เวกเตอร์ การดำเนินการกับเวกเตอร์ ในบทความนี้ เราจะพูดถึงว่าเวกเตอร์คืออะไร วิธีหาความยาวของเวกเตอร์ และวิธีคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข รวมถึงวิธีหาผลรวม ผลต่าง และผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว
ตามปกติทฤษฎีที่จำเป็นที่สุดเล็กน้อย
เวกเตอร์เป็นส่วนที่มีทิศทาง นั่นคือ ส่วนที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:
โดยจุด A คือจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และจุด B คือจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์
เวกเตอร์มีสองพารามิเตอร์: ความยาวและทิศทาง
ความยาวของเวกเตอร์คือความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ความยาวเวกเตอร์ถูกแทนด้วย
เวกเตอร์สองตัวบอกว่าเท่ากันถ้าพวกเขามี ความยาวเท่ากันและร่วมกำกับ
เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า ร่วมกำกับหากพวกมันอยู่บนเส้นคู่ขนานและมุ่งไปในทิศทางเดียวกัน: เวกเตอร์และโคทิศทาง:
เวกเตอร์สองตัวถูกเรียกตรงกันข้ามหากพวกมันอยู่บนเส้นคู่ขนานและถูกกำกับในทิศทางตรงกันข้าม: เวกเตอร์ และ และ และ ถูกกำกับในทิศทางตรงกันข้าม:
เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นขนานเรียกว่า คอลลิเนียร์: เวกเตอร์ และอยู่ในแนวเดียวกัน
ผลคูณของเวกเตอร์ตัวเลขเรียกว่าเวกเตอร์ที่มีทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ ถ้า title="k>0">, и направленный в !} ฝั่งตรงข้าม, ถ้า และซึ่งความยาวเท่ากับความยาวของเวกเตอร์คูณด้วย:
ถึง เพิ่มเวกเตอร์สองตัวและคุณต้องเชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์กับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ เวกเตอร์ผลรวมเชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์กับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์:
กฎการบวกเวกเตอร์นี้เรียกว่า กฎสามเหลี่ยม.
หากต้องการบวกเวกเตอร์สองตัวด้วย กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานคุณต้องเลื่อนเวกเตอร์จากจุดหนึ่งและสร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ผลรวมเวกเตอร์เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ด้วย มุมตรงข้ามสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
ผลต่างของเวกเตอร์สองตัวถูกกำหนดโดยผลรวม: ความแตกต่างของเวกเตอร์และเรียกว่าเวกเตอร์ดังกล่าวซึ่งเมื่อรวมกับเวกเตอร์จะให้เวกเตอร์:
มันต่อจากนี้ กฎการหาผลต่างของเวกเตอร์สองตัว: ในการที่จะลบเวกเตอร์ออกจากเวกเตอร์ คุณต้องพล็อตเวกเตอร์เหล่านี้จากจุดหนึ่ง เวกเตอร์ส่วนต่างเชื่อมต่อจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์เข้ากับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ (นั่นคือ จุดสิ้นสุดของจุดต่ำกว่าไปยังจุดสิ้นสุดของจุดสิ้นสุด):
เพื่อค้นหา มุมระหว่างเวกเตอร์และเวกเตอร์คุณต้องพลอตเวกเตอร์เหล่านี้จากจุดหนึ่ง มุมที่เกิดจากรังสีที่เวกเตอร์อยู่เรียกว่ามุมระหว่างเวกเตอร์:
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวคือตัวเลข เท่ากับสินค้าความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้ตามโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:
ฉันขอแนะนำให้คุณแก้ปัญหาจาก เปิดธนาคารงานสำหรับ จากนั้นตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของคุณด้วยวิดีโอสอน:
1. ภารกิจที่ 4 (หมายเลข 27709)
สองด้านของสี่เหลี่ยม เอบีซีดีมีค่าเท่ากับ 6 และ 8 จงหาความยาวของผลต่างระหว่างเวกเตอร์กับ
2. ภารกิจที่ 4 (หมายเลข 27710)
สองด้านของสี่เหลี่ยม เอบีซีดีมีค่าเท่ากับ 6 และ 8 จงหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และ (วาดจากงานก่อนหน้า)
3. ภารกิจที่ 4 (หมายเลข 27711)
สองด้านของสี่เหลี่ยม เอบีซีดี โอ- จงหาความยาวของผลรวมของเวกเตอร์ และ
4. ภารกิจที่ 4 (หมายเลข 27712)
สองด้านของสี่เหลี่ยม เอบีซีดีเท่ากับ 6 และ 8 เส้นทแยงมุมตัดกันที่จุด โอ- จงหาความยาวของผลต่างระหว่างเวกเตอร์กับ (วาดจากงานก่อนหน้า)
5. ภารกิจที่ 4 (หมายเลข 27713)
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เอบีซีดีมีค่าเท่ากับ 12 และ 16 จงหาความยาวของเวกเตอร์
6. ภารกิจที่ 4 (หมายเลข 27714)
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เอบีซีดีมีค่าเท่ากับ 12 และ 16 จงหาความยาวของเวกเตอร์ +
7.ภารกิจที่ 4 (หมายเลข 27715)
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เอบีซีดีมีค่าเท่ากับ 12 และ 16 ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ - .(วาดจากปัญหาก่อนหน้า)
8.ภารกิจที่ 4 (หมายเลข 27716)
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เอบีซีดีมีค่าเท่ากับ 12 และ 16 จงหาความยาวของเวกเตอร์ -
9. ภารกิจที่ 4 (หมายเลข 27717)
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เอบีซีดีตัดกันที่จุดหนึ่ง โอและมีค่าเท่ากับ 12 และ 16 จงหาความยาวของเวกเตอร์ +
10. ภารกิจที่ 4 (หมายเลข 27718)
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เอบีซีดีตัดกันที่จุดหนึ่ง โอและมีค่าเท่ากับ 12 และ 16 จงหาความยาวของเวกเตอร์ - .(วาดจากโจทย์ที่แล้ว)
11.ภารกิจที่ 4 (หมายเลข 27719)
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เอบีซีดีตัดกันที่จุดหนึ่ง โอและเท่ากับ 12 และ 16 ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และ . (วาดจากปัญหาก่อนหน้า)
12. ภารกิจที่ 4 (หมายเลข 27720)
เอบีซีเท่ากัน จงหาความยาวของเวกเตอร์ +
13. ภารกิจที่ 4 (หมายเลข 27721)
ภาคี สามเหลี่ยมปกติ เอบีซีมีค่าเท่ากับ 3 จงหาความยาวของเวกเตอร์ - (วาดจากโจทย์ที่แล้ว)
14. ภารกิจที่ 4 (หมายเลข 27722)
ด้านของสามเหลี่ยมปกติ เอบีซีมีค่าเท่ากับ 3 จงหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และ (วาดจากงานก่อนหน้า)
เบราว์เซอร์ของคุณอาจไม่รองรับ เพื่อใช้เทรนเนอร์” ชั่วโมงสอบ Unified State" ให้ลองดาวน์โหลด
ไฟร์ฟอกซ์
ปัญหาเกี่ยวกับเวกเตอร์ในการสอบ Unified State เพื่อนรัก- คุณรู้ไหมว่าข้อสอบคณิตศาสตร์มีงานประเภทนี้ด้วย ไม่ใช่ความจริงที่ว่าคุณจะได้รับงานดังกล่าว แต่คุณต้องเตรียมตัวและเข้าใจหัวข้อไม่ว่าในกรณีใด ในบล็อก เรามีปัญหาหลายประการเกี่ยวกับผลรวม (ผลต่าง) ของเวกเตอร์ ความยาวของเวกเตอร์ มีทฤษฎีที่จำเป็นในบทความเดียวกันดูก่อนที่จะดูปัญหาด้านล่าง
ในบล็อกด้วย หากคุณต้องการจำไว้ว่า abscissa และลำดับของจุดคืออะไร ให้ลองดูทำซ้ำสั้น ๆ :
ในการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ คุณต้องหาพิกัดจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ลบพิกัดต้นทางที่สอดคล้องกัน:
สูตรกำหนดความยาวของเวกเตอร์ หากทราบพิกัดจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:
สูตรกำหนดความยาวของเวกเตอร์หากทราบพิกัด:
27725 เวกเตอร์ AB ที่มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุดก(2;4) มีพิกัด (6;2) ค้นหาพิกัดของจุดบี.
ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว พิกัดของเวกเตอร์คือ ดังต่อไปนี้: และจากพิกัดปลายที่สอดคล้องกันพิกัดของแหล่งกำเนิดเวกเตอร์จะถูกลบออก นั่นคือ:
เราได้รับพิกัดของเวกเตอร์แล้วยังได้รับพิกัดของแหล่งกำเนิดด้วยซึ่งหมายความว่า:
ดังนั้นเราจึงสามารถหาพิกัดของจุด B ได้:
x 2 – 2 = 6 ปี 2 – 4 = 2
x 2 = 8 ปี 2 = 6
ดังนั้น พิกัดของจุด B คือ 6
คำตอบ: 6
27726 เวกเตอร์ AB ที่มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุด ก(3;6) มีพิกัด (9;3) ค้นหาผลรวมของพิกัดของจุด B
ปัญหาของกระบวนการแก้ไขจะเหมือนกับปัญหาก่อนหน้า แต่คำถามกลับแตกต่างออกไป การคำนวณยังอยู่ภายใน การนับจิต- อีกครั้งหนึ่งที่เราเขียนพิกัดของเวกเตอร์เมื่อทราบพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:
พิกัดของเวกเตอร์และพิกัดของแหล่งกำเนิดถูกกำหนดไว้ ซึ่งหมายความว่า:
เราสามารถหาพิกัดของจุด B ได้:
x 2 – 3 = 9 ปี 2 – 6 = 3
x 2 = 12 ปี 2 = 9
ดังนั้น ผลรวมของพิกัดของจุด B คือ 21
คำตอบ: 21
27727 เวกเตอร์ AB สิ้นสุดที่จุด B (5;3) มีพิกัด (3;1) ค้นหาแอบซิสซาและกำหนดจุด กรวมถึงผลรวมของพิกัดด้วย
เรารู้พิกัดของเวกเตอร์และพิกัดของจุดสิ้นสุด ซึ่งหมายความว่า:
เราสามารถหาพิกัดของจุด A ได้:
5 – x 1 = 3 3 – ย 1 = 1
x 1 = 2 ปี 1 = 2
ดังนั้น ค่าแอบซิสซาของจุด A เท่ากับ 2, พิกัดก็เท่ากับ 2 ด้วย และผลรวมของพิกัดเท่ากับ 2+2 = 4
27731 จงหากำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ a + b
ในปัญหานี้ คุณจะต้องค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ซึ่งก็คือผลรวม เวกเตอร์ที่ระบุแล้วหาความยาวแล้วยกกำลังสอง ลองเขียนสูตรสำหรับความยาวของเวกเตอร์หากทราบพิกัดของมัน:
หรือในรูปแบบอื่น:
ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ ซึ่งก็คือผลรวมของเวกเตอร์เหล่านี้เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกให้ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้
พิจารณาเวกเตอร์:
พิจารณาเวกเตอร์:
*สามารถเขียนได้ทันทีโดยดูจากภาพร่าง เนื่องจากจุดกำเนิดของมันตรงกับที่มาของพิกัด
ทีนี้ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ที่เป็นผลรวมของมัน:
(2 + 8; 6 + 4) = (10;10)
ดังนั้น ความยาวของเวกเตอร์ที่เป็นผลรวมของเวกเตอร์ a และ b เท่ากับ:
ดังนั้น ความยาวกำลังสองจะเท่ากับ 200
*มีประสบการณ์ในการแก้ปัญหา งานที่คล้ายกันคุณสามารถเขียนได้ทันที:
อย่างที่คุณเห็นการคำนวณสามารถทำได้ด้วยวาจา เราตั้งใจนำเสนอวิธีแก้ปัญหาอย่างละเอียดที่นี่เพื่อคุณ
คำตอบ: 200
27733. จงหากำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ a – b
งานจะคล้ายกับงานก่อนหน้า จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ซึ่งเป็นผลต่างของเวกเตอร์ที่นำเสนอ จากนั้นจึงหาความยาวของมันและนำผลลัพธ์มายกกำลังสอง
เรารู้พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้แล้ว (จากปัญหาที่แล้ว):
ทีนี้ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ซึ่งก็คือความแตกต่าง:
(2 – 8; 6 – 4) = (–6;2)
ดังนั้นความยาวของเวกเตอร์ซึ่งก็คือผลต่างของเวกเตอร์
ดังนั้น กำลังสองของความยาวจะเท่ากับ 40
*คุณสามารถเขียนและคำนวณได้ทันที:
เรียกว่าแกนแอบซิสซาและแกนพิกัด พิกัด เวกเตอร์. พิกัดเวกเตอร์มักจะระบุอยู่ในแบบฟอร์ม (x, ย)และเวกเตอร์เองเป็น: =(x, y)
สูตรหาพิกัดเวกเตอร์สำหรับปัญหาสองมิติ
ในกรณีที่ ปัญหาสองมิติเวกเตอร์ที่มีชื่อเสียง พิกัดของจุด ก(x 1; ปี 1)และ บี(x 2 ; ย 2 ) สามารถคำนวณได้:
= (x 2 - x 1; และ 2 - ปี 1)
สูตรหาพิกัดเวกเตอร์สำหรับปัญหาเชิงพื้นที่
ในกรณีที่เกิดปัญหาเชิงพื้นที่เวกเตอร์ที่ทราบ พิกัดของจุดก (x 1; และ 1;z 1 ) และบี (x 2 ; ย 2 ; z 2 ) สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
= (x 2 - x 1 ; ย 2 - ย 1 ; z 2 - z 1 ).
พิกัดมาให้แล้ว คำอธิบายที่ครอบคลุม vector เนื่องจากสามารถสร้างเวกเตอร์เองได้โดยใช้พิกัด เมื่อทราบพิกัดแล้วจึงง่ายต่อการคำนวณและ ความยาวเวกเตอร์- (ทรัพย์สิน 3 ด้านล่าง)
คุณสมบัติของพิกัดเวกเตอร์
1. อะไรก็ได้ เวกเตอร์ที่เท่ากัน วี ระบบแบบครบวงจรพิกัดมี พิกัดที่เท่ากัน.
2. พิกัด เวกเตอร์คอลลิเนียร์ เป็นสัดส่วน โดยมีเงื่อนไขว่าไม่มีเวกเตอร์ตัวใดเป็นศูนย์
3. กำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ใดๆ เท่ากับผลรวมกำลังสองมัน พิกัด.
4.ระหว่างการผ่าตัด การคูณเวกเตอร์บน จำนวนจริงแต่ละพิกัดของมันจะถูกคูณด้วยจำนวนนี้
5. เมื่อบวกเวกเตอร์ เราจะคำนวณผลรวมของค่าที่เกี่ยวข้อง พิกัดเวกเตอร์.
6. สินค้าดอทเวกเตอร์สองตัวเท่ากับผลรวมของผลคูณของพิกัดที่สอดคล้องกัน