ลอการิทึมของ 10 ถึงฐาน 2 เท่ากับ ลอการิทึมคืออะไร? การแก้ลอการิทึม

เมื่อสังคมพัฒนาและการผลิตมีความซับซ้อนมากขึ้น คณิตศาสตร์ก็พัฒนาขึ้นด้วย การเคลื่อนไหวจากง่ายไปสู่ซับซ้อน จากการบัญชีแบบธรรมดาโดยวิธีการบวกและการลบด้วย ซ้ำหลายครั้งมาถึงแนวคิดเรื่องการคูณและการหาร การลดการดำเนินการคูณซ้ำๆ กลายเป็นแนวคิดเรื่องการยกกำลัง ตารางแรกของการพึ่งพาตัวเลขบนฐานและจำนวนการยกกำลังถูกรวบรวมในศตวรรษที่ 8 โดย Varasena นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย จากนั้นคุณสามารถนับเวลาที่เกิดลอการิทึมได้

ภาพสเก็ตช์ประวัติศาสตร์

การฟื้นตัวของยุโรปในศตวรรษที่ 16 ยังช่วยกระตุ้นการพัฒนากลศาสตร์อีกด้วย ต ต้องใช้การคำนวณจำนวนมากเกี่ยวข้องกับการคูณและการหาร ตัวเลขหลายหลัก- โต๊ะโบราณก็บริการดีมาก พวกเขาทำให้สามารถแทนที่การดำเนินการที่ซับซ้อนด้วยการดำเนินการที่ง่ายกว่า - การบวกและการลบ ก้าวที่ยิ่งใหญ่ผลงานของนักคณิตศาสตร์ Michael Stiefel ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1544 เป็นผู้นำซึ่งเขาได้ตระหนักถึงแนวคิดของนักคณิตศาสตร์หลายคน สิ่งนี้ทำให้สามารถใช้ตารางได้ไม่เพียงแต่สำหรับองศาในรูปแบบเท่านั้น หมายเลขเฉพาะแต่ยังสำหรับคนมีเหตุผลตามอำเภอใจด้วย

ในปี ค.ศ. 1614 ชาวสก็อตแลนด์ จอห์น เนเปียร์ ได้พัฒนาแนวคิดเหล่านี้เป็นครั้งแรก คำศัพท์ใหม่"ลอการิทึมของตัวเลข" ใหม่ ตารางที่ซับซ้อนสำหรับคำนวณลอการิทึมของไซน์และโคไซน์ รวมถึงแทนเจนต์ สิ่งนี้ทำให้การทำงานของนักดาราศาสตร์ลดลงอย่างมาก

ตารางใหม่เริ่มปรากฏขึ้น ซึ่งนักวิทยาศาสตร์ใช้อย่างประสบความสำเร็จมาตลอด สามศตวรรษ- เวลาผ่านไปนานมากก่อนที่การดำเนินการใหม่ในพีชคณิตจะได้รูปแบบที่เสร็จสมบูรณ์ มีการกำหนดลอการิทึมและศึกษาคุณสมบัติของลอการิทึม

เฉพาะในศตวรรษที่ 20 เท่านั้นที่มีการถือกำเนิดขึ้นของเครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ มนุษยชาติจึงละทิ้งโต๊ะโบราณที่ทำงานอย่างประสบความสำเร็จตลอดศตวรรษที่ 13

วันนี้เราเรียกลอการิทึมของ b ว่าเป็นฐานของ x ซึ่งเป็นกำลังของ a ที่ทำให้ b เขียนเป็นสูตร: x = log a(b)

ตัวอย่างเช่น บันทึก 3(9) จะเท่ากับ 2 ซึ่งจะชัดเจนหากคุณปฏิบัติตามคำจำกัดความ ถ้าเรายก 3 ยกกำลัง 2 เราจะได้ 9

ดังนั้น คำจำกัดความที่จัดทำขึ้นจึงกำหนดข้อจำกัดเพียงข้อเดียว คือ ตัวเลข a และ b ต้องเป็นจำนวนจริง

ประเภทของลอการิทึม

คำจำกัดความแบบคลาสสิกเรียกว่าลอการิทึมจริง และจริงๆ แล้วคือคำตอบของสมการ a x = b ตัวเลือก a = 1 ถือเป็นเส้นเขตแดนและไม่เป็นที่สนใจ ข้อควรสนใจ: 1 กำลังใดๆ มีค่าเท่ากับ 1

มูลค่าที่แท้จริงของลอการิทึมกำหนดเฉพาะเมื่อฐานและอาร์กิวเมนต์มากกว่า 0 และฐานต้องไม่เท่ากับ 1

สถานที่พิเศษในสาขาคณิตศาสตร์เล่นลอการิทึม ซึ่งจะตั้งชื่อตามขนาดของฐาน:

กฎและข้อจำกัด

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมคือกฎ: ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมลอการิทึม บันทึก abp = บันทึก ก(b) + บันทึก ก(p)

รูปแบบหนึ่งของข้อความนี้จะมี: log c(b/p) = log c(b) - log c(p) ฟังก์ชันผลหารจะเท่ากับผลต่างของฟังก์ชัน

จากกฎสองข้อก่อนหน้านี้ จะสังเกตได้ง่ายว่า: log a(b p) = p * log a(b)

คุณสมบัติอื่น ๆ ได้แก่ :

ความคิดเห็น อย่าทำผิดพลาดทั่วไป เพราะลอการิทึมของผลรวมไม่ได้เป็นเช่นนั้น เท่ากับผลรวมลอการิทึม

เป็นเวลาหลายศตวรรษแล้วที่การค้นหาลอการิทึมเป็นงานที่ค่อนข้างใช้เวลานาน นักคณิตศาสตร์ก็ใช้ สูตรที่รู้จักกันดีทฤษฎีลอการิทึมของการขยายตัวพหุนาม:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n) โดยที่ n - จำนวนธรรมชาติมากกว่า 1 ซึ่งเป็นตัวกำหนดความแม่นยำของการคำนวณ

ลอการิทึมที่มีฐานอื่นคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนจากฐานหนึ่งไปอีกฐานหนึ่งและคุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์

เนื่องจากวิธีนี้ใช้แรงงานเข้มข้นมากและ เมื่อตัดสินใจ ปัญหาในทางปฏิบัติ ยากต่อการนำไปใช้ เราใช้ตารางลอการิทึมที่คอมไพล์ไว้ล่วงหน้า ซึ่งทำให้งานทั้งหมดเร็วขึ้นอย่างเห็นได้ชัด

