เมื่อใดจึงควรเปลี่ยนเครื่องหมายในความไม่เท่าเทียมกัน อสมการเชิงเส้น

สิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับไอคอนความไม่เท่าเทียมกัน? ความไม่เท่าเทียมกันกับไอคอน มากกว่า (> ), หรือ น้อย (< ) ถูกเรียก เข้มงวด.ด้วยไอคอน มากกว่าหรือเท่ากับ (≥ ), น้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤ ) ถูกเรียก ไม่เข้มงวดไอคอน ไม่เท่ากัน (≠ ) โดดเด่น แต่คุณยังต้องแก้ตัวอย่างด้วยไอคอนนี้ตลอดเวลา แล้วเราจะตัดสินใจ)

ตัวไอคอนเองไม่ได้มีอิทธิพลต่อกระบวนการแก้ไขปัญหามากนัก แต่เมื่อตัดสินใจเลือกคำตอบสุดท้ายความหมายของไอคอนก็ปรากฏเต็มกำลัง! นี่คือสิ่งที่เราจะเห็นด้านล่างในตัวอย่าง มีเรื่องตลกอยู่บ้าง...

ความไม่เท่าเทียมกันเช่นเดียวกับความเท่าเทียมกันมีอยู่จริง ซื่อสัตย์และไม่ซื่อสัตย์ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ไม่มีลูกเล่น สมมุติว่า 5 > 2 คืออสมการที่แท้จริง 5 < 2 - ไม่ถูกต้อง

การเตรียมการนี้ใช้ได้กับความไม่เท่าเทียมกัน ชนิดใดก็ได้และเรียบง่ายจนถึงขั้นสยองขวัญ) คุณเพียงแค่ต้องดำเนินการเบื้องต้นสองครั้ง (เพียงสอง!) อย่างถูกต้อง การกระทำเหล่านี้ทุกคนคุ้นเคย แต่โดยลักษณะเฉพาะ ข้อผิดพลาดในการกระทำเหล่านี้เป็นข้อผิดพลาดหลักในการแก้ไขความไม่เท่าเทียม ใช่... ดังนั้นการกระทำเหล่านี้จึงต้องทำซ้ำ การดำเนินการเหล่านี้เรียกว่าดังนี้:

การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันของความไม่เท่าเทียมกัน

การแปลงอสมการที่เหมือนกันนั้นคล้ายคลึงกับการแปลงสมการที่เหมือนกันมาก จริงๆแล้วนี่คือปัญหาหลัก ความแตกต่างอยู่ในหัวของคุณและ... อยู่นี่ไง) ดังนั้น ฉันจะเน้นความแตกต่างเหล่านี้เป็นพิเศษ ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรกที่เหมือนกัน:

1. จำนวนหรือนิพจน์เดียวกันสามารถบวก (ลบ) ทั้งสองข้างของอสมการได้ ใดๆ. สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ

ในทางปฏิบัติกฎนี้ใช้เป็นการถ่ายโอนคำศัพท์จากด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันไปทางขวา (และในทางกลับกัน) โดยมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย ด้วยการเปลี่ยนสัญลักษณ์ของคำว่าไม่เท่าเทียมกัน! กฎหนึ่งต่อหนึ่งเหมือนกับกฎของสมการ แต่การแปลงอสมการที่เหมือนกันต่อไปนี้แตกต่างอย่างมากจากการแปลงในสมการ ดังนั้นฉันจึงเน้นด้วยสีแดง:

2. อสมการทั้งสองด้านสามารถคูณ (หาร) ด้วยสิ่งเดียวกันได้เชิงบวกตัวเลข. สำหรับอย่างใดอย่างหนึ่งเชิงบวก จะไม่เปลี่ยนแปลง

3. อสมการทั้งสองด้านสามารถคูณ (หาร) ด้วยสิ่งเดียวกันได้เชิงลบตัวเลข. สำหรับอย่างใดอย่างหนึ่งเชิงลบตัวเลข. สัญญาณความไม่เท่าเทียมกันจากสิ่งนี้จะเปลี่ยนตรงกันข้าม

คุณจำได้ว่า (ฉันหวังว่า...) ว่าสมการนี้สามารถคูณหรือหารด้วยอะไรก็ได้ และสำหรับจำนวนใดๆ และสำหรับนิพจน์ที่มี X ถ้าเพียงแต่มันไม่เป็นศูนย์ สิ่งนี้ทำให้เขาสมการไม่ร้อนไม่หนาว) ก็ไม่เปลี่ยนแปลง แต่อสมการจะไวต่อการคูณ/หารมากกว่า

ตัวอย่างที่ชัดเจนสำหรับความจำที่ยาวนาน ให้เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ทำให้เกิดข้อสงสัย:

5 > 2

คูณทั้งสองข้างด้วย +3, เราได้รับ:

15 > 6

มีข้อโต้แย้งอะไรบ้าง? ไม่มีการโต้แย้งใดๆ ทั้งสิ้น) และถ้าเราคูณทั้งสองข้างของอสมการเดิมด้วย -3, เราได้รับ:

15 > -6

และนี่คือการโกหกโดยสิ้นเชิง) การโกหกที่สมบูรณ์! หลอกลวงประชาชน! แต่ทันทีที่คุณเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการเป็นเครื่องหมายตรงข้าม ทุกอย่างก็จะเข้าที่:

15 < -6

ฉันไม่ได้แค่สบถเกี่ยวกับการโกหกและการหลอกลวงเท่านั้น) "ลืมเปลี่ยนเครื่องหมายเท่ากับ..."- นี้ บ้านข้อผิดพลาดในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน กฎเล็กๆ น้อยๆ และเรียบง่ายนี้ทำร้ายผู้คนมากมาย! ซึ่งพวกเขาลืมไป...) ฉันก็เลยสาบาน บางทีฉันอาจจะจำได้...)

