เวกเตอร์− สะอาด แนวคิดทางคณิตศาสตร์ซึ่งใช้เฉพาะในวิชาฟิสิกส์หรืออื่นๆ วิทยาศาสตร์ประยุกต์และช่วยให้คุณแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อนได้ง่ายขึ้น
เวกเตอร์− กำกับส่วนตรง
ในการรู้ ฟิสิกส์เบื้องต้นเราต้องดำเนินการกับปริมาณสองประเภท - สเกลาร์และเวกเตอร์.
สเกลาร์ปริมาณ (สเกลาร์) คือปริมาณที่มีลักษณะเป็นค่าตัวเลขและเครื่องหมาย สเกลาร์มีความยาว − ล, มวล − ม, เส้นทาง - ส, เวลา - ที, อุณหภูมิ - ต, ค่าไฟฟ้า − ถาม, พลังงาน - ว, พิกัด ฯลฯ
ทั้งหมดใช้กับปริมาณสเกลาร์ การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต(บวก ลบ คูณ ฯลฯ)
ตัวอย่างที่ 1.
กำหนดประจุรวมของระบบซึ่งประกอบด้วยประจุที่รวมอยู่ในนั้น ถ้า q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC
ชาร์จเต็มระบบ
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C
ตัวอย่างที่ 2.
สำหรับ สมการกำลังสองใจดี
ขวาน 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac))
เวกเตอร์ปริมาณ (เวกเตอร์) คือปริมาณสำหรับการพิจารณาว่าจำเป็นต้องระบุนอกเหนือจากนั้น ค่าตัวเลขทิศทางก็เช่นกัน เวกเตอร์ − ความเร็ว โวลต์, ความแข็งแกร่ง เอฟแรงกระตุ้น พี, ความเครียด สนามไฟฟ้า อี, การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก บีฯลฯ
ค่าตัวเลขของเวกเตอร์ (โมดูลัส) แสดงด้วยตัวอักษรที่ไม่มีสัญลักษณ์เวกเตอร์ หรือเวกเตอร์ถูกล้อมรอบระหว่างแถบแนวตั้ง r = |r|.
กราฟิกเวกเตอร์แสดงด้วยลูกศร (รูปที่ 1)
ความยาวตามมาตราส่วนที่กำหนดจะเท่ากับขนาดของมัน และทิศทางเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของเวกเตอร์
เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันถ้าขนาดและทิศทางตรงกัน
ปริมาณเวกเตอร์จะถูกบวกในเชิงเรขาคณิต (ตามกฎของพีชคณิตเวกเตอร์)
การหาผลรวมเวกเตอร์จากเวกเตอร์องค์ประกอบที่กำหนดเรียกว่าการบวกเวกเตอร์
การบวกเวกเตอร์สองตัวจะดำเนินการตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือสามเหลี่ยม ผลรวมเวกเตอร์
ค = ก + ข
เท่ากับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ กและ ข- โมดูลมัน
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (รูปที่ 2) 
ที่ α = 90°, c = √(a 2 + b 2 ) คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส
เวกเตอร์ c เดียวกันสามารถหาได้โดยใช้กฎสามเหลี่ยมถ้าจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ กแยกเวกเตอร์ออกไป ข- เวกเตอร์ต่อท้าย c (เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ กและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ข) คือผลรวมเวกเตอร์ของเทอม (เวกเตอร์ส่วนประกอบ กและ ข).
เวกเตอร์ที่ได้จะพบว่าเป็นเส้นต่อท้ายของเส้นขาดซึ่งมีลิงก์เป็นเวกเตอร์ส่วนประกอบ (รูปที่ 3) 
ตัวอย่างที่ 3.
เพิ่มแรงสองตัว F 1 = 3 N และ F 2 = 4 N, เวกเตอร์ ฉ 1และ ฉ 2ทำมุม α 1 = 10° และ α 2 = 40° กับขอบฟ้า ตามลำดับ
ฉ = ฉ 1 + ฉ 2(รูปที่ 4) 
ผลของการบวกแรงทั้งสองนี้ทำให้เกิดแรงที่เรียกว่าแรงลัพธ์ เวกเตอร์ เอฟกำกับตามแนวทแยงของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ ฉ 1และ ฉ 2ทั้งสองด้าน และมีโมดูลัสเท่ากับความยาวของมัน
โมดูลเวกเตอร์ เอฟหาได้จากทฤษฎีบทโคไซน์
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1))
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) กลับไปยัง 6.8 H.
ถ้า
(α 2 − α 1) = 90° จากนั้น F = √(F 1 2 + F 2 2 )
มุมซึ่งเป็นเวกเตอร์ เอฟเท่ากับแกน Ox เราหาได้จากสูตร
α = อาร์คแทน((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2))
α = อาร์คแทน((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = อาร์กแทน0.51, α γ 0.47 rad
เส้นโครงของเวกเตอร์ a ลงบนแกน Ox (Oy) เป็นปริมาณสเกลาร์ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างทิศทางของเวกเตอร์ กและแกนวัว (Oy) (รูปที่ 5) 
การฉายภาพเวกเตอร์ กบนแกนวัวและออย ระบบสี่เหลี่ยมพิกัด (รูปที่ 6) 
เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการกำหนดสัญลักษณ์ของการฉายภาพเวกเตอร์บนแกน จึงควรจดจำ กฎถัดไป: ถ้าทิศทางของส่วนประกอบตรงกับทิศทางของแกน ดังนั้น เส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนนี้จะเป็นบวก แต่หากทิศทางขององค์ประกอบอยู่ตรงข้ามกับทิศทางของแกน ดังนั้น เส้นโครงของเวกเตอร์จะเป็น เชิงลบ. (รูปที่ 7) 
การลบเวกเตอร์คือการบวกเวกเตอร์เข้ากับเวกเตอร์แรกซึ่งมีตัวเลขเท่ากับเวกเตอร์ที่สองในทิศทางตรงกันข้าม
a − b = a + (−b) = d(รูปที่ 8) 
ปล่อยให้มันจำเป็นจากเวกเตอร์ กลบเวกเตอร์ ขความแตกต่างของพวกเขา − ง- หากต้องการหาผลต่างของเวกเตอร์สองตัว คุณต้องไปที่เวกเตอร์ กเพิ่มเวกเตอร์ ( −ข) นั่นคือเวกเตอร์ ง = ก - ขจะเป็นเวกเตอร์ที่กำกับจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ กถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ( −ข) (รูปที่ 9) 
ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ กและ ขทั้งสองด้านหนึ่งเส้นทแยงมุม คมีความหมายว่าผลรวมและอื่นๆ ง- ความแตกต่างของเวกเตอร์ กและ ข(รูปที่ 9)
ผลคูณของเวกเตอร์ กโดยสเกลาร์ k เท่ากับเวกเตอร์ ข= เค กโมดูลัสซึ่งมีมากกว่าโมดูลัสของเวกเตอร์ k เท่า กและทิศทางก็สอดคล้องกับทิศทาง กสำหรับค่าบวก k และค่าตรงข้ามสำหรับค่าลบ k
ตัวอย่างที่ 4.
หาโมเมนตัมของวัตถุที่มีน้ำหนัก 2 กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 5 เมตร/วินาที (รูปที่ 10) 
แรงกระตุ้นของร่างกาย พี= ม โวลต์- p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s และมุ่งไปทางความเร็ว โวลต์.
ตัวอย่างที่ 5.
ประจุ q = −7.5 nC วางอยู่ในสนามไฟฟ้าที่มีความแรง E = 400 V/m หาขนาดและทิศทางของแรงที่กระทำต่อประจุ
แรงก็คือ เอฟ= คิว อี- เนื่องจากประจุเป็นลบ เวกเตอร์แรงจึงมุ่งไปทาง ตรงข้ามกับเวกเตอร์ อี- (รูปที่ 11) 
แผนกเวกเตอร์ กด้วยสเกลาร์ k เท่ากับการคูณ กโดย 1/k
สินค้าดอทเวกเตอร์ กและ ขเรียกว่าสเกลาร์ "c" เท่ากับสินค้าโมดูลัสของเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
(ก.ข.) = (ข.ก.) = ค,
с = ab.cosα (รูปที่ 12) 
ตัวอย่างที่ 6.
หางาน แรงคงที่ F = 20 N หากการกระจัดคือ S = 7.5 m และมุม α ระหว่างแรงและการกระจัดคือ α = 120°
ตามนิยามแล้ว งานที่ทำโดยแรงจะเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของแรงและการกระจัด
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7.5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J
งานศิลปะของเว็กเตอร์เวกเตอร์ กและ ขเรียกว่าเวกเตอร์ ค, เป็นตัวเลขเท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์ a และ b คูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างพวกเขา:
ค = ก × ข = ,
с = ab × sinα
เวกเตอร์ คตั้งฉากกับระนาบที่เวกเตอร์อยู่ กและ ขและทิศทางของมันสัมพันธ์กับทิศทางของเวกเตอร์ กและ ขกฎของสกรูด้านขวา (รูปที่ 13) 
ตัวอย่างที่ 7.
จงหาแรงที่กระทำต่อตัวนำที่มีความยาว 0.2 ม. ในสนามแม่เหล็ก โดยมีการเหนี่ยวนำเป็น 5 T ถ้าความแรงของกระแสไฟฟ้าในตัวนำคือ 10 A และทำให้เกิดมุม α = 30° กับทิศทางของสนามแม่เหล็ก
กำลังแอมแปร์
dF = I = Idl × B หรือ F = I(l)∫(dl × B)
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0.2 ม. × 1/2 = 5 N
พิจารณาการแก้ปัญหา.
