลี่ยมีข้อผิดพลาดน้อยกว่า เช่น มันแม่นยำยิ่งขึ้น

5.4 วิธีซิมป์สัน (วิธีพาราโบลา)

ให้เราแทนที่กราฟของฟังก์ชัน y = f(x) บนเซกเมนต์ , i = 0, 2, … , n – 1 โดยมีพาราโบลาลากผ่านจุดต่างๆ (x i , f(x i)), (x,f (x)), (x i+ 1, f(x i+ 1)) โดยที่ x คือจุดกึ่งกลางของส่วน พาราโบลานี้เป็นพหุนามการประมาณค่าของระดับที่สอง L 2 (x) โดยมีโหนด x i, x, x i+ 1 จะเห็นได้ง่ายว่าสมการของพาราโบลานี้มีรูปแบบ:

ฉ(x) + (x – x) + (x - x) 2 , (5.9)

การรวมฟังก์ชัน (5.9) บนเซ็กเมนต์ เราได้รับ

ฉัน = » = (f(x i) + 4f(x) + f(x i+ 1)) (5.10)

เมื่อรวมนิพจน์ (5.10) ส่วน i = 0, 1, 2, …, n – 1 เราจะได้สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของซิมป์สัน (หรือสูตรพาราโบลา):

ฉัน =» ฉัน C = (ฉ(x 0) + ฉ(x n) + 4 + 2) (5.11)

การประมาณค่าความผิดพลาด เพื่อประมาณค่าความผิดพลาดของสูตรซิมป์สัน เราใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 5.2 ปล่อยให้ฟังก์ชัน f มีอนุพันธ์อันดับสี่ต่อเนื่องกัน f(4) (x) ในช่วงเวลา การประมาณค่าความผิดพลาดต่อไปนี้ใช้ได้กับสูตรของซิมป์สัน (5.9):

- ฉัน – ฉันค | £ ชั่วโมง 4 , (5.12)

โดยที่ M 4 = | ฉ (4) (x)|.

ความคิดเห็น หากจำนวนเซ็กเมนต์พื้นฐานที่แบ่งเซ็กเมนต์เป็นเลขคู่นั่นคือ n = 2m ดังนั้นพาราโบลาสามารถลากผ่านโหนดที่มีดัชนีจำนวนเต็ม และแทนที่จะพิจารณาส่วนของความยาวเบื้องต้น h ให้พิจารณาส่วนของความยาว 2h จากนั้นสูตรของซิมป์สันจะอยู่ในรูปแบบ:

ฉัน » (ฉ(x 0) + ฉ(x 2ม.) + 4 + 2), (5.13)

และแทนที่จะประมาณการ (5.10) การประมาณการข้อผิดพลาดต่อไปนี้จะใช้ได้:

- ฉัน – ฉันค | ปอนด์ ชม. 4 , (5.14)

ตัวอย่างที่ 5.3

ลองคำนวณค่าอินทิกรัลโดยใช้สูตรของซิมป์สัน (5.11) และเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้กับผลลัพธ์ของตัวอย่าง 5.1 และ 5.2

การใช้ตารางค่าฟังก์ชัน e จากตัวอย่าง 5.1 และการคำนวณโดยใช้สูตรของซิมป์สัน (5.11) เราได้รับ:

ไอ ซี = 0.74682418.

ให้เราประเมินข้อผิดพลาดของค่าที่ได้รับ ลองคำนวณอนุพันธ์อันดับสี่ f (4) (x)

ฉ (4) (x) = (16x 4 – 48x 2 + 12) จ, | ฉ (4) (x)| 12 ปอนด์

- ฉัน – ฉันค | ปอนด์ (0.1) 4 » 0.42 × 10 -6 .

เมื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ของตัวอย่างที่ 5.1, 5.2 และ 5.3 เราจะพบว่าวิธีซิมป์สันมีข้อผิดพลาดน้อยกว่าวิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้าเฉลี่ยและวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู

การคำนวณอินทิกรัลโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู และสูตรซิมป์สัน การประมาณค่าความผิดพลาด

แนวทางสำหรับหัวข้อ 4.1:

การคำนวณปริพันธ์โดยใช้สูตรสี่เหลี่ยม การประมาณข้อผิดพลาด:

วิธีแก้ปัญหาทางเทคนิคหลายประการอยู่ที่การคำนวณอินทิกรัลบางอย่าง ซึ่งการแสดงออกที่แน่นอนนั้นซับซ้อน ต้องใช้การคำนวณที่ใช้เวลานาน และไม่ได้ให้เหตุผลในทางปฏิบัติเสมอไป ที่นี่ค่าโดยประมาณก็เพียงพอแล้ว ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นซึ่งไม่ทราบสมการ นั่นคือแกน เอ็กซ์และสองโองการ ในกรณีนี้ คุณสามารถแทนที่บรรทัดนี้ด้วยบรรทัดที่ง่ายกว่าซึ่งทราบสมการได้ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ได้รับในลักษณะนี้ถือเป็นค่าโดยประมาณของอินทิกรัลที่ต้องการ ในเชิงเรขาคณิต แนวคิดของวิธีคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ก 1 เอบีซี 1ถูกแทนที่ด้วยพื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากัน ก 1 ก 2 บี 1 บี 2ซึ่งตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยจะเท่ากับ

ที่ไหน ฉ(ค)--- ความสูงของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ก 1 ก 2 บี 1 บี 2แทนค่าของปริพันธ์ที่จุดกึ่งกลางจุดใดจุดหนึ่ง ค(ก< c

แทบจะหาค่าดังกล่าวได้ยาก กับซึ่ง (ข-ก) ฉ (ค)จะเท่ากับ เพื่อให้ได้ค่าที่แม่นยำยิ่งขึ้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจะถูกแบ่งออกเป็น nสี่เหลี่ยมที่มีความสูงเท่ากัน ใช่ 0 , y 1 , y 2 , … , y n -1และบริเวณ

หากเราสรุปพื้นที่สี่เหลี่ยมที่ครอบคลุมพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งโดยมีข้อเสียคือฟังก์ชันไม่ลดลงเลยแทนที่จะใช้สูตรเราใช้สูตรแทน

หากเกินแล้ว

ค่าต่างๆ หาได้จากความเท่าเทียมกัน สูตรเหล่านี้เรียกว่า สูตรสี่เหลี่ยมและให้ผลลัพธ์โดยประมาณ ด้วยการเพิ่มขึ้น nผลลัพธ์จะแม่นยำยิ่งขึ้น

ตัวอย่างที่ 1 . คำนวณโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยม

ให้เราแบ่งช่วงเวลาการรวมออกเป็น 5 ส่วน แล้ว . ใช้เครื่องคิดเลขหรือตารางเราจะหาค่าของจำนวนเต็ม (แม่นยำถึงทศนิยม 4 ตำแหน่ง):

ตามสูตรสี่เหลี่ยม (มีข้อเสีย)

ในทางกลับกันตามสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ

มาหาข้อผิดพลาดในการคำนวณแบบสัมพัทธ์โดยใช้สูตรสี่เหลี่ยม:

การคำนวณอินทิกรัลโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู การประมาณข้อผิดพลาด:

ความหมายทางเรขาคณิตของวิธีการคำนวณอินทิกรัลโดยประมาณต่อไปนี้คือการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู "เส้นตรง" ที่มีขนาดเท่ากันโดยประมาณ

ปล่อยให้จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ เอ 1 แอมบีบี 1สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งแสดงโดยสูตร

มาแทนที่ส่วนโค้งกันเถอะ แอมบีคอร์ด เอบีและแทนที่จะเป็นบริเวณรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง เอ 1 แอมบีบี 1คำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู เอ 1 เอบีบี 1: , ที่ไหน เอเอ 1และ BB 1 - ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและ เอ 1 บี 1 – ความสูงของมัน

มาแสดงกันเถอะ ฉ(ก)=ก 1 ก,ฉ(ข)=B 1 ข.ความสูงสี่เหลี่ยมคางหมู ก 1 ข 1 =ข-กสี่เหลี่ยม - เพราะฉะนั้น, หรือ

นี่คือสิ่งที่เรียกว่า สูตรสี่เหลี่ยมคางหมูขนาดเล็ก.