คนที่ใส่ใจเป็นพิเศษจะสังเกตเห็นว่าความไม่เท่าเทียมกันไม่สามารถคูณด้วยนิพจน์ที่มี X ได้ เคารพผู้ที่เอาใจใส่!) ทำไมจะไม่ล่ะ? คำตอบนั้นง่าย เราไม่รู้เครื่องหมายของนิพจน์นี้ด้วย X อาจเป็นได้ทั้งบวก ลบ... ดังนั้นเราจึงไม่รู้ว่าจะต้องใส่เครื่องหมายอสมการใดหลังจากการคูณ ฉันควรเปลี่ยนหรือไม่? ไม่ทราบ แน่นอนว่าข้อจำกัดนี้ (การห้ามการคูณ/หารอสมการด้วยนิพจน์ที่มี x) สามารถหลีกเลี่ยงได้ หากคุณต้องการมันจริงๆ แต่นี่เป็นหัวข้อสำหรับบทเรียนอื่น

นั่นคือการแปลงอสมการที่เหมือนกันทั้งหมด ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่าพวกเขาทำงานเพื่อ ใดๆความไม่เท่าเทียมกัน ตอนนี้คุณสามารถไปยังประเภทเฉพาะได้แล้ว

อสมการเชิงเส้น วิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

อสมการเชิงเส้นคืออสมการโดยที่ x อยู่ในกำลัง 1 และไม่มีการหารด้วย x พิมพ์:

x+3 > 5x-5

ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวได้รับการแก้ไขอย่างไร? พวกมันแก้ไขได้ง่ายมาก! กล่าวคือ: ด้วยความช่วยเหลือของเรา เราจึงลดความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นที่น่าสับสนที่สุด ตรงไปที่คำตอบนั่นคือวิธีแก้ปัญหา ฉันจะเน้นประเด็นหลักของการตัดสินใจ เพื่อหลีกเลี่ยงความผิดพลาดที่โง่เขลา)

มาแก้อสมการนี้กัน:

x+3 > 5x-5

เราแก้มันด้วยวิธีเดียวกับสมการเชิงเส้นทุกประการ มีความแตกต่างเพียงอย่างเดียว:

เราเฝ้าสังเกตสัญญาณความไม่เท่าเทียมอย่างระมัดระวัง!

ขั้นตอนแรกเป็นขั้นตอนที่พบบ่อยที่สุด ด้วย X - ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา... นี่เป็นการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันครั้งแรก เรียบง่ายและไร้ปัญหา) อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมายของเงื่อนไขที่ถ่ายโอน

สัญญาณความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่:

x-5x > -5-3

นี่คือสิ่งที่คล้ายกัน

สัญญาณความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่:

4x > -8

ยังคงต้องใช้การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันครั้งล่าสุด: หารทั้งสองข้างด้วย -4

แบ่งตาม เชิงลบตัวเลข.

เครื่องหมายอสมการจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม:

เอ็กซ์ < 2

นี่คือคำตอบ

นี่คือวิธีแก้ไขอสมการเชิงเส้นทั้งหมด

ความสนใจ! จุดที่ 2 วาดเป็นสีขาวเช่น ไม่ได้ทาสี ข้างในว่างเปล่า. ซึ่งหมายความว่าเธอไม่รวมอยู่ในคำตอบ! ฉันวาดภาพเธอให้มีสุขภาพแข็งแรงโดยตั้งใจ จุดดังกล่าว (ว่างเปล่า ไม่ดีต่อสุขภาพ!)) ในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า จุดเจาะ

สามารถทำเครื่องหมายตัวเลขที่เหลือบนแกนได้ แต่ไม่จำเป็น จำนวนที่ไม่เกี่ยวข้องที่ไม่เกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมกันของเราอาจทำให้เกิดความสับสน ใช่... คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ว่าตัวเลขนั้นเพิ่มขึ้นตามทิศทางของลูกศร เช่น หมายเลข 3, 4, 5 ฯลฯ เป็น ไปทางขวาเป็นสองและตัวเลขคือ 1, 0, -1 เป็นต้น - ไปทางซ้าย

ความไม่เท่าเทียมกันx < 2 - เข้มงวด. X น้อยกว่าสองอย่างเคร่งครัด หากมีข้อสงสัย การตรวจสอบก็ทำได้ง่าย เราแทนที่จำนวนที่น่าสงสัยเป็นอสมการแล้วคิดว่า: “สองน้อยกว่าสองเหรอ ไม่สิ!” ถูกต้องแล้ว ความไม่เท่าเทียมกัน 2 < 2 ไม่ถูกต้อง.การตอบแทนสองครั้งนั้นไม่เหมาะสม

หนึ่งโอเคไหม? แน่นอน. น้อยกว่า... และศูนย์ก็ดี และ -17 และ 0.34... ใช่ ตัวเลขทั้งหมดที่น้อยกว่าสองถือว่าดี! และแม้แต่ 1.9999.... อย่างน้อยก็น้อยแต่น้อย!

ลองทำเครื่องหมายตัวเลขทั้งหมดนี้บนแกนตัวเลขกัน ยังไง? มีตัวเลือกอยู่ที่นี่ ตัวเลือกที่หนึ่งคือการแรเงา เราเลื่อนเมาส์ไปเหนือรูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) และดูว่าพื้นที่ของ x ทั้งหมดที่ตรงตามเงื่อนไข x เป็นสีเทา < 2 - แค่นั้นแหละ.

ลองดูตัวเลือกที่สองโดยใช้ตัวอย่างที่สอง:

เอ็กซ์ ≥ -0,5

วาดแกนและทำเครื่องหมายตัวเลข -0.5 แบบนี้:

สังเกตเห็นความแตกต่างไหม?) ใช่ สังเกตได้ยาก... จุดนี้เป็นสีดำ! ทาสีทับแล้ว ซึ่งหมายความว่า -0.5 รวมอยู่ในคำตอบแล้วอย่างไรก็ตาม การยืนยันอาจทำให้ใครบางคนสับสน มาทดแทนกัน:

-0,5 ≥ -0,5

ยังไงล่ะ? -0.5 ไม่เกิน -0.5! และมีไอคอนเพิ่มเติม...

ไม่เป็นไร. ในความไม่เท่าเทียมกันเล็กน้อย ทุกอย่างที่เข้ากับไอคอนจะเหมาะสม และ เท่ากับดีและ มากกว่าดี. ดังนั้น จึงรวม -0.5 ไว้ในการตอบสนองด้วย

ดังนั้นเราจึงทำเครื่องหมาย -0.5 บนแกน แต่ยังคงทำเครื่องหมายตัวเลขทั้งหมดที่มากกว่า -0.5 คราวนี้ฉันทำเครื่องหมายพื้นที่ของค่า x ที่เหมาะสม โค้งคำนับ(จากคำว่า ส่วนโค้ง) แทนที่จะแรเงา เราวางเคอร์เซอร์ไว้เหนือภาพวาดแล้วเห็นคันธนูนี้

ไม่มีความแตกต่างเป็นพิเศษระหว่างการแรเงาและแขน ทำตามที่อาจารย์บอก หากไม่มีอาจารย์ให้วาดโค้ง ในงานที่ซับซ้อนมากขึ้น การแรเงาจะมองเห็นได้ชัดเจนน้อยลง คุณสามารถสับสนได้

นี่คือวิธีการวาดอสมการเชิงเส้นบนแกน ให้เราไปยังคุณลักษณะถัดไปของความไม่เท่าเทียมกัน

การเขียนคำตอบสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน

สมการนั้นดี) เราพบ x และจดคำตอบไว้ เช่น: x=3 การเขียนคำตอบเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันมีสองรูปแบบ สิ่งหนึ่งอยู่ในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันขั้นสุดท้าย เหมาะสำหรับกรณีง่ายๆ ตัวอย่างเช่น:

เอ็กซ์< 2.

นี่คือคำตอบที่สมบูรณ์

บางครั้งคุณจำเป็นต้องเขียนสิ่งเดียวกันแต่ในรูปแบบที่แตกต่างกันตามช่วงตัวเลข จากนั้นการบันทึกก็เริ่มดูเป็นวิทยาศาสตร์มาก):

x ∈ (-∞; 2)

ใต้ไอคอน ∈ คำนี้ถูกซ่อนอยู่ "เป็นของ"

รายการอ่านดังนี้: x อยู่ในช่วงจากลบอนันต์ถึงสอง ไม่รวม. ค่อนข้างสมเหตุสมผล X สามารถเป็นตัวเลขใดๆ จากจำนวนที่เป็นไปได้ทั้งหมดตั้งแต่ลบอนันต์ไปจนถึงสอง ไม่สามารถมี X สองเท่าได้ ซึ่งเป็นสิ่งที่คำนี้บอกเรา "ไม่รวม".

และคำตอบนั้นชัดเจนตรงไหน "ไม่รวม"- ข้อเท็จจริงนี้ถูกบันทึกไว้ในคำตอบ กลมวงเล็บหลังทั้งสองทันที หากรวมทั้งสองเข้าด้วยกัน วงเล็บก็จะเป็น สี่เหลี่ยม.นี่:]. ตัวอย่างต่อไปนี้ใช้วงเล็บดังกล่าว

มาเขียนคำตอบกัน: x ≥ -0,5 เป็นระยะ:

x ∈ [-0.5; +)

อ่าน: x อยู่ในช่วงตั้งแต่ลบ 0.5 รวมทั้ง,เพื่อบวกอนันต์

อินฟินิตี้ไม่สามารถเปิดได้ ไม่ใช่ตัวเลขแต่เป็นสัญลักษณ์ ดังนั้นในสัญลักษณ์ดังกล่าว อนันต์จึงอยู่ติดกับวงเล็บเสมอ

การบันทึกรูปแบบนี้เหมาะสำหรับคำตอบที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยช่องว่างหลายช่อง แต่ - เพียงเพื่อคำตอบสุดท้าย ในผลลัพธ์ระดับกลาง ซึ่งคาดว่าจะมีวิธีแก้ไขเพิ่มเติม ควรใช้รูปแบบปกติในรูปแบบของอสมการอย่างง่าย เราจะจัดการกับเรื่องนี้ในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

งานยอดนิยมที่มีความไม่เท่าเทียมกัน

อสมการเชิงเส้นนั้นเรียบง่าย ดังนั้นงานจึงมักจะยากขึ้น ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคิด สิ่งนี้ถ้าคุณไม่คุ้นเคยก็ไม่น่าพอใจนัก) แต่มันก็มีประโยชน์ ฉันจะแสดงตัวอย่างงานดังกล่าว ไม่ใช่สำหรับคุณที่จะเรียนรู้มันไม่จำเป็น และเพื่อไม่ให้ต้องกลัวเมื่อเจอตัวอย่างดังกล่าว แค่คิดสักนิด - ง่ายๆ เลย!)

1. ค้นหาผลเฉลยสองข้อของอสมการ 3x - 3< 0

หากยังไม่ชัดเจนว่าต้องทำอย่างไร ให้จำกฎหลักของคณิตศาสตร์ไว้:

หากคุณไม่รู้ว่าคุณต้องการอะไร ให้ทำเท่าที่ทำได้!)

เอ็กซ์ < 1

แล้วอะไรล่ะ? ไม่มีอะไรพิเศษ พวกเขากำลังถามอะไรเรา? เราถูกขอให้ค้นหาตัวเลขเฉพาะสองตัวที่เป็นคำตอบของอสมการ เหล่านั้น. พอดีคำตอบ. สอง ใดๆตัวเลข อันที่จริงนี่น่าสับสน) 0 และ 0.5 สองสามอันก็เหมาะสม คู่ -3 และ -8 คู่นี้มีจำนวนไม่สิ้นสุด! คำตอบไหนถูก!

ฉันตอบ: ทุกอย่าง! คู่ตัวเลขใดๆ ซึ่งแต่ละจำนวนมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง จะเป็นคำตอบที่ถูกต้องเขียนสิ่งที่คุณต้องการ เดินหน้าต่อไป

2. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

4x - 3 ≠ 0

งานในรูปแบบนี้มีน้อย แต่เนื่องจากอสมการเสริม เช่น เมื่อค้นหา ODZ หรือเมื่อค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน สิ่งเหล่านี้จะเกิดขึ้นตลอดเวลา อสมการเชิงเส้นดังกล่าวสามารถแก้ไขได้โดยใช้สมการเชิงเส้นธรรมดา เฉพาะทุกที่ยกเว้นเครื่องหมาย "=" ( เท่ากับ) ใส่เครื่องหมาย " ≠ " (ไม่เท่ากัน- นี่คือวิธีที่คุณใช้หาคำตอบโดยมีเครื่องหมายอสมการ:

เอ็กซ์ ≠ 0,75

ในตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น การทำสิ่งที่แตกต่างออกไปจะดีกว่า สร้างความไม่เท่าเทียมกันจากความเท่าเทียมกัน แบบนี้:

4x - 3 = 0

แก้อย่างใจเย็นตามที่สอนแล้วได้คำตอบ:

x = 0.75

สิ่งสำคัญคือในตอนท้ายสุดเมื่อเขียนคำตอบสุดท้ายอย่าลืมว่าเราพบ x ซึ่งให้ ความเท่าเทียมกันและเราต้องการ- ความไม่เท่าเทียมกันดังนั้นเราจึงไม่ต้องการ X นี้จริงๆ) และเราต้องจดไว้ด้วยสัญลักษณ์ที่ถูกต้อง:

เอ็กซ์ ≠ 0,75

วิธีการนี้ส่งผลให้เกิดข้อผิดพลาดน้อยลง พวกที่แก้สมการอัตโนมัติ และสำหรับผู้ที่แก้สมการไม่ได้ ความจริงแล้วอสมการก็ไม่มีประโยชน์...) อีกตัวอย่างหนึ่งของงานที่ได้รับความนิยม:

3. ค้นหาคำตอบของจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดของอสมการ:

3(x - 1) < 5x + 9

ก่อนอื่นเราก็แค่แก้อสมการ เราเปิดวงเล็บ เคลื่อนย้าย นำอันที่คล้ายกัน... เราได้รับ:

เอ็กซ์ > - 6

มันไม่ได้ผลอย่างนั้นเหรอ!? ตามป้ายมั้ย!? และเบื้องหลังสัญลักษณ์ของสมาชิก และเบื้องหลังสัญลักษณ์ของความไม่เท่าเทียม...