ในบางกรณีมีการใช้กราฟลอการิทึมที่ออกแบบมาเป็นพิเศษซึ่งให้ความแม่นยำน้อยกว่า แต่ช่วยเร่งการค้นหาได้อย่างมาก ค่าที่ต้องการ- เส้นโค้งของฟังก์ชัน y = log a(x) ซึ่งสร้างขึ้นบนหลายจุด ทำให้คุณสามารถใช้ไม้บรรทัดธรรมดาเพื่อค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดอื่นได้ วิศวกร เวลานานเพื่อจุดประสงค์เหล่านี้จึงใช้สิ่งที่เรียกว่ากระดาษกราฟ

ในศตวรรษที่ 17 เงื่อนไขการคำนวณแอนะล็อกเสริมครั้งแรกปรากฏขึ้นซึ่ง ศตวรรษที่ 19ได้รับการดูเสร็จแล้ว อุปกรณ์ที่ประสบความสำเร็จสูงสุดเรียกว่ากฎสไลด์ แม้จะมีความเรียบง่ายของอุปกรณ์ แต่รูปลักษณ์ภายนอกของมันช่วยเร่งกระบวนการคำนวณทางวิศวกรรมทั้งหมดได้อย่างมีนัยสำคัญ และนี่เป็นเรื่องยากที่จะประเมินค่าสูงไป ปัจจุบันมีเพียงไม่กี่คนที่คุ้นเคยกับอุปกรณ์นี้

การถือกำเนิดขึ้นของเครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ทำให้การใช้อุปกรณ์อื่นๆ ไร้จุดหมาย

สมการและอสมการ

เพื่อแก้ปัญหา สมการที่แตกต่างกันและอสมการโดยใช้ลอการิทึมใช้สูตรต่อไปนี้:

การเปลี่ยนจากฐานหนึ่งไปอีกฐานหนึ่ง: log a(b) = log c(b) / log c(a);
อันเป็นผลมาจากตัวเลือกก่อนหน้า: log a(b) = 1 / log b(a)

เพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกัน จะมีประโยชน์ที่จะรู้:

ค่าลอการิทึมจะเป็นค่าบวกก็ต่อเมื่อฐานและอาร์กิวเมนต์มีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าหนึ่งเท่านั้น หากมีการละเมิดเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งข้อ ค่าลอการิทึมจะเป็นลบ
หากใช้ฟังก์ชันลอการิทึมกับด้านขวาและด้านซ้ายของอสมการ และฐานของลอการิทึมมากกว่า 1 แสดงว่าสัญญาณของอสมการยังคงอยู่ วี มิฉะนั้นเขากำลังเปลี่ยนแปลง

ปัญหาตัวอย่าง

ลองพิจารณาหลายตัวเลือกสำหรับการใช้ลอการิทึมและคุณสมบัติต่างๆ ตัวอย่างที่มีการแก้สมการ:

พิจารณาตัวเลือกในการวางลอการิทึมลงในกำลัง:

ปัญหาที่ 3 คำนวณ 25^log 5(3) วิธีแก้ไข: ในเงื่อนไขของปัญหา รายการจะคล้ายกับรายการต่อไปนี้ (5^2)^log5(3) หรือ 5^(2 * log 5(3)) ลองเขียนให้แตกต่างออกไป: 5^log 5(3*2) หรือกำลังสองของตัวเลขเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันสามารถเขียนเป็นกำลังสองของฟังก์ชันได้ (5^log 5(3))^2 การใช้คุณสมบัติของลอการิทึม นิพจน์นี้จะเท่ากับ 3^2 คำตอบ: จากการคำนวณเราได้ 9

การประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ

เนื่องจากเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ จึงดูเหมือนห่างไกลจากความเป็นจริง ชีวิตจริงที่ลอการิทึมได้มาอย่างกะทันหัน คุ้มค่ามากเพื่ออธิบายวัตถุ โลกแห่งความเป็นจริง- เป็นการยากที่จะหาวิทยาศาสตร์ที่ไม่ได้ใช้ สิ่งนี้ไม่เพียงนำไปใช้กับความรู้ทางธรรมชาติเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสาขาความรู้ด้านมนุษยธรรมด้วย

การพึ่งพาลอการิทึม

นี่คือตัวอย่างบางส่วนของการขึ้นต่อกันของตัวเลข:

กลศาสตร์และฟิสิกส์

ในอดีตกลศาสตร์และฟิสิกส์มีการพัฒนาโดยใช้มาโดยตลอด วิธีการทางคณิตศาสตร์การวิจัยและในขณะเดียวกันก็ทำหน้าที่เป็นแรงจูงใจในการพัฒนาคณิตศาสตร์รวมถึงลอการิทึม ทฤษฎีกฎฟิสิกส์ส่วนใหญ่เขียนด้วยภาษาคณิตศาสตร์ ขอยกตัวอย่างคำอธิบายเพียงสองตัวอย่าง กฎทางกายภาพโดยใช้ลอการิทึม

แก้ไขปัญหาการคำนวณเช่นนี้ ขนาดที่ซับซ้อนวิธีกำหนดความเร็วของจรวดโดยใช้สูตร Tsiolkovsky ซึ่งวางรากฐานสำหรับทฤษฎีการสำรวจอวกาศ:

V = I * ln (M1/M2) โดยที่

วี – ความเร็วสุดท้ายอากาศยาน.
ฉัน – แรงกระตุ้นเฉพาะของเครื่องยนต์
M 1 – มวลเริ่มต้นของจรวด
M 2 – มวลสุดท้าย

อื่น ตัวอย่างที่สำคัญ - ใช้ในสูตรของนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่อีกคนอย่าง Max Planck ซึ่งทำหน้าที่ประเมินสถานะสมดุลในอุณหพลศาสตร์

S = k * ln (Ω) โดยที่

S – คุณสมบัติทางอุณหพลศาสตร์
k – ค่าคงที่ของ Boltzmann
Ω คือน้ำหนักทางสถิติของสถานะต่างๆ

เคมี

ไม่ชัดเจนคือการใช้สูตรในวิชาเคมีที่มีอัตราส่วนของลอการิทึม ขอยกตัวอย่างเพียงสองตัวอย่าง:

สมการเนิร์นสต์ คือสภาวะของศักย์รีดอกซ์ของตัวกลางที่สัมพันธ์กับแอคติวิตีของสารและค่าคงที่สมดุล
การคำนวณค่าคงที่เช่นดัชนีการสลายอัตโนมัติและความเป็นกรดของสารละลายก็ไม่สามารถทำได้หากไม่มีฟังก์ชันของเรา

จิตวิทยาและชีววิทยา

และยังไม่ชัดเจนว่าจิตวิทยาเกี่ยวข้องกับเรื่องนี้อย่างไร ปรากฎว่าฟังก์ชั่นนี้อธิบายความแข็งแกร่งของความรู้สึกได้ดี ความสัมพันธ์ผกผันค่าความเข้มของการกระตุ้นให้เป็นค่าความเข้มที่ต่ำกว่า

หลังจากตัวอย่างข้างต้น จึงไม่น่าแปลกใจอีกต่อไปที่หัวข้อลอการิทึมมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาชีววิทยา ปริมาตรทั้งหมดสามารถเขียนเกี่ยวกับรูปแบบทางชีววิทยาที่สอดคล้องกับเกลียวลอการิทึม

พื้นที่อื่นๆ

ดูเหมือนว่าการดำรงอยู่ของโลกจะเป็นไปไม่ได้หากปราศจากความเกี่ยวข้องกับหน้าที่นี้ และมันจะควบคุมกฎทั้งหมด โดยเฉพาะเมื่อกฎแห่งธรรมชาติเกี่ยวข้องกัน ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต- คุ้มค่าที่จะหันมาใช้เว็บไซต์ MatProfi และมีตัวอย่างมากมายในกิจกรรมต่อไปนี้:

รายการสามารถไม่มีที่สิ้นสุด เมื่อเชี่ยวชาญหลักการพื้นฐานของฟังก์ชันนี้แล้ว คุณสามารถดำดิ่งสู่โลกแห่งปัญญาอันไม่มีที่สิ้นสุด

เราศึกษาลอการิทึมต่อไป ในบทความนี้เราจะพูดถึง การคำนวณลอการิทึมกระบวนการนี้เรียกว่า ลอการิทึม- ขั้นแรก เราจะเข้าใจการคำนวณลอการิทึมตามคำจำกัดความ ต่อไปเรามาดูวิธีการหาค่าลอการิทึมโดยใช้คุณสมบัติของพวกเขา หลังจากนี้เราจะเน้นไปที่การคำนวณลอการิทึมตั้งแต่ต้น ตั้งค่าลอการิทึมอื่น ๆ สุดท้ายนี้ เรามาดูวิธีใช้ตารางลอการิทึมกัน ทฤษฎีทั้งหมดมีตัวอย่างพร้อมคำตอบโดยละเอียด

การนำทางหน้า

การคำนวณลอการิทึมตามคำจำกัดความ

ในกรณีที่ง่ายที่สุด สามารถทำได้ค่อนข้างรวดเร็วและง่ายดาย การหาลอการิทึมตามคำจำกัดความ- มาดูกันว่ากระบวนการนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร

สาระสำคัญของมันคือการแสดงตัวเลข b ในรูปแบบ a c ซึ่งตามคำจำกัดความของลอการิทึม จำนวน c คือค่าของลอการิทึม ตามคำนิยามแล้ว สายโซ่แห่งความเท่าเทียมกันต่อไปนี้สอดคล้องกับการค้นหาลอการิทึม: log a b=log a a c =c

ดังนั้น การคำนวณลอการิทึมตามคำจำกัดความจึงต้องหาตัวเลข c โดยที่ a c = b และตัว c เองก็เป็นค่าที่ต้องการของลอการิทึม

โดยคำนึงถึงข้อมูลในย่อหน้าก่อนหน้า เมื่อตัวเลขภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมได้รับจากกำลังของฐานลอการิทึม คุณสามารถระบุได้ทันทีว่าลอการิทึมมีค่าเท่ากับอะไร - มัน เท่ากับตัวบ่งชี้องศา เรามาแสดงวิธีแก้ปัญหาให้กับตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง.

ค้นหาบันทึก 2 2 −3 และคำนวณลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลข e 5,3 ด้วย

สารละลาย.

คำจำกัดความของลอการิทึมช่วยให้เราบอกได้ทันทีว่า log 2 2 −3 =−3 โดยแท้แล้ว ตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมมีค่าเท่ากับฐาน 2 ยกกำลัง −3

ในทำนองเดียวกัน เราพบลอการิทึมที่สอง: lne 5.3 =5.3

คำตอบ:

บันทึก 2 2 −3 =−3 และ lne 5,3 =5,3

หากไม่ได้ระบุเลข b ใต้เครื่องหมายลอการิทึมเป็นกำลังของฐานลอการิทึม คุณต้องพิจารณาอย่างรอบคอบเพื่อดูว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะแทนตัวเลข b ในรูปแบบ a c บ่อยครั้งที่การแสดงนี้ค่อนข้างชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมเท่ากับฐานยกกำลัง 1 หรือ 2 หรือ 3 ...

ตัวอย่าง.

คำนวณบันทึกลอการิทึม 5 25 และ

สารละลาย.

สังเกตได้ง่ายว่า 25=5 2 จะทำให้คุณสามารถคำนวณลอการิทึมแรกได้: log 5 25=log 5 5 2 =2

มาดูการคำนวณลอการิทึมที่สองกันดีกว่า ตัวเลขสามารถแสดงเป็นกำลังของ 7: (ดูว่าจำเป็นหรือไม่) เพราะฉะนั้น, .

ลองเขียนลอการิทึมที่สามใหม่กัน แบบฟอร์มต่อไปนี้- ตอนนี้คุณสามารถเห็นสิ่งนั้นได้แล้ว ซึ่งเราก็สรุปได้ว่า - ดังนั้นโดยนิยามของลอการิทึม .

เขียนวิธีแก้ปัญหาโดยย่อได้ดังนี้: .

คำตอบ:

ล็อก 5 25=2 , และ .

เมื่อมีจำนวนธรรมชาติเพียงพอภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม การขยายเข้าไปก็ไม่ใช่เรื่องเสียหาย ปัจจัยสำคัญ- การแสดงตัวเลขเช่นกำลังของฐานลอการิทึมมักจะช่วยได้ ดังนั้นจึงคำนวณลอการิทึมนี้ตามคำจำกัดความ

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าลอการิทึม

สารละลาย.

คุณสมบัติบางอย่างของลอการิทึมช่วยให้คุณสามารถระบุค่าลอการิทึมได้ทันที คุณสมบัติเหล่านี้รวมถึงคุณสมบัติของลอการิทึมของหน่วยและคุณสมบัติของลอการิทึมของตัวเลข เท่ากับฐาน: log 1 1=log a a 0 =0 และ log a a=log a 1 =1 นั่นคือ เมื่อใต้เครื่องหมายลอการิทึม มีตัวเลข 1 หรือตัวเลข a เท่ากับฐานของลอการิทึม ในกรณีนี้ ลอการิทึมจะเท่ากับ 0 และ 1 ตามลำดับ

ตัวอย่าง.

ลอการิทึมและ log10 เท่ากับอะไร?

สารละลาย.

เนื่องจาก จากนั้นจากคำจำกัดความของลอการิทึมจึงเป็นไปตามนั้น .

ในตัวอย่างที่สอง เลข 10 ใต้เครื่องหมายลอการิทึมตรงกับฐาน ดังนั้นลอการิทึมทศนิยมของ 10 เท่ากับหนึ่งนั่นคือ log10=lg10 1 =1

คำตอบ:

และ lg10=1 .

โปรดทราบว่าการคำนวณลอการิทึมตามคำจำกัดความ (ซึ่งเราได้กล่าวถึงไปแล้ว ย่อหน้าก่อนหน้า) หมายถึงการใช้บันทึกความเท่าเทียมกัน a a p =p ซึ่งเป็นหนึ่งในคุณสมบัติของลอการิทึม

ในทางปฏิบัติ เมื่อตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมและฐานของลอการิทึมสามารถแทนค่ากำลังของจำนวนหนึ่งได้อย่างง่ายดาย การใช้สูตรจะสะดวกมาก ซึ่งสอดคล้องกับหนึ่งในคุณสมบัติของลอการิทึม ลองดูตัวอย่างการค้นหาลอการิทึมที่แสดงให้เห็นการใช้สูตรนี้

ตัวอย่าง.

คำนวณลอการิทึม.

สารละลาย.

คำตอบ:

คุณสมบัติของลอการิทึมที่ไม่ได้กล่าวถึงข้างต้นยังใช้ในการคำนวณด้วย แต่เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในย่อหน้าต่อไปนี้

การค้นหาลอการิทึมผ่านลอการิทึมอื่นที่รู้จัก

ข้อมูลในย่อหน้านี้ยังคงเป็นหัวข้อการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมเมื่อคำนวณ แต่ข้อแตกต่างที่สำคัญตรงนี้คือคุณสมบัติของลอการิทึมถูกใช้เพื่อแสดงลอการิทึมดั้งเดิมในรูปของลอการิทึมอื่น ซึ่งเป็นค่าที่ทราบ ขอยกตัวอย่างเพื่อความกระจ่าง สมมติว่าเรารู้ว่าบันทึก 2 3µ1.584963 จากนั้นเราสามารถค้นหาบันทึก 2 6 ได้โดยทำการแปลงเล็กน้อยโดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม: บันทึก 2 6=บันทึก 2 (2 3)=บันทึก 2 2+บันทึก 2 3data 1+1,584963=2,584963 .

ในตัวอย่างข้างต้น การใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ก็เพียงพอแล้ว อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องใช้คุณสมบัติลอการิทึมที่กว้างขึ้นเพื่อคำนวณลอการิทึมดั้งเดิมผ่านค่าที่กำหนด

ตัวอย่าง.

คำนวณลอการิทึมของ 27 ถึงฐาน 60 หากคุณรู้ว่าบันทึก 60 2=a และบันทึก 60 5=b

สารละลาย.

ดังนั้นเราจึงต้องหา log 60 27 เห็นได้ง่ายว่า 27 = 3 3 และลอการิทึมดั้งเดิม เนื่องจากคุณสมบัติของลอการิทึมของกำลัง สามารถเขียนใหม่เป็น 3·log 60 3 ได้

ตอนนี้เรามาดูวิธีแสดงบันทึก 60 3 ในรูปของลอการิทึมที่รู้จัก คุณสมบัติของลอการิทึมของตัวเลขที่เท่ากับฐานทำให้เราสามารถเขียนบันทึกความเท่าเทียมกัน 60 60=1 ในทางกลับกัน บันทึก 60 60=log60(2 2 3 5)= บันทึก 60 2 2 +บันทึก 60 3+บันทึก 60 5= 2·ล็อก 60 2+ล็อก 60 3+ล็อก 60 5 ดังนั้น, 2 บันทึก 60 2+บันทึก 60 3+บันทึก 60 5=1- เพราะฉะนั้น, ล็อก 60 3=1−2·ล็อก 60 2−ล็อก 60 5=1−2·a−b.

สุดท้าย เราคำนวณลอการิทึมดั้งเดิม: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

คำตอบ:

ล็อก 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

แยกกันเป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การกล่าวถึงความหมายของสูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึมของแบบฟอร์ม - ช่วยให้คุณสามารถย้ายจากลอการิทึมที่มีฐานใด ๆ ไปยังลอการิทึมที่มีฐานเฉพาะซึ่งเป็นค่าที่ทราบหรือเป็นไปได้ที่จะค้นหา โดยปกติจากลอการิทึมดั้งเดิมโดยใช้สูตรการเปลี่ยนแปลงพวกเขาจะย้ายไปที่ลอการิทึมในฐานใดฐานหนึ่ง 2, e หรือ 10 เนื่องจากสำหรับฐานเหล่านี้จะมีตารางลอการิทึมที่อนุญาตให้คำนวณค่าด้วยระดับหนึ่ง ความแม่นยำ. ใน จุดถัดไปเราจะแสดงให้คุณเห็นว่ามันเสร็จสิ้นอย่างไร

ตารางลอการิทึมและการนำไปใช้

สำหรับการคำนวณค่าลอการิทึมโดยประมาณสามารถใช้ได้ ตารางลอการิทึม- ตารางลอการิทึมฐาน 2 ที่ใช้กันมากที่สุดคือตาราง ลอการิทึมธรรมชาติและตารางลอการิทึมฐานสิบ เมื่อเข้ามาทำงาน ระบบทศนิยมสำหรับแคลคูลัส สะดวกในการใช้ตารางลอการิทึมตามฐานสิบ ด้วยความช่วยเหลือเราจะเรียนรู้การค้นหาค่าลอการิทึม

ตารางที่นำเสนอช่วยให้คุณค้นหาค่าลอการิทึมทศนิยมของตัวเลขตั้งแต่ 1,000 ถึง 9,999 (มีทศนิยมสามตำแหน่ง) ด้วยความแม่นยำหนึ่งหมื่น เราจะวิเคราะห์หลักการหาค่าลอการิทึมโดยใช้ตารางลอการิทึมทศนิยมลงไป ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง– วิธีนี้ชัดเจนกว่า มาหา log1.256 กันดีกว่า

ในคอลัมน์ด้านซ้ายของตารางลอการิทึมทศนิยม เราพบตัวเลขสองตัวแรกของตัวเลข 1.256 นั่นคือเราพบ 1.2 (ตัวเลขนี้จะวงกลมเป็นสีน้ำเงินเพื่อความชัดเจน) เราพบหลักที่สามของ 1.256 (หลัก 5) ในตัวแรกหรือ บรรทัดสุดท้ายทางด้านซ้ายของเส้นคู่ (ตัวเลขนี้วงกลมสีแดง) หลักที่สี่ของหมายเลขเดิม 1.256 (หลัก 6) จะอยู่ที่บรรทัดแรกหรือบรรทัดสุดท้ายทางด้านขวาของเส้นคู่ (หมายเลขนี้วงกลมด้วยเส้นสีเขียว) ตอนนี้เราพบตัวเลขในเซลล์ของตารางลอการิทึมที่จุดตัดของแถวที่ทำเครื่องหมายไว้และคอลัมน์ที่ทำเครื่องหมายไว้ (ตัวเลขเหล่านี้ถูกเน้นไว้ ส้ม- ผลรวมของตัวเลขที่ทำเครื่องหมายไว้จะให้ค่าที่ต้องการ ลอการิทึมทศนิยมแม่นยำถึงทศนิยมตำแหน่งที่สี่ กล่าวคือ บันทึก1.236µ0.0969+0.0021=0.0990.

เป็นไปได้หรือไม่โดยใช้ตารางด้านบนเพื่อค้นหาค่าลอการิทึมทศนิยมของตัวเลขที่มีตัวเลขหลังจุดทศนิยมมากกว่าสามหลักรวมทั้งค่าที่เกินช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 9.999 ใช่คุณสามารถ เรามาแสดงวิธีการทำสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

มาคำนวณ lg102.76332 กัน ก่อนอื่นคุณต้องเขียนลงไป หมายเลขเข้า แบบฟอร์มมาตรฐาน : 102.76332=1.0276332·10 2. หลังจากนี้ แมนทิสซาควรถูกปัดเศษเป็นทศนิยมตำแหน่งที่สามตามที่เรามี 1.0276332 10 2 µ1.028 10 2ในขณะที่ลอการิทึมทศนิยมดั้งเดิมมีค่าประมาณ เท่ากับลอการิทึมจำนวนผลลัพธ์คือเราเอา log102.76332µlg1.028·10 2 ตอนนี้เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึม: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2- สุดท้าย เราพบค่าลอการิทึม lg1.028 จากตารางลอการิทึมฐานสิบ lg1.028µ0.0086+0.0034=0.012 เป็นผลให้กระบวนการทั้งหมดในการคำนวณลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log102.76332=log1.0276332 10 2 µlg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2γ0.012+2=2.012.

โดยสรุปเป็นที่น่าสังเกตว่าการใช้ตารางลอการิทึมทศนิยมคุณสามารถคำนวณค่าโดยประมาณของลอการิทึมใดก็ได้ ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะใช้สูตรการเปลี่ยนแปลงเพื่อไปยังลอการิทึมทศนิยมค้นหาค่าในตารางและทำการคำนวณที่เหลือ

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณบันทึก 2 3 กัน ตามสูตรการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึม เรามี . จากตารางลอการิทึมทศนิยม เราพบ log3γ0.4771 และ log2γ0.3010 ดังนั้น, .

อ้างอิง.

โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)

ในอัตราส่วน

สามารถกำหนดภารกิจในการค้นหาตัวเลขทั้งสามตัวจากอีกสองตัวที่กำหนดได้ ถ้าให้ a และ N ไว้ จะหาได้โดยการยกกำลัง ถ้า N และ a ถูกกำหนดโดยการหารากของดีกรี x (หรือยกกำลัง) ทีนี้ ลองพิจารณากรณีที่ เมื่อให้ a และ N เราต้องค้นหา x

ให้จำนวน N เป็นบวก: จำนวน a เป็นบวกและไม่เท่ากับหนึ่ง:

คำนิยาม. ลอการิทึมของเลข N ถึงฐาน a คือเลขชี้กำลังที่ต้องยก a เพื่อให้ได้เลข N ลอการิทึมเขียนแทนด้วย

ดังนั้น ในความเท่าเทียมกัน (26.1) เลขชี้กำลังจึงถูกพบเป็นลอการิทึมของ N ถึงฐาน a กระทู้

มี ความหมายเดียวกัน- ความเท่าเทียมกัน (26.1) บางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์หลักของทฤษฎีลอการิทึม ในความเป็นจริงมันเป็นการแสดงออกถึงคำจำกัดความของแนวคิดเรื่องลอการิทึม โดย คำจำกัดความนี้ฐานของลอการิทึม a จะเป็นค่าบวกเสมอและแตกต่างจากความสามัคคี เลขลอการิทึม N เป็นบวก จำนวนลบและศูนย์ไม่มีลอการิทึม สามารถพิสูจน์ได้ว่าตัวเลขใดๆ ที่มีฐานที่กำหนดมีลอการิทึมที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน ความเท่าเทียมกันจึงบังเกิด โปรดทราบว่าเงื่อนไขเป็นสิ่งจำเป็นที่นี่ มิฉะนั้นข้อสรุปจะไม่ได้รับการพิสูจน์เนื่องจากความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ x และ y

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหา

สารละลาย. การจะได้เลขต้องยกฐาน 2 ยกกำลัง ดังนั้น

คุณสามารถจดบันทึกเมื่อแก้ไขตัวอย่างดังกล่าวในรูปแบบต่อไปนี้:

ตัวอย่างที่ 2. ค้นหา

สารละลาย. เรามี

ในตัวอย่างที่ 1 และ 2 เราพบลอการิทึมที่ต้องการได้อย่างง่ายดายโดยแทนเลขลอการิทึมเป็นกำลังของฐานด้วย ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล- ใน กรณีทั่วไปตัวอย่างเช่น ฯลฯ นี้ไม่สามารถทำได้ เนื่องจากลอการิทึมมี ความหมายที่ไม่ลงตัว- ให้เราใส่ใจกับประเด็นหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับคำชี้แจงนี้ ในย่อหน้าที่ 12 เราได้ให้แนวคิดเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการพิจารณาสิ่งใดๆ ระดับที่แท้จริงที่ให้ไว้ จำนวนบวก- นี่เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการแนะนำลอการิทึม ซึ่งโดยทั่วไปแล้วอาจเป็นจำนวนอตรรกยะได้

ลองดูคุณสมบัติบางอย่างของลอการิทึม

คุณสมบัติ 1 ถ้าตัวเลขและฐานเท่ากัน ลอการิทึมจะเท่ากับ 1 และในทางกลับกัน ถ้าลอการิทึมเท่ากับ 1 ตัวเลขและฐานก็จะเท่ากัน

การพิสูจน์. อนุญาต ตามคำจำกัดความของลอการิทึมที่เรามีและที่ไหน

ในทางกลับกัน ให้ จากนั้น ตามคำนิยาม

คุณสมบัติ 2. ลอการิทึมของหนึ่งถึงฐานใดๆ เท่ากับศูนย์.

การพิสูจน์. ตามคำจำกัดความของลอการิทึม ( ระดับศูนย์ฐานบวกใดๆ ก็ตามจะเท่ากับหนึ่ง ดู (10.1) จากที่นี่

Q.E.D.

ข้อความสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้า แล้ว N = 1 อันที่จริง เรามี

ก่อนที่จะกำหนดคุณสมบัติถัดไปของลอการิทึม ให้เราตกลงที่จะบอกว่าตัวเลข a และ b สองตัวอยู่บนด้านเดียวกันของเลขตัวที่สาม c ถ้าทั้งสองมีค่ามากกว่า c หรือน้อยกว่า c หากตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งมากกว่า c และอีกจำนวนหนึ่งน้อยกว่า c เราก็จะบอกว่าพวกมันเข้ากันได้ ด้านที่แตกต่างกันจากหมู่บ้าน

คุณสมบัติ 3 ถ้าตัวเลขและฐานอยู่ด้านเดียวกัน ลอการิทึมจะเป็นค่าบวก หากตัวเลขและฐานอยู่ตรงข้ามกัน ลอการิทึมจะเป็นลบ

การพิสูจน์คุณสมบัติ 3 ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่ากำลังของ a มากกว่า 1 ถ้าฐานมากกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นบวก หรือฐานน้อยกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นลบ กำลังจะน้อยกว่า 1 ถ้าฐานมากกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นลบ หรือฐานน้อยกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นบวก

มีสี่กรณีที่ต้องพิจารณา:

เราจะจำกัดตัวเองให้วิเคราะห์สิ่งแรก ผู้อ่านจะพิจารณาส่วนที่เหลือด้วยตัวเอง

ปล่อยให้ในความเท่าเทียมกัน เลขชี้กำลังไม่สามารถเป็นทั้งลบหรือได้ เท่ากับศูนย์ดังนั้นจึงเป็นบวก กล่าวคือ ตามที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาว่าลอการิทึมใดด้านล่างนี้เป็นค่าบวกและค่าใดเป็นค่าลบ:

วิธีแก้ปัญหา ก) เนื่องจากเลข 15 และฐาน 12 อยู่ด้านเดียวกันของเลขหนึ่ง

b) เนื่องจาก 1,000 และ 2 อยู่ที่ด้านหนึ่งของยูนิต ในกรณีนี้ ฐานจะมากกว่าเลขลอการิทึมไม่สำคัญ

c) เนื่องจาก 3.1 และ 0.8 อยู่ฝั่งตรงข้ามของความสามัคคี

ช) ; ทำไม

ง) ; ทำไม

คุณสมบัติ 4-6 ต่อไปนี้มักเรียกว่ากฎของลอการิทึม: คุณสมบัติเหล่านี้ช่วยให้ทราบลอการิทึมของตัวเลขจำนวนหนึ่งเพื่อค้นหาลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ ผลหาร และระดับของแต่ละตัว

คุณสมบัติ 4 (กฎลอการิทึมผลคูณ) ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ของจำนวนบวกหลายจำนวนโดย พื้นฐานนี้เท่ากับผลรวมของลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้ให้เป็นฐานเดียวกัน

การพิสูจน์. ให้ตัวเลขที่ให้มาเป็นบวก

สำหรับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เราจะเขียนค่าความเท่าเทียมกัน (26.1) ซึ่งกำหนดลอการิทึม:

จากนี้เราจะพบกับ

การเปรียบเทียบเลขชี้กำลังของตัวแรกและ สำนวนสุดท้ายเราได้รับความเท่าเทียมกันที่ต้องการ:

โปรดทราบว่าเงื่อนไขเป็นสิ่งจำเป็น ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ของทั้งสอง ตัวเลขติดลบสมเหตุสมผล แต่ในกรณีนี้เราเข้าใจแล้ว

โดยทั่วไปหากผลคูณของปัจจัยหลายประการเป็นบวก ลอการิทึมของมันจะเท่ากับผลรวมของลอการิทึมของค่าสัมบูรณ์ของปัจจัยเหล่านี้

คุณสมบัติ 5 (กฎสำหรับการรับลอการิทึมของผลหาร) ลอการิทึมของผลหารของจำนวนบวกเท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของเงินปันผลและตัวหารที่นำมาจากฐานเดียวกัน การพิสูจน์. เราก็หามาเรื่อยๆ

Q.E.D.

คุณสมบัติ 6 (กฎลอการิทึมกำลัง) ลอการิทึมของกำลังของจำนวนบวกใดๆ จะเท่ากับลอการิทึมของจำนวนนั้นคูณด้วยเลขชี้กำลัง

การพิสูจน์. ให้เราเขียนเอกลักษณ์หลัก (26.1) อีกครั้งสำหรับตัวเลข:

Q.E.D.

ผลที่ตามมา ลอการิทึมของรากของจำนวนบวกเท่ากับลอการิทึมของรากหารด้วยเลขชี้กำลังของราก:

ความถูกต้องของข้อพิสูจน์นี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการจินตนาการถึงวิธีการและการใช้คุณสมบัติ 6

ตัวอย่างที่ 4 นำลอการิทึมมาเป็นฐาน:

ก) (สันนิษฐานว่าค่าทั้งหมด b, c, d, e เป็นบวก)

b) (สันนิษฐานว่า )

วิธีแก้ไข ก) การเดินทางสะดวก การแสดงออกนี้ยกกำลังเศษส่วน:

จากความเท่าเทียมกัน (26.5)-(26.7) เราสามารถเขียนได้:

เราสังเกตเห็นว่าการดำเนินการกับลอการิทึมของตัวเลขง่ายกว่าการดำเนินการกับตัวเลขเอง: เมื่อคูณตัวเลข ลอการิทึมของพวกมันจะถูกบวก เมื่อหาร พวกมันจะถูกลบ ฯลฯ

นั่นคือเหตุผลที่ใช้ลอการิทึมในการฝึกคำนวณ (ดูย่อหน้าที่ 29)

การกระทำผกผันของลอการิทึมเรียกว่าศักยภาพ กล่าวคือ ศักยภาพคือการกระทำที่ใช้ค้นหาตัวเลขจากลอการิทึมที่กำหนดของตัวเลข โดยพื้นฐานแล้ว ศักยภาพไม่ใช่การดำเนินการพิเศษใดๆ แต่ขึ้นอยู่กับการเพิ่มฐานให้เป็นกำลัง (เท่ากับลอการิทึมของตัวเลข) คำว่า "ศักยภาพ" ถือได้ว่ามีความหมายเหมือนกันกับคำว่า "การยกกำลัง"

เมื่อเพิ่มศักยภาพ เราต้องใช้กฎที่ผกผันกับกฎของลอการิทึม: แทนที่ผลรวมของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ ผลต่างของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลหาร ฯลฯ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากมีปัจจัยอยู่ข้างหน้า ของเครื่องหมายของลอการิทึม จากนั้นในระหว่างการโพเทนเชียลจะต้องถ่ายโอนไปยังองศาเลขชี้กำลังภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 5 ค้นหา N หากทราบสิ่งนั้น

สารละลาย. ในการเชื่อมต่อกับกฎศักยภาพที่ระบุไว้ เราจะถ่ายโอนปัจจัย 2/3 และ 1/3 ที่ยืนอยู่หน้าเครื่องหมายลอการิทึมทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้ไปเป็นเลขชี้กำลังภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมเหล่านี้ เราได้รับ

ตอนนี้เราแทนที่ผลต่างของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลหาร:

เพื่อให้ได้เศษส่วนสุดท้ายของห่วงโซ่ความเท่าเทียมกันนี้ เราได้ปล่อยเศษส่วนก่อนหน้าออกจากความไม่ลงตัวในตัวส่วน (ข้อ 25)

คุณสมบัติ 7. ถ้าฐานมีมากกว่าหนึ่งแล้ว จำนวนที่มากขึ้นมีลอการิทึมที่ใหญ่กว่า (และจำนวนที่น้อยกว่าก็จะมีลอการิทึมที่น้อยกว่า) ถ้าฐานน้อยกว่าหนึ่ง จำนวนที่มากกว่าก็จะมีลอการิทึมที่น้อยกว่า (และจำนวนที่น้อยกว่าก็จะมีลอการิทึมที่ใหญ่กว่า)

คุณสมบัตินี้ยังถูกกำหนดให้เป็นกฎสำหรับการหาลอการิทึมของอสมการ ซึ่งทั้งสองด้านเป็นบวก:

เมื่อนำลอการิทึมของอสมการมาเป็นฐาน มากกว่าหนึ่งเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกันจะคงอยู่ และเมื่อนำลอการิทึมไปที่ฐานที่น้อยกว่า 1 เครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม (ดูย่อหน้าที่ 80 ด้วย)

การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติ 5 และ 3 พิจารณากรณีเมื่อ ถ้า แล้ว และ เมื่อรับลอการิทึม เราได้

(a และ N/M อยู่บนด้านเดียวกันของความสามัคคี) จากที่นี่

กรณีต่อไปนี้ผู้อ่านจะคิดออกเอง

วันนี้เราจะมาพูดถึง สูตรลอการิทึมและให้ตัวบ่งชี้ ตัวอย่างการแก้ปัญหา.

พวกเขาเองบ่งบอกถึงรูปแบบการแก้ปัญหาตามคุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม ก่อนที่จะใช้สูตรลอการิทึมเพื่อแก้โจทย์ ให้เราเตือนคุณถึงคุณสมบัติทั้งหมดก่อน:

ตอนนี้เราจะแสดงตามสูตร (คุณสมบัติ) เหล่านี้ ตัวอย่างการแก้ลอการิทึม.

ตัวอย่างการแก้ลอการิทึมตามสูตร

ลอการิทึมจำนวนบวก b ถึงฐาน a (เขียนแทนด้วยบันทึก a b) คือเลขชี้กำลังที่ต้องยก a ขึ้นเพื่อให้ได้ b โดยมี b > 0, a > 0 และ 1

ตาม คำจำกัดความของบันทึก a b = x ซึ่งเทียบเท่ากับ a x = b ดังนั้นให้บันทึก a a x = x

ลอการิทึมตัวอย่าง:

บันทึก 2 8 = 3 เพราะ 2 3 = 8

บันทึก 7 49 = 2 เพราะ 7 2 = 49

บันทึก 5 1/5 = -1 เพราะ 5 -1 = 1/5

ลอการิทึมทศนิยม- นี่คือลอการิทึมสามัญซึ่งมีฐานคือ 10 ซึ่งแสดงว่าเป็น lg

บันทึก 10 100 = 2 เพราะ 10 2 = 100

ลอการิทึมธรรมชาติ- ยังเป็นลอการิทึมลอการิทึมปกติ แต่มีฐาน e (e = 2.71828... - จำนวนอตรรกยะ- แสดงว่า ln.

ขอแนะนำให้จดจำสูตรหรือคุณสมบัติของลอการิทึมเพราะเราจะต้องใช้มันในภายหลังเมื่อแก้ลอการิทึม สมการลอการิทึมและความไม่เท่าเทียมกัน เรามาทำงานแต่ละสูตรอีกครั้งพร้อมตัวอย่าง

พื้นฐาน เอกลักษณ์ลอการิทึม
บันทึก a b = b
8 2ล็อก 8 3 = (8 2ล็อก 8 3) 2 = 3 2 = 9
ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึม
บันทึก a (bc) = บันทึก a b + บันทึก a c
บันทึก 3 8.1 + บันทึก 3 10 = บันทึก 3 (8.1*10) = บันทึก 3 81 = 4
ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม
log a (b/c) = บันทึก a b - บันทึก a c
9 บันทึก 5 50 /9 บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 50- บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 25 = 9 2 = 81
คุณสมบัติของกำลังของเลขลอการิทึมและฐานของลอการิทึม
เลขชี้กำลังของจำนวนลอการิทึม log a b m = mlog a b

เลขชี้กำลังของฐานของลอการิทึม log a n b =1/n*log a b

บันทึก a n b m = m/n*บันทึก a b

ถ้า m = n เราจะได้ log a n b n = log a b

บันทึก 4 9 = บันทึก 2 2 3 2 = บันทึก 2 3
การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
บันทึก a b = บันทึก c b/บันทึก c a
ถ้า c = b เราจะได้บันทึก b b = 1

จากนั้นให้ล็อก a b = 1/log b a

บันทึก 0.8 3*บันทึก 3 1.25 = บันทึก 0.8 3*บันทึก 0.8 1.25/บันทึก 0.8 3 = บันทึก 0.8 1.25 = บันทึก 4/5 5/4 = -1

อย่างที่คุณเห็น สูตรลอการิทึมไม่ได้ซับซ้อนอย่างที่คิด ตอนนี้ เมื่อดูตัวอย่างการแก้ลอการิทึมแล้ว เราก็มาดูสมการลอการิทึมกันดีกว่า เราจะดูตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยละเอียดในบทความ: "" อย่าพลาด!

หากคุณยังคงมีคำถามเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา โปรดเขียนคำถามเหล่านั้นในความคิดเห็นในบทความ

หมายเหตุ: เราตัดสินใจเลือกชั้นเรียนการศึกษาอื่นและศึกษาต่อต่างประเทศเป็นตัวเลือก

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ตรงกัน ตัวเลขปกติมีกฎเกณฑ์อยู่ที่นี่ซึ่งเรียกว่า คุณสมบัติหลัก.

คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ก็จะไม่สามารถแก้ไขปัญหาร้ายแรงได้ ปัญหาลอการิทึม- นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย

การบวกและการลบลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: log ก xและเข้าสู่ระบบ ก ย- จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:

บันทึก ก x+บันทึก ก ย=บันทึก ก (x · ย);
บันทึก ก x- บันทึก ก ย=บันทึก ก (x : ย).

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: จุดสำคัญที่นี่ - บริเวณที่เหมือนกัน- หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณ นิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าแต่ละส่วนจะไม่นับก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:

ล็อก 6 4 + ล็อก 6 9

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9 = บันทึก 6 (4 9) = บันทึก 6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 2 48 − log 2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
บันทึก 2 48 - บันทึก 2 3 = บันทึก 2 (48: 3) = บันทึก 2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 3 135 − log 3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
บันทึก 3 135 - บันทึก 3 5 = บันทึก 3 (135: 5) = บันทึก 3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการเปลี่ยนแปลงกลับกลายเป็นว่าค่อนข้างมาก ตัวเลขปกติ- หลายคนถูกสร้างขึ้นจากข้อเท็จจริงนี้ การทดสอบ- แล้วการควบคุมล่ะ? การแสดงออกที่คล้ายกันในความจริงจังทั้งหมด (บางครั้งก็แทบไม่มีการเปลี่ยนแปลง) จะถูกเสนอในการสอบ Unified State

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

สังเกตได้ง่ายว่า กฎข้อสุดท้ายตามมาสองอันแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอนว่ากฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: ก > 0, ก ≠ 1, x> 0. และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมด ไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวา แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย เช่น คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 7 49 6 .

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
บันทึก 7 49 6 = 6 บันทึก 7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
[คำบรรยายภาพ]

โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. เรามี:

[คำบรรยายภาพ]

ฉันคิดว่าจะ ตัวอย่างสุดท้ายจำเป็นต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและส่วนมีตัวเลขเดียวกัน: log 2 7 เนื่องจากบันทึก 2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

ให้บันทึกลอการิทึม ก x- แล้วสำหรับเลขอะไรก็ตาม คเช่นนั้น ค> 0 และ ค≠ 1 ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:
[คำบรรยายภาพ]
โดยเฉพาะถ้าเราใส่ ค = xเราได้รับ:
[คำบรรยายภาพ]

จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้หาได้ยากในสูตรทั่วไป การแสดงออกทางตัวเลข- มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น

แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 5 16 log 2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กันดีกว่า: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; บันทึก 2 25 = บันทึก 2 5 2 = 2 บันทึก 2 5;

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

[คำบรรยายภาพ]

เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 9 100 lg 3

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:

[คำบรรยายภาพ]

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

[คำบรรยายภาพ]

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:

ในกรณีแรกคือหมายเลข nกลายเป็นเครื่องบ่งชี้ระดับการยืนหยัดในการโต้แย้ง ตัวเลข nสามารถเป็นอะไรก็ได้อย่างแน่นอน เพราะมันเป็นแค่ค่าลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน

ที่จริงแล้วจะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวเลข ขยกกำลังให้เป็นจำนวนนั้น ขยกกำลังนี้ให้ตัวเลข ก- ถูกต้อง: คุณได้หมายเลขเดียวกันนี้ ก- อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้

เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
[คำบรรยายภาพ]

โปรดทราบว่าบันทึก 25 64 = บันทึก 5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม พิจารณาหลักเกณฑ์การคูณอำนาจด้วย พื้นฐานเดียวกันเราได้รับ:

[คำบรรยายภาพ]

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่เป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม พวกมันมักเกิดปัญหาอยู่ตลอดเวลา และน่าประหลาดใจที่มันสร้างปัญหาแม้กระทั่งกับนักเรียน "ขั้นสูง" ก็ตาม

บันทึก ก ก= 1 คือ หน่วยลอการิทึม- จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ กจากฐานนี้เท่ากับหนึ่ง
บันทึก ก 1 = 0 คือ ศูนย์ลอการิทึม- ฐาน กสามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีอย่างใดอย่างหนึ่ง ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ ก 0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติจริง! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา