วิธีแก้ลอการิทึมที่ซับซ้อน เมื่อแก้สมการลอการิทึม คุณควรพยายามแปลงมันให้อยู่ในรูปแบบ \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) จากนั้นจึงเปลี่ยนเป็น \(f(x) )=ก(x) \)

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อกับบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อแจ้งข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้นได้ไม่ซ้ำใคร
ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ลองพิจารณาสมการลอการิทึมบางประเภทซึ่งไม่ค่อยมีการกล่าวถึงในบทเรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน แต่มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการเตรียมงานแข่งขันรวมถึงการสอบ Unified State

1. สมการแก้ได้โดยวิธีลอการิทึม

เมื่อแก้สมการที่มีตัวแปรทั้งในฐานและเลขชี้กำลัง จะใช้วิธีลอการิทึม ในเวลาเดียวกัน ถ้าเลขยกกำลังมีลอการิทึม ทั้งสองข้างของสมการจะต้องเป็นลอการิทึมเป็นฐานของลอการิทึมนี้

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการ: x log 2 x+2 = 8

สารละลาย.

ลองนำลอการิทึมของด้านซ้ายและขวาของสมการไปที่ฐาน 2 กัน เราได้

บันทึก 2 (x บันทึก 2 x + 2) = บันทึก 2 8,

(บันทึก 2 x + 2) บันทึก 2 x = 3

ให้ลอก 2 x = t

จากนั้น (t + 2)t = 3

เสื้อ 2 + 2t – 3 = 0.

ง = 16. เสื้อ 1 = 1; เสื้อ 2 = -3.

ดังนั้น บันทึก 2 x = 1 และ x 1 = 2 หรือบันทึก 2 x = -3 และ x 2 =1/8

คำตอบ: 1/8; 2.

2. สมการลอการิทึมที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ บันทึก 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) บันทึก 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0

สารละลาย.

โดเมนของสมการ

(x 2 – 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0 → x > -5

บันทึก 3 (x + 5) = 0 ที่ x = -4 เมื่อตรวจสอบแล้ว เราจะพบว่าค่า x นี้ไม่ใช่ เป็นรากของสมการเดิม ดังนั้นเราจึงสามารถหารทั้งสองข้างของสมการได้ด้วยล็อก 2 3 (x + 5)

เราได้บันทึก 2 3 (x 2 – 3x + 4) / บันทึก 2 3 (x + 5) – 3 บันทึก 3 (x 2 – 3x + 4) / บันทึก 3 (x + 5) + 2 = 0

ให้บันทึก 3 (x 2 – 3x + 4) / บันทึก 3 (x + 5) = t จากนั้น t 2 – 3 t + 2 = 0 รากของสมการนี้คือ 1; 2. เมื่อกลับไปที่ตัวแปรเดิม เราจะได้ชุดสมการสองชุด

แต่เมื่อคำนึงถึงการมีอยู่ของลอการิทึมเราต้องพิจารณาเฉพาะค่า (0; 9) ซึ่งหมายความว่านิพจน์ทางด้านซ้ายจะมีค่ามากที่สุด 2 ที่ x = 1 ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชัน y = 2 x-1 + 2 1-x หากเราใช้ t = 2 x -1 มันจะอยู่ในรูปแบบ y = t + 1/t โดยที่ t > 0 ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว จะมีจุดวิกฤติเพียงจุดเดียว t = 1 นี่คือจุดต่ำสุด Y vin = 2 และถึงจุด x = 1

ตอนนี้เห็นได้ชัดว่ากราฟของฟังก์ชันที่พิจารณาสามารถตัดกันที่จุด (1; 2) ได้เพียงครั้งเดียว ปรากฎว่า x = 1 เป็นรากเดียวของสมการที่กำลังแก้อยู่

คำตอบ: x = 1

ตัวอย่างที่ 5 แก้สมการบันทึก 2 2 x + (x – 1) บันทึก 2 x = 6 – 2x

สารละลาย.

ลองแก้สมการนี้เพื่อหาล็อก 2 x กัน ให้ลอก 2 x = t จากนั้น t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0

ง = (x – 1) 2 – 4(2x – 6) = (x – 5) 2. เสื้อ 1 = -2; เสื้อ 2 = 3 – x.

เราได้รับบันทึกสมการ 2 x = -2 หรือบันทึก 2 x = 3 – x

รากของสมการแรกคือ x 1 = 1/4

เราจะหารากของบันทึกสมการ 2 x = 3 – x โดยการเลือก นี่คือหมายเลข 2 รูทนี้ไม่ซ้ำกัน เนื่องจากฟังก์ชัน y = log 2 x เพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ และฟังก์ชัน y = 3 – x กำลังลดลง

ง่ายต่อการตรวจสอบว่าตัวเลขทั้งสองเป็นรากของสมการ

คำตอบ:1/4; 2.

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

วันนี้เราจะได้เรียนรู้วิธีแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด โดยไม่จำเป็นต้องแปลงหรือเลือกรากเบื้องต้น แต่ถ้าคุณเรียนรู้ที่จะแก้สมการดังกล่าว มันจะง่ายกว่ามาก

สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดคือสมการของรูปแบบบันทึก a f (x) = b โดยที่ a, b คือตัวเลข (a > 0, a ≠ 1), f (x) เป็นฟังก์ชันเฉพาะ

คุณลักษณะที่โดดเด่นของสมการลอการิทึมทั้งหมดคือการมีตัวแปร x อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม หากนี่คือสมการที่ให้ไว้ในโจทย์ตั้งแต่แรก จะเรียกว่าสมการที่ง่ายที่สุด สมการลอการิทึมอื่นๆ จะถูกลดทอนให้เหลือค่าที่ง่ายที่สุดโดยการแปลงแบบพิเศษ (ดู "คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม") อย่างไรก็ตาม ต้องคำนึงถึงรายละเอียดปลีกย่อยหลายประการ: อาจมีรากเพิ่มเติม ดังนั้นสมการลอการิทึมที่ซับซ้อนจะถูกพิจารณาแยกกัน

จะแก้สมการดังกล่าวได้อย่างไร? ก็เพียงพอที่จะแทนที่ตัวเลขทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับด้วยลอการิทึมในฐานเดียวกันกับทางด้านซ้าย จากนั้นคุณก็สามารถกำจัดเครื่องหมายลอการิทึมได้ เราได้รับ:

บันทึก a f (x) = b ⇒ บันทึก a f (x) = บันทึก a a b ⇒ f (x) = a b

เราได้สมการปกติ รากของมันคือรากของสมการดั้งเดิม

การออกปริญญา

บ่อยครั้งที่สมการลอการิทึมซึ่งภายนอกดูซับซ้อนและเป็นอันตราย จะแก้ได้ภายในสองสามบรรทัดโดยไม่เกี่ยวข้องกับสูตรที่ซับซ้อน วันนี้เราจะดูปัญหาดังกล่าวโดยที่สิ่งที่คุณต้องทำคือลดสูตรให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานอย่างระมัดระวังและไม่สับสนเมื่อค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึม

วันนี้ ดังที่คุณคงเดาได้จากชื่อเรื่อง เราจะมาแก้สมการลอการิทึมโดยใช้สูตรสำหรับการเปลี่ยนเป็นรูปแบบมาตรฐาน “เคล็ดลับ” หลักของบทเรียนวิดีโอนี้คือการใช้องศาหรืออนุมานระดับจากพื้นฐานและการโต้แย้ง ลองดูกฎ:

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถรับระดับจากฐานได้:

ดังที่เราเห็น หากเมื่อเราลบดีกรีออกจากอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เราก็มีปัจจัยเพิ่มเติมอยู่ข้างหน้า แล้วเมื่อเราลบดีกรีออกจากฐาน เราจะไม่ได้เป็นเพียงตัวประกอบเท่านั้น แต่ยังเป็นปัจจัยกลับด้านด้วย สิ่งนี้จะต้องมีการจดจำ

สุดท้ายสิ่งที่น่าสนใจที่สุด สามารถรวมสูตรเหล่านี้เข้าด้วยกันได้ จากนั้นเราจะได้:

แน่นอนว่า เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ มีข้อผิดพลาดบางประการที่เกี่ยวข้องกับการขยายขอบเขตคำจำกัดความที่เป็นไปได้ หรือในทางกลับกัน การลดขอบเขตคำจำกัดความให้แคบลง ตัดสินด้วยตัวคุณเอง:

บันทึก 3 x 2 = 2 ∙ บันทึก 3 x

หากในกรณีแรก x อาจเป็นตัวเลขใดๆ ที่ไม่ใช่ 0 นั่นคือข้อกำหนด x ≠ 0 ดังนั้นในกรณีที่สอง เราจะพอใจกับ x เท่านั้น ซึ่งไม่เพียงแต่ไม่เท่ากัน แต่ยังมากกว่า 0 อย่างเคร่งครัด เนื่องจากโดเมนของ คำจำกัดความของลอการิทึมคืออาร์กิวเมนต์ต้องมากกว่า 0 อย่างเคร่งครัด ดังนั้น ฉันจะเตือนคุณถึงสูตรที่ยอดเยี่ยมจากหลักสูตรพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 8-9:

นั่นคือเราต้องเขียนสูตรของเราดังนี้:

บันทึก 3 x 2 = 2 ∙ บันทึก 3 |x |

แล้วจะไม่มีการจำกัดขอบเขตคำจำกัดความให้แคบลง

อย่างไรก็ตาม วิดีโอสอนวันนี้จะไม่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัส หากคุณดูที่งานของเรา คุณจะเห็นเพียงรากเหง้าเท่านั้น ดังนั้น เราจะไม่ใช้กฎนี้ แต่คุณยังต้องจำไว้เพื่อว่าในเวลาที่เหมาะสม เมื่อคุณเห็นฟังก์ชันกำลังสองในการโต้แย้งหรือฐานของลอการิทึม คุณจะจำกฎนี้และดำเนินการทั้งหมด การเปลี่ยนแปลงอย่างถูกต้อง

ดังนั้นสมการแรกคือ:

เพื่อแก้ไขปัญหานี้ ฉันขอเสนอให้พิจารณาแต่ละเงื่อนไขที่มีอยู่ในสูตรอย่างละเอียด

ลองเขียนเทอมแรกใหม่เป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

เราดูเทอมที่สอง: log 3 (1 − x) ไม่จำเป็นต้องทำอะไรที่นี่ ทุกอย่างเปลี่ยนแปลงไปแล้วที่นี่

สุดท้าย 0, 5 ดังที่ได้กล่าวไว้ในบทเรียนที่แล้ว เมื่อแก้สมการและสูตรลอการิทึม ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้ย้ายจากเศษส่วนทศนิยมไปเป็นเศษส่วนสามัญ มาทำสิ่งนี้กัน:

0,5 = 5/10 = 1/2

มาเขียนสูตรดั้งเดิมของเราใหม่โดยคำนึงถึงเงื่อนไขผลลัพธ์:

ล็อก 3 (1 − x ) = 1

ตอนนี้เรามาดูรูปแบบบัญญัติ:

บันทึก 3 (1 − x ) = บันทึก 3 3

เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึมโดยทำให้อาร์กิวเมนต์เท่ากัน:

1 - x = 3

-x = 2

x = −2

แค่นั้นแหละ เราได้แก้สมการแล้ว อย่างไรก็ตาม เรายังคงเล่นอย่างปลอดภัยและค้นหาขอบเขตของคำจำกัดความ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ กลับไปที่สูตรดั้งเดิมแล้วดู:

1 - x > 0

-x > −1

x< 1

รากของเรา x = −2 เป็นไปตามข้อกำหนดนี้ ดังนั้น x = −2 จึงเป็นคำตอบของสมการดั้งเดิม ตอนนี้เราได้รับเหตุผลที่เข้มงวดและชัดเจนแล้ว แค่นั้นแหละ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

มาดูงานที่สองกันดีกว่า:

ลองดูแต่ละเทอมแยกกัน

มาเขียนอันแรกกัน:

เราได้เปลี่ยนเทอมแรกแล้ว เราทำงานกับเทอมที่สอง:

สุดท้าย เทอมสุดท้ายซึ่งอยู่ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับ:

เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์แทนคำศัพท์ในสูตรผลลัพธ์:

บันทึก 3 x = 1

มาดูรูปแบบบัญญัติกันดีกว่า:

บันทึก 3 x = บันทึก 3 3

เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึมออกไป โดยให้อาร์กิวเมนต์เท่ากัน และเราจะได้:

x = 3

ย้ำอีกครั้ง เพื่อความปลอดภัย ลองกลับไปที่สมการเดิมแล้วดูกัน ในสูตรดั้งเดิม ตัวแปร x ปรากฏอยู่ในอาร์กิวเมนต์เท่านั้น ดังนั้น

x > 0

ในลอการิทึมที่สอง x อยู่ใต้รูท แต่อีกครั้งอยู่ในอาร์กิวเมนต์ ดังนั้น รูทต้องมากกว่า 0 กล่าวคือ นิพจน์รากต้องมากกว่า 0 เราดูที่รูทของเรา x = 3 แน่นอนว่ามัน ตอบสนองความต้องการนี้ ดังนั้น x = 3 จึงเป็นคำตอบของสมการลอการิทึมดั้งเดิม แค่นั้นแหละ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

มีสองประเด็นสำคัญในวิดีโอสอนวันนี้:

1) อย่ากลัวที่จะแปลงลอการิทึมและโดยเฉพาะอย่างยิ่งอย่ากลัวที่จะดึงกำลังออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมในขณะที่จำสูตรพื้นฐานของเรา: เมื่อลบกำลังออกจากอาร์กิวเมนต์มันก็จะถูกลบออกโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง เป็นตัวคูณ และเมื่อดึงกำลังออกจากฐาน พลังนี้จะกลับด้าน

2) จุดที่สองเกี่ยวข้องกับรูปแบบบัญญัติเอง เราทำการเปลี่ยนแปลงเป็นรูปแบบมาตรฐานที่ส่วนท้ายสุดของการเปลี่ยนแปลงสูตรสมการลอการิทึม ฉันขอเตือนคุณถึงสูตรต่อไปนี้:

a = บันทึก b b a

แน่นอนโดยนิพจน์ "จำนวนใด ๆ b" ฉันหมายถึงตัวเลขเหล่านั้นที่เป็นไปตามข้อกำหนดที่กำหนดบนฐานของลอการิทึมเช่น

1 ≠ ข > 0

สำหรับ b ดังกล่าว และเนื่องจากเรารู้พื้นฐานแล้ว ข้อกำหนดนี้จะถูกปฏิบัติตามโดยอัตโนมัติ แต่สำหรับ b ใดๆ ที่เป็นไปตามข้อกำหนดนี้ การเปลี่ยนแปลงนี้สามารถดำเนินการได้ และเราจะได้รูปแบบมาตรฐานซึ่งเราสามารถกำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมได้

การขยายขอบเขตของคำจำกัดความและรากเพิ่มเติม

ในกระบวนการแปลงสมการลอการิทึม อาจมีการขยายขอบเขตคำจำกัดความโดยนัย บ่อยครั้งที่นักเรียนไม่สังเกตเห็นสิ่งนี้ด้วยซ้ำ ซึ่งนำไปสู่ข้อผิดพลาดและคำตอบที่ไม่ถูกต้อง

เริ่มจากการออกแบบที่ง่ายที่สุดกันก่อน สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมีดังต่อไปนี้:

บันทึก a f (x) = b

โปรดทราบว่า x มีอยู่ในอาร์กิวเมนต์เดียวของลอการิทึมเดียวเท่านั้น เราจะแก้สมการดังกล่าวได้อย่างไร? เราใช้รูปแบบบัญญัติ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองจินตนาการถึงตัวเลข b = log a a b และสมการของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

บันทึก a f (x ) = บันทึก a a b

รายการนี้เรียกว่าแบบฟอร์มตามรูปแบบบัญญัติ ด้วยเหตุนี้คุณควรลดสมการลอการิทึมใด ๆ ที่คุณจะพบไม่เพียง แต่ในบทเรียนของวันนี้เท่านั้น แต่ยังรวมถึงงานอิสระและงานทดสอบด้วย

วิธีที่จะได้รูปแบบ Canonical และเทคนิคที่จะใช้เป็นเรื่องของการปฏิบัติ สิ่งสำคัญที่ต้องทำความเข้าใจคือทันทีที่คุณได้รับบันทึกดังกล่าว คุณสามารถพิจารณาแก้ไขปัญหาได้ เพราะขั้นตอนต่อไปคือการเขียน:

ฉ (x) = ข

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึมและเพียงแค่ถือเอาข้อโต้แย้งเท่านั้น

ทำไมต้องพูดทั้งหมดนี้? ความจริงก็คือรูปแบบมาตรฐานนั้นสามารถใช้ได้ไม่เพียงกับปัญหาที่ง่ายที่สุดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงปัญหาอื่น ๆ ด้วย โดยเฉพาะผู้ที่เราจะตัดสินใจกันในวันนี้ มาดูกัน.

งานแรก:

สมการนี้มีปัญหาอะไร? ความจริงก็คือฟังก์ชันนี้มีอยู่ในสองลอการิทึมพร้อมกัน ปัญหาสามารถลดลงให้เหลือน้อยที่สุดได้โดยการลบลอการิทึมหนึ่งออกจากอีกลอการิทึม แต่ปัญหาเกิดขึ้นกับพื้นที่คำจำกัดความ: รากเพิ่มเติมอาจปรากฏขึ้น ลองย้ายลอการิทึมตัวหนึ่งไปทางขวา:

รายการนี้คล้ายกับรูปแบบ Canonical มากกว่ามาก แต่มีความแตกต่างอีกอย่างหนึ่ง: ในรูปแบบบัญญัติข้อโต้แย้งจะต้องเหมือนกัน ทางซ้ายเรามีลอการิทึมในฐาน 3 และทางขวาในฐาน 1/3 เขารู้ดีว่าต้องนำฐานเหล่านี้มาให้เท่ากัน ตัวอย่างเช่น จำไว้ว่าพลังเชิงลบคืออะไร:

จากนั้นเราจะใช้เลขชี้กำลัง “−1” นอกบันทึกเป็นตัวคูณ:

โปรดทราบ: องศาที่อยู่ตรงฐานจะกลับด้านและกลายเป็นเศษส่วน เราได้สัญกรณ์ที่เกือบจะเป็นที่ยอมรับโดยการกำจัดฐานที่แตกต่างกันออกไป แต่ในทางกลับกัน เราได้ตัวประกอบ "−1" ทางด้านขวา ลองแยกปัจจัยนี้เข้าในการโต้แย้งโดยเปลี่ยนให้เป็นกำลัง:

แน่นอนว่าเมื่อได้รับรูปแบบที่เป็นที่ยอมรับแล้ว เราก็ขีดฆ่าเครื่องหมายของลอการิทึมอย่างกล้าหาญและถือเอาข้อโต้แย้ง ในเวลาเดียวกัน ฉันขอเตือนคุณว่าเมื่อยกกำลัง "−1" เศษส่วนก็จะถูกพลิกกลับ - จะได้สัดส่วน

ลองใช้คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วนแล้วคูณตามขวาง:

(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x 2 − 10x + 16 = 0

เรามีสมการกำลังสองข้างต้นอยู่ตรงหน้าเรา ดังนั้นเราจึงแก้มันโดยใช้สูตรของ Vieta:

(x − 8)(x − 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

แค่นั้นแหละ. คุณคิดว่าสมการได้รับการแก้ไขหรือไม่? เลขที่! สำหรับคำตอบดังกล่าว เราจะได้รับ 0 คะแนน เนื่องจากในสมการดั้งเดิมมีลอการิทึมสองตัวที่มีตัวแปร x ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความด้วย

และนี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก นักเรียนส่วนใหญ่สับสน: โดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึมคืออะไร? แน่นอนว่า อาร์กิวเมนต์ทั้งหมด (เรามีสองข้อ) จะต้องมากกว่าศูนย์:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

อสมการเหล่านี้แต่ละอย่างจะต้องได้รับการแก้ไข ทำเครื่องหมายไว้เป็นเส้นตรง ตัดกัน และจากนั้นจึงดูว่ารากใดอยู่ที่จุดตัด

พูดตามตรง: เทคนิคนี้มีสิทธิ์ที่จะมีอยู่ เชื่อถือได้ และคุณจะได้รับคำตอบที่ถูกต้อง แต่มีขั้นตอนที่ไม่จำเป็นมากเกินไป มาดูวิธีแก้ปัญหาของเราอีกครั้งแล้วดูว่าเราจำเป็นต้องใช้ขอบเขตตรงไหนกันแน่? กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าเมื่อใดที่มีรากเพิ่มเติมปรากฏขึ้น

เริ่มแรกเรามีลอการิทึมสองตัว จากนั้นเราย้ายอันใดอันหนึ่งไปทางขวา แต่สิ่งนี้ไม่ส่งผลกระทบต่อพื้นที่คำจำกัดความ
จากนั้นเราก็ลบกำลังออกจากฐาน แต่ยังมีลอการิทึมสองตัวและในแต่ละลอการิทึมจะมีตัวแปร x
ในที่สุด เราก็ขีดฆ่าเครื่องหมายของบันทึกแล้วได้สมการตรรกยะเศษส่วนแบบคลาสสิก

มาถึงขั้นตอนสุดท้ายที่ขยายขอบเขตคำจำกัดความ! ทันทีที่เราเปลี่ยนมาใช้สมการเศษส่วน-ตรรกยะ โดยกำจัดเครื่องหมายบันทึก ข้อกำหนดสำหรับตัวแปร x ก็เปลี่ยนไปอย่างมาก!

ดังนั้น ขอบเขตของคำจำกัดความจึงไม่สามารถพิจารณาได้ตั้งแต่ตอนเริ่มต้นของการแก้ปัญหา แต่เฉพาะในขั้นตอนที่กล่าวถึงเท่านั้น ก่อนที่จะเปรียบเทียบอาร์กิวเมนต์โดยตรง

นี่คือจุดที่โอกาสในการเพิ่มประสิทธิภาพอยู่ ในด้านหนึ่ง เราจำเป็นต้องให้อาร์กิวเมนต์ทั้งสองมีค่ามากกว่าศูนย์ ในทางกลับกัน เรายังถือเอาข้อโต้แย้งเหล่านี้เพิ่มเติมอีกด้วย ดังนั้น หากอย่างน้อยหนึ่งอันเป็นบวก อันที่สองก็จะเป็นบวกด้วย!

ปรากฎว่าการต้องบรรลุความไม่เท่าเทียมกันสองประการพร้อมกันนั้นเกินความจำเป็น ก็เพียงพอที่จะพิจารณาเศษส่วนเพียงตัวเดียวเท่านั้น อันไหนกันแน่? อันที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น ลองดูที่เศษส่วนทางขวา:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

นี่เป็นอสมการเชิงตรรกยะแบบทั่วไปที่เราแก้โดยใช้วิธีช่วงเวลา:

วางป้ายอย่างไร? ลองหาจำนวนที่มากกว่ารากทั้งหมดของเราอย่างเห็นได้ชัด. เช่น 1 พันล้าน. และเราแทนเศษส่วนของมัน. เราได้จำนวนบวกนั่นคือ ทางด้านขวาของรูท x = 5 จะมีเครื่องหมายบวก

จากนั้นสัญญาณจะสลับกัน เนื่องจากไม่มีรากของการทวีคูณแม้แต่ที่ใดก็ได้ เราสนใจช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเป็นบวก ดังนั้น x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞)

ตอนนี้ เรามาจำคำตอบกัน: x = 8 และ x = 2 พูดอย่างเคร่งครัด สิ่งเหล่านี้ยังไม่ใช่คำตอบ แต่เป็นเพียงตัวเลือกสำหรับคำตอบเท่านั้น ตัวไหนอยู่ในชุดที่ระบุ? แน่นอน x = 8 แต่ x = 2 ไม่เหมาะกับเราในแง่ของขอบเขตคำจำกัดความ

โดยรวมแล้วคำตอบของสมการลอการิทึมแรกคือ x = 8 ตอนนี้เรามีวิธีแก้ปัญหาที่มีความสามารถและมีพื้นฐานมาอย่างดี โดยคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความ

เรามาดูสมการที่สองกันดีกว่า:

ล็อก 5 (x − 9) = ล็อก 0.5 4 − ล็อก 5 (x − 5) + 3

ฉันขอเตือนคุณว่าหากมีเศษส่วนทศนิยมในสมการ คุณควรกำจัดมันออกไป กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองเขียน 0.5 ใหม่เป็นเศษส่วนร่วมกัน เราสังเกตได้ทันทีว่าลอการิทึมที่มีฐานนี้คำนวณได้ง่าย:

นี่เป็นช่วงเวลาที่สำคัญมาก! เมื่อเรามีองศาทั้งในฐานและอาร์กิวเมนต์ เราสามารถหาตัวบ่งชี้ขององศาเหล่านี้ได้โดยใช้สูตร:

กลับไปที่สมการลอการิทึมเดิมของเราแล้วเขียนใหม่:

ล็อก 5 (x − 9) = 1 − ล็อก 5 (x − 5)

เราได้รับการออกแบบที่ค่อนข้างใกล้เคียงกับรูปแบบมาตรฐาน อย่างไรก็ตาม เราสับสนกับคำศัพท์และเครื่องหมายลบทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ ลองแทนค่าหนึ่งเป็นลอการิทึมของฐาน 5:

ล็อก 5 (x − 9) = ล็อก 5 5 1 − ล็อก 5 (x − 5)

ลบลอการิทึมทางด้านขวา (ในกรณีนี้อาร์กิวเมนต์จะถูกแบ่งออก):

ล็อก 5 (x − 9) = ล็อก 5 5/(x − 5)

มหัศจรรย์. ดังนั้นเราจึงได้รูปแบบที่เป็นที่ยอมรับ! เราขีดฆ่าสัญญาณบันทึกและถือเอาข้อโต้แย้ง:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

นี่คือสัดส่วนที่แก้ได้ง่ายๆ ด้วยการคูณตามขวาง:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14x + 40 = 0

แน่นอนว่า เรามีสมการกำลังสองลดลง สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรของ Vieta:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

เรามีสองราก แต่สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่คำตอบสุดท้าย แต่เป็นเพียงคำตอบเท่านั้น เนื่องจากสมการลอการิทึมจำเป็นต้องตรวจสอบโดเมนของคำจำกัดความด้วย

ฉันเตือนคุณว่า: ไม่จำเป็นต้องค้นหาเมื่อใด ทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์จะมากกว่าศูนย์ ก็เพียงพอแล้วที่จะกำหนดให้อาร์กิวเมนต์ตัวใดตัวหนึ่ง—ทั้ง x − 9 หรือ 5/(x − 5)—มีค่ามากกว่าศูนย์ พิจารณาข้อโต้แย้งแรก:

x - 9 > 0

x > 9

แน่นอนว่ามีเพียง x = 10 เท่านั้นที่ตรงตามข้อกำหนดนี้ ปัญหาทั้งหมดได้รับการแก้ไขแล้ว

อีกครั้งหนึ่ง แนวคิดสำคัญของบทเรียนวันนี้:

ทันทีที่ตัวแปร x ปรากฏในลอการิทึมหลายตัว สมการก็เลิกเป็นสมการเบื้องต้น และจะต้องคำนวณโดเมนของคำจำกัดความ มิฉะนั้น คุณสามารถเขียนรากเพิ่มเติมในคำตอบได้อย่างง่ายดาย
การทำงานกับโดเมนนั้นอาจง่ายขึ้นอย่างมากหากเราเขียนความไม่เท่าเทียมกันไม่ใช่ในทันที แต่ในช่วงเวลาที่เรากำจัดสัญญาณบันทึกออก ท้ายที่สุด เมื่ออาร์กิวเมนต์ถูกเทียบเคียงกัน ก็เพียงพอแล้วที่จะกำหนดให้มีเพียงข้อโต้แย้งเดียวเท่านั้นที่มากกว่าศูนย์

แน่นอน เราเองก็เลือกข้อโต้แย้งที่จะใช้เพื่อสร้างความไม่เท่าเทียมกัน ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะเลือกข้อโต้แย้งที่ง่ายที่สุด ตัวอย่างเช่น ในสมการที่สอง เราเลือกอาร์กิวเมนต์ (x − 9) ซึ่งเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ซึ่งตรงข้ามกับอาร์กิวเมนต์ที่สองที่เป็นตรรกศาสตร์เศษส่วน เห็นด้วย การแก้อสมการ x − 9 > 0 นั้นง่ายกว่า 5/(x − 5) > 0 มาก แม้ว่าผลลัพธ์จะเหมือนเดิมก็ตาม

ข้อสังเกตนี้ทำให้การค้นหา ODZ ง่ายขึ้นอย่างมาก แต่ต้องระวัง: คุณสามารถใช้ความไม่เท่าเทียมกันหนึ่งรายการแทนสองได้ก็ต่อเมื่ออาร์กิวเมนต์นั้นแม่นยำ มีความเท่าเทียมกัน!

แน่นอนว่าตอนนี้คงมีคนถามว่าจะเกิดอะไรขึ้นที่แตกต่างออกไป? ใช่มันเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น ในขั้นตอนนี้ เมื่อเราคูณสองอาร์กิวเมนต์ที่มีตัวแปร อาจมีความเสี่ยงที่รากที่ไม่จำเป็นจะปรากฏขึ้น

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ขั้นแรกจำเป็นต้องให้แต่ละอาร์กิวเมนต์มีค่ามากกว่าศูนย์ แต่หลังจากการคูณก็เพียงพอแล้วที่ผลคูณของพวกมันจะมากกว่าศูนย์ เป็นผลให้เกิดกรณีที่เศษส่วนแต่ละตัวเป็นลบหายไป

ดังนั้น หากคุณเพิ่งเริ่มเข้าใจสมการลอการิทึมที่ซับซ้อน อย่าคูณลอการิทึมที่มีตัวแปร x ไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม ซึ่งมักจะทำให้ปรากฏรากเกิน เป็นการดีกว่าที่จะดำเนินการขั้นตอนพิเศษหนึ่งขั้น ย้ายคำหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่ง และสร้างแบบฟอร์มตามรูปแบบบัญญัติ

จะทำอย่างไรถ้าคุณไม่สามารถทำได้โดยไม่ต้องคูณลอการิทึม เราจะพูดถึงในบทเรียนวิดีโอหน้า :)

อีกครั้งเกี่ยวกับพลังในสมการ

วันนี้เราจะมาตรวจสอบหัวข้อที่ค่อนข้างลื่นเกี่ยวกับสมการลอการิทึม หรือถ้าให้เจาะจงกว่านั้นคือการถอดกำลังออกจากอาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึม

ฉันจะพูดด้วยซ้ำว่าเราจะพูดถึงการลบกำลังคู่ออก เพราะด้วยกำลังคู่นั้น ปัญหาส่วนใหญ่เกิดขึ้นเมื่อแก้สมการลอการิทึมจริง

เริ่มจากรูปแบบบัญญัติกันก่อน สมมติว่าเรามีสมการของรูปแบบ log a f (x) = b ในกรณีนี้ เราเขียนตัวเลข b ใหม่โดยใช้สูตร b = log a a b ปรากฎดังต่อไปนี้:

บันทึก a f (x ) = บันทึก a a b

จากนั้นเราถือเอาข้อโต้แย้ง:

ฉ (x) = ข

สูตรสุดท้ายเรียกว่ารูปแบบมาตรฐาน ด้วยเหตุนี้พวกเขาจึงพยายามลดสมการลอการิทึมใด ๆ ไม่ว่ามันจะดูซับซ้อนและน่ากลัวเพียงใดเมื่อมองแวบแรกก็ตาม

เรามาลองดูกัน เริ่มจากงานแรกกันก่อน:

หมายเหตุเบื้องต้น: อย่างที่ฉันบอกไปแล้ว เศษส่วนทศนิยมทั้งหมดในสมการลอการิทึมจะถูกแปลงเป็นเศษส่วนสามัญได้ดีกว่า:

0,5 = 5/10 = 1/2

ลองเขียนสมการของเราใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้ โปรดทราบว่าทั้ง 1/1000 และ 100 เป็นกำลังของ 10 แล้วลองเอากำลังออกไม่ว่าจะอยู่ที่ใดก็ตาม จากอาร์กิวเมนต์และแม้กระทั่งจากฐานของลอการิทึม:

และนักเรียนหลายคนมีคำถามว่า “โมดูลทางด้านขวามาจากไหน” จริงๆ แล้วทำไมไม่เขียน (x − 1) ล่ะ? แน่นอน ตอนนี้เราจะเขียน (x − 1) แต่เมื่อคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความแล้ว ทำให้เรามีสิทธิ์เขียนสิ่งนี้ได้ ท้ายที่สุดแล้ว มีลอการิทึมอื่นอยู่แล้ว (x − 1) และนิพจน์นี้ต้องมากกว่าศูนย์

แต่เมื่อเราลบกำลังสองออกจากฐานของลอการิทึม เราต้องปล่อยให้โมดูลอยู่ที่ฐานอย่างแน่นอน ให้ฉันอธิบายว่าทำไม

ความจริงก็คือ จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ การได้รับปริญญาก็เท่ากับการหยั่งราก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อเรายกกำลังสองนิพจน์ (x − 1) 2 เรากำลังหารากที่สองเป็นหลัก แต่รากที่สองนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าโมดูลัส อย่างแน่นอน โมดูลเพราะแม้ว่านิพจน์ x − 1 จะเป็นลบ แต่เมื่อยกกำลังสองแล้ว “เครื่องหมายลบ” ก็จะยังคงอยู่ การสกัดรากเพิ่มเติมจะทำให้เราได้จำนวนบวกโดยไม่มีข้อเสียใด ๆ

โดยทั่วไป เพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดที่น่ารังเกียจ โปรดจำไว้เสมอว่า:

รากของกำลังคู่ของฟังก์ชันใด ๆ ที่ถูกยกให้เป็นกำลังเดียวกันนั้นไม่เท่ากับตัวฟังก์ชันเอง แต่เป็นโมดูลัสของฟังก์ชัน:

ลองกลับไปที่สมการลอการิทึมของเรากัน เมื่อพูดถึงโมดูล ฉันแย้งว่าเราสามารถลบมันออกได้อย่างง่ายดาย นี่เป็นเรื่องจริง ตอนนี้ฉันจะอธิบายว่าทำไม พูดอย่างเคร่งครัด เราต้องพิจารณาสองทางเลือก:

x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x - 1
x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

แต่ละตัวเลือกเหล่านี้จะต้องได้รับการแก้ไข แต่มีสิ่งหนึ่งที่เข้าใจได้: สูตรดั้งเดิมมีฟังก์ชัน (x − 1) อยู่แล้วโดยไม่มีโมดูลัสใดๆ และตามขอบเขตของนิยามลอการิทึม เรามีสิทธิ์เขียน x − 1 > 0 ได้ทันที

ข้อกำหนดนี้จะต้องเป็นไปตามข้อกำหนดโดยไม่คำนึงถึงโมดูลและการเปลี่ยนแปลงอื่นๆ ที่เราทำในระหว่างกระบวนการแก้ไขปัญหา ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่จะต้องพิจารณาตัวเลือกที่สอง - มันจะไม่มีวันเกิดขึ้น แม้ว่าเราจะได้ตัวเลขมาบ้างเมื่อแก้ไขสาขาของความไม่เท่าเทียมกันนี้ แต่ก็ยังไม่รวมอยู่ในคำตอบสุดท้าย

ตอนนี้เราอยู่ห่างจากรูปแบบมาตรฐานของสมการลอการิทึมไปหนึ่งก้าวแล้ว ลองเป็นตัวแทนของหน่วยดังต่อไปนี้:

1 = บันทึก x − 1 (x − 1) 1

นอกจากนี้ เรายังแนะนำตัวประกอบ −4 ซึ่งอยู่ทางขวาเข้าสู่อาร์กิวเมนต์:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

ก่อนหน้าเราคือรูปแบบบัญญัติของสมการลอการิทึม เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึม:

10 −4 = x − 1

แต่เนื่องจากฐานเป็นฟังก์ชัน (ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ) เราจึงกำหนดให้ฟังก์ชันนี้มีค่ามากกว่าศูนย์และไม่เท่ากับหนึ่งด้วย ระบบผลลัพธ์จะเป็น:

เนื่องจากข้อกำหนด x − 1 > 0 เป็นไปตามข้อกำหนดโดยอัตโนมัติ (เพราะว่า x − 1 = 10 −4) จึงสามารถลบหนึ่งในอสมการออกจากระบบของเราได้ เงื่อนไขที่สองสามารถขีดฆ่าออกได้ เนื่องจาก x − 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0.0001 = 1.0001

นี่เป็นรากเดียวที่ตอบสนองข้อกำหนดทั้งหมดของโดเมนคำจำกัดความของลอการิทึมโดยอัตโนมัติ (อย่างไรก็ตาม ข้อกำหนดทั้งหมดถูกกำจัดออกไปตามที่เห็นได้ชัดเจนในเงื่อนไขของปัญหาของเรา)

ดังนั้นสมการที่สองคือ:

3 บันทึก 3 x x = 2 บันทึก 9 x x 2

สมการนี้แตกต่างโดยพื้นฐานจากสมการก่อนหน้าอย่างไร หากเพียงเพราะฐานของลอการิทึม - 3x และ 9x - ไม่ใช่พลังธรรมชาติของกันและกัน ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงที่เราใช้ในโซลูชันก่อนหน้านี้จึงไม่สามารถทำได้

อย่างน้อยก็กำจัดองศากันเถอะ ในกรณีของเรา ระดับเดียวอยู่ในอาร์กิวเมนต์ที่สอง:

3 บันทึก 3 x x = 2 ∙ 2 บันทึก 9 x |x |

อย่างไรก็ตาม เครื่องหมายโมดูลัสสามารถลบออกได้ เนื่องจากตัวแปร x อยู่ที่ฐานเช่นกัน กล่าวคือ x > 0 ⇒ |x| = x ลองเขียนสมการลอการิทึมของเราใหม่:

3 บันทึก 3 x x = 4 บันทึก 9 x x

เราได้รับลอการิทึมซึ่งอาร์กิวเมนต์เหมือนกัน แต่ฐานต่างกัน จะทำอย่างไรต่อไป? มีตัวเลือกมากมายที่นี่ แต่เราจะพิจารณาเพียงสองตัวเลือกเท่านั้นซึ่งสมเหตุสมผลที่สุดและที่สำคัญที่สุดคือเทคนิคเหล่านี้เป็นเทคนิคที่รวดเร็วและเข้าใจได้สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่

เราได้พิจารณาตัวเลือกแรกแล้ว: ในสถานการณ์ที่ไม่ชัดเจน ให้แปลงลอการิทึมที่มีฐานแปรผันให้เป็นฐานคงที่บางฐาน ตัวอย่างเช่นเพื่อผีสาง สูตรการเปลี่ยนแปลงนั้นง่าย:

แน่นอนว่าบทบาทของตัวแปร c ควรเป็นจำนวนปกติ: 1 ≠ c > 0 สมมุติว่าในกรณีของเรา c = 2 ตอนนี้เรามีสมการตรรกยะเศษส่วนธรรมดาตรงหน้าเราแล้ว เรารวบรวมองค์ประกอบทั้งหมดทางด้านซ้าย:

แน่นอนว่า เป็นการดีกว่าที่จะลบตัวประกอบล็อก 2 x เนื่องจากมีอยู่ในเศษส่วนตัวแรกและตัวที่สอง

บันทึก 2 x = 0;

3 บันทึก 2 9x = 4 บันทึก 2 3x

เราแบ่งแต่ละบันทึกออกเป็นสองเงื่อนไข:

บันทึก 2 9x = บันทึก 2 9 + บันทึก 2 x = 2 บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x;

บันทึก 2 3x = บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x

ให้เราเขียนความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงเหล่านี้:

3 (2 บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x ) = 4 (บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x )

6 บันทึก 2 3 + 3 บันทึก 2 x = 4 บันทึก 2 3 + 4 บันทึก 2 x

2 บันทึก 2 3 = บันทึก 2 x

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการป้อนสองภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม (มันจะกลายเป็นกำลัง: 3 2 = 9):

บันทึก 2 9 = บันทึก 2 x

ก่อนหน้าเราคือรูปแบบมาตรฐานที่ยอมรับได้ เราจะกำจัดเครื่องหมายลอการิทึมและรับ:

ตามที่คาดไว้ รูทนี้กลายเป็นมากกว่าศูนย์ ยังคงต้องตรวจสอบโดเมนของคำจำกัดความ ลองดูสาเหตุ:

แต่รูท x = 9 เป็นไปตามข้อกำหนดเหล่านี้ ดังนั้นจึงถือเป็นการตัดสินใจครั้งสุดท้าย

ข้อสรุปจากโซลูชันนี้ง่ายมาก: อย่ากลัวการคำนวณที่ยาว! เพียงว่าในตอนแรกเราเลือกฐานใหม่โดยการสุ่ม - และกระบวนการนี้ซับซ้อนอย่างมาก

แต่แล้วคำถามก็เกิดขึ้น: พื้นฐานคืออะไร เหมาะสมที่สุด- ฉันจะพูดถึงเรื่องนี้ในวิธีที่สอง

กลับไปที่สมการดั้งเดิมของเรา:

3 บันทึก 3x x = 2 บันทึก 9x x 2

3 บันทึก 3x x = 2 ∙ 2 บันทึก 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 บันทึก 3 x x = 4 บันทึก 9 x x

ทีนี้ลองคิดดูหน่อย: ตัวเลขหรือฟังก์ชันใดจะเป็นพื้นฐานที่เหมาะสมที่สุด? แน่นอนว่าตัวเลือกที่ดีที่สุดคือ c = x - สิ่งที่มีอยู่ในอาร์กิวเมนต์อยู่แล้ว ในกรณีนี้ สูตร log a b = log c b /log c a จะอยู่ในรูปแบบ:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง นิพจน์จะกลับรายการเพียงอย่างเดียว ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์และพื้นฐานจะเปลี่ยนไป

สูตรนี้มีประโยชน์มากและมักใช้ในการแก้สมการลอการิทึมที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม มีข้อผิดพลาดร้ายแรงประการหนึ่งเมื่อใช้สูตรนี้ หากเราแทนที่ตัวแปร x แทนฐาน จะมีการกำหนดข้อจำกัดที่ไม่เคยสังเกตมาก่อน:

ไม่มีข้อจำกัดดังกล่าวในสมการดั้งเดิม ดังนั้น เราควรตรวจสอบกรณีแยกกันเมื่อ x = 1 แทนค่านี้ลงในสมการของเรา:

3 บันทึก 3 1 = 4 บันทึก 9 1

เราได้รับความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง ดังนั้น x = 1 คือราก เราพบรากที่เหมือนกันทุกประการในวิธีการก่อนหน้านี้ที่จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหา

แต่ตอนนี้เมื่อเราพิจารณากรณีนี้แยกกัน เราก็ถือว่า x ≠ 1 ได้อย่างปลอดภัย จากนั้นสมการลอการิทึมของเราจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:

3 บันทึก x 9x = 4 บันทึก x 3x

เราขยายลอการิทึมทั้งสองโดยใช้สูตรเดียวกันกับเมื่อก่อน โปรดทราบว่าบันทึก x x = 1:

3 (บันทึก x 9 + บันทึก x x ) = 4 (บันทึก x 3 + บันทึก x x )

3 บันทึก x 9 + 3 = 4 บันทึก x 3 + 4

3 บันทึก x 3 2 − 4 บันทึก x 3 = 4 − 3

2 บันทึก x 3 = 1

ดังนั้นเราจึงมาถึงรูปแบบบัญญัติ:

บันทึก x 9 = บันทึก x x 1

x=9

เราได้รากที่สอง เป็นไปตามข้อกำหนด x ≠ 1 ดังนั้น x = 9 พร้อมด้วย x = 1 จึงเป็นคำตอบสุดท้าย

อย่างที่คุณเห็นปริมาณการคำนวณลดลงเล็กน้อย แต่เมื่อแก้สมการลอการิทึมจริง จำนวนขั้นตอนจะน้อยกว่ามากเนื่องจากคุณไม่จำเป็นต้องอธิบายแต่ละขั้นตอนโดยละเอียด

กฎสำคัญของบทเรียนวันนี้มีดังต่อไปนี้: หากปัญหามีดีกรีเลขคู่ ซึ่งรากของดีกรีเดียวกันถูกแยกออกมา ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นโมดูลัส อย่างไรก็ตาม โมดูลนี้สามารถลบออกได้หากคุณใส่ใจกับโดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึม

แต่ระวัง: หลังจากบทเรียนนี้ นักเรียนส่วนใหญ่คิดว่าตนเข้าใจทุกอย่างแล้ว แต่เมื่อแก้ไขปัญหาจริง พวกเขาไม่สามารถสร้างสายโซ่ลอจิคัลทั้งหมดได้ เป็นผลให้สมการได้มาซึ่งรากที่ไม่จำเป็นและคำตอบกลับกลายเป็นว่าไม่ถูกต้อง

ตัวอย่าง:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

วิธีแก้สมการลอการิทึม:

เมื่อแก้สมการลอการิทึม คุณควรพยายามแปลงมันให้อยู่ในรูปแบบ \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) จากนั้นจึงเปลี่ยนเป็น \(f(x) )=ก(x) \)

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\)

ตัวอย่าง:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

สารละลาย:
\(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\)
\(x-2=8\)
\(x=10\)
การตรวจสอบ:\(10>2\) - เหมาะสำหรับ DL
คำตอบ:\(x=10\)

ODZ:
\(x-2>0\)
\(x>2\)

สำคัญมาก!การเปลี่ยนแปลงนี้สามารถทำได้เฉพาะในกรณีที่:

คุณได้เขียนสมการดั้งเดิมแล้ว และในตอนท้าย คุณจะตรวจสอบว่าสมการที่พบรวมอยู่ใน DL หรือไม่ หากยังไม่เสร็จสิ้น รากเพิ่มเติมอาจปรากฏขึ้น ซึ่งหมายถึงการตัดสินใจที่ผิด

ตัวเลข (หรือสำนวน) ด้านซ้ายและขวาเหมือนกัน

ลอการิทึมทางซ้ายและขวาเป็น "บริสุทธิ์" นั่นคือไม่ควรมีการคูณการหาร ฯลฯ – ลอการิทึมเดียวเท่านั้นที่ด้านใดด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ

ตัวอย่างเช่น:

โปรดทราบว่าสมการที่ 3 และ 4 สามารถแก้ได้อย่างง่ายดายโดยใช้คุณสมบัติที่จำเป็นของลอการิทึม

ตัวอย่าง - แก้สมการ \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

สารละลาย :

		มาเขียน ODZ: \(x>0\)
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		ทางซ้ายหน้าลอการิทึมคือค่าสัมประสิทธิ์ ส่วนทางขวาคือผลรวมของลอการิทึม สิ่งนี้รบกวนจิตใจเรา ลองย้ายทั้งสองไปที่เลขชี้กำลัง \(x\) ตามคุณสมบัติ: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\) ให้เราแสดงผลรวมของลอการิทึมเป็นลอการิทึมเดียวตามคุณสมบัติ: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		เราลดสมการลงเป็นรูปแบบ \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) และจด ODZ ไว้ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถย้ายไปยังรูปแบบ \(f(x) ได้ =ก(x)\ ).
		มันได้ผล เราแก้ไขมันและรับราก
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		เราตรวจสอบว่ารูทนั้นเหมาะสมกับ ODZ หรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ใน \(x>0\) แทนที่จะเป็น \(x\) เราจะแทนที่ \(5\) และ \(-5\) การดำเนินการนี้สามารถทำได้ด้วยวาจา
\(5>0\), \(-5>0\)		ความไม่เท่าเทียมกันประการแรกเป็นจริง ประการที่สองไม่เป็นเช่นนั้น ซึ่งหมายความว่า \(5\) เป็นรากของสมการ แต่ \(-5\) ไม่ใช่ เราเขียนคำตอบ

คำตอบ : \(5\)

ตัวอย่าง : แก้สมการ \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

สารละลาย :

		มาเขียน ODZ: \(x>0\)
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		สมการทั่วไปแก้ได้โดยใช้ . แทนที่ \(\log_2⁡x\) ด้วย \(t\)
\(t=\log_2⁡x\)
		เราก็ได้แบบปกติ เรากำลังมองหารากของมัน
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		ทำการทดแทนแบบย้อนกลับ
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		เราแปลงทางด้านขวามือ โดยแสดงเป็นลอการิทึม: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) และ \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		ตอนนี้สมการของเราคือ \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) และเราสามารถเปลี่ยนเป็น \(f(x)=g(x)\)
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		เราตรวจสอบความสอดคล้องของรากของ ODZ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ \(4\) และ \(2\) ลงในความไม่เท่าเทียมกัน \(x>0\) แทน \(x\)
\(4>0\) \(2>0\)		ความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองเป็นจริง ซึ่งหมายความว่าทั้ง \(4\) และ \(2\) เป็นรากของสมการ

คำตอบ : \(4\); \(2\).

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อแจ้งข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้นได้ไม่ซ้ำใคร
ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง