การแสดงกฎธรรมชาติในฟิสิกส์อย่างถูกต้อง จำเป็นต้องมีเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม
ในเรขาคณิตและฟิสิกส์ มีหลายปริมาณที่มีลักษณะเฉพาะด้วยค่าตัวเลขและทิศทาง
ขอแนะนำให้พรรณนาพวกมันเป็นส่วนที่กำกับหรือ เวกเตอร์.
ติดต่อกับ
ปริมาณดังกล่าวมีจุดเริ่มต้น (แสดงด้วยจุด) และสิ้นสุดโดยระบุด้วยลูกศร ความยาวของส่วนเรียกว่า (ความยาว)
- ความเร็ว;
- การเร่งความเร็ว;
- ชีพจร;
- บังคับ;
- ช่วงเวลา;
- ความแข็งแกร่ง;
- ย้าย;
- ความแรงของสนาม ฯลฯ
พิกัดเครื่องบิน
ให้เรากำหนดส่วนบนระนาบที่พุ่งจากจุด A (x1,y1) ไปยังจุด B (x2,y2) พิกัด a (a1, a2) คือตัวเลข a1=x2-x1, a2=y2-y1
โมดูลคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ศูนย์เกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุด พิกัดและความยาวเป็น 0
ผลรวมเวกเตอร์
มีอยู่ กฎหลายข้อในการคำนวณจำนวนเงิน
- กฎสามเหลี่ยม
- กฎรูปหลายเหลี่ยม
- กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน
กฎสำหรับการเพิ่มเวกเตอร์สามารถอธิบายได้โดยใช้ปัญหาจากพลศาสตร์และกลไก ลองพิจารณาการบวกเวกเตอร์ตามกฎสามเหลี่ยมโดยใช้ตัวอย่างของแรงที่กระทำต่อวัตถุจุดและการเคลื่อนที่ต่อเนื่องของร่างกายในอวกาศ
สมมติว่าร่างกายเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B ก่อน จากนั้นจึงจากจุด B ไปยังจุด C การกระจัดครั้งสุดท้ายคือส่วนที่มุ่งจากจุดเริ่มต้น A ไปยังจุดสิ้นสุด C
ผลลัพธ์ของการเคลื่อนไหวสองครั้งหรือผลรวมของการเคลื่อนไหว s = s1+ s2 วิธีการนี้เรียกว่า กฎสามเหลี่ยม.
ลูกศรจะเรียงกันเป็นโซ่ติดต่อกันโดยทำการถ่ายโอนแบบขนานหากจำเป็น เซ็กเมนต์ผลรวมจะปิดลำดับ จุดเริ่มต้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของสิ่งแรก และจุดสิ้นสุดพร้อมกับจุดสิ้นสุดของสิ่งสุดท้าย ในตำราต่างประเทศเรียกว่าวิธีนี้ "หางต่อหัว".
พิกัดของผลลัพธ์ c = a + b เท่ากับผลรวมของพิกัดที่สอดคล้องกันของเงื่อนไข c (a1+ b1, a2+ b2)
ผลรวมของเวกเตอร์ขนาน (คอลลิเนียร์) จะถูกกำหนดโดยกฎสามเหลี่ยมด้วย
หากส่วนดั้งเดิมสองส่วนตั้งฉากกัน ผลลัพธ์ของการบวกทั้งสองส่วนคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่สร้างขึ้นบนส่วนเหล่านั้น ความยาวของผลรวมคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ตัวอย่าง:
- ความเร็วของร่างกายที่โยนในแนวนอนคือ ตั้งฉากความเร่งของการตกอย่างอิสระ
- ด้วยการเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอ ความเร็วเชิงเส้นของร่างกายจะตั้งฉากกับความเร่งสู่ศูนย์กลาง
การบวกเวกเตอร์สามตัวขึ้นไปผลิตตาม กฎรูปหลายเหลี่ยม, "หางต่อหัว"
สมมติว่ามีการใช้แรง F1 และ F2 กับตัวจุด
ประสบการณ์พิสูจน์ว่าผลรวมของแรงเหล่านี้เทียบเท่ากับการกระทำของแรงหนึ่งที่พุ่งไปตามเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนแรงเหล่านั้น แรงลัพธ์นี้เท่ากับผลรวม F = F1 + F 2 เรียกวิธีการบวกข้างต้น กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน.
ความยาวในกรณีนี้คำนวณโดยสูตร
โดยที่ θ คือมุมระหว่างด้าน
กฎของสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถใช้แทนกันได้ ในวิชาฟิสิกส์ กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกใช้บ่อยกว่า เนื่องจากขนาดของทิศทางของแรง ความเร็ว และความเร่งมักจะใช้กับวัตถุจุดเดียว ในระบบพิกัดสามมิติ จะใช้กฎคู่ขนาน
องค์ประกอบของพีชคณิต
- การบวกเป็นการดำเนินการแบบไบนารี: สามารถเพิ่มได้ครั้งละคู่เท่านั้น
- การสับเปลี่ยน: ผลรวมจากการจัดเรียงพจน์ใหม่ไม่เปลี่ยนแปลง a + b = b + a สิ่งนี้ชัดเจนจากกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน: เส้นทแยงมุมจะเท่ากันเสมอ
- การเชื่อมโยง: ผลรวมของจำนวนเวกเตอร์ใดๆ ก็ตามไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของการบวก (a + b) + c = a + (b + c)
- การบวกด้วยเวกเตอร์ศูนย์จะไม่เปลี่ยนทิศทางหรือความยาว: a +0= a
- สำหรับเวกเตอร์แต่ละตัวจะมี ตรงข้าม- ผลรวมของพวกเขาเท่ากับศูนย์ a +(-a)=0 และความยาวเท่ากัน
การคูณด้วยสเกลาร์
ผลลัพธ์ของการคูณด้วยสเกลาร์จะได้เวกเตอร์
พิกัดของผลิตภัณฑ์ได้มาจากการคูณพิกัดที่สอดคล้องกันของต้นฉบับด้วยสเกลาร์
สเกลาร์คือค่าตัวเลขที่มีเครื่องหมายบวกหรือลบ มากกว่าหรือน้อยกว่าหนึ่ง
ตัวอย่างของปริมาณสเกลาร์ในวิชาฟิสิกส์:
- น้ำหนัก;
- เวลา;
- ค่าใช้จ่าย;
- ความยาว;
- สี่เหลี่ยม;
- ปริมาณ;
- ความหนาแน่น;
- อุณหภูมิ;
- พลังงาน.
