วิธีหาไซน์ระหว่างเส้นตรงและระนาบ หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

ซึ่งหมายถึงการหามุมระหว่างเส้นนี้กับเส้นโครงบนระนาบที่กำหนด

แบบจำลองเชิงพื้นที่ที่แสดงงานแสดงอยู่ในภาพ

แผนการแก้ปัญหา:
1. จากจุดใดก็ได้ ก∈กลดตั้งฉากกับเครื่องบินลง α ;
2. กำหนดจุดบรรจบของฉากตั้งฉากกับระนาบนี้ α - จุด เอ แอลฟา - การฉายภาพออโธกราฟิก กไปที่เครื่องบิน α ;
3. ค้นหาจุดตัดของเส้น กกับเครื่องบิน α - จุด α- เส้นทางตรง กบนเครื่องบิน α ;
4. เราดำเนินการ ( เอ แอลฟา) - การฉายเส้นตรง กไปที่เครื่องบิน α ;
5. กำหนดมูลค่าที่แท้จริง ∠ อา ฟา อา ฟาเช่น ∠ φ .

การแก้ปัญหา หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบสามารถทำให้ง่ายขึ้นอย่างมากหากเราไม่กำหนด ∠ φ ระหว่างเส้นตรงกับระนาบ และประกอบกันที่ 90° ∠ γ - ในกรณีนี้ไม่จำเป็นต้องกำหนดเส้นโครงของจุด กและเส้นโครงเส้นตรง กไปที่เครื่องบิน α - เมื่อรู้ถึงขนาด γ คำนวณโดยสูตร:

$ φ = 90° - γ $

กและเครื่องบิน α กำหนดโดยเส้นขนาน มและ n.

ก α
หมุนรอบแนวนอน มอบให้โดยคะแนน 5 และ 6 เรากำหนดขนาดจริง ∠ γ - เมื่อรู้ถึงขนาด γ คำนวณโดยสูตร:

$ φ = 90° - γ $

การกำหนดมุมระหว่างเส้นตรง กและเครื่องบิน α , กำหนดโดยรูปสามเหลี่ยมบีซีดี.

จากจุดใดก็ได้บนเส้น กลดตั้งฉากกับเครื่องบินลง α
โดยการหมุนรอบเส้นแนวนอนที่ระบุโดยจุดที่ 3 และ 4 เราจะกำหนดขนาดธรรมชาติ ∠ γ - เมื่อรู้ถึงขนาด γ เราคำนวณโดยใช้สูตร

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและเส้นตรงมาบ้าง - อนุญาต และ - ระนาบสองอันที่แตกต่างกันตัดกันเป็นเส้นตรง และให้ตามสมการตามนั้น สมการทั้งสองนี้ร่วมกันกำหนดเส้นตรง ถ้าหากพวกมันไม่ขนานกันและไม่เหมือนกัน นั่นคือ เวกเตอร์ปกติ
และ
เครื่องบินเหล่านี้ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

คำนิยาม.ถ้าสัมประสิทธิ์ของสมการ

ไม่เป็นสัดส่วนจึงเรียกว่าสมการเหล่านี้ สมการทั่วไปเส้นตรง หมายถึง เส้นตัดกันของระนาบ

คำนิยาม.เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่ขนานกับเส้นตรงจะถูกเรียก เวกเตอร์นำทางเส้นตรงนี้

ให้เราหาสมการของเส้นตรง ผ่านจุดที่กำหนด
พื้นที่และมีเวกเตอร์ทิศทางที่กำหนด
.

ปล่อยให้ประเด็น
- จุดใดก็ได้บนเส้นตรง - จุดนี้อยู่บนเส้นตรงก็ต่อเมื่อเวกเตอร์
มีพิกัด
, เส้นตรงกับเวกเตอร์ทิศทาง
โดยตรง. ตาม (2.28) เงื่อนไขสำหรับความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์
และ ดูเหมือนว่า

. (3.18)

สมการ (3.18) เรียกว่า สมการบัญญัติเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่ง
และมีเวกเตอร์ทิศทาง
.

ถ้าตรง ได้มาจากสมการทั่วไป (3.17) จากนั้นเวกเตอร์ทิศทาง เส้นตรงนี้ตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติ
และ
ระนาบที่ระบุโดยสมการ เวกเตอร์
ตามคุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ มันจะตั้งฉากกับเวกเตอร์แต่ละตัว และ - ตามคำนิยาม เป็นเวกเตอร์ทิศทาง โดยตรง คุณสามารถใช้เวกเตอร์ได้
, เช่น.
.

เพื่อหาจุด
พิจารณาระบบสมการ
- เนื่องจากระนาบที่กำหนดโดยสมการนั้นไม่ขนานกันและไม่ตรงกัน ดังนั้นความเท่าเทียมกันอย่างน้อยหนึ่งอันจึงไม่คงอยู่
- สิ่งนี้นำไปสู่ความจริงที่ว่ามีปัจจัยกำหนดอย่างน้อยหนึ่งตัว ,
,
แตกต่างจากศูนย์ เพื่อความชัดเจนเราจะถือว่าสิ่งนั้น
- แล้วเอา ค่าที่กำหนดเองเราได้รับระบบสมการของสิ่งที่ไม่รู้ และ :

ตามทฤษฎีบทของแครเมอร์ ระบบนี้มีคำตอบเฉพาะที่กำหนดโดยสูตร

,
. (3.19)

ถ้าคุณเอา
จากนั้นเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ (3.17) จะผ่านจุดนั้น
.

ดังนั้นสำหรับกรณีที่เมื่อ
สมการบัญญัติของเส้นตรง (3.17) มีรูปแบบ

สมการมาตรฐานของเส้นตรง (3.17) เขียนไว้คล้ายกันในกรณีที่ดีเทอร์มิแนนต์ไม่ใช่ศูนย์
หรือ
.

หากเส้นหนึ่งผ่านจุดสองจุดที่แตกต่างกัน
และ
แล้วสมการบัญญัติของมันก็จะมีรูปแบบ

. (3.20)

สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นตรงผ่านจุดนั้น
และมีเวกเตอร์ทิศทาง

ให้เราพิจารณาสมการบัญญัติ (3.18) ของเส้นตรง ให้เราพิจารณาแต่ละความสัมพันธ์เป็นพารามิเตอร์ , เช่น.
- ตัวส่วนของเศษส่วนตัวใดตัวหนึ่งไม่เป็นศูนย์ และตัวเศษที่ตรงกันสามารถรับค่าใดๆ ได้ ดังนั้นพารามิเตอร์ สามารถรับค่าที่แท้จริงใดๆ ก็ได้ โดยพิจารณาว่าแต่ละอัตราส่วนเท่ากัน เราได้รับ สมการพาราเมตริกโดยตรง:

,
,
. (3.21)

ให้เครื่องบิน ได้จากสมการทั่วไปและเส้นตรง - สมการพาราเมตริก
,
,
- จุด
จุดตัดของเส้นตรง และเครื่องบิน จะต้องเป็นของระนาบและเส้นพร้อมกัน สิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อพารามิเตอร์ เป็นไปตามสมการเช่น
- ดังนั้นจุดตัดของเส้นตรงและระนาบจึงมีพิกัด

ตัวอย่างที่ 32 เขียนสมการพาราเมตริกสำหรับเส้นตรงที่ผ่านจุดต่างๆ
และ
.

สารละลาย.สำหรับเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เราใช้เวกเตอร์

- เส้นตรงผ่านจุดหนึ่ง ดังนั้นตามสูตร (3.21) สมการเส้นตรงที่ต้องการจึงมีรูปแบบ
,
,
.

ตัวอย่างที่ 33 จุดยอดของรูปสามเหลี่ยม
มีพิกัด
,
และ
ตามลำดับ เขียนสมการพาราเมตริกสำหรับค่ามัธยฐานที่ดึงมาจากจุดยอด .

สารละลาย.อนุญาต
- ตรงกลางด้านข้าง
, แล้ว
,
,
- เนื่องจากเวกเตอร์นำทางของค่ามัธยฐาน เราใช้เวกเตอร์
- จากนั้นสมการพาราเมตริกของค่ามัธยฐานจะมีรูปแบบ
,
,
.

ตัวอย่างที่ 34 เขียนสมการบัญญัติของเส้นตรงที่ผ่านจุด
ขนานไปกับเส้น
.

สารละลาย.เส้นตรงถูกกำหนดให้เป็นเส้นตัดของระนาบกับเวกเตอร์ปกติ
และ
- เป็นเวกเตอร์นำทาง หาเวกเตอร์ของเส้นนี้
, เช่น.
- ตาม (3.18) สมการที่ต้องการจะมีรูปแบบ
หรือ
.

3.8. มุมระหว่างเส้นตรงในอวกาศ มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

ให้เส้นตรงสองเส้น และ ในอวกาศได้มาจากสมการบัญญัติ
และ
- จากนั้นอีกมุมหนึ่ง ระหว่างบรรทัดเหล่านี้ เท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง
และ
- ใช้สูตร (2.22) กำหนดมุม เราได้รับสูตร

. (3.22)

มุมที่สอง ระหว่างบรรทัดเหล่านี้มีค่าเท่ากัน
และ
.

เงื่อนไขของเส้นคู่ขนาน และ เทียบเท่ากับสภาวะคอลลิเนียร์ริตีของเวกเตอร์
และ
และอยู่ในสัดส่วนของพิกัด กล่าวคือ เงื่อนไขของเส้นคู่ขนานมีรูปแบบ

. (3.23)

ถ้าตรง และ ตั้งฉากกัน จากนั้นเวกเตอร์ทิศทางของพวกมันจะตั้งฉาก นั่นคือ เงื่อนไขตั้งฉากถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน

. (3.24)

พิจารณาเครื่องบิน กำหนดโดยสมการทั่วไปและเส้นตรง กำหนดโดยสมการบัญญัติ
.

มุม ระหว่างเส้นตรง และเครื่องบิน เป็นส่วนเสริมของมุม ระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงกับเวกเตอร์ปกติของระนาบนั่นคือ
และ
, หรือ

. (3.24)

เงื่อนไขความขนานของเส้นตรง และเครื่องบิน เทียบเท่ากับเงื่อนไขที่เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงและเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบตั้งฉาก กล่าวคือ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้จะต้องเท่ากับศูนย์:

ถ้าเส้นตั้งฉากกับระนาบ เวกเตอร์ทิศทางของเส้นและเวกเตอร์ปกติของระนาบจะต้องอยู่ในแนวเดียวกัน ในกรณีนี้ พิกัดของเวกเตอร์จะเป็นสัดส่วน เช่น

. (3.26)

ตัวอย่างที่ 35 หา มุมป้านระหว่างเส้นตรง
,
,
และ
,
,
.

สารละลาย.เวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้มีพิกัด
และ
- ดังนั้นมุมหนึ่ง ระหว่างเส้นตรงจะถูกกำหนดโดยอัตราส่วนเช่น
- ดังนั้นสภาพของปัญหาจึงเป็นไปตามมุมที่สองระหว่างเส้นตรงเท่ากับ
.

3.9. ระยะทางจากจุดถึงเส้นในอวกาศ

อนุญาต
 ชี้ในอวกาศพร้อมพิกัด
, เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการบัญญัติ
- มาหาระยะทางกัน จากจุด
เป็นเส้นตรง .

ลองใช้เวกเตอร์นำทางกัน
ตรงประเด็น
- ระยะทาง จากจุด
เป็นเส้นตรง คือความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ และ
- มาหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยใช้ผลคูณไขว้:

อีกด้านหนึ่ง.. จากความเท่าเทียมกันของด้านขวามือของความสัมพันธ์สองรายการสุดท้ายจะเป็นดังนี้

. (3.27)

3.10. ทรงรี

คำนิยาม. ทรงรีเป็นพื้นผิวลำดับที่สอง ซึ่งในระบบพิกัดบางระบบถูกกำหนดโดยสมการ

. (3.28)

สมการ (3.28) เรียกว่าสมการมาตรฐานของทรงรี

จากสมการ (3.28) จะได้ว่าระนาบพิกัดเป็นระนาบสมมาตรของทรงรี และต้นกำเนิดของพิกัดเป็นจุดศูนย์กลางของสมมาตร ตัวเลข
เรียกว่ากึ่งแกนของทรงรีและแทนความยาวของเซ็กเมนต์จากจุดกำเนิดถึงจุดตัดของทรงรีด้วยแกนพิกัด ทรงรีคือพื้นผิวที่มีขอบเขตล้อมรอบอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
,
,
.

ให้เราสร้างรูปทรงเรขาคณิตของทรงรี ในการทำเช่นนี้ ให้เราค้นหารูปร่างของเส้นตัดของระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด

หากต้องการให้เจาะจง ให้พิจารณาเส้นตัดกันของทรงรีกับระนาบ
ขนานกับระนาบ
- สมการสำหรับการฉายเส้นตัดบนระนาบ
จะได้มาจาก (3.28) ถ้าเราใส่ลงไป
- สมการของการประมาณการนี้คือ

. (3.29)

ถ้า
จากนั้น (3.29) คือสมการของวงรีจินตภาพและจุดตัดกันของทรงรีกับระนาบ
เลขที่ มันเป็นไปตามนั้น
- ถ้า
จากนั้นเส้น (3.29) จะเสื่อมลงเป็นจุด เช่น ระนาบ
แตะทรงรีที่จุดต่างๆ
และ
- ถ้า
, ที่
และคุณสามารถแนะนำสัญลักษณ์ได้

,
. (3.30)

จากนั้นสมการ (3.29) จะเกิดขึ้น

, (3.31)

เช่น การฉายภาพบนเครื่องบิน
เส้นตัดกันของทรงรีและระนาบ
คือวงรีที่มีครึ่งแกนซึ่งกำหนดด้วยความเท่ากัน (3.30) เนื่องจากเส้นตัดของพื้นผิวที่มีระนาบขนานกับระนาบพิกัดจึงเป็นเส้นโครงที่ "ยก" ให้สูง แล้วเส้นตัดกันเองก็เป็นรูปวงรี

เมื่อลดมูลค่าลง เพลาเพลา และ เพิ่มขึ้นและเข้าถึงมูลค่าสูงสุดได้ที่
กล่าวคือ ในส่วนของทรงรีโดยระนาบพิกัด
จะได้วงรีที่ใหญ่ที่สุดที่มีครึ่งแกน
และ
.

แนวคิดเรื่องทรงรีสามารถรับได้ในอีกทางหนึ่ง พิจารณาบนเครื่องบิน
ตระกูลวงรี (3.31) มีครึ่งแกน และ กำหนดโดยความสัมพันธ์ (3.30) และขึ้นอยู่กับ - แต่ละวงรีดังกล่าวเป็นเส้นระดับ นั่นคือ เส้นที่แต่ละจุดซึ่งมีค่าอยู่ เหมือนกัน “ การยก” แต่ละวงรีดังกล่าวให้สูง เราได้มุมมองเชิงพื้นที่ของทรงรี

จะได้ภาพที่คล้ายกันเมื่อพื้นผิวที่กำหนดตัดกันโดยระนาบขนานกับระนาบพิกัด
และ
.

ดังนั้นทรงรีจึงเป็นพื้นผิวทรงรีปิด ในกรณีที่
ทรงรีนั้นเป็นทรงกลม

เส้นตัดกันของทรงรีกับระนาบใดๆ จะเป็นวงรี เนื่องจากเส้นดังกล่าวเป็นเส้นจำกัดของลำดับที่สอง และเส้นจำกัดเพียงเส้นเดียวของลำดับที่สองคือวงรี

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบได้ ข้อเสนอที่ไม่ซ้ำใครโปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และ การศึกษาต่างๆเพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเรา
หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

หากจำเป็นตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี, วี การทดลองและ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือการร้องขอจาก หน่วยงานภาครัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเรา
หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

มุมระหว่างระนาบ

พิจารณาระนาบสองระนาบ α 1 และ α 2 ซึ่งกำหนดตามลำดับโดยสมการ:

ภายใต้ มุมระหว่างเครื่องบินสองลำเราจะเข้าใจหนึ่งในนั้น มุมไดฮีดรัลเกิดจากเครื่องบินเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ปกติและระนาบ α 1 และ α 2 เท่ากับหนึ่งในมุมไดฮีดรัลที่อยู่ติดกันที่ระบุ หรือ - นั่นเป็นเหตุผล - เพราะ และ , ที่

ตัวอย่าง.กำหนดมุมระหว่างระนาบ x+2ย-3z+4=0 และ 2 x+3ย+z+8=0.

เงื่อนไขความขนานของระนาบทั้งสอง

ระนาบสองอัน α 1 และ α 2 จะขนานกันก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันขนานกัน ดังนั้น .

ดังนั้น ระนาบสองระนาบจะขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของพิกัดที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วน:

หรือ

สภาพตั้งฉากของระนาบ

เห็นได้ชัดว่าระนาบสองระนาบตั้งฉากก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันตั้งฉากกัน และด้วยเหตุนี้ หรือ

ดังนั้น, .

ตัวอย่าง.

ตรงไปในอวกาศ

สมการเวกเตอร์สำหรับเส้น

สมการทางตรงพาราเมตริก

ตำแหน่งของเส้นในช่องว่างถูกกำหนดโดยการระบุจุดคงที่ใดๆ ม 1 และเวกเตอร์ขนานกับเส้นนี้

เรียกว่าเวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรง คำแนะนำเวกเตอร์ของเส้นนี้

เลยปล่อยให้เป็นเส้นตรง ลผ่านจุดหนึ่ง ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) นอนอยู่บนเส้นขนานกับเวกเตอร์ .

ลองพิจารณาดู จุดใดก็ได้ ม(x,y,z)บนเส้นตรง จากรูปก็ชัดเจนว่า .

เวกเตอร์และเป็นเส้นตรง ดังนั้นจึงมีตัวเลขดังกล่าว ที, อะไร , ตัวคูณอยู่ที่ไหน ทีสามารถยอมรับใด ๆ ค่าตัวเลขขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด มบนเส้นตรง ปัจจัย ทีเรียกว่าพารามิเตอร์ มีการกำหนดเวกเตอร์รัศมีของจุด ม 1 และ มตามลำดับ ผ่าน และ เราได้รับ สมการนี้เรียกว่า เวกเตอร์สมการของเส้นตรง มันแสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละค่าพารามิเตอร์ ทีสอดคล้องกับเวกเตอร์รัศมีของจุดใดจุดหนึ่ง มนอนเป็นเส้นตรง

ลองเขียนสมการนี้ในรูปแบบพิกัดกัน โปรดทราบว่า และจากที่นี่

สมการผลลัพธ์จะถูกเรียกว่า พารามิเตอร์สมการของเส้นตรง

เมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์ ทีพิกัดเปลี่ยนไป x, ยและ zและช่วงเวลา มเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

สมการมาตรฐานของทางตรง

อนุญาต ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) – จุดที่วางอยู่บนเส้นตรง ล, และ คือเวกเตอร์ทิศทางของมัน ให้เราพิจารณาประเด็นตามอำเภอใจอีกครั้ง ม(x,y,z)และพิจารณาเวกเตอร์

เป็นที่แน่ชัดว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันของพวกมันจะต้องเป็นสัดส่วน ดังนั้น

– ตามบัญญัติสมการของเส้นตรง

หมายเหตุ 1.โปรดทราบว่าสมการมาตรฐานของเส้นตรงสามารถได้รับจากสมการพาราเมตริกโดยการกำจัดพารามิเตอร์ ที- อันที่จริงจากสมการพาราเมตริกที่เราได้รับ หรือ .

ตัวอย่าง.เขียนสมการของเส้นตรง ในรูปแบบพาราเมตริก

มาแสดงกันเถอะ จากที่นี่ x = 2 + 3ที, ย = –1 + 2ที, z = 1 –ที.

หมายเหตุ 2ให้เส้นตั้งฉากกับอันใดอันหนึ่ง แกนประสานงานเช่น ขวาน วัว- จากนั้นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงจะตั้งฉาก วัว, เพราะฉะนั้น, ม=0. ดังนั้น สมการพาราเมตริกของเส้นตรงจะอยู่ในรูปแบบ

การแยกพารามิเตอร์ออกจากสมการ ทีเราได้สมการของเส้นตรงในรูปแบบ

อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ด้วย เราตกลงที่จะเขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรงในรูปแบบอย่างเป็นทางการ - ดังนั้น หากตัวส่วนของเศษส่วนตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ แสดงว่าเส้นตรงตั้งฉากกับแกนพิกัดที่สอดคล้องกัน

เช่นเดียวกัน, สมการบัญญัติ สอดคล้องกับเส้นตรง ตั้งฉากกับแกน วัวและ เฮ้ยหรือ ขนานกับแกน ออนซ์.

ตัวอย่าง.

สมการทั่วไปของเส้นตรงเท่ากับเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ

ในทุกเส้นตรงในอวกาศมีระนาบจำนวนนับไม่ถ้วน สองอันใดอันหนึ่งตัดกัน ให้นิยามมันในอวกาศ ดังนั้น สมการของระนาบสองระนาบใดๆ เมื่อพิจารณารวมกัน จะแสดงสมการของเส้นนี้

โดยทั่วไปแล้วทั้งสองอย่างไม่ได้ ระนาบขนานกำหนดโดยสมการทั่วไป

กำหนดเส้นตรงของจุดตัดของพวกเขา สมการเหล่านี้เรียกว่า สมการทั่วไปโดยตรง.

ตัวอย่าง.

สร้างเส้นที่กำหนดโดยสมการ

ในการสร้างเส้นตรง ก็เพียงพอที่จะหาจุดสองจุดใดก็ได้ วิธีที่ง่ายที่สุดคือเลือกจุดตัดของเส้นด้วย ประสานงานเครื่องบิน- เช่น จุดตัดกับระนาบ xOyเราได้รับจากสมการของเส้นตรง โดยสมมติว่า z= 0:

เมื่อแก้ไขระบบนี้แล้วเราจะพบประเด็น ม 1 (1;2;0).

ในทำนองเดียวกันสมมติว่า ย= 0 เราได้จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ xออซ:

จากสมการทั่วไปของเส้นตรงสามารถไปที่รูปแบบบัญญัติหรือ สมการพาราเมตริก- ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องค้นหาจุดใดจุดหนึ่ง ม 1 บนเส้นตรงและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

พิกัดจุด ม 1 ที่เราได้รับจากระบบสมการนี้ โดยให้ค่าพิกัดใดค่าหนึ่งตามอำเภอใจ ในการค้นหาเวกเตอร์ทิศทาง โปรดทราบว่าเวกเตอร์นี้จะต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติทั้งสองตัว และ - ดังนั้นเกินเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง ลคุณสามารถรับมันได้ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เวกเตอร์ปกติ: