ในสมการลูกบาศก์ ค่าเลขชี้กำลังสูงสุดคือ 3 สมการดังกล่าวมี 3 ราก (คำตอบ) และมีรูปแบบ . สมการกำลังสามบางสมการนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะแก้ แต่ถ้าคุณใช้วิธีที่ถูกต้อง (มีพื้นฐานทางทฤษฎีที่ดี) คุณจะพบรากของสมการกำลังสามที่ซับซ้อนที่สุดได้ - ในการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตรในการแก้สมการกำลังสอง ค้นหารากทั้งหมดหรือคำนวณการแบ่งแยก
ขั้นตอน
วิธีแก้สมการลูกบาศก์โดยไม่มีเทอมอิสระ
- ในตัวอย่างของเรา ให้แทนที่ค่าของสัมประสิทธิ์ ก (\displaystyle ก), ข (\displaystyle b), ค (\displaystyle c) (3 (\รูปแบบการแสดงผล 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\รูปแบบการแสดงผล 14)) ลงในสูตร: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2) )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\รูปแบบการแสดงผล (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\รูปแบบการแสดงผล (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
- รากแรก: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
- รากที่สอง: 2 − 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))
-
ใช้ศูนย์และรากของสมการกำลังสองเป็นคำตอบของสมการกำลังสามสมการกำลังสองมีสองราก ในขณะที่สมการลูกบาศก์มีสามราก คุณพบวิธีแก้ปัญหาสองข้อแล้ว - นี่คือรากของสมการกำลังสอง หากคุณนำ “x” ออกจากวงเล็บ วิธีแก้ไขที่สามจะเป็น
วิธีหารากทั้งหมดโดยใช้ตัวประกอบ
-
ตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีจุดตัดกันในสมการกำลังสาม ง (\displaystyle ง) . ถ้าอยู่ในสมการของรูปแบบ a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0)มีสมาชิกฟรี ง (\displaystyle ง)(ซึ่งไม่ใช่ศูนย์) การใส่ “x” ออกจากวงเล็บจะไม่ได้ผล ในกรณีนี้ ให้ใช้วิธีที่อธิบายไว้ในส่วนนี้
เขียนตัวประกอบสัมประสิทธิ์ ก (\displaystyle ก) และสมาชิกฟรี ง (\displaystyle ง) . นั่นคือ จงหาตัวประกอบของจำนวนเมื่อใด x 3 (\รูปแบบการแสดงผล x^(3))และตัวเลขหน้าเครื่องหมายเท่ากับ จำไว้ว่าตัวประกอบของจำนวนคือตัวเลขที่เมื่อคูณแล้วจะได้จำนวนนั้น
แบ่งแต่ละปัจจัย ก (\displaystyle ก) สำหรับตัวคูณแต่ละตัว ง (\displaystyle ง) . ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนจำนวนมากและจำนวนเต็มสองสามจำนวน รากของสมการลูกบาศก์จะเป็นจำนวนเต็มตัวใดตัวหนึ่งหรือค่าลบของจำนวนเต็มตัวใดตัวหนึ่ง
- ในตัวอย่างของเรา ให้หารตัวประกอบ ก (\displaystyle ก) (1 และ 2 ) ตามปัจจัย ง (\displaystyle ง) (1 , 2 , 3 และ 6 ). คุณจะได้รับ: 1 (\รูปแบบการแสดงผล 1), , , , 2 (\รูปแบบการแสดงผล 2)และ . ตอนนี้เพิ่มค่าลบของเศษส่วนและตัวเลขที่ได้ลงในรายการนี้: 1 (\รูปแบบการแสดงผล 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\รูปแบบการแสดงผล 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3)))และ − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). รากจำนวนเต็มของสมการลูกบาศก์คือตัวเลขบางส่วนจากรายการนี้
