เมื่ออสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลไม่มีวิธีแก้ปัญหา การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล: วิธีการพื้นฐาน

แผนภาพในรูปที่ 5:

และตัวอย่างต่อไปนี้: แก้ความไม่เท่าเทียมกัน 0.6 2x – 3< 0,36 .

ตามแผนภาพในรูปที่ 5 เราได้
2x – 3 > บันทึก 0.6 0.36,
2х – 3 > 2,
2x > 5,
x > 2.5

คำตอบ: (2,5; +∞) .

ให้เราพิจารณาโครงร่างสุดท้ายในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม และฉ(x)< b , ที่ ก>0และ ข<0 นำเสนอในรูปที่ 6:

ตัวอย่างเช่น ลองแก้อสมการ:

เราสังเกตว่าไม่ว่าเราจะแทนที่ x ด้วยจำนวนเท่าใด ทางด้านซ้ายของอสมการก็จะมากกว่าศูนย์เสมอ และในกรณีของเรา นิพจน์นี้จะน้อยกว่า -8 กล่าวคือ และศูนย์ ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหา

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา.

เมื่อรู้วิธีแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุดแล้ว คุณสามารถดำเนินการต่อไปได้ การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล.

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาค่าจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดของ x ที่ตรงกับอสมการ

เนื่องจาก 6 x มากกว่าศูนย์ (ไม่มี x ตัวส่วนไปที่ศูนย์) เมื่อคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วย 6 x เราจึงได้:

440 – 2 6 2x > 8 แล้ว
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2х > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

คำตอบ: 1.

ตัวอย่างที่ 2.

แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

ให้เราแทน 2 x ด้วย y หาอสมการ y 2 – 3y + 2 ≤ 0 และแก้อสมการกำลังสองนี้

ปี 2 – 3ปี +2 = 0,
y 1 = 1 และ y 2 = 2

กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น ลองวาดกราฟกัน:

จากนั้นวิธีแก้อสมการจะเป็นอสมการ 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

คำตอบ: (0; 1) .

ตัวอย่างที่ 3- แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน 5 x +1 – 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
ลองรวบรวมนิพจน์ที่มีฐานเดียวกันมาเป็นส่วนหนึ่งของอสมการกัน

5x+1 – 2 5x< 3 x +2 – 2·3 x –1

ลองเอา 5 x ออกจากวงเล็บทางด้านซ้ายของอสมการ และ 3 x ทางด้านขวาของอสมการ แล้วเราจะได้อสมการ

5 เท่า (5 – 2)< 3 х (9 – 2/3),
3·5 x< (25/3)·3 х

หารอสมการทั้งสองด้านด้วยนิพจน์ 3 3 x เครื่องหมายของอสมการไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจาก 3 3 x เป็นจำนวนบวก เราจึงได้อสมการ:

เอ็กซ์< 2 (так как 5/3 > 1).

คำตอบ: (–∞; 2) .

หากคุณมีคำถามเกี่ยวกับการแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลหรือต้องการฝึกแก้ตัวอย่างที่คล้ายกัน โปรดสมัครบทเรียนของฉัน ครูสอนพิเศษ Valentina Galinevskaya

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่ทางใดก็ทางหนึ่งเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนนิพจน์ตัวเลข พีชคณิต หรือฟังก์ชัน ข้อความข้างต้นมีผลใช้กับการตัดสินใจโดยเฉพาะ ในเวอร์ชันของ Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์ ปัญหาประเภทนี้จะรวมถึงงาน C3 โดยเฉพาะ การเรียนรู้ที่จะแก้งาน C3 นั้นมีความสำคัญไม่เพียง แต่เพื่อจุดประสงค์ในการผ่านการสอบ Unified State เท่านั้น แต่ยังรวมถึงเหตุผลที่ทักษะนี้จะมีประโยชน์เมื่อเรียนหลักสูตรคณิตศาสตร์ในโรงเรียนมัธยมด้วย

เมื่อทำงาน C3 สำเร็จ คุณจะต้องแก้สมการและอสมการประเภทต่างๆ ในหมู่พวกเขามีเหตุผล, ไม่ลงตัว, เอ็กซ์โปเนนเชียล, ลอการิทึม, ตรีโกณมิติ, โมดูลที่มี (ค่าสัมบูรณ์) เช่นเดียวกับโมดูลที่รวมกัน บทความนี้จะกล่าวถึงสมการเอ็กซ์โพเนนเชียลและอสมการประเภทหลักๆ ตลอดจนวิธีการต่างๆ ในการแก้สมการเหล่านี้ อ่านเกี่ยวกับการแก้สมการและอสมการประเภทอื่นๆ ในส่วน "" ในบทความเกี่ยวกับวิธีแก้ไขปัญหา C3 จาก Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์

ก่อนที่เราจะเริ่มวิเคราะห์เจาะจง สมการเลขชี้กำลังและอสมการในฐานะครูสอนคณิตศาสตร์ ฉันขอแนะนำให้คุณทบทวนเนื้อหาทางทฤษฎีที่เราจำเป็นต้องใช้

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคืออะไร?

หน้าที่ของแบบฟอร์ม ย = เอ็กซ์, ที่ไหน ก> 0 และ ก≠ 1 ถูกเรียก ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง.

ขั้นพื้นฐาน คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ย = เอ็กซ์:

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือ เลขชี้กำลัง:

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (เลขชี้กำลัง)

การแก้สมการเลขชี้กำลัง

บ่งชี้เรียกว่าสมการซึ่งตัวแปรที่ไม่รู้จักจะพบได้เฉพาะในเลขยกกำลังบางค่าเท่านั้น

สำหรับการแก้ปัญหา สมการเลขชี้กำลังคุณต้องรู้และสามารถใช้ทฤษฎีบทง่ายๆ ต่อไปนี้ได้:

ทฤษฎีบท 1สมการเลขชี้กำลัง ก ฉ(x) = ก ก(x) (ที่ไหน ก > 0, ก≠ 1) เทียบเท่ากับสมการ ฉ(x) = ก(x).

นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ในการจดจำสูตรพื้นฐานและการดำเนินการด้วยองศา:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ:

สารละลาย:เราใช้สูตรและการทดแทนข้างต้น:

สมการจะกลายเป็น:

การเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสองที่ได้จะเป็นค่าบวก:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

ซึ่งหมายความว่าสมการนี้มีสองราก เราพบพวกเขา:

ไปสู่การทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้:

สมการที่สองไม่มีราก เนื่องจากฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลจะเป็นค่าบวกอย่างเคร่งครัดตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด มาแก้อันที่สองกัน:

เมื่อคำนึงถึงสิ่งที่กล่าวไว้ในทฤษฎีบทที่ 1 เราจะไปยังสมการที่เทียบเท่ากัน: x= 3 นี่จะเป็นคำตอบของงาน

คำตอบ: x = 3.

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ:

สารละลาย:สมการไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับช่วงของค่าที่อนุญาต เนื่องจากนิพจน์รากนั้นเหมาะสมกับค่าใดๆ x(ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ย = 9 4 -xบวกและไม่เท่ากับศูนย์)

เราแก้สมการด้วยการแปลงที่เท่ากันโดยใช้กฎการคูณและการหารยกกำลัง:

การเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดดำเนินการตามทฤษฎีบท 1

คำตอบ:x= 6.

ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ:

สารละลาย:ทั้งสองด้านของสมการดั้งเดิมสามารถหารด้วย 0.2 x- การเปลี่ยนแปลงนี้จะเท่ากัน เนื่องจากนิพจน์นี้มีค่ามากกว่าศูนย์สำหรับค่าใดๆ x(ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นบวกอย่างเคร่งครัดในโดเมนของคำจำกัดความ) จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:

คำตอบ: x = 0.

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ:

สารละลาย:เราลดความซับซ้อนของสมการให้เป็นสมการเบื้องต้นโดยใช้การแปลงที่เท่ากันโดยใช้กฎการหารและการคูณกำลังที่ให้ไว้ตอนต้นของบทความ:

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 4 xดังเช่นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เป็นการแปลงที่เทียบเท่ากัน เนื่องจากนิพจน์นี้ไม่เท่ากับศูนย์สำหรับค่าใดๆ x.

คำตอบ: x = 0.

ตัวอย่างที่ 5แก้สมการ:

สารละลาย:การทำงาน ย = 3xยืนอยู่ทางด้านซ้ายของสมการกำลังเพิ่มขึ้น การทำงาน ย = —x-2/3 ทางด้านขวาของสมการกำลังลดลง ซึ่งหมายความว่าหากกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ตัดกัน จะมีจุดมากที่สุดเพียงจุดเดียว ในกรณีนี้ มันง่ายที่จะเดาว่ากราฟตัดกันที่จุดนั้น x= -1. จะไม่มีรากอื่น

คำตอบ: x = -1.

ตัวอย่างที่ 6แก้สมการ:

สารละลาย:เราทำให้สมการง่ายขึ้นด้วยการแปลงที่เท่ากัน โดยคำนึงถึงทุกที่ว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่ามากกว่าศูนย์สำหรับค่าใดๆ อย่างเคร่งครัด xและใช้กฎในการคำนวณผลคูณและผลหารของกำลังที่ให้ไว้ตอนต้นบทความ:

คำตอบ: x = 2.

การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

บ่งชี้เรียกว่าอสมการซึ่งมีตัวแปรที่ไม่รู้จักอยู่ในเลขยกกำลังบางค่าเท่านั้น

สำหรับการแก้ปัญหา อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลจำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท 2ถ้า ก> 1 แล้วความไม่เท่าเทียมกัน ก ฉ(x) > ก ก(x) เทียบเท่ากับอสมการที่มีความหมายเดียวกัน: ฉ(x) > ก(x- ถ้า 0< ก < 1, то показательное неравенство ก ฉ(x) > ก ก(x) เทียบเท่ากับอสมการที่มีความหมายตรงกันข้าม: ฉ(x) < ก(x).

ตัวอย่างที่ 7แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย:ขอนำเสนอความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมในรูปแบบ:

ลองหารทั้งสองข้างของอสมการนี้ด้วย 3 2 กัน xในกรณีนี้ (เนื่องจากผลบวกของฟังก์ชัน ย= 3 2x) เครื่องหมายอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง:

ลองใช้การทดแทน:

จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันจะเกิดขึ้น:

ดังนั้น คำตอบของอสมการคือช่วง:

เมื่อย้ายไปที่การทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้:

เนื่องจากค่าบวกของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ความไม่เท่าเทียมกันทางด้านซ้ายจึงเป็นไปตามค่าอัตโนมัติ เมื่อใช้คุณสมบัติที่รู้จักกันดีของลอการิทึม เรามุ่งไปสู่อสมการที่เทียบเท่ากัน:

เนื่องจากฐานของระดับเป็นตัวเลขที่มากกว่า 1 เทียบเท่า (ตามทฤษฎีบท 2) จึงเป็นการเปลี่ยนไปสู่อสมการต่อไปนี้:

ในที่สุดเราก็ได้ คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 8แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย:โดยใช้คุณสมบัติของการคูณและการหารยกกำลัง เราเขียนอสมการใหม่ในรูปแบบ:

ขอแนะนำตัวแปรใหม่:

เมื่อคำนึงถึงการทดแทนนี้ ความไม่เท่าเทียมกันจะอยู่ในรูปแบบ:

เมื่อคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 7 เราจะได้อสมการที่เทียบเท่ากันดังต่อไปนี้:

ดังนั้นค่าของตัวแปรต่อไปนี้จึงเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน ที:

จากนั้นเมื่อย้ายไปที่การทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้:

เนื่องจากฐานของระดับนี้มากกว่า 1 การเปลี่ยนไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันจึงจะเท่ากัน (ตามทฤษฎีบท 2):

ในที่สุดเราก็ได้ คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 9แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย:

เราแบ่งอสมการทั้งสองด้านด้วยนิพจน์:

ค่านี้จะมากกว่าศูนย์เสมอ (เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นบวก) ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ เราได้รับ:

t อยู่ในช่วง:

เมื่อพิจารณาถึงการแทนที่แบบย้อนกลับ เราพบว่าอสมการดั้งเดิมแบ่งออกเป็นสองกรณี:

อสมการประการแรกไม่มีทางแก้ได้เนื่องจากค่าบวกของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง มาแก้อันที่สองกัน:

ตัวอย่างที่ 10แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย:

สาขาพาราโบลา ย = 2x+2-x 2 ชี้ลง ดังนั้นจึงถูกจำกัดจากด้านบนด้วยค่าที่มาถึงที่จุดยอด:

สาขาพาราโบลา ย = x 2 -2x+2 ในตัวบ่งชี้ชี้ขึ้นด้านบน ซึ่งหมายความว่ามันถูกจำกัดจากด้านล่างด้วยค่าที่มันมาถึงที่จุดยอด:

ในขณะเดียวกัน ฟังก์ชันก็ปรากฏว่ามีขอบเขตจากด้านล่างด้วย ย = 3 x 2 -2x+2 ซึ่งอยู่ทางด้านขวาของสมการ มันถึงค่าที่น้อยที่สุดที่จุดเดียวกับพาราโบลาในเลขชี้กำลัง และค่านี้คือ 3 1 = 3 ดังนั้น อสมการดั้งเดิมจะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันทางด้านซ้ายและฟังก์ชันทางด้านขวาใช้ค่านั้น เท่ากับ 3 (จุดตัดของช่วงค่าของฟังก์ชันเหล่านี้คือตัวเลขนี้เท่านั้น) เงื่อนไขนี้จบที่จุดเดียว x = 1.

คำตอบ: x= 1.

เพื่อเรียนรู้ที่จะตัดสินใจ สมการเลขชี้กำลังและอสมการจำเป็นต้องฝึกฝนการแก้ปัญหาเหล่านี้อย่างต่อเนื่อง อุปกรณ์ช่วยสอนต่างๆ หนังสือปัญหาในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ชุดปัญหาการแข่งขัน ชั้นเรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน รวมถึงบทเรียนตัวต่อตัวกับครูสอนพิเศษมืออาชีพสามารถช่วยคุณในงานที่ยากลำบากนี้ได้ ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จในการเตรียมตัวและผลการสอบที่ยอดเยี่ยม

เซอร์เกย์ วาเลรีวิช

ป.ล. เรียนแขกทุกท่าน! กรุณาอย่าเขียนคำขอเพื่อแก้สมการของคุณในความคิดเห็น น่าเสียดายที่ฉันไม่มีเวลาสำหรับเรื่องนี้จริงๆ ข้อความดังกล่าวจะถูกลบ โปรดอ่านบทความ บางทีในนั้นคุณจะพบคำตอบสำหรับคำถามที่ไม่อนุญาตให้คุณแก้ไขงานด้วยตัวเอง

สมการเอ็กซ์โพเนนเชียลและอสมการคือสมการที่ไม่ทราบค่าอยู่ในเลขชี้กำลัง

การแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลมักเกิดจากการแก้สมการ a x = a b โดยที่ a > 0, a ≠ 1, x ไม่เป็นที่รู้จัก สมการนี้มีรากเดียว x = b เนื่องจากทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง:

ทฤษฎีบท. ถ้า a > 0, a ≠ 1 และ a x 1 = a x 2 แล้ว x 1 = x 2

ให้เรายืนยันข้อความที่พิจารณาแล้ว

ให้เราสมมติว่าความเท่าเทียมกัน x 1 = x 2 ไม่คงอยู่ นั่นคือ x1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1 จากนั้นฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล y = a x จะเพิ่มขึ้น ดังนั้นจึงต้องทำให้ความไม่เท่าเทียมกันของ a x 1 เป็นจริง< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >ก x 2 ในทั้งสองกรณี เราได้รับความขัดแย้งกับเงื่อนไข a x 1 = a x 2

ลองพิจารณาปัญหาหลายประการ

แก้สมการ 4 ∙ 2 x = 1

สารละลาย.

ลองเขียนสมการในรูปแบบ 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 ซึ่งเราจะได้ x + 2 = 0 เช่น x = -2.

คำตอบ. x = -2.

แก้สมการ 2 3x ∙ 3 x = 576

สารละลาย.

เนื่องจาก 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 สมการจึงสามารถเขียนเป็น 8 x ∙ 3 x = 24 2 หรือ 24 x = 24 2

จากตรงนี้เราจะได้ x = 2

คำตอบ. x = 2

แก้สมการ 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25

สารละลาย.

นำตัวประกอบร่วม 3 x - 2 จากวงเล็บทางด้านซ้าย เราจะได้ 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25

โดยที่ 3 x - 2 = 1 นั่นคือ x – 2 = 0, x = 2

คำตอบ. x = 2

แก้สมการ 3 x = 7 x

สารละลาย.

ตั้งแต่ 7 x ≠ 0 สมการสามารถเขียนได้เป็น 3 x /7 x = 1 โดยที่ (3/7) x = 1, x = 0

คำตอบ. x = 0

แก้สมการ 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0

สารละลาย.

โดยการแทนที่ 3 x = a สมการนี้จะลดลงเหลือสมการกำลังสอง a 2 – 4a – 45 = 0

เมื่อแก้สมการนี้ เราจะพบรากของมัน: a 1 = 9 และ 2 = -5 โดยที่ 3 x = 9, 3 x = -5

สมการ 3 x = 9 มีรากที่ 2 และสมการ 3 x = -5 ไม่มีราก เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังไม่สามารถรับค่าลบได้

คำตอบ. x = 2

การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลมักลงมาที่การแก้อสมการ a x > a b หรือ a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

ลองดูปัญหาบางอย่าง

แก้อสมการ 3x< 81.

สารละลาย.

ลองเขียนอสมการในรูปแบบ 3 x กัน< 3 4 . Так как 3 >1 จากนั้นฟังก์ชัน y = 3 x จะเพิ่มขึ้น

ดังนั้น สำหรับ x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

ดังนั้น ที่ x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 ครั้ง< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

คำตอบ. เอ็กซ์< 4.

แก้อสมการ 16 x +4 x – 2 > 0

สารละลาย.

ให้เราแสดงว่า 4 x = t จากนั้นเราจะได้อสมการกำลังสอง t2 + t – 2 > 0

อสมการนี้มีไว้สำหรับ t< -2 и при t > 1.

เนื่องจาก t = 4 x เราจะได้อสมการสองตัวคือ 4 x< -2, 4 х > 1.

อสมการแรกไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจาก 4 x > 0 สำหรับ x € R ทั้งหมด

เราเขียนอสมการที่สองในรูปแบบ 4 x > 4 0 โดยที่ x > 0

คำตอบ. x > 0

แก้สมการ (1/3) x = x – 2/3 แบบกราฟิก

สารละลาย.

1) มาสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = (1/3) x และ y = x – 2/3 กัน

2) จากรูปของเรา เราสามารถสรุปได้ว่ากราฟของฟังก์ชันที่พิจารณาตัดกันที่จุดด้วย abscissa x data 1 การตรวจสอบพิสูจน์ว่า

x = 1 คือรากของสมการนี้:

(1/3) 1 = 1/3 และ 1 – 2/3 = 1/3

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราพบหนึ่งในรากของสมการแล้ว

3) ลองหารากอื่นหรือพิสูจน์ว่าไม่มี ฟังก์ชัน (1/3) x กำลังลดลง และฟังก์ชัน y = x – 2/3 กำลังเพิ่มขึ้น ดังนั้นสำหรับ x > 1 ค่าของฟังก์ชันแรกจะน้อยกว่า 1/3 และค่าที่สอง – มากกว่า 1/3 ที่ x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 และ x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

คำตอบ. x = 1

โปรดทราบว่าจากการแก้ปัญหานี้โดยเฉพาะ จะตามมาว่าอสมการ (1/3) x > x – 2/3 เป็นที่น่าพอใจสำหรับ x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "สมการเลขชี้กำลังและอสมการเลขชี้กำลัง"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยการศึกษาและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 11
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 9-11 "ตรีโกณมิติ"
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 10-11 "ลอการิทึม"

นิยามของสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

คำนิยาม. สมการในรูปแบบ: $a^(f(x))=a^(g(x))$ โดยที่ $a>0$, $a≠1$ เรียกว่าสมการเลขชี้กำลัง

เมื่อนึกถึงทฤษฎีบทที่เราศึกษาในหัวข้อ "ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง" เราสามารถแนะนำทฤษฎีบทใหม่ได้:
ทฤษฎีบท. สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล $a^(f(x))=a^(g(x))$ โดยที่ $a>0$, $a≠1$ เทียบเท่ากับสมการ $f(x)=g(x) $.

ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
จากนั้นสมการของเราสามารถเขียนใหม่ได้: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2х+0.2=0.2$.
$x=0$.
คำตอบ: $x=0$.

C) สมการดั้งเดิมเทียบเท่ากับสมการ: $x^2-6x=-3x+18$
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ และ $x_2=-3$.
คำตอบ: $x_1=6$ และ $x_2=-3$

ตัวอย่าง.
แก้สมการ: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$
สารละลาย:
ลองทำชุดการกระทำตามลำดับและนำสมการทั้งสองข้างมาอยู่บนฐานเดียวกัน
มาดำเนินการหลายอย่างทางด้านซ้าย:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$
มาดูทางด้านขวากันดีกว่า:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$
สมการดั้งเดิมเทียบเท่ากับสมการ:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
คำตอบ: $x=0$.

ตัวอย่าง.
แก้สมการ: $9^x+3^(x+2)-36=0$
สารละลาย:
ลองเขียนสมการของเราใหม่: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
มาทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรกัน โดยให้ $a=3^x$
ในตัวแปรใหม่ สมการจะอยู่ในรูปแบบ: $a^2+9a-36=0$
$(ก+12)(ก-3)=0$.
$a_1=-12$ และ $a_2=3$.
เรามาทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรแบบย้อนกลับกัน: $3^x=-12$ และ $3^x=3$
ในบทเรียนที่แล้วเราได้เรียนรู้ว่านิพจน์เอ็กซ์โปเนนเชียลสามารถรับค่าบวกได้เท่านั้น จำกราฟไว้ด้วย ซึ่งหมายความว่าสมการแรกไม่มีคำตอบ สมการที่สองมีคำตอบเดียว: $x=1$
คำตอบ: $x=1$.

เรามาเตือนความจำถึงวิธีแก้สมการเลขชี้กำลัง:
1. วิธีกราฟิกเราแสดงทั้งสองด้านของสมการในรูปแบบของฟังก์ชันและสร้างกราฟ ค้นหาจุดตัดกันของกราฟ (เราใช้วิธีนี้ในบทเรียนที่แล้ว)
2. หลักการความเท่าเทียมกันของตัวชี้วัดหลักการนี้ตั้งอยู่บนพื้นฐานของความจริงที่ว่าสองนิพจน์ที่มีฐานเดียวกันจะเท่ากันก็ต่อเมื่อองศา (เลขชี้กำลัง) ของฐานเหล่านี้เท่ากันเท่านั้น $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. วิธีการแทนที่ตัวแปรควรใช้วิธีนี้หากสมการเมื่อแทนที่ตัวแปร ทำให้รูปแบบง่ายขึ้นและแก้ได้ง่ายกว่ามาก

ตัวอย่าง.
แก้ระบบสมการ: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12 \end (กรณี)$.
สารละลาย.
ลองพิจารณาทั้งสองสมการของระบบแยกกัน:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3ป)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
พิจารณาสมการที่สอง:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
ลองใช้วิธีการเปลี่ยนแปลงตัวแปร ให้ $y=2^(x+y)$
จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ และ $y_2=-3$.
มาดูตัวแปรเริ่มต้นกันดีกว่า จากสมการแรกเราจะได้ $x+y=2$ สมการที่สองไม่มีคำตอบ จากนั้นระบบสมการเริ่มต้นของเราก็เทียบเท่ากับระบบ: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2 \end (กรณี)$.
ลบอันที่สองจากสมการแรก เราจะได้: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2 \end (กรณี)$.
$\begin (กรณี) y=-1, \\ x=3 \end (กรณี)$.
คำตอบ: $(3;-1)$.

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

ทฤษฎีบท. ถ้า $a>1$ ดังนั้นอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล $a^(f(x))>a^(g(x))$ จะเท่ากับอสมการ $f(x)>g(x)$
ถ้า $0 a^(g(x))$ เทียบเท่ากับอสมการ $f(x)

ตัวอย่าง.
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
ก) $3^(2x+3)>81$
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$ .
สารละลาย.
ก) $3^(2x+3)>81$
$3^(2x+3)>3^4$.
ความไม่เท่าเทียมกันของเราเทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน:
$2x+3>4$.
$2x>1$
$x>0.5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) ในสมการของเรา ฐานคือเมื่อดีกรี มีค่าน้อยกว่า 1 ดังนั้น เมื่อเปลี่ยนอสมการด้วยค่าที่เท่ากันแล้วจำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) ความไม่เท่าเทียมกันของเราเทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
ลองใช้วิธีแก้ช่วง:
คำตอบ: $(-∞;-5]U)