วิธีการคำนวณอินทิกรัลไม่ จำกัด อินทิกรัลไม่ จำกัด

กระบวนการแก้ปริพันธ์ในวิทยาศาสตร์ที่เรียกว่าคณิตศาสตร์เรียกว่าปริพันธ์ การใช้บูรณาการเราสามารถค้นหาบางอย่างได้ ปริมาณทางกายภาพ: พื้นที่ ปริมาตร มวลของวัตถุ และอื่นๆ อีกมากมาย

ปริพันธ์สามารถไม่มีกำหนดหรือแน่นอนได้ ลองพิจารณารูปแบบของอินทิกรัลจำกัดเขตแล้วลองทำความเข้าใจดู ความหมายทางกายภาพ- แสดงในรูปแบบนี้: $$ \int ^a _b f(x) dx $$ คุณสมบัติที่โดดเด่นการเขียนอินทิกรัลจำกัดเขตของอินทิกรัลไม่ จำกัด คือปริพันธ์ของ a และ b มีขีดจำกัด ตอนนี้เรามาดูกันว่าเหตุใดจึงมีความจำเป็น และความหมายที่แท้จริงคืออะไร อินทิกรัลที่แน่นอน- ใน ความรู้สึกทางเรขาคณิตอินทิกรัลเช่นนั้น เท่ากับพื้นที่รูปทรงที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง f(x) เส้น a และ b และแกน Ox

จากรูปที่ 1 เห็นได้ชัดว่าอินทิกรัลจำกัดเขตคือพื้นที่เดียวกันกับที่แรเงา สีเทา- ลองตรวจสอบสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างง่ายๆ ลองหาพื้นที่ของรูปในภาพด้านล่างโดยใช้อินทิเกรตแล้วคำนวณด้วยวิธีปกติในการคูณความยาวด้วยความกว้าง

จากรูปที่ 2 เห็นได้ชัดว่า $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $ ตอนนี้เราแทนมันเข้าไปในนิยามของอินทิกรัล เราจะได้ $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ เรามาตรวจสอบด้วยวิธีปกติกัน ในกรณีของเรา ความยาว = 3 ความกว้างของรูป = 1 $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ เท่าที่คุณสามารถทำได้ เห็นไหม ทุกอย่างลงตัวพอดี

คำถามเกิดขึ้น: จะแก้อินทิกรัลไม่ จำกัด ได้อย่างไรและความหมายของมันคืออะไร? การแก้อินทิกรัลดังกล่าวคือการค้นหาฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ กระบวนการนี้ ตรงกันข้ามกับการเป็นอนุพันธ์ ในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ คุณสามารถใช้ความช่วยเหลือของเราในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ หรือคุณต้องจำคุณสมบัติของปริพันธ์และตารางปริพันธ์ที่ง่ายที่สุดอย่างอิสระ ฟังก์ชั่นเบื้องต้น- เมื่อพบว่า $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(where) F(x) $ เป็นแอนติเดริเวทีฟของ $ f(x), C = const $

ในการแก้อินทิกรัล คุณต้องรวมฟังก์ชัน $ f(x) $ เข้ากับตัวแปร หากฟังก์ชันเป็นแบบตาราง คำตอบก็จะเขียนอยู่ในรูปแบบที่เหมาะสม ถ้าไม่เช่นนั้นกระบวนการก็ลงมาสู่การได้รับ ฟังก์ชั่นตารางจากฟังก์ชัน $ f(x) $ ผ่านการแปลงทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน สำหรับสิ่งนี้ก็มี วิธีการต่างๆและคุณสมบัติที่เราจะพิจารณาต่อไป

ตอนนี้เรามาสร้างอัลกอริธึมสำหรับการแก้อินทิกรัลสำหรับหุ่นจำลองกันดีกว่า

อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณอินทิกรัล

1. ลองหาอินทิกรัลจำกัดเขตหรือไม่
2. หากไม่ได้กำหนดคุณจะต้องค้นหา ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์$ F(x) $ จากปริพันธ์ $ f(x) $ โดยใช้การแปลงทางคณิตศาสตร์ที่นำไปสู่รูปแบบตารางของฟังก์ชัน $ f(x) $
3. หากกำหนดไว้ คุณจะต้องดำเนินการขั้นตอนที่ 2 จากนั้นแทนที่ขีดจำกัด $ a $ และ $ b $ ลงในฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ $ F(x) $ คุณจะพบสูตรที่ต้องทำในบทความ "สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ"

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ดังนั้น คุณได้เรียนรู้วิธีแก้อินทิกรัลสำหรับหุ่นจำลองแล้ว ตัวอย่างของการแก้อินทิกรัลได้ถูกแยกออกแล้ว เราเรียนรู้ความหมายทางกายภาพและเรขาคณิตของพวกเขา วิธีการแก้ปัญหาจะอธิบายไว้ในบทความอื่น ๆ

เมื่อก่อนเรา ฟังก์ชันที่กำหนดนำโดย สูตรต่างๆและกฎเกณฑ์ก็พบอนุพันธ์ของมัน อนุพันธ์มีประโยชน์หลายอย่าง: เป็นความเร็วของการเคลื่อนที่ (หรือโดยทั่วไปคือความเร็วของกระบวนการใด ๆ ); ความลาดชันแทนกราฟของฟังก์ชัน เมื่อใช้อนุพันธ์คุณสามารถตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซากจำเจและสุดขั้วได้ มันช่วยแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ

แต่พร้อมกับปัญหาการหาความเร็วตามกฎการเคลื่อนที่ที่รู้จักก็มีเช่นกัน ปัญหาผกผัน- ปัญหาการฟื้นฟูกฎการเคลื่อนที่จากความเร็วที่ทราบ ลองพิจารณาหนึ่งในปัญหาเหล่านี้

ตัวอย่างที่ 1จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ความเร็วของการเคลื่อนที่ ณ เวลา t จะได้จากสูตร v=gt ค้นหากฎการเคลื่อนที่
สารละลาย. ให้ s = s(t) เป็นกฎการเคลื่อนที่ที่ต้องการ เป็นที่ทราบกันว่า s"(t) = v(t) ซึ่งหมายความว่าในการแก้ปัญหาคุณต้องเลือกฟังก์ชัน s = s(t) ซึ่งเป็นอนุพันธ์ซึ่งเท่ากับ gt การเดาได้ไม่ยาก นั่น \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\)
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
คำตอบ: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

ให้เราทราบทันทีว่าตัวอย่างได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง แต่ไม่สมบูรณ์ เราได้ \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) ที่จริงแล้ว ปัญหามีวิธีแก้ไขมากมายนับไม่ถ้วน: ฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\) โดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามใจชอบ สามารถใช้เป็นกฎของ การเคลื่อนที่ เนื่องจาก \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

เพื่อให้ปัญหาเจาะจงมากขึ้น เราจำเป็นต้องแก้ไขสถานการณ์เริ่มต้น: ระบุพิกัดของจุดที่เคลื่อนที่ ณ จุดใดจุดหนึ่ง เช่น ที่ t = 0 ถ้า พูดว่า s(0) = s 0 แล้วจาก ความเท่าเทียมกัน s(t) = (gt 2)/2 + C เราได้: s(0) = 0 + C เช่น C = s 0 ตอนนี้กฎการเคลื่อนที่ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ: s(t) = (gt 2)/2 + s 0

ในทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการกลับกันถูกกำหนดไว้ ชื่อที่แตกต่างกันสร้างสัญลักษณ์พิเศษ เช่น กำลังสอง (x 2) และการหารากที่สอง (\(\sqrt(x)\)) ไซน์ (sin x) และอาร์คไซน์ (อาร์คซิน x) เป็นต้น กระบวนการค้นหา อนุพันธ์เกี่ยวกับฟังก์ชันที่กำหนดเรียกว่า ความแตกต่างและการดำเนินการผกผัน เช่น กระบวนการค้นหาฟังก์ชันจากอนุพันธ์ที่กำหนด ก็คือ บูรณาการ.

คำว่า "อนุพันธ์" นั้นสามารถอ้างเหตุผลได้ "ในชีวิตประจำวัน": ฟังก์ชัน y = f(x) "สร้าง" คุณลักษณะใหม่ย" = ฉ"(x) ฟังก์ชัน y = f(x) ทำหน้าที่เป็น "ผู้ปกครอง" แต่นักคณิตศาสตร์ไม่เรียกมันว่า "ผู้ปกครอง" หรือ "ผู้ผลิต" โดยธรรมชาติแล้ว พวกเขาบอกว่าฟังก์ชันนี้สัมพันธ์กับฟังก์ชัน y" = f"( x) รูปภาพหลัก หรือดั้งเดิม

คำนิยาม.ฟังก์ชัน y = F(x) เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ในช่วง X ถ้าความเท่าเทียมกัน F"(x) = f(x) คงไว้สำหรับ \(x \in X\)

ในทางปฏิบัติ โดยทั่วไปแล้วช่วง X จะไม่ถูกระบุ แต่เป็นการบอกเป็นนัย (เป็นโดเมนธรรมชาติของคำจำกัดความของฟังก์ชัน)

ลองยกตัวอย่าง
1) ฟังก์ชัน y = x 2 เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = 2x เนื่องจากสำหรับ x ใดๆ ความเท่าเทียมกัน (x 2)" = 2x เป็นจริง
2) ฟังก์ชัน y = x 3 เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = 3x 2 เนื่องจากสำหรับ x ใดๆ ความเท่าเทียมกัน (x 3)" = 3x 2 เป็นจริง
3) ฟังก์ชัน y = sin(x) เป็นฟังก์ชันต้านอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = cos(x) เนื่องจากสำหรับ x ใดๆ ความเท่าเทียมกัน (sin(x))" = cos(x) เป็นจริง

เมื่อค้นหาแอนติเดริเวทีฟรวมถึงอนุพันธ์ ไม่เพียงแต่จะใช้สูตรเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกฎบางอย่างด้วย เกี่ยวข้องโดยตรงกับกฎที่เกี่ยวข้องในการคำนวณอนุพันธ์

เรารู้ว่าอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของมัน กฎนี้สร้างกฎที่สอดคล้องกันสำหรับการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

