ตัวอย่างวิธีคำนวณสัดส่วน ปัญหาร้อยละ: การคำนวณมาตรฐานโดยใช้สัดส่วน

ปัญหาที่ 1- กระดาษปริ้นเตอร์ 300 แผ่น หนา 3.3 ซม. กระดาษชนิดเดียวกัน 1 แพ็ค 500 แผ่น จะมีความหนาเท่าไร?

สารละลาย.ให้ x ซม. เป็นความหนาของกระดาษปึก 500 แผ่น มีสองวิธีในการค้นหาความหนาของกระดาษหนึ่งแผ่น:

3,3: 300 หรือ x : 500.

เนื่องจากแผ่นกระดาษเท่ากัน อัตราส่วนทั้งสองนี้จึงเท่ากัน เราได้สัดส่วน ( คำเตือน: สัดส่วนคือความเท่าเทียมกันของสองอัตราส่วน):

x=(3.3 · 500): 300;

x=5.5. คำตอบ:หีบห่อ 500 กระดาษมีความหนา 5.5 ซม.

นี่เป็นการใช้เหตุผลแบบคลาสสิกและการออกแบบวิธีแก้ปัญหา ปัญหาดังกล่าวมักรวมอยู่ในงานทดสอบสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาซึ่งมักจะเขียนวิธีแก้ไขในรูปแบบต่อไปนี้:

หรือพวกเขาตัดสินใจด้วยวาจาโดยให้เหตุผลดังนี้: ถ้า 300 แผ่นมีความหนา 3.3 ซม. ก็แสดงว่า 100 แผ่นมีความหนาน้อยกว่า 3 เท่า หาร 3.3 ด้วย 3 จะได้ 1.1 ซม. นี่คือความหนาของกระดาษแพ็ค 100 แผ่น ดังนั้น 500 แผ่นจะมีความหนามากกว่า 5 เท่า ดังนั้นเราจึงคูณ 1.1 ซม. ด้วย 5 และได้คำตอบ: 5.5 ซม.

แน่นอนว่านี่เป็นสิ่งที่สมเหตุสมผล เนื่องจากเวลาในการทดสอบผู้สำเร็จการศึกษาและผู้สมัครมีจำกัด อย่างไรก็ตาม ในบทเรียนนี้ เราจะให้เหตุผลและจดวิธีแก้ปัญหาตามที่ควรจะทำ 6 ระดับ.

ภารกิจที่ 2แตงโม 5 กิโลกรัมมีน้ำอยู่เท่าไร ถ้ารู้ว่าแตงโมประกอบด้วยน้ำ 98%?

สารละลาย.

มวลแตงโมทั้งหมด (5 กก.) คือ 100% น้ำจะเท่ากับ x กิโลกรัม หรือ 98% มีสองวิธีในการหาว่ามีกี่กิโลกรัมใน 1% ของมวล

5: 100 หรือ x : 98. เราได้สัดส่วน:

5: 100 = x : 98.

x=(5 · 98): 100;

x=4.9 คำตอบ: 5กกแตงโมประกอบด้วย น้ำ 4.9 กก.

มวลน้ำมัน 21 ลิตร 16.8 กก. น้ำมัน 35 ลิตรมีมวลเท่าใด?

สารละลาย.

ให้มวลน้ำมัน 35 ลิตรเป็น x กิโลกรัม จากนั้นคุณสามารถค้นหามวลของน้ำมัน 1 ลิตรได้สองวิธี:

16,8: 21 หรือ x : 35. เราได้สัดส่วน:

16,8: 21=x : 35.

หาระยะกลางของสัดส่วน ในการทำเช่นนี้ เราจะคูณเงื่อนไขสุดขั้วของสัดส่วน ( 16,8 และ 35 ) และหารด้วยเทอมเฉลี่ยที่ทราบ ( 21 - ลองลดเศษส่วนลง 7 .

คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 10 เพื่อให้ตัวเศษและส่วนมีเพียงจำนวนธรรมชาติเท่านั้น เราลดเศษส่วนลง 5 (5 และ 10) และต่อไป 3 (168 และ 3)

คำตอบ: 35 น้ำมันมีมวลเป็นลิตร 28 กก.

หลังจากไถนาไปแล้ว 82% ก็ยังเหลือพื้นที่ให้ไถอีก 9 เฮกตาร์ พื้นที่ทั้งหมดเป็นเท่าใด?

สารละลาย.

ให้พื้นที่ทั้งสนามเป็น x เฮกตาร์ ซึ่งก็คือ 100% เหลือพื้นที่ไถอีก 9 เฮกตาร์ ซึ่งคิดเป็น 100% - 82% = 18% ของพื้นที่ทั้งหมด เราสามารถแสดงพื้นที่สนาม 1% ได้สองวิธี นี้:

เอ็กซ์ : 100 หรือ 9 : 18. เราประกอบสัดส่วน:

เอ็กซ์ : 100 = 9: 18.

เราพบระยะสุดโต่งของสัดส่วนที่ไม่ทราบ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณเงื่อนไขเฉลี่ยของสัดส่วน ( 100 และ 9 ) และหารด้วยพจน์สุดขั้วที่ทราบ ( 18 - เราลดเศษส่วนลง

คำตอบ: พื้นที่ทั้งสนาม 50 เฮกตาร์

หน้า 1 จาก 1 1

§ 125 แนวคิดเรื่องสัดส่วน

สัดส่วนคือความเท่าเทียมกันของสองอัตราส่วน นี่คือตัวอย่างของความเท่าเทียมกันที่เรียกว่าสัดส่วน:

บันทึก. ไม่ได้ระบุชื่อปริมาณตามสัดส่วน

สัดส่วนมักจะอ่านได้ดังนี้ 2 คือ 1 (หน่วย) และ 10 คือ 5 (สัดส่วนแรก) คุณสามารถอ่านในรูปแบบอื่นได้ เช่น 2 มากกว่า 1 หลายเท่า 10 มากกว่า 5 เท่า สัดส่วนที่สามสามารถอ่านได้ดังนี้: - 0.5 น้อยกว่า 2 หลายเท่า 0.75 กี่ครั้ง น้อยกว่า 3

ตัวเลขที่รวมอยู่ในสัดส่วนเรียกว่า สมาชิกของสัดส่วน- ซึ่งหมายความว่าสัดส่วนประกอบด้วยสี่พจน์ สมาชิกคนแรกและคนสุดท้ายคือสมาชิกที่ยืนอยู่ริมขอบจะถูกเรียก สุดขีดและเงื่อนไขของสัดส่วนที่อยู่ตรงกลางเรียกว่า เฉลี่ยสมาชิก ซึ่งหมายความว่าในสัดส่วนแรก ตัวเลข 2 และ 5 จะเป็นพจน์สุดขั้ว และตัวเลข 1 และ 10 จะเป็นพจน์ตรงกลางของสัดส่วน

§ 126 ทรัพย์สินหลักของสัดส่วน

พิจารณาสัดส่วน:

ให้เราคูณเงื่อนไขสุดขั้วและเงื่อนไขกลางแยกกัน ผลคูณของค่าสุดขั้วคือ 6 4 = 24 ผลคูณของค่าที่อยู่ตรงกลางคือ 3 8 = 24

ลองพิจารณาสัดส่วนอื่น: 10: 5 = 12: 6 ลองคูณพจน์สุดขั้วและพจน์กลางแยกกันตรงนี้ด้วย

ผลคูณของค่าสุดขั้วคือ 10 6 = 60 ผลคูณของค่าที่อยู่ตรงกลางคือ 5 12 = 60

คุณสมบัติหลักของสัดส่วน: ผลคูณของเทอมสุดโต่งของสัดส่วนจะเท่ากับผลคูณของเทอมกลาง

โดยทั่วไปคุณสมบัติหลักของสัดส่วนเขียนได้ดังนี้: โฆษณา = พ.ศ .

เรามาตรวจสอบกันในหลายสัดส่วน:

1) 12: 4 = 30: 10.

สัดส่วนนี้ถูกต้อง เนื่องจากอัตราส่วนที่ใช้ประกอบจะเท่ากัน ในเวลาเดียวกันเมื่อนำผลคูณของเทอมสุดโต่งของสัดส่วน (12 10) และผลิตภัณฑ์ของเทอมกลาง (4 30) เราจะเห็นว่าพวกมันเท่ากันนั่นคือ

12 10 = 4 30.

2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

สัดส่วนนั้นถูกต้อง ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบโดยการลดความซับซ้อนของอัตราส่วนที่หนึ่งและที่สอง คุณสมบัติหลักของสัดส่วนจะอยู่ในรูปแบบ:

1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20

ไม่ใช่เรื่องยากที่จะตรวจสอบว่าถ้าเราเขียนความเท่าเทียมกันโดยที่ด้านซ้ายเป็นผลคูณของตัวเลขสองตัว และทางด้านขวาเป็นผลคูณของตัวเลขอีกสองตัว ก็สามารถกำหนดสัดส่วนจากตัวเลขสี่ตัวนี้ได้

ขอให้เรามีความเท่าเทียมกันโดยมีตัวเลขสี่ตัวคูณกันเป็นคู่:

ตัวเลขสี่ตัวนี้สามารถเป็นเทอมของสัดส่วนได้ ซึ่งเขียนได้ไม่ยากถ้าเราเอาผลคูณแรกเป็นผลคูณของเทอมสุดขั้ว และตัวที่สองเป็นผลคูณของเทอมกลาง ความเท่าเทียมกันที่เผยแพร่สามารถรวบรวมได้ เช่น ในสัดส่วนต่อไปนี้:

โดยทั่วไปจากความเท่าเทียมกัน โฆษณา = พ.ศ สามารถรับสัดส่วนดังต่อไปนี้:

ทำแบบฝึกหัดต่อไปนี้ด้วยตัวเอง เมื่อพิจารณาผลคูณของตัวเลขสองคู่ ให้เขียนสัดส่วนที่สอดคล้องกับแต่ละความเท่าเทียมกัน:

ก) 1 6 = 2 3;

ข) 2 15 = ข 5

§ 127. การคำนวณเงื่อนไขสัดส่วนที่ไม่ทราบ

คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วนทำให้คุณสามารถคำนวณเงื่อนไขใดๆ ของสัดส่วนได้หากไม่ทราบ มาดูสัดส่วนกัน:

เอ็กซ์ : 4 = 15: 3.

ในสัดส่วนนี้ ไม่ทราบสมาชิกสุดโต่งคนหนึ่ง เรารู้ว่าในสัดส่วนใดก็ตาม ผลคูณของเทอมสุดขั้วจะเท่ากับผลคูณของเทอมกลาง บนพื้นฐานนี้เราสามารถเขียนได้:

x 3 = 4 15.

หลังจากคูณ 4 ด้วย 15 แล้ว เราสามารถเขียนสมการนี้ใหม่ได้ดังนี้:

เอ็กซ์ 3 = 60.

ลองพิจารณาความเท่าเทียมกันนี้ ในนั้นไม่ทราบปัจจัยแรก ปัจจัยที่สองเป็นที่รู้จัก และผลิตภัณฑ์เป็นที่รู้จัก เรารู้ว่าการหาปัจจัยที่ไม่ทราบ ก็เพียงพอที่จะหารผลคูณด้วยปัจจัยอื่น (ที่ทราบ) ก็เพียงพอแล้ว จากนั้นปรากฎว่า:

เอ็กซ์ = 60:3 หรือ เอ็กซ์ = 20.

ลองตรวจสอบผลลัพธ์ที่พบโดยการแทนที่หมายเลข 20 แทน เอ็กซ์ ในสัดส่วนนี้:

สัดส่วนได้ถูกต้อง

ลองคิดดูว่าเราต้องดำเนินการอะไรบ้างเพื่อคำนวณระยะสุดขั้วที่ไม่ทราบของสัดส่วน จากเงื่อนไขทั้งสี่ของสัดส่วน เราไม่ทราบเพียงเงื่อนไขสุดขั้วเท่านั้น เป็นที่ทราบกันดีว่าสองตรงกลางและสุดขั้วที่สอง ในการค้นหาเทอมสุดขั้วของสัดส่วน ขั้นแรกให้คูณเทอมกลาง (4 และ 15) แล้วหารผลคูณที่พบด้วยเทอมค่าสุดขีดที่ทราบ ตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าการกระทำจะไม่เปลี่ยนแปลงหากระยะสุดโต่งของสัดส่วนที่ต้องการไม่ได้อยู่ในอันดับแรก แต่สุดท้าย มาดูสัดส่วนกัน:

70: 10 = 21: เอ็กซ์ .

ลองเขียนคุณสมบัติหลักของสัดส่วน: 70 เอ็กซ์ = 10 21.

การคูณตัวเลข 10 และ 21 เราจะเขียนความเท่าเทียมกันใหม่ดังนี้:

70 เอ็กซ์ = 210.

ไม่ทราบปัจจัยประการหนึ่ง หากต้องการคำนวณ ก็เพียงพอที่จะหารผลคูณ (210) ด้วยอีกปัจจัยหนึ่ง (70)

เอ็กซ์ = 210: 70; เอ็กซ์ = 3.

เราก็เลยพูดแบบนั้นได้ แต่ละเทอมสุดขั้วของสัดส่วนจะเท่ากับผลคูณของค่าเฉลี่ยหารด้วยค่าสุดโต่งอีกอัน

ตอนนี้เรามาดูการคำนวณระยะเฉลี่ยที่ไม่รู้จักกันดีกว่า มาดูสัดส่วนกัน:

30: เอ็กซ์ = 27: 9.

ลองเขียนคุณสมบัติหลักของสัดส่วน:

30 9 = เอ็กซ์ 27.

ลองคำนวณผลคูณของ 30 x 9 และจัดเรียงส่วนของความเท่าเทียมกันครั้งล่าสุดใหม่:

เอ็กซ์ 27 = 270.

มาหาปัจจัยที่ไม่ทราบกัน:

เอ็กซ์ = 270:27 หรือ เอ็กซ์ = 10.

ตรวจสอบด้วยการทดแทน:

30:10 = 27:9 สัดส่วนถูกต้อง

ลองใช้สัดส่วนอื่น:

12: ข = เอ็กซ์ : 8. ลองเขียนคุณสมบัติหลักของสัดส่วน:

12 . 8 = 6 เอ็กซ์ - เมื่อคูณ 12 และ 8 แล้วจัดเรียงส่วนของความเท่าเทียมกันใหม่ เราจะได้:

6 เอ็กซ์ = 96. ค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบ:

เอ็กซ์ = 96:6 หรือ เอ็กซ์ = 16.

ดังนั้น, แต่ละเทอมกลางของสัดส่วนจะเท่ากับผลคูณของค่าสุดขั้วหารด้วยค่ากลางอีกค่าหนึ่ง

ค้นหาคำศัพท์ที่ไม่ทราบสัดส่วนต่อไปนี้:

1) ก : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;

2) 8: ข = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: เอ็กซ์ .

กฎสองข้อสุดท้ายสามารถเขียนในรูปแบบทั่วไปได้ดังนี้:

1) ถ้าสัดส่วนมีลักษณะดังนี้:

x: ก = ข: ค , ที่

2) หากสัดส่วนมีลักษณะดังนี้:

ก: x = ข: ค , ที่

§ 128 การลดความซับซ้อนของสัดส่วนและการจัดเรียงข้อกำหนดใหม่

ในส่วนนี้ เราจะมากฎที่ช่วยให้เราสามารถลดความซับซ้อนของสัดส่วนในกรณีที่ประกอบด้วยจำนวนจำนวนมากหรือเศษส่วน การเปลี่ยนแปลงที่ไม่ละเมิดสัดส่วนมีดังนี้:

1. การเพิ่มขึ้นหรือลดลงของทั้งสองเงื่อนไขของอัตราส่วนใด ๆ พร้อมกันด้วยจำนวนครั้งเท่ากัน

ตัวอย่าง 40:10 = 60:15.

เมื่อคูณทั้งสองพจน์ของความสัมพันธ์แรกด้วย 3 ครั้ง เราจะได้:

120:30 = 60: 15.

สัดส่วนไม่ถูกละเมิด

เมื่อลดทั้งสองเทอมของอัตราส่วนที่สองลง 5 เท่า เราจะได้:

เราได้สัดส่วนที่ถูกต้องอีกครั้ง

2. การเพิ่มขึ้นหรือลดลงของทั้งวาระก่อนหน้าหรือทั้งสองครั้งถัดไปพร้อมกันด้วยจำนวนครั้งเท่ากัน

ตัวอย่าง. 16:8 = 40:20.

ให้เราเพิ่มเงื่อนไขก่อนหน้าของความสัมพันธ์ทั้งสองเป็นสองเท่า:

เราได้สัดส่วนที่ถูกต้อง

ให้เราลดเงื่อนไขที่ตามมาของความสัมพันธ์ทั้งสองลง 4 เท่า:

สัดส่วนไม่ถูกละเมิด

ข้อสรุปทั้งสองที่ได้รับสามารถระบุสั้น ๆ ได้ดังนี้: สัดส่วนจะไม่ถูกละเมิดหากเราเพิ่มหรือลดลงพร้อมกันด้วยจำนวนเท่าของระยะสุดโต่งของสัดส่วนและค่าที่อยู่ตรงกลางใด ๆ

ตัวอย่างเช่น เมื่อลดลง 4 เท่าของค่าสุดขั้วที่ 1 และค่ากลางที่ 2 ของสัดส่วน 16:8 = 40:20 เราจะได้:

3. เพิ่มหรือลดเงื่อนไขทั้งหมดของสัดส่วนพร้อมกันด้วยจำนวนครั้งเท่ากัน ตัวอย่าง. 36:12 = 60:20. ลองเพิ่มตัวเลขทั้งสี่จำนวน 2 ครั้ง:

สัดส่วนไม่ถูกละเมิด ลองลดตัวเลขทั้งสี่ลง 4 ครั้ง:

สัดส่วนได้ถูกต้อง

การแปลงที่ระบุไว้ทำให้เป็นไปได้ ประการแรก ลดความซับซ้อนของสัดส่วน และประการที่สอง ทำให้เป็นอิสระจากเศษส่วน ลองยกตัวอย่าง

1) ให้มีสัดส่วน:

200: 25 = 56: x .

ในนั้นเทอมของอัตราส่วนแรกจะมีจำนวนค่อนข้างมากและหากเราต้องการหาค่า เอ็กซ์ จากนั้นเราจะต้องคำนวณตัวเลขเหล่านี้ แต่เรารู้ว่าสัดส่วนจะไม่ถูกละเมิดหากอัตราส่วนทั้งสองหารด้วยจำนวนเท่ากัน ลองหารแต่ละอันด้วย 25 สัดส่วนจะอยู่ในรูปแบบ:

8:1 = 56: x .

เราจึงได้สัดส่วนที่สะดวกมากขึ้นจากที่นี้ เอ็กซ์ สามารถพบได้ในจิตใจ:

2) มาดูสัดส่วนกัน:

2: 1 / 2 = 20: 5.

ในสัดส่วนนี้มีเทอมเศษส่วน (1/2) ซึ่งคุณสามารถกำจัดได้ ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องคูณเทอมนี้ด้วย 2 แต่เราไม่มีสิทธิ์เพิ่มเทอมกลางของสัดส่วนหนึ่งเทอม มีความจำเป็นต้องเพิ่มหนึ่งในสมาชิกสุดขั้วพร้อมกับมัน จะได้ไม่เสียสัดส่วน (อิงจาก 2 แต้มแรก) ลองเพิ่มเทอมแรกสุดของเทอมแรกกัน

(2 2) : (2 1/2) = 20:5 หรือ 4:1 = 20:5

มาเพิ่มสมาชิกสุดโต่งตัวที่สองกัน:

2: (2 1/2) = 20: (2 5) หรือ 2: 1 = 20: 10

เรามาดูตัวอย่างอีกสามตัวอย่างของการปลดปล่อยสัดส่วนจากเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 1 1 / 4: 3 / 8 = 20:30 น.

นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม:

2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.

เมื่อคูณทั้งสองพจน์ของอัตราส่วนแรกด้วย 8 เราจะได้:

ตัวอย่างที่ 2 12: 15 / 14 = 16: 10 / 7 นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม:

12: 15 / 14 = 16: 20 / 14

ลองคูณทั้งสองเทอมต่อมาด้วย 14 จะได้: 12:15 = 16:20

ตัวอย่างที่ 3 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

ลองคูณเงื่อนไขทั้งหมดของสัดส่วนด้วย 48:

24: 1 = 960: 40.

เมื่อแก้ไขปัญหาที่มีสัดส่วนเกิดขึ้น มักจะจำเป็นต้องจัดเรียงเงื่อนไขของสัดส่วนใหม่เพื่อวัตถุประสงค์ที่แตกต่างกัน พิจารณาว่าการเรียงสับเปลี่ยนใดที่ถูกกฎหมายเช่น อย่าละเมิดสัดส่วน มาดูสัดส่วนกัน:

3: 5 = 12: 20. (1)

เมื่อจัดเรียงเงื่อนไขสุดโต่งใหม่ เราจะได้:

20: 5 = 12:3. (2)

ให้เราจัดเรียงคำกลางใหม่:

3:12 = 5: 20. (3)

ให้เราจัดเรียงเงื่อนไขที่รุนแรงและเงื่อนไขกลางใหม่พร้อมกัน:

20: 12 = 5: 3. (4)

สัดส่วนทั้งหมดนี้ถูกต้อง ทีนี้ลองวางความสัมพันธ์แรกในตำแหน่งที่สอง และความสัมพันธ์ที่สองในตำแหน่งแรก คุณจะได้สัดส่วน:

12: 20 = 3: 5. (5)

ในสัดส่วนนี้ เราจะทำการจัดเรียงใหม่แบบเดียวกับที่เราเคยทำมาก่อน กล่าวคือ เราจะจัดเรียงเงื่อนไขที่รุนแรงก่อน จากนั้นจึงจัดเรียงเงื่อนไขที่อยู่ตรงกลาง และสุดท้ายคือทั้งเงื่อนไขสุดขั้วและที่อยู่ตรงกลางในเวลาเดียวกัน คุณจะได้รับสัดส่วนเพิ่มอีกสามสัดส่วนซึ่งจะยุติธรรมเช่นกัน:

5: 20 = 3: 12. (6)

12: 3 = 20: 5. (7)

5: 3 = 20: 12. (8)

จากสัดส่วนที่กำหนดมา โดยการจัดเรียงใหม่ คุณจะได้อีก 7 สัดส่วน ซึ่งเมื่อรวมกับสัดส่วนนี้ จะได้ 8 สัดส่วน.

ความถูกต้องของสัดส่วนทั้งหมดเหล่านี้ง่ายต่อการค้นพบโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเขียนด้วยตัวอักษร สัดส่วน 8 ประการที่ได้รับข้างต้นมีรูปแบบ:

ก: ข = ค: ง; ค: ง = ก: ข ;

ง: ข = ค: ก; ข:d = มี:ค;

ก: ค = ข: ง; ค: ก = ง: ข;

ง: ค = ข: ก; ข: ก = ง: ค.

จะเห็นได้ง่ายว่าในแต่ละสัดส่วนเหล่านี้ คุณสมบัติหลักจะอยู่ในรูปแบบ:

โฆษณา = พ.ศ.

ดังนั้นการเรียงสับเปลี่ยนเหล่านี้จึงไม่ละเมิดความเป็นธรรมของสัดส่วนและสามารถใช้ได้หากจำเป็น

การแก้ปัญหาส่วนใหญ่ในคณิตศาสตร์ระดับมัธยมปลายต้องอาศัยความรู้เรื่องสัดส่วน ทักษะง่ายๆ นี้จะช่วยให้คุณไม่เพียงแต่ทำแบบฝึกหัดที่ซับซ้อนจากตำราเรียนเท่านั้น แต่ยังเจาะลึกถึงแก่นแท้ของวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์อีกด้วย ทำอย่างไรให้ได้สัดส่วน? ลองคิดดูตอนนี้

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือปัญหาที่ทราบพารามิเตอร์สามตัว และจำเป็นต้องค้นหาพารามิเตอร์ตัวที่สี่ แน่นอนว่าสัดส่วนนั้นแตกต่างกัน แต่บ่อยครั้งที่คุณต้องหาตัวเลขโดยใช้เปอร์เซ็นต์ ตัวอย่างเช่น เด็กชายมีแอปเปิ้ลทั้งหมดสิบผล เขามอบส่วนที่สี่ให้กับแม่ของเขา เด็กชายเหลือแอปเปิ้ลกี่ลูก? นี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดที่จะช่วยให้คุณสร้างสัดส่วนได้ สิ่งสำคัญคือการทำเช่นนี้ ในตอนแรกมีแอปเปิ้ลสิบลูก ปล่อยให้มันเป็น 100% เราทำเครื่องหมายแอปเปิ้ลของเขาทั้งหมด เขาให้หนึ่งในสี่ 1/4=25/100. ซึ่งหมายความว่าเขาได้ออกไป: 100% (เดิมที) - 25% (เขาให้) = 75% ตัวเลขนี้แสดงเปอร์เซ็นต์ของจำนวนผลไม้ที่เหลืออยู่ เทียบกับจำนวนที่มีในตอนแรก ตอนนี้เรามีตัวเลขสามตัวซึ่งเราสามารถแก้สัดส่วนได้แล้ว 10 แอปเปิ้ล - 100% เอ็กซ์แอปเปิ้ล - 75% โดยที่ x คือจำนวนผลไม้ที่ต้องการ ทำอย่างไรให้ได้สัดส่วน? คุณต้องเข้าใจว่ามันคืออะไร ในทางคณิตศาสตร์จะมีลักษณะเช่นนี้ วางเครื่องหมายเท่ากับเพื่อความเข้าใจของคุณ

10 แอปเปิ้ล = 100%;

x แอปเปิ้ล = 75%

ปรากฎว่า 10/x = 100%/75 นี่คือคุณสมบัติหลักของสัดส่วน ท้ายที่สุดแล้ว ยิ่ง x ยิ่งมาก เปอร์เซ็นต์ของตัวเลขนี้ก็จะยิ่งมากขึ้นจากเดิม เราแก้สัดส่วนนี้แล้วพบว่า x = 7.5 แอปเปิ้ล เราไม่รู้ว่าทำไมเด็กชายถึงตัดสินใจแจกจำนวนเต็ม ตอนนี้คุณรู้วิธีสร้างสัดส่วนแล้ว สิ่งสำคัญคือการหาความสัมพันธ์สองแบบซึ่งหนึ่งในนั้นมีความสัมพันธ์ที่ไม่รู้จัก

การแก้สัดส่วนมักต้องใช้การคูณอย่างง่ายแล้วหาร โรงเรียนไม่ได้อธิบายให้เด็กฟังว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น แม้ว่าสิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าความสัมพันธ์ตามสัดส่วนนั้นเป็นคลาสสิกทางคณิตศาสตร์ แต่เป็นแก่นแท้ของวิทยาศาสตร์ ในการแก้สัดส่วน คุณต้องสามารถจัดการกับเศษส่วนได้ ตัวอย่างเช่น คุณมักจะต้องแปลงเปอร์เซ็นต์เป็นเศษส่วน นั่นคือการบันทึก 95% จะไม่ทำงาน และถ้าคุณเขียน 95/100 ทันที คุณสามารถลดลงได้มากโดยไม่ต้องเริ่มการคำนวณหลัก เป็นเรื่องที่ควรบอกทันทีว่าหากสัดส่วนของคุณกลายเป็นสิ่งที่ไม่ทราบสองตัวก็ไม่สามารถแก้ไขได้ ไม่มีศาสตราจารย์จะช่วยคุณที่นี่ และงานของคุณน่าจะมีอัลกอริธึมที่ซับซ้อนกว่าสำหรับการดำเนินการที่ถูกต้อง

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่งที่ไม่มีเปอร์เซ็นต์ ผู้ขับขี่รถยนต์ซื้อน้ำมันเบนซิน 5 ลิตรในราคา 150 รูเบิล เขาคิดว่าเขาจะจ่ายค่าน้ำมัน 30 ลิตรเท่าไร เพื่อแก้ปัญหานี้ ลองเขียนแทนด้วย x จำนวนเงินที่ต้องการ คุณสามารถแก้ปัญหานี้ได้ด้วยตัวเองแล้วตรวจสอบคำตอบ หากคุณยังไม่เข้าใจวิธีสร้างสัดส่วนลองดูสิ น้ำมันเบนซิน 5 ลิตรคือ 150 รูเบิล ดังตัวอย่างแรกเราเขียนไว้ 5l - 150r ทีนี้ลองหาเลขตัวที่สามกัน แน่นอนว่านี่คือ 30 ลิตร ยอมรับว่าคู่ 30 l - x rubles เหมาะสมในสถานการณ์นี้ มาดูภาษาคณิตศาสตร์กันดีกว่า

5 ลิตร - 150 รูเบิล;

30 ลิตร - x รูเบิล;

มาแก้สัดส่วนนี้กัน:

x = 900 รูเบิล

ดังนั้นเราจึงตัดสินใจ ในงานของคุณอย่าลืมตรวจสอบความเพียงพอของคำตอบ มันเกิดขึ้นว่าด้วยการตัดสินใจที่ผิดพลาด รถยนต์ต่างๆ ก็มีความเร็วที่ไม่สมจริงถึง 5,000 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เป็นต้น ตอนนี้คุณรู้วิธีสร้างสัดส่วนแล้ว คุณยังสามารถแก้ปัญหาได้ อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับเรื่องนี้

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ สัดส่วนคือความเท่าเทียมกันของสองอัตราส่วน การพึ่งพาซึ่งกันและกันเป็นลักษณะของทุกส่วนของสัดส่วนตลอดจนผลลัพธ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลง คุณสามารถเข้าใจวิธีสร้างสัดส่วนได้โดยทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติและสูตรของสัดส่วน เพื่อให้เข้าใจหลักการแก้สัดส่วนให้พิจารณาตัวอย่างหนึ่งตัวอย่างก็เพียงพอแล้ว ด้วยการแก้สัดส่วนโดยตรงเท่านั้นคุณจึงเรียนรู้ทักษะเหล่านี้ได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย และบทความนี้จะช่วยผู้อ่านในเรื่องนี้

คุณสมบัติของสัดส่วนและสูตร

1. การกลับตัวของสัดส่วน ในกรณีที่ความเท่าเทียมกันที่กำหนดดูเหมือน 1a: 2b = 3c: 4d ให้เขียน 2b: 1a = 4d: 3c (และ 1a, 2b, 3c และ 4d เป็นจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช่ 0)
2. การคูณเงื่อนไขที่กำหนดของสัดส่วนตามขวาง ในนิพจน์ตามตัวอักษรจะมีลักษณะดังนี้: 1a: 2b = 3c: 4d และการเขียน 1a4d = 2b3c จะเทียบเท่ากับมัน ดังนั้น ผลคูณของส่วนปลายสุดของสัดส่วนใดๆ (ตัวเลขที่ขอบของความเท่ากัน) จะเท่ากับผลคูณของส่วนตรงกลางเสมอ (ตัวเลขที่อยู่ตรงกลางของความเท่ากัน)
3. เมื่อวาดสัดส่วน คุณสมบัติในการจัดเรียงเงื่อนไขที่รุนแรงและเงื่อนไขกลางใหม่ก็มีประโยชน์เช่นกัน สูตรความเท่าเทียมกัน 1a: 2b = 3c: 4d สามารถแสดงได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (เมื่อพจน์ตรงกลางของสัดส่วนถูกจัดเรียงใหม่)
   • 4d: 2b = 3c: 1a (เมื่อเงื่อนไขสุดขั้วของสัดส่วนถูกจัดเรียงใหม่)
4. คุณสมบัติของการเพิ่มขึ้นและลดลงช่วยในการแก้สัดส่วนได้อย่างสมบูรณ์แบบ เมื่อ 1a: 2b = 3c: 4d ให้เขียนว่า:
   • (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (เท่ากันโดยเพิ่มสัดส่วน)
   • (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (เท่ากันโดยการลดสัดส่วน)
5. คุณสามารถสร้างสัดส่วนได้โดยการเพิ่มและการลบ เมื่อเขียนสัดส่วนเป็น 1a:2b = 3c:4d แล้ว:
   • (1a + 3c) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (สัดส่วนเกิดจากการบวก)
   • (1a – 3c) : (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (สัดส่วนคำนวณโดยการลบ)
6. นอกจากนี้ เมื่อแก้สัดส่วนที่มีเศษส่วนหรือจำนวนมาก คุณสามารถหารหรือคูณทั้งสองพจน์ด้วยจำนวนเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่น ส่วนประกอบของสัดส่วน 70:40=320:60 สามารถเขียนได้ดังนี้: 10*(7:4=32:6)
7. ตัวเลือกสำหรับการแก้สัดส่วนด้วยเปอร์เซ็นต์จะเป็นดังนี้ เช่น เขียนลงไป 30=100%, 12=x ตอนนี้คุณควรคูณพจน์กลาง (12*100) แล้วหารด้วยค่าสุดขั้วที่ทราบ (30) ดังนั้น คำตอบคือ: x=40% ในทำนองเดียวกัน หากจำเป็น คุณสามารถคูณพจน์สุดขั้วที่ทราบแล้วหารด้วยจำนวนเฉลี่ยที่กำหนด เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

หากคุณสนใจสูตรสัดส่วนเฉพาะ ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดและใช้บ่อยที่สุด สัดส่วนจะเป็นค่าความเท่าเทียมกัน (สูตร): a/b = c/d โดยที่ a, b, c และ d เป็นสี่ค่าที่ไม่ใช่ ตัวเลขศูนย์

ในบทเรียนวิดีโอล่าสุด เราดูการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเปอร์เซ็นต์โดยใช้สัดส่วน จากนั้น ตามเงื่อนไขของปัญหา เราจำเป็นต้องค้นหาค่าของปริมาณใดปริมาณหนึ่ง

ครั้งนี้เราได้มอบค่าเริ่มต้นและค่าสุดท้ายให้กับเราแล้ว ดังนั้นปัญหาจะทำให้คุณต้องหาเปอร์เซ็นต์ แม่นยำยิ่งขึ้นว่าค่านี้หรือค่านั้นเปลี่ยนแปลงไปกี่เปอร์เซ็นต์ มาลองดูกัน

งาน. รองเท้าผ้าใบราคา 3,200 รูเบิล หลังจากราคาเพิ่มขึ้นเริ่มมีราคา 4,000 รูเบิล ราคารองเท้าผ้าใบเพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์?

ดังนั้นเราจึงแก้ตามสัดส่วน ขั้นตอนแรก - ราคาเดิมคือ 3,200 รูเบิล ดังนั้น 3200 รูเบิลคือ 100%

นอกจากนี้เรายังได้รับราคาสุดท้าย - 4,000 รูเบิล นี่คือเปอร์เซ็นต์ที่ไม่รู้จัก งั้นเรียกมันว่า x ดีกว่า เราได้รับการก่อสร้างดังต่อไปนี้:

3200 — 100%
4000 - x%

สถานะของปัญหาถูกเขียนไว้ มาสร้างสัดส่วนกัน:

เศษส่วนทางด้านซ้ายหักล้างอย่างสมบูรณ์ 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40 หรือคุณสามารถย่อให้สั้นลง 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10 เราได้สัดส่วนดังนี้:

ลองใช้คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วนกัน: ผลคูณของเทอมสุดขั้วเท่ากับผลคูณของเทอมกลาง เราได้รับ:

8 x = 100 10;
8x = 1,000.

นี่คือสมการเชิงเส้นธรรมดา จากที่นี่เราจะพบ x:

x = 1,000: 8 = 125

เราได้เปอร์เซ็นต์สุดท้าย x = 125 แต่เลข 125 เป็นวิธีการแก้ปัญหาหรือไม่? ไม่ ไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม! เพราะงานนี้ต้องค้นหาว่ารองเท้าผ้าใบขึ้นราคากี่เปอร์เซ็นต์

เปอร์เซ็นต์ - หมายความว่าเราต้องค้นหาการเปลี่ยนแปลง:

∆ = 125 − 100 = 25

เราได้รับ 25% - นั่นคือราคาเดิมที่เพิ่มขึ้นเท่าใด นี่คือคำตอบ: 25.

ปัญหา B2 กับเปอร์เซ็นต์หมายเลข 2

มาต่อกันที่งานที่สองกันเลย

งาน. เสื้อเชิ้ตราคา 1,800 รูเบิล หลังจากลดราคาก็เริ่มมีราคา 1,530 รูเบิล ราคาเสื้อลดกี่เปอร์เซนต์คะ?

ลองแปลเงื่อนไขเป็นภาษาคณิตศาสตร์กัน ราคาเดิมคือ 1,800 รูเบิล - นี่คือ 100% และราคาสุดท้ายคือ 1,530 รูเบิล - เรารู้ แต่เราไม่รู้ว่าเป็นเปอร์เซ็นต์ของมูลค่าเดิม ดังนั้นเราจึงเขียนแทนด้วย x เราได้รับการก่อสร้างดังต่อไปนี้:

1800 — 100%
1530 - x%

ตามบันทึกที่ได้รับเราจัดทำสัดส่วน:

เพื่อให้การคำนวณเพิ่มเติมง่ายขึ้น ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 100 หรืออีกนัยหนึ่ง เราจะขีดฆ่าศูนย์สองตัวออกจากตัวเศษของเศษส่วนทางซ้ายและขวา เราได้รับ:

ทีนี้ ลองใช้คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วนอีกครั้ง ผลคูณของเทอมสุดขั้วเท่ากับผลคูณของเทอมกลาง

18 x = 1530 1;
18x = 1530.

สิ่งที่เหลืออยู่คือการค้นหา x:

x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

เราได้ค่านั้น x = 85 แต่เช่นเดียวกับในโจทย์ที่แล้ว ตัวเลขนี้ในตัวมันเองไม่ใช่คำตอบ กลับไปสู่สภาพของเรา ตอนนี้เรารู้แล้วว่าราคาใหม่ที่ได้รับหลังจากการลดราคาคือ 85% ของราคาเก่า และเพื่อที่จะค้นหาการเปลี่ยนแปลงคุณต้องใช้ราคาเดิมเช่น 100% ลบราคาใหม่ เช่น 85%. เราได้รับ:

∆ = 100 − 85 = 15

หมายเลขนี้จะเป็นคำตอบ: โปรดทราบ: 15 พอดี และไม่ว่าในกรณีใด 85 แค่นั้นเอง! ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

นักเรียนที่เอาใจใส่อาจจะถามว่า: เหตุใดในปัญหาแรก เมื่อหาผลต่าง เราจึงลบตัวเลขเริ่มต้นออกจากจำนวนสุดท้าย และในปัญหาที่สองกลับตรงกันข้าม: จาก 100% เริ่มต้นเราลบ 85% สุดท้าย

ขอให้ชัดเจนในประเด็นนี้ ในทางคณิตศาสตร์ การเปลี่ยนแปลงในปริมาณจะเป็นผลต่างระหว่างค่าสุดท้ายและค่าเริ่มต้นเสมอ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในปัญหาที่สอง เราไม่ควรได้ 15 แต่เป็น −15

อย่างไรก็ตามไม่ควรรวมเครื่องหมายลบนี้ไว้ในคำตอบไม่ว่าในกรณีใดเนื่องจากได้นำมาพิจารณาแล้วในเงื่อนไขของปัญหาเดิม มันบอกโดยตรงเกี่ยวกับการลดราคา และการลดราคาลง 15% เท่ากับราคาที่เพิ่มขึ้น −15% นั่นคือเหตุผลว่าทำไมในการแก้ปัญหาและตอบคำถามก็เพียงพอที่จะเขียน 15 - โดยไม่มีข้อเสียใด ๆ

แค่นั้นแหละ ฉันหวังว่าเราจะจัดการเรื่องนี้ได้ นี่เป็นการสรุปบทเรียนของเราสำหรับวันนี้ แล้วพบกันใหม่!