1. เวกเตอร์สองตัวถูกกำกับอย่างไร โดยโมดูลัสจะเหมือนกันและเท่ากับ a ถ้าโมดูลัสของผลรวมเท่ากับ: a) 0; ข) 2ก; ค) ก; ง) a√(2); จ) a√(3)?
สารละลาย.
ก) เวกเตอร์สองตัวถูกลากไปตามเส้นตรงเส้นเดียว ฝั่งตรงข้าม- ผลรวมของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นศูนย์ 
b) เวกเตอร์สองตัวมีทิศทางตามเส้นตรงเส้นเดียวในทิศทางเดียวกัน ผลรวมของเวกเตอร์พวกนี้คือ 2a 
ค) เวกเตอร์สองตัวมีทิศทำมุม 120° ซึ่งกันและกัน ผลรวมของเวกเตอร์คือ a พบเวกเตอร์ผลลัพธ์โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์: 
2 + a 2 + 2aacosα = 2 ,
cosα = −1/2 และ α = 120°
d) เวกเตอร์สองตัวมีทิศทำมุม 90° ซึ่งกันและกัน โมดูลัสของผลรวมเท่ากับ
ก 2 + ก 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 และ α = 90° 
จ) เวกเตอร์สองตัวมีทิศทางทำมุม 60° ซึ่งกันและกัน โมดูลัสของผลรวมเท่ากับ
ก 2 + ก 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 และ α = 60°
คำตอบ: มุม α ระหว่างเวกเตอร์เท่ากับ: a) 180°; ข) 0; ค) 120°; ง) 90°; จ) 60°
2. ถ้า ก = ก 1 + ก 2การวางแนวของเวกเตอร์ สิ่งที่สามารถพูดได้เกี่ยวกับการวางแนวร่วมกันของเวกเตอร์ 1และ 2, ถ้า: ก) ก = ก 1 + ก 2 ; ข) ก 2 = ก 1 2 + ก 2 2 ; c) a 1 + a 2 = a 1 − a 2?
สารละลาย.
ก) ถ้าผลรวมของเวกเตอร์ถูกพบเป็นผลรวมของโมดูลของเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์จะพุ่งไปตามเส้นตรงเส้นเดียวขนานกัน ก 1 || ก 2.
b) หากเวกเตอร์ถูกชี้ทิศทางเป็นมุมซึ่งกันและกัน จะพบผลรวมโดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน
1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 และ α = 90°
เวกเตอร์ตั้งฉากกัน ก 1 ⊥ ก 2.
ค) สภาพ ก 1 + ก 2 = ก 1 - ก 2สามารถดำเนินการได้ถ้า 2− เวกเตอร์ศูนย์ จากนั้น a 1 + a 2 = a 1
คำตอบ- ก) ก 1 || ก 2- ข) ก 1 ⊥ ก 2- วี) 2− เวกเตอร์ศูนย์
3. ใช้แรง 2 แรงครั้งละ 1.42 N ต่อจุดหนึ่งของร่างกายโดยทำมุม 60° ซึ่งกันและกัน แรงสองแรง 1.75 นิวตันแต่ละแรงถูกกระทำที่มุมใดที่จุดเดียวกันบนลำตัว เพื่อให้การกระทำของแรงเหล่านี้สมดุลกับการกระทำของแรงสองแรงแรก
สารละลาย.
ตามเงื่อนไขของปัญหา แรง 2 แรง 1.75 N ในแต่ละแรง 2 แรง 1.42 N สมดุลกัน ซึ่งเป็นไปได้หากโมดูลของเวกเตอร์ผลลัพธ์ของคู่แรงเท่ากัน เรากำหนดเวกเตอร์ผลลัพธ์โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน สำหรับแรงคู่แรก:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
สำหรับแรงคู่ที่สองตามลำดับ
ฉ 2 2 + ฉ 2 2 + 2F 2 ฉ 2 cosβ = ฉ 2 .
การทำให้ด้านซ้ายของสมการเท่ากัน
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
ลองหามุมที่ต้องการ β ระหว่างเวกเตอร์กัน
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2)
หลังจากการคำนวณ
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° − 2.1.752)/(2.1.752) = −0.0124,
เบต้า 90.7°
วิธีแก้ปัญหาที่สอง.
ลองพิจารณาการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนพิกัด OX (รูปที่) 
โดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างคู่สัญญาใน สามเหลี่ยมมุมฉากเราได้รับ
2F 1 คอส(α/2) = 2F 2 คอส(β/2),
ที่ไหน
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1.42/1.75) × cos(60/2) และ β data 90.7°
4. เวกเตอร์ ก = 3i - 4j- ปริมาณสเกลาร์ c สำหรับ |c ต้องเป็นเท่าใด ก| = 7,5?
สารละลาย.
ค ก= ค( 3i - 4j) = 7,5
โมดูลเวกเตอร์ กจะเท่ากัน
ก 2 = 3 2 + 4 2 และ a = ±5
แล้วจาก
ค.(±5) = 7.5,
มาหาสิ่งนั้นกัน
ค = ±1.5
5. เวกเตอร์ 1และ 2ออกจากจุดกำเนิดและมีพิกัดปลายคาร์ทีเซียน (6, 0) และ (1, 4) ตามลำดับ ค้นหาเวกเตอร์ 3เช่นนั้น: ก) 1 + 2 + 3= 0; ข) 1 − 2 + 3 = 0.
สารละลาย.
ลองพรรณนาเวกเตอร์ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (รูปที่) 
ก) เวกเตอร์ผลลัพธ์ตามแกน Ox คือ
ก x = 6 + 1 = 7
เวกเตอร์ผลลัพธ์ตามแนวแกน Oy คือ
ay = 4 + 0 = 4.
เพื่อให้ผลรวมของเวกเตอร์เท่ากับศูนย์ จำเป็นต้องเป็นไปตามเงื่อนไข
1 + 2 = −3.
เวกเตอร์ 3โมดูโล่จะเท่ากับเวกเตอร์ทั้งหมด ก 1 + ก 2แต่มุ่งไปในทิศทางตรงกันข้าม พิกัดปลายเวกเตอร์ 3เท่ากับ (−7, −4) และโมดูลัส
ก 3 = √(7 2 + 4 2) = 8.1
B) เวกเตอร์ผลลัพธ์ตามแกน Ox เท่ากับ
ax = 6 − 1 = 5,
และเวกเตอร์ผลลัพธ์ตามแนวแกน Oy
ay = 4 − 0 = 4
เมื่อตรงตามเงื่อนไข
1 − 2 = −3,
เวกเตอร์ 3จะมีพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ a x = –5 และ y = −4 และโมดูลัสของมันจะเท่ากับ
ก 3 = √(5 2 + 4 2) = 6.4
6. ผู้ส่งสารเดินไปทางเหนือ 30 ม. ไปทางทิศตะวันออก 25 ม. ไปทางทิศใต้ 12 ม. จากนั้นขึ้นลิฟต์ไปยังอาคารสูง 36 ม. ระยะทางที่เขาเดินทางและการกระจัด S คือเท่าใด ?
สารละลาย.
ให้เราบรรยายถึงสถานการณ์ที่อธิบายไว้ในปัญหาบนเครื่องบินในระดับใดก็ได้ (รูปที่) 
จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ โอเอมีพิกัด ทิศตะวันออก 25 ม. ทิศเหนือ 18 ม. และพิกัด 36 ขึ้นไป (25; 18; 36) ระยะทางที่บุคคลเดินทางได้เท่ากับ
L = 30 ม. + 25 ม. + 12 ม. +36 ม. = 103 ม.
ขนาดของเวกเตอร์การกระจัดสามารถพบได้โดยใช้สูตร
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
โดยที่ x o = 0, y o = 0, z o = 0
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47.4 (ม.)
คำตอบ: L = 103 ม., S = 47.4 ม.
7. มุม α ระหว่างเวกเตอร์สองตัว กและ ขเท่ากับ 60° กำหนดความยาวของเวกเตอร์ ค = ก + ขและมุม β ระหว่างเวกเตอร์ กและ ค- ขนาดของเวกเตอร์คือ a = 3.0 และ b = 2.0
สารละลาย.
ความยาวเวกเตอร์ เท่ากับจำนวนเงินเวกเตอร์ กและ ขลองพิจารณาใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่) 
с = √(ก 2 + ข 2 + 2abcosα)
หลังจากเปลี่ยนตัวแล้ว
ค = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4
ในการหามุม β เราใช้ทฤษฎีบทไซน์ สามเหลี่ยมเอบีซี:
b/sinβ = a/sin(α − β)
ขณะเดียวกันคุณควรรู้ไว้ด้วยว่า
บาป(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ
แก้ง่ายๆ สมการตรีโกณมิติเรามาถึงการแสดงออก
tgβ = บีซินα/(a + bcosα),
เพราะฉะนั้น,
β = อาร์คแทน(บีซินα/(a + bcosα)),
β = อาร์คแทน(2.sin60/(3 + 2.cos60)) µ 23°
ลองตรวจสอบโดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสามเหลี่ยม:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
ที่ไหน
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
และ
β = ส่วนโค้ง ((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = ส่วนโค้ง ((3 2 + 4.4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°
คำตอบ: ค γ 4.4; β µ 23°
แก้ไขปัญหา.
8. สำหรับเวกเตอร์ กและ ขกำหนดไว้ในตัวอย่างที่ 7 จงหาความยาวของเวกเตอร์ ง = ก - ขมุม γ
ระหว่าง กและ ง.
9. ค้นหาเส้นโครงของเวกเตอร์ ก = 4.0i + 7.0jเป็นเส้นตรง ซึ่งมีทิศทางที่ทำให้มุม α = 30° กับแกน Ox เวกเตอร์ กและเส้นตรงอยู่ในระนาบ xOy
10. เวกเตอร์ กทำให้มุม α = 30° โดยมีเส้นตรง AB, a = 3.0 เวกเตอร์ควรตั้งตรงที่มุม β ถึงเส้นตรง AB ข(b = √(3)) ดังนั้นเวกเตอร์ ค = ก + ขขนานกับ AB? จงหาความยาวของเวกเตอร์ ค.
11. ให้เวกเตอร์สามตัว: ก = 3i + 2j - k; b = 2i - j + k; с = ฉัน + 3j- ค้นหาก) ก+ข- ข) เอ+ซี- วี) (ก ข)- ช) (ก, ค)ข − (ก, ข)ค.
12. มุมระหว่างเวกเตอร์ กและ ขเท่ากับ α = 60°, a = 2.0, b = 1.0 ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ ค = (ก, ข)ก + ขและ d = 2b − a/2.
13. พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ กและ ขตั้งฉากกันถ้า a = (2, 1, −5) และ b = (5, −5, 1)
14. จงหามุม α ระหว่างเวกเตอร์ กและ ขถ้า a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1)
15. เวกเตอร์ กทำให้มุม α = 30° กับแกน Ox, เส้นโครงของเวกเตอร์นี้บนแกน Oy เท่ากับ a y = 2.0 เวกเตอร์ ขตั้งฉากกับเวกเตอร์ กและ b = 3.0 (ดูรูป) 
เวกเตอร์ ค = ก + ข- ค้นหา: ก) การฉายภาพของเวกเตอร์ ขบนแกน Ox และ Oy; b) ค่าของ c และมุม β ระหว่างเวกเตอร์ คและแกนวัว ค) (ก, ข); ง) (ก, ค)
คำตอบ:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα 7.0
10. β = 300°; ค = 3.5
11. ก) 5i + เจ; ข) ผม + 3j - 2k; ค) 15i - 18j + 9 k
12.ค = 2.6; ง = 1.7
14. α = 44.4°
15.ก) ข x = −1.5; โดย y = 2.6; ข) ค = 5; β µ 67°; ค) 0; ง) 16.0
โดยการเรียนฟิสิกส์คุณมี โอกาสที่ดีศึกษาต่อใน มหาวิทยาลัยเทคนิค- ซึ่งจะต้องอาศัยความรู้เชิงลึกในวิชาคณิตศาสตร์ เคมี ภาษา และวิชาอื่นๆ ที่ไม่ค่อยพบนัก Savich Egor ผู้ชนะการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกของพรรครีพับลิกันสำเร็จการศึกษาจากหนึ่งในคณะของ MIPT ซึ่งมีความต้องการความรู้ด้านเคมีเป็นอย่างมาก หากคุณต้องการความช่วยเหลือที่ State Academy of Sciences ในสาขาเคมี โปรดติดต่อผู้เชี่ยวชาญ คุณจะได้รับความช่วยเหลือที่มีคุณสมบัติเหมาะสมและทันเวลาอย่างแน่นอน
ปริมาณทั้งหมดที่เราพบในฟิสิกส์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสาขาวิชากลศาสตร์สาขาใดสาขาหนึ่งสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภท:
ก) สเกลาร์ซึ่งถูกกำหนดโดยค่าบวกจริงหนึ่งค่าหรือ จำนวนลบ- ตัวอย่างของปริมาณดังกล่าว ได้แก่ เวลา อุณหภูมิ
b) เวกเตอร์ ซึ่งถูกกำหนดโดยส่วนเชิงพื้นที่โดยตรงของเส้นตรง (หรือปริมาณสเกลาร์สามค่า) และมีคุณสมบัติตามที่ระบุด้านล่าง
ตัวอย่าง ปริมาณเวกเตอร์ทำหน้าที่เป็นแรง ความเร็ว ความเร่ง
ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน
เมื่อพูดถึงส่วนที่กำกับ คุณควรระบุวัตถุที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดทิศทางนี้ ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนซึ่งมีส่วนประกอบเป็นแกน ถือเป็นวัตถุดังกล่าว
แกนคือเส้นตรงที่ใช้แสดงทิศทาง สามกัน ตั้งฉากกับแกนซึ่งตัดกันที่จุด O ตั้งชื่อตามนั้น ก่อให้เกิดระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ระบบคาร์ทีเซียนพิกัดอาจเป็นทางขวา (รูปที่ 1) หรือทางซ้าย (รูปที่ 2) ระบบเหล่านี้เป็นภาพสะท้อนของกันและกัน และไม่สามารถรวมเข้าด้วยกันโดยการเคลื่อนไหวใดๆ
ในการนำเสนอครั้งต่อไปทั้งหมด ระบบพิกัดทางขวาจะถูกนำมาใช้ตลอด ในระบบพิกัดที่ถูกต้อง ทิศทางบวกของการอ้างอิงสำหรับทุกมุมจะถูกหมุนทวนเข็มนาฬิกา
ซึ่งสอดคล้องกับทิศทางที่แกน x และ y จัดตำแหน่งเมื่อมองจากทิศทางบวกของแกน
เวกเตอร์ฟรี
เวกเตอร์แสดงลักษณะเฉพาะด้วยความยาวและทิศทางเข้า ระบบที่กำหนดพิกัดเรียกว่าฟรี เวกเตอร์ฟรีแสดงด้วยส่วนของเส้นตรง ความยาวที่กำหนดและทิศทางซึ่งมีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดใดจุดหนึ่งในอวกาศ ในภาพวาด เวกเตอร์จะแสดงด้วยลูกศร (รูปที่ 3)
เวกเตอร์ถูกกำหนดด้วยตัวอักษรตัวหนาหนึ่งตัวหรือตัวอักษรสองตัวที่ตรงกับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของลูกศรโดยมีเส้นประอยู่ด้านบนหรือ
ขนาดของเวกเตอร์เรียกว่าโมดูลัสและแสดงด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้
ความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์
เนื่องจากลักษณะสำคัญของเวกเตอร์คือความยาวและทิศทาง เวกเตอร์จึงถูกเรียกว่าเท่ากันหากทิศทางและขนาดตรงกัน ในบางกรณี เวกเตอร์ที่เท่ากันสามารถกำหนดทิศทางตามเส้นตรงเส้นเดียวได้ ความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ เช่น a และ b (รูปที่ 4) เขียนเป็น:
หากเวกเตอร์ (a และ b) มีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม (รูปที่ 5) สิ่งนี้จะถูกเขียนในรูปแบบ:
เวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันหรือตรงกันข้ามกันเรียกว่าคอลลิเนียร์
การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์
ผลคูณของเวกเตอร์ a และสเกลาร์ K เรียกว่าเวกเตอร์ในหน่วยโมดูลัส ซึ่งเท่ากันในทิศทางกับเวกเตอร์ a ถ้า K เป็นบวก และในทิศทางตรงกันข้ามถ้า K เป็นลบ
เวกเตอร์หน่วย
เวกเตอร์ที่มีโมดูลัส เท่ากับหนึ่งและทิศทางสอดคล้องกับเวกเตอร์ a ที่กำหนด เรียกว่าเวกเตอร์หน่วย เวกเตอร์ที่กำหนดหรือออร์ตอมของมัน ออร์ตเขียนแทนด้วย . เวกเตอร์ใดๆ สามารถแสดงผ่านเวกเตอร์หน่วยของมันเป็นได้
เวกเตอร์หน่วยที่อยู่ตามทิศทางบวกของแกนพิกัดจะถูกกำหนดตามนั้น (รูปที่ 6)
การบวกเวกเตอร์
กฎสำหรับการเพิ่มเวกเตอร์นั้นเป็นการตั้งสมมติฐาน (เหตุผลสำหรับสมมุติฐานนี้คือการสังเกต) วัตถุจริงธรรมชาติของเวกเตอร์) สมมุติฐานนี้คือเวกเตอร์สองตัวนั้น
พวกมันถูกถ่ายโอนไปยังจุดใดจุดหนึ่งในอวกาศเพื่อให้ต้นกำเนิดของมันตรงกัน (รูปที่ 7) เส้นทแยงมุมตรงของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์เหล่านี้ (รูปที่ 7) เรียกว่าผลรวมของเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์จะถูกเขียนในรูปแบบ
และเรียกว่าบวกตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน
สามารถใช้กฎที่ระบุสำหรับการเพิ่มเวกเตอร์ได้เช่นกัน ดังต่อไปนี้: ณ จุดใดๆ ในอวกาศ เวกเตอร์จะถูกพล็อตเพิ่มเติม เวกเตอร์จะถูกพล็อตจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ (รูปที่ 8) เวกเตอร์ a ซึ่งจุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์และจุดสิ้นสุดซึ่งตรงกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ จะเป็นผลรวมของเวกเตอร์
กฎข้อสุดท้ายการบวกเวกเตอร์นั้นสะดวกหากคุณต้องการเพิ่มเวกเตอร์มากกว่าสองตัว แน่นอนว่าหากคุณต้องการเพิ่มเวกเตอร์หลาย ๆ ตัวก็ให้ใช้ กฎที่ระบุคุณควรสร้างเส้นขาดที่มีด้านเป็นเวกเตอร์ที่กำหนด และจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ใดๆ เกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ก่อนหน้า ผลรวมของเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นเวกเตอร์ที่จุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรกและจุดสิ้นสุดตรงกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์สุดท้าย (รูปที่ 9) ถ้าเวกเตอร์ที่กำหนดเกิดขึ้น รูปหลายเหลี่ยมปิดแล้วเราบอกว่าผลรวมของเวกเตอร์เป็นศูนย์
จากกฎสำหรับการสร้างผลรวมของเวกเตอร์ ผลรวมของเวกเตอร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของเงื่อนไขที่ถูกนำมาใช้ หรือการบวกเวกเตอร์เป็นการสับเปลี่ยน สำหรับเวกเตอร์สองตัว เวกเตอร์หลังสามารถเขียนได้เป็น:
การลบเวกเตอร์
การลบเวกเตอร์ออกจากเวกเตอร์จะดำเนินการตามกฎต่อไปนี้: เวกเตอร์ถูกสร้างขึ้นและเวกเตอร์ - ถูกพล็อตจากจุดสิ้นสุด (รูปที่ 10) เวกเตอร์ a ซึ่งจุดเริ่มต้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้น
เวกเตอร์และจุดสิ้นสุด - โดยที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์เท่ากับความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์และ การดำเนินการที่ดำเนินการสามารถเขียนได้ในรูปแบบ:
การสลายตัวของเวกเตอร์เป็นส่วนประกอบ
การแยกเวกเตอร์ที่กำหนดหมายถึงการแสดงเป็นผลรวมของเวกเตอร์หลายตัวซึ่งเรียกว่าส่วนประกอบ
ให้เราพิจารณาปัญหาของการสลายตัวของเวกเตอร์ a หากมีการระบุว่าส่วนประกอบของเวกเตอร์ควรถูกกำกับตามสามประการ แกนประสานงาน- ในการทำเช่นนี้เราจะสร้างเส้นขนานซึ่งมีเส้นทแยงมุมเป็นเวกเตอร์ a และขอบขนานกับแกนพิกัด (รูปที่ 11) จากนั้น ตามที่เห็นได้จากการวาดภาพ ผลรวมของเวกเตอร์ที่อยู่ตามขอบของเส้นขนานนี้ให้เวกเตอร์ a:
การฉายภาพเวกเตอร์บนแกน
การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนคือขนาดของส่วนที่กำกับซึ่งถูกล้อมรอบด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับแกนโดยผ่านจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ (รูปที่ 12) จุดตัดกันของระนาบเหล่านี้กับแกน (A และ B) เรียกว่าเส้นโครงของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ตามลำดับ
เส้นโครงของเวกเตอร์จะมีเครื่องหมายบวกหากทิศทางของมัน นับจากเส้นโครงของจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ไปจนถึงเส้นโครงของจุดสิ้นสุด ซึ่งตรงกับทิศทางของแกน หากทิศทางเหล่านี้ไม่ตรงกัน แสดงว่าเส้นโครงมีเครื่องหมายลบ
เส้นโครงของเวกเตอร์ a บนแกนพิกัดถูกกำหนดไว้ตามนั้น
พิกัดเวกเตอร์
ส่วนประกอบของเวกเตอร์ a ซึ่งตั้งอยู่ขนานกับแกนพิกัดผ่านการฉายภาพของเวกเตอร์และ เวกเตอร์หน่วยสามารถเขียนเป็น:
เพราะฉะนั้น:
โดยที่พวกมันกำหนดเวกเตอร์โดยสมบูรณ์และเรียกว่าพิกัดของมัน
เมื่อแสดงผ่านมุมที่เวกเตอร์ a สร้างด้วยแกนพิกัด เส้นโครงของเวกเตอร์ a บนแกนสามารถเขียนได้ในรูปแบบ:
ดังนั้น สำหรับโมดูลัสของเวกเตอร์ a เรามีนิพจน์:
เนื่องจากคำจำกัดความของเวกเตอร์ตามเส้นโครงของเวกเตอร์นั้นมีความเฉพาะตัว เวกเตอร์ที่เท่ากันสองตัวจะมีพิกัดที่เท่ากัน
การบวกเวกเตอร์ผ่านพิกัด
ดังต่อไปนี้จากรูป 13 เส้นโครงของผลรวมของเวกเตอร์บนแกนเท่ากับ ผลรวมพีชคณิตการคาดการณ์ของพวกเขา ดังนั้น จากความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์:
ความเท่าเทียมกันของสเกลาร์ทั้งสามดังต่อไปนี้:
หรือพิกัดของเวกเตอร์ทั้งหมดเท่ากับผลรวมพีชคณิตของพิกัดของเวกเตอร์ส่วนประกอบ
ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัว
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวแสดงเป็น b และถูกกำหนดโดยผลคูณของโมดูลและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:
ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัวยังสามารถกำหนดเป็นผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งและการฉายภาพของเวกเตอร์อีกตัวหนึ่งไปยังทิศทางของเวกเตอร์ตัวแรก
จากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์จะได้ดังนี้
กล่าวคือ กฎหมายการสับเปลี่ยนเกิดขึ้น
สัมพันธ์กับการบวก ผลิตภัณฑ์ดอทมีคุณสมบัติจำหน่าย:
ซึ่งตามมาจากคุณสมบัติโดยตรงว่าเส้นโครงของผลรวมของเวกเตอร์เท่ากับผลรวมพีชคณิตของเส้นโครงของเวกเตอร์
ผลคูณสเกลาร์ผ่านการฉายภาพเวกเตอร์สามารถเขียนได้ดังนี้:
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัว
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัวแสดงว่า axb นี่คือเวกเตอร์ c ซึ่งมีโมดูลัส เท่ากับสินค้าโมดูลัสของเวกเตอร์ที่ถูกคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:
เวกเตอร์ c ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดโดยเวกเตอร์ a และ b ดังนั้นหากดูจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ c ดังนั้นเพื่อที่จะจัดแนวเวกเตอร์ a กับเวกเตอร์ b โดยเร็วที่สุด เวกเตอร์แรกจะต้องหมุนเป็นบวก ทิศทาง (ทวนเข็มนาฬิกา; รูปที่ 14) เวกเตอร์ที่เป็นตัวแทน ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เวกเตอร์สองตัวเรียกว่าเวกเตอร์ตามแนวแกน (หรือเวกเตอร์เทียม) ทิศทางขึ้นอยู่กับการเลือกระบบพิกัดหรือเงื่อนไขของทิศทางบวกของมุม ทิศทางที่ระบุเวกเตอร์ c สอดคล้องกับระบบที่ถูกต้องของแกนพิกัดคาร์ทีเซียน ซึ่งเป็นทางเลือกที่ได้ตกลงกันไว้ก่อนหน้านี้
ปริมาณเวกเตอร์ (เวกเตอร์)- นี้ ปริมาณทางกายภาพซึ่งมีสองลักษณะ - โมดูลและทิศทางในอวกาศ
ตัวอย่างของปริมาณเวกเตอร์: ความเร็ว () แรง () ความเร่ง () ฯลฯ
ในเชิงเรขาคณิต เวกเตอร์จะแสดงเป็นส่วนกำกับของเส้นตรง ซึ่งความยาวบนมาตราส่วนคือค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์
เวกเตอร์รัศมี(โดยปกติจะแสดงแทนหรือเรียกง่ายๆ ) - เวกเตอร์ที่ระบุตำแหน่งของจุดในอวกาศโดยสัมพันธ์กับจุดที่กำหนดไว้ล่วงหน้าบางจุด เรียกว่าจุดกำเนิด
สำหรับ จุดใดก็ได้ในอวกาศ เวกเตอร์รัศมีคือเวกเตอร์ที่เดินทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดนั้น
ความยาวของเวกเตอร์รัศมีหรือโมดูลัสของเวกเตอร์จะกำหนดระยะทางที่จุดนั้นอยู่ห่างจากจุดกำเนิด และลูกศรจะระบุทิศทางไปยังจุดนี้ในอวกาศ
บนระนาบ มุมของเวกเตอร์รัศมีคือมุมที่เวกเตอร์รัศมีหมุนสัมพันธ์กับแกน x ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
เส้นที่เรียกว่าร่างกายเคลื่อนไหว วิถีการเคลื่อนที่การเคลื่อนไหวทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นเส้นตรงและเส้นโค้ง ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของวิถี
คำอธิบายของการเคลื่อนไหวเริ่มต้นด้วยคำตอบสำหรับคำถาม: ตำแหน่งของร่างกายในอวกาศเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรในช่วงระยะเวลาหนึ่ง? การเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของร่างกายในอวกาศถูกกำหนดอย่างไร?
การย้าย- ส่วนควบคุม (เวกเตอร์) เชื่อมต่อตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่งสุดท้ายของร่างกาย
ความเร็ว(มักแสดงแทน , จากภาษาอังกฤษ. ความเร็วหรือเ วิเทสเซ่) - ปริมาณทางกายภาพของเวกเตอร์ที่แสดงถึงความเร็วของการเคลื่อนที่และทิศทางของการเคลื่อนที่ จุดวัสดุในอวกาศสัมพันธ์กับระบบอ้างอิงที่เลือก (เช่น ความเร็วเชิงมุม) คำเดียวกันนี้สามารถใช้เพื่ออ้างถึงปริมาณสเกลาร์ หรือถ้าให้เจาะจงกว่านั้นคือโมดูลัสของอนุพันธ์ของเวกเตอร์รัศมี
วิทยาศาสตร์ก็ใช้ความเร็วเช่นกัน ในความหมายกว้างๆเป็นความเร็วของการเปลี่ยนแปลงของปริมาณบางจำนวน (ไม่จำเป็นต้องเป็นเวกเตอร์รัศมี) ขึ้นอยู่กับปริมาณอื่น (โดยปกติจะเปลี่ยนแปลงในเวลา แต่ยังรวมถึงอวกาศหรือสิ่งอื่นใดด้วย) ตัวอย่างเช่น พวกเขาพูดถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ อัตรา ปฏิกิริยาเคมี, ความเร็วกลุ่ม, ความเร็วการเชื่อมต่อ, ความเร็วเชิงมุม ฯลฯ มีลักษณะทางคณิตศาสตร์โดยอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
การเร่งความเร็ว(โดยปกติจะแสดงเป็น กลศาสตร์เชิงทฤษฎี) อนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลาคือปริมาณเวกเตอร์ที่แสดงจำนวนเวกเตอร์ความเร็วของจุด (วัตถุ) เปลี่ยนแปลงเมื่อมันเคลื่อนที่ต่อหน่วยเวลา (นั่นคือ ความเร่งไม่เพียงคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงขนาดของ ความเร็ว แต่ยังรวมถึงทิศทางด้วย)
ตัวอย่างเช่น ใกล้โลก วัตถุตกลงบนพื้นโลก ในกรณีที่สามารถละเลยแรงต้านอากาศได้ จะเพิ่มความเร็วของมันประมาณ 9.8 เมตร/วินาที ทุกๆ วินาที นั่นคือ ความเร่งของมันเท่ากับ 9.8 เมตร/วินาที²
สาขาหนึ่งของกลศาสตร์ที่ศึกษาการเคลื่อนที่ในปริภูมิยูคลิดสามมิติ การบันทึก รวมถึงการบันทึกความเร็วและความเร่งใน ระบบต่างๆการอ้างอิงเรียกว่าจลนศาสตร์
หน่วยความเร่งเป็นเมตรต่อวินาทีต่อวินาที ( เมตร/วินาที 2, เมตร/วินาที 2) นอกจากนี้ยังมีหน่วยที่ไม่ใช่ระบบ Gal (Gal) ที่ใช้ในกราวิเมทรีและเท่ากับ 1 ซม./วินาที 2
อนุพันธ์ของความเร่งเทียบกับเวลา เช่น ปริมาณที่แสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร่งในช่วงเวลาหนึ่งเรียกว่าการกระตุก
การเคลื่อนไหวของร่างกายที่ง่ายที่สุดคือการเคลื่อนไหวโดยทุกจุดของร่างกายเคลื่อนไหวเท่ากัน โดยอธิบายวิถีโคจรเดียวกัน การเคลื่อนไหวนี้เรียกว่า ก้าวหน้า- เราได้รับการเคลื่อนไหวประเภทนี้โดยการขยับเสี้ยนเพื่อให้มันขนานกับตัวเองตลอดเวลา ในระหว่างการเคลื่อนที่ไปข้างหน้า วิถีอาจเป็นเส้นตรง (รูปที่ 7, a) หรือเส้นโค้ง (รูปที่ 7, b)
สามารถพิสูจน์ได้ว่าในระหว่างการเคลื่อนที่เชิงแปล เส้นตรงใดๆ ที่ลากในร่างกายยังคงขนานกับตัวมันเอง นี้ คุณลักษณะเฉพาะสะดวกในการใช้ตอบคำถามว่าการเคลื่อนไหวร่างกายนั้นเป็นการแปลหรือไม่ ตัวอย่างเช่น เมื่อทรงกระบอกหมุนไปตามระนาบ เส้นตรงที่ตัดแกนจะไม่ขนานกับแกนของมันเอง การกลิ้งไม่ใช่การเคลื่อนที่แบบแปลความหมาย เมื่อคานประตูและสี่เหลี่ยมเคลื่อนที่ไปตามกระดานวาดภาพ เส้นตรงที่ลากในนั้นจะยังคงขนานกับตัวมันเอง ซึ่งหมายความว่าพวกมันจะเคลื่อนที่ไปข้างหน้า (รูปที่ 8) เข็มของจักรเย็บผ้า ลูกสูบในกระบอกสูบของเครื่องจักรไอน้ำหรือเครื่องยนต์เคลื่อนที่อย่างต่อเนื่อง การเผาไหม้ภายใน,ตัวรถ(แต่ไม่ใช่ล้อ!) เมื่อขับบนถนนทางตรง เป็นต้น
การเคลื่อนไหวง่ายๆ อีกประเภทหนึ่งก็คือ การเคลื่อนไหวแบบหมุนร่างกายหรือการหมุน ในระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุน ทุกจุดของร่างกายจะเคลื่อนที่เป็นวงกลมโดยจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นตรง เส้นตรงนี้เรียกว่าแกนการหมุน (เส้นตรง 00" ในรูปที่ 9) วงกลมอยู่ในระนาบขนานซึ่งตั้งฉากกับแกนการหมุน จุดต่างๆ ของร่างกายที่วางอยู่บนแกนหมุนยังคงนิ่งอยู่ การหมุนไม่ การเคลื่อนไหวเชิงแปล: เมื่อแกนหมุน OO" . วิถีที่แสดงยังคงขนานกันเพียงเส้นตรงเท่านั้น แกนขนานการหมุน
ร่างกายแข็งแรงอย่างแน่นอน- วัตถุรองรับอันที่สองของกลศาสตร์พร้อมกับจุดวัสดุ
มีหลายคำจำกัดความ:
1. แนวคิดโมเดลตัวถังที่แข็งแกร่งอย่างยิ่ง กลศาสตร์คลาสสิกซึ่งแสดงถึงชุดของจุดวัสดุ ซึ่งระยะห่างระหว่างนั้นจะถูกรักษาไว้ระหว่างการเคลื่อนไหวใด ๆ ที่ทำโดยร่างกายนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่งร่างกายที่มั่นคงไม่เพียงแต่ไม่เปลี่ยนรูปร่าง แต่ยังรักษาการกระจายตัวของมวลภายในไม่เปลี่ยนแปลง
2. ร่างกายที่เข้มงวดอย่างยิ่งคือระบบกลไกที่มีระดับความอิสระในการแปลและการหมุนเท่านั้น “ความแข็ง” หมายความว่า ร่างกายไม่สามารถเปลี่ยนรูปได้ กล่าวคือ ไม่มีพลังงานอื่นใดที่สามารถถ่ายโอนไปยังร่างกายได้ นอกจากพลังงานจลน์ของการแปลหรือ การเคลื่อนไหวแบบหมุน.
3. อย่างแน่นอน แข็ง- ร่างกาย (ระบบ) ตำแหน่งสัมพัทธ์ของจุดใด ๆ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงไม่ว่าจะมีส่วนร่วมในกระบวนการใดก็ตาม
ใน พื้นที่สามมิติและในกรณีที่ไม่มีการเชื่อมต่อร่างกายที่เข้มงวดอย่างยิ่งจะมีระดับอิสระ 6 ระดับ: การแปลสามครั้งและการหมุนสามครั้ง ข้อยกเว้นคือโมเลกุลไดอะตอมมิกหรือแท่งแข็งที่มีความหนาเป็นศูนย์ในภาษาของกลศาสตร์คลาสสิก ระบบดังกล่าวมีระดับความอิสระในการหมุนเพียงสองระดับเท่านั้น
สิ้นสุดการทำงาน -
หัวข้อนี้เป็นของส่วน:
สมมติฐานที่ไม่ได้รับการพิสูจน์และไม่มีการโต้แย้งเรียกว่าปัญหาเปิด
ฟิสิกส์มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับคณิตศาสตร์ กฎทางกายภาพสามารถกำหนดได้อย่างแม่นยำ..ทฤษฎีกรีกพิจารณา.. วิธีการมาตรฐานทดสอบทฤษฎีโดยตรง การตรวจสอบการทดลองการทดลองเป็นเกณฑ์ของความจริง แต่บ่อยครั้ง..
หากคุณต้องการ วัสดุเพิ่มเติมในหัวข้อนี้หรือคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหาเราขอแนะนำให้ใช้การค้นหาในฐานข้อมูลผลงานของเรา:
เราจะทำอย่างไรกับเนื้อหาที่ได้รับ:
หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในเพจของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก:
| ทวีต |
หัวข้อทั้งหมดในส่วนนี้:
หลักสัมพัทธภาพในกลศาสตร์
ระบบอ้างอิงเฉื่อยและหลักสัมพัทธภาพ การเปลี่ยนแปลงของกาลิเลโอ ค่าคงที่การเปลี่ยนแปลง แน่นอนและความเร็วสัมพัทธ์
และความเร่ง สมมุติฐานของเทคโนโลยีพิเศษ
การเคลื่อนที่แบบหมุนของจุดวัสดุ การเคลื่อนที่แบบหมุนของจุดวัสดุคือการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุในวงกลมการเคลื่อนที่แบบหมุน - มุมมอง
การเคลื่อนไหวทางกล
- ที่
ความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์ของความเร็วเชิงเส้นและเชิงมุม ความเร่งเชิงเส้นและเชิงมุม
การวัดการเคลื่อนที่แบบหมุน: มุม φ ซึ่งเวกเตอร์รัศมีของจุดหมุนในระนาบตั้งฉากกับแกนการหมุน การเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอความเร็วและความเร่งขณะเคลื่อนที่โค้ง
การเคลื่อนไหวโค้งมากขึ้น
ดูซับซ้อน การเคลื่อนไหวมากกว่าเส้นตรง เนื่องจากแม้ว่าการเคลื่อนไหวจะเกิดขึ้นบนเครื่องบิน พิกัดสองพิกัดที่แสดงลักษณะตำแหน่งของร่างกายก็เปลี่ยนไป ความเร็วและความเร่งขณะเคลื่อนที่โค้ง กำลังพิจารณาการเคลื่อนไหวโค้ง
ร่างกายเราจะเห็นว่าความเร็วของมันนั้น
ช่วงเวลาที่แตกต่างกัน
แตกต่าง. แม้ว่าขนาดของความเร็วจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ก็ยังมีการเปลี่ยนทิศทางของความเร็วอยู่
สมการการเคลื่อนที่ของนิวตัน (1) โดยที่แรง F ในกรณีทั่วไปตำแหน่งที่แสดงลักษณะการกระจายตัวของมวลในร่างกายหรือระบบกลไก พิกัดของมวลกลางถูกกำหนดโดยสูตร
กฎการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล
จากการใช้กฎการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม เราจะได้กฎการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล: dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi จุดศูนย์กลางมวลของระบบเคลื่อนที่ในลักษณะเดียวกับ
หลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอ
· ระบบเฉื่อยระบบอ้างอิง ระบบอ้างอิงเฉื่อยแบบกาลิลี
การเสียรูปของพลาสติก
งอแผ่นเหล็ก (เช่นเลื่อยเลือยตัดโลหะ) เล็กน้อยแล้วปล่อยทิ้งไว้สักพัก เราจะเห็นว่าเลื่อยเลือยตัดโลหะจะคืนรูปร่างให้สมบูรณ์ (อย่างน้อยก็ในตอนแรก) ถ้าเราเอา
กองกำลังภายนอกและภายใน
- ในด้านกลศาสตร์ กองกำลังภายนอกสัมพันธ์กับระบบจุดวัสดุที่กำหนด (เช่น ชุดของจุดวัสดุซึ่งการเคลื่อนที่ของแต่ละจุดขึ้นอยู่กับตำแหน่งหรือการเคลื่อนที่ของแกนทั้งหมด
พลังงานจลน์
พลังงาน ระบบเครื่องกลขึ้นอยู่กับความเร็วในการเคลื่อนที่ของจุดต่างๆ เคอี T ของจุดวัสดุวัดโดยครึ่งหนึ่งของผลคูณของมวล m ของจุดนี้ด้วยกำลังสองของความเร็ว
พลังงานจลน์
พลังงานจลน์คือพลังงานของวัตถุที่เคลื่อนไหว (จาก คำภาษากรีก kinema - การเคลื่อนไหว) ตามคำจำกัดความ พลังงานจลน์ของบางสิ่งที่อยู่นิ่งในกรอบอ้างอิงที่กำหนด
ค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของมวลกายและกำลังสองของความเร็ว
=เจ
พลังงานจลน์เป็นปริมาณสัมพัทธ์ขึ้นอยู่กับการเลือก CO เนื่องจาก ความเร็วของร่างกายขึ้นอยู่กับการเลือก CO
ที่.
ช่วงเวลาแห่งพลัง
· ช่วงเวลาแห่งพลัง ข้าว. ช่วงเวลาแห่งพลัง ข้าว. โมเมนต์ของแรง ปริมาณ พลังงานจลน์ของวัตถุที่กำลังหมุนพลังงานจลน์เป็นปริมาณบวก ดังนั้นพลังงานจลน์ของร่างกายที่เคลื่อนที่ในลักษณะตามอำเภอใจจึงเท่ากับผลรวม
พลังงานจลน์
วัสดุทั้งหมด
งานและกำลังระหว่างการหมุนของตัวถังที่แข็งแรง
งานและกำลังระหว่างการหมุนของตัวถังที่แข็งแรง
ลองหาสำนวนการทำงานที่อุณหภูมิ
- สมการพื้นฐานสำหรับพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน
ตามสมการ (5.8) กฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุน P ปริมาณสเกลาร์และเวกเตอร์แคลคูลัสเวกเตอร์ (เช่น การกระจัด (s) แรง (F) ความเร่ง (a) ความเร็ว (V) พลังงาน (E))
- ปริมาณสเกลาร์ที่กำหนดโดยสมบูรณ์โดยการระบุ ค่าตัวเลข(ความยาว (L) พื้นที่ (S) ปริมาตร (V) เวลา (t) มวล (m) ฯลฯ ) ;
ปริมาณเวกเตอร์: เวกเตอร์รัศมี ความเร็ว ความเร่ง ความแรงของสนามไฟฟ้า ความเข้ม สนามแม่เหล็ก- และอื่นๆ อีกมากมาย :)
- ปริมาณเวกเตอร์มี นิพจน์เชิงตัวเลขและทิศทาง ได้แก่ ความเร็ว ความเร่ง แรง การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้าการกระจัด ฯลฯ และสเกลาร์เป็นเพียงนิพจน์ตัวเลข ได้แก่ ปริมาตร ความหนาแน่น ความยาว ความกว้าง ความสูง มวล (อย่าสับสนกับน้ำหนัก) อุณหภูมิ
- เวกเตอร์ เช่น ความเร็ว (v) แรง (F) การกระจัด (s) แรงกระตุ้น (p) พลังงาน (E) arrow-vector วางอยู่เหนือตัวอักษรเหล่านี้แต่ละตัว นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกมันถึงเป็นเวกเตอร์ และสเกลาร์ ได้แก่ มวล (m) ปริมาตร (V) พื้นที่ (S) เวลา (t) ความสูง (h)
- การเคลื่อนที่ของเวกเตอร์เป็นการเคลื่อนที่เชิงเส้นในวงสัมผัส
การเคลื่อนที่แบบสเกลาร์คือการเคลื่อนที่แบบปิดที่การเคลื่อนที่ของเวกเตอร์บนหน้าจอ
การเคลื่อนที่ของเวกเตอร์จะถูกส่งผ่านสเกลาร์เช่นเดียวกับผ่านตัวกลาง เช่นเดียวกับกระแสที่ถูกส่งจากอะตอมหนึ่งไปอีกอะตอมหนึ่งผ่านตัวนำ - ปริมาณสเกลาร์: อุณหภูมิ ปริมาตร ความหนาแน่น ศักย์ไฟฟ้า พลังงานศักย์ของร่างกาย (เช่น ในสนามแรงโน้มถ่วง) โมดูลัสของเวกเตอร์ใดๆ ด้วย (ตัวอย่างเช่น รายการด้านล่าง)
ปริมาณเวกเตอร์: เวกเตอร์รัศมี ความเร็ว ความเร่ง ความแรงของสนามไฟฟ้า ความแรงของสนามแม่เหล็ก และอื่นๆ อีกมากมาย:-
- ปริมาณสเกลาร์ (สเกลาร์) คือปริมาณทางกายภาพที่มีลักษณะเฉพาะเพียงอย่างเดียวคือค่าตัวเลข
ปริมาณสเกลาร์อาจเป็นค่าบวกหรือค่าลบก็ได้
ตัวอย่าง ปริมาณสเกลาร์: มวล อุณหภูมิ เส้นทาง งาน เวลา คาบ ความถี่ ความหนาแน่น พลังงาน ปริมาตร ความจุไฟฟ้า แรงดันไฟฟ้า กระแส ฯลฯ
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่มีปริมาณสเกลาร์ถือเป็นการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต
ปริมาณเวกเตอร์
ปริมาณเวกเตอร์ (เวกเตอร์) คือปริมาณทางกายภาพที่มีลักษณะเฉพาะสองประการ: โมดูลและทิศทางในปริภูมิ
ตัวอย่างปริมาณเวกเตอร์: ความเร็ว แรง ความเร่ง แรงดึง ฯลฯ
ในเชิงเรขาคณิต เวกเตอร์จะถูกแสดงเป็นส่วนที่กำหนดทิศทางของเส้นตรง ซึ่งความยาวจะวัดเป็นโมดูลัสของเวกเตอร์
ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ไม่สามารถทำได้หากไม่มีแนวคิดเรื่อง "ปริมาณเวกเตอร์" คุณจำเป็นต้องรู้และรับรู้และสามารถดำเนินการกับมันได้ คุณควรเรียนรู้สิ่งนี้อย่างแน่นอนเพื่อไม่ให้สับสนและทำผิดพลาดโง่ ๆ
จะแยกแยะปริมาณสเกลาร์จากปริมาณเวกเตอร์ได้อย่างไร
ประการแรกจะมีลักษณะเพียงประการเดียวเสมอ นี่คือค่าตัวเลข ปริมาณสเกลาร์ส่วนใหญ่สามารถใช้ได้ทั้งค่าบวกและค่าลบ ตัวอย่าง ได้แก่ ประจุไฟฟ้า งาน หรืออุณหภูมิ แต่มีสเกลาร์ที่ไม่สามารถเป็นลบได้ เช่น ความยาวและมวล
ปริมาณเวกเตอร์ยกเว้น ค่าตัวเลขซึ่งใช้แบบโมดูโลเสมอก็มีลักษณะเฉพาะด้วยทิศทางเช่นกัน ดังนั้นจึงสามารถอธิบายได้ในรูปแบบกราฟิกนั่นคือในรูปแบบของลูกศรซึ่งมีความยาวเท่ากับค่าสัมบูรณ์ที่ชี้ไปในทิศทางที่แน่นอน
เมื่อเขียน ปริมาณเวกเตอร์แต่ละปริมาณจะถูกระบุด้วยเครื่องหมายลูกศรบนตัวอักษร ถ้า เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับค่าตัวเลข ดังนั้นลูกศรจะไม่ถูกเขียนหรือเป็นแบบโมดูโล
การกระทำใดที่มักใช้กับเวกเตอร์บ่อยที่สุด?
ประการแรกการเปรียบเทียบ พวกเขาอาจจะเท่ากันหรือไม่ก็ได้ ในกรณีแรก โมดูลจะเหมือนกัน แต่นี่ไม่ใช่เงื่อนไขเดียว พวกเขาจะต้องมีเหมือนกันหรือ ทิศทางตรงกันข้าม- ในกรณีแรกควรเรียกพวกเขา เวกเตอร์ที่เท่ากัน- ในวินาทีที่พวกเขากลับกลายเป็นตรงกันข้าม หากไม่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุอย่างน้อยหนึ่งข้อ แสดงว่าเวกเตอร์ไม่เท่ากัน
จากนั้นก็มาเพิ่มเติม สามารถทำได้ตามกฎสองข้อ: สามเหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน คนแรกกำหนดให้เลิกจ้างเวกเตอร์หนึ่งตัวก่อนจากนั้นจึงจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สอง ผลลัพธ์ของการบวกจะเป็นผลลัพธ์ที่ต้องดึงตั้งแต่ต้นรายการแรกจนถึงจุดสิ้นสุดของวินาที
สามารถใช้กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานเมื่อบวกปริมาณเวกเตอร์ในวิชาฟิสิกส์ ไม่เหมือนกับกฎข้อแรก ควรเลื่อนไปจากจุดหนึ่ง จากนั้นสร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ผลลัพธ์ของการกระทำควรถือเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ดึงมาจากจุดเดียวกัน
หากปริมาณเวกเตอร์ถูกลบออกจากอีกปริมาณหนึ่ง ปริมาณเหล่านั้นจะถูกพล็อตจากจุดหนึ่งอีกครั้ง ผลลัพธ์เท่านั้นที่จะเป็นเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับสิ่งที่พล็อตจากจุดสิ้นสุดของวินาทีถึงจุดสิ้นสุดของครั้งแรก
เวกเตอร์ใดที่มีการศึกษาในวิชาฟิสิกส์?
มีมากเท่าที่มีสเกลาร์ คุณสามารถจำปริมาณเวกเตอร์ที่มีอยู่ในฟิสิกส์ได้ หรือรู้สัญญาณที่สามารถคำนวณได้ สำหรับผู้ที่ชื่นชอบตัวเลือกแรกตารางนี้จะมีประโยชน์ นำเสนอปริมาณทางกายภาพของเวกเตอร์หลัก
ตอนนี้เพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับปริมาณเหล่านี้บางส่วน
ปริมาณแรกคือความเร็ว
ควรเริ่มต้นด้วยตัวอย่างปริมาณเวกเตอร์ เนื่องจากเป็นหนึ่งในกลุ่มแรกๆ ที่ได้รับการศึกษา
ความเร็วถูกกำหนดให้เป็นลักษณะของการเคลื่อนไหวของร่างกายในอวกาศ มันตั้งค่าตัวเลขและทิศทาง ดังนั้น ความเร็วจึงเป็นปริมาณเวกเตอร์ นอกจากนี้ยังเป็นธรรมเนียมที่จะต้องแบ่งออกเป็นประเภทต่างๆ อันแรกก็คือ ความเร็วเชิงเส้น- มันถูกแนะนำเมื่อพิจารณาถึงเส้นตรง การเคลื่อนไหวสม่ำเสมอ- ในขณะเดียวกันเธอก็ปรากฏว่า เท่ากับอัตราส่วนระยะทางที่ร่างกายเดินทางจนถึงเวลาที่เคลื่อนไหว
สามารถใช้สูตรเดียวกันได้เมื่อ การเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอ- เมื่อนั้นก็จะเป็นค่าเฉลี่ย นอกจากนี้ช่วงเวลาที่ต้องเลือกจะต้องสั้นที่สุด เมื่อช่วงเวลามีแนวโน้มเป็นศูนย์ ค่าความเร็วจะเป็นค่าที่เกิดขึ้นทันที
หากพิจารณาการเคลื่อนที่ตามอำเภอใจ ความเร็วจะเป็นปริมาณเวกเตอร์เสมอ ท้ายที่สุดแล้ว มันจะต้องถูกแยกย่อยเป็นส่วนประกอบที่กำกับตามเวกเตอร์แต่ละตัวที่กำกับเส้นพิกัด นอกจากนี้ยังถูกกำหนดให้เป็นอนุพันธ์ของเวกเตอร์รัศมีที่คำนวณตามเวลา
ปริมาณที่สองคือความแข็งแกร่ง
เป็นตัวกำหนดการวัดความรุนแรงของผลกระทบที่กระทำต่อร่างกายโดยวัตถุหรือสนามอื่น เนื่องจากแรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ จึงจำเป็นต้องมีขนาดและทิศทางของตัวเอง เนื่องจากมันออกฤทธิ์ต่อร่างกาย จุดที่ใช้แรงจึงมีความสำคัญเช่นกัน ที่จะได้รับ การแสดงภาพเกี่ยวกับเวกเตอร์แรง คุณสามารถดูตารางต่อไปนี้
ปริมาณเวกเตอร์อีกปริมาณหนึ่งก็คือแรงลัพธ์ มันถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกาย แรงทางกล- ในการพิจารณาจำเป็นต้องทำการบวกตามหลักการของกฎสามเหลี่ยม คุณเพียงแค่ต้องละทิ้งเวกเตอร์ทีละตัวจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ก่อนหน้า ผลลัพธ์จะเป็นสิ่งที่เชื่อมโยงจุดเริ่มต้นของรายการแรกไปยังจุดสิ้นสุดของรายการสุดท้าย
ปริมาณที่สามคือการกระจัด
ในระหว่างการเคลื่อนไหวร่างกายจะอธิบายบรรทัดหนึ่ง เรียกว่าเป็นวิถี เส้นนี้อาจแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ปรากฎว่าไม่ใช่เธอที่มีความสำคัญมากกว่า รูปร่างและจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของการเคลื่อนไหว เชื่อมต่อกันด้วยส่วนที่เรียกว่าการแปล นี่ก็เป็นปริมาณเวกเตอร์ด้วย นอกจากนี้ จะมีการชี้นำตั้งแต่จุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหวไปยังจุดที่การเคลื่อนไหวหยุดอยู่เสมอ เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดมัน อักษรละตินร.
คำถามต่อไปนี้อาจเกิดขึ้น: “เส้นทางเป็นปริมาณเวกเตอร์หรือไม่” ใน กรณีทั่วไปข้อความนี้ไม่เป็นความจริง เส้นทาง เท่ากับความยาววิถีและไม่มีทิศทางเฉพาะ ข้อยกเว้นคือสถานการณ์เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงในทิศทางเดียว จากนั้นขนาดของเวกเตอร์การกระจัดจะเกิดขึ้นพร้อมกับค่าของเส้นทางและทิศทางของพวกมันจะเท่ากัน ดังนั้น เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงโดยไม่เปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ สามารถรวมเส้นทางไว้ในตัวอย่างปริมาณเวกเตอร์ได้
ปริมาณที่สี่คือความเร่ง
เป็นลักษณะของความเร็วของการเปลี่ยนแปลงความเร็ว ยิ่งกว่านั้นความเร่งอาจเป็นได้ทั้งเชิงบวกและ ค่าลบ- ที่ การเคลื่อนไหวตรงมันมุ่งสู่ความเร็วสูงกว่า หากมีการเคลื่อนไหวเกิดขึ้นพร้อมๆ วิถีโค้งจากนั้นเวกเตอร์ความเร่งของมันจะแบ่งออกเป็นสององค์ประกอบ โดยองค์ประกอบหนึ่งมุ่งไปยังจุดศูนย์กลางของความโค้งตามรัศมี
ค่าเฉลี่ยและ มูลค่าทันทีการเร่งความเร็ว สิ่งแรกควรคำนวณเป็นอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงความเร็วในช่วงเวลาหนึ่งถึงเวลานี้ เมื่อช่วงเวลาที่พิจารณามีแนวโน้มเป็นศูนย์ เราจะพูดถึงความเร่งทันที
ค่าที่ห้า - แรงกระตุ้น
อีกนัยหนึ่งเรียกว่าปริมาณการเคลื่อนที่ โมเมนตัมเป็นปริมาณเวกเตอร์เนื่องจากเกี่ยวข้องโดยตรงกับความเร็วและแรงที่กระทำต่อวัตถุ ทั้งสองต่างมีทิศทางและมอบแรงกระตุ้น
ตามคำจำกัดความ ค่าหลังเท่ากับผลคูณของมวลกายและความเร็ว การใช้แนวคิดเรื่องโมเมนตัมของวัตถุทำให้เราสามารถเขียนกฎที่รู้จักกันดีของนิวตันให้แตกต่างออกไปได้ ปรากฎว่าการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเท่ากับผลคูณของแรงและช่วงเวลาหนึ่ง
ในวิชาฟิสิกส์ บทบาทที่สำคัญมีกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม ซึ่งระบุว่าในระบบปิดของวัตถุ โมเมนตัมรวมจะคงที่
เราได้ระบุปริมาณ (เวกเตอร์) ที่จะศึกษาในหลักสูตรฟิสิกส์ไว้โดยย่อแล้ว
ปัญหาผลกระทบที่ไม่ยืดหยุ่น
เงื่อนไข. มีชานชาลาที่อยู่กับที่บนราง รถม้ากำลังเข้าใกล้ด้วยความเร็ว 4 เมตร/วินาที มวลของแท่นและตัวรถคือ 10 และ 40 ตันตามลำดับ รถชนแท่นและเกิดการคัปปลิ้งอัตโนมัติ จำเป็นต้องคำนวณความเร็วของระบบ “ชานชาลารถ” หลังจากการชน
สารละลาย. ขั้นแรก คุณต้องป้อนการกำหนดต่อไปนี้: ความเร็วของรถก่อนเกิดการกระแทกคือ v1 ความเร็วของรถที่มีแท่นหลังจากคัปปลิ้งคือ v มวลของรถคือ m1 มวลของแท่นคือ m2 ตามเงื่อนไขของปัญหา จำเป็นต้องค้นหาค่าของความเร็ว v
กฎการแก้ปัญหา งานที่คล้ายกันต้องการการแสดงแผนผังของระบบก่อนและหลังการโต้ตอบ มีความสมเหตุสมผลที่จะกำหนดทิศทางแกน OX ไปตามรางในทิศทางที่รถกำลังเคลื่อนที่
ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ถือว่าระบบรถปิดได้ สิ่งนี้ถูกกำหนดโดยความจริงที่ว่าสามารถละเลยกองกำลังภายนอกได้ ปฏิกิริยาแรงโน้มถ่วงและแรงรองรับมีความสมดุล และไม่คำนึงถึงแรงเสียดทานบนราง
ตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม ผลรวมเวกเตอร์ก่อนปฏิสัมพันธ์ของรถและแท่นจะเท่ากับผลรวมของการเชื่อมต่อหลังจากการชน ในตอนแรกแพลตฟอร์มไม่เคลื่อนไหว ดังนั้นโมเมนตัมจึงยังคงอยู่ เท่ากับศูนย์- มีเพียงรถที่เคลื่อนที่เท่านั้น โมเมนตัมของมันคือผลคูณของ m1 และ v1
เนื่องจากการกระแทกนั้นไม่ยืดหยุ่น นั่นคือรถที่เชื่อมต่อกับชานชาลา และจากนั้นพวกมันก็เริ่มกลิ้งเข้าหากันในทิศทางเดียวกัน แรงกระตุ้นของระบบจึงไม่เปลี่ยนทิศทาง แต่ความหมายของมันเปลี่ยนไป กล่าวคือ ผลคูณของผลรวมของมวลรถกับแท่นและความเร็วที่ต้องการ
คุณสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ดังนี้: m1 * v1 = (m1 + m2) * v มันจะเป็นจริงสำหรับการฉายภาพเวกเตอร์อิมพัลส์บนแกนที่เลือก จากนั้นจึงง่ายต่อการรับความเท่าเทียมกันที่จำเป็นในการคำนวณความเร็วที่ต้องการ: v = m1 * v1 / (m1 + m2)
ตามกฎแล้วค่ามวลควรแปลงจากตันเป็นกิโลกรัม ดังนั้น เมื่อแทนที่ลงในสูตร คุณต้องคูณปริมาณที่ทราบด้วยพันก่อน การคำนวณอย่างง่ายให้เลข 0.75 m/s
คำตอบ. ความเร็วของรถพร้อมแท่นคือ 0.75 เมตร/วินาที
ปัญหาการแบ่งร่างกายออกเป็นส่วนๆ
เงื่อนไข. ความเร็วของระเบิดมือบินคือ 20 m/s มันแตกเป็นสองชิ้น น้ำหนักตัวแรก 1.8 กก. มันยังคงเคลื่อนที่ไปในทิศทางที่ระเบิดมือกำลังบินด้วยความเร็ว 50 เมตรต่อวินาที ชิ้นที่ 2 มีน้ำหนัก 1.2 กก. ความเร็วของมันคืออะไร?
สารละลาย. ให้มวลของชิ้นส่วนเขียนแทนด้วยตัวอักษร m1 และ m2 ความเร็วของพวกเขาจะเป็น v1 และ v2 ตามลำดับ ความเร็วเริ่มต้นระเบิดมือ - v. ปัญหาจำเป็นต้องคำนวณค่าของ v2
เพื่อให้ชิ้นส่วนที่ใหญ่กว่าเคลื่อนที่ต่อไปในทิศทางเดียวกับระเบิดมือทั้งหมด ชิ้นที่สองจะต้องบินเข้าไป ด้านหลัง- หากคุณเลือกทิศทางของแกนให้อยู่ในแรงกระตุ้นเริ่มต้น หลังจากการแตก ชิ้นส่วนขนาดใหญ่จะบินไปตามแกน และชิ้นเล็กจะบินไปกับแกน
ในปัญหานี้อนุญาตให้ใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเนื่องจากการระเบิดของระเบิดทันที ดังนั้นแม้ว่าแรงโน้มถ่วงจะกระทำกับระเบิดมือและส่วนต่างๆ ของมัน แต่ก็ไม่มีเวลาที่จะกระทำและเปลี่ยนทิศทางของเวกเตอร์แรงกระตุ้นด้วยค่าสัมบูรณ์
ผลรวมของขนาดเวกเตอร์ของแรงกระตุ้นหลังการระเบิดของระเบิดเท่ากับขนาดที่อยู่ก่อนหน้ามัน หากเราเขียนกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมของวัตถุเป็นเส้นโครงบนแกน OX จะได้ดังนี้: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2 จากนั้นจึงง่ายต่อการแสดงความเร็วที่ต้องการ มันจะถูกกำหนดโดยสูตร: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2 หลังจากแทนค่าตัวเลขและการคำนวณแล้ว เราจะได้ 25 m/s
คำตอบ. ความเร็วของชิ้นส่วนขนาดเล็กคือ 25 m/s
ปัญหาในการถ่ายภาพมุม
เงื่อนไข. ปืนถูกติดตั้งบนแท่นมวล M ยิงกระสุนปืนมวล m มันบินออกไปในมุม α ไปยังขอบฟ้าด้วยความเร็ว v (กำหนดสัมพันธ์กับพื้น) คุณจำเป็นต้องรู้ความเร็วของแท่นหลังการยิง
สารละลาย. ในปัญหานี้ คุณสามารถใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมในการฉายภาพลงบนแกน OX แต่เฉพาะในกรณีที่การฉายภาพของแรงลัพธ์ภายนอกมีค่าเท่ากับศูนย์เท่านั้น
สำหรับทิศทางของแกน OX คุณต้องเลือกด้านที่กระสุนปืนจะบินและขนานกัน เส้นแนวนอน- ในกรณีนี้ เส้นโครงของแรงโน้มถ่วงและปฏิกิริยาของแนวรับบน OX จะเท่ากับศูนย์
ปัญหาจะได้รับการแก้ไขใน มุมมองทั่วไปเนื่องจากไม่มีข้อมูลเฉพาะสำหรับ ปริมาณที่ทราบ- คำตอบคือสูตร
โมเมนตัมของระบบก่อนการยิงจะเป็นศูนย์ เนื่องจากแท่นและกระสุนปืนหยุดนิ่ง ปล่อยให้ความเร็วของแพลตฟอร์มที่ต้องการแสดงด้วยตัวอักษรละติน u จากนั้นโมเมนตัมหลังการยิงจะถูกกำหนดเป็นผลคูณของมวลและการฉายภาพของความเร็ว เนื่องจากแพลตฟอร์มจะย้อนกลับ (ตรงข้ามกับทิศทางของแกน OX) ค่าแรงกระตุ้นจะมีเครื่องหมายลบ
โมเมนตัมของกระสุนปืนเป็นผลคูณของมวลของมันและการฉายความเร็วบนแกน OX เนื่องจากความจริงที่ว่าความเร็วนั้นพุ่งไปที่มุมหนึ่งถึงขอบฟ้า การฉายภาพจึงเท่ากับความเร็วคูณด้วยโคไซน์ของมุม ในความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริงจะมีลักษณะดังนี้: 0 = - Mu + mv * cos α จากนั้นด้วยการแปลงอย่างง่ายจะได้สูตรคำตอบ: u = (mv * cos α) / M
คำตอบ. ความเร็วของแพลตฟอร์มถูกกำหนดโดยสูตร u = (mv * cos α) / M
ปัญหาการข้ามแม่น้ำ
เงื่อนไข. ความกว้างของแม่น้ำตลอดความยาวเท่ากันและเท่ากับ l ฝั่งแม่น้ำขนานกัน ความเร็วของการไหลของน้ำในแม่น้ำ v1 และความเร็วของเรือ v2 เป็นที่รู้จัก 1) เมื่อข้ามหัวเรือจะมุ่งไปทางฝั่งตรงข้ามอย่างเคร่งครัด จะถูกลากลงไปตามน้ำได้ไกลแค่ไหน? 2). หัวเรือควรหันไปในมุม α เท่าใดจึงจะไปถึง ตรงข้ามธนาคารตั้งฉากกับจุดเริ่มต้นอย่างเคร่งครัด? การข้ามดังกล่าวจะใช้เวลานานเท่าใด?
สารละลาย. 1) ความเร็วรวมของเรือคือผลรวมเวกเตอร์ของสองปริมาณ ประการแรกคือการไหลของแม่น้ำซึ่งไหลไปตามริมฝั่ง อย่างที่สองคือความเร็วของเรือเองซึ่งตั้งฉากกับชายฝั่ง ภาพวาดแสดงให้เห็นสอง คล้ายกับรูปสามเหลี่ยม- ประการแรกเกิดจากความกว้างของแม่น้ำและระยะทางที่เรือล่องลอยไป อย่างที่สองคือด้วยเวกเตอร์ความเร็ว
จากนั้นจะมีรายการต่อไปนี้: s / l = v1 / v2 หลังจากการแปลงจะได้สูตรสำหรับค่าที่ต้องการ: s = l * (v1 / v2)
2). ในโจทย์เวอร์ชันนี้ เวกเตอร์ความเร็วรวมจะตั้งฉากกับชายฝั่ง มันก็เท่าเทียมกัน ผลรวมเวกเตอร์เวอร์ชัน 1 และ เวอร์ชัน 2 ไซน์ของมุมที่เวกเตอร์ความเร็วธรรมชาติต้องเบี่ยงเบนจะเท่ากับอัตราส่วนของโมดูล v1 และ v2 ในการคำนวณเวลาเดินทาง คุณจะต้องหารความกว้างของแม่น้ำด้วยความเร็วเต็มพิกัดที่คำนวณได้ ค่าหลังคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
v = √(v22 – v12) จากนั้น t = l / (√(v22 – v12))
คำตอบ. 1) s = l * (v1 / v2), 2) บาป α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12))