วาดตัวเลขที่ซับซ้อนทางเรขาคณิต รูปแบบกราฟิกที่ใช้แทนจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนและ
ประสานงาน
เครื่องบิน

แบบจำลองทางเรขาคณิตของเซต R ของจำนวนจริงคือเส้นจำนวน จำนวนจริงใดๆ สอดคล้องกับจุดเดียว

บน
เส้นจำนวนและจุดใดๆ บนเส้น
มีเพียงนัดเดียวเท่านั้น
จำนวนจริง!

โดยเพิ่มมิติอีกมิติหนึ่งให้กับเส้นจำนวนที่สอดคล้องกับเซตของจำนวนจริงทั้งหมด - เส้นที่มีเซตของจำนวนแท้

โดยบวกเข้ากับเส้นจำนวนที่ตรงกับชุด
ของจำนวนจริงทั้งหมดอีกมิติหนึ่ง -
เส้นตรงที่มีชุดตัวเลขจินตภาพล้วนๆ –
เราได้รับระนาบพิกัดซึ่งแต่ละอัน
สามารถเชื่อมโยงจำนวนเชิงซ้อน a+bi ได้
จุด (ก; ข) ประสานงานเครื่องบิน.
i=0+1i สอดคล้องกับจุด (0;1)
2+3i สอดคล้องกับจุด (2;3)
-i-4 สอดคล้องกับจุด (-4;-1)
5=5+1i สอดคล้องกับความเศร้าโศก (5;0)

ความหมายทางเรขาคณิตของการดำเนินการผันคำกริยา

- การดำเนินการผสมพันธุ์เป็นแบบแกน
สมมาตรรอบแกนแอบซิสซา
- เชื่อมถึงกัน
จำนวนเชิงซ้อนมีระยะห่างเท่ากัน
ต้นทาง.
- ภาพเวกเตอร์
คอนจูเกตตัวเลขเอียงไปทางแกน
แอบซิสซาอยู่ข้างใต้ มุมเดียวกัน, แต่
ตั้งอยู่ตาม ด้านที่แตกต่างกันจาก
แกนนี้

รูปภาพของจำนวนจริง

รูปภาพของจำนวนเชิงซ้อน

พีชคณิต
ทาง
ภาพ:
จำนวนเชิงซ้อน
a+bi เป็นภาพ
จุดเครื่องบิน
พร้อมพิกัด
(ก;ข)

ตัวอย่างการแสดงจำนวนเชิงซ้อนบนระนาบพิกัด

(เราสนใจ.
จำนวนเชิงซ้อน
z=x+yi ซึ่ง
x=-4. นี่คือสมการ
โดยตรง,
แกนขนาน
บวช)
ที่
X= - 4
ถูกต้อง
ส่วนคือ -4
0
เอ็กซ์

วาดเซตของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดบนระนาบพิกัดซึ่ง:

ส่วนจินตภาพ
เท่ากัน
ไม่คลุมเครือ
เป็นธรรมชาติ
ตัวเลข
(เราสนใจ.
จำนวนเชิงซ้อน
z=x+yi ซึ่ง
y=2,4,6,8.
ภาพเรขาคณิต
ประกอบด้วยสี่
ตรง, ขนาน
แกน x)
ที่
8
6
4
2
0
เอ็กซ์

จำนวนเชิงซ้อน

จินตภาพ และ จำนวนเชิงซ้อน อับซิสซาและอุปสมบท

จำนวนเชิงซ้อน. ผสานจำนวนเชิงซ้อน

การดำเนินการที่มีจำนวนเชิงซ้อน เรขาคณิต

ผลงาน จำนวนเชิงซ้อน- เครื่องบินที่ซับซ้อน

โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน ตรีโกณมิติ

แบบฟอร์มจำนวนเชิงซ้อน การดำเนินงานที่มีความซับซ้อน

ตัวเลขเข้า แบบฟอร์มตรีโกณมิติ- สูตรมูฟวร์

ข้อมูลเบื้องต้นโอ จินตภาพ และ จำนวนเชิงซ้อน แสดงไว้ในหัวข้อ “จำนวนจินตภาพและจำนวนเชิงซ้อน” ความจำเป็นในการใช้ตัวเลขประเภทใหม่เหล่านี้เกิดขึ้นเมื่อแก้สมการกำลังสองสำหรับเคสนี้ดี< 0 (здесь ดี– เลือกปฏิบัติ สมการกำลังสอง). เป็นเวลานานไม่พบตัวเลขเหล่านี้ การประยุกต์ใช้ทางกายภาพด้วยเหตุนี้จึงถูกเรียกว่าตัวเลข "จินตภาพ" อย่างไรก็ตาม ปัจจุบันมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขาฟิสิกส์ต่างๆ

และเทคโนโลยี: วิศวกรรมไฟฟ้า พลังน้ำและอากาศพลศาสตร์ ทฤษฎีความยืดหยุ่น ฯลฯ

จำนวนเชิงซ้อน ถูกเขียนในรูปแบบ:เอ+บี- ที่นี่ กและ ข – ตัวเลขจริง , ก ฉัน – หน่วยจินตภาพ เช่นจ. ฉัน 2 = –1. ตัวเลข กเรียกว่า แอบซิสซา, ก ข – กำหนดจำนวนเชิงซ้อนก + ไบจำนวนเชิงซ้อนสองตัวเอ+บีและ ก–บี ถูกเรียกว่า ผันจำนวนเชิงซ้อน

ข้อตกลงหลัก:

1. จำนวนจริงกสามารถเขียนเป็นแบบฟอร์มก็ได้จำนวนเชิงซ้อน:เอ+ 0 ฉันหรือ ก – 0 ฉัน. เช่น บันทึก 5 + 0ฉันและ 5 – 0 ฉันหมายถึงเลขเดียวกัน 5 .

2. จำนวนเชิงซ้อน 0 + สองเรียกว่า จินตนาการล้วนๆ ตัวเลข. บันทึกสองมีความหมายเหมือนกับ 0 + สอง.

3. จำนวนเชิงซ้อนสองตัวเอ+บี และค + ดิถือว่าเท่ากันถ้าก = คและ ข = ง- มิฉะนั้น จำนวนเชิงซ้อนไม่เท่ากัน

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนเอ+บีและ ค + ดิเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน (เอ+ซี ) + (ข+ดี ) ฉัน.ดังนั้น, เมื่อเพิ่ม จำนวนเชิงซ้อน สมการและพิกัดจะถูกบวกแยกกัน

คำจำกัดความนี้สอดคล้องกับกฎสำหรับการดำเนินการกับพหุนามสามัญ

การลบ ผลต่างของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวเอ+บี(ลดลง) และ ค + ดิ(subtrahend) เรียกว่า จำนวนเชิงซ้อน (เอ-ซี ) + (ข-d ) ฉัน.

ดังนั้น, เมื่อลบจำนวนเชิงซ้อนสองตัว ค่า Abscissas และเลขลำดับจะถูกลบแยกกัน

การคูณ ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนเอ+บีและ ค + ดิ เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน:

(ac–bd ) + (โฆษณา+BC ) ฉัน.คำจำกัดความนี้เป็นไปตามข้อกำหนดสองประการ:

1) ตัวเลข เอ+บีและ ค + ดิจะต้องคูณเหมือนพีชคณิตทวินาม,

2) หมายเลข ฉันมีทรัพย์สินหลัก:ฉัน 2 = – 1.

ตัวอย่าง - เอ+ ไบ )(ก–บี) = ก 2 +ข 2 . เพราะฉะนั้น, งาน

จำนวนเชิงซ้อนคอนจูเกตสองตัวมีค่าเท่ากับจำนวนจริง

จำนวนบวก

แผนก. หารจำนวนเชิงซ้อนเอ+บี (หาร) ด้วยสิ่งอื่นค + ดิ(ตัวแบ่ง) - หมายถึงการหาเลขตัวที่สามอี + ฉ ฉัน(แชท) ซึ่งเมื่อคูณด้วยตัวหารแล้วค + ดิส่งผลให้มีการจ่ายเงินปันผลก + ไบ

ถ้าตัวหารไม่มี เท่ากับศูนย์, การแบ่งแยกเป็นไปได้เสมอ

ตัวอย่าง ค้นหา (8 +ฉัน ) : (2 – 3 ฉัน) .

วิธีแก้ปัญหา ลองเขียนอัตราส่วนนี้ใหม่เป็นเศษส่วน:

การคูณทั้งเศษและส่วนด้วย 2 + 3ฉัน

และ เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดแล้ว เราได้รับ:

การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน จำนวนจริงแสดงด้วยจุดบนเส้นจำนวน:

นี่คือประเด็น กหมายถึงตัวเลข –3, จุดบี– หมายเลข 2 และ โอ- ศูนย์ ในทางตรงกันข้าม จำนวนเชิงซ้อนจะแสดงด้วยจุดบนระนาบพิกัด เพื่อจุดประสงค์นี้ เราเลือกพิกัดสี่เหลี่ยม (คาร์ทีเซียน) ที่มีสเกลเดียวกันบนทั้งสองแกน แล้วจำนวนเชิงซ้อนเอ+บี จะแสดงด้วยจุด P กับแอบซิสซา a และกำหนด b (ดูภาพ) ระบบพิกัดนี้เรียกว่า เครื่องบินที่ซับซ้อน .

โมดูล จำนวนเชิงซ้อนคือความยาวของเวกเตอร์อพแทนจำนวนเชิงซ้อนบนพิกัด ( ครอบคลุม) เครื่องบิน. โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนเอ+บีแสดงว่า | เอ+บี- หรือจดหมาย ร

การระบุจำนวนเชิงซ้อนเทียบเท่ากับการระบุจำนวนจริงสองตัว a, b ซึ่งเป็นส่วนจริงและจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนด แต่การแสดงตัวเลขคู่ลำดับเป็นคาร์ทีเซียน ระบบสี่เหลี่ยมพิกัดตามจุดที่มีพิกัด ดังนั้น จุดนี้สามารถทำหน้าที่เป็นรูปภาพของจำนวนเชิงซ้อน z ได้: การโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งถูกสร้างขึ้นระหว่างจำนวนเชิงซ้อนและจุดของระนาบพิกัด เมื่อใช้ระนาบพิกัดเพื่อแสดงจำนวนเชิงซ้อน แกน Ox มักเรียกว่าแกนจริง (เนื่องจากส่วนที่แท้จริงของจำนวนถือเป็นจุดหักล้างของจุด) และแกน Oy คือแกนจินตภาพ (เนื่องจากส่วนจินตภาพ ของจำนวนให้ถือเป็นหลักลำดับของจุด) จำนวนเชิงซ้อน z ที่แสดงโดยจุด (a, b) เรียกว่าส่วนต่อท้ายของจุดนี้ ในกรณีนี้ จำนวนจริงจะแสดงด้วยจุดที่วางอยู่บนแกนจริง และจำนวนจินตภาพล้วนๆ (สำหรับ a = 0) จะแสดงด้วยจุดที่วางอยู่บนแกนจินตภาพ เลขศูนย์แสดงด้วยจุด O

ในรูป มีการสร้างภาพตัวเลข 8 ภาพ

จำนวนคอนจูเกตเชิงซ้อนสองตัวแสดงด้วยจุดที่สมมาตรรอบแกนวัว (จุดในรูปที่ 8)

มักจะเกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนไม่เพียงแต่จุด M ซึ่งเป็นตัวแทนของตัวเลขนี้เท่านั้น แต่ยังรวมถึงเวกเตอร์ OM ด้วย (ดูย่อหน้าที่ 93) ซึ่งนำจาก O ถึง M; การแสดงตัวเลขเป็นเวกเตอร์นั้นสะดวกจากมุมมองของการตีความทางเรขาคณิตของการกระทำของการบวกและการลบจำนวนเชิงซ้อน

ในรูป 9, a แสดงว่าเวกเตอร์ที่แทนผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนได้มาจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ที่แทนพจน์

กฎสำหรับการบวกเวกเตอร์นี้เรียกว่ากฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เช่น สำหรับการบวกแรงหรือความเร็วในวิชาฟิสิกส์) การลบสามารถลดลงไปบวกกับ เวกเตอร์ตรงข้าม(รูปที่ 9, ข).

ดังที่ทราบ (ข้อ 8) ตำแหน่งของจุดบนระนาบสามารถระบุได้ด้วยพิกัดเชิงขั้วของมัน ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อน - การต่อท้ายของจุดจะถูกกำหนดโดยงาน จากรูปที่ 1 10 เห็นได้ชัดว่าในขณะเดียวกันโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนคือ: รัศมีเชิงขั้วของจุดที่แทนจำนวน เท่ากับโมดูลัสหมายเลขนี้

มุมเชิงขั้วของจุด M เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของตัวเลขที่แสดงโดยจุดนี้ อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน (เช่น มุมเชิงขั้วของจุด) ไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างคลุมเครือ ถ้าเป็นหนึ่งในค่าของมัน ค่าทั้งหมดจะแสดงโดยสูตร

ค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์จะแสดงแทนด้วยสัญลักษณ์

ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนทุกจำนวนสามารถเชื่อมโยงกับจำนวนจริงคู่หนึ่งได้: โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ หมายเลขที่กำหนดและอาร์กิวเมนต์ถูกกำหนดอย่างคลุมเครือ ในทางตรงกันข้าม มันสอดคล้องกับโมดูลและอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด เอกพจน์โดยมีโมดูลและอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด คุณสมบัติพิเศษมีจำนวนศูนย์: โมดูลัสของมันคือศูนย์ และไม่มีการกำหนดค่าเฉพาะให้กับอาร์กิวเมนต์

เพื่อให้เกิดความชัดเจนในคำจำกัดความของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนเราสามารถตกลงที่จะเรียกค่าใดค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์เป็นค่าหลักได้ ถูกกำหนดด้วยสัญลักษณ์ โดยทั่วไปแล้ว ค่าหลักของอาร์กิวเมนต์จะถูกเลือกให้เป็นค่าที่สอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกัน

(ในกรณีอื่นความไม่เท่าเทียมกัน)

ให้เราใส่ใจกับค่าของการโต้แย้งของจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพล้วนๆ:

ส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน (เช่น พิกัดคาร์ทีเซียนคะแนน) แสดงผ่านโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ ( พิกัดเชิงขั้วคะแนน) ตามสูตร (8.3):

และจำนวนเชิงซ้อนสามารถเขียนได้ในรูปแบบตรีโกณมิติต่อไปนี้

จำนวนเชิงซ้อน

แนวคิดพื้นฐาน

ข้อมูลเริ่มต้นเกี่ยวกับจำนวนนี้มีอายุย้อนกลับไปถึงยุคหิน - ยุค Paleomelitic เหล่านี้คือ "หนึ่ง" "น้อย" และ "มากมาย" พวกเขาถูกบันทึกในรูปแบบของรอยบาก ปม ฯลฯ การพัฒนากระบวนการแรงงานและการเกิดขึ้นของทรัพย์สินบังคับให้มนุษย์ประดิษฐ์ตัวเลขและชื่อของพวกเขา ตัวแรกที่ปรากฏตัว ตัวเลขธรรมชาติ เอ็นได้มาจากการนับวัตถุ จากนั้น นอกจากความจำเป็นในการนับแล้ว ผู้คนยังจำเป็นต้องวัดความยาว พื้นที่ ปริมาตร เวลา และปริมาณอื่นๆ โดยต้องคำนึงถึงส่วนของการวัดที่ใช้ด้วย เศษส่วนจึงเกิดขึ้นมาเช่นนี้ เหตุผลอย่างเป็นทางการของแนวคิดเรื่องเศษส่วนและ จำนวนลบดำเนินการในศตวรรษที่ 19 เซตของจำนวนเต็ม ซี– คือ จำนวนธรรมชาติ จำนวนธรรมชาติที่มีเครื่องหมายลบและศูนย์ ทั้งหมดและ ตัวเลขเศษส่วนสร้างชุด จำนวนตรรกยะ ถามแต่ยังไม่เพียงพอต่อการศึกษาเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง ตัวแปร- ปฐมกาลแสดงให้เห็นอีกครั้งถึงความไม่สมบูรณ์ของคณิตศาสตร์: ความเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้สมการของรูปแบบ เอ็กซ์ 2 = 3 ซึ่งเป็นสาเหตุที่ทำให้จำนวนอตรรกยะปรากฏขึ้น ฉัน.ยูเนี่ยนของเซตของจำนวนตรรกยะ ถามและ ตัวเลขอตรรกยะ ฉัน– เซตของจำนวนจริง (หรือจำนวนจริง) ร- เป็นผลให้เส้นจำนวนเต็ม: จำนวนจริงแต่ละจำนวนสอดคล้องกับจุดบนเส้นจำนวน แต่กับหลาย ๆ คน รไม่มีทางแก้สมการของรูปได้ เอ็กซ์ 2 = – ก 2. ด้วยเหตุนี้ จึงมีความจำเป็นเกิดขึ้นอีกครั้งเพื่อขยายแนวคิดเรื่องตัวเลข นี่คือจำนวนเชิงซ้อนที่ปรากฏในปี 1545 ผู้สร้าง J. Cardano เรียกพวกเขาว่า "เชิงลบล้วนๆ" ชื่อ "จินตนาการ" ถูกนำมาใช้ในปี 1637 โดยชาวฝรั่งเศส R. Descartes ในปี 1777 ออยเลอร์เสนอโดยใช้อักษรตัวแรก หมายเลขฝรั่งเศส ฉันเพื่อแสดงถึงหน่วยจินตภาพ สัญลักษณ์นี้ถูกนำมาใช้ทั่วไปโดย K. Gauss

ในช่วงศตวรรษที่ 17 และ 18 การอภิปรายเกี่ยวกับธรรมชาติทางคณิตศาสตร์ของจินตภาพและการตีความทางเรขาคณิตยังคงดำเนินต่อไป ชาวเดน จี. เวสเซล ชาวฝรั่งเศส เจ. อาร์แกน และเค เกาส์ ชาวเยอรมัน เสนออย่างเป็นอิสระให้แสดงจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดบนระนาบพิกัด ต่อมาปรากฎว่าสะดวกกว่าในการแสดงตัวเลขไม่ใช่จากจุดนั้นเอง แต่เป็นเวกเตอร์ที่ไปยังจุดนี้จากจุดกำเนิด

เฉพาะช่วงปลายศตวรรษที่ 18 และต้นศตวรรษที่ 19 เท่านั้นที่จำนวนเชิงซ้อนเข้ามาแทนที่อย่างถูกต้อง การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์- การใช้งานครั้งแรกในทางทฤษฎี สมการเชิงอนุพันธ์และในทฤษฎีอุทกพลศาสตร์

คำจำกัดความ 1.จำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์มโดยที่ xและ ยเป็นจำนวนจริง และ ฉัน– หน่วยจินตภาพ, .

จำนวนเชิงซ้อนสองตัวและ เท่ากันถ้าและหาก , .

ถ้า แสดงว่าหมายเลขนั้นถูกเรียก จินตนาการล้วนๆ- ถ้า แล้วตัวเลขนั้นเป็นจำนวนจริงแสดงว่าเซตนั้น ร กับ, ที่ไหน กับ– เซตของจำนวนเชิงซ้อน

ผันเป็นจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน

ภาพเรขาคณิตจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนใดๆ สามารถแสดงด้วยจุดได้ ม(x, ย) เครื่องบิน อ็อกซี่.จำนวนจริงคู่หนึ่งยังแสดงถึงพิกัดของเวกเตอร์รัศมีด้วย , เช่น. ระหว่างเซตของเวกเตอร์บนระนาบและเซตของจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งได้:

คำจำกัดความ 2ส่วนจริง เอ็กซ์.

การกำหนด: x= เรื่อง z(จากภาษาละติน Realis)

คำจำกัดความ 3ส่วนจินตภาพจำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนจริง ย.

การกำหนด: ย= ฉัน z(จากภาษาละติน Imaginarius)

อีกครั้ง zวางอยู่บนแกน ( โอ้), ฉัน zวางอยู่บนแกน ( โอ้) จากนั้นเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อนคือเวกเตอร์รัศมีของจุด ม(x, ย), (หรือ ม(อีกครั้ง z, ฉัน z)) (รูปที่ 1)

คำจำกัดความที่ 4ระนาบที่มีจุดสัมพันธ์กับชุดของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า เครื่องบินที่ซับซ้อน- เรียกว่าแกนแอบซิสซา แกนจริงเพราะมันมีจำนวนจริง เรียกว่าแกน y แกนจินตภาพประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อนจินตภาพล้วนๆ เซตของจำนวนเชิงซ้อนจะแสดงแทน กับ.

คำจำกัดความที่ 5โมดูลจำนวนเชิงซ้อน z = (x, ย) เรียกว่าความยาวของเวกเตอร์: เช่น .

คำนิยาม 6การโต้แย้งจำนวนเชิงซ้อนคือมุมระหว่างทิศทางบวกของแกน ( โอ้) และเวกเตอร์: .

จำนวนเชิงซ้อนรูปแบบต่อไปนี้มีอยู่: พีชคณิต(x+i) ตรีโกณมิติ(r(cos+isin )), บ่งชี้(อีกครั้งฉัน ).

สามารถแสดงจำนวนเชิงซ้อนใดๆ z=x+iy ได้ เครื่องบิน XOUในรูปของจุด A(x,y)

ระนาบที่แสดงจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าระนาบของตัวแปรเชิงซ้อน z (เราใส่สัญลักษณ์ z ไว้บนระนาบ)

แกน OX คือแกนจริง เช่น มันมีตัวเลขจริง OU เป็นแกนจินตภาพที่มีจำนวนจินตภาพ

x+iy- รูปแบบพีชคณิตในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน

ขอให้เราได้รูปแบบตรีโกณมิติในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน

เราแทนที่ค่าที่ได้รับเป็นรูปแบบเริ่มต้น: เช่น

r(คอส+ไอซิน) - รูปแบบตรีโกณมิติในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน

รูปแบบเลขชี้กำลังของการเขียนจำนวนเชิงซ้อนตามสูตรของออยเลอร์:
,แล้ว

ซ= อีกครั้ง ฉัน - รูปแบบการเขียนเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน

การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน

1. ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 - การลบ z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);

3. การคูณ z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 - แผนก. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

จำนวนเชิงซ้อนสองตัวที่แตกต่างกันเฉพาะสัญลักษณ์ของหน่วยจินตภาพเท่านั้น กล่าวคือ z=x+iy (z=x-iy) เรียกว่า คอนจูเกต

งาน.

z1=r(คอส +ไอซิน - z2=r(คอส +ไอซิน ).

พบผลิตภัณฑ์นั้น z1*z2 ของจำนวนเชิงซ้อน: เช่น โมดูลัสของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของโมดูลัส และอาร์กิวเมนต์ของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของอาร์กิวเมนต์ของปัจจัย

;
;