กฎข้อที่ 1แอนติเดริเวทีฟของผลรวมเท่ากับผลรวมของแอนติเดริเวทีฟ

เรารู้ว่า ปัจจัยคงที่สามารถเอาออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้ กฎนี้สร้างกฎที่สอดคล้องกันสำหรับการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

กฎข้อที่ 2ถ้า F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ f(x) ดังนั้น kF(x) จะเป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ kf(x)

ทฤษฎีบท 1ถ้า y = F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = f(x) แล้วแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = f(kx + m) จะเป็นฟังก์ชัน \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

ทฤษฎีบท 2ถ้า y = F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) บนช่วง X แล้วฟังก์ชัน y = f(x) จะมีแอนติเดริเวทีฟจำนวนอนันต์ และพวกมันทั้งหมดจะมีรูปแบบ y = F(x) + ซี

วิธีการบูรณาการ

วิธีการแทนที่ตัวแปร (วิธีการทดแทน)

วิธีการอินทิเกรตโดยการแทนที่เกี่ยวข้องกับการแนะนำตัวแปรอินทิเกรตใหม่ (นั่นคือ การแทนที่) ในกรณีนี้ อินทิกรัลที่กำหนดจะลดลงเป็นอินทิกรัลใหม่ ซึ่งเป็นแบบตารางหรือแบบลดได้ วิธีการทั่วไปไม่มีการเลือกการทดแทน ความสามารถในการกำหนดการเปลี่ยนตัวได้อย่างถูกต้องนั้นได้มาจากการฝึกฝน
ปล่อยให้จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัล \(\textstyle \int F(x)dx \) มาทำการแทนค่า \(x= \varphi(t) \) โดยที่ \(\varphi(t) \) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ต่อเนื่องกัน
จากนั้น \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) และขึ้นอยู่กับคุณสมบัติไม่แปรเปลี่ยนของสูตรอินทิกรัลสำหรับอินทิกรัลไม่จำกัด เราจะได้สูตรอินทิกรัลโดยการแทนที่:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

การรวมนิพจน์ในรูปแบบ \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

ถ้า m เป็นเลขคี่ m > 0 จะสะดวกกว่าถ้าจะใช้แทน sin x = t
ถ้า n เป็นเลขคี่ n > 0 จะสะดวกกว่าถ้าจะใช้แทน cos x = t
ถ้า n และ m เป็นเลขคู่ จะสะดวกกว่าถ้าจะใช้แทน tg x = t

บูรณาการตามส่วนต่างๆ

บูรณาการตามส่วนต่างๆ - ใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อบูรณาการ:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
หรือ:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

ตารางอินทิกรัลไม่ จำกัด (แอนติเดริเวทีฟ) ของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +ค \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(อาร์คซิน) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

การค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัด (ชุดของแอนติเดริเวทีฟหรือ "แอนติเดริเวทีฟ") หมายถึงการสร้างฟังก์ชันขึ้นใหม่จากอนุพันธ์ที่ทราบของฟังก์ชันนี้ ชุดแอนติเดริเวทีฟที่ถูกเรียกคืน เอฟ(x) + กับ สำหรับฟังก์ชั่น ฉ(x) คำนึงถึงค่าคงที่การรวมเข้าด้วย ค- ตามความเร็วของการเคลื่อนไหว จุดวัสดุ(อนุพันธ์) กฎการเคลื่อนที่ของจุดนี้ (สารต้านอนุพันธ์) สามารถเรียกคืนได้ ตามความเร่งของการเคลื่อนที่ของจุด - ความเร็วและกฎการเคลื่อนที่ อย่างที่คุณเห็น การบูรณาการเป็นพื้นที่กว้างสำหรับกิจกรรมของฟิสิกส์ของเชอร์ล็อก โฮล์มส์ และในทางเศรษฐศาสตร์ แนวคิดมากมายถูกนำเสนอผ่านฟังก์ชันและอนุพันธ์ ดังนั้น ตัวอย่างเช่น คุณสามารถเรียกคืนปริมาณของผลิตภัณฑ์ที่ผลิตในเวลาที่สอดคล้องกันโดยใช้ผลิตภาพแรงงาน ณ จุดหนึ่งของเวลา (อนุพันธ์)

การค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัดต้องใช้สูตรอินทิกรัลพื้นฐานจำนวนไม่มาก แต่กระบวนการค้นหานั้นยากกว่าการใช้สูตรเหล่านี้เพียงอย่างเดียว ความซับซ้อนทั้งหมดไม่ได้เกี่ยวข้องกับการอินทิเกรต แต่เป็นการนำนิพจน์อินทิเกรตมาสู่รูปแบบที่ทำให้สามารถค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัดโดยใช้สูตรพื้นฐานที่กล่าวมาข้างต้น ซึ่งหมายความว่าเพื่อเริ่มต้นการฝึกบูรณาการ คุณจะต้องเปิดใช้งานสิ่งที่คุณได้รับมา โรงเรียนมัธยมปลายทักษะการเปลี่ยนแปลงการแสดงออก

เราจะเรียนรู้การหาอินทิกรัลโดยใช้ คุณสมบัติและตารางอินทิกรัลไม่ จำกัดจากบทเรียนเกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานของหัวข้อนี้ (เปิดในหน้าต่างใหม่)

มีหลายวิธีในการค้นหาอินทิกรัล วิธีการแทนที่ตัวแปรและ การบูรณาการโดยวิธีส่วนต่างๆ- ชุดสุภาพบุรุษบังคับสำหรับทุกคนที่สอบผ่านคณิตศาสตร์ระดับสูงได้สำเร็จ อย่างไรก็ตาม จะเป็นประโยชน์และน่าสนุกกว่าที่จะเริ่มเชี่ยวชาญการอินทิเกรตโดยใช้วิธีการขยาย โดยอิงตามทฤษฎีบทสองข้อต่อไปนี้เกี่ยวกับคุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด ซึ่งเราจะทำซ้ำที่นี่เพื่อความสะดวก

ทฤษฎีบท 3ตัวประกอบคงที่ในปริพันธ์สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลไม่ จำกัด ได้เช่น

ทฤษฎีบท 4อินทิกรัลไม่จำกัดของผลรวมพีชคณิต จำนวนจำกัดฟังก์ชั่นจะเท่ากัน ผลรวมพีชคณิตอินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่น

(2)

นอกจากนี้ กฎต่อไปนี้อาจมีประโยชน์ในการอินทิเกรต: หากการแสดงออกของปริพันธ์มีตัวประกอบคงที่ การแสดงออกของแอนติเดริเวทีฟจะถูกคูณด้วยค่าผกผันของตัวประกอบคงที่ นั่นคือ

(3)

เนื่องจากบทเรียนนี้เป็นบทเรียนเบื้องต้นในการแก้ปัญหาบูรณาการ จึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบสองสิ่งที่มีอยู่แล้ว ระยะเริ่มแรกหรือหลังจากนั้นเล็กน้อยพวกเขาอาจทำให้คุณประหลาดใจ สิ่งที่น่าประหลาดใจก็คือการที่อินทิเกรตเป็นการดำเนินการผกผันของการหาอนุพันธ์ และอินทิกรัลไม่แน่นอนสามารถถูกเรียกว่า "แอนติเดริเวทีฟ" ได้อย่างถูกต้อง

สิ่งแรกที่คุณไม่ควรแปลกใจเมื่อทำการบูรณาการในตารางอินทิกรัล มีสูตรที่ไม่มีความคล้ายคลึงระหว่างสูตรตารางอนุพันธ์ - นี้ สูตรต่อไปนี้:

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถมั่นใจได้ว่าอนุพันธ์ของนิพจน์ทางด้านขวาของสูตรเหล่านี้ตรงกับปริพันธ์ที่สอดคล้องกัน

สิ่งที่สองที่ไม่น่าแปลกใจเมื่อบูรณาการ- แม้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานใดๆ ก็เป็นฟังก์ชันพื้นฐานเช่นกัน อินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันพื้นฐานบางฟังก์ชันจะไม่ใช่ฟังก์ชันพื้นฐานอีกต่อไป - ตัวอย่างของอินทิกรัลดังกล่าวอาจเป็นดังต่อไปนี้:

ในการพัฒนาเทคนิคการรวมกลุ่ม ทักษะต่อไปนี้จะมีประโยชน์: การลดเศษส่วน การหารพหุนามในตัวเศษของเศษส่วนด้วยเอกพจน์ในตัวส่วน (เพื่อให้ได้ผลรวมของปริพันธ์ไม่จำกัด) การแปลงรากเป็นกำลัง การคูณเอกพจน์ด้วย a พหุนาม การยกกำลัง ทักษะเหล่านี้จำเป็นสำหรับการแปลงปริพันธ์ ซึ่งจะส่งผลให้ผลรวมของปริพันธ์ที่มีอยู่ในตารางปริพันธ์

การหาอินทิกรัลไม่ จำกัด เข้าด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

.

สารละลาย. เราเห็นพหุนามในตัวส่วนของปริพันธ์โดยที่ x กำลังสอง นี่เป็นสัญญาณที่เกือบจะแน่ใจว่าคุณสามารถใช้อินทิกรัลของตาราง 21 ได้ (โดยมีผลลัพธ์เป็นอาร์กแทนเจนต์) เรานำตัวประกอบที่สองออกจากตัวส่วน (มีคุณสมบัติดังกล่าวของอินทิกรัล - ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกไปนอกเครื่องหมายของอินทิกรัลได้ ซึ่งกล่าวไว้ข้างต้นเป็นทฤษฎีบท 3) ผลลัพธ์ทั้งหมดนี้:

ตอนนี้ตัวส่วนคือผลรวมของกำลังสอง ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้อินทิกรัลของตารางที่กล่าวถึงได้ ในที่สุดเราก็ได้คำตอบ:

.

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

สารละลาย. เราใช้ทฤษฎีบท 3 อีกครั้ง - คุณสมบัติของอินทิกรัลโดยขึ้นอยู่กับปัจจัยคงที่ที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลได้:

เราใช้สูตร 7 จากตารางปริพันธ์ (ตัวแปรตามกำลัง) กับฟังก์ชันปริพันธ์:

.

เราลดเศษส่วนผลลัพธ์และได้คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

สารละลาย. เมื่อใช้ทฤษฎีบท 4 แรกและทฤษฎีบท 3 กับคุณสมบัติ เราจะพบว่าอินทิกรัลนี้เป็นผลรวมของอินทิกรัล 3 ตัว:

อินทิกรัลที่ได้รับทั้งสามแบบเป็นตาราง เราใช้สูตร (7) จากตารางอินทิกรัลสำหรับ n = 1/2, n= 2 และ n= 1/5 แล้ว

รวมค่าคงที่ตามอำเภอใจทั้งสามค่าที่นำมาใช้เมื่อค้นหาอินทิกรัลทั้งสาม ดังนั้นในสถานการณ์ที่คล้ายคลึงกัน ควรแนะนำค่าคงที่การรวมตามอำเภอใจเพียงค่าเดียวเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

สารละลาย. เมื่อตัวส่วนของจำนวนเต็มมีเอกพจน์ เราสามารถหารตัวเศษด้วยเทอมของตัวส่วนทีละเทอม อินทิกรัลดั้งเดิมกลายเป็นผลรวมของอินทิกรัลสองตัว:

.

ในการใช้อินทิกรัลของตาราง เราจะแปลงรากเป็นกำลัง และนี่คือคำตอบสุดท้าย:

เรายังคงค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 7ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

สารละลาย. หากเราแปลงปริพันธ์โดยการยกกำลังสองทวินามแล้วหารตัวเศษด้วยตัวส่วนแล้วอินทิกรัลดั้งเดิมจะกลายเป็นผลรวมของปริพันธ์สามตัว

มีการทบทวนวิธีการคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัด วิธีหลักในการอินทิเกรตได้รับการพิจารณา ซึ่งรวมถึงการอินทิเกรตผลรวมและผลต่าง การวางค่าคงที่ไว้นอกเครื่องหมายอินทิกรัล การแทนที่ตัวแปร และการอินทิเกรตด้วยส่วนต่างๆ ก็ถือว่าเช่นกัน วิธีการพิเศษและเทคนิคการปริพันธ์เศษส่วน ราก ตรีโกณมิติ และ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง.

แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่ จำกัด

แอนติเดริเวทีฟ F(x) ของฟังก์ชัน f(x) คือฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์เท่ากับ f(x):
F′(x) = ฉ(x), x ∈ Δ,
ที่ไหน Δ - ระยะเวลาที่ทำการดำเนินการ สมการที่กำหนด.

เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดเรียกว่าอินทิกรัลไม่จำกัด:
,
โดยที่ C เป็นค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นอยู่กับตัวแปร x

สูตรพื้นฐานและวิธีการบูรณาการ

ตารางปริพันธ์

เป้าหมายสูงสุดการคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัด - โดยการแปลง ลดอินทิกรัลที่กำหนดให้กับนิพจน์ที่มีอินทิกรัลที่ง่ายที่สุดหรือแบบตาราง
ดูตารางอินทิกรัล >>>

กฎสำหรับการรวมผลรวม (ผลต่าง)

การย้ายค่าคงที่ไปนอกเครื่องหมายอินทิกรัล

ให้ c เป็นค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นอยู่กับ x

จากนั้นจึงนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้:

การแทนที่ตัวแปร
.
ให้ x เป็นฟังก์ชันของตัวแปร t, x = φ(t) จากนั้น
.

หรือในทางกลับกัน t = φ(x) ,

เมื่อใช้การเปลี่ยนแปลงตัวแปร คุณไม่เพียงแต่สามารถคำนวณอินทิกรัลแบบง่ายเท่านั้น แต่ยังทำให้การคำนวณอินทิกรัลที่ซับซ้อนมากขึ้นง่ายขึ้นอีกด้วย

บูรณาการตามกฎส่วน

การอินทิเกรตของเศษส่วน (ฟังก์ชันตรรกยะ)

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ ให้ P k (x), Q m (x), R n (x) แทนพหุนามขององศา k, m, n ตามลำดับ เทียบกับตัวแปร x ให้เราพิจารณาอินทิกรัลที่ประกอบด้วยเศษส่วนของพหุนาม (ที่เรียกว่า):

ฟังก์ชันตรรกยะ
.
ถ้า k ≥ n คุณต้องเลือกเศษส่วนทั้งหมดก่อน:

อินทิกรัลของพหุนาม S k-n (x) คำนวณโดยใช้ตารางอินทิกรัล
อินทิกรัลยังคงอยู่:< n .
ที่ไหน ม

ในการคำนวณปริพันธ์จะต้องถูกแยกย่อยเป็นเศษส่วนอย่างง่าย
ในการทำเช่นนี้คุณต้องค้นหารากของสมการ:
เมื่อใช้รากที่ได้รับ คุณจะต้องแสดงตัวส่วนเป็นผลคูณของปัจจัย:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) ng ....
โดยที่ s คือสัมประสิทธิ์สำหรับ x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

หลังจากนั้น ให้แบ่งเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด:

เมื่อรวมเข้าด้วยกัน เราได้รับนิพจน์ที่ประกอบด้วยมากกว่านั้น อินทิกรัลง่ายๆ.
ปริพันธ์ของแบบฟอร์ม

ลดลงเป็นการทดแทนแบบตาราง t = x - a

พิจารณาอินทิกรัล:

มาแปลงตัวเศษกัน:
.
เมื่อแทนค่า integrand เราจะได้นิพจน์ที่มีอินทิกรัล 2 ตัว:
,
.
อันแรกโดยการแทนที่ t = x 2 + ex + f จะลดลงเหลือแบบตาราง
ประการที่สอง ตามสูตรการลด:

ลดลงจนเหลืออินทิกรัล

ลองลดตัวส่วนให้เป็นผลรวมของกำลังสอง:
.
จากนั้นโดยการแทนที่อินทิกรัล

ถูกทำเป็นตารางด้วย

บูรณาการของฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ ให้ R(u 1, u 2, ..., u n) หมายถึงฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปร u 1, u 2, ..., u n
,
นั่นก็คือ

โดยที่ P, Q เป็นพหุนามในตัวแปร u 1, u 2, ..., u n

ความไร้เหตุผลเชิงเส้นแบบเศษส่วน
,
พิจารณาอินทิกรัลของแบบฟอร์ม: ที่ไหน -จำนวนตรรกยะ
, ม. 1 , n 1 , ..., ม. , n s - จำนวนเต็ม ให้ n -ตัวส่วนร่วม
ตัวเลข r 1, ..., rs
.

จากนั้นอินทิกรัลจะลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะโดยการทดแทน:

พิจารณาอินทิกรัล:
,
อินทิกรัลจากอนุพันธ์ทวินาม โดยที่ m, n, p เป็นจำนวนตรรกยะ, a, b -.
ตัวเลขจริง

อินทิกรัลดังกล่าวลดอินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะในสามกรณี
1) ถ้า p เป็นจำนวนเต็ม การทดแทน x = t N โดยที่ N เป็นตัวส่วนร่วมของเศษส่วน m และ n
2) ถ้า - จำนวนเต็ม การแทนที่ a xn + b = t M โดยที่ M เป็นตัวส่วนของจำนวน p

3) ถ้า - จำนวนเต็ม การทดแทน a + b x - n = t M โดยที่ M เป็นตัวส่วนของจำนวน p

หากไม่มีตัวเลขใดในสามจำนวนนี้เป็นจำนวนเต็ม ตามทฤษฎีบทของเชบีเชฟ ปริพันธ์ประเภทนี้ไม่สามารถแสดงได้ด้วยผลรวมอันจำกัดของฟังก์ชันพื้นฐาน
;
.

ในบางกรณี จะมีประโยชน์ก่อนในการลดค่าอินทิกรัลให้เป็นค่า m และ p ที่สะดวกยิ่งขึ้น

สามารถทำได้โดยใช้สูตรการลด:
,

ปริพันธ์ที่มีรากที่สองของตรีโกณมิติกำลังสอง

ที่นี่เราพิจารณาอินทิกรัลของแบบฟอร์ม:
การเปลี่ยนตัวออยเลอร์
อินทิกรัลดังกล่าวสามารถลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะของการแทนที่ออยเลอร์หนึ่งในสามตัว:
, สำหรับ > 0; , สำหรับค > 0 ;.

โดยที่ x 1 คือรากของสมการ a x 2 + b x + c = 0

ถ้าสมการนี้มี

ในกรณีส่วนใหญ่ การแทนที่ออยเลอร์จะทำให้การคำนวณยาวนานกว่าวิธีโดยตรง เมื่อใช้วิธีการโดยตรง อินทิกรัลจะลดลงเหลือรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งที่แสดงด้านล่าง

ประเภทที่ 1

ส่วนประกอบของแบบฟอร์ม:
,
โดยที่ P n (x) คือพหุนามของดีกรี n

อินทิกรัลดังกล่าวหาได้จากวิธีการ ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนโดยใช้ข้อมูลระบุตัวตน:

การแยกสมการนี้และการทำให้ด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากัน เราจะพบสัมประสิทธิ์ A i

ประเภทที่สอง

ส่วนประกอบของแบบฟอร์ม:
,
โดยที่ P m (x) คือพหุนามของดีกรี m

การทดแทน เสื้อ = (x - α) -1อินทิกรัลนี้ลดลงเป็นประเภทก่อนหน้า ถ้า m ≥ n แสดงว่าเศษส่วนควรมีส่วนจำนวนเต็ม

ประเภทที่สาม

ประเภทที่สามและซับซ้อนที่สุด:
.

ที่นี่คุณต้องทำการทดแทน:
.
หลังจากนั้นอินทิกรัลจะอยู่ในรูปแบบ:
.
ถัดไปต้องเลือกค่าคงที่α, βเพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ t กลายเป็นศูนย์:
ข = 0, ข 1 = 0
จากนั้นอินทิกรัลจะสลายตัวเป็นผลรวมของอินทิกรัลสองประเภท:
;
,
ซึ่งถูกบูรณาการตามลำดับโดยการแทนที่:
z 2 = A 1 เสื้อ 2 + C 1 ;
y 2 = A 1 + C 1 เสื้อ -2 .

กรณีทั่วไป

บูรณาการของฟังก์ชันเหนือธรรมชาติ (ตรีโกณมิติและเลขชี้กำลัง)

ให้เราทราบล่วงหน้าว่าวิธีการเหล่านั้นใช้ได้กับ ฟังก์ชันตรีโกณมิติใช้ได้กับ ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก- ด้วยเหตุนี้ เราจะไม่พิจารณาการรวมฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกแยกกัน

การบูรณาการฟังก์ชันตรีโกณมิติเชิงตรรกยะของ cos x และ sin x

ลองพิจารณาอินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติของแบบฟอร์ม:
,
โดยที่ R คือฟังก์ชันตรรกยะ ซึ่งอาจรวมถึงแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ด้วย ซึ่งควรแปลงโดยใช้ไซน์และโคไซน์

เมื่อรวมฟังก์ชันดังกล่าว จะมีประโยชน์ที่จะคำนึงถึงกฎสามข้อ:
1) ถ้า R( เพราะ x, บาป x)คูณด้วย -1 จากเครื่องหมายที่เปลี่ยนก่อนปริมาณหนึ่ง เพราะ xหรือ บาป xถ้าอย่างนั้นก็มีประโยชน์ที่จะแทนอีกอันด้วย t
2) ถ้า R( เพราะ x, บาป x)ไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากมีการเปลี่ยนแปลงป้ายในเวลาเดียวกันมาก่อน เพราะ xและ บาป xแล้วมันมีประโยชน์ที่จะใส่ ทีจี x = เสื้อหรือ เปล x = เสื้อ.
3) การทดแทนในทุกกรณีจะนำไปสู่การอินทิกรัลของ เศษส่วนตรรกยะ- น่าเสียดายที่การทดแทนนี้ส่งผลให้มีการคำนวณนานกว่าการคำนวณครั้งก่อน ถ้ามี

ผลคูณของฟังก์ชันกำลังของ cos x และ sin x

ความไร้เหตุผลเชิงเส้นแบบเศษส่วน

ถ้า m และ n เป็นจำนวนตรรกยะ แล้วจะมีการแทนที่ค่าใดค่าหนึ่ง t = บาป xหรือ ที = เพราะ xอินทิกรัลจะลดลงเหลืออินทิกรัลของดิฟเฟอเรนเชียลทวินาม

ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็ม อินทิกรัลจะถูกคำนวณโดยการอินทิเกรตทีละส่วน สิ่งนี้จะสร้างสูตรการลดดังต่อไปนี้:

;
;
;
.

บูรณาการตามส่วนต่างๆ

การใช้สูตรออยเลอร์

ถ้าปริพันธ์เป็นเส้นตรงเทียบกับฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่ง
ขวานคอสหรือ ซิแนกซ์จากนั้นจึงสะดวกในการใช้สูตรของออยเลอร์:
อีไอเอเอ็กซ์ = ขวานคอส + ขวานไอซิน(โดยที่ฉัน 2 = - 1 ),
แทนที่ฟังก์ชันนี้ด้วย อีไอเอเอ็กซ์และไฮไลท์ของจริง (เมื่อเปลี่ยน ขวานคอส) หรือส่วนจินตภาพ (เมื่อเปลี่ยน ซิแนกซ์) จากผลลัพธ์ที่ได้รับ

วรรณกรรมที่ใช้:
น.เอ็ม. กันเตอร์, อาร์.โอ. Kuzmin การรวบรวมปัญหาบน คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น, "ลาน", 2546.

การแก้อินทิกรัล - งานง่ายแต่สำหรับบางคนเท่านั้น บทความนี้มีไว้สำหรับผู้ที่ต้องการเรียนรู้ที่จะเข้าใจอินทิกรัล แต่ไม่รู้อะไรเลยหรือแทบไม่รู้เลยเกี่ยวกับอินทิกรัลเหล่านั้นเลย อินทิกรัล... ทำไมถึงจำเป็น? จะคำนวณได้อย่างไร? อะไรที่แน่นอนและ อินทิกรัลไม่ จำกัดส? หากการใช้งานเพียงอย่างเดียวที่คุณรู้จักเกี่ยวกับอินทิกรัลคือการใช้เข็มควักที่มีรูปร่างเหมือนไอคอนอินทิกรัลเพื่อนำสิ่งที่มีประโยชน์ออกจากสถานที่ที่เข้าถึงยาก ยินดีต้อนรับ! ค้นหาวิธีแก้ปัญหาอินทิกรัลและสาเหตุที่ทำไม่ได้ถ้าไม่มีอินทิกรัล

เราศึกษาแนวคิดของ "อินทิกรัล"

บูรณาการเป็นที่รู้จักกลับเข้ามา อียิปต์โบราณ- ไม่เข้าแน่นอน รูปแบบที่ทันสมัยแต่ยังคง ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา นักคณิตศาสตร์ได้เขียนหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อนี้หลายเล่ม โดดเด่นเป็นพิเศษในตัวเอง นิวตัน และ ไลบ์นิซ แต่สาระสำคัญของสิ่งต่าง ๆ ไม่เปลี่ยนแปลง จะเข้าใจอินทิกรัลตั้งแต่เริ่มต้นได้อย่างไร? ไม่มีทาง! เพื่อทำความเข้าใจหัวข้อนี้คุณยังคงต้องใช้ ความรู้พื้นฐานพื้นฐาน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์- นี่คือข้อมูลพื้นฐานที่คุณจะพบในบล็อกของเรา

อินทิกรัลไม่ จำกัด

ให้เรามีฟังก์ชั่นบางอย่าง ฉ(x) .

ฟังก์ชันอินทิกรัลไม่จำกัด ฉ(x) ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ฉ(x) ซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับฟังก์ชัน ฉ(x) .

กล่าวอีกนัยหนึ่ง อินทิกรัลคืออนุพันธ์ในรูปแบบย้อนกลับหรือแอนติเดริเวทีฟ โดยวิธีการอ่านเกี่ยวกับวิธีการในบทความของเรา

แอนติเดริเวทีฟมีอยู่สำหรับทุกคน ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง- นอกจากนี้ เครื่องหมายคงที่มักถูกเติมเข้าไปในแอนติเดริเวทีฟ เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่แตกต่างกันด้วยความบังเอิญคงที่ กระบวนการค้นหาอินทิกรัลเรียกว่าอินทิกรัล

ตัวอย่างง่ายๆ:

เพื่อไม่ให้คำนวณแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันพื้นฐานอย่างต่อเนื่อง จะสะดวกในการใส่ไว้ในตารางและใช้ค่าสำเร็จรูป:

อินทิกรัลที่แน่นอน

เมื่อต้องจัดการกับแนวคิดเรื่องอินทิกรัล เรากำลังเผชิญกับปริมาณที่น้อยมาก อินทิกรัลจะช่วยคำนวณพื้นที่ของรูป, มวลของวัตถุที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน, ระยะทางที่เดินทาง การเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอเส้นทางและอีกมากมาย ควรจำไว้ว่าอินทิกรัลคือผลรวมอนันต์ ปริมาณมากเงื่อนไขที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างเช่น ลองจินตนาการถึงกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง วิธีหาพื้นที่ของรูป จำกัดด้วยกำหนดการฟังก์ชั่น?

การใช้อินทิกรัล! มาทำลายมันกัน สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งซึ่งจำกัดด้วยแกนพิกัดและกราฟของฟังก์ชัน ให้เป็นส่วนเล็กๆ อย่างไม่สิ้นสุด ด้วยวิธีนี้ตัวเลขจะถูกแบ่งออกเป็นคอลัมน์บาง ๆ ผลรวมของพื้นที่ของคอลัมน์จะเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู แต่จำไว้ว่าการคำนวณดังกล่าวจะให้ ผลลัพธ์โดยประมาณ- อย่างไรก็ตาม ยิ่งส่วนที่เล็กลงและแคบลง การคำนวณก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น หากเราลดขนาดลงจนความยาวมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ผลรวมของพื้นที่ของส่วนต่างๆ จะมีแนวโน้มเท่ากับพื้นที่ของรูป นี่คืออินทิกรัลจำกัดเขต ซึ่งเขียนได้ดังนี้:

จุด a และ b เรียกว่าขีดจำกัดของการอินทิเกรต

Bari Alibasov และกลุ่ม "Integral"

อนึ่ง! สำหรับผู้อ่านของเราตอนนี้มีส่วนลด 10% สำหรับ

กฎการคำนวณอินทิกรัลสำหรับหุ่นจำลอง

คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด

จะแก้อินทิกรัลไม่ จำกัด ได้อย่างไร? เราจะมาดูคุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด ซึ่งจะเป็นประโยชน์ในการแก้ตัวอย่าง

• อนุพันธ์ของอินทิกรัลเท่ากับปริพันธ์:

• ค่าคงที่สามารถนำออกจากใต้เครื่องหมายอินทิกรัลได้:

• อินทิกรัลของผลรวม เท่ากับผลรวมปริพันธ์ สิ่งนี้ก็เป็นจริงสำหรับความแตกต่างเช่นกัน:

คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขต

• ความเป็นเส้นตรง:

• สัญญาณของการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญหากมีการสลับขีดจำกัดของการรวม:

• ที่ ใดๆคะแนน ก, ขและ กับ:

เราพบแล้วว่าอินทิกรัลจำกัดเขตคือขีดจำกัดของผลรวม แต่จะรับยังไง. ความหมายเฉพาะเมื่อแก้ตัวอย่าง? นี่คือสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

ตัวอย่างของการแก้อินทิกรัล

ด้านล่างนี้เราจะพิจารณาตัวอย่างต่างๆ ของการค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด เราขอเชิญชวนให้คุณค้นหาความซับซ้อนของวิธีแก้ปัญหาด้วยตนเอง และหากมีสิ่งใดไม่ชัดเจน ให้ถามคำถามในความคิดเห็น

หากต้องการเสริมกำลังวัสดุ ให้ดูวิดีโอเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหาปริพันธ์ในทางปฏิบัติ อย่าสิ้นหวังหากไม่ได้ให้อินทิกรัลในทันที ถามแล้วพวกเขาจะบอกคุณทุกสิ่งที่พวกเขารู้เกี่ยวกับการคำนวณอินทิกรัล ด้วยความช่วยเหลือของเรา ทริปเปิ้ลหรือ อินทิกรัลของเส้นบนพื้นผิวปิดคุณก็สามารถทำได้