วิธีพิสูจน์ว่าเส้นตั้งฉากกับระนาบ สัญลักษณ์ของความตั้งฉากของเส้นและระนาบ: ทฤษฎีและการปฏิบัติ

การวิจัยบทเรียน

ความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน : แสดงวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่หลากหลาย พัฒนาทักษะการวิจัยของนักเรียน

การเตรียมตัวสำหรับบทเรียน: ที่ปรึกษานักเรียนที่บ้านเตรียมโดยใช้เอกสารเพิ่มเติมเจ็ดข้อพิสูจน์ถึงเครื่องหมายตั้งฉากของเส้นและระนาบ

ความก้าวหน้าของบทเรียน: I

คำกล่าวเปิดงานของอาจารย์:

บทเรียนวันนี้เป็นบทเรียนในการวิจัย ในกระบวนการแก้ปัญหาและตอบคำถามที่เป็นปัญหาทุกคนจะต้องเข้าใกล้การกำหนดทฤษฎีบทตั้งฉากของเส้นและระนาบและทำความคุ้นเคยกับเจ็ดตัวเลือกในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เพื่อเลือกทฤษฎีบทที่เหมาะสมที่สุดและกระตุ้นอย่างละเอียด ความคิดเห็นของพวกเขา

1. การเตรียมการสำหรับการกำหนดทฤษฎีบท:

การทำซ้ำคำจำกัดความของตั้งฉากกับระนาบ การวิเคราะห์การประยุกต์แนวคิดนี้ในทางปฏิบัติโดยการแก้ปัญหา

ภารกิจที่ 1

ให้ไว้: ระนาบ จุด A และ B ในระนาบนี้ AM เป็นเส้นตั้งฉากกับระนาบนี้ กำหนดประเภทของสามเหลี่ยม AMB

ปัญหาตามตัวเลือก

ให้ระนาบรูปสี่เหลี่ยม ABCD AM ตั้งฉากกับระนาบ ABCD สามเหลี่ยมใด ABC, ACD, ABD, BCD, ADM, ABM, CAM เป็นมุมฉาก

ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เส้นตรง BK ตั้งฉากกับระนาบของสี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยมใด ABD, BCD, ABK, BDK, BCK เป็นมุมฉาก

ที่ปรึกษารวบรวมกระดาษและตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา จากนั้นครูก็นำนักเรียนไปสู่ข้อสรุป:

1. จริงหรือไม่ที่เส้นตรงตั้งฉากกับระนาบ

ตั้งฉากกับเส้นใดๆ ที่อยู่ในระนาบนี้?

2.เส้นตรงตั้งฉากกับระนาบเมื่อใด

3. เครื่องบินมีกี่เส้น? เป็นไปได้ไหมที่จะนับพวกมัน?

นักศึกษา-ที่ปรึกษาบนแบบจำลองที่ทำจากเข็มถักแสดงตัวเลือกต่าง ๆ : ในระนาบมีเส้นตรงสองเส้นในระนาบเส้นตรงตั้งฉากกับหนึ่งในนั้นบทสรุป: เส้นไม่ตั้งฉากกับระนาบ เวอร์ชันถัดไปของโมเดล: เส้นตรงตั้งฉากกับเส้นตรงสองเส้นที่วางอยู่บนระนาบ และปรากฎว่าตั้งฉากกับระนาบ ถัดไปเพื่อรักษาความปลอดภัยคุณสามารถใช้แบบจำลองเส้นตรงสามเส้นเป็นต้น

เมื่อทำงานกับแบบจำลองเสร็จแล้ว นักเรียนจะถูกถามคำถามที่เป็นปัญหาต่อไป: ในระนาบมีกี่เส้นเพียงพอที่จะบอกว่าเส้นนั้นตั้งฉากกับระนาบ

หลังจากตรวจสอบสถานการณ์ตั้งฉากกับเส้นตรงและระนาบแล้ว เราได้เข้าใกล้ทฤษฎีบทที่จะทำให้สามารถระบุตั้งฉากกับเส้นตรงและระนาบในภาพวาด แบบจำลอง และในทางปฏิบัติได้ ลองกำหนดทฤษฎีบทกัน

พวกเขาเสนอสูตรทฤษฎีบทในเวอร์ชันของตัวเอง ครูเลือกเหตุผลที่สมเหตุสมผลที่สุดและเสนอให้ฟังสูตรและการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่เป็นปัญหาในรูปแบบต่างๆ ซึ่งนักเรียนพบที่บ้านในวรรณกรรมที่แนะนำ

2. การพิสูจน์ทฤษฎีบท:

ทฤษฎีบท: ถ้าเส้นที่ตัดกันระนาบตั้งฉากกับเส้นสองเส้นใดๆ ที่ลากบนระนาบนี้ผ่านจุดตัดกันของเส้นนี้กับระนาบ มันจะตั้งฉากกับเส้นที่สามใดๆ ที่ลากในระนาบนี้ผ่านจุดตัดกันเดียวกันด้วย

การพิสูจน์: เอาไลน์ AA ไปเลย 1 ความยาวตามอำเภอใจ แต่มีส่วนเท่ากัน OA และ OA 1 และลากเส้นบนระนาบที่จะตัดกันสามเส้นที่เล็ดลอดออกมาจากจุด O ที่จุด C, D และ B เชื่อมต่อจุดเหล่านี้กับจุด A และ A 1 - เราจะได้สามเหลี่ยมหลายอัน ∆ACB= ∆A 1 CB เนื่องจากพวกเขามี BC - ทั่วไป AC=A 1 C - เอียงเป็นเส้นตรง AA 1 ซึ่งอยู่ห่างจากฐาน O ของ OS ตั้งฉากเท่ากัน ด้วยเหตุผลเดียวกัน AB=A 1 B. จากความเท่ากันของสามเหลี่ยมเหล่านี้ จะได้ว่า ∟ABC=∟A 1 ปีก่อนคริสตกาล

∆ABD=∆A 1 BD ตามเครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม: BD - ทั่วไป, AB=A 1 B ตามที่พิสูจน์แล้ว ∟ABC= ∟A 1 ก่อนคริสต์ศักราช จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้ AD=A 1 วัน

∆АОD=∆A1OD ตามเกณฑ์ที่สามสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้ จะได้ว่า AOD= A1OD; และเนื่องจากมุมเหล่านี้อยู่ติดกัน AA1 จึงตั้งฉากกับ OD

ทฤษฎีบท: เส้นตั้งฉากกับเส้นที่ตัดกันสองเส้นของระนาบนั้นตั้งฉากกับระนาบ

กรณีแรก เมื่อทุกเส้น a, b, c ผ่านจุด O - จุดตัดของเส้นกับระนาบ α ให้เราทำเครื่องหมายเวกเตอร์ OP บนเส้น p, เวกเตอร์ OC บนเส้น c และพิสูจน์ว่าผลคูณของเวกเตอร์ OP และ OC เท่ากับ 0

ให้เราแยกเวกเตอร์ OC ออกเป็นเวกเตอร์ OA และ OB ซึ่งอยู่ตามลำดับบนเส้น a และ b จากนั้น (เรากำลังพูดถึงเวกเตอร์) OC=OA+OB วิธี:

OP∙OC=OP (OA+OB)=OP∙OA+OP∙OB

แต่ OP ┴ OA, OP ┴ OB; ดังนั้น OP∙OA=0, OP∙OB=0 ดังนั้น OP∙OC=0; หมายถึง OP ┴ OC และ p ┴ s แต่ c คือเส้นตรงใดๆ ของระนาบ นี่หมายถึง p ┴ α

กรณีที่สอง เมื่อเส้นตรง a, b, c ไม่ผ่านจุด O ให้เราลากเส้นตรง a1||a ผ่านจุด O b1||ข; c1||ค. ตามเงื่อนไข p ┴ a, p ┴ b ซึ่งหมายถึง p ┴ a1, p ┴ b1 และตามที่พิสูจน์แล้วข้างต้น คือ p ┴ c1 ดังนั้น p ┴ c เส้น с – เส้นใดๆ ของระนาบ α; ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง p ตั้งฉากกับเส้นตรงทั้งหมดที่อยู่ในระนาบ α ดังนั้น p ┴ α

ทฤษฎีบท: ถ้าเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นตัดกันสองเส้นที่อยู่ในระนาบ เส้นนั้นจะตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด

หลักฐานสามารถนำมาจากหนังสือเรียนโดย A.V. Pogorelov "เรขาคณิต 7-11"

เอ 1

α A X B

เอ 2

รุ่น IV E.E. ตำนาน

ทฤษฎีบท: เส้นตั้งฉากกับเส้นสองเส้นที่วางอยู่บนระนาบนั้นตั้งฉากกับตัวเครื่องบินเองโอ

ให้ไว้: SO  OA, SO  OB, OA C  .,OB C 

พิสูจน์: ดังนั้น  

การพิสูจน์:

1. ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมสามารถแสดงเป็นด้านได้

04.00 น. 2 =2(AB 2 +AC 2)-BC 2

2 เราลากเส้นตรงผ่านจุด C เพื่อให้ส่วน AB ซึ่งอยู่ระหว่างด้านข้างของมุม AOB จะถูกแบ่งครึ่ง ณ จุดนี้ นั่นคือ AC = BC SC – ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม ASB: 4SC 2 =2(ส 2 +SB 2)-AB 2 - OS – ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม AOB: 4OB 2 =2(เอโอ 2 +โอบี 2)-เอบี 2 - เมื่อลบความเท่าเทียมกันเหล่านี้ทีละเทอม เราจะได้: 4(SC 2 -ระบบปฏิบัติการ 2 )=2((SA 2 -AO 2 )+(SB 2 -OV 2 - นิพจน์ในวงเล็บทางด้านขวาของค่าความเสมอภาคสามารถแทนที่ได้โดยวิธีพีทาโกรัส สำหรับสามเหลี่ยม AOS: SO 2 =SA 2 -OA 2 - สำหรับสามเหลี่ยม BOS: SO 2 =SB 2 -OV 2

ดังนั้น: 4(SC 2 -OS 2 )=2(SO 2 +SO 2 ), 4(SC 2 -OS 2 )=4SO 2 , SC 2 -OS 2 =SO 2 โดยที่ SC 2 =SO 2 +OS 2 - ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสผกผัน SO ระบบปฏิบัติการ OS - เส้นตรงที่เป็นของเครื่องบิน หมายถึง ดังนั้น 

ทฤษฎีบท: ถ้าเส้นตั้งฉากกับเส้นที่ตัดกันสองเส้นที่วางอยู่บนระนาบ เส้นนี้จะตั้งฉากกับระนาบ.

ขอให้เราพิสูจน์ว่าเส้นตรง l ตั้งฉากกับเส้นที่สามใดๆ ในระนาบ

1. โครงสร้าง: เราย้ายเส้น m, n, g ขนานกับจุด O; OA=OS=OD=OB ดังนั้น ABCD จึงเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก เชื่อมต่อ A, B, C, D กับจุด M บางจุด
2. สามเหลี่ยม AMD เท่ากับ BMC ทั้งสามด้าน ดังนั้นมุม 1 เท่ากับมุม 2 สามเหลี่ยม MDL เท่ากับสามเหลี่ยม MKV บนสองด้านและมุมระหว่างพวกมัน MD=MB, LD=BK – สมมาตรจากส่วนกลาง ดังนั้น MK=LM
3. สามเหลี่ยม MLK คือหน้าจั่ว OM คือค่ามัธยฐาน และด้วยเหตุนี้ความสูง ได้โอมแล้ว ก. ดังนั้น ล.  ก. ดังนั้น ล 

ทฤษฎีบท: ถ้าเส้นตั้งฉากกับเส้นที่ตัดกันสองเส้นในระนาบ เส้นนั้นจะตั้งฉากกับระนาบนั่นเอง.

ป 1

การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับความสมมาตรรอบแกนของระนาบ

1. การก่อสร้าง: l  l 1, ม. O  ลิตร 1, ม.  n = O, OP=OP' .
2. จุด P และ P' มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน m และ P และ P' มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน n เช่นกัน แล้ว ((ม  n)  ) – ระนาบสมมาตรของจุด P และ P’ ดังนั้นล 

3. อภิปรายทางเลือกต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท นักเรียนแสดงความคิดเห็นว่าหลักฐานใดในความคิดเห็นของพวกเขาเหมาะสมที่สุดและเพราะเหตุใด ครูอนุญาตให้คุณเลือกตัวเลือกใดก็ได้สำหรับตัวคุณเองและเชื่อมโยงทฤษฎีบทกับตัวอย่างจากชีวิต: ในเทคโนโลยีมักพบทิศทางที่ตั้งฉากกับระนาบ มีการติดตั้งคอลัมน์เพื่อให้แกนตั้งฉากกับระนาบของฐานราก ตะปูถูกตอกเข้าไปในกระดานเพื่อให้ตั้งฉากกับระนาบของกระดาน ในกระบอกสูบของเครื่องจักรไอน้ำ ก้านจะตั้งฉากกับระนาบของลูกสูบ เป็นต้น ทิศทางแนวตั้งมีความสำคัญอย่างยิ่ง กล่าวคือ ทิศทางของแรงโน้มถ่วงซึ่งตั้งฉากกับระนาบแนวนอน

ปัญหา: ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เส้น OK ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

พิสูจน์: ตกลงตั้งฉากกับระนาบของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

สรุปบทเรียน

การบ้าน น.17, เลขที่ 120, เลขที่ 129

ความตั้งฉากในอวกาศอาจมี:

1. เส้นตรงสองเส้น

3. เครื่องบินสองลำ

ลองดูสามกรณีนี้ตามลำดับ: คำจำกัดความและข้อความของทฤษฎีบททั้งหมดที่เกี่ยวข้องกัน จากนั้นเราจะพูดถึงทฤษฎีบทที่สำคัญมากเกี่ยวกับฉากตั้งฉากสามอัน

เส้นตั้งฉากของสองเส้น

คำนิยาม:

คุณสามารถพูดได้ว่า: พวกเขาค้นพบอเมริกาเพื่อฉันด้วย! แต่จำไว้ว่าในอวกาศทุกอย่างไม่เหมือนกับบนเครื่องบินทุกประการ

บนเครื่องบิน เฉพาะเส้นต่อไปนี้ (ตัดกัน) เท่านั้นที่สามารถตั้งฉากได้:

แต่เส้นตรงสองเส้นสามารถตั้งฉากในอวกาศได้แม้ว่าจะไม่ได้ตัดกันก็ตาม ดู:

เส้นตรงตั้งฉากกับเส้นตรง แม้ว่าจะไม่ได้ตัดกันก็ตาม ยังไงล่ะ? ให้เรานึกถึงคำจำกัดความของมุมระหว่างเส้นตรง: เพื่อหามุมระหว่างเส้นที่ตัดกัน และคุณต้องวาดเส้นตรงผ่านจุดใดก็ได้บนเส้น a แล้วมุมระหว่าง และ (ตามนิยาม!) จะเท่ากับมุมระหว่าง และ

คุณจำได้ไหม? ในกรณีของเรา ถ้าเส้นตรงกลายเป็นเส้นตั้งฉาก เราต้องพิจารณาเส้นตรงและตั้งฉากกัน

เพื่อความชัดเจนที่สมบูรณ์เรามาดูกันที่ ตัวอย่าง.ให้มีลูกบาศก์ และคุณจะถูกขอให้หามุมระหว่างเส้นกับ เส้นเหล่านี้ไม่ตัดกัน - พวกมันตัดกัน หากต้องการหามุมระหว่าง และ ลองวาดกัน

เนื่องจากมันเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (และแม้แต่สี่เหลี่ยมด้วยซ้ำ!) ปรากฎว่า และเนื่องจากมันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ปรากฎว่า นั่นหมายความว่า

ความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ

คำนิยาม:

นี่คือภาพ:

เส้นตรงจะตั้งฉากกับระนาบถ้ามันตั้งฉากกับเส้นตรงทั้งหมดในระนาบนี้: และ, และ, และ, และแม้กระทั่ง! และอีกนับพันล้านรายการโดยตรง!

ใช่ แต่โดยทั่วไปแล้วคุณจะตรวจสอบความตั้งฉากในเส้นตรงและในระนาบได้อย่างไร ดังนั้นชีวิตจึงไม่พอ! แต่โชคดีสำหรับเรา นักคณิตศาสตร์ช่วยเราจากฝันร้ายแห่งความไม่มีที่สิ้นสุดด้วยการประดิษฐ์คิดค้น สัญลักษณ์ของการตั้งฉากของเส้นและระนาบ.

ให้เรากำหนด:

ให้คะแนนว่ามันยอดเยี่ยมแค่ไหน:

หากมีเส้นตรงเพียงสองเส้น (และ) ในระนาบที่เส้นตรงตั้งฉาก เส้นตรงนี้จะกลายเป็นตั้งฉากกับระนาบทันที นั่นคือกับเส้นตรงทั้งหมดในระนาบนี้ (รวมถึงเส้นตรงบางเส้นด้วย) เส้นยืนด้านข้าง) นี่เป็นทฤษฎีบทที่สำคัญมาก ดังนั้นเราจะวาดความหมายของมันในรูปแบบของแผนภาพด้วย

และมาดูอีกครั้ง ตัวอย่าง.

ให้เราได้รับจัตุรมุขปกติ

ภารกิจ: พิสูจน์สิ่งนั้น คุณจะพูดว่า: นี่คือสองเส้นตรง! เส้นตั้งฉากกับระนาบเกี่ยวอะไรด้วย?!

แต่ดูสิ:

มาทำเครื่องหมายตรงกลางขอบแล้ววาดและ พวกนี้คือค่ามัธยฐานในและ สามเหลี่ยมเป็นประจำและ...

นี่คือปาฏิหาริย์: ปรากฎว่าตั้งแต่และ และยิ่งไปกว่านั้นถึงเส้นตรงทุกเส้นในระนาบซึ่งหมายถึงและ พวกเขาพิสูจน์แล้ว และจุดที่สำคัญที่สุดคือการใช้เครื่องหมายตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบอย่างแม่นยำ

เมื่อระนาบตั้งฉาก

คำนิยาม:

นั่นคือ (สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม ดูหัวข้อ "มุมไดฮีดรัล") ระนาบสองอัน (และ) จะตั้งฉากกัน หากปรากฎว่ามุมระหว่างสองฉากตั้งฉาก (และ) กับเส้นตัดกันของระนาบเหล่านี้เท่ากัน และมีทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงแนวคิดเรื่องระนาบตั้งฉากกับแนวคิดเรื่องตั้งฉากในปริภูมิของเส้นตรงและระนาบ

ทฤษฎีบทนี้เรียกว่า

เกณฑ์สำหรับความตั้งฉากของระนาบ

มากำหนดกัน:

เช่นเคยการถอดรหัสคำว่า "แล้วเท่านั้น" จะมีลักษณะดังนี้:

• ถ้าแล้วผ่านตั้งฉากกับ

• ถ้ามันผ่านตั้งฉากกับแล้ว

(โดยธรรมชาติแล้ว ที่นี่เราเป็นเครื่องบิน)

ทฤษฎีบทนี้เป็นหนึ่งในทฤษฎีที่สำคัญที่สุดใน Stereometry แต่น่าเสียดายที่เป็นหนึ่งในทฤษฎีที่นำไปใช้ยากที่สุดเช่นกัน

ดังนั้นคุณต้องระวังให้มาก!

ดังนั้น ประโยคที่ว่า

และถอดรหัสคำว่า "เมื่อนั้นเท่านั้น" อีกครั้ง ทฤษฎีบทระบุสองสิ่งพร้อมกัน (ดูรูป):

ลองใช้ทฤษฎีบทนี้เพื่อแก้ปัญหากัน

งาน: ให้ปิรามิดหกเหลี่ยมธรรมดามา ค้นหามุมระหว่างเส้นและ

สารละลาย:

เนื่องจากความจริงที่ว่าในปิรามิดปกติเมื่อฉายภาพจุดยอดจะตกลงไปที่กึ่งกลางของฐานปรากฎว่าเส้นตรงเป็นการฉายเส้นตรง

แต่เรารู้ว่ามันอยู่ในรูปหกเหลี่ยมปกติ เราใช้ทฤษฎีบทของสามตั้งฉาก:

และเราเขียนคำตอบ: .

ความตั้งฉากของเส้นตรงในอวกาศ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

เส้นตั้งฉากของสองเส้น

เส้นตรงสองเส้นในอวกาศจะตั้งฉากกันถ้ามีมุมระหว่างเส้นทั้งสอง

ความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ

เส้นจะตั้งฉากกับระนาบหากตั้งฉากกับเส้นทั้งหมดในระนาบนั้น

ความตั้งฉากของเครื่องบิน

ระนาบจะตั้งฉากถ้ามุมไดฮีดรัลระหว่างพวกมันเท่ากัน

เกณฑ์สำหรับความตั้งฉากของระนาบ

ระนาบสองระนาบจะตั้งฉากก็ต่อเมื่อระนาบใดระนาบหนึ่งผ่านตั้งฉากกับระนาบอีกระนาบหนึ่ง

ทฤษฎีบทสามตั้งฉาก:

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

สำหรับการผ่านการสอบ Unified State ได้สำเร็จ เพื่อเข้าวิทยาลัยด้วยงบประมาณ และที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสอีกมากมายเปิดอยู่ตรงหน้าและชีวิตก็สดใสขึ้นใช่ไหม? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

รับมือกับปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้องการ แก้ปัญหากับเวลา.

และหากคุณยังไม่ได้แก้ไข (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันเหมือนกับในกีฬา คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหาการวิเคราะห์โดยละเอียดและตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - ซื้อหนังสือเรียน - 899 RUR

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดอยู่ที่ทฤษฎีเท่านั้น

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

คำนิยาม. ระนาบที่ตัดกันตรงเรียกว่าตั้งฉากกับระนาบนี้ ถ้าระนาบนั้นตั้งฉากกับเส้นตรงใดๆ ที่อยู่ในระนาบที่กำหนดและผ่านจุดตัดกัน
เข้าสู่ระบบความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบถ้าเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นที่ตัดกันสองเส้นของระนาบ เส้นนั้นจะตั้งฉากกับระนาบนี้
การพิสูจน์. อนุญาต ก– เส้นตรงตั้งฉากกับเส้นตรง ขและ กับที่เป็นของเครื่องบิน ก- A คือจุดตัดของเส้นตรง ในเครื่องบิน กลากเส้นตรงผ่านจุด A งที่ไม่เรียงกันเป็นเส้นตรง ขและ กับ- ตอนนี้อยู่บนเครื่องบินแล้ว กมาทำไดเร็กกันเถอะ เค, ตัดกันเส้น งและ กับและไม่ผ่านจุด A จุดตัดคือ D, B และ C ตามลำดับ ให้เราเขียนเป็นเส้นตรง กในทิศทางที่แตกต่างจากจุด A จะมีส่วน AA 1 และ AA 2 เท่า ๆ กัน สามเหลี่ยม A 1 CA 2 เป็นหน้าจั่วเพราะว่า ความสูง AC ก็เป็นค่ามัธยฐานเช่นกัน (คุณลักษณะ 1) เช่น ก 1 ค=แคลิฟอร์เนีย 2 ในทำนองเดียวกัน ในรูปสามเหลี่ยม A 1 BA 2 ด้าน A 1 B และ BA 2 เท่ากัน ดังนั้น สามเหลี่ยม A 1 BC และ A 2 BC จึงเท่ากันตามเกณฑ์ที่สาม ดังนั้น มุม A 1 BC และ A 2 BC จึงเท่ากัน ซึ่งหมายความว่ารูปสามเหลี่ยม A 1 BD และ A 2 BD เท่ากันตามเกณฑ์แรก ดังนั้น A 1 D และ A 2 D ดังนั้น สามเหลี่ยม A 1 DA 2 จึงมีหน้าจั่วตามคำนิยาม ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว A 1 D A 2 ดี A คือค่ามัธยฐาน (ตามการก่อสร้าง) ดังนั้นความสูงคือมุม A 1 AD จึงเป็นเส้นตรง จึงเป็นเส้นตรง กตั้งฉากกับเส้นตรง ง.จึงพิสูจน์ได้ว่าเส้นตรงนั้น กตั้งฉากกับเส้นใดๆ ที่ผ่านจุด A และเป็นของระนาบ ก- จากคำนิยามจะเป็นเส้นตรง กตั้งฉากกับเครื่องบิน ก.

การก่อสร้างเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดจากจุดที่อยู่นอกระนาบนี้
อนุญาต ก- ระนาบ A คือจุดที่ต้องลดระดับตั้งฉากลง ลองวาดเส้นตรงในระนาบกัน ก- ผ่านจุด A และเส้นตรง กมาวาดเครื่องบินกันเถอะ ข(เส้นตรงและจุดกำหนดระนาบและมีเพียงหนึ่งเดียว) ในเครื่องบิน ขจากจุด A เราตกลงไปเป็นเส้นตรง กตั้งฉาก AB จากจุด B ถึงเครื่องบิน กขอให้เราคืนเส้นตั้งฉากและกำหนดเส้นตรงซึ่งตั้งฉากนี้อยู่เลยออกไป กับ- ผ่านส่วน AB และเส้นตรง กับมาวาดเครื่องบินกันเถอะ ก(เส้นตัดกันสองเส้นกำหนดระนาบ และมีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น) ในเครื่องบิน กจากจุด A เราตกลงไปเป็นเส้นตรง กับตั้งฉากกับ AC ให้เราพิสูจน์ว่าส่วน AC ตั้งฉากกับระนาบ ข- การพิสูจน์. ตรง กตั้งฉากกับเส้นตรง กับและ AB (โดยการก่อสร้าง) ซึ่งหมายความว่ามันตั้งฉากกับระนาบนั่นเอง กโดยที่เส้นตัดกันทั้งสองนี้อยู่ (ขึ้นอยู่กับความตั้งฉากของเส้นและระนาบ) และเนื่องจากมันตั้งฉากกับระนาบนี้ มันจึงตั้งฉากกับเส้นตรงใดๆ ในระนาบนี้ ซึ่งหมายความว่ามันเป็นเส้นตรง กตั้งฉากกับ AC เส้น AC ตั้งฉากกับเส้นสองเส้นที่อยู่ในระนาบ α: กับ(โดยการก่อสร้าง) และ ก(ตามที่พิสูจน์แล้ว) หมายความว่า ตั้งฉากกับระนาบ α (ขึ้นอยู่กับความตั้งฉากของเส้นและระนาบ)

ทฤษฎีบท 1 - ถ้าเส้นที่ตัดกันสองเส้นขนานกับเส้นตั้งฉากสองเส้น เส้นนั้นจะตั้งฉากกันด้วย
การพิสูจน์. อนุญาต กและ ข- เส้นตั้งฉาก ก 1 และ ข 1 - เส้นที่ตัดกันขนานกับพวกมัน ให้เราพิสูจน์ว่าเส้นตรง ก 1 และ ข 1 ตั้งฉาก.
ถ้าตรง ก, ข, ก 1 และ ข 1 อยู่ในระนาบเดียวกัน จากนั้นพวกมันจะมีคุณสมบัติที่ระบุในทฤษฎีบท ดังที่ทราบจากระนาบระนาบ
ตอนนี้ให้เราสมมติว่าเส้นของเราไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน แล้วตรง กและ ขนอนอยู่ในระนาบ α และเส้นตรง ก 1 และ ข 1 - ในระนาบบางอัน β ขึ้นอยู่กับความขนานของระนาบ ระนาบ α และ β จะขนานกัน ให้ C เป็นจุดตัดของเส้นตรง กและ ขและ C 1 - จุดตัดของเส้น ก 1 และ ข 1. ให้เราวาดเส้นขนานในระนาบ กและ ก กและ ก 1 ที่จุด A และ A 1 ในระนาบของเส้นขนาน ขและ ขเส้นขนาน 1 เส้นกับเส้นตรง CC 1. เธอจะข้ามเส้น ขและ ข 1 ที่จุด B และ B 1
รูปสี่เหลี่ยม CAA 1 C 1 และ SVV 1 C 1 เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจากด้านตรงข้ามขนานกัน รูปสี่เหลี่ยม ABC 1 A 1 ก็เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานเช่นกัน ด้าน AA 1 และ BB 1 ขนานกัน เพราะแต่ละด้านขนานกับเส้น CC 1 ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงอยู่ในระนาบที่ลากผ่านเส้นคู่ขนาน AA 1 และ BB 1 และมันตัดระนาบขนาน α และ β ตามเส้นตรงขนาน AB และ A 1 B 1
เนื่องจากด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน ดังนั้น AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 ตามเครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกัน สามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 เท่ากัน ดังนั้น มุม A 1 C 1 B 1 เท่ากับมุม ACB จะเป็นเส้นตรง นั่นคือ ตรง ก 1 และ ข 1 ตั้งฉาก. ฯลฯ

คุณสมบัติตั้งฉากกับเส้นตรงและระนาบ
ทฤษฎีบท 2 - หากระนาบตั้งฉากกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น เส้นนั้นจะตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่งด้วย
การพิสูจน์. อนุญาต ก 1 และ ก 2 - เส้นขนานสองเส้นและ α - ระนาบตั้งฉากกับเส้น ก 1. ให้เราพิสูจน์ว่าระนาบนี้ตั้งฉากกับเส้นตรง ก 2 .
ลองวาดจุดตัด 2 เส้นผ่านจุด A กัน ก 2 โดยมีระนาบ α เป็นเส้นตรงใดๆ กับ 2 ในระนาบ α ให้เราวาดจุดตัดของเส้นตรงในระนาบ α ถึงจุด A 1 ก 1 โดยมีระนาบ α ตรง กับ 1 ขนานไปกับเส้น กับ 2. เพราะมันตรง. ก 1 ตั้งฉากกับระนาบ α จากนั้นเป็นเส้นตรง ก 1 และ กับ 1 ตั้งฉาก. และตามทฤษฎีบทที่ 1 เส้นที่ตัดกันขนานกับพวกมัน ก 2 และ กับ 2 ก็ตั้งฉากเช่นกัน ดังนั้นตรง ก 2 ตั้งฉากกับเส้นตรงใดๆ กับ 2 ในระนาบ α และนี่ก็หมายความว่าตรง ก 2 ตั้งฉากกับระนาบ α ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 3 - เส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกับระนาบเดียวกันจะขนานกัน
เรามีระนาบ α และเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกับมัน กและ ข- มาพิสูจน์กัน ก || ข.
ลากเส้นตรงผ่านจุดตัดของเส้นตรงของเครื่องบิน กับ- ตามลักษณะที่เราได้รับ ก ^ คและ ข ^ ค- ผ่านเส้นตรง กและ ขมาวาดระนาบกัน (เส้นขนานสองเส้นกำหนดระนาบ และมีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น) ในระนาบนี้เรามีเส้นขนานสองเส้น กและ ขและซีแคนต์ กับ- ถ้าผลรวมของมุมด้านเดียวภายในเท่ากับ 180° แล้วเส้นตรงจะขนานกัน เรามีกรณีเช่นนี้ - สองมุมฉาก นั่นเป็นเหตุผล ก || ข.

ในบทความนี้ เราจะพูดถึงความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ ขั้นแรก ให้คำจำกัดความของเส้นตั้งฉากกับระนาบ มีภาพประกอบและตัวอย่างกราฟิก และแสดงการกำหนดเส้นตั้งฉากกับระนาบ หลังจากนั้นจะมีการกำหนดสัญลักษณ์ของการตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ ต่อไป จะได้เงื่อนไขที่ทำให้สามารถพิสูจน์ความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบได้ เมื่อมีการระบุเส้นตรงและระนาบด้วยสมการบางอย่างในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในพื้นที่สามมิติ โดยสรุป จะมีการแสดงวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสำหรับตัวอย่างและปัญหาทั่วไป

การนำทางหน้า

เส้นตรงและระนาบตั้งฉาก - ข้อมูลพื้นฐาน

เราขอแนะนำให้คุณทำซ้ำคำจำกัดความของเส้นตั้งฉาก เนื่องจากคำจำกัดความของเส้นตั้งฉากกับระนาบนั้นถูกกำหนดผ่านความตั้งฉากของเส้น

คำนิยาม.

พวกเขาพูดอย่างนั้น เส้นตั้งฉากกับระนาบถ้าตั้งฉากกับเส้นใดๆ ที่อยู่ในระนาบนี้

เรายังบอกได้ว่าระนาบตั้งฉากกับเส้นตรง หรือเส้นตรงและระนาบตั้งฉากกัน

หากต้องการระบุความตั้งฉาก ให้ใช้ไอคอน เช่น “” นั่นคือ ถ้าเส้นตรง c ตั้งฉากกับระนาบ เราก็สามารถเขียนสั้นๆ ได้

ตัวอย่างของเส้นตั้งฉากกับระนาบคือเส้นที่ผนังห้องสองห้องที่อยู่ติดกันตัดกัน เส้นนี้ตั้งฉากกับระนาบและระนาบของเพดาน เชือกในโรงยิมถือได้ว่าเป็นส่วนของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบของพื้น

โดยสรุปของย่อหน้านี้ของบทความ เราสังเกตว่าถ้าเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบ มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบจะเท่ากับเก้าสิบองศา

ความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ - เครื่องหมายและเงื่อนไขของความตั้งฉาก

ในทางปฏิบัติ คำถามมักเกิดขึ้น: “เส้นตรงที่กำหนดและระนาบตั้งฉากกันหรือไม่” ที่จะตอบสิ่งนี้ก็มี สภาพที่เพียงพอสำหรับตั้งฉากของเส้นและระนาบนั่นคือ เงื่อนไขที่การปฏิบัติตามซึ่งรับประกันความตั้งฉากของเส้นและระนาบ สภาวะที่เพียงพอนี้เรียกว่าเครื่องหมายตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ ให้เรากำหนดมันในรูปแบบของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท.

เพื่อให้เส้นและระนาบที่กำหนดตั้งฉาก ก็เพียงพอแล้วที่เส้นจะตั้งฉากกับเส้นตัดกันสองเส้นที่อยู่ในระนาบนี้

คุณสามารถดูหลักฐานเครื่องหมายตั้งฉากของเส้นและระนาบได้ในหนังสือเรียนเรขาคณิตสำหรับเกรด 10-11

เมื่อแก้ปัญหาในการสร้างเส้นตั้งฉากของเส้นและระนาบ มักใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท.

ถ้าเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งตั้งฉากกับระนาบ เส้นที่สองก็จะตั้งฉากกับระนาบด้วย

ที่โรงเรียน มีการพิจารณาปัญหามากมายสำหรับการแก้ปัญหาซึ่งใช้เครื่องหมายตั้งฉากของเส้นและระนาบตลอดจนทฤษฎีบทสุดท้าย เราจะไม่อาศัยอยู่กับพวกเขาที่นี่ ในบทความนี้ในส่วนนี้ เราจะเน้นไปที่การประยุกต์ใช้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอต่อไปนี้สำหรับตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ

เงื่อนไขนี้สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบต่อไปนี้

อนุญาต คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้น a และ คือเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ เพื่อให้เส้นตรง a และระนาบตั้งฉากกัน จำเป็นและเพียงพอแล้ว และ : โดยที่ t คือจำนวนจริง

การพิสูจน์สภาวะที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความตั้งฉากของเส้นและระนาบนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงและเวกเตอร์ปกติของระนาบ

แน่นอนว่าเงื่อนไขนี้สะดวกที่จะใช้ในการพิสูจน์ความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ เมื่อพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นและพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบในพื้นที่สามมิติคงที่นั้นหาได้ง่าย . สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับกรณีที่พิกัดของจุดซึ่งระนาบและเส้นผ่านถูกกำหนดไว้ เช่นเดียวกับกรณีที่เส้นถูกกำหนดโดยสมการบางอย่างของเส้นในอวกาศ และระนาบถูกกำหนดโดยสมการของ เครื่องบินบางประเภท

ลองดูวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างต่างๆ

ตัวอย่าง.

พิสูจน์ความตั้งฉากของเส้นตรง และเครื่องบิน

สารละลาย.

เรารู้ว่าตัวเลขในตัวส่วนของสมการบัญญัติของเส้นในปริภูมิคือพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้ ดังนั้น, - เวกเตอร์โดยตรง .

ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x, y และ z ในสมการทั่วไปของระนาบคือพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบนี้นั่นคือ คือเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ

ให้เราตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความตั้งฉากของเส้นและระนาบ

เพราะ แล้วเวกเตอร์ และมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ นั่นคือพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้นตรง ตั้งฉากกับเครื่องบิน

ตัวอย่าง.

เส้นตั้งฉากหรือไม่? และเครื่องบิน

สารละลาย.

ให้เราค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงที่กำหนดและเวกเตอร์ปกติของระนาบเพื่อตรวจสอบว่าเป็นไปตามเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบหรือไม่

เวกเตอร์ทิศทางเป็นเส้นตรง เป็น