© Kugusheva Natalya Lvovna, 2009 เรขาคณิต, ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สามเหลี่ยมสี่จุดที่โดดเด่น
จุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยม จุดตัดของระดับความสูงของรูปสามเหลี่ยม จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยม
ค่ามัธยฐาน (BD) ของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ค่ามัธยฐาน A B C D
ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง (จุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยม) และหารด้วยจุดนี้ในอัตราส่วน 2: 1 โดยนับจากจุดยอด ช่วงเช้า: MA 1 = VM: MV 1 = SM:MS 1 = 2:1 ก 1 บี บี 1 เอ็ม ซี ซี 1
เส้นแบ่งครึ่ง (AD) ของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนของเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม
แต่ละจุดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่ยังไม่ได้พัฒนาจะมีระยะห่างจากด้านข้างเท่ากัน ในทางกลับกัน: ทุกจุดที่อยู่ในมุมและห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากันจะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่ง เอ เอ็ม บี ซี
เส้นแบ่งครึ่งทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - จุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม C B 1 M A V A 1 C 1 O รัศมีของวงกลม (OM) เป็นเส้นตั้งฉากที่ตกลงจากศูนย์กลาง (TO) ไปยังด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม
ความสูง (C D) ของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมไปยังเส้นตรงที่มีด้านตรงข้าม เอ บี ซี ดี
ความสูงของรูปสามเหลี่ยม (หรือส่วนขยาย) ตัดกันที่จุดหนึ่ง ก 1 บี บี 1 ซี ซี 1
เส้นกึ่งกลาง เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (DF) คือเส้นตั้งฉากกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมแล้วหารครึ่ง เอ ดี เอฟ บี ซี
A M B m O แต่ละจุดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (m) กับส่วนนั้นจะมีระยะห่างจากปลายของส่วนนี้เท่ากัน ในทางกลับกัน: ทุกจุดที่อยู่ห่างจากปลายแต่ละส่วนเท่ากันจะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับจุดนั้น
เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งหมดของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม A B C O รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบคือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมถึงจุดยอดใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม (OA) ม เอ็น พี
งานสำหรับนักเรียน สร้างวงกลมที่จารึกไว้ในสามเหลี่ยมป้านโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด วิธีทำ: สร้างเส้นแบ่งครึ่งในรูปสามเหลี่ยมป้านโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งคือจุดศูนย์กลางของวงกลม สร้างรัศมีของวงกลม: ตั้งฉากจากศูนย์กลางของวงกลมถึงด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม สร้างวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม
2. ใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด สร้างวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมป้าน วิธีทำ: สร้างเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมป้าน จุดตัดกันของเส้นตั้งฉากเหล่านี้คือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตไว้ รัศมีของวงกลมคือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางถึงจุดยอดใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม สร้างวงกลมรอบสามเหลี่ยม.
บทเรียนเรขาคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ได้รับการออกแบบโดยใช้รูปแบบการเรียนรู้ตามตำแหน่ง
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
- ศึกษาเนื้อหาทางทฤษฎีในหัวข้อ “จุดน่าทึ่งสี่จุดของสามเหลี่ยม”
- การพัฒนาการคิด ตรรกะ คำพูด จินตนาการของนักเรียน ความสามารถในการวิเคราะห์และประเมินผลงาน
- การพัฒนาทักษะการทำงานเป็นกลุ่ม
- ส่งเสริมความรู้สึกรับผิดชอบต่อคุณภาพและผลลัพธ์ของงานที่ทำ
อุปกรณ์:
- การ์ดที่มีชื่อกลุ่ม
- การ์ดที่มีภารกิจสำหรับแต่ละกลุ่ม
- กระดาษ A-4 สำหรับบันทึกผลงานของกลุ่ม
- epigraph ที่เขียนไว้บนกระดาน
ความคืบหน้าของบทเรียน
1. ช่วงเวลาขององค์กร
2. การกำหนดเป้าหมายและหัวข้อของบทเรียน
ในอดีต เรขาคณิตเริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น เป็นเวลาสองพันปีครึ่งที่รูปสามเหลี่ยมจึงเป็นสัญลักษณ์ของเรขาคณิต เรขาคณิตของโรงเรียนสามารถกลายเป็นสิ่งที่น่าสนใจและมีความหมายเท่านั้น เมื่อนั้นจึงจะกลายเป็นเรขาคณิตที่เหมาะสมได้เมื่อรวมการศึกษาสามเหลี่ยมอย่างลึกซึ้งและครอบคลุม น่าแปลกที่รูปสามเหลี่ยมแม้จะดูเรียบง่าย แต่ก็เป็นเป้าหมายของการศึกษาที่ไม่สิ้นสุด - แม้แต่ในสมัยของเราก็ไม่มีใครกล้าพูดว่าพวกเขาได้ศึกษาและรู้คุณสมบัติทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมแล้ว
ใครไม่เคยได้ยินเกี่ยวกับสามเหลี่ยมเบอร์มิวดาที่ซึ่งเรือและเครื่องบินหายไปอย่างไร้ร่องรอย? แต่รูปสามเหลี่ยมนั้นเต็มไปด้วยสิ่งที่น่าสนใจและลึกลับมากมาย
จุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมนั้นถูกครอบครองโดยจุดที่น่าทึ่งที่เรียกว่า
ฉันคิดว่าในตอนท้ายของบทเรียน คุณจะสามารถพูดได้ว่าทำไมประเด็นต่างๆ จึงเรียกว่าน่าทึ่ง และไม่ว่าประเด็นเหล่านั้นจะเป็นเช่นนั้นหรือไม่
หัวข้อบทเรียนของเราคืออะไร? “สี่จุดน่าทึ่งของสามเหลี่ยม” คำบรรยายของบทเรียนอาจเป็นคำพูดของ K. Weierstrass: “นักคณิตศาสตร์ที่ไม่ใช่กวีบางส่วนจะไม่มีวันบรรลุความสมบูรณ์แบบในวิชาคณิตศาสตร์” (คำบรรยายเขียนไว้บนกระดาน)
ดูถ้อยคำของหัวข้อของบทเรียนที่ epigraph และพยายามกำหนดเป้าหมายการทำงานของคุณในบทเรียน ในตอนท้ายของบทเรียน เราจะตรวจสอบว่าคุณเรียนจบบทเรียนได้ดีเพียงใด
3. งานอิสระของนักศึกษา
การเตรียมงานอิสระ
ในการทำงานในบทเรียนนี้ คุณต้องเลือกหนึ่งในหกกลุ่ม: "นักทฤษฎี", "ความคิดสร้างสรรค์", "นักออกแบบลอจิก", "ผู้ปฏิบัติงาน", "นักประวัติศาสตร์", "ผู้เชี่ยวชาญ"
การบรรยายสรุป
แต่ละกลุ่มจะได้รับการ์ดงาน หากงานไม่ชัดเจน ครูจะอธิบายเพิ่มเติม
"นักทฤษฎี"
การมอบหมาย: กำหนดแนวคิดพื้นฐานที่จำเป็นเมื่อศึกษาหัวข้อ "จุดสังเกตสี่จุดของสามเหลี่ยม" (ความสูงของสามเหลี่ยม, ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม, เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม, เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก, วงกลมในวงกลม, วงกลมรอบวง) คุณสามารถใช้หนังสือเรียนได้ เขียนแนวคิดหลักลงบนกระดาษ
"นักประวัติศาสตร์"
แบ่งครึ่ง ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ ตั้งฉาก ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ- ปรินซิเปียไม่ได้บอกว่าแม้แต่สามคน ความสูงสามเหลี่ยมตัดกัน ณ จุดหนึ่งที่เรียกว่า ศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์ ค่ามัธยฐาน จุดศูนย์ถ่วง
ในช่วงทศวรรษที่ 20 ของศตวรรษที่ XIX นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส J. Poncelet, C. Brianchon และคนอื่น ๆ ได้สร้างทฤษฎีบทต่อไปนี้อย่างอิสระ: ฐานของค่ามัธยฐาน, ฐานของระดับความสูงและจุดกึ่งกลางของส่วนของระดับความสูงที่เชื่อมต่อออร์โธเซนเตอร์กับจุดยอดของสามเหลี่ยมอยู่บนวงกลมเดียวกัน
วงกลมนี้เรียกว่า "วงกลมเก้าจุด" หรือ "วงกลมฟอยเออร์บาค" หรือ "วงกลมออยเลอร์" K. Feuerbach กำหนดไว้ว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้อยู่บน “เส้นตรงออยเลอร์”
งานที่ได้รับมอบหมาย: วิเคราะห์บทความและกรอกตารางที่สะท้อนเนื้อหาที่ศึกษา
ชื่อจุด |
อะไรตัดกัน |
||
"การสร้าง"
งานที่ได้รับมอบหมาย: คิดซิงก์ไวน์ในหัวข้อ “จุดน่าทึ่งสี่จุดของสามเหลี่ยม” (เช่น สามเหลี่ยม จุด มัธยฐาน ฯลฯ)
กฎสำหรับการเขียน syncwine:
ในบรรทัดแรก หัวข้อจะตั้งชื่อเป็นคำเดียว (โดยปกติจะเป็นคำนาม)
บรรทัดที่สองคือคำอธิบายของหัวข้อเป็นสองคำ (คำคุณศัพท์ 2 คำ)
บรรทัดที่สามคือคำอธิบายของการดำเนินการภายในกรอบของหัวข้อนี้ด้วยคำสามคำ (กริยา, คำนาม)
บรรทัดที่สี่เป็นวลี 4 คำที่แสดงทัศนคติต่อหัวข้อนั้น
บรรทัดสุดท้ายเป็นคำพ้องความหมายคำเดียว (อุปมา) ที่ย้ำสาระสำคัญของหัวข้อ
"ตัวสร้างลอจิก"
ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม สามเหลี่ยมใดๆ จะมีค่ามัธยฐาน 3 อัน
เส้นแบ่งครึ่งคือส่วนของเส้นแบ่งครึ่งของมุมใดๆ จากจุดยอดถึงจุดตัดกับด้านตรงข้าม สามเหลี่ยมใดๆ มีเส้นแบ่งครึ่งสามเส้น
ความสูงของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมไปยังด้านตรงข้ามหรือส่วนขยาย สามเหลี่ยมใดๆ มีความสูงสามแบบ
เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนคือเส้นที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของส่วนที่กำหนดและตั้งฉากกับจุดนั้น สามเหลี่ยมใดๆ มีเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก 3 เส้น
งานที่ได้รับมอบหมาย: ใช้แผ่นกระดาษสามเหลี่ยม สร้างโดยการดัดจุดตัดของค่ามัธยฐาน ระดับความสูง เส้นแบ่งครึ่ง และเส้นแบ่งครึ่ง อธิบายเรื่องนี้ให้ทั้งชั้นเรียนฟัง
“ข้อปฏิบัติ”
ในหนังสือเล่มที่สี่ของ Elements Euclid แก้ปัญหา "การจารึกวงกลมในรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด" มันตามมาจากวิธีแก้ปัญหาที่สาม แบ่งครึ่งมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้- จากการแก้ปัญหาของยุคลิดอีกข้อหนึ่ง มันก็เป็นไปตามนั้น ตั้งฉากกลับคืนสู่ด้านข้างของสามเหลี่ยมที่จุดกึ่งกลาง และตัดกันที่จุดหนึ่งด้วย - ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ- ปรินชิเปียไม่ได้บอกว่าระดับความสูงทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมตัดกัน ณ จุดหนึ่งที่เรียกว่า ศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์(คำภาษากรีก "orthos" แปลว่าตรงถูกต้อง) อย่างไรก็ตาม ข้อเสนอนี้เป็นที่รู้จักของอาร์คิมิดีส ปัปปุส และโพรคลัส จุดเอกพจน์ที่สี่ของรูปสามเหลี่ยมคือจุดตัด ค่ามัธยฐาน- อาร์คิมิดีสพิสูจน์ให้เห็นแล้วว่าเธอเป็นเช่นนั้น จุดศูนย์ถ่วง(แบรีเซ็นเตอร์) ของรูปสามเหลี่ยม ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับสี่ประเด็นข้างต้นโดยเริ่มตั้งแต่ศตวรรษที่ 18 พวกเขาถูกเรียกว่า "โดดเด่น" หรือ "จุดพิเศษของสามเหลี่ยม"
การศึกษาคุณสมบัติของสามเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องกับจุดเหล่านี้และจุดอื่น ๆ ถือเป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการสร้างสาขาวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้นสาขาใหม่ - "เรขาคณิตสามเหลี่ยม" หรือ "เรขาคณิตสามเหลี่ยมใหม่" ซึ่งหนึ่งในผู้ก่อตั้งคือ Leonhard Euler .
งานที่ได้รับมอบหมาย: วิเคราะห์เนื้อหาที่นำเสนอและสร้างแผนภาพที่สะท้อนถึงความเชื่อมโยงทางความหมายระหว่างหน่วยต่างๆ อธิบาย วาดลงบนกระดาษและติดไว้บนกระดาน
จุดที่โดดเด่นของรูปสามเหลี่ยม
1.____________ 2.___________ 3.______________ 4.____________
วาด1 วาด2 วาด3 วาด4
____________ ___________ ______________ ____________
(คำอธิบาย)
"ผู้เชี่ยวชาญ"
การมอบหมาย: สร้างตารางที่คุณประเมินงานของแต่ละกลุ่ม เลือกพารามิเตอร์ที่คุณจะประเมินงานของกลุ่ม กำหนดประเด็น
พารามิเตอร์อาจมีดังต่อไปนี้: การมีส่วนร่วมของนักเรียนแต่ละคนในงานของกลุ่มของเขา, การมีส่วนร่วมในการป้องกัน, การนำเสนอเนื้อหาที่น่าสนใจ, การนำเสนอความชัดเจน ฯลฯ
ในสุนทรพจน์ คุณควรสังเกตด้านบวกและด้านลบในกิจกรรมของแต่ละกลุ่ม
4. ผลงานของกลุ่ม(ครั้งละ 2-3 นาที)
ผลลัพธ์ของงานจะถูกโพสต์บนกระดาน
5. สรุปบทเรียน
ดูเป้าหมายที่คุณตั้งไว้ตอนต้นบทเรียน คุณจัดการทุกอย่างให้เสร็จสิ้นหรือไม่?
คุณเห็นด้วยกับ epigraph ที่เลือกสำหรับบทเรียนวันนี้หรือไม่ เพราะเหตุใด
6. การบ้าน.
1) ตรวจสอบให้แน่ใจว่ารูปสามเหลี่ยมซึ่งวางอยู่บนปลายเข็ม ณ จุดใดจุดหนึ่งนั้นสมดุล โดยใช้เนื้อหาจากบทเรียนวันนี้
2) วาดจุดน่าทึ่งทั้ง 4 จุดในรูปสามเหลี่ยมต่างๆ
สี่ประเด็นที่น่าสังเกต
สามเหลี่ยม
เรขาคณิต
ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8
ซาคาโรวา นาตาเลีย อิวานอฟนา
โรงเรียนมัธยม MBOU หมายเลข 28 ของ Simferopol
- จุดตัดของค่ามัธยฐานสามเหลี่ยม
- จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งสามเหลี่ยม
- จุดตัดของความสูงของสามเหลี่ยม
- จุดตัดของค่ามัธยฐานตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยม
ค่ามัธยฐาน
ค่ามัธยฐาน (BD)ของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม
ค่ามัธยฐานสามเหลี่ยมตัดกัน ณ จุดหนึ่ง (จุดศูนย์ถ่วงสามเหลี่ยม) และหารด้วยจุดนี้ในอัตราส่วน 2: 1 โดยนับจากจุดยอด
บิเซคเตอร์
เส้นแบ่งครึ่ง (AD)ของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนของเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ∟ BAD = ∟CAD.
ทุกจุด แบ่งครึ่งมุมที่ยังไม่ได้พัฒนาจะมีระยะห่างจากด้านข้างเท่ากัน
กลับ: ทุกจุดที่อยู่ในมุมหนึ่งและมีระยะห่างเท่ากันจากด้านข้างของมุมนั้นอยู่บนจุดนั้น แบ่งครึ่ง
เส้นแบ่งครึ่งทั้งหมดสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - ศูนย์กลางของสิ่งที่จารึกไว้ เป็นรูปสามเหลี่ยม วงกลม
รัศมีของวงกลม (OM) เป็นเส้นตั้งฉากทอดยาวจากจุดศูนย์กลาง (TO) ไปยังด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม
ความสูง
ส่วนสูง (ซีดี)ของรูปสามเหลี่ยม คือ ส่วนตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมไปบนเส้นที่มีด้านตรงข้าม
ไฮท์สสามเหลี่ยม (หรือส่วนขยาย) ตัดกัน ในหนึ่งเดียว จุด.
ตั้งฉากตรงกลาง
เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (DF)เรียกว่าเส้นตรงตั้งฉากกับด้านสามเหลี่ยมแล้วหารครึ่ง
ทุกจุด เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก(m) ไปยังส่วนที่มีระยะห่างเท่ากันจากปลายส่วนนี้
กลับ: ทุกจุดที่อยู่ห่างจากปลายแต่ละส่วนเท่ากันจะอยู่ที่จุดกึ่งกลาง ตั้งฉากถึงเขา
เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งหมดของด้านข้างของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - ศูนย์กลางของสิ่งที่อธิบายไว้ ใกล้รูปสามเหลี่ยม วงกลม .
รัศมีของเส้นรอบวงคือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมถึงจุดยอดใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม (OA)
หน้าหนังสือ 177 ฉบับที่ 675 (รูปวาด)
การบ้าน
หน้า 173 § 3 คำจำกัดความและทฤษฎีบท หน้า 177 หมายเลข 675 (จบ)
ในบทนี้เราจะดูจุดอัศจรรย์สี่จุดของสามเหลี่ยม ให้เราพิจารณารายละเอียดสองข้อนี้โดยละเอียด จำข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทที่สำคัญและแก้ปัญหาได้ ให้เราจดจำและอธิบายลักษณะของอีกสองคนที่เหลือ
เรื่อง:ทบทวนหลักสูตรเรขาคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 8
บทเรียน: จุดอัศจรรย์สี่จุดของสามเหลี่ยม
ประการแรกรูปสามเหลี่ยมคือสามส่วนและสามมุม ดังนั้นคุณสมบัติของส่วนและมุมจึงเป็นพื้นฐาน
กำหนดให้เซ็กเมนต์ AB ส่วนใดๆ มีจุดกึ่งกลาง และสามารถลากเส้นตั้งฉากผ่านได้ - แสดงว่ามันเป็น p ดังนั้น p คือเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก
ทฤษฎีบท (คุณสมบัติหลักของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก)
จุดใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากจะมีระยะห่างจากปลายของส่วนนั้นเท่ากัน
พิสูจน์ว่า
การพิสูจน์:
พิจารณารูปสามเหลี่ยมและ (ดูรูปที่ 1) พวกมันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและเท่ากันเพราะว่า มีขาร่วมกัน OM และขา AO และ OB เท่ากันตามเงื่อนไข ดังนั้นเราจึงมีสามเหลี่ยมมุมฉากสองอันซึ่งเท่ากันในสองขา ตามมาว่าด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมก็เท่ากันเช่นกัน นั่นคือสิ่งที่ต้องพิสูจน์
ข้าว. 1
ทฤษฎีบทสนทนาเป็นจริง
ทฤษฎีบท
แต่ละจุดที่ห่างจากปลายส่วนนั้นเท่ากันจะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วนนี้
เมื่อกำหนดเซ็กเมนต์ AB ซึ่งเป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับ p โดยมีจุด M มีระยะห่างเท่ากันจากปลายเซ็กเมนต์ (ดูรูปที่ 2)
พิสูจน์ว่าจุด M อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนนั้น
ข้าว. 2
การพิสูจน์:
พิจารณารูปสามเหลี่ยม เป็นหน้าจั่วตามเงื่อนไข พิจารณาค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม โดยจุด O คือจุดกึ่งกลางของฐาน AB, OM คือค่ามัธยฐาน ตามคุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ค่ามัธยฐานที่ลากไปที่ฐานนั้นเป็นทั้งระดับความสูงและเส้นแบ่งครึ่ง เป็นไปตามนั้น. แต่เส้นตรง p ก็ตั้งฉากกับ AB เช่นกัน เรารู้ว่าที่จุด O คุณสามารถวาดเส้นตั้งฉากกับส่วน AB ได้ ซึ่งหมายความว่าเส้น OM และ p ตรงกัน จากนั้นจุด M อยู่ในเส้นตรง p ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องพิสูจน์
หากจำเป็นต้องอธิบายวงกลมรอบส่วนใดส่วนหนึ่ง ก็สามารถทำได้ และมีวงกลมดังกล่าวมากมายนับไม่ถ้วน แต่จุดศูนย์กลางของแต่ละวงกลมจะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วนนั้น
พวกเขาบอกว่าเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากคือตำแหน่งของจุดที่อยู่ห่างจากปลายของเซ็กเมนต์เท่ากัน
รูปสามเหลี่ยมประกอบด้วยสามส่วน ให้เราวาดเส้นตั้งฉากแบบสองภาคให้กับสองตัวนั้นแล้วหาจุด O ของจุดตัดกัน (ดูรูปที่ 3)
จุด O เป็นของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับด้าน BC ของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งหมายความว่ามันอยู่ห่างจากจุดยอด B และ C เท่ากัน ลองแสดงว่าระยะนี้เป็น R:
นอกจากนี้ จุด O ยังตั้งอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วน AB เช่น ในเวลาเดียวกันจากที่นี่
ดังนั้น จุด O ของจุดตัดของจุดกึ่งกลางสองจุด
ข้าว. 3
เส้นตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยมมีระยะห่างจากจุดยอดเท่ากัน ซึ่งหมายความว่ามันอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งที่สามตั้งฉากด้วย
เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสำคัญซ้ำแล้วซ้ำอีก
เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากสามเส้นของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - ศูนย์กลางของเส้นรอบวงวงกลม
ดังนั้นเราจึงดูจุดที่น่าทึ่งจุดแรกของสามเหลี่ยม - จุดตัดของเส้นตั้งฉากแบบสองด้านของมัน
เรามาดูคุณสมบัติของมุมใดก็ได้ (ดูรูปที่ 4)
ให้ค่ามุม โดยเส้นแบ่งครึ่งคือ AL จุด M อยู่บนเส้นแบ่งครึ่ง
ข้าว. 4
ถ้าจุด M อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม มันจะอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมนั้นเท่ากัน นั่นคือระยะทางจากจุด M ถึง AC และถึง BC ของด้านข้างของมุมนั้นเท่ากัน
การพิสูจน์:
พิจารณารูปสามเหลี่ยมและ พวกนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก และพวกมันเท่ากันเพราะ... มีด้านตรงข้ามมุมฉากร่วมกัน AM และมุมเท่ากัน เนื่องจาก AL คือเส้นแบ่งครึ่งของมุม ดังนั้น สามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากันในด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม ซึ่งเป็นไปตามนั้น ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์ ดังนั้น จุดบนเส้นแบ่งครึ่งของมุมจึงมีระยะห่างจากด้านข้างของมุมนั้นเท่ากัน
ทฤษฎีบทสนทนาเป็นจริง
ทฤษฎีบท
หากจุดหนึ่งอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมที่ยังไม่ได้รับการพัฒนาเท่ากัน จุดนั้นจะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมัน (ดูรูปที่ 5)
ให้มุมที่ยังไม่พัฒนาจุด M เพื่อให้ระยะห่างจากมุมนั้นถึงด้านข้างของมุมเท่ากัน
พิสูจน์ว่าจุด M อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม
ข้าว. 5
การพิสูจน์:
ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของเส้นตั้งฉาก จากจุด M เราวาดเส้นตั้งฉาก MK ไปยังด้าน AB และ MR ไปยังด้าน AC
พิจารณารูปสามเหลี่ยมและ พวกนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก และพวกมันเท่ากันเพราะ... มีด้านตรงข้ามมุมฉากร่วมกัน AM ขา MK และ MR เท่ากันตามเงื่อนไข ดังนั้น สามเหลี่ยมมุมฉากจะมีด้านตรงข้ามมุมฉากและขาเท่ากัน จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมจะเป็นไปตามความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบที่สอดคล้องกัน 
ดังนั้นจุด M จึงอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่กำหนด
หากคุณต้องการเขียนวงกลมในมุมหนึ่ง ก็สามารถทำได้ และมีวงกลมดังกล่าวมากมายนับไม่ถ้วน แต่จุดศูนย์กลางของพวกมันอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่กำหนด
ว่ากันว่าเส้นแบ่งครึ่งคือตำแหน่งของจุดที่อยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน
สามเหลี่ยมประกอบด้วยสามมุม มาสร้างเส้นแบ่งครึ่งของพวกมันสองตัวแล้วหาจุด O ของจุดตัดกัน (ดูรูปที่ 6)
จุด O อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม ซึ่งหมายความว่ามีระยะห่างจากด้าน AB และ BC เท่ากัน เราจะแทนค่าระยะทางเป็น r: นอกจากนี้ จุด O อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม ซึ่งหมายความว่าจากด้าน AC และ BC มีระยะห่างเท่ากัน: , , จากจุดนี้
สังเกตได้ง่ายว่าจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งนั้นอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมที่สามเท่ากัน ซึ่งหมายความว่ามันอยู่
ข้าว. 6
เส้นแบ่งครึ่งมุม ดังนั้น เส้นแบ่งครึ่งทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมจึงตัดกันที่จุดหนึ่ง
ดังนั้นเราจึงจำข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทที่สำคัญอีกข้อหนึ่งได้
เส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้
ดังนั้นเราจึงดูจุดที่น่าทึ่งจุดที่สองของสามเหลี่ยม - จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง
เราตรวจสอบเส้นแบ่งครึ่งของมุมและสังเกตคุณสมบัติที่สำคัญของมัน: จุดของเส้นแบ่งครึ่งนั้นอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน นอกจากนี้ ส่วนแทนเจนต์ที่ลากไปยังวงกลมจากจุดหนึ่งนั้นเท่ากัน
ให้เราแนะนำสัญกรณ์บางอย่าง (ดูรูปที่ 7)
ให้เราแสดงส่วนแทนเจนต์ที่เท่ากันด้วย x, y และ z ด้าน BC ที่อยู่ตรงข้ามจุดยอด A ถูกกำหนดให้เป็น a เช่นเดียวกับ AC เป็น b, AB เป็น c
ข้าว. 7
ปัญหาที่ 1: ในรูปสามเหลี่ยม จะทราบค่ากึ่งเส้นรอบรูปและความยาวของด้าน a ค้นหาความยาวของแทนเจนต์ที่ดึงมาจากจุดยอด A - AK ซึ่งเขียนแทนด้วย x
เห็นได้ชัดว่าสามเหลี่ยมนั้นไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างสมบูรณ์และมีสามเหลี่ยมดังกล่าวอยู่มากมาย แต่ปรากฎว่ามีองค์ประกอบบางอย่างที่เหมือนกัน
สำหรับปัญหาเกี่ยวกับวงกลมที่จารึกไว้ เราสามารถเสนอวิธีการแก้ไขได้ดังต่อไปนี้:
1. วาดเส้นแบ่งครึ่งและรับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้
2. จากจุดศูนย์กลาง O วาดเส้นตั้งฉากไปด้านข้างและรับจุดสัมผัส
3. ทำเครื่องหมายแทนเจนต์เท่ากัน
4. เขียนความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมกับเส้นสัมผัสกัน
เป้าหมาย:
- สรุปความรู้ของนักเรียนในหัวข้อ “จุดน่าทึ่งสี่จุดของสามเหลี่ยม” พัฒนาทักษะการสร้างส่วนสูง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมต่อ
แนะนำนักเรียนให้รู้จักแนวคิดใหม่ของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมและถูกล้อมรอบไว้
พัฒนาทักษะการวิจัย
- ปลูกฝังความพากเพียร ความถูกต้อง และการจัดระเบียบในผู้เรียน
งาน:ขยายความสนใจทางปัญญาในเรื่องของเรขาคณิต
อุปกรณ์:กระดาน อุปกรณ์วาดภาพ ดินสอสี แบบจำลองสามเหลี่ยมบนแผ่นแนวนอน คอมพิวเตอร์ เครื่องฉายมัลติมีเดีย หน้าจอ
ความคืบหน้าของบทเรียน
1.
ช่วงเวลาขององค์กร (1 นาที)
ครู:ในบทเรียนนี้ พวกคุณแต่ละคนจะรู้สึกเหมือนเป็นวิศวกรวิจัย หลังจากจบภาคปฏิบัติแล้ว คุณจะสามารถประเมินตัวเองได้ เพื่อให้งานประสบความสำเร็จ จำเป็นต้องดำเนินการทั้งหมดกับแบบจำลองในระหว่างบทเรียนอย่างถูกต้องและเป็นระเบียบ ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ
2.
ครู: วาดมุมเปิดในสมุดบันทึกของคุณ
ถาม คุณรู้วิธีการใดในการสร้างเส้นแบ่งครึ่งของมุม
การกำหนดเส้นแบ่งครึ่งของมุม นักเรียนสองคนสร้างเส้นแบ่งครึ่งมุมบนกระดาน (โดยใช้แบบจำลองที่เตรียมไว้ล่วงหน้า) ในสองวิธี: ด้วยไม้บรรทัดหรือเข็มทิศ นักเรียนสองคนต่อไปนี้พิสูจน์คำพูดด้วยวาจา:
1. จุดเส้นแบ่งครึ่งของมุมมีคุณสมบัติอะไร?
2. สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับจุดที่อยู่ในมุมและอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน?
ครู: วาดรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า แล้วสร้างเส้นแบ่งครึ่งของมุม A และมุม C ด้วยวิธีใดก็ตาม
จุดตัด - จุด O คุณสามารถเสนอสมมติฐานอะไรเกี่ยวกับรังสี VO ได้บ้าง พิสูจน์ว่ารังสี BO เป็นเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม ABC สรุปตำแหน่งของเส้นแบ่งครึ่งทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยม
3.
การทำงานกับโมเดลสามเหลี่ยม (5-7 นาที)
ตัวเลือก 1 - สามเหลี่ยมเฉียบพลัน;
ตัวเลือก 2 - สามเหลี่ยมมุมฉาก;
ตัวเลือก 3 - สามเหลี่ยมป้าน
ครู: ในแบบจำลองสามเหลี่ยม ให้สร้างเส้นแบ่งครึ่ง 2 เส้น วงกลมเป็นสีเหลือง ทำเครื่องหมายจุดตัด
เส้นแบ่งครึ่ง K. ดูสไลด์หมายเลข 1
4.
การเตรียมตัวสำหรับขั้นตอนหลักของบทเรียน (10-13 นาที)
ครู: วาดส่วนของเส้น AB ในสมุดบันทึกของคุณ เครื่องมือใดที่สามารถใช้ในการสร้างเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับเซ็กเมนต์ได้ การกำหนดเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก นักเรียนสองคนกำลังสร้างเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากบนกระดาน
(ตามรุ่นที่เตรียมไว้) ได้สองวิธี: ด้วยไม้บรรทัด, ด้วยเข็มทิศ นักเรียนสองคนต่อไปนี้พิสูจน์คำพูดด้วยวาจา:
1. จุดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับเซ็กเมนต์มีคุณสมบัติอะไร?
2. สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับจุดที่อยู่ห่างจากปลายส่วน AB เท่ากัน ครู: วาดรูปสามเหลี่ยม ABC ในสมุดบันทึกของคุณและสร้างเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม ABC
ทำเครื่องหมายจุดตัด O วาดตั้งฉากกับด้านที่สามผ่านจุด O คุณสังเกตเห็นอะไร พิสูจน์ว่านี่คือเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนนั้น
5.
ทำงานกับแบบจำลองสามเหลี่ยม (5 นาที) ครู: สำหรับแบบจำลองสามเหลี่ยม ให้สร้างเส้นตั้งฉากกับด้านทั้งสองของสามเหลี่ยมแล้ววงกลมเป็นสีเขียว ทำเครื่องหมายจุดตัดของเส้นตั้งฉากสองภาคด้วยจุด O ดูสไลด์หมายเลข 2
6.
การเตรียมตัวสำหรับขั้นตอนหลักของบทเรียน (5-7 นาที)ครู: วาดรูป ABC สามเหลี่ยมป้านและสร้างความสูงสองอัน ติดป้ายกำกับจุดตัด O
1. จะว่าอย่างไรเกี่ยวกับความสูงที่สาม (ความสูงที่สามหากยื่นเลยฐานจะผ่านจุด O)
2. จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าความสูงทั้งหมดตัดกันที่จุดหนึ่ง?
3. ความสูงเหล่านี้ก่อตัวเป็นตัวเลขใหม่อะไร และอยู่ในนั้นอย่างไร?
7.
การทำงานกับโมเดลสามเหลี่ยม (5 นาที)
ครู: ในแบบจำลองสามเหลี่ยม ให้สร้างส่วนสูง 3 ส่วนแล้ววงกลมเป็นสีน้ำเงิน ทำเครื่องหมายจุดที่ความสูงตัดกับจุด H ดูสไลด์หมายเลข 3
บทเรียนที่สอง
8.
การเตรียมตัวสำหรับขั้นตอนหลักของบทเรียน (10-12 นาที)
ครู: วาดรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน แล้วสร้างค่ามัธยฐานทั้งหมด เขียนกำกับจุดตัดกัน O ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมมีคุณสมบัติอะไร?
9.
การทำงานกับโมเดลสามเหลี่ยม (5 นาที)
ครู: ในแบบจำลองสามเหลี่ยม ให้สร้างค่ามัธยฐาน 3 อันแล้ววงกลมเป็นสีน้ำตาล
ทำเครื่องหมายจุดตัดของค่ามัธยฐานด้วยจุด T ดูสไลด์หมายเลข 4
10.
ตรวจสอบความถูกต้องของการก่อสร้าง (10-15 นาที)
1. อะไรคือสิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับจุด K? / จุด K คือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งซึ่งมีระยะห่างเท่ากันจากทุกด้านของรูปสามเหลี่ยม /
2. แสดงระยะทางจากจุด K ถึงด้านครึ่งหนึ่งของสามเหลี่ยมบนแบบจำลอง คุณวาดรูปร่างอะไร? สถานที่แห่งนี้เป็นอย่างไร
ตัดไปด้านข้างเหรอ? ไฮไลท์อย่างกล้าหาญด้วยดินสอง่ายๆ (ดูสไลด์หมายเลข 5)
3. จุดที่อยู่ห่างจากจุดสามจุดของระนาบซึ่งไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันมีระยะเท่ากันคือเท่าใด ใช้ดินสอสีเหลืองวาดวงกลมโดยให้ K อยู่ตรงกลางและมีรัศมีเท่ากับระยะทางที่ทำเครื่องหมายด้วยดินสอธรรมดา (ดูสไลด์หมายเลข 6)
4. คุณสังเกตเห็นอะไร? วงกลมนี้มีตำแหน่งสัมพันธ์กับสามเหลี่ยมอย่างไร? คุณได้เขียนวงกลมไว้ในรูปสามเหลี่ยม วงกลมแบบนี้เรียกว่าอะไรได้บ้าง?
ครูให้คำจำกัดความของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยม
5. สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับจุด O? \จุด O คือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก และมีระยะห่างเท่ากันจากจุดยอดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยม\ รูปใดที่สามารถสร้างได้โดยการเชื่อมต่อจุด A, B, C และ O
6. สร้างวงกลม (O; OA) โดยใช้สีเขียว (ดูสไลด์หมายเลข 7)
7. คุณสังเกตเห็นอะไร? วงกลมนี้มีตำแหน่งสัมพันธ์กับสามเหลี่ยมอย่างไร? วงกลมแบบนี้เรียกว่าอะไรได้บ้าง? เราจะเรียกสามเหลี่ยมในกรณีนี้ได้อย่างไร?
ครูให้คำจำกัดความของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม
8. ติดไม้บรรทัดที่จุด O, H และ T แล้วลากเส้นสีแดงผ่านจุดเหล่านี้ เส้นนี้เรียกว่าเส้นตรง
ออยเลอร์ (ดูสไลด์หมายเลข 8)
9. เปรียบเทียบ OT และ TN ตรวจสอบ FROM:TN=1: 2 (ดูสไลด์หมายเลข 9)
10. ก) หาค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม (สีน้ำตาล) ทำเครื่องหมายฐานของค่ามัธยฐานด้วยหมึก
สามแต้มนี้อยู่ไหน?
b) ค้นหาความสูงของรูปสามเหลี่ยม (สีน้ำเงิน) ทำเครื่องหมายฐานของความสูงด้วยหมึก มีกี่จุดเหล่านี้? \ ตัวเลือก 1-3; 2 ตัวเลือก-2; ตัวเลือก 3-3\.c) วัดระยะห่างจากจุดยอดถึงจุดตัดของความสูง ตั้งชื่อระยะทางเหล่านี้ (AN,
เวียดนาม, SN) ค้นหาจุดกึ่งกลางของส่วนเหล่านี้แล้วไฮไลต์ด้วยหมึก พวกนี้กี่ตัวครับ
คะแนน? \1 ตัวเลือก-3; 2 ตัวเลือก-2; ตัวเลือก 3-3\.
11. นับด้วยหมึกที่ทำเครื่องหมายไว้กี่จุด? \ 1 ตัวเลือก - 9; ตัวเลือก 2-5; ตัวเลือก 3-9\. กำหนด
จุด D 1, D 2, …, D 9 (ดูสไลด์หมายเลข 10) ใช้จุดเหล่านี้เพื่อสร้างวงกลมออยเลอร์ จุดศูนย์กลางของวงกลม จุด E อยู่ตรงกลางของส่วน OH เราวาดวงกลม (E; ED 1) เป็นสีแดง วงกลมนี้เหมือนกับเส้นตรงที่ตั้งชื่อตามนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ (ดูสไลด์หมายเลข 11)
11.
การนำเสนอเกี่ยวกับออยเลอร์ (5 นาที)
12. สรุป(3 นาที) คะแนน: “5” - ถ้าคุณได้วงกลมสีเหลือง เขียว และแดง และเส้นตรงออยเลอร์พอดี “4” - หากวงกลมคลาดเคลื่อน 2-3 มม. “3” - หากวงกลมคลาดเคลื่อน 5-7 มม.