-
แทนจำนวนเต็มลงในสมการกำลังสาม.หากความเท่าเทียมกันเป็นที่น่าพอใจ จำนวนที่ถูกแทนที่จะเป็นรากของสมการ เช่น แทนลงในสมการ 1 (\รูปแบบการแสดงผล 1):
ใช้วิธีการหารพหุนามด้วย แผนการของฮอร์เนอร์เพื่อค้นหารากของสมการได้อย่างรวดเร็วทำเช่นนี้หากคุณไม่ต้องการเติมตัวเลขลงในสมการด้วยตนเอง ในโครงการของฮอร์เนอร์ จำนวนเต็มจะถูกหารด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสมการ ก (\displaystyle ก), ข (\displaystyle b), ค (\displaystyle c)และ ง (\displaystyle ง). ถ้าตัวเลขหารด้วยจำนวนเต็มลงตัว (นั่นคือ เศษเป็น) จำนวนเต็มจะเป็นรากของสมการ
-
ค้นหาว่าสมการกำลังสามมีคำอธิบายหรือไม่ ง (\displaystyle ง) . สมการลูกบาศก์มีรูปแบบ a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0). สำหรับสมการที่จะพิจารณาเป็นลูกบาศก์ ก็เพียงพอแล้วที่จะให้มีเพียงพจน์เท่านั้น x 3 (\รูปแบบการแสดงผล x^(3))(กล่าวคืออาจไม่มีสมาชิกคนอื่นเลย)
ยึดออก x (\รูปแบบการแสดงผล x) . เนื่องจากไม่มีพจน์อิสระในสมการ แต่ละพจน์ของสมการจึงมีตัวแปรด้วย x (\รูปแบบการแสดงผล x). นี่หมายถึงอันนั้น x (\รูปแบบการแสดงผล x)สามารถถอดออกจากวงเล็บเพื่อทำให้สมการง่ายขึ้น ดังนั้นสมการจะเขียนได้ดังนี้: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).
แยกตัวประกอบ (ผลคูณของทวินามสองตัว) สมการกำลังสอง (ถ้าเป็นไปได้)สมการกำลังสองหลายรูปแบบ a x 2 + b x + c = 0 (\displaystyle ax^(2)+bx+c=0)สามารถแยกตัวประกอบได้ จะได้สมการนี้ถ้าเราเอาออก x (\รูปแบบการแสดงผล x)ออกจากวงเล็บ ในตัวอย่างของเรา:
แก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรพิเศษให้ทำเช่นนี้หากไม่สามารถแยกตัวประกอบสมการกำลังสองได้ เพื่อค้นหารากของสมการสองค่าซึ่งเป็นค่าของสัมประสิทธิ์ ก (\displaystyle ก), ข (\displaystyle b), ค (\displaystyle c)แทนลงในสูตร
ตัวเลข จเป็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญซึ่งเป็นพื้นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ ตัวเลข จประมาณเท่ากับ 2.71828 แบบมีลิมิต (1 + 1/n)n ที่ n มุ่งไปสู่อนันต์
ป้อนค่า x เพื่อค้นหาค่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง อดีต
เพื่อคำนวณตัวเลขด้วยตัวอักษร อีใช้เลขชี้กำลังเป็นเครื่องคำนวณการแปลงจำนวนเต็ม
รายงานข้อผิดพลาด
'; setTimeout(function() ( $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first').css(('display ':'inline-block')); $("#boxadno").remove(); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , แบบฟอร์ม:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first').click(); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , แบบฟอร์ม:first:submit:first , #form_ca:first:submit: first').css(('display':'none')); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , แบบฟอร์ม:first:submit:first , #form_ca:first: ส่ง:first').parent().prepend(); ), 32000); ) เครื่องคิดเลขนี้ช่วยคุณได้หรือไม่?
แบ่งปันเครื่องคิดเลขนี้กับเพื่อนของคุณในฟอรัมหรือออนไลน์
ด้วยเหตุนี้ คุณคุณจะช่วยไหม เราในการพัฒนา เครื่องคิดเลขใหม่และขัดเกลาของเก่า
การคำนวณเครื่องคิดเลขพีชคณิต
จำนวน e เป็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญซึ่งอยู่ภายใต้ลอการิทึมธรรมชาติ
0.3 ที่กำลัง x คูณ 3 ที่กำลัง x เท่ากัน
จำนวน e มีค่าประมาณ 2.71828 โดยมีขีดจำกัด (1 + 1/n)n สำหรับ n ที่ไปถึงค่าอนันต์
หมายเลขนี้เรียกอีกอย่างว่าหมายเลขออยเลอร์หรือหมายเลขเนเปียร์
เลขชี้กำลัง - ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง f (x) = exp (x) = ex โดยที่ e คือตัวเลขของออยเลอร์
ป้อนค่า x เพื่อค้นหาค่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เช่น
การคำนวณค่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในเครือข่าย
เมื่อเลขออยเลอร์ (e) เพิ่มขึ้นเป็นศูนย์ คำตอบคือ 1
เมื่อคุณยกระดับมากกว่าหนึ่งระดับ คำตอบจะยิ่งใหญ่กว่าเดิม ถ้าความเร็วมากกว่าศูนย์แต่น้อยกว่า 1 (เช่น 0.5) คำตอบจะมากกว่า 1 แต่น้อยกว่าค่าเดิม (เครื่องหมาย E) เมื่อตัวบ่งชี้เพิ่มขึ้นเป็นกำลังลบ 1 จะต้องหารด้วยตัวเลข e ต่อกำลังที่กำหนด แต่มีเครื่องหมายบวก
คำจำกัดความ
ผู้แสดงสินค้านี่คือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y (x) = e x ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกับฟังก์ชันนั้นเอง
ตัวบ่งชี้ถูกทำเครื่องหมายเป็น หรือ
หมายเลขจ
ฐานของเลขชี้กำลังคือตัวเลข e
นี่คือจำนวนอตรรกยะ มันก็ประมาณเดียวกัน
จ ≈ 2,718281828459045 …
จำนวน e ถูกกำหนดให้อยู่นอกขอบเขตของลำดับ นี่คือขีดจำกัดพิเศษอื่นๆ ที่เรียกว่า:
.
ตัวเลข e สามารถแสดงเป็นอนุกรมได้:
.
กราฟเอ็กซ์โปเนนเชียล
กราฟแสดงเลขชี้กำลัง จกำลังดำเนินการ เอ็กซ์.
y(x) = เช่น
กราฟแสดงให้เห็นว่ามันเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณแบบซ้ำซากจำเจ
สูตร
สูตรพื้นฐานเหมือนกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีระดับฐาน e
การแสดงออกของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีพื้นฐานตามอำเภอใจ a ในแง่ของเลขชี้กำลัง:
.
รวมถึงแผนก "ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง" >>>
ค่านิยมส่วนตัว
ให้ y(x) = e x
5 ยกกำลัง x และเท่ากับ 0
คุณสมบัติเลขชี้กำลัง
ตัวบ่งชี้มีคุณสมบัติของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลโดยมีพื้นฐานเป็นองศา จ> ก่อนอื่น
ฟิลด์คำจำกัดความ ชุดค่า
สำหรับ x ตัวบ่งชี้ y (x) = e x ถูกกำหนดไว้
ปริมาณ:
— ∞ < x + ∞.
ความหมายของมัน:
0 < Y < + ∞.
สุดขั้ว, เพิ่มขึ้น, ลดลง
เอ็กซ์โปเนนเชียลเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนิก ดังนั้นจึงไม่มีเอ็กซ์ตรีม
คุณสมบัติหลักแสดงอยู่ในตาราง
ฟังก์ชันผกผัน
ส่วนกลับคือลอการิทึมธรรมชาติ
;
.
อนุพันธ์ของตัวชี้วัด
อนุพันธ์ จกำลังดำเนินการ เอ็กซ์นี้ จกำลังดำเนินการ เอ็กซ์
:
.
ลำดับ N ที่ได้รับ:
.
การดำเนินการตามสูตร > > >
บูรณาการ
นอกจากนี้ในส่วน "ตารางอินทิกรัลไม่ จำกัด" >>>
จำนวนเชิงซ้อน
ดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนโดยใช้ สูตรของออยเลอร์:
,
หน่วยจินตภาพอยู่ที่ไหน:
.
นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก
นิพจน์ที่ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
การขยายตัวของซีรีย์พลังงาน
เมื่อ x เท่ากับศูนย์?
เครื่องคิดเลขปกติหรือออนไลน์
เครื่องคิดเลขปกติ
เครื่องคิดเลขมาตรฐานช่วยให้คุณใช้งานเครื่องคิดเลขง่ายๆ เช่น การบวก ลบ คูณ และหาร
คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขคณิตศาสตร์แบบด่วนได้
เครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ช่วยให้คุณสามารถดำเนินการที่ซับซ้อนมากขึ้นได้ เช่นเดียวกับเครื่องคิดเลขเช่น ไซน์, โคไซน์, ไซน์ผกผัน, โคไซน์ผกผัน ซึ่งเป็นแทนเจนต์, แทนเจนต์, เลขชี้กำลัง, เลขชี้กำลัง, ลอการิทึม, ดอกเบี้ย และธุรกิจในเครื่องคิดเลขหน่วยความจำเว็บ
คุณสามารถป้อนได้โดยตรงจากแป้นพิมพ์ ขั้นแรกให้คลิกที่พื้นที่โดยใช้เครื่องคิดเลข
โดยดำเนินการกับตัวเลขอย่างง่ายและการดำเนินการที่ซับซ้อนกว่า เช่น
เครื่องคิดเลขคณิตศาสตร์ออนไลน์.
0 + 1 = 2.
นี่คือเครื่องคิดเลขสองตัว:
- คำนวณครั้งแรกตามปกติ
- อีกอันหนึ่งคำนวณว่าเป็นวิศวกรรม
กฎใช้กับเครื่องคิดเลขที่คำนวณบนเซิร์ฟเวอร์
กฎสำหรับการป้อนคำศัพท์และฟังก์ชัน
เหตุใดฉันจึงต้องมีเครื่องคิดเลขออนไลน์นี้
เครื่องคิดเลขออนไลน์ - แตกต่างจากเครื่องคิดเลขทั่วไปอย่างไร?
ประการแรกเครื่องคิดเลขมาตรฐานไม่เหมาะสำหรับการขนส่งและประการที่สองขณะนี้อินเทอร์เน็ตมีอยู่เกือบทุกที่ซึ่งไม่ได้หมายความว่าจะมีปัญหา ไปที่เว็บไซต์ของเราและใช้เครื่องคิดเลขบนเว็บ
เครื่องคิดเลขออนไลน์ - แตกต่างจากเครื่องคิดเลข Java และเครื่องคิดเลขอื่น ๆ สำหรับระบบปฏิบัติการอย่างไร
- อีกครั้ง - ความคล่องตัว หากคุณใช้คอมพิวเตอร์เครื่องอื่น คุณไม่จำเป็นต้องติดตั้งใหม่
ดังนั้นใช้ไซต์นี้!
นิพจน์สามารถประกอบด้วยฟังก์ชันต่างๆ (ระบุไว้ตามลำดับตัวอักษร):
สัมบูรณ์(x)มูลค่าสัมบูรณ์ เอ็กซ์
(โมดูล เอ็กซ์หรือ | x |) อาร์คคอส(x)ฟังก์ชั่น - อาร์คอกซินจาก เอ็กซ์อาร์คคอช(x)อาร์กโซซีนเป็นไฮเปอร์โบลิกของ เอ็กซ์อาร์คซิน(x)แยกลูกชาย เอ็กซ์อาร์คซินห์(x) HyperX ไฮเปอร์โบลิก เอ็กซ์อาร์คแทน(x)ฟังก์ชันเป็นตัวอาร์กแทนเจนต์ของ เอ็กซ์อาร์คท์จี(x)อาร์กแทนเจนต์เป็นแบบไฮเปอร์โบลิก เอ็กซ์จจหมายเลข - ประมาณ 2.7 ประสบการณ์(x)ฟังก์ชัน - ตัวบ่งชี้ เอ็กซ์(ยังไง จ^เอ็กซ์) บันทึก(x)หรือ จริง(x)ลอการิทึมธรรมชาติ เอ็กซ์
(ใช่ ล็อก7(x)คุณต้องป้อน log(x)/log(7) (หรือตัวอย่างเช่น ล็อก10(x)= บันทึก(x)/บันทึก(10)) ปี่ตัวเลข "พาย" ซึ่งมีค่าประมาณ 3.14 บาป(x)ฟังก์ชั่น - ไซน์ เอ็กซ์คอส(เอ็กซ์)ฟังก์ชั่น - กรวยจาก เอ็กซ์ซิน(x)ฟังก์ชัน - ไฮเปอร์โบลิกไซน์ เอ็กซ์คอส(x)ฟังก์ชัน - โคไซน์-ไฮเปอร์โบลิก เอ็กซ์ตารางวา(x)ฟังก์ชันคือรากที่สองของ เอ็กซ์ตร.ม.(x)หรือ เอ็กซ์^2ฟังก์ชั่น - สี่เหลี่ยม เอ็กซ์ทีจี(x)ฟังก์ชัน - แทนเจนต์จาก เอ็กซ์ทีจีเอช(x)ฟังก์ชันนี้เป็นแทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิกจาก เอ็กซ์ซีบีอาร์ที(x)ฟังก์ชันคือรากที่สาม เอ็กซ์ดิน (x)ฟังก์ชันการปัดเศษ เอ็กซ์ด้านล่าง (ตัวอย่างดิน (4.5) == 4.0) ตัวละคร (x)ฟังก์ชัน - สัญลักษณ์ เอ็กซ์เอิร์ฟ(x)ฟังก์ชันข้อผิดพลาด (Laplace หรืออินทิกรัลความน่าจะเป็น)
การดำเนินการต่อไปนี้สามารถใช้ได้ในแง่:
ตัวเลขจริงกรอกแบบฟอร์ม 7,5 , ไม่ 7,5 2*x- การคูณ 3/x- แยก เอ็กซ์^3— เอกสปอเนนเทียซิจา x+7- นอกจาก, x - 6- นับถอยหลัง
ดาวน์โหลดไฟล์ PDF
สมการเลขชี้กำลังคือสมการที่อยู่ในรูปแบบ
x เป็นเลขชี้กำลังที่ไม่รู้จัก
กและ ข- ตัวเลขบางตัว
ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง:
และสมการ:
จะไม่เป็นสิ่งบ่งชี้อีกต่อไป
ลองดูตัวอย่างการแก้สมการเลขชี้กำลัง:
ตัวอย่างที่ 1
ค้นหารากของสมการ:
มาลดกำลังลงเป็นฐานเดียวกันเพื่อใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริง
จากนั้นจึงจะสามารถลบฐานของดีกรีออกและไปยังค่าที่เท่ากันของเลขชี้กำลังได้
ลองแปลงด้านซ้ายของสมการ:
มาแปลงด้านขวาของสมการกัน:
การใช้คุณสมบัติของปริญญา
คำตอบ: 4.5
ตัวอย่างที่ 2
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วย
การแทนที่แบบย้อนกลับ:
คำตอบ: x=0
แก้สมการและหารากในช่วงเวลาที่กำหนด:
เราลดเงื่อนไขทั้งหมดให้เป็นฐานเดียวกัน:
การทดแทน:
เราค้นหารากของสมการโดยเลือกตัวคูณของคำอิสระ:
– เหมาะสม เพราะว่า
ความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ
– เหมาะสม เพราะว่า
วิธีแก้ปัญหา? e^(x-3) = 0 e กำลัง x-3
ความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ
– เหมาะสม เพราะว่า ความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ
– ไม่เหมาะ เพราะว่า ความเท่าเทียมไม่พอใจ
การแทนที่แบบย้อนกลับ:
ตัวเลขจะกลายเป็น 1 ถ้าเลขชี้กำลังเป็น 0
ไม่เหมาะเพราะ.
ด้านขวาเท่ากับ 1 เพราะว่า
จากที่นี่:
แก้สมการ:
การแทนที่: จากนั้น
การแทนที่แบบย้อนกลับ:
1 สมการ:
ถ้าฐานของตัวเลขเท่ากัน เลขชี้กำลังก็จะเท่ากัน
2 สมการ:
ลองลอการิทึมทั้งสองข้างถึงฐาน 2:
เลขชี้กำลังมาก่อนนิพจน์ เพราะว่า
ด้านซ้ายคือ 2x เพราะ
จากที่นี่:
แก้สมการ:
มาเปลี่ยนด้านซ้าย:
เราคูณองศาโดยใช้สูตร:
มาทำให้ง่ายขึ้น: ตามสูตร:
มานำเสนอในรูปแบบ:
การทดแทน:
ลองแปลงเศษส่วนให้ไม่เหมาะสม:
a2 - ไม่เหมาะเพราะ
การแทนที่แบบย้อนกลับ:
มาดูประเด็นทั่วไปกันดีกว่า:
ถ้า
คำตอบ: x=20
แก้สมการ:
โอ.ดี.ซี.
มาแปลงด้านซ้ายโดยใช้สูตร:
การทดแทน:
เราคำนวณรากของการเลือกปฏิบัติ:
a2-ไม่เหมาะเพราะว่า
แต่ไม่รับค่าลบ
มาดูประเด็นทั่วไปกันดีกว่า:
ถ้า
เรายกกำลังสองทั้งสองด้าน:
บรรณาธิการบทความ: Gavrilina Anna Viktorovna, Ageeva Lyubov Aleksandrovna
กลับไปที่หัวข้อ
การแปลบทความใหญ่ “คำแนะนำที่ใช้งานง่ายเกี่ยวกับฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล & e”
ตัวเลข e ทำให้ฉันตื่นเต้นอยู่เสมอ ไม่ใช่ในรูปแบบตัวอักษร แต่เป็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์
ตัวเลข e หมายถึงอะไรจริงๆ?
หนังสือคณิตศาสตร์หลายเล่มและแม้แต่วิกิพีเดียอันเป็นที่รักของฉันก็บรรยายถึงค่าคงที่อันสง่างามนี้ด้วยศัพท์แสงทางวิทยาศาสตร์ที่โง่เขลา:
ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ e คือฐานของลอการิทึมธรรมชาติ
หากคุณสนใจว่าลอการิทึมธรรมชาติคืออะไร คุณจะพบคำจำกัดความต่อไปนี้:
ลอการิทึมธรรมชาติ เดิมเรียกว่าลอการิทึมไฮเปอร์โบลิก เป็นลอการิทึมที่มีฐาน e โดยที่ e เป็นค่าคงที่ไม่ลงตัวโดยประมาณเท่ากับ 2.718281828459
แน่นอนว่าคำจำกัดความนั้นถูกต้อง
แต่มันยากมากที่จะเข้าใจพวกเขา แน่นอนว่าวิกิพีเดียไม่ควรตำหนิในเรื่องนี้ โดยปกติแล้วคำอธิบายทางคณิตศาสตร์จะแห้งและเป็นทางการ ซึ่งรวบรวมตามหลักวิทยาศาสตร์ที่เข้มงวด ซึ่งทำให้ยากสำหรับผู้เริ่มต้นที่จะเชี่ยวชาญวิชานี้ (และทุกคนก็เคยเป็นผู้เริ่มต้นมาก่อน)
ฉันจบแล้ว! วันนี้ผมจะมาแบ่งปันความคิดอันชาญฉลาดของผมเกี่ยวกับ... e คืออะไรและทำไมมันถึงเจ๋งขนาดนี้! วางหนังสือคณิตศาสตร์หนาๆ ที่น่ากลัวของคุณไว้ข้างๆ ซะ!
เลข e ไม่ใช่แค่ตัวเลข
การอธิบาย e ว่า "ค่าคงที่ประมาณเท่ากับ 2.71828..." ก็เหมือนกับการเรียก pi ว่า "จำนวนอตรรกยะประมาณเท่ากับ 3.1415..."
นี่เป็นเรื่องจริงอย่างไม่ต้องสงสัย แต่ประเด็นนี้ยังคงหลบเลี่ยงเราอยู่
Pi คืออัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่งเป็นค่าเดียวกันสำหรับวงกลมทั้งหมด. มันเป็นสัดส่วนพื้นฐานทั่วไปของวงกลมทุกวง และด้วยเหตุนี้จึงเกี่ยวข้องกับการคำนวณเส้นรอบวง พื้นที่ ปริมาตร และพื้นที่ผิวสำหรับวงกลม ทรงกลม ทรงกระบอก ฯลฯ
Pi แสดงให้เห็นว่าวงกลมทั้งหมดมีความสัมพันธ์กัน ไม่ต้องพูดถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ได้มาจากวงกลม (ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์)
ตัวเลข e คืออัตราส่วนการเติบโตขั้นพื้นฐานสำหรับกระบวนการที่มีการเติบโตอย่างต่อเนื่องทั้งหมดหมายเลข e ช่วยให้คุณใช้อัตราการเติบโตแบบง่าย (ซึ่งความแตกต่างจะปรากฏเฉพาะในช่วงปลายปีเท่านั้น) และคำนวณองค์ประกอบของตัวบ่งชี้นี้ การเติบโตปกติ ซึ่งทุกๆ นาโนวินาที (หรือเร็วกว่านั้น) ทุกอย่างจะเติบโตเล็กน้อย มากกว่า.
ตัวเลข e เกี่ยวข้องกับระบบการเติบโตทั้งแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลและแบบคงที่ เช่น จำนวนประชากร การสลายกัมมันตภาพรังสี การคำนวณเปอร์เซ็นต์ และอื่นๆ อีกมากมาย
แม้แต่ระบบขั้นบันไดที่ไม่เติบโตสม่ำเสมอก็สามารถประมาณได้โดยใช้ตัวเลข e
เช่นเดียวกับที่ตัวเลขใดๆ ที่สามารถมองว่าเป็นเวอร์ชัน "มาตราส่วน" ของ 1 (หน่วยฐาน) วงกลมใดๆ ก็ถือเป็นเวอร์ชัน "มาตราส่วน" ของวงกลมหน่วย (ที่มีรัศมี 1)
จะได้สมการดังนี้: e กำลัง x = 0 x เท่ากับอะไร?
และปัจจัยการเติบโตใดๆ ก็ตามสามารถมองได้ว่าเป็นเวอร์ชัน "ปรับขนาด" ของ e (ปัจจัยการเติบโต "หน่วย")
ดังนั้นตัวเลข e จึงไม่ใช่ตัวเลขสุ่มที่สุ่มเลือก ตัวเลข e รวบรวมแนวคิดที่ว่าระบบที่มีการเติบโตอย่างต่อเนื่องทั้งหมดเป็นแบบปรับขนาดของหน่วยวัดเดียวกัน
แนวคิดเรื่องการเติบโตแบบก้าวกระโดด
เริ่มต้นด้วยการดูระบบพื้นฐานที่เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าในช่วงเวลาหนึ่ง
ตัวอย่างเช่น:
- แบคทีเรียแบ่งตัวและเพิ่มจำนวนเป็นสองเท่าทุกๆ 24 ชั่วโมง
- เราจะได้เส้นบะหมี่เป็นสองเท่าถ้าเราแบ่งมันออกเป็นสองส่วน
- เงินของคุณจะเพิ่มเป็นสองเท่าทุกปีหากคุณทำกำไรได้ 100% (โชคดี!)
และดูเหมือนว่านี้:
การหารด้วยสองหรือสองเท่าเป็นความก้าวหน้าที่ง่ายมาก แน่นอนว่าเราสามารถเพิ่มเป็นสามหรือสี่เท่าได้ แต่การสองเท่าจะสะดวกกว่าสำหรับการอธิบาย
ในทางคณิตศาสตร์ หากเรามีการหาร x เราจะได้ผลลัพธ์ที่ดีกว่าตอนเริ่มต้น 2^x เท่า
หากสร้างพาร์ติชั่นเพียง 1 พาร์ติชั่น เราจะได้เพิ่มอีก 2^1 เท่า หากมี 4 พาร์ติชั่น เราจะได้ 2^4=16 ส่วน สูตรทั่วไปมีลักษณะดังนี้:
กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเพิ่มขึ้นสองเท่าคือการเพิ่มขึ้น 100%
เราสามารถเขียนสูตรนี้ใหม่ได้ดังนี้:
ส่วนสูง = (1+100%)x
นี่คือความเท่าเทียมกันแบบเดียวกัน เราเพิ่งแบ่ง "2" ออกเป็นส่วนต่างๆ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือตัวเลขนี้: ค่าเริ่มต้น (1) บวก 100% ฉลาดใช่มั้ย?
แน่นอน เราสามารถแทนที่ตัวเลขอื่นๆ (50%, 25%, 200%) แทน 100% และรับสูตรการเติบโตสำหรับสัมประสิทธิ์ใหม่นี้
สูตรทั่วไปสำหรับคาบ x ของอนุกรมเวลาจะเป็นดังนี้:
การเติบโต = (1+การเติบโต)x
ซึ่งหมายความว่าเราใช้อัตราผลตอบแทน (1 + กำไร) "x" คูณกัน
มาดูกันดีกว่า
สูตรของเราถือว่าการเติบโตเกิดขึ้นในขั้นตอนที่ไม่ต่อเนื่อง แบคทีเรียของเรารอแล้วรอ แล้วก็แบม! และในนาทีสุดท้ายพวกมันก็มีจำนวนเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า กำไรจากดอกเบี้ยเงินฝากของเราจะปรากฏขึ้นอย่างน่าอัศจรรย์หลังจากผ่านไป 1 ปี
จากสูตรที่เขียนไว้ข้างต้น กำไรจะเพิ่มขึ้นตามขั้นตอน จุดสีเขียวปรากฏขึ้นอย่างกะทันหัน
แต่โลกก็ไม่ได้เป็นเช่นนี้เสมอไป
ถ้าเราขยายเข้าไป เราจะเห็นว่าเพื่อนที่เป็นแบคทีเรียของเราแบ่งตัวอยู่ตลอดเวลา:
เพื่อนสีเขียวไม่ได้เกิดขึ้นจากความว่างเปล่า เขาค่อยๆ เติบโตจากพ่อแม่สีน้ำเงิน หลังจากผ่านไป 1 ช่วง (24 ชั่วโมงในกรณีของเรา) เพื่อนสีเขียวก็สุกเต็มที่แล้ว เมื่อโตเต็มที่แล้วเขาก็กลายเป็นสมาชิกสีน้ำเงินเต็มฝูงและสามารถสร้างเซลล์สีเขียวใหม่ได้ด้วยตัวเอง
ข้อมูลนี้จะเปลี่ยนสมการของเราในทางใดทางหนึ่งหรือไม่?
ในกรณีของแบคทีเรีย เซลล์สีเขียวที่มีรูปร่างครึ่งเซลล์ยังคงไม่สามารถทำอะไรได้จนกว่าพวกเขาจะเติบโตและแยกจากพ่อแม่สีน้ำเงินโดยสิ้นเชิง ดังนั้นสมการจึงถูกต้อง
ในบทความถัดไป เราจะดูตัวอย่างการเติบโตแบบทวีคูณของเงินของคุณ
ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)
เกิดอะไรขึ้น “อสมการกำลังสอง”?ไม่มีคำถาม!) ถ้าคุณทำ ใดๆสมการกำลังสองแล้วแทนที่เครื่องหมายในนั้น "=" (เท่ากับ) กับเครื่องหมายอสมการใด ๆ ( > ≥ < ≤ ≠ ) เราจะได้อสมการกำลังสอง ตัวอย่างเช่น:
1. x 2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x2 ≤ 4
เข้าใจแล้ว...)
ไม่ใช่เพื่ออะไรที่ฉันเชื่อมโยงสมการและอสมการที่นี่ ประเด็นก็คือขั้นตอนแรกในการแก้ปัญหา ใดๆอสมการกำลังสอง - แก้สมการที่เกิดจากความไม่เท่าเทียมกันนี้ด้วยเหตุนี้ การไม่สามารถแก้สมการกำลังสองได้โดยอัตโนมัติจึงนำไปสู่ความล้มเหลวโดยสิ้นเชิงในอสมการ คำใบ้ชัดเจนไหม) หากมีสิ่งใด ให้ดูวิธีแก้สมการกำลังสอง ทุกอย่างอธิบายไว้อย่างละเอียด และในบทเรียนนี้ เราจะจัดการกับความไม่เท่าเทียมกัน
ความไม่เท่าเทียมกันพร้อมสำหรับการแก้ปัญหามีรูปแบบดังนี้ ทางด้านซ้ายคือตรีโกณมิติกำลังสอง ขวาน 2 +bx+cทางด้านขวา - ศูนย์เครื่องหมายอสมการสามารถเป็นอะไรก็ได้ สองตัวอย่างแรกอยู่ที่นี่ พร้อมที่จะตัดสินใจแล้วตัวอย่างที่สามยังต้องเตรียมพร้อม
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้