ตัวอย่าง:
งานเป็นผลคูณสเกลาร์ของแรงและการกระจัด A = Fs
เมทริกซ์ขนาด m คูณ n
เมทริกซ์ ขนาด m คูณ n คือชุดของจำนวนจริง mn หรือองค์ประกอบของโครงสร้างอื่น (พหุนาม ฟังก์ชัน ฯลฯ) เขียนในรูปของตารางสี่เหลี่ยม ซึ่งประกอบด้วยแถว m และ n คอลัมน์ และเป็นรูปกลม สี่เหลี่ยม หรือสองครั้ง วงเล็บตรง ในกรณีนี้ตัวเลขจะเรียกว่าองค์ประกอบเมทริกซ์และแต่ละองค์ประกอบจะเชื่อมโยงกับตัวเลขสองตัว - หมายเลขแถวและหมายเลขคอลัมน์ เรียกว่าเมทริกซ์ขนาด n คูณ n สี่เหลี่ยม เมทริกซ์ลำดับที่ n เช่น จำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์ สามเหลี่ยม - เมทริกซ์จตุรัสซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ด้านล่างหรือเหนือเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ เส้นทแยงมุม ถ้าองค์ประกอบนอกแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ สเกลาร์ เมทริกซ์ - เมทริกซ์แนวทแยงที่มีองค์ประกอบหลักในแนวทแยงเท่ากัน กรณีพิเศษของเมทริกซ์สเกลาร์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ เส้นทแยงมุมเรียกว่าเมทริกซ์ที่องค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดเท่ากับ 1 เดี่ยวเมทริกซ์และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ I หรือ E เรียกเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ทั้งหมด โมฆะ เมทริกซ์และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ O
การคูณเมทริกซ์ A ด้วยตัวเลข λ (สัญลักษณ์: แล ก) ประกอบด้วยการสร้างเมทริกซ์ บีองค์ประกอบที่ได้มาจากการคูณแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ กตามจำนวนนี้ ซึ่งก็คือแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ บีเท่ากับ
คุณสมบัติของการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข
1. 1*ก = ก; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA
4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB
การบวกเมทริกซ์ ก + บี คือการดำเนินการหาเมทริกซ์ คองค์ประกอบทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมคู่ขององค์ประกอบเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องทั้งหมด กและ บีนั่นคือแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ คเท่ากับ
คุณสมบัติของการบวกเมทริกซ์
5.การแลกเปลี่ยน) a+b=b+a
6.ความสัมพันธ์.
7. การบวกด้วยเมทริกซ์ศูนย์
8. การมีอยู่ของเมทริกซ์ตรงข้าม (สิ่งเดียวกันแต่มีเครื่องหมายลบอยู่ทุกหนทุกแห่งก่อนตัวเลขแต่ละตัว)
การคูณเมทริกซ์ - มีการดำเนินการคำนวณเมทริกซ์ คองค์ประกอบที่เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบในแถวที่สอดคล้องกันของตัวประกอบแรกและคอลัมน์ที่สอง
จำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์ กต้องตรงกับจำนวนแถวในเมทริกซ์ บี- ถ้าเป็นเมทริกซ์ กมีมิติ, บี- แล้วตามด้วยมิติของผลิตภัณฑ์ เอบี = คมี.
คุณสมบัติของการคูณเมทริกซ์
1.ความสัมพันธ์ (ดูด้านบน)
2. สินค้าไม่สามารถสับเปลี่ยนได้
3. ผลคูณเป็นการสับเปลี่ยนในกรณีของการคูณด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์
4.ความเป็นธรรมของกฎหมายการแจกจ่าย A*(B+C)=A*B+A*C
5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);
2. ตัวกำหนดเมทริกซ์จตุรัสลำดับที่หนึ่งและลำดับที่ n
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์คือพหุนามขององค์ประกอบของเมทริกซ์จตุรัส (นั่นคือจำนวนหนึ่งที่จำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากับ
การกำหนดโดยการขยายในแถวแรก
สำหรับเมทริกซ์ลำดับแรก ปัจจัยกำหนดเป็นองค์ประกอบเดียวของเมทริกซ์นี้เอง:
สำหรับเมทริกซ์ของดีเทอร์มิแนนต์จะกำหนดให้เป็น
สำหรับเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์จะถูกระบุซ้ำ:
โดยที่เป็นส่วนย่อยเพิ่มเติมขององค์ประกอบ ก 1เจ- สูตรนี้มีชื่อว่า การขยายบรรทัด.
โดยเฉพาะสูตรในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์คือ:
= ก 11 ก 22 ก 33 − ก 11 ก 23 ก 32 − ก 12 ก 21 ก 33 + ก 12 ก 23 ก 31 + ก 13 ก 21 ก 32 − ก 13 ก 22 ก 31
คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์
เมื่อเพิ่มผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่นๆ (คอลัมน์) ลงในแถว (คอลัมน์) ใดๆ ดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลง
§ หากเมทริกซ์สองแถว (คอลัมน์) ตรงกัน ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะเท่ากับศูนย์
§ ถ้าสอง (หรือหลาย) แถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะเท่ากับศูนย์
§ หากคุณจัดเรียงเมทริกซ์ใหม่สองแถว (คอลัมน์) ค่าดีเทอร์มิแนนต์จะคูณด้วย (-1)
§ ปัจจัยร่วมขององค์ประกอบของชุดข้อมูลใดๆ ของดีเทอร์มิแนนต์สามารถนำออกจากเครื่องหมายของดีเทอร์มิแนนต์ได้
§ หากเมทริกซ์อย่างน้อยหนึ่งแถว (คอลัมน์) เป็นศูนย์ ดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับศูนย์
§ ผลบวกของผลคูณขององค์ประกอบทั้งหมดในแถวใดๆ จากการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบนั้นจะเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์
§ ผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบทั้งหมดของอนุกรมใดๆ โดยการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของอนุกรมคู่ขนานจะเท่ากับศูนย์
§ ดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณของเมทริกซ์กำลังสองในลำดับเดียวกันจะเท่ากับผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้น (ดูสูตร Binet-Cauchy ด้วย)
§ การใช้สัญลักษณ์ดัชนี สามารถกำหนดดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3x3 ได้โดยใช้สัญลักษณ์ Levi-Civita จากความสัมพันธ์:
เมทริกซ์ผกผัน
เมทริกซ์ผกผัน - เมทริกซ์ดังกล่าว เอ−1เมื่อคูณเมทริกซ์เดิมแล้ว กผลลัพธ์ที่ได้คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ อี:
มีเงื่อนไข การดำรงอยู่:
เมทริกซ์จตุรัสสามารถกลับด้านได้ก็ต่อเมื่อมันไม่เป็นเอกพจน์ นั่นคือดีเทอร์มิแนนต์ของมันไม่เท่ากับศูนย์ สำหรับเมทริกซ์ที่ไม่ใช่กำลังสองและเมทริกซ์เอกพจน์ จะไม่มีเมทริกซ์ผกผัน
สูตรการหา
หากเมทริกซ์กลับด้านได้ หากต้องการค้นหาเมทริกซ์ผกผันคุณสามารถใช้วิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:
ก) การใช้เมทริกซ์ของการบวกพีชคณิต
ซี ที- เมทริกซ์ขนย้ายของการบวกพีชคณิต
เมทริกซ์ผลลัพธ์ ก−1 และจะเป็นค่าผกผัน ความซับซ้อนของอัลกอริทึมขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของอัลกอริทึมในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ O det และเท่ากับ O(n²)·O det
กล่าวอีกนัยหนึ่งเมทริกซ์ผกผันเท่ากับหนึ่งหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมและคูณด้วยเมทริกซ์ขนย้ายของการบวกพีชคณิต (ส่วนย่อยจะคูณด้วย (-1) ยกกำลังของพื้นที่ที่มันครอบครอง) ของ องค์ประกอบของเมทริกซ์ดั้งเดิม
4. ระบบสมการเชิงเส้น โซลูชั่นระบบ ความเข้ากันได้และความไม่เข้ากันของระบบ วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น n ตัวที่มีตัวแปร n ตัว ทฤษฎีบทของแครมเมอร์
ระบบ มสมการเชิงเส้นด้วย nไม่ทราบ(หรือ, ระบบเชิงเส้น) ในพีชคณิตเชิงเส้นเป็นระบบสมการของรูปแบบ
(1) |
ที่นี่ x 1 , x 2 , …, เอ็กซ์เอ็น- สิ่งไม่รู้ที่ต้องพิจารณา ก 11 , ก 12 , …, นาที- ค่าสัมประสิทธิ์ระบบ - และ ข 1 , ข 2 , … ข ม- สมาชิกฟรี - ถือว่าเป็นที่รู้จัก ดัชนีค่าสัมประสิทธิ์ ( ไอจ) ระบบแสดงถึงเลขสมการ ( ฉัน) และไม่ทราบ ( เจ) ซึ่งค่าสัมประสิทธิ์นี้อยู่ตามลำดับ
เรียกระบบ (1) เป็นเนื้อเดียวกันหากเงื่อนไขอิสระทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ( ข 1 = ข 2 = … = ข ม= 0) มิฉะนั้น - ต่างกัน.
เรียกระบบ (1) สี่เหลี่ยมถ้าเป็นตัวเลข มสมการเท่ากับจำนวน nไม่ทราบ
สารละลายระบบ (1) - ตั้งค่า nตัวเลข ค 1 , ค 2 , …, ซีเอ็นเช่นนั้นการทดแทนกันของแต่ละคน ค ฉันแทน x ฉันเป็นระบบ (1) เปลี่ยนสมการทั้งหมดให้เป็นอัตลักษณ์
เรียกระบบ (1) ข้อต่อถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งวิธี และ ไม่ใช่ข้อต่อหากเธอไม่มีทางออกแม้แต่ทางเดียว
ระบบข้อต่อประเภท (1) อาจมีวิธีแก้ปัญหาตั้งแต่หนึ่งข้อขึ้นไป
โซลูชั่น ค 1 (1) , ค 2 (1) , …, ซีเอ็น(1) และ ค 1 (2) , ค 2 (2) , …, ซีเอ็น(2) ระบบข้อต่อแบบ (1) เรียกว่า หลากหลายหากมีการละเมิดความเท่าเทียมกันอย่างน้อยหนึ่งรายการ:
ค 1 (1) = ค 1 (2) , ค 2 (1) = ค 2 (2) , …, ซีเอ็น (1) = ซีเอ็น (2) . |
แบบฟอร์มเมทริกซ์
ระบบสมการเชิงเส้นสามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้:
กx = บี.
หากมีการเพิ่มคอลัมน์คำศัพท์อิสระลงในเมทริกซ์ A ทางด้านขวาเมทริกซ์ผลลัพธ์จะเรียกว่าส่วนขยาย
วิธีการโดยตรง
วิธีของแครเมอร์ (กฎของแครเมอร์)- วิธีการแก้ระบบกำลังสองของสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่มีดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่เป็นศูนย์ของเมทริกซ์หลัก (และสำหรับสมการดังกล่าวจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ) ตั้งชื่อตาม Gabriel Cramer (1704–1752) ผู้คิดค้นวิธีการนี้
คำอธิบายของวิธีการ
สำหรับระบบ nสมการเชิงเส้นด้วย nไม่ทราบ (เหนือฟิลด์ใดก็ได้)
เมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ระบบ Δ แตกต่างจากศูนย์ คำตอบจะถูกเขียนอยู่ในรูปแบบ
(คอลัมน์ i-th ของเมทริกซ์ระบบจะถูกแทนที่ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ)
ในอีกรูปแบบหนึ่ง กฎของแครมเมอร์มีการกำหนดไว้ดังนี้: สำหรับสัมประสิทธิ์ใด ๆ c 1, c 2, ..., c n ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
ในรูปแบบนี้ สูตรของแครมเมอร์ใช้ได้โดยไม่ต้องสันนิษฐานว่า Δ แตกต่างจากศูนย์ ไม่จำเป็นด้วยซ้ำว่าสัมประสิทธิ์ของระบบจะต้องเป็นองค์ประกอบของวงแหวนอินทิกรัล (ดีเทอร์มิแนนต์ของระบบสามารถเป็นตัวหารของศูนย์ใน แหวนสัมประสิทธิ์) เรายังสามารถสมมติได้ว่าเซตใดเซตหนึ่ง ข 1 ,ข 2 ,...,บีเอ็นและ x 1 ,x 2 ,...,เอ็กซ์เอ็นหรือชุด ค 1 ,ค 2 ,...,ซีเอ็นไม่ได้ประกอบด้วยองค์ประกอบของวงแหวนสัมประสิทธิ์ของระบบ แต่ประกอบด้วยบางโมดูลที่อยู่เหนือวงแหวนนี้
5.อันดับรองของลำดับที่ k อันดับเมทริกซ์ การแปลงเบื้องต้นของเมทริกซ์ ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลีเกี่ยวกับเงื่อนไขความเข้ากันได้สำหรับระบบสมการเชิงเส้น วิธีกำจัดตัวแปร (เกาส์เซียน) สำหรับระบบสมการเชิงเส้น
ส่วนน้อย เมทริกซ์ กคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์กำลังสองของลำดับ เค(ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าลำดับของผู้เยาว์) ซึ่งมีองค์ประกอบปรากฏในเมทริกซ์ กที่จุดตัดของแถวที่มีตัวเลขและคอลัมน์ที่มีตัวเลข
อันดับ ระบบแถวเมทริกซ์ (คอลัมน์) กกับ มเส้นและ n columns คือจำนวนสูงสุดของแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ (คอลัมน์)
กล่าวกันว่าหลายแถว (คอลัมน์) มีความเป็นอิสระเชิงเส้น หากไม่มีแถวใดสามารถแสดงเป็นเส้นตรงในแง่ของแถวอื่นๆ ได้ อันดับของระบบแถวจะเท่ากับอันดับของระบบคอลัมน์เสมอ และจำนวนนี้เรียกว่าอันดับของเมทริกซ์
โครเนกเกอร์ - ทฤษฎีบทคาเปลลี (เกณฑ์ความสอดคล้องสำหรับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น) -
ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นจะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยาย (พร้อมเงื่อนไขอิสระ) และระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะถ้าอันดับเท่ากับจำนวน ของสิ่งไม่รู้ และวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์หากอันดับน้อยกว่าจำนวนสิ่งไม่รู้
วิธีเกาส์ - วิธีการดั้งเดิมสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) นี่คือวิธีการกำจัดตัวแปรตามลำดับเมื่อใช้การแปลงเบื้องต้น ระบบสมการจะลดลงเป็นระบบที่เทียบเท่าของรูปแบบขั้นตอน (หรือสามเหลี่ยม) ซึ่งตัวแปรอื่น ๆ ทั้งหมดจะถูกพบตามลำดับโดยเริ่มจากสุดท้าย (โดย จำนวน) ตัวแปร
6. ส่วนกำกับและเวกเตอร์ แนวคิดพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์ ผลรวมของเวกเตอร์และผลคูณของเวกเตอร์กับตัวเลข เงื่อนไขสำหรับการประสานงานของเวกเตอร์ คุณสมบัติของการดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์
การดำเนินการกับเวกเตอร์
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป
การดำเนินการบวกเวกเตอร์เรขาคณิตสามารถกำหนดได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับสถานการณ์และประเภทของเวกเตอร์ที่พิจารณา:
เวกเตอร์สองตัว ยู, โวลต์และเวกเตอร์ของผลรวมของมัน
กฎสามเหลี่ยม- ในการเพิ่มเวกเตอร์สองตัวและตามกฎสามเหลี่ยม เวกเตอร์ทั้งสองนี้จะถูกถ่ายโอนขนานกับตัวเองเพื่อให้จุดเริ่มต้นของหนึ่งในนั้นตรงกับจุดสิ้นสุดของอีกเวกเตอร์หนึ่ง จากนั้นเวกเตอร์ผลรวมจะได้รับจากด้านที่สามของสามเหลี่ยมผลลัพธ์ และจุดเริ่มต้นของมันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรก และสิ้นสุดด้วยจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สอง
กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน- ในการเพิ่มเวกเตอร์สองตัวและตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน เวกเตอร์ทั้งสองนี้จะถูกถ่ายโอนขนานกับตัวมันเองเพื่อให้ต้นกำเนิดตรงกัน จากนั้นเวกเตอร์ผลรวมจะได้รับจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นโดยเริ่มจากจุดกำเนิดร่วมกัน
และโมดูลัส (ความยาว) ของเวกเตอร์ผลรวม กำหนดโดยทฤษฎีบทโคไซน์ โดยที่มุมระหว่างเวกเตอร์เมื่อจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์หนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดสิ้นสุดของอีกเวกเตอร์หนึ่ง ตอนนี้ยังใช้สูตรนี้ด้วย - มุมระหว่างเวกเตอร์ที่โผล่ออกมาจากจุดหนึ่ง
งานศิลปะของเว็กเตอร์
งานศิลปะของเว็กเตอร์ vector by vector เป็นเวกเตอร์ที่ตรงตามข้อกำหนดต่อไปนี้:
คุณสมบัติของเวกเตอร์ C
§ ความยาวของเวกเตอร์เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และไซน์ของมุม φ ระหว่างพวกมัน
§ เวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์แต่ละตัวและ
§ ทิศทางของเวกเตอร์ C ถูกกำหนดโดยกฎ Buravchik
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
1. เมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย
2. ผลคูณเวกเตอร์มีคุณสมบัติการรวมโดยคำนึงถึงตัวประกอบสเกลาร์ กล่าวคือ
3. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มีคุณสมบัติการกระจาย:
ระบบพื้นฐานและพิกัดบนเครื่องบินและในอวกาศ การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐาน พื้นฐานออร์โธนอร์มอลและระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมบนระนาบและในอวกาศ พิกัดของเวกเตอร์และจุดบนระนาบและในอวกาศ เส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนพิกัด
พื้นฐาน (กรีกโบราณ βασις พื้นฐาน) - ชุดของเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ โดยที่เวกเตอร์ใดๆ ในพื้นที่นี้สามารถแสดงได้โดยไม่ซ้ำกันเป็นการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์จากชุดนี้ - เวกเตอร์พื้นฐาน.
มักจะสะดวกในการเลือกความยาว (บรรทัดฐาน) ของเวกเตอร์พื้นฐานแต่ละตัวให้เป็นหน่วย ซึ่งเรียกว่าพื้นฐาน ทำให้เป็นมาตรฐาน.
การแสดงเวกเตอร์เฉพาะ (ใดๆ) ของปริภูมิในรูปแบบของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐาน (ผลรวมของเวกเตอร์พื้นฐานด้วยสัมประสิทธิ์ตัวเลข) ตัวอย่างเช่น
หรือใช้เครื่องหมายผลรวม Σ:
เรียกว่า การขยายตัวของเวกเตอร์นี้บนพื้นฐานนี้
พิกัดของเวกเตอร์และจุดบนระนาบและในอวกาศ
พิกัดแกน x ของจุด A คือตัวเลขที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับความยาวของส่วน OAx: ค่าบวกหากจุด A อยู่บนแกน x บวก และค่าลบหากอยู่บนครึ่งแกนลบ
เวกเตอร์หน่วยหรือเวกเตอร์หน่วยคือเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ 1 และกำหนดทิศทางไปตามแกนพิกัดใดๆ
แล้ว การฉายภาพเวกเตอร์ AB บนแกน l คือความแตกต่าง x1 – x2 ระหว่างพิกัดของเส้นโครงของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์บนแกนนี้
8.โคไซน์ความยาวและทิศทางของเวกเตอร์ ความสัมพันธ์ระหว่างโคไซน์ทิศทาง เวกเตอร์ออร์ธ พิกัดคือผลรวมของเวกเตอร์ ผลคูณของเวกเตอร์ และตัวเลข
ความยาวเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยสูตร
ทิศทางของเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยมุม α, β, γ ที่เกิดขึ้นจากมันด้วยแกนพิกัด Ox, Oy, Oz โคไซน์ของมุมเหล่านี้ (ที่เรียกว่า เวกเตอร์โคไซน์ทิศทาง ) คำนวณโดยใช้สูตร:
เวกเตอร์หน่วยหรือ ออร์ต (เวกเตอร์หน่วยของปริภูมิเวกเตอร์ปกติ) เป็นเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน (ความยาว) เท่ากับ 1
เวกเตอร์หน่วยซึ่งอยู่ในแนวเดียวกับค่าที่กำหนด (เวกเตอร์ที่ทำให้เป็นมาตรฐาน) ถูกกำหนดโดยสูตร
เวกเตอร์หน่วยมักถูกเลือกเป็นเวกเตอร์พื้นฐาน เนื่องจากจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้น ฐานดังกล่าวเรียกว่า ทำให้เป็นมาตรฐาน- ถ้าเวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากด้วย ฐานดังกล่าวเรียกว่าฐานออร์โธปกติ
พิกัด คอลลิเนียร์
พิกัด เท่ากัน
พิกัด ผลรวมเวกเตอร์เวกเตอร์สองตัวตอบสนองความสัมพันธ์:
พิกัด คอลลิเนียร์เวกเตอร์ตอบสนองความสัมพันธ์:
พิกัด เท่ากันเวกเตอร์ตอบสนองความสัมพันธ์:
ผลรวมเวกเตอร์เวกเตอร์สองตัว:
ผลรวมของเวกเตอร์หลายตัว:
ผลคูณของเวกเตอร์และตัวเลข:
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ การประยุกต์ทางเรขาคณิตของผลคูณไขว้ เงื่อนไขสำหรับการคอลลิเนียร์ริตีของเวกเตอร์ คุณสมบัติทางพีชคณิตของผลิตภัณฑ์ผสม การแสดงผลคูณเวกเตอร์ผ่านพิกัดของปัจจัย
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์และเวกเตอร์ b เรียกว่าเวกเตอร์ c ซึ่ง:
1. ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b เช่น c^a และ c^b;
2. มีความยาวเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ a และ b เป็นด้าน (ดูรูปที่ 17) เช่น
3. เวกเตอร์ a, b และ c ประกอบเป็นรูปสามเท่าของมือขวา
การใช้งานทางเรขาคณิต:
การสร้างความสัมพันธ์เชิงเส้นของเวกเตอร์
การหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานและสามเหลี่ยม
ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ กและข |a xb | -|a| * |b |sing เช่น S คู่ = |a x b | ดังนั้น DS =1/2|a x b |
การหาโมเมนต์แรงรอบจุดหนึ่ง
เป็นที่ทราบกันดีจากฟิสิกส์ว่า โมเมนต์แห่งแรง Fสัมพันธ์กับประเด็น เกี่ยวกับเรียกว่าเวกเตอร์ เอ็มซึ่งผ่านจุดนั้นไป เกี่ยวกับและ:
1) ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ โอ้, ก, บี;
2) ตัวเลขเท่ากับผลคูณของแรงต่อแขน
3) สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากด้านขวาด้วยเวกเตอร์ OA และ A B
ดังนั้น M = OA x F
การหาความเร็วการหมุนเชิงเส้น
ความเร็ว v ของจุด M ของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม w รอบแกนคงที่ถูกกำหนดโดยสูตรออยเลอร์ v =w xr โดยที่ r =OM โดยที่ O คือจุดคงที่บางส่วนของแกน (ดูรูปที่ 1) 21)
เงื่อนไขสำหรับการคอลลิเนียร์ริตีของเวกเตอร์ - เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเป็นเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์และเวกเตอร์คือการมีอยู่ของตัวเลขที่เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน
คุณสมบัติทางพีชคณิตของผลิตภัณฑ์ผสม
ผลคูณผสมของเวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อปัจจัยถูกจัดเรียงใหม่เป็นวงกลม และจะเปลี่ยนสัญญาณไปในทางตรงกันข้ามเมื่อปัจจัยสองตัวถูกสับเปลี่ยนกัน โดยที่ยังคงรักษาโมดูลัสไว้
เครื่องหมายคูณเวกเตอร์ " " ภายในผลคูณผสมสามารถวางไว้ระหว่างตัวประกอบใดก็ได้
ผลิตภัณฑ์ผสมมีการกระจายโดยคำนึงถึงปัจจัยใดๆ ของมัน: (ตัวอย่าง) ถ้า แล้ว
การแสดงผลคูณไขว้ในแง่ของพิกัด
ระบบพิกัดที่ถูกต้อง
ระบบพิกัดด้านซ้าย
12.ผลคูณผสมของเวกเตอร์ ความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์ผสม สภาวะของระนาบร่วมของเวกเตอร์ คุณสมบัติทางพีชคณิตของผลิตภัณฑ์ผสม การแสดงผลคูณผสมผ่านพิกัดของปัจจัย
ผสมผลคูณของเวกเตอร์ลำดับที่สาม (a,b,c) คือผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ตัวแรกและผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ตัวที่สองและตัวที่สาม
คุณสมบัติพีชคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์
ต่อต้านการกลายพันธุ์
การเชื่อมโยงกับการคูณด้วยสเกลาร์
การกระจายสินค้าโดยการบวก
เอกลักษณ์ของจาโคบี วิ่งใน R3 และหยุดพักใน R7
ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์พื้นฐานพบได้ตามคำจำกัดความ
บทสรุป
โดยที่พิกัดของทั้งเวกเตอร์ทิศทางของเส้นและพิกัดของจุดที่เป็นของเส้นคือที่ไหน
เวกเตอร์ปกติของเส้นตรงในระนาบ สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด สมการทั่วไปของเส้นตรง สมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้นบนระนาบ
ปกติเวกเตอร์ของเส้นตรงคือเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นนี้
- สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด
ขวาน + Wu + C = 0- สมการทั่วไปของเส้น.
สมการเส้นตรงในรูปแบบ y=kx+b
เรียกว่า สมการของเส้นตรงกับความชันและสัมประสิทธิ์ k เรียกว่าความชันของเส้นนี้
ทฤษฎีบท- ในสมการของเส้นตรงที่มีความชัน y=kx+b
ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม k เท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน abscissa:
การจัดการร่วมกัน:
– สมการทั่วไปของเส้นสองเส้นบนระนาบพิกัด Oxy แล้ว
1) ถ้า แล้วเส้นตรง;
2) ถ้า แล้วตรงและขนาน;
3) ถ้า แล้วเส้นจะตัดกัน
การพิสูจน์ - เงื่อนไขนี้เทียบเท่ากับความเป็นเชิงเส้นของเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนด:
ดังนั้น ถ้า แล้วเป็นเส้นตรง ตัด.
ถ้า , จากนั้น , , และสมการของเส้นจะอยู่ในรูปแบบ:
หรือ , เช่น. ตรง จับคู่- โปรดทราบว่าสัมประสิทธิ์สัดส่วนคือ มิฉะนั้นสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการทั่วไปจะเท่ากับศูนย์ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
หากเส้นไม่ตรงและไม่ตัดกันก็แสดงว่ากรณียังคงอยู่เช่น ตรง ขนาน.
สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ
หากในสมการทั่วไปของเส้นตรง Ах + Ву + С = 0 С≠0 จากนั้นหารด้วย –С เราจะได้: หรือ โดยที่
ความหมายทางเรขาคณิตของค่าสัมประสิทธิ์ก็คือค่าสัมประสิทธิ์ กคือพิกัดจุดตัดของเส้นตรงกับแกนอ็อกซ์ และ ข– พิกัดจุดตัดของเส้นตรงกับแกนออย
สมการปกติของเส้นตรง
หากทั้งสองข้างของสมการ Ax + By + C = 0 หารด้วยตัวเลขที่เรียกว่า ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานแล้วเราก็ได้
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
สมการปกติของเส้นตรง
ต้องเลือกเครื่องหมาย ± ของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อที่ μ ? กับ< 0.
p คือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลดลงจากจุดกำเนิดถึงเส้นตรง และ φ คือมุมที่เกิดจากตั้งฉากกับทิศทางบวกของแกน Ox
C ควรสังเกตว่าไม่ใช่ทุกเส้นที่สามารถแสดงด้วยสมการในส่วนต่างๆ เช่น เส้นขนานกับแกนหรือผ่านจุดกำเนิด
17. วงรี. สมการ Canonical ของวงรี สมบัติทางเรขาคณิตและการสร้างวงรี เงื่อนไขพิเศษ
วงรี - ตำแหน่งของจุด มระนาบแบบยุคลิด ซึ่งผลรวมของระยะทางถึงจุดที่กำหนดสองจุด เอฟ 1 และ เอฟ 2 (เรียกว่า foci) มีค่าคงที่และมากกว่าระยะห่างระหว่างจุดโฟกัส นั่นคือ | เอฟ 1 ม | + | เอฟ 2 ม | = 2กและ | เอฟ 1 เอฟ 2 | < 2ก.
สมการ Canonical
สำหรับวงรีใดๆ คุณสามารถค้นหาระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้ โดยที่วงรีจะถูกอธิบายโดยสมการ (สมการมาตรฐานของวงรี):
อธิบายถึงวงรีที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ซึ่งมีแกนตรงกับแกนพิกัด
การก่อสร้าง: 1) การใช้เข็มทิศ
2) สองเทคนิคและด้ายที่ยืดออก
3) Ellipsograph (Ellipsograph ประกอบด้วยตัวเลื่อนสองตัวที่สามารถเคลื่อนที่ไปตามร่องหรือตัวนำทางที่ตั้งฉากกันสองอัน ตัวเลื่อนจะติดกับแกนโดยใช้บานพับและอยู่ห่างจากกันไปตามแกน โดยตัวเลื่อนจะเคลื่อนไปข้างหน้าและ ย้อนกลับ - แต่ละอันไปตามร่องของมันเอง - และปลายของแท่งจะอธิบายวงรีบนระนาบ โดยปกติแล้ว ระยะทาง a และ b สามารถเปลี่ยนแปลงได้ และด้วยเหตุนี้จึงเปลี่ยนรูปร่างและขนาดของวงรีที่อธิบายไว้)
ความเยื้องศูนย์เป็นลักษณะของการยืดตัวของวงรี ยิ่งความเยื้องศูนย์กลางใกล้ศูนย์ วงรีก็จะมีลักษณะคล้ายวงกลมมากเท่านั้น และในทางกลับกัน ยิ่งความเยื้องศูนย์เข้าใกล้ความสามัคคีมากเท่าใด วงรีก็จะยิ่งยาวมากขึ้นเท่านั้น
พารามิเตอร์โฟกัส
สมการ Canonical
18.ไฮเปอร์โบลา สมการ Canonical ของไฮเปอร์โบลา สมบัติทางเรขาคณิตและการสร้างไฮเปอร์โบลา เงื่อนไขพิเศษ
ไฮเปอร์โบลา(กรีกโบราณ ὑπερβογή จากภาษากรีกโบราณ βαγειν - "โยน", ὑπερ - "เหนือ") - ตำแหน่งของจุด มระนาบแบบยุคลิด ซึ่งค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างในระยะทางจาก มมากถึงสองจุดที่เลือก เอฟ 1 และ เอฟ 2 (เรียกว่า foci) อย่างต่อเนื่อง อย่างแม่นยำมากขึ้น,
นอกจากนี้ | เอฟ 1 เอฟ 2 | > 2ก > 0.
อัตราส่วน
สำหรับลักษณะของไฮเปอร์โบลาที่กำหนดไว้ข้างต้น จะเป็นไปตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้
2. ไดเรกตริกซ์ของไฮเปอร์โบลาถูกระบุด้วยเส้นที่มีความหนาสองเท่าและระบุไว้ ดี 1 และ ดี 2. ความเยื้องศูนย์ ε เท่ากับอัตราส่วนของระยะทางจุด ปบนอติพจน์ไปยังโฟกัสและไดเร็กตริกซ์ที่เกี่ยวข้อง (แสดงเป็นสีเขียว) จุดยอดของไฮเปอร์โบลาถูกกำหนดให้เป็น ± ก- พารามิเตอร์ไฮเปอร์โบลาหมายถึงสิ่งต่อไปนี้:
ก- ระยะทางจากศูนย์กลาง คไปยังแต่ละจุดยอด
ข- ความยาวของเส้นตั้งฉากลดลงจากจุดยอดแต่ละจุดไปยังเส้นกำกับ
ค- ระยะทางจากศูนย์กลาง คไปยังจุดโฟกัสใดๆ เอฟ 1 และ เอฟ 2 ,
θ คือมุมที่เกิดจากเส้นกำกับแต่ละเส้นและแกนที่ลากระหว่างจุดยอด
คุณสมบัติ
§ สำหรับจุดใดๆ ที่วางอยู่บนไฮเปอร์โบลา อัตราส่วนของระยะทางจากจุดนี้ไปยังจุดโฟกัสต่อระยะห่างจากจุดเดียวกันไปยังไดเรกตริกซ์จะเป็นค่าคงที่
§ ไฮเปอร์โบลามีความสมมาตรแบบกระจกเงาเกี่ยวกับแกนจริงและแกนจินตภาพ ตลอดจนสมมาตรในการหมุนเมื่อหมุนเป็นมุม 180° รอบศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลา
§ แต่ละไฮเปอร์โบลามี คอนจูเกตไฮเปอร์โบลาซึ่งแกนจริงและแกนจินตภาพเปลี่ยนสถานที่ แต่เส้นกำกับยังคงเหมือนเดิม สิ่งนี้สอดคล้องกับการเปลี่ยน กและ ขซ้อนทับกันในสูตรที่อธิบายไฮเปอร์โบลา ไฮเปอร์โบลาคอนจูเกตไม่ได้เป็นผลมาจากการหมุนไฮเปอร์โบลาเดิมเป็นมุม 90°; ไฮเปอร์โบลาทั้งสองมีรูปร่างต่างกัน
19. พาราโบลา. สมการ Canonical ของพาราโบลา สมบัติทางเรขาคณิตและการสร้างพาราโบลา เงื่อนไขพิเศษ
พาราโบลา - ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดที่อยู่ห่างจากเส้นที่กำหนด (เรียกว่าไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา) และจุดที่กำหนด (เรียกว่าจุดโฟกัสของพาราโบลา)
สมการบัญญัติของพาราโบลาในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม:
(หรือถ้าคุณสลับแกน)
คุณสมบัติ
§ 1 พาราโบลาคือเส้นโค้งลำดับที่สอง
§ 2 มีแกนสมมาตรเรียกว่า แกนของพาราโบลา- แกนเคลื่อนผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์
§ 3คุณสมบัติทางแสงลำแสงรังสีที่ขนานกับแกนของพาราโบลาซึ่งสะท้อนอยู่ในพาราโบลาจะถูกรวบรวมไว้ที่โฟกัส และในทางกลับกัน แสงจากแหล่งกำเนิดที่อยู่ในโฟกัสจะถูกสะท้อนด้วยพาราโบลาเป็นลำแสงที่ขนานกับแกนของมัน
§ 4สำหรับพาราโบลา จุดโฟกัสอยู่ที่จุด (0.25; 0)
สำหรับพาราโบลา จุดโฟกัสจะอยู่ที่จุด (0; f)
§ 5 หากจุดโฟกัสของพาราโบลาสะท้อนสัมพันธ์กับแทนเจนต์ รูปภาพของพาราโบลาก็จะอยู่บนไดเรกตริกซ์
§ 6 พาราโบลาคือสิ่งที่ตรงกันข้ามกับเส้นตรง
§ พาราโบลาทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกัน ระยะห่างระหว่างโฟกัสและไดเรกตริกซ์จะกำหนดขนาด
§ 7 เมื่อพาราโบลาหมุนรอบแกนสมมาตร จะได้พาราโบลารูปวงรี
ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา
รัศมีโฟกัส
20.เวกเตอร์ระนาบปกติ สมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด สมการระนาบทั่วไป กรณีพิเศษของสมการระนาบทั่วไป สมการเวกเตอร์ของเครื่องบิน ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเครื่องบินสองลำ
เครื่องบิน- หนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิต ในการนำเสนอเรขาคณิตอย่างเป็นระบบ แนวคิดเรื่องระนาบมักถือเป็นหนึ่งในแนวคิดเริ่มต้น ซึ่งถูกกำหนดโดยอ้อมด้วยสัจพจน์ของเรขาคณิตเท่านั้น
สมการของระนาบต่อจุดและเวกเตอร์ปกติ
ในรูปแบบเวกเตอร์
ในพิกัด
มุมระหว่างระนาบ
กรณีพิเศษของสมการระนาบทั่วไป
เมื่อศึกษาสาขาวิชาฟิสิกส์ กลศาสตร์ และวิทยาศาสตร์เทคนิค สาขาต่างๆ จะพบว่าปริมาณถูกกำหนดโดยการระบุค่าตัวเลขอย่างสมบูรณ์ ปริมาณดังกล่าวเรียกว่า สเกลาร์หรือกล่าวโดยย่อคือ สเกลาร์.
ปริมาณสเกลาร์คือความยาว พื้นที่ ปริมาตร มวล อุณหภูมิร่างกาย ฯลฯ นอกจากปริมาณสเกลาร์แล้ว ยังมีปริมาณในปัญหาต่างๆ ที่นอกเหนือจากค่าตัวเลขแล้ว จำเป็นต้องรู้ทิศทางด้วย ปริมาณดังกล่าวเรียกว่า เวกเตอร์- ตัวอย่างทางกายภาพของปริมาณเวกเตอร์อาจเป็นการกระจัดของจุดวัสดุที่เคลื่อนที่ในอวกาศ ความเร็วและความเร่งของจุดนี้ ตลอดจนแรงที่กระทำต่อจุดนั้น
ปริมาณเวกเตอร์แสดงโดยใช้เวกเตอร์
คำจำกัดความของเวกเตอร์- เวกเตอร์คือส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวที่แน่นอน
เวกเตอร์มีลักษณะเป็นสองจุด จุดหนึ่งคือจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ อีกจุดคือจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ถ้าเราแสดงจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ด้วยจุด ก , และจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์คือจุด ใน จากนั้นเวกเตอร์นั้นก็แสดงแทน เวกเตอร์สามารถแสดงด้วยตัวอักษรละตินตัวเล็กตัวหนึ่งโดยมีแถบอยู่เหนือมัน (เช่น )
ในเชิงกราฟิก เวกเตอร์จะแสดงด้วยส่วนที่มีลูกศรต่อท้าย
เรียกว่าจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ จุดใช้งานถ้าตรงประเด็น กคือจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ , จากนั้นเราจะบอกว่ามีการใช้เวกเตอร์ที่จุดนั้น ก.
เวกเตอร์มีลักษณะเป็นสองปริมาณ: ความยาวและทิศทาง
ความยาวเวกเตอร์ – ระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้น A และจุดสิ้นสุด B อีกชื่อหนึ่งของความยาวของเวกเตอร์คือโมดูลัสของเวกเตอร์ และมีการระบุด้วยสัญลักษณ์ . ขนาดของเวกเตอร์จะแสดงแทน เวกเตอร์ , ซึ่งมีความยาวเป็น 1 เรียกว่า เวกเตอร์หน่วย นั่นคือเงื่อนไขของเวกเตอร์หน่วย
เวกเตอร์ที่มีความยาวเป็นศูนย์เรียกว่าเวกเตอร์ศูนย์ (เขียนแทนด้วย ) แน่นอนว่าเวกเตอร์ศูนย์มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเหมือนกัน เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทางเฉพาะ
คำจำกัดความของเวกเตอร์คอลลิเนียร์- เวกเตอร์และอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นคู่ขนานเรียกว่าคอลลิเนียร์ .
โปรดทราบว่าเวกเตอร์คอลลิเนียร์สามารถมีความยาวและทิศทางต่างกันได้
การหาเวกเตอร์ที่เท่ากันเวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันหากอยู่ในแนวเดียวกัน มีความยาวเท่ากันและมีทิศทางเดียวกัน
ในกรณีนี้พวกเขาเขียนว่า:
ความคิดเห็น- จากคำจำกัดความของความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ เป็นไปตามที่ว่าเวกเตอร์สามารถถ่ายโอนแบบขนานได้โดยการวางจุดกำเนิดของมันที่จุดใดก็ได้ในอวกาศ (โดยเฉพาะระนาบ)
เวกเตอร์ศูนย์ทั้งหมดถือว่าเท่ากัน
การหาเวกเตอร์ตรงข้ามเวกเตอร์สองตัวจะถูกเรียกว่าตรงกันข้ามหากพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน มีความยาวเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม
ในกรณีนี้พวกเขาเขียนว่า:
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์จะแสดงเป็น