วิธีแบ่งส่วนโดยใช้เข็มทิศ คู่มือการศึกษาและระเบียบวิธี "เทคนิคในการก่อสร้างทางเรขาคณิต" สำหรับงานกราฟิก

รูปทรงของภาพทั้งหมดประกอบด้วยเส้นต่างๆ เส้นหลักได้แก่ เส้นตรง วงกลม และชุดเส้นโค้ง เมื่อวาดรูปทรงของภาพ จะใช้โครงสร้างทางเรขาคณิตและการผันคำกริยา

เมื่อเรียนวิชาวินัย” เรขาคณิตเชิงพรรณนาและกราฟิกวิศวกรรม" นักเรียนจะต้องเรียนรู้กฎและลำดับของการสร้างและการเชื่อมต่อทางเรขาคณิต

ในเรื่องนี้ วิธีที่ดีที่สุดการได้มาซึ่งทักษะการก่อสร้างเป็นงานในการวาดรูปทรงของชิ้นส่วนที่ซับซ้อน

ก่อนที่คุณจะเริ่ม งานควบคุมคุณจำเป็นต้องเรียนรู้เทคนิค โครงสร้างทางเรขาคณิตและการเชื่อมต่อตามคู่มือระเบียบวิธี

1. การแบ่งส่วนและมุม

1.1. การแบ่งส่วนออกครึ่งหนึ่ง

แยกเพื่อ ส่วนนี้เอบีครึ่งหนึ่ง

จากส่วนท้ายของส่วน AB จากจุดศูนย์กลางเราวาดส่วนโค้งของวงกลมด้วยรัศมี R ซึ่งขนาดควรใหญ่กว่าครึ่งหนึ่งของส่วน AB เล็กน้อย (รูปที่ 1) ส่วนโค้งเหล่านี้จะตัดกันที่จุด M และ N มาหาจุด C ที่เส้นตรง AB และ MN ตัดกัน จุด C จะแบ่งส่วน AB ออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน

บันทึก- การก่อสร้างที่จำเป็นทั้งหมดจะต้องและสามารถดำเนินการได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดเท่านั้น (โดยไม่มีการแบ่งส่วน)

1.2. การแบ่งส่วนออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน

แบ่ง ส่วนที่กำหนดโดย n ส่วนที่เท่ากัน.

จากจุดสิ้นสุดของส่วน - จุด A เราจะวาดรังสีเสริมที่มุมที่ต้องการα (รูปที่ 2 ก) บนรังสีนี้เราจะวางส่วนที่มีความยาวเท่ากัน 4 ส่วน (รูปที่ 2b) จุดสิ้นสุดของส่วนสุดท้ายที่สี่ (จุดที่ 4) เชื่อมต่อกับจุด B ต่อไปจากจุดก่อนหน้าทั้งหมด 1...3 เราวาดส่วนขนานกับส่วน B4 จนกระทั่งพวกมันตัดกับส่วน AB ที่จุดที่ 1", 2 ", 3" คะแนนที่ได้รับจึงแบ่งส่วนออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กัน

1.3. การแบ่งมุมครึ่งหนึ่ง

แบ่ง มุมที่กำหนดคุณในช่วงครึ่งปี

จากจุดยอดของมุม A รัศมีโดยพลการวาดส่วนโค้งจนกระทั่งตัดกับด้านข้างของมุมที่จุด B และ C (รูปที่ 3 ก) จากนั้นจากจุด B และ C เราวาดส่วนโค้งสองส่วนด้วยรัศมี มากกว่าครึ่งระยะทาง BC ถึงทางแยกที่จุด D (รูปที่ 3 b) โดยการเชื่อมต่อจุด A และ D ด้วยเส้นตรงเราจะได้เส้นแบ่งครึ่งของมุมซึ่งแบ่งมุมที่กำหนดออกเป็นครึ่งหนึ่ง (รูปที่ 3 c)

ก) ข) ค)

2. การแบ่งวงกลมออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน และสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติ

2.1. การแบ่งวงกลมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน

จากจุดสิ้นสุดของเส้นผ่านศูนย์กลางเช่นจุด A (รูปที่ 4) ให้วาดส่วนโค้งของรัศมี R เท่ากับรัศมีวงกลมที่กำหนด ได้รับการแบ่งส่วนที่หนึ่งและสอง - จุดที่ 1 และ 2 ส่วนที่สามจุดที่ 3 ตั้งอยู่ที่ปลายตรงข้ามของเส้นผ่านศูนย์กลางเดียวกัน เมื่อเชื่อมต่อจุด 1,2,3 กับคอร์ด คุณจะได้สามเหลี่ยมที่จารึกไว้แบบปกติ

2.2. การแบ่งวงกลมออกเป็นหกส่วนเท่าๆ กัน

จากปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางใดๆ เช่น AB (รูปที่ 5) จะมีการอธิบายส่วนโค้งของรัศมี R จุด A, 1,3,B,4,2 แบ่งวงกลมออกเป็นหกส่วนเท่าๆ กัน เมื่อเชื่อมต่อกับคอร์ดจะได้รูปหกเหลี่ยมที่จารึกไว้ตามปกติ

บันทึก. ไม่ควรวาดส่วนโค้งเสริมจนสุด แต่ก็เพียงพอที่จะสร้างรอยบากบนวงกลม

2.3. การแบ่งวงกลมออกเป็นห้าส่วนเท่า ๆ กัน

เส้นผ่านศูนย์กลาง AB และ CD สองเส้นตั้งฉากกันถูกดึงออกมา (รูปที่ 6) รัศมีระบบปฏิบัติการที่จุด O 1 แบ่งออกเป็นครึ่งหนึ่ง
จากจุด O1 จากจุดศูนย์กลาง ให้วาดส่วนโค้งที่มีรัศมี O1A จนกระทั่งตัดกับเส้นผ่านศูนย์กลาง CD ที่จุด E
ส่วน AE เท่ากับด้านข้างของรูปห้าเหลี่ยมที่จารึกไว้ปกติ และส่วน OE เท่ากับด้านข้างของรูปห้าเหลี่ยมที่จารึกไว้ปกติ
โดยให้จุด A เป็นจุดศูนย์กลาง ส่วนโค้งที่มีรัศมี R1 = AE จะทำเครื่องหมายจุดที่ 1 และ 4 บนวงกลม จากจุดที่ 1 และ 4 เมื่อมองจากจุดศูนย์กลาง ส่วนโค้งที่มีรัศมี R1 เท่ากันจะทำเครื่องหมายที่จุด 3 และ 2 จุด A, 1 2, 3, 4 แบ่งวงกลมออกเป็นห้าส่วนเท่า ๆ กัน

2.4. การแบ่งวงกลมออกเป็นเจ็ดส่วนเท่า ๆ กัน

จากจุดสิ้นสุดของเส้นผ่านศูนย์กลาง จุด A วาดรูปส่วนโค้งที่มีรัศมี R เท่ากับรัศมีของวงกลม (รูปที่ 7) ซีดีคอร์ดมีค่าเท่ากับด้านข้างของสามเหลี่ยมที่จารึกไว้ตามปกติ ครึ่งหนึ่งของคอร์ดซีดีมีค่าประมาณที่เพียงพอ ซึ่งเท่ากับด้านของรูปเจ็ดเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ปกติ กล่าวคือ แบ่งวงกลมออกเป็นเจ็ดส่วนเท่า ๆ กัน

ข้าว. 7

วรรณกรรม

โบโกลิโบฟ เอส.เค. กราฟิกทางวิศวกรรม: หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาเฉพาะทางระดับมัธยมศึกษา – ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3, ฉบับที่. และเพิ่มเติม - ม.: วิศวกรรมเครื่องกล, 2549 – หน้า 392: ป่วย
คูปริคอฟ ม.ยู. กราฟิกวิศวกรรม: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาระดับมัธยมศึกษา - อ.: Bustard, 2010 - 495 หน้า: ป่วย
Fedorenko V.A., Shoshin A.I. คู่มือการเขียนแบบวิศวกรรมเครื่องกล ล.: วิศวกรรมเครื่องกล. 2519. 336 น.

รู้; ว่าสามเหลี่ยมเท่ากันทั้งสองด้านและมีมุมระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้น เราสามารถใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดเพื่อแบ่งส่วนนี้ออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน

ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการแบ่งส่วนออกครึ่งหนึ่ง เอบี(รูปที่ 69) จากนั้นวางปลายเข็มทิศตรงจุด เอ ฉัน บี และพวกเขาอธิบายรอบตัวราวกับว่าอยู่ใกล้ศูนย์กลางมีส่วนโค้งสองอันที่ตัดกันซึ่งมีรัศมีเท่ากัน (รูปที่ 70) จุดตัดของพวกเขา กับและ ดีเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรงซึ่ง เอบีครึ่งหนึ่ง: เจเอสซี= อ.บ.

เพื่อให้แน่ใจว่าส่วนต่างๆ เจเอสซีและ อ.บต้องเท่ากันให้เชื่อมต่อจุดต่างๆ คและ ดีมีปลาย กและ ในส่วน (รูปที่ 71) คุณจะได้สามเหลี่ยมสองอัน เอซีดีและ บีซีดีซึ่งมีด้านทั้งสามเท่ากันตามลำดับ: เครื่องปรับอากาศ= ดวงอาทิตย์; ค.ศ = บีดี; ซีดี -ทั่วไปคือ เป็นของสามเหลี่ยมทั้งสอง นี่หมายถึงความเท่าเทียมกันโดยสมบูรณ์ สามเหลี่ยมที่ระบุและด้วยเหตุนี้จึงมีความเท่าเทียมกันของทุกมุม แล้วมุมก็เท่ากัน เอซีดีและ บีซีดี- ตอนนี้เปรียบเทียบสามเหลี่ยม อสและ วีเอสโอเราเห็นว่าพวกเขาก็มีฝ่าย ระบบปฏิบัติการ –ทั่วไป, เอ.ซี. = ซีบีและมุมระหว่างพวกเขา เอเอสโอ =ส.ค. วีเอสโอ- สามเหลี่ยมทั้งสองด้านจะมีขนาดเท่ากันและมีมุมระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้น ดังนั้นด้านข้างจึงเท่ากัน เจเอสซีและ อ.บนั่นคือจุด เกี่ยวกับมีจุดกึ่งกลาง เอบี.

วิธีสร้างรูปสามเหลี่ยมโดยใช้ด้านและมุมสองมุม

สุดท้าย ให้พิจารณาปัญหาที่มีวิธีแก้ปัญหาที่นำไปสู่การสร้างรูปสามเหลี่ยมโดยใช้ด้านและมุมสองมุม:

อีกด้านหนึ่งของแม่น้ำ (รูปที่ 72) มองเห็นเหตุการณ์สำคัญได้ ก- จำเป็นต้องทราบระยะทางจากเหตุการณ์สำคัญโดยไม่ต้องข้ามแม่น้ำ ในบนฝั่งนี้

ลงมือทำกันเถอะ. ลองวัดจากจุด ในระยะใดๆ ในแนวเส้นตรง ดวงอาทิตย์และในตอนท้ายของมัน ในและ กับมาวัดมุมที่ 1 และ 2 กัน (รูปที่ 73) หากตอนนี้เราวัดระยะทางบนพื้นที่ที่สะดวก เดอเท่ากัน ดวงอาทิตย์และสร้างมุมที่ปลายของมัน กและ ข(ภาพวาด 74) เท่ากับมุม 1 และ 2 จากนั้นเมื่อถึงจุดตัดของด้านข้าง เราจะได้จุดยอดที่สาม เอฟสามเหลี่ยม การป้องกันมันง่ายที่จะตรวจสอบว่าสามเหลี่ยมนั้น การป้องกันเท่ากับรูปสามเหลี่ยม เอบีซี- จริงๆ แล้วถ้าเราจินตนาการว่าสามเหลี่ยมนั้น การป้องกันซ้อนทับบน เอบีซีด้านนั้น เดใกล้เคียงกับด้านที่เท่ากัน ดวงอาทิตย์แล้ว ส.ค. กจะตรงกับมุม 1 มุม ข –ด้วยมุม 2 และด้านข้าง ดีเอฟจะไปด้านข้าง เวอร์จิเนียและด้านข้าง อีเอฟด้านข้าง SA.เนื่องจากเส้นตรงสองเส้นสามารถตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น จากนั้นจึงตัดกันที่จุดยอด เอฟควรตรงกับด้านบน ก- ดังนั้นระยะทาง ดีเอฟเท่ากับระยะทางที่ต้องการ เวอร์จิเนีย

อย่างที่เราเห็นปัญหามีเพียงวิธีเดียวเท่านั้น โดยทั่วไป การใช้ด้านหนึ่งและสองมุมที่อยู่ติดกับด้านนี้ จะสามารถสร้างสามเหลี่ยมได้เพียงรูปเดียวเท่านั้น ไม่สามารถมีสามเหลี่ยมอื่นที่มีด้านเดียวกันและมีมุมสองมุมเดียวกันอยู่ติดกันในตำแหน่งเดียวกันได้ สามเหลี่ยมทั้งหมดที่มีด้านหนึ่งและสองด้านเท่ากัน มุมเดียวกันที่อยู่ติดกันในสถานที่เดียวกันสามารถนำมาซึ่งความบังเอิญโดยสมบูรณ์ได้โดยการซ้อนทับ ซึ่งหมายความว่านี่คือสัญญาณที่สามารถสร้างความเท่าเทียมกันโดยสมบูรณ์ของรูปสามเหลี่ยมได้

เมื่อรวมกับสัญญาณแห่งความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ ตอนนี้เรารู้สามสิ่งต่อไปนี้:

สามเหลี่ยม:

ทั้งสามด้าน;

ทั้งสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา

ด้านข้างและสองด้าน

เพื่อความกระชับ เราจะอธิบายกรณีความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมทั้งสามนี้เพิ่มเติมดังนี้:

ทั้งสามด้าน: สสส;

สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา: สส;

ด้านข้างและมุมทั้งสอง: ยูเอสยู.

การใช้งาน

14. การหาระยะทางถึงจุดหนึ่ง กอีกด้านหนึ่งของแม่น้ำจากจุดนั้น ในบนฝั่งนี้ (รูปที่ 5) ให้วัดเส้นบางเส้นเป็นเส้นตรง ดวงอาทิตย์,แล้วถึงจุดนั้น ในสร้างมุมเท่ากับ เอบีซีอีกด้านหนึ่ง ดวงอาทิตย์และตรงจุด กับ- ในทำนองเดียวกัน มุมเท่ากับ เส้นผ่าศูนย์กลางระยะทางชี้ ดีจุดตัดของทั้งสองด้านของมุมทั้งสองข้างจนถึงจุด ในเท่ากับระยะทางที่ต้องการ เอบี- ทำไม

วิธีแก้ปัญหา: สามเหลี่ยม เอบีซีและ บีดีซีเท่ากันด้านหนึ่ง ( ดวงอาทิตย์) และสองมุม (ang. ดีซีบี= ส.ค. เส้นผ่าศูนย์กลาง- ส.ค. ดีบีซี= ส.ค. เอบีซี.) เพราะฉะนั้น, เอบี= วดี,เหมือนที่ด้านข้างนอนอยู่ข้างใน สามเหลี่ยมเท่ากันเทียบกับมุมที่เท่ากัน

สี่เหลี่ยมด้านขนาน

จากรูปสามเหลี่ยม เราไปยังรูปสี่เหลี่ยม เช่น รูปที่ถูกจำกัดด้วยด้านทั้ง 4 ตัวอย่างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ทุกด้านเท่ากันและทุกมุมอยู่ทางขวา (รูปที่ 76) รูปสี่เหลี่ยมอีกประเภทหนึ่งที่มักพบคือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

นี่คือชื่อของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่มี 4 มุมฉาก (รูปที่ 77 และ 78) สี่เหลี่ยมจัตุรัสก็เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเช่นกันแต่ด้วย ด้านที่เท่ากัน.

ลักษณะเฉพาะของสี่เหลี่ยมผืนผ้า (และสี่เหลี่ยมจัตุรัส) คือด้านตรงข้ามทั้งสองคู่ขนานกัน ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เอบีซีดี,ตัวอย่างเช่น (รูปที่ 78) เอบีขนาน กระแสตรง,ก ค.ศขนาน ดวงอาทิตย์.ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าทั้งสองอย่าง ฝ่ายตรงข้ามตั้งฉากกับเส้นเดียวกัน และเรารู้ว่าสองเส้นตั้งฉากกับเส้นหนึ่งขนานกัน (§ 16)

คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งของสี่เหลี่ยมทุกรูปคือด้านตรงข้ามจะเท่ากัน สามารถตรวจสอบได้โดยการเชื่อมต่อ จุดยอดตรงข้ามสี่เหลี่ยมที่มีเส้นตรงนั่นคือวาดเส้นทแยงมุมลงไป กำลังเชื่อมต่อ กกับ กับ(วาด 79) เราได้สามเหลี่ยมสองอัน เอบีซีและ เอดีซี.มันง่ายที่จะแสดงว่าสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากัน: ด้าน เครื่องปรับอากาศ –รวม, ส.ค. 1 = มุม 2 เพราะนี่คือมุมตัดกับเส้นขนาน เอบีและ ซีดีด้วยเหตุผลเดียวกัน มุมที่ 3 และ 4 จะเท่ากันด้านเดียวกันและสองมุมคือสามเหลี่ยม เอบีซีและ เอซีดีเท่ากัน; ดังนั้นด้านข้าง เอบี= ด้านข้าง กระแสตรง,และด้านข้าง ค.ศ= ด้านข้าง ดวงอาทิตย์.

รูปสี่เหลี่ยมดังกล่าวซึ่งเหมือนกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ฝั่งตรงข้ามเส้นขนานเรียกว่าสี่เหลี่ยมด้านขนาน โคตรมันเลย 80 แสดงตัวอย่างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน: เอบีขนาน กระแสตรง,ก ค.ศขนาน พ.ศ.ประณาม.80

สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปหนึ่ง ซึ่งมีมุมทุกมุมตั้งฉากกัน ง่ายต่อการตรวจสอบว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานแต่ละอันมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

มุมตรงข้าม ไวยากรณ์คู่ขนาน เท่ากัน; ฝั่งตรงข้าม

P a r l l e l o g r a m a v y s.

เพื่อยืนยันสิ่งนี้ ให้เราวาดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เอบีซีดี(รูปที่ 81) ตรง วดี(แนวทแยง) และเปรียบเทียบรูปสามเหลี่ยม เอบีดีและ กระแสตรงสามเหลี่ยมเหล่านี้มีค่าเท่ากัน (case ยูเอสยู): บีดี – ด้านทั่วไป- ส.ค. 1 = มุม 2 มุม 3 = มุม 4 (ทำไม?) คุณสมบัติที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ต่อจากนี้

สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านเท่ากันทั้งสี่ด้านเรียกว่าสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ทำซ้ำคำถาม

รูปร่างใดเรียกว่าสี่เหลี่ยม? สี่เหลี่ยมผืนผ้า? - อะไรที่เรียกว่าเส้นทแยงมุม? - รูปใดเรียกว่าสี่เหลี่ยมด้านขนาน เพชร? – ระบุคุณสมบัติของมุมและด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานใดๆ - สี่เหลี่ยมใดเรียกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัส? - สี่เหลี่ยมด้านขนานใดเรียกว่าสี่เหลี่ยม? – ความเหมือนและความแตกต่างระหว่างสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคืออะไร

การใช้งาน

15. วาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังนี้: โดยแยกด้านหนึ่งไว้แล้ววาดตั้งฉากไปที่ปลายแล้วใส่ความยาวเท่ากันและเชื่อมต่อปลายด้วยเส้นตรง (รูปวาด 82) คุณจะแน่ใจได้อย่างไรว่าด้านที่สี่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่วาดนั้นเท่ากับอีกสามด้านที่เหลือและมุมทั้งหมดเป็นมุมฉาก

วิธีแก้ไข หากการก่อตัวถูกดำเนินการในลักษณะที่ไปทางด้านข้าง เอบีที่จุด กและ ในตั้งฉากกับที่วาง: เอซี = เอบีและ ดี.วี= เอบีแล้วก็ยังเหลือการพิสูจน์ว่ามุมต่างๆ กับและ ดีตรงและอะไร ซีดีเท่ากับ เอบีเมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้วาดเส้นทแยงมุม (รูปที่ 83) อ.ฮึ. แคนาดา = เอ.ดี.บี.สอดคล้องกัน (สำหรับอันไหนที่ขนานกัน?); เครื่องปรับอากาศ= ดี.บี.และดังนั้นจึงเป็นรูปสามเหลี่ยม แคนาดาและ แย่เท่ากัน (ขึ้นอยู่กับ ซูส)จากนี้เราอนุมานได้ว่า ซีดี = เอบีและ ส.ค. ค =มุมฉาก ใน- วิธีพิสูจน์มุมที่สี่ ซีบีดีมันยังตรงหรือเปล่า?

16. วิธีการวาดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า? เหตุใดภาพที่วาดจึงเรียกว่าสี่เหลี่ยมได้ (แสดงว่าทุกมุมของภาพที่วาดถูกต้อง)

วิธีแก้ไขจะคล้ายกับวิธีแก้ไขปัญหาก่อนหน้า

17. พิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมทั้งสองของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน

วิธีแก้ปัญหา (รูปที่ 84) ตามมาจากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ เอบีดี(ขึ้นอยู่กับ ซูส)

18. พิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานตัดกัน

วิธีแก้ปัญหา: การเปรียบเทียบสามเหลี่ยม (รูปที่ 85) เอบีโอและ ดีซีโอ,เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าพวกเขาเท่าเทียมกัน (ขึ้นอยู่กับ ยูเอสยู)จากที่นี่ เจเอสซี= ระบบปฏิบัติการ, 0V= โอดี.

19. ความยาวของเส้นตั้งฉากร่วมระหว่างเส้นขนานสองเส้นเรียกว่าระยะห่างระหว่างเส้นทั้งสอง พิสูจน์ว่าระยะห่างระหว่างเส้นขนานเท่ากันทุกที่

ข้อบ่งใช้: รูปร่างแบบไหนที่ถูกสร้างขึ้น? เส้นขนานมีฉากตั้งฉากสองอันระหว่างพวกเขาเหรอ?

IV. การวัดพื้นที่

มาตรการสแควร์ จานสี

ในตัวเลข มักจำเป็นต้องวัดไม่เพียงแต่ความยาวของเส้นและมุมระหว่างเส้นเท่านั้น แต่ยังรวมถึงขนาดของพื้นที่ที่ครอบคลุมด้วยนั่นคือพื้นที่ของเส้นเหล่านั้น วัดพื้นที่ในหน่วยใด? ความยาวที่กำหนด (เมตร เซนติเมตร) จะถูกใช้เป็นหน่วยวัดความยาว และมุมหนึ่ง (1°) จะถูกใช้เป็นหน่วยวัดมุม พื้นที่บางพื้นที่ถือเป็นหน่วยวัดพื้นที่ กล่าวคือ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านละ 1 เมตร 1 ซม. เป็นต้น ตารางดังกล่าวเรียกว่า “ตารางเมตร”, “ ตารางเซนติเมตร" ฯลฯ การวัดพื้นที่หมายถึงการหาว่ามีหน่วยวัดกี่ตารางหน่วย

หากพื้นที่ที่วัดไม่ใหญ่ (พอดีกับกระดาษ) ก็สามารถวัดได้ ดังต่อไปนี้- กระดาษใสถูกตัดเป็นสี่เหลี่ยมเซนติเมตรแล้ววางลงบนรูปที่วัด จากนั้นการคำนวณโดยตรงก็ไม่ยาก ตารางเซนติเมตรอยู่ภายในขอบเขตของรูปนั้น ในกรณีนี้ ช่องสี่เหลี่ยมที่ไม่สมบูรณ์ใกล้ขอบจะถูกยึด (ด้วยตา) สำหรับครึ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมจตุรัส ฯลฯ หรือเชื่อมต่อหลายช่องพร้อมกันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด ตกแต่งจังเลย กระดาษโปร่งใสเรียกว่าพาเลท วิธีนี้มักใช้ในการวัดพื้นที่ของพื้นที่ที่ผิดปกติในแผน

แต่เป็นไปไม่ได้หรือสะดวกในการกำหนดเครือข่ายสี่เหลี่ยมบนรูปที่วัดได้เสมอไป ไม่สามารถวัดพื้นที่หรือวัดได้ ที่ดิน- ในกรณีดังกล่าวแทน การวัดโดยตรงหันไปหาสิ่งที่ไม่พึงประสงค์ซึ่งประกอบด้วยการวัดความยาวของตัวเลขเชิงเส้นบางส่วนและคำนวณตัวเลขที่ได้รับ การกระทำบางอย่าง- ต่อมาเราจะแสดงวิธีการทำสิ่งนี้

ทำซ้ำคำถาม

ใช้มาตรการอะไรในการกำหนดพื้นที่ของตัวเลข? – จานสีคืออะไรและใช้อย่างไร?

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สมมติว่าคุณต้องกำหนดพื้นที่ของสี่เหลี่ยมบางอัน เช่น เอบีดีซี(ภาพวาด 86) วัดด้วยหน่วยเชิงเส้น เช่น เมตร ความยาวของส่วนนี้ สมมติว่ามิเตอร์วางยาว 5 เท่า ลองแบ่งพื้นที่ออกเป็นแถบขวางกว้าง 1 เมตร ดังแสดงในรูป 87. แน่นอนว่าจะมีแถบดังกล่าวอยู่ 5 แถบ ต่อไปเราจะวัดความกว้างของพื้นที่ด้วยเมตร ปล่อยให้มันเท่ากับ 3 เมตร เราจะแบ่งพื้นที่ออกเป็นแถบตามยาวกว้าง 1 เมตร ดังแสดงในรูป 88; แน่นอนว่าจะมี 3 เส้น แต่ละแถบขวางทั้ง 5 เส้นจะถูกตัดเป็น 3 ตารางเมตร และที่ดินทั้งหมดจะแบ่งออกเป็น 5 x 3 = 15 สี่เหลี่ยม โดยมีด้านละ 1 เมตร เราได้เรียนรู้ว่าโครงเรื่อง มีขนาด 15 ตารางเมตร เมตร แต่เราจะได้เลข 15 เท่ากันโดยไม่ต้องพล็อตพื้นที่ แต่แค่คูณความยาวด้วยความกว้างเท่านั้น เลยจะรู้ว่าเท่าไหร่. ตารางเมตรในสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณต้องวัดความยาว ความกว้าง และคูณตัวเลขทั้งสอง

ในกรณีที่พิจารณา หน่วยของความยาว (เมตร) ถูกวางไว้บนทั้งสองด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นจำนวนเต็มครั้ง หนังสือเรียนคณิตศาสตร์โดยละเอียดพิสูจน์ว่ากฎที่กำหนดขึ้นในปัจจุบันก็เป็นจริงเช่นกัน เมื่อด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าไม่มีหน่วยความยาวเป็นจำนวนเต็ม ในทุกกรณี:

พื้นที่ของพื้นที่สี่เหลี่ยม

ผลคูณของความยาวคูณความกว้าง

หรือตามที่พวกเขาพูดในเรขาคณิต – มัน

"ฐาน" บน "ความสูง"

หากความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมผืนผ้าระบุด้วยตัวอักษร กและความยาวของความสูงคือตัวอักษร ขแล้วพื้นที่ของมัน สเท่ากับ

ส = ก? ข

หรือเพียงแค่ ส = เกี่ยวกับเพราะเครื่องหมายคูณไม่ได้อยู่ระหว่างตัวอักษร

เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่าในการกำหนดพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้น คุณต้องคูณความยาวของด้านของมันด้วยตัวมันเอง นั่นคือ "ยกมันขึ้นด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส" กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับด้านสี่เหลี่ยมจัตุรัส ถ้าด้านยาวเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เอ,แล้วพื้นที่ของมัน สเท่ากับ

ส= ก? ก = ก 2.

เมื่อรู้อย่างนี้แล้วก็สามารถสร้างความสัมพันธ์ระหว่างต่างๆ ได้ หน่วยตาราง- ตัวอย่างเช่น หนึ่งตารางเมตรประกอบด้วยตารางเดซิเมตร 10 X 10 เช่น 100 และตารางเซนติเมตร 100 X 100 เช่น 10,000 เนื่องจากวางเส้นเซนติเมตรไว้ด้านข้าง ตารางเดซิเมตร 10 ครั้ง และหนึ่งตารางเมตรคือ 100 ครั้ง

สำหรับการวัด ที่ดินใช้มาตรการพิเศษ - เฮกตาร์ซึ่งมีพื้นที่ 10,000 ตารางเมตร พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านละ 100 เมตรมีพื้นที่ 1 เฮกตาร์ แปลงสี่เหลี่ยมผืนผ้า ฐาน 200 เมตร สูง 150 เมตร มีพื้นที่ 200 x 150 คือ 30,000 ตารางเมตร ม. หรือ 3 เฮกตาร์ วัดพื้นที่ขนาดใหญ่ เช่น เทศมณฑลและเขต

ตารางกิโลเมตร.

การกำหนดแบบย่อสำหรับการวัดกำลังสองคือ:

สี่เหลี่ยม เมตร………………………………. ตร.ม. ม. หรือ ม.2

สี่เหลี่ยม เดซิเมตร…………………………. ตร.ม. ดีเอ็มหรือดีเอ็ม2

สี่เหลี่ยม เซนติเมตร……………… ตร.ม. ซม. หรือ cm2

สี่เหลี่ยม มิลลิเมตร……………………….. ตร.ม.…………….. มม. หรือ mm2

เฮกตาร์…………………………………….. ฮ่า

ทำซ้ำคำถาม

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคำนวณอย่างไร? สี่เหลี่ยม? - กี่ตร.ม. ซม. ถึง ตร.ม. ม? กี่ตร.ม. มิลลิเมตรในตาราง ม? – เฮกตาร์คืออะไร? – กี่เฮกตาร์ในหนึ่งตาราง? กม.? ย่อมาจากอะไร. มาตรการสี่เหลี่ยม?

การใช้งาน

20.ต้องทาสีภายในห้องตามภาพ 6. ขนาดระบุเป็นเมตร มีวัสดุกี่ชิ้นและ กำลังงานหากรู้กันว่าสำหรับการวาดภาพสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่ง พื้นไม้เมตรพร้อมฉาบรอยแตกและกิ่งก้านเหนือทาสีก่อนหน้านี้สำหรับสองคน (ตามระเบียบเร่งด่วน):

มัลยารอฟ………………………………….. 0.044

น้ำมันอบแห้ง กิโลกรัม……………….… 0.18

ดินเหลืองใช้ทำสีอ่อนกก…………………………… 0;099

สีโป๊วกิโลกรัม………………………………… 0.00225

หินภูเขาไฟ กิโลกรัม……………………………….. 0.0009

วิธีแก้ไข: พื้นที่ชั้น 8 หรือไม่? 12 = 96 ตร.ม. ม.

การใช้วัสดุและแรงงานมีดังนี้

มัลยารอฟ........ 0.044? 96 = 4.2

น้ำมันอบแห้ง......0.18? 96= 17 กก

ดินเหลือง.......... 0.099? 96 – 9.9 กก

สีโป๊ว........ 0.00225? 96 = 0.22 กก

ภูเขาไฟ..........0.0009? 96 = 0.09 กก.

21.จัดทำงบการใช้แรงงานและวัสดุในการติดวอลเปเปอร์ห้องก่อน งาน หากต้องการปิดผนังด้วยวอลเปเปอร์เรียบง่ายมีขอบ (ตามข้อบังคับท้องถิ่น) ต่อ ตร.ม. เมตร:

ช่างทาสีหรือช่างทำเบาะ……………… 0.044

วอลเปเปอร์ (กว้าง 44 ซม.) ชิ้น……………… 0.264

ขอบถนน (ตามการคำนวณ)

กรัมแป้ง……………………. 90.

วิธีแก้ไข - ตามตัวอย่างที่ระบุใน งานก่อนหน้า- เราทราบเพียงว่าเมื่อคำนวณ ปริมาณที่ต้องการในทางปฏิบัติ ช่องผนังจะไม่ถูกลบออกจากพื้นที่ของวอลล์เปเปอร์ (เนื่องจากเมื่อติดตั้งตัวเลขในแผงที่อยู่ติดกัน วอลล์เปเปอร์บางส่วนจะหายไป)

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

ก่อนอื่นมาพิจารณาว่าคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างไร สมมติว่าเราต้องกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เอบีซี(รูปที่ 89) ซึ่งในมุมนั้น ใน- ตรง. พาคุณผ่านยอดเขากันเถอะ กและ กับเส้นตรงขนานกับด้านตรงข้าม เราได้รับ (รูปที่ 90) สี่เหลี่ยม เอบีซีดี(เหตุใดรูปนี้จึงเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า) ซึ่งหารด้วยเส้นทแยงมุม เครื่องปรับอากาศเป็นสามเหลี่ยมสองอันเท่ากัน (ทำไม?) พื้นที่ของสี่เหลี่ยมนี้คือ อา;พื้นที่สามเหลี่ยมของเราคือครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมนั่นคือ เท่ากับ 1/2 อา.ดังนั้นพื้นที่ของทุกๆ สามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของด้านข้างที่ปิดมุมฉาก

สมมติว่าตอนนี้คุณต้องกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมเฉียง (เช่น ไม่ใช่สี่เหลี่ยม) เป็นต้น เอบีซี(ภาพวาด 91) เราวาดตั้งฉากผ่านจุดยอดหนึ่งไปยังด้านตรงข้าม เส้นตั้งฉากดังกล่าวเรียกว่าความสูงของสามเหลี่ยมนี้ และด้านที่วาดคือฐานของสามเหลี่ยม ให้เราแสดงความสูงด้วย ชม.และส่วนที่แบ่งฐานได้แก่ พีและ ถาม- พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีดี,อย่างที่เรารู้อยู่แล้ว เท่ากับ 1/2 ปริญญาเอก- สี่เหลี่ยม วีซีดี = 1/2 qh- สี่เหลี่ยม สสามเหลี่ยม เอบีซีเท่ากับผลรวมของพื้นที่เหล่านี้: ส= 1/2 ปริญญาเอก + 1/2 qh = 1/2 ชม. (ร+ ถาม- แต่ ร+ ถาม = ก- เพราะฉะนั้น ส = 1/2 อา.

เหตุผลนี้ไม่สามารถใช้กับรูปสามเหลี่ยมได้โดยตรงด้วย มุมป้าน(รูปที่ 92) เนื่องจากแผ่นซีดีตั้งฉากไม่ตรงกับฐาน เอบีและความต่อเนื่องของมัน ในกรณีนี้เราต้องคิดแตกต่าง ให้เราแสดงถึงส่วน ค.ศผ่าน พี บีดี- ผ่าน, ถามดังนั้นพื้นฐาน กสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากัน พี – ถาม- พื้นที่สามเหลี่ยมของเรา เอบีซีเท่ากับผลต่างในพื้นที่ของสามเหลี่ยมสองรูป เอดีซี – บีดีซี = 1/2 ปริญญาเอก – 1/2 qh = 1/2 ชม. (พี – ถาม) = 1/2 อา.

ดังนั้นในทุกกรณี พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานใดๆ และความสูงที่สอดคล้องกัน

ตามมาด้วยว่ารูปสามเหลี่ยมที่มีฐานและความสูงเท่ากันจะมีพื้นที่เท่ากัน หรืออย่างที่เขาว่ากันว่า

เท่ากับ

โดยทั่วไปแล้วตัวเลขที่มีขนาดเท่ากันนั้นจะมี พื้นที่เท่ากันอย่างน้อยตัวเลขเองก็ไม่เท่ากัน (นั่นคือตัวเลขไม่ตรงกันเมื่อซ้อนทับ)

ทำซ้ำคำถาม

ความสูงของสามเหลี่ยมเรียกว่าอะไร? ฐานของสามเหลี่ยม? - สามเหลี่ยม 1 อันสามารถวาดความสูงได้กี่ระดับ? – วาดรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมป้านแล้ววาดความสูงทั้งหมดในมุมนั้น – พื้นที่ของสามเหลี่ยมคำนวณอย่างไร? จะแสดงกฎนี้ในสูตรได้อย่างไร? – ตัวเลขใดที่เรียกว่ามีขนาดเท่ากัน?

การใช้งาน

22.สวนผักมีรูปทรงสามเหลี่ยม ฐานกว้าง 13.4 ม. สูง 37.2 ม.... ต้องใช้เมล็ดกะหล่ำปลีกี่เมล็ด (โดยน้ำหนัก) ถ้าต่อตร.ม. m คือ 0.5 กรัมของเมล็ด?

วิธีแก้ไข: พื้นที่สวนผักอยู่ที่ 13.4 หรือเปล่า? 37.2 = 498 ตร.ม. ม.

คุณจะต้องมีเมล็ด 250 กรัม

23. สี่เหลี่ยมด้านขนานถูกหารด้วยเส้นทแยงมุมออกเป็น 4 ส่วนเป็นรูปสามเหลี่ยม อันไหนมีมากที่สุด พื้นที่ขนาดใหญ่?

คำตอบ สามเหลี่ยมทั้ง 4 รูปมีขนาดเท่ากัน เนื่องจากมี บริเวณที่เท่าเทียมกันและความสูง

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

กฎสำหรับการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นถูกสร้างขึ้นอย่างง่ายดายหากคุณหารมันด้วยเส้นทแยงมุมออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยม เช่น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เอบีซีดี(รูปที่ 93) เท่ากับสองเท่าของพื้นที่สามเหลี่ยมแต่ละรูปที่มีขนาดเท่ากันทั้งสองอันซึ่งหารด้วยเส้นทแยงมุม เครื่องปรับอากาศการทำเครื่องหมายที่ฐานของรูปสามเหลี่ยม เอดีซีผ่าน กและความสูงทะลุ ชม., เราได้พื้นที่แล้ว สสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ตั้งฉาก ชม.เรียกว่า “ความสูงสี่เหลี่ยมด้านขนาน” และด้าน เอ,ที่มันถูกวาด - "ฐานของสี่เหลี่ยมด้านขนาน" ดังนั้น กฎเกณฑ์ที่ตั้งขึ้นในปัจจุบันจึงกล่าวได้ดังนี้

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของความสูงใหม่ใดๆ

ทำซ้ำคำถาม

ฐานและความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นเท่าใด พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานคำนวณอย่างไร? – แสดงกฎนี้ในสูตร – พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานมากกว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีฐานและความสูงเท่ากันกี่ครั้ง? - ที่ ความสูงเท่ากันและฐาน รูปใดมีพื้นที่มากที่สุด: สี่เหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน

แอปพลิเคชัน

24. สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 12.4 ซม. มีขนาดเท่ากับสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีความสูง 8.8 ซม. จงหาฐานของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

วิธีแก้ปัญหา พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้และสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 12.42 = 154 ตารางเมตร ซม. ฐานที่ต้องการคือ 154: 8.8 = 18 ซม.

พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

นอกจากสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้ว ลองพิจารณารูปสี่เหลี่ยมอีกประเภทหนึ่งด้วย กล่าวคือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันเพียงคู่เดียว (รูปที่ 94) ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมู ด้านขนานสี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่าฐาน และส่วนที่ไม่ขนานกันเรียกว่าด้านข้าง

อึ. 94 ประณาม. 95

ให้เราสร้างกฎสำหรับการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู สมมติว่าเราจำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี(รูปที่ 95) ความยาวของฐานซึ่ง กและ ข- ลองวาดเส้นทแยงมุมกัน เครื่องปรับอากาศซึ่งตัดสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสามเหลี่ยมสองอัน เอซีดีและ เอบีซี- เรารู้ว่า

พื้นที่ เอซีดี = 1/2 อา

พื้นที่ เอบีซี = 1/2 ข.

พื้นที่ เอบีซีดี= 1/2 อา+ 1/2 ข= 1/2 (ก+ ข) ชม..

ตั้งแต่ระยะทาง ชม.ระหว่างฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่าความสูงจากนั้นกฎสำหรับการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถระบุได้ดังนี้:

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมคูณด้วยและในตัวคุณด้วยประมาณ t ที่

ทำซ้ำคำถาม

รูปร่างใดเรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมู? ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ด้านข้างและความสูงคืออะไร? – พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูคำนวณอย่างไร?

การใช้งาน

25. ส่วนหนึ่งของถนนมีรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู ฐานยาว 180 ม. และ 170 ม. สูง 8.5 ม. ต้องใช้บล็อกไม้กี่บล็อกต่อตร.ม. มีหมากฮอส 48 ตัวเหรอ?

วิธีแก้ปัญหา พื้นที่แปลงคือ 8.5 H = (180 + 170)/ 2 = 1490 ตร.ม. ม. จำนวนหมากฮอส = 72,000

26. ความลาดเอียงของหลังคาเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ฐานยาว 23.6 ม. และ 19.8 ม. สูง 8.2 ม. ต้องใช้วัสดุและแรงงานเท่าใดจึงจะครอบคลุมได้ถ้าต่อตร.ม. ต้องการเมตร:

แผ่นเหล็ก......1.23

ตะปูหลังคา กก.... 0.032

น้ำมันอบแห้ง กก........0.036

ช่างมุงหลังคา......0.45

วิธีแก้ปัญหา: พื้นที่ทางลาดเท่ากับ 8.2 หรือไม่? (23.6 + 19.8)/ 2 = 178 ตร.ม. ม. ยังคงต้องคูณตัวเลขทั้งหมดบนแท็บเล็ตด้วย 178

เพื่อให้แน่ใจว่าส่วนต่างๆ เจเอสซีและ อ.บต้องเท่ากันให้เชื่อมต่อจุดต่างๆ คและ ดีมีปลาย กและ ในส่วน (รูปที่ 71) คุณจะได้สามเหลี่ยมสองอัน เอซีดีและ บีซีดีซึ่งมีด้านทั้งสามเท่ากันตามลำดับ: เครื่องปรับอากาศ= ดวงอาทิตย์; ค.ศ= บีดี; ซีดี -ทั่วไปคือ เป็นของสามเหลี่ยมทั้งสอง นี่แสดงถึงความเท่าเทียมกันโดยสมบูรณ์ของสามเหลี่ยมเหล่านี้ และด้วยเหตุนี้จึงมีความเท่าเทียมกันของทุกมุมด้วย แล้วมุมก็เท่ากัน เอซีดีและ บีซีดี- ตอนนี้เปรียบเทียบสามเหลี่ยม อสและ วีเอสโอเราเห็นว่าพวกเขาก็มีฝ่าย ระบบปฏิบัติการ –ทั่วไป, เอ.ซี.= ซีบีและมุมระหว่างพวกเขา เอเอสโอ =ส.ค. วีเอสโอ- สามเหลี่ยมทั้งสองด้านจะมีขนาดเท่ากันและมีมุมระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้น ดังนั้นด้านข้างจึงเท่ากัน เจเอสซีและ อ.บนั่นคือจุด เกี่ยวกับมีจุดกึ่งกลาง เอบี.

§ 22. วิธีสร้างรูปสามเหลี่ยมโดยใช้ด้านและสองมุม

ลงมือทำกันเถอะ. ลองวัดจากจุด ในระยะใดๆ ในแนวเส้นตรง ดวงอาทิตย์และในตอนท้ายของมัน ในและ กับมาวัดมุมที่ 1 และ 2 กัน (รูปที่ 73) หากตอนนี้เราวัดระยะทางบนพื้นที่ที่สะดวก เดอเท่ากัน ดวงอาทิตย์และสร้างมุมที่ปลายของมัน กและ ข(รูปที่ 74) เท่ากับมุม 1 และ 2 จากนั้นเมื่อถึงจุดตัดของด้านข้างเราจะได้จุดยอดที่สาม เอฟสามเหลี่ยม การป้องกันมันง่ายที่จะตรวจสอบว่าสามเหลี่ยมนั้น การป้องกันเท่ากับรูปสามเหลี่ยม เอบีซี- จริงๆ แล้วถ้าเราจินตนาการว่าสามเหลี่ยมนั้น การป้องกันซ้อนทับบน เอบีซีด้านนั้น เดใกล้เคียงกับด้านที่เท่ากัน ดวงอาทิตย์แล้ว ส.ค. กจะตรงกับมุม 1 มุม ข –ด้วยมุม 2 และด้านข้าง ดีเอฟจะไปด้านข้าง เวอร์จิเนียและด้านข้าง อีเอฟด้านข้าง SA.เนื่องจากเส้นตรงสองเส้นสามารถตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น จากนั้นจึงตัดกันที่จุดยอด เอฟควรตรงกับด้านบน ก- ดังนั้นระยะทาง ดีเอฟเท่ากับระยะทางที่ต้องการ เวอร์จิเนีย

อย่างที่เราเห็นปัญหามีเพียงวิธีเดียวเท่านั้น โดยทั่วไป การใช้ด้านหนึ่งและสองมุมที่อยู่ติดกับด้านนี้ จะสามารถสร้างสามเหลี่ยมได้เพียงรูปเดียวเท่านั้น ไม่สามารถมีสามเหลี่ยมอื่นที่มีด้านเดียวกันและมีมุมสองมุมเดียวกันอยู่ติดกันในตำแหน่งเดียวกันได้ รูปสามเหลี่ยมทั้งหมดที่มีด้านหนึ่งเหมือนกันและสองมุมเหมือนกันที่อยู่ติดกันในตำแหน่งเดียวกันสามารถทำให้เกิดความบังเอิญโดยสมบูรณ์ได้โดยการซ้อน ซึ่งหมายความว่านี่คือสัญญาณที่สามารถสร้างความเท่าเทียมกันโดยสมบูรณ์ของรูปสามเหลี่ยมได้

สามเหลี่ยม:

ทั้งสามด้าน;

ทั้งสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา

ด้านข้างและสองด้าน

ทั้งสามด้าน: สสส;

สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา: สส;

ด้านข้างและมุมทั้งสอง: ยูเอสยู.

การใช้งาน

วิธีแก้ปัญหา: สามเหลี่ยม เอบีซีและ บีดีซีเท่ากันด้านหนึ่ง ( ดวงอาทิตย์) และสองมุม (ang. ดีซีบี= ส.ค. เส้นผ่าศูนย์กลาง- ส.ค. ดีบีซี= ส.ค. เอบีซี.) เพราะฉะนั้น, เอบี= วดี,เมื่อด้านวางอยู่ในรูปสามเหลี่ยมเท่ากันกับมุมที่เท่ากัน

§ 23. สี่เหลี่ยมด้านขนาน

นี่คือชื่อของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่มี 4 มุมฉาก (รูปที่ 77 และ 78) สี่เหลี่ยมจัตุรัสก็เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเช่นกัน แต่มีด้านเท่ากัน

ลักษณะเฉพาะของสี่เหลี่ยมผืนผ้า (และสี่เหลี่ยมจัตุรัส) คือด้านตรงข้ามทั้งสองคู่ขนานกัน ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เอบีซีดี,ตัวอย่างเช่น (รูปที่ 78) เอบีขนาน กระแสตรง,ก ค.ศขนาน ดวงอาทิตย์.สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าด้านตรงข้ามทั้งสองตั้งฉากกับเส้นเดียวกัน และเรารู้ว่าเส้นตั้งฉากสองเส้นกับเส้นหนึ่งขนานกัน (§ 16)

คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งของสี่เหลี่ยมทุกรูปคือด้านตรงข้ามจะเท่ากัน คุณสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้หากคุณเชื่อมต่อจุดยอดตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วยเส้นตรง นั่นคือวาดเส้นทแยงมุมลงไป กำลังเชื่อมต่อ กกับ กับ(วาด 79) เราได้สามเหลี่ยมสองอัน เอบีซีและ เอดีซี.มันง่ายที่จะแสดงว่าสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากัน: ด้าน เครื่องปรับอากาศ –รวม, ส.ค. 1 = มุม 2 เพราะนี่คือมุมตัดกับเส้นขนาน เอบีและ ซีดีด้วยเหตุผลเดียวกัน มุมที่ 3 และ 4 จะเท่ากันด้านเดียวกันและสองมุมคือสามเหลี่ยม เอบีซีและ เอซีดีเท่ากัน; ดังนั้นด้านข้าง เอบี= ด้านข้าง กระแสตรง,และด้านข้าง ค.ศ= ด้านข้าง ดวงอาทิตย์.

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีด้านตรงข้ามขนานกันเหมือนกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เรียกว่า รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน โคตรมันเลย 80 แสดงตัวอย่างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน: เอบีขนาน กระแสตรง,ก ค.ศขนาน พ.ศ.ประณาม.80

มุมตรงข้าม ไวยากรณ์คู่ขนาน เท่ากัน; ฝั่งตรงข้าม

P a r l l e l o g r a m a v y s.

เพื่อยืนยันสิ่งนี้ ให้เราวาดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เอบีซีดี(รูปที่ 81) ตรง วดี(แนวทแยง) และเปรียบเทียบรูปสามเหลี่ยม เอบีดีและ กระแสตรงสามเหลี่ยมเหล่านี้มีค่าเท่ากัน (case ยูเอสยู): บีดี– ด้านร่วม; ส.ค. 1 = มุม 2 มุม 3 = มุม 4 (ทำไม?) คุณสมบัติที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ต่อจากนี้

ทำซ้ำคำถาม

ความรู้เกี่ยวกับการก่อสร้างทางเรขาคณิตขั้นพื้นฐานทำให้สามารถวาดได้อย่างถูกต้องและรวดเร็วโดยเลือกเทคนิคที่มีเหตุผลที่สุดสำหรับแต่ละกรณี

2.1. การแบ่งส่วนออกเป็นส่วนเท่า ๆ กัน

คุณสามารถแบ่งส่วนนี้ออกครึ่งหนึ่งโดยใช้เข็มทิศโดยสร้างค่ามัธยฐานตั้งฉาก (รูปที่ 18, a) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้รัศมีที่วัดมากกว่าครึ่งหนึ่งของความยาวของส่วนแล้ววาดส่วนโค้งวงกลมจากปลายทั้งสองข้างจนกระทั่งพวกมันตัดกัน เราวาดค่ามัธยฐานตั้งฉากผ่านจุดตัดของส่วนโค้ง

ในการแบ่งออกเป็นจำนวนเท่าๆ กัน เราใช้ทฤษฎีบทฟา

นั่งร้าน: หากมีการวางส่วนที่เท่ากันที่ด้านหนึ่งของมุมและลากเส้นตรงขนานกันผ่านปลายของพวกเขา ส่วนที่เท่ากันจะถูกวางที่อีกด้านหนึ่งของมุมด้วย (รูปที่ 18, b) ภายใต้โปร-

วาดรังสีเสริม AC ในมุมที่ต้องการไปยังส่วน AB ซึ่งเราจะตัดส่วนที่มีความยาวตามใจชอบออกหลายครั้งตามจำนวนชิ้นส่วนที่ต้องแบ่งส่วนนี้ เราเชื่อมต่อส่วนท้ายของส่วนสุดท้ายกับจุด B และลากเส้นตรงขนานกับ BC ผ่านส่วนปลายของส่วนที่เหลือ

2.2. โดยแบ่งวงกลมออกเป็น หมายเลขใดก็ได้ส่วนที่เท่ากัน

ความสามารถในการแบ่งวงกลมออกเป็นส่วนเท่าๆ กันเป็นสิ่งจำเป็นในการสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติ ก่อนอื่นให้เราพิจารณาเทคนิคเฉพาะในการแบ่งวงกลมก่อน

แบ่งออกเป็นสามส่วน (รูปที่ 19)

เราวางขาเข็มทิศไว้ที่ปลายด้านหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางตั้งฉากกันของวงกลม เมื่อใช้วิธีแก้ปัญหาเข็มทิศเท่ากับรัศมีของวงกลม เราทำรอยบากที่ทั้งสองด้านของปลายเส้นผ่านศูนย์กลางนี้ เราได้จุดยอดสองอัน สามเหลี่ยมปกติ- จุดยอดที่สามคือปลายด้านตรงข้ามของเส้นผ่านศูนย์กลาง

แบ่งออกเป็นสี่ส่วน (รูปที่ 20)

เส้นผ่านศูนย์กลางตั้งฉากกันสองเส้นแบ่งวงกลมออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กัน ถ้าลากเส้นตรงผ่านศูนย์กลางของวงกลมด้วยมุม 45ᵒ ถึงแกน ก็จะแบ่งวงกลมออกเป็นสี่ส่วนเท่าๆ กัน ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้จะขนานกับแกนของวงกลม สี่เหลี่ยมทั้งสองนี้รวมกันแบ่งวงกลมออกเป็นแปดส่วนเท่า ๆ กัน

แบ่งออกเป็น 5 ส่วน (รูปที่ 21)

● 1 ). ใช้เข็มทิศเปิดเท่ากับรัศมี เราสร้างรอยบากบนวงกลม เราได้จุดที่ 2

● จากจุดที่ 2 เราลดแนวตั้งฉากลงจนถึงเส้นผ่านศูนย์กลางจากปลายที่ทำรอยบาก เราได้จุดที่ 3

● เราวางขาเข็มทิศไว้ที่จุดนั้น 3. ลองหารัศมีดู เท่ากับระยะทางจากจุดที่ 3 ถึงจุดสิ้นสุดของเส้นผ่านศูนย์กลางแนวตั้ง (จุดที่ 4) แล้ววาดส่วนโค้งจนตัดกับเส้นผ่านศูนย์กลางแนวนอน เราได้จุดที่ 5

● เชื่อมต่อจุดที่ 4 และ 5 คอร์ด 4–5 จะเป็น 1/5 ของวงกลม

● เราวัดความยาวของคอร์ดด้วยเข็มทิศ 4–5 และเริ่มวางมันออกจากปลายด้านหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง (ขึ้นอยู่กับว่าควรวางรูปห้าเหลี่ยมอย่างไรเมื่อเทียบกับแกน) เส้นผ่านศูนย์กลางจากจุดสิ้นสุดที่เราเริ่มวางส่วนจะเป็นแกนสมมาตรของรูป

ขอแนะนำให้วางชิ้นส่วนทั้งสองข้างพร้อมกัน ส่วนที่เหลือควรจะเป็น ตั้งฉากกับแกนสมมาตร. หากความยาวไม่เท่ากับความยาวของส่วนที่เหลือ แสดงว่าการก่อสร้างดำเนินการไม่ถูกต้องหรือวัดคอร์ด 4–5 ไม่ถูกต้อง คุณควรปรับความยาวของส่วนนั้นแล้วแบ่งวงกลมอีกครั้ง

แบ่งออกเป็นหกส่วน (รูปที่ 22)

การใช้เข็มทิศเปิดเท่ากับรัศมีของวงกลม เราสร้างรอยบากจากปลายทั้งสองข้างที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากันทั้งสองทิศทางจากพวกมัน เราได้จุดยอดสี่จุด หกเหลี่ยมปกติ- อีกสองจุดยอดคือปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางที่ใช้สร้างเซริฟ

แบ่งออกเป็นเจ็ดส่วน (รูปที่ 23)

● เราวางขาเข็มทิศไว้ที่ปลายด้านหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง (จุดที่ 1) เราจะสร้างรอยบากโดยใช้วิธีแก้ปัญหาของเข็มทิศเท่ากับรัศมีของวงกลม เราได้จุดที่ 2

● จากจุดที่ 2 เราลดแนวตั้งฉากลงจนถึงเส้นผ่านศูนย์กลางจากปลายที่ทำรอยบาก เราได้จุดที่ 3 ส่วนที่ 2–3 คือ 1/7 ของวงกลม

● เราวัดความยาวของเซ็กเมนต์ด้วยคาลิปเปอร์ 2 -3 และจัดวางตามลำดับให้ห่างจากปลายทั้งสองด้านของเส้นผ่านศูนย์กลางทั้งสองด้านพร้อมกัน ส่วนสุดท้ายควรตั้งฉากกับเส้นผ่านศูนย์กลางจากส่วนท้ายที่เริ่มวางส่วน เส้นผ่านศูนย์กลางนี้จะเป็นความสมมาตรของรูปเจ็ดเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้

แบ่งออกเป็นสิบส่วน (รูปที่ 24)

● แบ่งวงกลมออกเป็น 5 ส่วน ดังแสดงในรูป 21. เราได้รูปห้าเหลี่ยมปกติ

● จากจุดยอดแต่ละจุดของรูปห้าเหลี่ยม เราจะลดตั้งฉากลงไปยังด้านตรงข้าม พวกเขาทั้งหมดจะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมแล้วแบ่งด้านข้างและส่วนโค้งให้ครึ่งหนึ่ง เราได้จุดยอดเพิ่มอีก 5 จุด

แบ่งออกเป็นสิบสองส่วน (รูปที่ 25)

การใช้เข็มทิศที่เปิดเท่ากับรัศมีของวงกลม เราทำรอยบากจากปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางทั้งสองข้างทั้งสองด้าน

นอกจากนี้ยังมีเทคนิคทั่วไปในการแบ่งวงกลมออกเป็นส่วนๆ กี่ส่วนก็ได้ ลองพิจารณาโดยใช้ตัวอย่างการสร้างรูปหกเหลี่ยมปกติ (รูปที่ 27)

● เราวาดเส้นผ่านศูนย์กลางตั้งฉากกันสองเส้น (แนวนอนและแนวตั้ง)

● เราแบ่งเส้นผ่านศูนย์กลางที่เราต้องการทำให้แกนสมมาตรของรูปออกเป็นหลายส่วนเท่าที่วงกลมจะต้องถูกแบ่งออก ในรูป เส้นผ่านศูนย์กลาง 27 AB แบ่งออกเป็น 9 ส่วน เรานับคะแนนการแบ่งผลลัพธ์

● เราวางขาเข็มทิศไว้ที่จุดนั้น A และรัศมี เท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม วาดส่วนโค้งจนกระทั่งตัดกับความต่อเนื่องของเส้นผ่านศูนย์กลางแนวตั้ง เราได้จุด C

● เราเชื่อมต่อจุด C ถึงจุดหนึ่งโดยมีจุดแบ่งเส้นผ่านศูนย์กลางและทำต่อไปจนกว่าจะตัดกับส่วนโค้งตรงข้ามของวงกลมที่จุด I, II, III, IV หากจุดยอดด้านใดด้านหนึ่งของ nonagon ควรเป็นจุด A ให้ลากรังสีผ่านเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากันทั้งหมด (รูปที่ 27, a) หากจุด B ควรกลายเป็นหนึ่งในจุดยอด ก็ควรลากรังสีผ่านการแบ่งเส้นผ่านศูนย์กลางคี่ทั้งหมด (รูปที่ 27, b)

● เราแสดงจุดที่สร้างขึ้นอย่างสมมาตรโดยสัมพันธ์กับเส้นผ่านศูนย์กลางแนวนอน เราได้จุดยอดที่เหลือของรูป

2.2.1. ภารกิจที่ 4 การแบ่งวงกลม

วัตถุประสงค์: เพื่อศึกษาเทคนิคการแบ่งวงกลมออกเป็นส่วนเท่า ๆ กัน

ในรูปแบบ A3 ในการจับฉลากแถวแรก รูปหลายเหลี่ยมปกติ(สาม, สี่, ห้า, หก, เจ็ดและเก้าด้าน) จารึกเป็นวงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 60 มม. วงกลมที่เป็นเส้นเสริมควรบาง ร่างรูปหลายเหลี่ยมด้วยเส้นหนา