กระทรวงวิทยาศาสตร์และการศึกษาของสาธารณรัฐบัชคอร์โต สแตน

SAOU SPO Bashkir วิทยาลัยสถาปัตยกรรมศาสตร์และวิศวกรรมโยธา

คาลิอุลลิน อัสคัต อเดลไซยาโนวิช

ครูคณิตศาสตร์ที่ Bashkirsky

วิทยาลัยสถาปัตยกรรมศาสตร์และวิศวกรรมโยธา

ยูเอฟเอ

2014

บทนำ _______________________________________3

บท ฉัน. ลักษณะทางทฤษฎีของการใช้วิธีการสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน_____________________________________________4

บท ครั้งที่สอง ค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับพหุนามโดยใช้วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน_________________________________7

2.1.การแยกตัวประกอบพหุนาม_____________________ 7

2.2. ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์_________________________________ 10

2.3. การแก้สมการ__________________________________________14

2.4. สมการเชิงฟังก์ชัน______________________19

บทสรุป_________________________________________________23

รายการวรรณกรรมที่ใช้แล้ว__________________________________________24

แอปพลิเคชัน ________________________________________________25

การแนะนำ.

งานนี้อุทิศให้กับแง่มุมทางทฤษฎีและปฏิบัติในการแนะนำวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน ความเกี่ยวข้องของหัวข้อนี้จะถูกกำหนดโดยสถานการณ์ต่อไปนี้

ไม่มีใครจะโต้แย้งว่าคณิตศาสตร์ในฐานะวิทยาศาสตร์ไม่ได้อยู่ในที่เดียว แต่มีการพัฒนาอยู่ตลอดเวลา มีงานใหม่ที่มีความซับซ้อนเพิ่มขึ้นซึ่งมักจะทำให้เกิดปัญหาบางอย่างเนื่องจากงานเหล่านี้มักจะเกี่ยวข้องกับการวิจัย ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา มีการเสนอปัญหาดังกล่าวในโอลิมปิกทางคณิตศาสตร์ของโรงเรียน เขต และของพรรครีพับลิกัน และยังมีอยู่ในเวอร์ชัน Unified State Exam อีกด้วย ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีวิธีการพิเศษที่จะช่วยให้อย่างน้อยบางส่วนสามารถแก้ไขได้อย่างรวดเร็ว มีประสิทธิภาพ และประหยัดที่สุด งานนี้นำเสนอเนื้อหาของวิธีหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ต่างๆ อย่างชัดเจน ตั้งแต่คำถามในรายวิชาการศึกษาทั่วไปไปจนถึงส่วนที่ก้าวหน้าที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งการประยุกต์ใช้วิธีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ เหตุผลเศษส่วน และสมการเชิงฟังก์ชันมีความน่าสนใจและมีประสิทธิภาพเป็นพิเศษ พวกเขาสามารถดึงดูดผู้ที่สนใจวิชาคณิตศาสตร์ได้อย่างง่ายดาย วัตถุประสงค์หลักของงานที่เสนอและการเลือกปัญหาคือการให้โอกาสที่เพียงพอในการฝึกฝนและพัฒนาความสามารถในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่สั้นและไม่ได้มาตรฐาน

งานนี้ประกอบด้วยสองบท หัวข้อแรกกล่าวถึงแง่มุมทางทฤษฎีของการใช้งาน

วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน และประการที่สอง แง่มุมเชิงปฏิบัติและระเบียบวิธีของการใช้ดังกล่าว

ภาคผนวกของงานระบุเงื่อนไขสำหรับงานเฉพาะสำหรับโซลูชันอิสระ

บท ฉัน - ด้านทฤษฎีการใช้งานวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน

“มนุษย์...เกิดมาเพื่อเป็นนาย

ผู้ปกครอง ราชาแห่งธรรมชาติ แต่สติปัญญา

ซึ่งเขาจะต้องปกครองนั้นไม่ได้มอบให้เขา

ตั้งแต่เกิด ได้มาด้วยการเรียนรู้"

เอ็น.ไอ.โลบาเชฟสกี

มีวิธีการและวิธีการต่างๆ ในการแก้ปัญหา แต่หนึ่งในวิธีที่สะดวกที่สุด มีประสิทธิภาพมากที่สุด ดั้งเดิม สง่างาม และในเวลาเดียวกันสำหรับทุกคนที่เรียบง่ายและเข้าใจได้ก็คือวิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้เป็นวิธีการที่ใช้ในคณิตศาสตร์เพื่อค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ของนิพจน์ซึ่งทราบรูปแบบไว้ล่วงหน้า

ก่อนที่จะพิจารณาการประยุกต์ใช้วิธีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในการแก้ปัญหาประเภทต่างๆ เรานำเสนอข้อมูลทางทฤษฎีจำนวนหนึ่ง

ปล่อยให้พวกเขาได้รับ

ก n (x) = ก 0 x n + ก 1 x n-1 + ก 2 x n-2 + ··· + ก n-1 x + ก n

บี ม (x ) = ข 0 x ม + ข 1 x ม -1 + ข 2 x ม -2 + ··· + ข ม-1 x + ข ม ,

พหุนามสัมพัทธ์ เอ็กซ์มีโอกาสต่อรองได้

ทฤษฎีบท. พหุนามสองตัวขึ้นอยู่กับหนึ่งและ อาร์กิวเมนต์เดียวกันนั้นเท่ากันก็ต่อเมื่อและหากเท่านั้นn = ม และสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันจะเท่ากันก 0 = ข 0 , ก 1 = ข 1 , ก 2 = ข 2 ,··· , ก n -1 = ข ม -1 , ก n = ข ม และ ต. ง.

แน่นอนว่าพหุนามที่เท่ากันจะใช้กับค่าทั้งหมด เอ็กซ์ค่าเดียวกัน ในทางกลับกัน ถ้าค่าของพหุนามสองตัวมีค่าเท่ากันทุกค่า เอ็กซ์แล้วพหุนาม เท่ากัน นั่นคือสัมประสิทธิ์อยู่ที่องศาเดียวกันเอ็กซ์จับคู่.

ดังนั้นแนวคิดในการประยุกต์วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในการแก้ปัญหาจึงเป็นดังนี้

แจ้งให้เราทราบว่าผลลัพธ์ของการแปลงบางอย่างทำให้ได้รับนิพจน์บางประเภทและไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์นี้เท่านั้น จากนั้นค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้จะถูกกำหนดด้วยตัวอักษรและถือว่าไม่ทราบค่า จากนั้นระบบสมการจะถูกสร้างขึ้นเพื่อระบุสิ่งที่ไม่ทราบเหล่านี้

เช่น ในกรณีของพหุนาม สมการเหล่านี้สร้างจากเงื่อนไขที่ว่าสัมประสิทธิ์มีค่าเท่ากันสำหรับกำลังเท่ากัน เอ็กซ์สำหรับพหุนามสองตัวที่เท่ากัน

เราจะสาธิตสิ่งที่กล่าวไว้ข้างต้นโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะต่อไปนี้ และเริ่มด้วยตัวอย่างที่ง่ายที่สุดกันดีกว่า

ตัวอย่างเช่น ตามการพิจารณาทางทฤษฎี เศษส่วน

สามารถแสดงเป็นผลรวมได้

, ที่ไหน ก , ข และ ค - ค่าสัมประสิทธิ์ที่จะถูกกำหนด หากต้องการค้นหา เราเปรียบเทียบนิพจน์ที่สองกับนิพจน์แรก:

=

และปลดตัวเราออกจากตัวส่วนและรวบรวมพจน์ที่มีกำลังเท่ากันทางซ้าย เอ็กซ์เราได้รับ:

(ก + ข + ค )เอ็กซ์ 2 + ( ข - ค )x - ก = 2เอ็กซ์ 2 – 5 เอ็กซ์– 1

เนื่องจากความเสมอภาคสุดท้ายจะต้องเป็นจริงสำหรับทุกค่า เอ็กซ์แล้วสัมประสิทธิ์ที่องศาเดียวกันเอ็กซ์ซ้ายและขวาควรจะเหมือนกัน ดังนั้นจึงได้สมการสามสมการเพื่อกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักสามค่า:

ก+ข+ค = 2

ข - ค = - 5

ก= 1 ดังนั้น ก = 1 , ข = - 2 , ค = 3

เพราะฉะนั้น,

=
,

ความถูกต้องของความเท่าเทียมกันนี้ง่ายต่อการตรวจสอบโดยตรง

สมมติว่าคุณต้องแสดงเศษส่วนด้วย

ในรูปแบบ ก + ข
+ ค
+ ง
, ที่ไหน ก , ข , ค และ ง- ค่าสัมประสิทธิ์ตรรกศาสตร์ที่ไม่รู้จัก เราถือเอานิพจน์ที่สองกับนิพจน์แรก:

ก + ข
+ ค
+ ง
=
หรือ, ปลดปล่อยตัวเราจากตัวส่วนกำจัดปัจจัยเชิงเหตุผลหากเป็นไปได้จากใต้สัญลักษณ์ของรากและนำเงื่อนไขที่คล้ายกันมาทางด้านซ้ายเราได้รับ:

(ก- 2 ข + 3 ค ) + (- ก+ข +3 ง )
+ (เอ+ซี - 2 ง )
+

+ (ข - ค + ง )
= 1 +
-
.

แต่ความเท่าเทียมกันนั้นเป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่เงื่อนไขตรรกยะของทั้งสองส่วนและค่าสัมประสิทธิ์ของรากเดียวกันเท่ากัน ดังนั้นจึงได้สมการสี่สมการเพื่อค้นหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก ก , ข , ค และ ง :

ก- 2ข+ 3ค = 1

- ก+ข +3 ง = 1

เอ+ซี - 2 ง = - 1

ข - ค + ง= 0 ดังนั้น ก = 0 ; ข = - ; ค = 0 ; ง= นั่นคือ
= -
+
.

บทที่สอง ค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับพหุนาม วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน.

“ไม่มีอะไรมีส่วนช่วยในการเชี่ยวชาญวิชาใดวิชาหนึ่งได้ดีไปกว่า

วิธีปฏิบัติกับเขาในสถานการณ์ต่างๆ”

นักวิชาการ B.V. Gnedenko

2. 1. แยกตัวประกอบพหุนาม

วิธีการแยกตัวประกอบพหุนาม:

1) วางปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ 2) วิธีการจัดกลุ่ม 3) การใช้สูตรคูณพื้นฐาน 4) การแนะนำคำศัพท์เสริม 5) การแปลงเบื้องต้นของพหุนามที่กำหนดโดยใช้สูตรบางอย่าง 6) การขยายตัวโดยการค้นหารากของพหุนามที่กำหนด 7) วิธีการป้อนพารามิเตอร์ 8)วิธีการสัมประสิทธิ์บึกบึน

ปัญหาที่ 1. แยกตัวประกอบพหุนามให้เป็นตัวประกอบจริง เอ็กซ์ 4 + เอ็กซ์ 2 + 1 .

สารละลาย. ไม่มีรากระหว่างตัวหารของพจน์อิสระของพหุนามนี้ เราไม่สามารถหารากของพหุนามด้วยวิธีพื้นฐานอื่นๆ ได้ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะดำเนินการขยายที่ต้องการด้วยการค้นหารากของพหุนามนี้ก่อน ยังคงมองหาวิธีแก้ไขปัญหาโดยการแนะนำคำศัพท์เสริมหรือโดยวิธีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ เห็นได้ชัดว่า เอ็กซ์ 4 + เอ็กซ์ 2 + 1 = เอ็กซ์ 4 + เอ็กซ์ 3 + เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ 3 - เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ + เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 1 =

= เอ็กซ์ 2 (เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 1) - เอ็กซ์ (เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 1) + เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 1 =

= (เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 1)(เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ + 1).

ผลลัพธ์ของตรีโกณมิติกำลังสองนั้นไม่มีราก จึงไม่สามารถแยกย่อยออกเป็นตัวประกอบเชิงเส้นจริงได้

วิธีการที่อธิบายไว้ในทางเทคนิคนั้นง่าย แต่ยากเนื่องจากการประดิษฐ์ อันที่จริงมันเป็นเรื่องยากมากที่จะคิดเงื่อนไขเสริมที่จำเป็น มีเพียงการคาดเดาเท่านั้นที่ช่วยให้เราพบการสลายตัวนี้ แต่

มีวิธีแก้ไขปัญหาดังกล่าวที่เชื่อถือได้มากกว่า

เราสามารถดำเนินการเช่นนี้: สมมติว่าพหุนามที่กำหนดสลายตัวไปเป็นผลิตภัณฑ์

(เอ็กซ์ 2 + ก เอ็กซ์ + ข )(เอ็กซ์ 2 + ค เอ็กซ์ + ง )

ตรีโกณมิติสองอันที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

เราก็จะได้สิ่งนั้น

เอ็กซ์ 4 + เอ็กซ์ 2 + 1 = (เอ็กซ์ 2 + ก เอ็กซ์ + ข )(เอ็กซ์ 2 + ค เอ็กซ์ + ง )

มันยังคงอยู่เพื่อกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ก , ข , ค และ ง .

เมื่อคูณพหุนามทางด้านขวาของความเสมอภาคสุดท้าย เราจะได้:เอ็กซ์ 4 + เอ็กซ์ 2 + 1 = เอ็กซ์ 4 +

+ (ก + ค ) เอ็กซ์ 3 + (ข + ก ค + ง ) เอ็กซ์ 2 + (โฆษณา + ก่อนคริสต์ศักราช ) x + ข .

แต่เนื่องจากเราต้องการให้ด้านขวาของความเท่ากันนี้กลายเป็นพหุนามที่อยู่ทางด้านซ้าย เราจึงต้องมีเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

ก + ค = 0

ข + ก ค + ง = 1

โฆษณา + ก่อนคริสต์ศักราช = 0

ข = 1 .

ผลลัพธ์ที่ได้คือระบบสมการสี่สมการที่ไม่ทราบค่าสี่ค่าก , ข , ค และ ง - หาค่าสัมประสิทธิ์จากระบบนี้ได้ง่ายก = 1 , ข = 1 , ค = -1 และ ง = 1.

ตอนนี้ปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์แล้ว เราได้รับ:

เอ็กซ์ 4 + เอ็กซ์ 2 + 1 = (เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 1)(เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ + 1).

ปัญหาที่ 2. แยกตัวประกอบพหุนามให้เป็นตัวประกอบจริง เอ็กซ์ 3 – 6 เอ็กซ์ 2 + 14 เอ็กซ์ – 15 .

สารละลาย. ให้เราแสดงพหุนามนี้ในรูปแบบ

เอ็กซ์ 3 – 6 เอ็กซ์ 2 + 14 เอ็กซ์ – 15 = (เอ็กซ์ + ก )(เอ็กซ์ 2 + บีเอ็กซ์ + ค) , ที่ไหน ก , ข และ กับ - ยังไม่ได้กำหนดสัมประสิทธิ์ เนื่องจากพหุนามสองตัวมีค่าเท่ากันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของกำลังเท่ากันเท่านั้นเอ็กซ์ เท่ากันแล้วจึงเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ตามลำดับเอ็กซ์ 2 , เอ็กซ์ และเงื่อนไขอิสระ เราได้ระบบสมการสามสมการโดยไม่ทราบค่าสามค่า:

ก+ข= - 6

เอบี + ซี = 14

เครื่องปรับอากาศ = - 15 .

การแก้ปัญหาระบบนี้จะง่ายขึ้นอย่างมากหากเราคำนึงว่าเลข 3 (ตัวหารของพจน์อิสระ) คือรากของสมการนี้ และด้วยเหตุนี้ก = - 3 ,

ข = - 3 และ กับ = 5 .

แล้ว เอ็กซ์ 3 – 6 เอ็กซ์ 2 + 14 เอ็กซ์ – 15 = (เอ็กซ์ – 3)(เอ็กซ์ 2 – 3 x + 5).

วิธีการประยุกต์ของค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนเมื่อเปรียบเทียบกับวิธีการแนะนำคำศัพท์เสริมข้างต้นไม่มีสิ่งใดเทียม แต่ต้องใช้หลักการทางทฤษฎีหลายประการและมาพร้อมกับการคำนวณที่ค่อนข้างใหญ่ สำหรับพหุนามที่มีระดับสูงกว่า วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้นี้จะนำไปสู่ระบบสมการที่ยุ่งยาก

2.2.งาน และด้วยพารามิเตอร์

ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา Unified State Exam เวอร์ชันต่างๆ ได้เสนองานที่มีพารามิเตอร์ วิธีแก้ปัญหาของพวกเขามักจะทำให้เกิดปัญหาบางอย่าง เมื่อแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์พร้อมกับวิธีอื่นคุณสามารถใช้วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนได้อย่างมีประสิทธิภาพ เป็นวิธีนี้ที่ช่วยให้คุณลดความซับซ้อนของการแก้ปัญหาและรับคำตอบได้อย่างรวดเร็ว

ภารกิจที่ 3 พิจารณาว่าค่าของพารามิเตอร์คืออะไร กสมการ 2 เอ็กซ์ 3 – 3 เอ็กซ์ 2 – 36 เอ็กซ์ + ก – 3 = 0 มีสองรากพอดี

สารละลาย. 1 วิธี. การใช้อนุพันธ์

ลองแสดงสมการนี้ในรูปแบบของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน

2x3 – 3 เอ็กซ์ 2 – 36 เอ็กซ์ – 3 = – ก .

ฉ (x) = 2x 3 – 3 เอ็กซ์ 2 – 36 เอ็กซ์– 3 และ φ( เอ็กซ์ ) = – ก .

มาสำรวจฟังก์ชันกันดีกว่าฉ (x) = 2x 3 – 3 เอ็กซ์ 2 – 36 เอ็กซ์ – 3 โดยใช้อนุพันธ์และสร้างกราฟตามแผนผัง (รูปที่ 1)

ฉ( – x )ฉ (x ) , ฉ (– x ) – ฉ (x ). ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่

3. มาหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันกัน, ช่วงของการเพิ่มขึ้นและการลดลง, สุดขั้ว ฉ / (x ) = 6 x 2 – 6 เอ็กซ์ – 36. ดี (ฉ / ) = ร ดังนั้นเราจะค้นหาจุดวิกฤตทั้งหมดของฟังก์ชันโดยการแก้สมการ ฉ / (x ) = 0 .

6(เอ็กซ์ 2 – เอ็กซ์– 6) = 0 ,

เอ็กซ์ 2 – เอ็กซ์– 6 = 0 ,

เอ็กซ์ 1 = 3 , เอ็กซ์ 2 = – 2 โดยทฤษฎีบทผกผันกับทฤษฎีบทของเวียตา

ฉ / (x ) = 6(เอ็กซ์ – 3)(เอ็กซ์ + 2).

+ สูงสุด - นาที +

2 3 x

ฉ / (x) > 0 สำหรับทุกคน เอ็กซ์< – 2 และ เอ็กซ์ > 3 และฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดx=– 2 และ เอ็กซ์ = 3 ดังนั้นจึงเพิ่มขึ้นในแต่ละช่วง (- - - 2] และ [ 3 ; ).

ฉ / (x ) < 0 ที่ - 2 < เอ็กซ์< 3 จึงลดลงตามช่วง [- 2; 3 ].

เอ็กซ์ = - จุดสูงสุดอันดับที่ 2 เพราะ ณ จุดนี้สัญญาณของอนุพันธ์เปลี่ยนแปลงจาก"+" ถึง "-"

ฉ (– 2) = 2· (– 8) – 3·4 – 36·(– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x= 3 จุดต่ำสุด เนื่องจาก ณ จุดนี้ สัญญาณของการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์"-" ถึง "+"

ฉ (3) = 2·27 – 3·9 – 36·3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84

กราฟของฟังก์ชัน φ(เอ็กซ์ ) = – ก เป็นเส้นตรงขนานกับแกน x และผ่านจุดด้วยพิกัด (0; – ก - กราฟมีจุดร่วมสองจุดที่ –ก= 41 เช่น ก =– 41 และ – ก= – 84 เช่น ก = 84 .

ที่

41φ( เอ็กซ์)

2 3 เอ็กซ์

3 ฉ ( x ) = 2x3 – 3 เอ็กซ์ 2 – 36 เอ็กซ์ – 3

วิธีที่ 2 วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ระบุรายละเอียด

เนื่องจากตามเงื่อนไขของปัญหา สมการนี้จะต้องมีรากเพียงสองรากเท่านั้น ความเท่าเทียมกันจึงชัดเจน:

2เอ็กซ์ 3 – 3 เอ็กซ์ 2 – 36 เอ็กซ์ + ก – 3 = (x + ข ) 2 (2 x + ค ) ,

2เอ็กซ์ 3 – 3 เอ็กซ์ 2 – 36 เอ็กซ์ + ก – 3 = 2 x 3 + (4 ข + ค ) x 2 + (2 ข 2 + +2 ก่อนคริสต์ศักราช ) x + ข 2 ค ,

ตอนนี้เท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่องศาเดียวกัน เอ็กซ์เราได้รับระบบสมการ

4 ข + ค = - 3

2ข 2 + 2พ.ศ. = - 36

ข 2 ค = ก – 3 .

จากสมการสองตัวแรกของระบบที่เราพบข 2 + ข – 6 = 0 ดังนั้น ข 1 = - 3 หรือ ข 2 = 2 . ค่าที่สอดคล้องกันกับ 1 และ กับ 2 หาได้ง่ายจากสมการแรกของระบบ:กับ 1 = 9 หรือ กับ 2 = - 11 . สุดท้าย ค่าที่ต้องการของพารามิเตอร์สามารถกำหนดได้จากสมการสุดท้ายของระบบ:

ก = ข 2 ค + 3 , ก 1 = - 41 หรือ ก 2 = 84.

คำตอบ: สมการนี้มีความแตกต่างกันสองประการ

รูทที่ ก= - 41 และ ก= 84 .

ภารกิจที่ 4 ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของพารามิเตอร์ก ซึ่งสำหรับสมการนั้นเอ็กซ์ 3 + 5 เอ็กซ์ 2 + โอ้ + ข = 0

ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มจะมีรากที่แตกต่างกันสามราก ซึ่งหนึ่งในนั้นมีค่าเท่ากับ – 2

สารละลาย. 1 วิธี. การทดแทน เอ็กซ์= - 2 ทางด้านซ้ายของสมการ เราได้

8 + 20 – 2 ก + ข= 0 ซึ่งหมายความว่า ข = 2 ก – 12 .

เนื่องจากตัวเลข - 2 เป็นราก เราจึงสามารถดึงตัวประกอบร่วมออกมาได้ เอ็กซ์ + 2:

เอ็กซ์ 3 + 5 เอ็กซ์ 2 + โอ้ + ข = เอ็กซ์ 3 + 2 เอ็กซ์ 2 + 3 เอ็กซ์ 2 + โอ้ + (2 ก – 12) =

= x 2 (เอ็กซ์ + 2) + 3 x (เอ็กซ์ + 2) – 6 x + โอ้ + (2 ก – 12) =

= x 2 (เอ็กซ์ + 2) + 3 x (เอ็กซ์ + 2) + (ก – 6)(x +2) - 2(ก – 6)+ (2 ก – 12) =

= (เอ็กซ์ + 2)(เอ็กซ์ 2 + 3 x + (ก – 6) ) .

ตามเงื่อนไข จะมีรากของสมการอีกสองราก ซึ่งหมายความว่าการแบ่งแยกปัจจัยที่สองนั้นเป็นค่าบวก

ดี =3 2 - 4 (ก – 6) = 33 – 4 ก > 0 นั่นคือ ก < 8,25 .

ดูเหมือนว่าคำตอบจะเป็น ก = 8. แต่เมื่อเราแทนเลข 8 ลงในสมการดั้งเดิม เราจะได้:

เอ็กซ์ 3 + 5 เอ็กซ์ 2 + โอ้ + ข = เอ็กซ์ 3 + 5 เอ็กซ์ 2 + 8 เอ็กซ์ + 4 = (เอ็กซ์ + 2)(เอ็กซ์ 2 + 3 x + 2 ) =

= (เอ็กซ์ + 1) (เอ็กซ์ + 2) 2 ,

นั่นคือสมการมีเพียงสองรากที่แตกต่างกัน แต่เมื่อไร ก =จริงๆ แล้ว 7 ให้กำเนิดรากที่แตกต่างกันสามแบบ

วิธีที่ 2 วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ระบุรายละเอียด

ถ้าสมการ เอ็กซ์ 3 + 5 เอ็กซ์ 2 + โอ้ + ข = 0 มีราก เอ็กซ์ = - 2 คุณก็สามารถเลือกตัวเลขได้ตลอดเวลาค และ ง เพื่อว่าต่อหน้าทุกคนเอ็กซ์ ความเท่าเทียมกันเป็นจริง

เอ็กซ์ 3 + 5 เอ็กซ์ 2 + โอ้ + ข = (เอ็กซ์ + 2)(เอ็กซ์ 2 + กับ x + ง ).

เพื่อค้นหาตัวเลขค และ ง ลองเปิดวงเล็บทางด้านขวา เพิ่มคำที่คล้ายกันแล้วได้

เอ็กซ์ 3 + 5 เอ็กซ์ 2 + โอ้ + ข = เอ็กซ์ 3 + (2 + กับ ) เอ็กซ์ 2 +(2 ส + ง ) เอ็กซ์ + 2 ง

การเท่ากันค่าสัมประสิทธิ์ที่กำลังที่สอดคล้องกัน เอ็กซ์เรามีระบบ

2 + กับ = 5

2 กับ + ง = ก

2 ง = ข , ที่ไหน ค = 3 .

เพราะฉะนั้น, เอ็กซ์ 2 + 3 x + ง = 0 , ดี = 9 – 4 ง > 0 หรือ

ง < 2.25 น ง (- ; 2 ].

เงื่อนไขของปัญหาเป็นไปตามค่า ง = 1. ค่าสุดท้ายของพารามิเตอร์ที่ต้องการก = 7.

คำตอบ: เมื่อไหร่ ก = 7 สมการนี้มีรากที่แตกต่างกันสามราก

2.3. การแก้สมการ

“จำไว้ว่าโดยการแก้ปัญหาเล็กๆ น้อยๆ คุณ

เตรียมตัวรับมือกับเรื่องใหญ่และยากลำบาก

งานใหม่”

นักวิชาการ S.L. Sobolev

เมื่อแก้สมการบางอย่าง คุณสามารถและควรแสดงความมีไหวพริบและความเฉลียวฉลาด และใช้เทคนิคพิเศษ ความชำนาญในเทคนิคการเปลี่ยนแปลงที่หลากหลายและความสามารถในการให้เหตุผลเชิงตรรกะมีความสำคัญอย่างยิ่งในวิชาคณิตศาสตร์ หนึ่งในเทคนิคเหล่านี้คือการบวกและลบนิพจน์หรือตัวเลขที่เลือกสรรมาอย่างดี แน่นอนว่าข้อเท็จจริงดังกล่าวนั้นเป็นที่รู้จักกันดีสำหรับทุกคน - ปัญหาหลักคือการเห็นการเปลี่ยนแปลงของสมการในการกำหนดค่าเฉพาะซึ่งสะดวกและสะดวกในการนำไปใช้

เมื่อใช้สมการพีชคณิตอย่างง่าย เราจะแสดงเทคนิคที่ไม่เป็นมาตรฐานในการแก้สมการ

ปัญหาที่ 5. แก้สมการ

=
.

สารละลาย. ลองคูณทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย 5 แล้วเขียนใหม่ดังนี้

= 0 ; เอ็กซ์ 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 หรือ
= 0

ให้เราแก้สมการผลลัพธ์ด้วยวิธีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้

เอ็กซ์ 4 - เอ็กซ์ 3 –7 เอ็กซ์ – 3 = (เอ็กซ์ 2 + อา + ข )(x 2 + ซีเอ็กซ์ + ง ) = 0

เอ็กซ์ 4 - เอ็กซ์ 3 –7 เอ็กซ์ – 3 = เอ็กซ์ 4 + (ก + ค ) เอ็กซ์ 3 + (ข + ก ค + ง ) เอ็กซ์ 2 + (โฆษณา + ก่อนคริสต์ศักราช ) เอ็กซ์+ + ข

การเทียบสัมประสิทธิ์ที่ เอ็กซ์ 3 , เอ็กซ์ 2 , เอ็กซ์และเงื่อนไขฟรีเราก็ได้ระบบ

ก + ค = -1

ข + ก ค + ง = 0

โฆษณา + ก่อนคริสต์ศักราช = -7

ข = -3 จากที่เราพบ:ก = -2 ; ข = - 1 ;

กับ = 1 ; ง = 3 .

ดังนั้น เอ็กซ์ 4 - เอ็กซ์ 3 –7เอ็กซ์– 3 = (เอ็กซ์ 2 – 2 เอ็กซ์ – 1)(เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 3) = 0 ,

เอ็กซ์ 2 – 2 เอ็กซ์– 1 = 0 หรือ เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 3 = 0

เอ็กซ์ 1,2 =
ไม่มีราก

ในทำนองเดียวกันเรามี

เอ็กซ์ 4 – 12เอ็กซ์ – 5 = (เอ็กซ์ 2 – 2 เอ็กซ์ – 1)(เอ็กซ์ 2 + 2เอ็กซ์ + 5) = 0 ,

ที่ไหน เอ็กซ์ 2 + 2 เอ็กซ์ + 5 = 0 , ดี = - 16 < 0 , нет корней.

คำตอบ: เอ็กซ์ 1,2 =

ปัญหาที่ 6. แก้สมการ

= 10.

สารละลาย. ในการแก้สมการนี้ คุณต้องเลือกตัวเลขกและ ข เพื่อให้ตัวเศษของเศษส่วนทั้งสองเท่ากัน ดังนั้นเราจึงมีระบบ:

= 0 , เอ็กซ์ 0; -1 ; -

= - 10

ดังนั้นภารกิจคือการหาตัวเลขกและ ข , ซึ่งมีความเท่าเทียมกัน

(+ 6) เอ็กซ์ 2 + อา – 5 = เอ็กซ์ 2 + (5 + 2 ข ) x + ข

ทีนี้ ตามทฤษฎีบทเรื่องความเท่าเทียมกันของพหุนาม ด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้จะต้องกลายเป็นพหุนามเดียวกันกับที่อยู่ทางด้านซ้าย

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสัมพันธ์จะต้องได้รับการตอบสนอง

+ 6 = 1

ก = 5 + 2 ข

– 5 = ข จากที่เราหาค่าต่างๆก = - 5 ;

ข = - 5 .

ที่คุณค่าเหล่านี้กและ ข ความเท่าเทียมกัน ก + ข = - 10 ก็ยุติธรรมเช่นกัน

= 0 , เอ็กซ์ 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(เอ็กซ์ 2 – 5เอ็กซ์– 5)(เอ็กซ์ 2 + 3เอ็กซ์ + 1) = 0 ,

เอ็กซ์ 2 – 5เอ็กซ์– 5 = 0 หรือ เอ็กซ์ 2 + 3เอ็กซ์ + 1 = 0 ,

เอ็กซ์ 1,2 =
, เอ็กซ์ 3,4 =

คำตอบ: เอ็กซ์ 1,2 =
, เอ็กซ์ 3,4 =

ปัญหาที่ 7. แก้สมการ

= 4

สารละลาย. สมการนี้ซับซ้อนกว่าสมการก่อนหน้า ดังนั้นเราจะจัดกลุ่มดังนี้: เอ็กซ์ 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

จากเงื่อนไขความเท่าเทียมกันของพหุนามสองตัว

โอ้ 2 + (+ 6) เอ็กซ์ + 12 = เอ็กซ์ 2 + (ข + 11) x – 3 ข ,

เราได้รับและแก้ระบบสมการสำหรับสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักกและ ข :

ก = 1

+ 6 = ข + 11

12 = – 3 ข , ที่ไหน ก = 1 , ข = - 4 .

พหุนาม - 3 – 6เอ็กซ์ + ซีเอ็กซ์ 2 + 8 ซีเอ็กซ์และ เอ็กซ์ 2 + 21 + 12 ง – ดีเอ็กซ์ จะเท่ากันก็ต่อเมื่อเท่านั้น

กับ = 1

8 กับ - 6 = - ง

3 = 21 + 12 ง , กับ = 1 , ง = - 2 .

ด้วยคุณค่าก = 1 , ข = - 4 , กับ = 1 , ง = - 2

ความเท่าเทียมกัน
= - 4 ถูก

เป็นผลให้สมการนี้อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

= 0 หรือ
= 0 หรือ
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

จากตัวอย่างที่พิจารณา เป็นที่ชัดเจนว่าการใช้วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนมีความชำนาญเพียงใด

ช่วยลดความซับซ้อนของการแก้สมการที่ค่อนข้างซับซ้อนและผิดปกติ

2.4. สมการฟังก์ชัน

“จุดประสงค์สูงสุดของคณิตศาสตร์...คือ

คือการค้นหาลำดับที่ซ่อนอยู่ใน

ความวุ่นวายที่อยู่รอบตัวเรา"

เอ็น. วิเนอร์

สมการเชิงฟังก์ชันเป็นคลาสสมการทั่วไปที่ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักนั้นเป็นฟังก์ชันบางอย่าง สมการเชิงฟังก์ชันในความหมายแคบของคำนั้น เข้าใจว่าเป็นสมการที่ฟังก์ชันที่ต้องการเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันที่ทราบของตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปโดยใช้การดำเนินการสร้างฟังก์ชันที่ซับซ้อน สมการเชิงฟังก์ชันยังถือได้ว่าเป็นนิพจน์ของคุณสมบัติที่แสดงถึงลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันอีกด้วย

[เช่น สมการเชิงฟังก์ชัน ฉ ( x ) = ฉ (- x ) แสดงลักษณะของคลาสของฟังก์ชันคู่ ซึ่งก็คือสมการเชิงฟังก์ชันฉ (x + 1) = ฉ (x ) – คลาสของฟังก์ชันที่มีคาบ 1 เป็นต้น].

สมการเชิงฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดประการหนึ่งคือสมการฉ (x + ย ) = ฉ (x ) + ฉ (ย - ผลเฉลยต่อเนื่องของสมการฟังก์ชันนี้มีรูปแบบ

ฉ (x ) = คx . อย่างไรก็ตาม ในระดับของฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง สมการเชิงฟังก์ชันนี้มีวิธีแก้อื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงฟังก์ชันที่พิจารณาได้แก่

ฉ (x + ย ) = ฉ (x ) · ฉ (ย ), ฉ (x ย ) = ฉ (x ) + ฉ (ย ), ฉ (x ย ) = ฉ (x )· ฉ (ย ),

การแก้ปัญหาแบบต่อเนื่องซึ่งมีรูปแบบตามลำดับ

จ ซีเอ็กซ์ , กับlnx , x α (x > 0).

ดังนั้นสมการเชิงฟังก์ชันเหล่านี้สามารถใช้เพื่อกำหนดฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลอการิทึม และกำลังได้

สมการที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดคือสมการในฟังก์ชันที่ซับซ้อนซึ่งฟังก์ชันที่ต้องการคือฟังก์ชันภายนอก การประยุกต์ทางทฤษฎีและปฏิบัติ

สมการเหล่านี้เองที่ทำให้นักคณิตศาสตร์ที่มีความโดดเด่นมาศึกษาพวกมัน

ตัวอย่างเช่น ที่การจัดตำแหน่ง

ฉ 2 (x) = ฉ (x - ย)· ฉ (x + ย)

เอ็น.ไอ.โลบาเชฟสกีใช้ในการกำหนดมุมของความขนานในเรขาคณิตของฉัน

ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา มักมีการเสนอปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการแก้สมการเชิงฟังก์ชันในการแข่งขันโอลิมปิกทางคณิตศาสตร์ การแก้ปัญหาของพวกเขาไม่จำเป็นต้องมีความรู้นอกเหนือขอบเขตของหลักสูตรคณิตศาสตร์ในโรงเรียนมัธยมศึกษา อย่างไรก็ตาม การแก้สมการเชิงฟังก์ชันมักทำให้เกิดปัญหาบางประการ

วิธีหนึ่งในการหาคำตอบของสมการเชิงฟังก์ชันคือวิธีหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน สามารถใช้เมื่อสามารถกำหนดรูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันที่ต้องการได้จากลักษณะของสมการ ประการแรก สิ่งนี้ใช้กับกรณีที่ควรจะหาคำตอบของสมการระหว่างฟังก์ชันจำนวนเต็มหรือเศษส่วน

ให้เราสรุปสาระสำคัญของเทคนิคนี้โดยการแก้ปัญหาต่อไปนี้

ภารกิจที่ 8 ฟังก์ชั่นฉ (x ) ถูกกำหนดไว้สำหรับ x จริงทั้งหมดและตอบสนองสำหรับทุกคนเอ็กซ์ ร เงื่อนไข

3 ฉ(x) - 2 ฉ(1- x) = x 2 .

หาฉ (x ).

สารละลาย. เนื่องจากทางด้านซ้ายของสมการนี้เหนือตัวแปรอิสระ x และค่าของฟังก์ชันฉ ดำเนินการเฉพาะการดำเนินการเชิงเส้นเท่านั้น และทางด้านขวาของสมการคือฟังก์ชันกำลังสอง ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะถือว่าฟังก์ชันที่ต้องการนั้นเป็นกำลังสองเช่นกัน:

ฉ (เอ็กซ์) = ขวาน 2 + บีเอ็กซ์ + ค , ที่ไหนก, ข, ค – ค่าสัมประสิทธิ์ที่จะหา ได้แก่ ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน

เมื่อแทนฟังก์ชันลงในสมการ เราก็ได้อัตลักษณ์:

3(ขวาน 2 + บีเอ็กซ์+ค) – 2(ก(1 – x) 2 + ข(1 – x) + ค) = x 2 .

ขวาน 2 + (5 ข + 4 ก) x + (ค – 2 ก – 2 ข) = x 2 .

พหุนามสองตัวจะเท่ากันหากเท่ากัน

ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังเท่ากันของตัวแปร:

ก = 1

5ข + 4ก = 0

ค– 2 ก – 2 ข = 0.

จากระบบนี้เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์

ก = 1 , ข = - , ค = , อีกด้วยพอใจความเท่าเทียมกัน

3 ฉ (x ) - 2 ฉ (1- x ) = x 2 บนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ในขณะเดียวกันก็มีเช่นนี้x 0 ภารกิจที่ 9 ฟังก์ชั่นย =ฉ(x) สำหรับ x ทั้งหมดถูกกำหนดไว้ ต่อเนื่อง และเป็นไปตามเงื่อนไขฉ (ฉ (x)) – ฉ(x) = 1 + 2 x . ค้นหาฟังก์ชันดังกล่าวสองฟังก์ชัน

สารละลาย. มีการดำเนินการสองอย่างกับฟังก์ชันที่ต้องการ - การดำเนินการเขียนฟังก์ชันที่ซับซ้อนและ

การลบ เมื่อพิจารณาว่าด้านขวาของสมการคือฟังก์ชันเชิงเส้น จึงเป็นเรื่องปกติที่จะถือว่าฟังก์ชันที่ต้องการนั้นเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นด้วย:ฉ(x) = อา +ข , ที่ไหนก และข – ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน การแทนที่ฟังก์ชันนี้ลงในฉ (ฉ ( (x ) = - เอ็กซ์ - 1 ;

ฉ 2 (x ) = 2 เอ็กซ์+ ซึ่งเป็นคำตอบของสมการเชิงฟังก์ชันฉ (ฉ (x)) – ฉ(x) = 1 + 2 x .

บทสรุป.

โดยสรุปควรสังเกตว่างานนี้มีส่วนช่วยในการศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการดั้งเดิมและมีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายซึ่งเป็นปัญหาที่ยากขึ้นและต้องใช้ความรู้เชิงลึกเกี่ยวกับหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนและตรรกะสูง วัฒนธรรม ใครก็ตามที่ต้องการเพิ่มพูนความรู้ทางคณิตศาสตร์อย่างอิสระจะพบว่างานนี้ประกอบด้วยเนื้อหาสำหรับการไตร่ตรองและงานที่น่าสนใจซึ่งวิธีแก้ปัญหาจะนำมาซึ่งประโยชน์และความพึงพอใจ

งานนี้ภายใต้กรอบของหลักสูตรของโรงเรียนที่มีอยู่และในรูปแบบที่สามารถเข้าถึงได้เพื่อการรับรู้ที่มีประสิทธิภาพ ได้กำหนดวิธีการของสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน ซึ่งจะช่วยให้หลักสูตรของโรงเรียนลึกซึ้งยิ่งขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์

แน่นอนว่าความเป็นไปได้ทั้งหมดของวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนไม่สามารถแสดงให้เห็นได้ในงานชิ้นเดียว ซึ่งแท้จริงแล้ววิธีการดังกล่าวยังต้องมีการศึกษาและวิจัยเพิ่มเติมอีกด้วย

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

Glazer G.I.ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ในโรงเรียน-ม.: การศึกษา, 2526.

โกโมโนฟ เอส.เอ. สมการเชิงฟังก์ชันในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน // คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน – 2000. -№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.H.. คู่มือคณิตศาสตร์ - M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G. สมการพีชคณิตขององศาโดยพลการ - M.: Nauka, 1983

Likhtarnikov L.M. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับสมการเชิงฟังก์ชัน – เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก : ลาน, 1997.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G.. พจนานุกรมอธิบายคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ -M.: การศึกษา, 1971

Modenov V.P. คู่มือคณิตศาสตร์ ตอนที่ 1.-M.: มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก, 2520

Modenov V.P. ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ - M.: การสอบ, 2549

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I.. พีชคณิตและการวิเคราะห์ฟังก์ชันเบื้องต้น - M.: Nauka, 1980

Khaliullin A.A. แก้ได้ง่ายขึ้น // คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน – 2003 . - №8 .

คาลิอุลลิน.

4. ขยายพหุนาม 2เอ็กซ์ 4 – 5เอ็กซ์ 3 + 9เอ็กซ์ 2 – 5เอ็กซ์+ 3 สำหรับตัวคูณที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

5. มีมูลค่าเท่าไร ก เอ็กซ์ 3 + 6เอ็กซ์ 2 + โอ้+12 ต่อ เอ็กซ์+ 4 ?

6. มีค่าพารามิเตอร์เท่าใดก สมการเอ็กซ์ 3 +5 เอ็กซ์ 2 + + โอ้ + ข = 0 โดยมีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มจะมีรากที่แตกต่างกัน 2 ราก โดยรากหนึ่งคือ 1 ?

7. ท่ามกลางรากของพหุนาม เอ็กซ์ 4 + เอ็กซ์ 3 – 18เอ็กซ์ 2 + โอ้ + ข ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม จะมีจำนวนเต็มเท่ากันสามจำนวน หาค่า ข .

8. ค้นหาค่าจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดของพารามิเตอร์ เอ,ซึ่งสมการนั้น เอ็กซ์ 3 – 8เอ็กซ์ 2 + อา +ข = 0 โดยมีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มจะมีรากที่แตกต่างกัน 3 แบบ โดยรากหนึ่งมีค่าเท่ากับ 2

9.มีค่าอะไร กและ ข การหารจะดำเนินการโดยไม่มีเศษ เอ็กซ์ 4 + 3เอ็กซ์ 3 – 2เอ็กซ์ 2 + โอ้ + ข บน เอ็กซ์ 2 – 3เอ็กซ์ + 2 ?

10. พหุนามตัวประกอบ:

ก)เอ็กซ์ 4 + 2 เอ็กซ์ 2 – เอ็กซ์ + 2 วี)เอ็กซ์ 4 – 4เอ็กซ์ 3 +9เอ็กซ์ 2 –8เอ็กซ์ + 5 ง)เอ็กซ์ 4 + 12เอ็กซ์ – 5

ข)เอ็กซ์ 4 + 3เอ็กซ์ 2 + 2เอ็กซ์ + 3 ช)เอ็กซ์ 4 – 3เอ็กซ์ –2 จ)เอ็กซ์ 4 – 7เอ็กซ์ 2 + 1 .

11. แก้สมการ:

ก)
= 2 = 2 ฉ (1 – เอ็กซ์ ) = เอ็กซ์ 2 .

หา ฉ (เอ็กซ์) .

13. ฟังก์ชั่น ที่= ฉ (เอ็กซ์) ต่อหน้าทุกคน เอ็กซ์กำหนด ต่อเนื่อง และเป็นไปตามเงื่อนไข ฉ ( ฉ (เอ็กซ์)) = ฉ (เอ็กซ์) + เอ็กซ์ค้นหาฟังก์ชันดังกล่าวสองฟังก์ชัน

บริการนี้ออกแบบมาเพื่อสลายเศษส่วนของแบบฟอร์ม:

สำหรับผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย บริการนี้จะมีประโยชน์ในการแก้ปริพันธ์ ดูตัวอย่าง

คำแนะนำ. ป้อนตัวเศษและส่วนของเศษส่วน คลิกปุ่มแก้ปัญหา

เมื่อออกแบบเป็นตัวแปร ให้ใช้ x t z u p แล

บันทึก:ตัวอย่างเช่น x 2 เขียนเป็น x^2, (x-2) 3 เขียนเป็น (x-2)^3 ระหว่างปัจจัยที่เราใส่เครื่องหมายคูณ (*)

กฎสำหรับการเข้าฟังก์ชั่น

ฟิลด์นี้มีไว้สำหรับป้อนตัวเศษของนิพจน์
ต้องนำตัวแปรทั่วไป x ออกจากวงเล็บก่อน ตัวอย่างเช่น x 3 + x = x(x 2 + 1) หรือ x 3 - 5x 2 + 6x = x(x 2 - 5x + 6) = x(x-3)(x-2)

กฎสำหรับการเข้าฟังก์ชั่น

ช่องนี้มีไว้สำหรับป้อนตัวส่วนของนิพจน์ เช่น x 2 เขียนเป็น x^2, (x-2) 3 เขียนเป็น (x-2)^3 ระหว่างปัจจัยที่เราใส่เครื่องหมายคูณ (*)
ต้องนำตัวแปรทั่วไป x ออกจากวงเล็บก่อน ตัวอย่างเช่น x 3 + x = x(x 2 + 1) หรือ x 3 - 5x 2 + 6x = x(x 2 - 5x + 6) = x(x-3)(x-2)

อัลกอริทึมสำหรับวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน

1. แยกตัวประกอบตัวส่วน.
2. การสลายตัวของเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้
3. การจัดกลุ่มตัวเศษที่มีกำลังเท่ากันของ x
4. การได้รับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่ทราบแน่ชัดซึ่งไม่ทราบแน่ชัด
5. คำตอบของ SLAE: วิธีแครเมอร์ วิธีเกาส์ วิธีเมทริกซ์ผกผัน หรือวิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบ

ตัวอย่าง. เราใช้วิธีย่อยสลายให้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุด มาแบ่งฟังก์ชันออกเป็นเงื่อนไขที่ง่ายที่สุด:


ให้เราถือเอาตัวเศษและพิจารณาว่าสัมประสิทธิ์ที่มีกำลังเท่ากัน เอ็กซ์ยืนซ้ายและขวาต้องตรงกัน
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
เอ+บี=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A -2B + C + 4D = 0
เมื่อแก้ไขแล้วเราจะพบว่า:
ก = 1/16 ;B = - 1/9 ;C = - 5/12 ;D = 7/144 ;

การบูรณาการฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ
วิธีสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน

เรายังคงทำงานเกี่ยวกับการอินทิเกรตเศษส่วนต่อไป เราได้ดูอินทิกรัลของเศษส่วนบางประเภทในบทเรียนแล้ว และบทเรียนนี้ในแง่หนึ่งก็ถือเป็นบทเรียนต่อเนื่องได้ เพื่อให้เข้าใจเนื้อหาได้สำเร็จ จำเป็นต้องมีทักษะบูรณาการขั้นพื้นฐาน ดังนั้นหากคุณเพิ่งเริ่มศึกษาอินทิกรัลนั่นคือคุณเป็นมือใหม่ คุณต้องเริ่มด้วยบทความ อินทิกรัลไม่ จำกัด ตัวอย่างการแก้ปัญหา .

น่าแปลกที่ตอนนี้เราไม่ได้มีส่วนร่วมในการหาอินทิกรัลมากนัก แต่... ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ในเรื่องนี้ อย่างเร่งด่วนฉันแนะนำให้เข้าร่วมบทเรียน กล่าวคือ คุณต้องเชี่ยวชาญวิธีการทดแทน (“วิธีโรงเรียน” และวิธีการบวก (ลบ) สมการของระบบแบบเทอมต่อเทอม)

ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนคืออะไร? พูดง่ายๆ ก็คือ ฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะคือเศษส่วนที่ตัวเศษและส่วนประกอบด้วยพหุนามหรือผลคูณของพหุนาม นอกจากนี้ เศษส่วนยังมีความซับซ้อนมากกว่าที่กล่าวถึงในบทความ การบูรณาการเศษส่วนบางส่วน .

การรวมฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะที่เหมาะสม

ทันทีตัวอย่างและอัลกอริทึมทั่วไปสำหรับการแก้อินทิกรัลของฟังก์ชันเศษส่วน - ตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 1

ขั้นตอนที่ 1สิ่งแรกที่เราทำเสมอเมื่อแก้อินทิกรัลของฟังก์ชันเศษส่วนคือชี้แจงคำถามต่อไปนี้: เศษส่วนเหมาะสมไหม?ขั้นตอนนี้ดำเนินการด้วยวาจา และตอนนี้ฉันจะอธิบายว่า:

ขั้นแรกเราดูที่ตัวเศษแล้วค้นหา ระดับสูงพหุนาม:

กำลังนำของตัวเศษคือสอง

ตอนนี้เราดูตัวส่วนแล้วหาคำตอบ ระดับสูงตัวส่วน วิธีที่ชัดเจนคือการเปิดวงเล็บและนำคำที่คล้ายกันมาใช้ แต่คุณสามารถทำได้ง่ายกว่านี้ แต่ละหาระดับสูงสุดในวงเล็บ

และคูณทางจิตใจ: - ดังนั้นระดับสูงสุดของตัวส่วนจึงเท่ากับสาม เห็นได้ชัดว่าถ้าเราเปิดวงเล็บจริงๆ เราจะไม่ได้ระดับที่มากกว่าสาม

บทสรุป: ดีกรีหลักของตัวเศษ อย่างเคร่งครัดน้อยกว่ากำลังสูงสุดของตัวส่วน ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนมีความเหมาะสม

หากในตัวอย่างนี้ ตัวเศษมีพหุนาม 3, 4, 5 เป็นต้น องศา แล้วเศษส่วนก็จะเท่ากับ ผิด.

ตอนนี้เราจะพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันเศษส่วนที่ถูกต้องเท่านั้น- เราจะพิจารณากรณีที่ระดับของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับระดับของตัวส่วนในตอนท้ายของบทเรียน

ขั้นตอนที่ 2ลองแยกตัวประกอบตัวส่วน. ลองดูตัวส่วนของเรา:

โดยทั่วไปแล้ว นี่เป็นผลงานของปัจจัยต่างๆ อยู่แล้ว แต่อย่างไรก็ตาม เราถามตัวเองว่า: เป็นไปได้ไหมที่จะขยายอย่างอื่นออกไป? เป้าหมายของการทรมานจะต้องเป็นกำลังสองอย่างไม่ต้องสงสัย การแก้สมการกำลังสอง:

ค่าจำแนกมีค่ามากกว่าศูนย์ ซึ่งหมายความว่าสามารถแยกตัวประกอบตรีโกณมิติได้จริง:

กฎทั่วไป: ทุกอย่างในตัวส่วนสามารถแยกตัวประกอบได้ - แยกตัวประกอบได้

มาเริ่มกำหนดวิธีแก้ปัญหากัน:

ขั้นตอนที่ 3โดยใช้วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน เราจะขยายปริพันธ์เป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย (ระดับประถมศึกษา) ตอนนี้มันจะชัดเจนขึ้น

ลองดูที่ฟังก์ชันปริพันธ์ของเรา:

และคุณรู้ไหม มีความคิดตามสัญชาตญาณปรากฏขึ้นมาว่า คงจะดีถ้าเปลี่ยนเศษส่วนมากให้กลายเป็นเศษส่วนเล็กๆ หลายอัน ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

คำถามเกิดขึ้น เป็นไปได้ไหมที่จะทำเช่นนี้? ให้เราถอนหายใจด้วยความโล่งอก ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่สอดคล้องกันของสถานะการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - มันเป็นไปได้ การสลายตัวดังกล่าวมีอยู่และมีลักษณะเฉพาะ.

มีเพียงสิ่งเดียวที่จับได้คือโอกาส ลาก่อนเราไม่รู้ จึงเป็นชื่อ – วิธีการของสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน

ดังที่คุณเดาไว้ การเคลื่อนไหวร่างกายในภายหลังเป็นแบบนั้น อย่าหัวเราะเยาะ! จะมุ่งเป้าไปที่การจดจำพวกเขา - เพื่อค้นหาว่าพวกเขามีค่าเท่ากับอะไร

ระวังผมจะอธิบายละเอียดเพียงครั้งเดียวเท่านั้น!

เรามาเริ่มเต้นรำกันตั้งแต่:

ทางด้านซ้ายเราลดนิพจน์ให้เป็นตัวส่วนร่วม:

ตอนนี้เราสามารถกำจัดตัวส่วนได้อย่างปลอดภัยแล้ว (เนื่องจากพวกมันเหมือนกัน):

ทางด้านซ้ายเราเปิดวงเล็บ แต่อย่าแตะค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักในตอนนี้:

ในเวลาเดียวกัน เรายังทวนกฎโรงเรียนเรื่องการคูณพหุนาม เมื่อฉันเป็นครู ฉันเรียนรู้ที่จะออกเสียงกฎนี้ด้วยสีหน้าตรง: เพื่อที่จะทวีคูณ พหุนามบน พหุนามคุณต้องคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละพจน์ของพหุนามอีกตัวหนึ่ง.

จากมุมมองของคำอธิบายที่ชัดเจน ควรใส่ค่าสัมประสิทธิ์ในวงเล็บจะดีกว่า (แม้ว่าโดยส่วนตัวแล้วฉันไม่เคยทำสิ่งนี้เพื่อประหยัดเวลา):

เราเขียนระบบสมการเชิงเส้น
ก่อนอื่นเรามองหาวุฒิการศึกษาระดับสูง:

และเราเขียนสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันลงในสมการแรกของระบบ:

จำประเด็นต่อไปนี้ให้ดี- จะเกิดอะไรขึ้นหากไม่มี s อยู่ทางด้านขวาเลย? สมมุติว่ามันจะโชว์โดยไม่มีกำลังสองเลยไหม? ในกรณีนี้ ในสมการของระบบ จำเป็นต้องใส่ศูนย์ทางด้านขวา: ทำไมเป็นศูนย์? แต่เนื่องจากทางด้านขวาคุณสามารถกำหนดกำลังสองเดียวกันนี้ด้วยศูนย์ได้เสมอ: หากทางด้านขวาไม่มีตัวแปรและ/หรือเทอมอิสระ เราจะใส่ศูนย์ทางด้านขวาของสมการที่สอดคล้องกันของระบบ

เราเขียนสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันลงในสมการที่สองของระบบ:

และสุดท้ายน้ำแร่เราคัดสรรสมาชิกฟรี

เอ่อ...ผมล้อเล่นนะ นอกเหนือจากเรื่องตลก - คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่จริงจัง ในกลุ่มสถาบันของเรา ไม่มีใครหัวเราะเมื่อรองศาสตราจารย์บอกว่าเธอจะกระจายสมาชิกไปทั่ว เส้นจำนวนและจะเลือกอันที่ใหญ่ที่สุด มาจริงจังกันเถอะ แม้ว่า... ใครก็ตามที่มีชีวิตอยู่เพื่อดูบทเรียนจบนี้จะยังคงยิ้มเงียบๆ

ระบบพร้อมแล้ว:

เราแก้ไขระบบ:

(1) จากสมการแรกเราแสดงและแทนที่มันลงในสมการที่ 2 และ 3 ของระบบ ในความเป็นจริง มันเป็นไปได้ที่จะแสดง (หรือตัวอักษรอื่น) จากสมการอื่น แต่ในกรณีนี้ จะเป็นประโยชน์ที่จะแสดงจากสมการที่ 1 เนื่องจากมี อัตราต่อรองที่เล็กที่สุด.

(2) เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในสมการที่ 2 และ 3

(3) เราบวกสมการที่ 2 และ 3 ทีละเทอม จะได้ความเท่าเทียมกัน ซึ่งตามมาว่า

(4) เราแทนลงในสมการที่สอง (หรือสาม) จากจุดที่เราพบสิ่งนั้น

(5) แทนค่าลงในสมการแรก จะได้

หากคุณมีปัญหากับวิธีการแก้ไขระบบ ให้ฝึกฝนในชั้นเรียน จะแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้อย่างไร?

หลังจากแก้ไขระบบแล้ว จะมีประโยชน์เสมอในการตรวจสอบ - ทดแทนค่าที่พบ ทั้งหมดสมการของระบบ ด้วยเหตุนี้ ทุกอย่างจึงควร "มาบรรจบกัน"

เกือบจะถึงแล้ว พบค่าสัมประสิทธิ์และ:

งานที่เสร็จแล้วควรมีลักษณะดังนี้:

อย่างที่คุณเห็น ปัญหาหลักของงานคือการเขียน (ถูกต้อง!) และแก้ระบบสมการเชิงเส้น (ถูกต้อง!) และในขั้นตอนสุดท้าย ทุกอย่างก็ไม่ใช่เรื่องยาก เราใช้คุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลไม่ จำกัด และอินทิเกรต โปรดทราบว่าภายใต้อินทิกรัลทั้งสามนี้ เรามีฟังก์ชันที่ซับซ้อน "ฟรี" ฉันได้พูดคุยเกี่ยวกับคุณลักษณะของการบูรณาการในบทเรียน วิธีการเปลี่ยนแปลงตัวแปรในอินทิกรัลไม่จำกัด .

ตรวจสอบ: แยกคำตอบ:

ได้รับฟังก์ชันอินทิกรัลดั้งเดิมแล้ว ซึ่งหมายความว่าพบอินทิกรัลอย่างถูกต้อง
ในระหว่างการตรวจสอบ เราต้องลดนิพจน์ให้เป็นตัวส่วนร่วม และนี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนและการลดนิพจน์ให้เหลือตัวส่วนร่วมนั้นเป็นการกระทำที่ผกผันร่วมกัน

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ลองกลับไปสู่เศษส่วนจากตัวอย่างแรก: - สังเกตได้ง่ายว่าในตัวส่วนปัจจัยทั้งหมดมีความแตกต่างกัน คำถามเกิดขึ้นว่าจะทำอย่างไรถ้าได้รับเศษส่วนต่อไปนี้: - ตรงนี้ เรามีองศาในตัวส่วน หรือทางคณิตศาสตร์ ทวีคูณ- นอกจากนี้ยังมีตรีโนเมียลกำลังสองที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ (ง่ายต่อการตรวจสอบว่าการแบ่งแยกสมการ เป็นลบ ดังนั้นจึงไม่สามารถแยกตัวประกอบตรีโกณมิติได้) จะทำอย่างไร? การขยายตัวเป็นผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้นจะมีลักษณะดังนี้ โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักอยู่ด้านบนหรืออย่างอื่น?

ตัวอย่างที่ 3

แนะนำฟังก์ชั่น

ขั้นตอนที่ 1ตรวจสอบว่าเรามีเศษส่วนถูกต้องหรือไม่
ตัวเศษหลัก: 2
ระดับสูงสุดของตัวส่วน: 8
ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนถูกต้อง

ขั้นตอนที่ 2เป็นไปได้ไหมที่จะแยกตัวประกอบบางอย่างในตัวส่วน? ไม่แน่นอน ทุกอย่างถูกจัดวางไว้แล้ว ไม่สามารถขยายตรีโกณมิติกำลังสองเป็นผลิตภัณฑ์ได้ด้วยเหตุผลที่ระบุไว้ข้างต้น เครื่องดูดควัน งานน้อยลง.

ขั้นตอนที่ 3ลองจินตนาการถึงฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้น
ในกรณีนี้ ส่วนขยายจะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

ลองดูตัวส่วนของเรา:
เมื่อแยกย่อยฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกศาสตร์เป็นผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้น สามารถแยกแยะจุดพื้นฐานได้สามจุด:

1) หากตัวส่วนมีปัจจัย "โดดเดี่ยว" ยกกำลังแรก (ในกรณีของเรา) เราจะใส่สัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนไว้ที่ด้านบน (ในกรณีของเรา) ตัวอย่างที่ 1, 2 ประกอบด้วยปัจจัย "โดดเดี่ยว" เท่านั้น

2) ถ้าตัวส่วนมี หลายรายการตัวคูณคุณต้องแยกย่อยดังนี้:
- นั่นคือผ่านระดับ "X" ทั้งหมดตามลำดับตั้งแต่ระดับแรกไปจนถึงระดับที่ n ในตัวอย่างของเรา มีสองปัจจัยหลายประการ: และ ลองดูส่วนขยายที่ฉันให้ไว้อีกครั้ง และตรวจสอบให้แน่ใจว่าส่วนขยายเหล่านั้นถูกขยายตามกฎนี้ทุกประการ

3) หากตัวส่วนมีพหุนามที่แยกไม่ออกของระดับที่สอง (ในกรณีของเรา) ดังนั้นเมื่อแยกย่อยในตัวเศษคุณจะต้องเขียนฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ (ในกรณีของเราที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ และ )

อันที่จริงยังมีกรณีที่ 4 อีก แต่ฉันจะเงียบเกี่ยวกับเรื่องนี้เนื่องจากในทางปฏิบัติมันหายากมาก

ตัวอย่างที่ 4

แนะนำฟังก์ชั่น เป็นผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้นที่ไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน
ปฏิบัติตามอัลกอริธึมอย่างเคร่งครัด!

หากคุณเข้าใจหลักการที่คุณต้องขยายฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะให้เป็นผลรวม คุณสามารถพิจารณาอินทิกรัลประเภทใดก็ได้ที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ขั้นตอนที่ 1แน่นอนว่าเศษส่วนนั้นถูกต้อง:

ขั้นตอนที่ 2เป็นไปได้ไหมที่จะแยกตัวประกอบบางอย่างในตัวส่วน? สามารถ. นี่คือผลรวมของลูกบาศก์ - แยกตัวประกอบตัวส่วนโดยใช้สูตรคูณแบบย่อ

ขั้นตอนที่ 3โดยใช้วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน เราจะขยายปริพันธ์เป็นผลรวมของเศษส่วนมูลฐาน:

โปรดทราบว่าพหุนามไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ (ตรวจสอบว่าตัวจำแนกประเภทเป็นลบ) ดังนั้นที่ด้านบน เราจึงใส่ฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก และไม่ใช่แค่ตัวอักษรตัวเดียว

เรานำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม:

มาเขียนและแก้ไขระบบกัน:

(1) เราแสดงจากสมการแรกและแทนที่มันลงในสมการที่สองของระบบ (นี่เป็นวิธีที่มีเหตุผลที่สุด)

(2) เรานำเสนอพจน์ที่คล้ายกันในสมการที่สอง

(3) เราบวกสมการที่สองและสามของเทอมของระบบทีละเทอม

โดยหลักการแล้วการคำนวณเพิ่มเติมทั้งหมดนั้นเป็นการคำนวณแบบปากเปล่า เนื่องจากระบบเป็นแบบง่าย

(1) เราเขียนผลรวมของเศษส่วนตามค่าสัมประสิทธิ์ที่พบ

(2) เราใช้คุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลไม่ จำกัด เกิดอะไรขึ้นในอินทิกรัลที่สอง? คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับวิธีนี้ได้ในย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียน การบูรณาการเศษส่วนบางส่วน .

(3) เราใช้คุณสมบัติของความเป็นเส้นตรงอีกครั้ง ในอินทิกรัลที่สาม เราเริ่มแยกกำลังสองทั้งหมด (ย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียน การบูรณาการเศษส่วนบางส่วน ).

(4) เราใช้อินทิกรัลตัวที่สอง ในส่วนที่สามเราเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์

(5) หาอินทิกรัลตัวที่สาม พร้อม.