ลองคิดดูอีกครั้ง เราจำเป็นต้องค้นหาหมายเลขเฉพาะที่ตรงกับทั้งคำตอบและเงื่อนไข "จำนวนเต็มที่น้อยที่สุด"หากมันไม่เกิดขึ้นกับคุณทันที คุณสามารถใช้ตัวเลขใดก็ได้แล้วคิดออก สองมากกว่าลบหก? แน่นอน! มีจำนวนน้อยกว่าที่เหมาะสมหรือไม่? แน่นอน. ตัวอย่างเช่น ศูนย์มีค่ามากกว่า -6 และแม้แต่น้อย? เราต้องการสิ่งที่เล็กที่สุดเท่าที่จะทำได้! ลบสามมากกว่าลบหก! จับรูปแบบได้แล้วหยุดโง่ๆ กับการนับเลขได้เลยใช่ไหม?)

ลองนำตัวเลขเข้าใกล้ -6 กัน ตัวอย่างเช่น -5 คำตอบเป็นจริงแล้ว -5 > - 6. เป็นไปได้ไหมที่จะหาจำนวนอื่นที่น้อยกว่า -5 แต่มากกว่า -6? ตัวอย่างเช่น คุณสามารถ -5.5... หยุด! เราได้รับการบอกเล่า ทั้งหมดสารละลาย! ไม่ม้วน -5.5! แล้วลบ 6 ล่ะ? เอ่อเอ่อ! อสมการเข้มงวด ลบ 6 ไม่ต่ำกว่าลบ 6 เลย!

ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ -5

ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจนด้วยการเลือกค่าจากโซลูชันทั่วไป อีกตัวอย่างหนึ่ง:

4. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:

7 < 3x+1 < 13

ว้าว! สำนวนนี้เรียกว่า ความไม่เท่าเทียมกันสามเท่าพูดอย่างเคร่งครัด นี่เป็นรูปแบบย่อของระบบความไม่เท่าเทียมกัน แต่ความไม่เท่าเทียมกันสามประการดังกล่าวยังคงต้องได้รับการแก้ไขในบางงาน... สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้ระบบใดๆ ตามการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน

เราต้องลดรูป นำอสมการนี้มาสู่ X บริสุทธิ์ แต่... จะย้ายไปไหนดีล่ะ?! นี่คือจุดที่ถึงเวลาที่ต้องจำไว้ว่าการเคลื่อนไปทางซ้ายและขวาคือ แบบสั้นการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ครั้งแรก

และรูปแบบเต็มมีดังนี้: คุณสามารถเพิ่ม/ลบจำนวนหรือนิพจน์ใดๆ ลงทั้งสองข้างของสมการได้ (อสมการ)

มีสามส่วนที่นี่ ดังนั้นเราจะใช้การแปลงที่เหมือนกันกับทั้งสามส่วน!

ลองกำจัดอันที่อยู่ตรงกลางของอสมการออกไป. ลองลบอันหนึ่งออกจากส่วนตรงกลางทั้งหมด เพื่อให้อสมการไม่เปลี่ยนแปลง เราก็ลบหนึ่งออกจากสองส่วนที่เหลือ แบบนี้:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

ดีกว่าใช่ไหม?) สิ่งที่เหลืออยู่คือการแบ่งทั้งสามส่วนออกเป็นสามส่วน:

2 < เอ็กซ์ < 4

แค่นั้นแหละ. นี่คือคำตอบ X สามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้ตั้งแต่สอง (ไม่รวม) ถึงสี่ (ไม่รวม) คำตอบนี้เขียนเป็นระยะๆ เช่นกัน รายการดังกล่าวจะอยู่ในรูปอสมการกำลังสอง ที่นั่นเป็นสิ่งที่พบได้บ่อยที่สุด

เมื่อสิ้นสุดบทเรียน ฉันจะทำซ้ำสิ่งที่สำคัญที่สุด ความสำเร็จในการแก้อสมการเชิงเส้นขึ้นอยู่กับความสามารถในการแปลงและลดความซับซ้อนของสมการเชิงเส้น หากในขณะเดียวกัน สังเกตสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันจะไม่มีปัญหาใดๆ นั่นคือสิ่งที่ฉันต้องการสำหรับคุณ ไม่มีปัญหา.)

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ความไม่เท่าเทียมกันมีบทบาทสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ ที่โรงเรียนเราจัดการเรื่องต่างๆ เป็นหลัก อสมการเชิงตัวเลขด้วยคำจำกัดความที่เราจะเริ่มต้นบทความนี้ จากนั้นเราจะแสดงรายการและจัดชิดขอบ คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลขซึ่งมีหลักการทั้งหมดในการทำงานกับความไม่เท่าเทียม

ให้เราทราบทันทีว่าคุณสมบัติหลายประการของอสมการเชิงตัวเลขมีความคล้ายคลึงกัน ดังนั้นเราจะนำเสนอเนื้อหาตามรูปแบบเดียวกัน: เรากำหนดคุณสมบัติให้เหตุผลและตัวอย่างหลังจากนั้นเราจะไปยังคุณสมบัติถัดไป

การนำทางหน้า

อสมการเชิงตัวเลข: คำจำกัดความตัวอย่าง

เมื่อเราแนะนำแนวคิดเรื่องความไม่เท่าเทียมกัน เราสังเกตเห็นว่าความไม่เท่าเทียมกันมักถูกกำหนดโดยวิธีการเขียน ดังนั้นเราจึงเรียกความไม่เท่าเทียมกันว่านิพจน์พีชคณิตที่มีความหมายซึ่งมีเครื่องหมายไม่เท่ากับ ≠ น้อยกว่า<, больше >น้อยกว่าหรือเท่ากับ ≤ หรือมากกว่าหรือเท่ากับ ≥ ตามคำจำกัดความข้างต้น จะสะดวกในการให้คำนิยามของอสมการเชิงตัวเลข:

การพบกับความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลขเกิดขึ้นในบทเรียนคณิตศาสตร์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ทันทีหลังจากทำความคุ้นเคยกับตัวเลขธรรมชาติตัวแรกตั้งแต่ 1 ถึง 9 และทำความคุ้นเคยกับการดำเนินการเปรียบเทียบ จริงอยู่ ที่นั่นเรียกกันง่ายๆ ว่าอสมการ โดยละเว้นคำจำกัดความของ "ตัวเลข" เพื่อความชัดเจน การให้ตัวอย่างอสมการเชิงตัวเลขที่ง่ายที่สุดจากขั้นตอนการศึกษานั้นไม่ใช่เรื่องเสียหาย: 1<2 , 5+2>3 .

และนอกเหนือจากจำนวนธรรมชาติ ความรู้ยังขยายไปสู่ตัวเลขประเภทอื่นๆ (จำนวนเต็ม ตรรกยะ จำนวนจริง) มีการศึกษากฎสำหรับการเปรียบเทียบ และสิ่งนี้ขยายขอบเขตอสมการเชิงตัวเลขประเภทต่างๆ อย่างมีนัยสำคัญ: −5>−72, 3> −0.275 (7−5, 6) , .

คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข

ในทางปฏิบัติ การทำงานกับความไม่เท่าเทียมกันช่วยให้เกิดผลหลายประการ คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข- ซึ่งเป็นไปตามแนวคิดเรื่องความไม่เท่าเทียมที่เรานำเสนอ ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับตัวเลข แนวคิดนี้กำหนดไว้โดยข้อความต่อไปนี้ ซึ่งถือได้ว่าเป็นคำจำกัดความของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" และ "มากกว่า" ในชุดตัวเลข (มักเรียกว่าคำจำกัดความความแตกต่างของความไม่เท่าเทียมกัน):

คำนิยาม.

• ตัวเลข a มากกว่า b ก็ต่อเมื่อผลต่าง a−b เป็นจำนวนบวกเท่านั้น
• จำนวน a น้อยกว่าจำนวน b ก็ต่อเมื่อผลต่าง a−b เป็นจำนวนลบเท่านั้น
• จำนวน a เท่ากับจำนวน b ก็ต่อเมื่อผลต่าง a−b เป็นศูนย์

คำจำกัดความนี้สามารถนำมาใช้ใหม่ในคำจำกัดความของความสัมพันธ์ "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" และ "มากกว่าหรือเท่ากับ" นี่คือถ้อยคำของเขา:

คำนิยาม.

• ตัวเลข a มากกว่าหรือเท่ากับ b ก็ต่อเมื่อ a−b เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น
• a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b ก็ต่อเมื่อ a−b เป็นจำนวนบวกเท่านั้น

เราจะใช้คำจำกัดความเหล่านี้เมื่อพิสูจน์คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลขเพื่อทบทวนสิ่งที่เราดำเนินการต่อไป

คุณสมบัติพื้นฐาน

เราเริ่มการทบทวนด้วยคุณสมบัติหลักสามประการของความไม่เท่าเทียมกัน ทำไมพวกเขาถึงเป็นพื้นฐาน? เนื่องจากเป็นการสะท้อนคุณสมบัติของอสมการในความหมายทั่วไปที่สุด และไม่เพียงแต่เกี่ยวข้องกับอสมการเชิงตัวเลขเท่านั้น

อสมการเชิงตัวเลขเขียนโดยใช้เครื่องหมาย< и >ลักษณะ:

สำหรับอสมการเชิงตัวเลขที่เขียนโดยใช้เครื่องหมายอสมการแบบอ่อน ≤ และ ≥ อสมการเหล่านี้มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ (และไม่ต้านการสะท้อนกลับ) เนื่องจากอสมการ a≤a และ a≥a รวมถึงกรณีของความเท่าเทียมกัน a=a ด้วย พวกมันยังมีลักษณะต่อต้านสมมาตรและการเปลี่ยนผ่านอีกด้วย

ดังนั้น อสมการเชิงตัวเลขที่เขียนโดยใช้เครื่องหมาย ≤ และ ≥ จึงมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• การสะท้อนกลับ a≥a และ a≤a เป็นอสมการที่แท้จริง
• ความไม่สมมาตร ถ้า a≤b แล้ว b≥a และถ้า a≥b แล้ว b≤a
• การผ่านกรรมวิธี ถ้า a≤b และ b≤c แล้ว a≤c และถ้า a≥b และ b≥c แล้ว a≥c

การพิสูจน์ของพวกเขาคล้ายกับที่ให้ไว้แล้วมาก ดังนั้นเราจะไม่ยึดติดกับสิ่งเหล่านั้น แต่ไปยังคุณสมบัติที่สำคัญอื่น ๆ ของอสมการเชิงตัวเลข

คุณสมบัติที่สำคัญอื่นๆ ของอสมการเชิงตัวเลข

ให้เราเสริมคุณสมบัติพื้นฐานของอสมการเชิงตัวเลขด้วยชุดผลลัพธ์ที่มีความสำคัญอย่างยิ่งในทางปฏิบัติ วิธีการประมาณค่าของนิพจน์นั้นขึ้นอยู่กับหลักการเหล่านั้น การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันฯลฯ ดังนั้นจึงแนะนำให้ทำความเข้าใจให้ดี

ในย่อหน้านี้ เราจะกำหนดคุณสมบัติของอสมการสำหรับสัญญาณหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวดเท่านั้น แต่ควรจำไว้ว่าคุณสมบัติที่คล้ายกันจะใช้ได้กับเครื่องหมายตรงกันข้าม เช่นเดียวกับสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวด ลองอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่าง ด้านล่างเรากำหนดและพิสูจน์คุณสมบัติของอสมการดังต่อไปนี้: ถ้าก

• ถ้า a>b แล้ว a+c>b+c ;
• ถ้า a≤b แล้ว a+c≤b+c;
• ถ้าa≥b แล้ว a+c≥b+c

เพื่อความสะดวก เราจะนำเสนอคุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลขในรูปแบบของรายการ ในขณะที่เราจะให้ประโยคที่เกี่ยวข้อง เขียนอย่างเป็นทางการโดยใช้ตัวอักษร ให้หลักฐาน แล้วแสดงตัวอย่างการใช้งาน และในตอนท้ายของบทความเราจะสรุปคุณสมบัติทั้งหมดของอสมการเชิงตัวเลขในตาราง ไปกันเลย!

การบวก (หรือการลบ) จำนวนใดๆ ลงทั้งสองข้างของอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริงจะทำให้เกิดอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าตัวเลข a และ b มีค่าเท่ากับ a

เพื่อพิสูจน์ ลองสร้างความแตกต่างระหว่างด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการตัวเลขสุดท้าย และแสดงว่ามันเป็นลบภายใต้เงื่อนไข a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b- เนื่องจากตามเงื่อนไข ก

เราไม่ได้เน้นไปที่การพิสูจน์คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลขในการลบตัวเลข c เนื่องจากบนเซตของการลบจำนวนจริงสามารถแทนที่ได้ด้วยการบวก −c

ตัวอย่างเช่น หากคุณบวกเลข 15 เข้ากับทั้งสองด้านของอสมการตัวเลขที่ถูกต้อง 7>3 คุณจะได้อสมการตัวเลขที่ถูกต้อง 7+15>3+15 ซึ่งก็คือ 22>18 เหมือนกัน

หากทั้งสองด้านของอสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้องถูกคูณ (หรือหาร) ด้วยจำนวนบวก c ที่เท่ากัน คุณจะได้อสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง หากอสมการทั้งสองข้างคูณ (หรือหาร) ด้วยจำนวนลบ c และเครื่องหมายของอสมการกลับกัน อสมการจะเป็นจริง ในรูปแบบตัวอักษร: ถ้าตัวเลข a และ b เป็นไปตามอสมการ a บีซี

การพิสูจน์. เริ่มจากกรณีที่ c>0 กันก่อน ลองสร้างความแตกต่างระหว่างด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการเชิงตัวเลขที่ได้รับการพิสูจน์: a·c−b·c=(a−b)·c . เนื่องจากตามเงื่อนไข ก 0 จากนั้นผลคูณ (a−b)·c จะเป็นจำนวนลบเป็นผลคูณของจำนวนลบ a−b และจำนวนบวก c (ซึ่งต่อจาก ) ดังนั้น a·c−b·c<0 , откуда a·c

เราไม่ได้เน้นไปที่การพิสูจน์คุณสมบัติที่พิจารณาในการหารทั้งสองข้างของอสมการตัวเลขที่แท้จริงด้วยจำนวน c ที่เท่ากัน เนื่องจากการหารสามารถแทนที่ด้วยการคูณด้วย 1/c ได้เสมอ

เรามาแสดงตัวอย่างการใช้คุณสมบัติที่วิเคราะห์กับตัวเลขเฉพาะกัน ตัวอย่างเช่น คุณสามารถมีค่าอสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้องทั้งสองด้านได้ 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

จากคุณสมบัติที่เพิ่งกล่าวถึงไปคือการคูณทั้งสองด้านของจำนวนที่เท่ากันด้วยตัวเลข ผลลัพธ์ที่มีคุณค่าในทางปฏิบัติสองค่าจะตามมา ดังนั้นเราจึงกำหนดมันในรูปแบบของผลที่ตามมา

คุณสมบัติทั้งหมดที่กล่าวถึงข้างต้นในย่อหน้านี้ถูกรวมเข้าด้วยกันโดยข้อเท็จจริงที่ว่าในตอนแรกได้รับความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้องและจากนั้นผ่านการยักย้ายบางอย่างกับส่วนของความไม่เท่าเทียมกันและเครื่องหมายทำให้ได้รับความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้องอีกครั้ง ตอนนี้เราจะนำเสนอกลุ่มของคุณสมบัติที่ไม่ได้ให้ในตอนแรก แต่มีอสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้องหลายประการและได้รับผลลัพธ์ใหม่จากการใช้ร่วมกันหลังจากเพิ่มหรือคูณส่วนต่างๆ

ถ้าตัวเลข a, b, c และ d เป็นไปตามอสมการ a

ให้เราพิสูจน์ว่า (a+c)−(b+d) เป็นจำนวนลบ ซึ่งจะพิสูจน์ว่า a+c

โดยการอุปนัย คุณสมบัตินี้ขยายไปสู่การบวกสาม สี่ และโดยทั่วไปคือจำนวนจำกัดใดๆ ของอสมการเชิงตัวเลข ดังนั้น ถ้าสำหรับตัวเลข a 1, a 2, …, a n และ b 1, b 2, …, bn อสมการต่อไปนี้เป็นจริง: a 1 ก 1 +ก 2 +…+น .

ตัวอย่างเช่น เราได้รับอสมการตัวเลขที่ถูกต้องสามรายการที่มีเครื่องหมายเดียวกัน −5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

คุณสามารถคูณอสมการเชิงตัวเลขของเทอมที่มีเครื่องหมายเดียวกันด้วยเทอม ซึ่งทั้งสองข้างจะแสดงด้วยจำนวนบวก โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับความไม่เท่าเทียมกันสองประการ

เพื่อพิสูจน์ คุณสามารถคูณทั้งสองข้างของอสมการ a ได้

คุณสมบัตินี้ก็เป็นจริงเช่นกันสำหรับการคูณจำนวนจำกัดของอสมการเชิงตัวเลขจริงกับส่วนที่เป็นบวก นั่นคือถ้า 1, a 2, ..., a n และ b 1, b 2, ..., bn เป็นจำนวนบวก และ a 1 ก 1 · 2 ·…·น .

เป็นที่น่าสังเกตว่าหากสัญกรณ์สำหรับอสมการเชิงตัวเลขมีตัวเลขที่ไม่เป็นบวก การคูณแบบเทอมต่อเทอมอาจนำไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น อสมการเชิงตัวเลข 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

• ผลที่ตามมา การคูณระยะของอสมการจริงที่เหมือนกันของรูปแบบ a

ในตอนท้ายของบทความ ตามที่สัญญาไว้ เราจะรวบรวมคุณสมบัติที่ศึกษาทั้งหมดมา ตารางคุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข:

อ้างอิง.

• โมโร เอ็ม.ไอ.- คณิตศาสตร์. หนังสือเรียน สำหรับ 1 ชั้นเรียน จุดเริ่มต้น โรงเรียน ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 (ครึ่งปีแรก) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6th ed. - อ.: การศึกษา, 2549. - 112 น.: ป่วย+เพิ่ม. (2 แยก l. ป่วย). - ไอ 5-09-014951-8.
• คณิตศาสตร์: หนังสือเรียน สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburg - ฉบับที่ 21 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2550. - 280 หน้า: ป่วย. ไอ 5-346-00699-0.
• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 น.: ป่วย. ไอ 978-5-346-01155-2.

อสมการเรียกว่าเชิงเส้นด้านซ้ายและด้านขวาเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นเทียบกับปริมาณที่ไม่ทราบ ซึ่งรวมถึงความไม่เท่าเทียมกัน เช่น:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) อสมการที่เข้มงวด: ขวาน +b>0หรือ ขวาน+ข<0

2) อสมการที่ไม่เข้มงวด: ขวาน +b≤0หรือ ขวาน+ข≫ 0

มาวิเคราะห์งานนี้กัน- ด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 7 ซม. ด้านอีกด้านจะต้องยาวเป็นเท่าใดจึงทำให้เส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมด้านขนานมากกว่า 44 ซม.

ปล่อยให้ด้านที่ต้องการเป็น เอ็กซ์ซม. ในกรณีนี้ เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแสดงด้วย (14 + 2x) ซม. อสมการ 14 + 2x > 44 เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ถ้าเราแทนที่ตัวแปรในอสมการนี้ เอ็กซ์ตัวอย่างเช่น บนเลข 16 เราจะได้ค่าอสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง 14 + 32 > 44 ในกรณีนี้ พวกเขาบอกว่าเลข 16 เป็นวิธีแก้สมการของอสมการ 14 + 2x > 44

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันตั้งชื่อค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนให้เป็นอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริง

ดังนั้นแต่ละตัวเลขคือ 15.1; 20;73 เป็นคำตอบของอสมการ 14 + 2x > 44 แต่ตัวอย่าง 10 ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา

แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันหมายถึงการสร้างวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดหรือเพื่อพิสูจน์ว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหา

การกำหนดสูตรการแก้อสมการจะคล้ายกับการกำหนดรากของสมการ แต่ถึงกระนั้นก็ไม่ใช่ธรรมเนียมที่จะต้องระบุถึง "ต้นตอของความไม่เท่าเทียมกัน"

คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขช่วยให้เราแก้สมการได้ ในทำนองเดียวกันคุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลขจะช่วยแก้อสมการได้

เมื่อแก้สมการ เราจะแทนที่มันด้วยสมการอื่นที่ง่ายกว่า แต่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันก็พบได้ในลักษณะเดียวกัน เมื่อเปลี่ยนสมการให้เป็นสมการที่เทียบเท่ากัน พวกเขาใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการโอนเทอมจากด้านหนึ่งของสมการไปอีกด้านหนึ่ง และเกี่ยวกับการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกัน เมื่อแก้อสมการ มีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญระหว่างสมการกับสมการ ซึ่งอยู่ที่ความจริงที่ว่าการแก้สมการใดๆ สามารถตรวจสอบได้โดยการแทนที่สมการดั้งเดิม ในความไม่เท่าเทียมกัน วิธีนี้ขาดหายไป เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะแทนที่วิธีแก้ปัญหาจำนวนนับไม่ถ้วนให้เป็นความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม จึงมีแนวคิดที่สำคัญคือลูกศรเหล่านี้<=>เป็นเครื่องหมายของการแปลงที่เทียบเท่าหรือเทียบเท่า เรียกว่าการเปลี่ยนแปลง เทียบเท่า,หรือ เทียบเท่าหากไม่เปลี่ยนชุดการแก้ปัญหา

กฎที่คล้ายกันในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน

หากเราย้ายพจน์ใดๆ จากส่วนหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันไปยังอีกส่วนหนึ่ง โดยแทนที่เครื่องหมายด้วยคำที่ตรงกันข้าม เราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันที่เทียบเท่ากับอันนี้

หากอสมการทั้งสองด้านคูณ (หาร) ด้วยจำนวนบวกเท่ากัน เราจะได้อสมการที่เทียบเท่ากับค่านี้

หากอสมการทั้งสองข้างถูกคูณ (หาร) ด้วยจำนวนลบเดียวกัน โดยแทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยอันตรงข้าม เราจะได้อสมการที่เทียบเท่ากับอันที่กำหนด

การใช้สิ่งเหล่านี้ กฎให้เราคำนวณอสมการต่อไปนี้

1) มาวิเคราะห์ความไม่เท่าเทียมกันกัน 2x - 5 > 9.

นี้ ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นเราจะหาแนวทางแก้ไขและหารือเกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐาน

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 ถูกย้ายไปทางซ้ายโดยมีเครื่องหมายตรงข้าม) จากนั้นเราหารทุกอย่างด้วย 2 แล้วเราก็ได้ x > 7- ให้เราพลอตเซตของคำตอบบนแกน x

เราได้รับลำแสงที่มีทิศทางบวก เราสังเกตชุดของการแก้ปัญหาทั้งในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกัน x > 7หรือในรูปของช่วง x(7; ∞) ข้อใดคือวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของอสมการนี้? ตัวอย่างเช่น, x = 10เป็นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับอสมการนี้ x = 12- นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับอสมการนี้ด้วย

มีวิธีแก้ไขบางส่วนอยู่มากมาย แต่งานของเราคือค้นหาวิธีแก้ไขทั้งหมด และมักจะมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน

มาจัดเรียงกัน ตัวอย่างที่ 2:

2) แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน 4a - 11 > ก + 13.

มาแก้กัน: กย้ายไปด้านหนึ่ง 11 ย้ายไปอีกด้านหนึ่ง เราได้ 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 ความไม่เท่าเทียมกันก็มีรูปแบบ ก<8 .

4a - 11 > ก + 13<=>3ก< 24 <=>ก< 8 .

มาโชว์ชุดด้วย ก< 8 แต่อยู่บนแกนแล้ว ก.

เราอาจเขียนคำตอบในรูปของอสมการ a< 8, либо ก(-∞;8), 8 เปิดไม่ติด

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อแจ้งข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้นได้ไม่ซ้ำใคร
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่สืบทอดที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ตัวอย่างเช่น อสมการคือนิพจน์ \(x>5\)

ประเภทของความไม่เท่าเทียมกัน:

ถ้า \(a\) และ \(b\) เป็นตัวเลข หรือ จะเรียกว่าอสมการ ตัวเลข- จริงๆ แล้วมันเป็นแค่การเปรียบเทียบตัวเลขสองตัวเท่านั้น ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวจะแบ่งออกเป็น ซื่อสัตย์และ ไม่ซื่อสัตย์.

ตัวอย่างเช่น:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) เป็นอสมการเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง เนื่องจาก \(17+3=20\) และ \(20\) น้อยกว่า \(115\) (และไม่เกินหรือเท่ากับ) .

ถ้า \(a\) และ \(b\) เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร เราก็จะได้ ความไม่เท่าเทียมกันกับตัวแปร- ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวแบ่งออกเป็นประเภทต่างๆ ตามเนื้อหา:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				แปรผันเฉพาะยกกำลังแรกเท่านั้น
\(3x^2-x+5>0\)				มีตัวแปรอยู่ในยกกำลังที่สอง (กำลังสอง) แต่ไม่มีกำลังที่สูงกว่า (ที่สาม สี่ ฯลฯ)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... และอื่น ๆ

วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันคืออะไร?

หากคุณแทนที่ตัวเลขแทนตัวแปรให้เป็นค่าอสมการ ค่านั้นจะกลายเป็นค่าตัวเลข

หากค่าที่กำหนดสำหรับ x เปลี่ยนอสมการดั้งเดิมให้เป็นค่าตัวเลขจริง ก็จะเรียกว่าค่านั้น การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน- ถ้าไม่เช่นนั้น ค่านี้ก็จะไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา และเป็นเช่นนั้น แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน– คุณต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด (หรือแสดงว่าไม่มีเลย)

ตัวอย่างเช่น,ถ้าเราแทนที่ตัวเลข \(7\) ลงในความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น \(x+6>10\) เราจะได้อสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง: \(13>10\) และถ้าเราแทน \(2\) จะเกิดอสมการเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง \(8>10\) นั่นคือ \(7\) เป็นวิธีแก้ปัญหาของอสมการเดิม แต่ \(2\) ไม่ใช่

อย่างไรก็ตาม อสมการ \(x+6>10\) มีวิธีแก้ปัญหาอื่น อันที่จริง เราจะได้ค่าอสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้องเมื่อแทน \(5\) และ \(12\) และ \(138\)... แล้วเราจะหาวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมดได้อย่างไร สำหรับสิ่งนี้ พวกเขาใช้ สำหรับกรณีของเรา เรามี:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

นั่นคือจำนวนใด ๆ ที่มากกว่าสี่จะเหมาะกับเรา ตอนนี้คุณต้องเขียนคำตอบ คำตอบของอสมการมักจะเขียนเป็นตัวเลข โดยทำเครื่องหมายเพิ่มเติมบนแกนตัวเลขด้วยการแรเงา สำหรับกรณีของเรา เรามี:

คำตอบ: \(x\in(4;+\infty)\)

สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนไปเมื่อใด?

มีกับดักใหญ่ประการหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันที่นักเรียน "ชอบ" จริงๆ ที่จะตกเข้าไป:

เมื่อคูณ (หรือหาร) อสมการด้วยจำนวนลบ จะกลับรายการ ("มากกว่า" ด้วย "น้อยกว่า" "มากกว่าหรือเท่ากับ" ด้วย "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" เป็นต้น)

ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? เพื่อทำความเข้าใจสิ่งนี้ เรามาดูการแปลงของอสมการเชิงตัวเลข \(3>1\) กัน ถูกต้องแล้ว สามย่อมยิ่งใหญ่กว่าหนึ่งแน่นอน ขั้นแรก ลองคูณด้วยจำนวนบวกใดๆ ตัวอย่างเช่น 2:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

ดังที่เราเห็น หลังจากการคูณแล้ว อสมการยังคงเป็นจริง และไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกเท่าใด เราก็จะได้อสมการที่ถูกต้องเสมอ ทีนี้ลองคูณด้วยจำนวนลบ เช่น ลบ 3:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

ผลลัพธ์คืออสมการที่ไม่ถูกต้อง เพราะลบเก้าน้อยกว่าลบสาม! นั่นคือ เพื่อให้อสมการเป็นจริง (ดังนั้น การแปลงการคูณด้วยลบจึงถือเป็น "กฎหมาย") คุณต้องกลับเครื่องหมายการเปรียบเทียบ ดังนี้: \(−9<− 3\).
ด้วยการหารก็จะได้ผลเช่นเดียวกัน คุณสามารถตรวจสอบได้ด้วยตัวเอง

กฎที่เขียนไว้ข้างต้นใช้กับความไม่เท่าเทียมกันทุกประเภท ไม่ใช่แค่ตัวเลขเท่านั้น

ตัวอย่าง: แก้อสมการ \(2(x+1)-1<7+8x\)
สารละลาย:

\(2x+2-1<7+8x\)	ลองย้าย \(8x\) ไปทางซ้าย และ \(2\) และ \(-1\) ไปทางขวา อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	ลองหารอสมการทั้งสองข้างด้วย \(-6\) อย่าลืมเปลี่ยนจาก “น้อย” เป็น “มาก”
	เรามาทำเครื่องหมายช่วงเวลาตัวเลขบนแกนกัน ความไม่เท่าเทียมกันดังนั้นเราจึง "ทิ่ม" ค่า \(-1\) ออกมาเองและไม่ได้ถือเป็นคำตอบ
	ลองเขียนคำตอบเป็นช่วง

คำตอบ: \(x\in(-1;\infty)\)

ความไม่เท่าเทียมกันและความพิการ

อสมการก็เหมือนกับสมการที่สามารถมีข้อจำกัดได้ นั่นคือค่าของ x ดังนั้นค่าเหล่านั้นที่ไม่สามารถยอมรับได้ตาม DZ ควรแยกออกจากช่วงของโซลูชัน

ตัวอย่าง: แก้อสมการ \(\sqrt(x+1)<3\)

สารละลาย: เห็นได้ชัดว่าเพื่อให้ทางด้านซ้ายมีค่าน้อยกว่า \(3\) นิพจน์รากจะต้องน้อยกว่า \(9\) (ท้ายที่สุด จาก \(9\) เพียง \(3\)) เราได้รับ:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

ทั้งหมด? ค่า x ที่น้อยกว่า \(8\) ใดจะเหมาะกับเรา เลขที่! เพราะหากเรานำค่า \(-5\) ที่ดูเหมือนจะตรงกับข้อกำหนดมาใช้ มันจะไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาของอสมการเดิม เนื่องจากจะทำให้เราต้องคำนวณรากของจำนวนลบ

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

ดังนั้นเราจึงต้องคำนึงถึงข้อจำกัดของค่า X ด้วย - ไม่สามารถเป็นจำนวนลบใต้รูตได้ ดังนั้นเราจึงมีข้อกำหนดที่สองสำหรับ x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

และเพื่อให้ x เป็นคำตอบสุดท้าย มันจะต้องเป็นไปตามข้อกำหนดทั้งสองพร้อมกัน: มันจะต้องน้อยกว่า \(8\) (เป็นคำตอบ) และมากกว่า \(-1\) (เป็นที่ยอมรับในหลักการ) เมื่อเขียนลงบนเส้นจำนวน เราก็จะได้คำตอบสุดท้าย:

คำตอบ: \(\ซ้าย[-1;8\ขวา)\)