การแก้สมการด้วยเศษส่วนลองดูตัวอย่าง ตัวอย่างนั้นเรียบง่ายและมีภาพประกอบ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาคุณมากที่สุด อย่างชัดเจนคุณสามารถเรียนรู้ได้
ตัวอย่างเช่น คุณต้องแก้สมการง่ายๆ x/b + c = d

สมการประเภทนี้เรียกว่าเชิงเส้นเพราะว่า ตัวส่วนประกอบด้วยตัวเลขเท่านั้น

การแก้ปัญหาทำได้โดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย b จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ x = b*(d – c) กล่าวคือ ตัวส่วนของเศษส่วนทางด้านซ้ายจะหักล้าง

เช่น วิธีการแก้ สมการเศษส่วน:
x/5+4=9
เราคูณทั้งสองข้างด้วย 5 เราได้:
x+20=45
x=45-20=25

อีกตัวอย่างหนึ่งเมื่อไม่ทราบอยู่ในตัวส่วน:

สมการประเภทนี้เรียกว่าเศษส่วน-ตรรกยะหรือเศษส่วนอย่างง่าย

เราจะแก้สมการเศษส่วนด้วยการกำจัดเศษส่วน หลังจากนั้นสมการนี้ซึ่งส่วนใหญ่มักจะกลายเป็นสมการเชิงเส้นหรือสมการกำลังสอง ซึ่งแก้ไขด้วยวิธีปกติ คุณเพียงแค่ต้องพิจารณาประเด็นต่อไปนี้:

• ค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนตัวส่วนเป็น 0 ไม่สามารถเป็นรากได้
• คุณไม่สามารถหารหรือคูณสมการด้วยนิพจน์ =0 ได้

นี่คือจุดที่แนวคิดเรื่องพื้นที่เข้ามามีบทบาท ค่าที่ยอมรับได้(ODZ) คือค่าดังกล่าวของรากของสมการที่ทำให้สมการสมเหตุสมผล

ดังนั้นเมื่อแก้สมการ จำเป็นต้องค้นหาราก จากนั้นตรวจสอบว่าสอดคล้องกับ ODZ หรือไม่ รากที่ไม่สอดคล้องกับ ODZ ของเราจะถูกแยกออกจากคำตอบ

ตัวอย่างเช่น คุณต้องแก้สมการเศษส่วน:

ตามกฎข้างต้น x ไม่สามารถเป็น = 0 ได้ กล่าวคือ ODZ ใน ในกรณีนี้: x – ค่าใดๆ ก็ตามที่ไม่ใช่ศูนย์

เรากำจัดตัวส่วนโดยการคูณเงื่อนไขทั้งหมดของสมการด้วย x

และเราแก้สมการปกติ

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

คำตอบ: x = 1/3

มาแก้สมการที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า:

ODZ ก็ปรากฏที่นี่เช่นกัน: x -2

เมื่อแก้สมการนี้ เราจะไม่ย้ายทุกอย่างไปด้านใดด้านหนึ่งและลดเศษส่วนลง ตัวส่วนร่วม- เราจะคูณทั้งสองข้างของสมการทันทีด้วยนิพจน์ที่จะหักล้างตัวส่วนทั้งหมดพร้อมกัน

เพื่อลดตัวส่วนที่คุณต้องการ ด้านซ้ายคูณด้วย x+2 และทางขวามือด้วย 2 ซึ่งหมายความว่าทั้งสองข้างของสมการจะต้องคูณด้วย 2(x+2):

นี่คือที่สุด การคูณสามัญเศษส่วนซึ่งเราได้กล่าวไปแล้วข้างต้น

ลองเขียนสมการเดียวกันแต่ต่างกันเล็กน้อย

ด้านซ้ายลดลง (x+2) และด้านขวาลดลง 2 หลังจากการลดลง เราจะได้สมการเชิงเส้นตามปกติ:

x = 4 – 2 = 2 ซึ่งสอดคล้องกับ ODZ ของเรา

คำตอบ: x = 2

การแก้สมการด้วยเศษส่วนไม่ยากอย่างที่คิด ในบทความนี้เราได้แสดงสิ่งนี้พร้อมตัวอย่าง หากคุณมีปัญหาใดๆกับ วิธีแก้สมการด้วยเศษส่วนจากนั้นยกเลิกการสมัครในความคิดเห็น

โทคาเรฟ คิริลล์

งานนี้ช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีแยกรากที่สองของจำนวนใดๆ โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขและตารางกำลังสอง และปลดปล่อยตัวส่วนของเศษส่วนจากการไร้เหตุผล

ปลดปล่อยตัวเองจากความไร้เหตุผลของตัวส่วนของเศษส่วน

สาระสำคัญของวิธีนี้คือการคูณและหารเศษส่วนด้วยนิพจน์ที่จะกำจัดความไร้เหตุผล (กำลังสองและ รากลูกบาศก์) จากตัวส่วนและจะทำให้ง่ายขึ้น หลังจากนี้ จะง่ายกว่าที่จะลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วมและทำให้นิพจน์ดั้งเดิมง่ายขึ้น

แยกรากที่สองด้วยการประมาณตัวเลขที่กำหนด

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแยกรากที่สองของจำนวนธรรมชาติ 17358122 และรู้ว่าสามารถแยกรากได้ หากต้องการค้นหาผลลัพธ์บางครั้งก็สะดวกที่จะใช้กฎที่อธิบายไว้ในงาน

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

หากต้องการใช้การแสดงตัวอย่าง ให้สร้างบัญชี ( บัญชี) Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com

ดูตัวอย่าง:

หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชี Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com

คำอธิบายสไลด์:

หัวรุนแรง ปลดปล่อยตัวเองจากความไร้เหตุผลของตัวส่วนของเศษส่วน แยกรากที่สองด้วยระดับความแม่นยำที่ระบุ นักเรียนชั้น 9B ของโรงเรียนมัธยมเทศบาลสถาบันการศึกษาหมายเลข 7, Salsk Kirill Tokarev

คำถามพื้นฐาน: เป็นไปได้ไหมที่จะแยกรากที่สองของตัวเลขใดๆ ด้วยระดับความแม่นยำที่กำหนด โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขและตารางสี่เหลี่ยม

เป้าหมายและวัตถุประสงค์: พิจารณากรณีของการแก้นิพจน์ที่มีอนุมูลที่ไม่ได้ศึกษา หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์ แต่จำเป็นสำหรับการสอบ Unified State

ประวัติความเป็นมาของรูท เครื่องหมายรูทมาจากตัวพิมพ์เล็ก อักษรละติน r (เริ่มต้นใน คำภาษาละติน Radix - root) หลอมรวมกับตัวยก ในสมัยก่อนมีการใช้การขีดเส้นใต้สำนวนแทนการถ่ายคร่อมในปัจจุบัน ดังนั้นจึงเป็นเพียงวิธีการเขียนแบบโบราณที่ได้รับการดัดแปลง การกำหนดนี้ถูกนำมาใช้เป็นครั้งแรก นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันโธมัส รูดอล์ฟ ในปี 1525

อิสรภาพจากการไร้เหตุผลของตัวส่วนของเศษส่วน สาระสำคัญของวิธีนี้คือการคูณและหารเศษส่วนด้วยนิพจน์ที่จะกำจัดความไม่ลงตัว (รากที่สองและรากที่สาม) ออกจากตัวส่วนและทำให้ง่ายขึ้น หลังจากนี้ จะง่ายกว่าที่จะลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วมและทำให้นิพจน์ดั้งเดิมง่ายขึ้น อัลกอริทึมสำหรับการปล่อยจากการไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน: 1. แบ่งตัวส่วนของเศษส่วนออกเป็นปัจจัย 2. ถ้าตัวส่วนมีรูปแบบหรือมีตัวประกอบ ก็ควรคูณทั้งเศษและส่วนด้วย ถ้าตัวส่วนอยู่ในรูปหรือหรือมีตัวประกอบประเภทนี้ ก็ควรคูณทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยหรือตามลาดับ ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าคอนจูเกต 3. แปลงตัวเศษและส่วนของเศษส่วน หากเป็นไปได้ จากนั้นลดเศษส่วนที่ได้

a) b) c) d) = - การปลดปล่อยจากการไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน

การแยกรากสี่เหลี่ยมด้วยวิธีการไปยังหลักที่ระบุ 1) -1 100 96 400 281 11900 11296 24 4 281 1 2824 4 16 135 81 5481 4956 52522 49956 81 1 826 6 8326 6 2) วิธีการของชาวบาบิโลนโบราณ: ตัวอย่าง: ค้นหา เพื่อแก้ไขปัญหา หมายเลขที่กำหนดสลายตัวเป็นผลรวมของสองเทอม: 1700 = 1600 + 100 = 40 2 + 100 อันแรกคือ กำลังสองที่สมบูรณ์แบบ- จากนั้นเราก็ใช้สูตร วิธีพีชคณิต:

การแยกรากสี่เหลี่ยมด้วยวิธีการไปยังหลักที่ระบุ , 4 16 8 . 1 1 1 3 5 1 8 1 5 4 8 1 8 2 + 66 4 9 5 6 6 5 2 5 2 2 + 8 3 2 66 4 9 9 5 6 6 + 8 3 3 2 33 2 5 6 6 0 0 , 3

เอกสารอ้างอิง 1. รวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์สำหรับผู้เข้ามหาวิทยาลัย เรียบเรียงโดย M.I. V. K. Egerev, B. A. Kordemsky, V. V. Zaitsev, “ ONICS ศตวรรษที่ 21”, 2003 2. พีชคณิตและฟังก์ชันเบื้องต้น R. A. Kalnin, “วิทยาศาสตร์”, 1973 3. คณิตศาสตร์ วัสดุอ้างอิง- V. A. Gusev, A. G. Mordkovich, สำนักพิมพ์ "Prosveshcheniye", 1990 4. เด็กนักเรียนเกี่ยวกับคณิตศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ เรียบเรียงโดย M.M. Liman, Enlightenment, 1981

ตามคำขอของคุณ!

5. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

6 . ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

17. ฉ(x)=6x 2 +8x+5, F(-1)=3. ค้นหา F(-2)

ลองหา C โดยรู้ว่า F(-1) = 3

3 = 2 ∙ (-1) 3 + 4 ∙ (-1) 2 + 5 ∙ (-1) + C;

3 = -2 + 4 – 5 + C;

ดังนั้น แอนติเดริเวทีฟ F(x) = 2x 3 + 4x 2 + 5x + 6 มาหา F(-2) กัน

F(-2) = 2∙(-2) 3 +4∙(-2) 2 +5∙(-2)+6 = -16+16-10+6=-4

20. กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน

วิธีแก้ปัญหาจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน ซึ่งช่วยให้คุณคูณทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยสิ่งเดียวกัน โดยไม่ต้อง เท่ากับศูนย์ตัวเลข. เพื่อกำจัดเครื่องหมายกรณฑ์ในตัวส่วนของเศษส่วน มักใช้สูตรการคูณแบบย่อ ท้ายที่สุดหากผลต่างของสองอนุมูลคูณด้วยผลรวมของมัน เราก็จะได้ผลต่างของกำลังสองของรากนั่นคือ คุณได้รับการแสดงออกโดยไม่มีสัญญาณที่รุนแรง

21. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ลองแก้ตัวอย่างนี้ในสองวิธี 1) ลองจินตนาการถึงการแสดงออกที่รุนแรงของปัจจัยที่สองในรูปแบบของกำลังสองของผลรวมของสองนิพจน์นั่นคือ ในรูปแบบ (a + b) 2 . นี่จะทำให้เราสามารถแยกรากที่สองทางคณิตศาสตร์ได้

2) ลองยกกำลังสองตัวประกอบแรกแล้ววางไว้ใต้เครื่องหมายรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของตัวประกอบที่สอง

ตัดสินใจเลือกวิธีที่สะดวกสำหรับคุณ!

22. ค้นหา (x 1 ∙y 1 +x 2 ∙y 2) โดยที่ (x n; y n) คือคำตอบของระบบสมการ:

เนื่องจากสามารถหารากที่สองทางคณิตศาสตร์ได้เท่านั้น จำนวนที่ไม่เป็นลบแล้วค่าที่อนุญาตของตัวแปร ที่ตัวเลขทุกตัวเป็นไปตามอสมการ y≥0- เนื่องจากผลคูณในสมการแรกของระบบมีค่าเท่ากับ จำนวนลบจากนั้นจะต้องตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: x<0 - มาแสดงออกกันเถอะ เอ็กซ์จากสมการแรกแล้วแทนค่าลงในสมการที่สอง ให้เราแก้สมการผลลัพธ์สำหรับ ที่แล้วหาค่าต่างๆ เอ็กซ์สอดคล้องกับค่าที่ได้รับก่อนหน้านี้ ที่.

23. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: 7sin 2 x+cos 2 x>5sinx

เนื่องจากตามอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก: sin 2 x+cos 2 x=1 แล้วนำเสนออสมการนี้ในรูปแบบ 6sin 2 x+ sin 2 x +cos 2 x>5sinx และประยุกต์ใช้หลัก เอกลักษณ์ตรีโกณมิติเราได้รับ: 6ซิน 2 x+ 1>5ซินx การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน:

6ซิน2 x-5ซินx+1 >0 มาแทนที่: sinx=y และรับอสมการกำลังสอง:

6ปี 2 -5ปี+1>0. ลองแก้อสมการนี้โดยใช้วิธีช่วง โดยแยกตัวประกอบทางด้านซ้าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะหารากของสมการกำลังสองที่สมบูรณ์:

6ป 2 -5ป+1=0 จำแนก D=b 2 -4ac=5 2 -4∙6∙1=25-24=1 จากนั้นเราจะได้ y 1 และ y 2:

24. ที่ฐานของปริซึมตรงอยู่ สามเหลี่ยมปกติซึ่งมีพื้นที่ คำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมถ้าปริมาตรเท่ากับ 300 ซม. 3

ให้เราได้รับสิ่งที่ถูกต้อง ปริซึมสามเหลี่ยม ABCA 1 B 1 C 1 ซึ่งขึ้นอยู่กับΔ ABC ที่ถูกต้องเรารู้จักพื้นที่ของมัน การใช้สูตรพื้นที่ สามเหลี่ยมด้านเท่าเราจะพบด้านของเรา สามเหลี่ยมเอบีซี- เนื่องจากปริมาตรของปริซึมตรงคำนวณโดยสูตร V=S หลัก ∙ H และเราก็รู้เช่นกัน จากนั้นเราก็สามารถหา H ได้ - ความสูงของปริซึม ขอบด้านข้างของปริซึมจะเท่ากับความสูงของปริซึม: AA 1 =H เมื่อทราบด้านข้างของฐานและความยาวของขอบด้านข้างของปริซึม คุณสามารถหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างได้โดยใช้สูตร: ด้าน S =P พื้นฐาน ∙ ฮ.

25. มีคำถาม 20 ข้อในแบบทดสอบของโรงเรียน สำหรับแต่ละคำตอบที่ถูกต้อง ผู้เข้าร่วมจะได้รับ 12 คะแนน และสำหรับแต่ละคำตอบที่ไม่ถูกต้องจะถูกหัก 10 คะแนน ผู้เข้าร่วมคนใดคนหนึ่งให้คำตอบที่ถูกต้องกี่ข้อหากเขาตอบคำถามทั้งหมดและได้คะแนน 86 คะแนน

ให้ผู้เข้าร่วมตอบถูก x ข้อ จากนั้นเขาก็มีคำตอบที่ผิด (20) ข้อ เมื่อรู้ว่าคำตอบที่ถูกต้องแต่ละข้อเขาได้รับ 12 คะแนน และสำหรับแต่ละคำตอบที่ไม่ถูกต้องจะถูกหักออก 10 คะแนน และในเวลาเดียวกันเขาได้คะแนน 86 คะแนน เราจะสร้างสมการ:

12x-10·(ยุค 20)=86;

12x-200+10x=86;

22x=286 ⇒ x=286:22 ⇒ x=13 ผู้เข้าร่วมตอบถูก 13 ข้อ

ฉันหวังว่าคุณจะให้คำตอบที่ถูกต้อง 25 ข้อสำหรับแบบทดสอบคณิตศาสตร์ที่ UNT!

24. ทางด้านขวา ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมส่วนสูงคือ 3 ซี่โครงด้านข้าง 6. ค้นหารัศมีของทรงกลมที่ล้อมรอบพีระมิด

ให้อธิบายลูกบอลที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด O 1 และรัศมี MO 1 ปิรามิดปกติ MABCD ที่มีความสูง MO=3 และขอบด้านข้าง MA=6 จำเป็นต้องค้นหารัศมีของลูกบอล MO 1 พิจารณา ΔMAM 1 โดยด้าน MM 1 คือเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอล จากนั้น ∠MAM 1 =90° ลองหาด้านตรงข้ามมุมฉาก MM 1 ถ้าทราบด้าน MA และเส้นโครงของด้านนี้ MO ลงบนด้านตรงข้ามมุมฉาก จดจำ? ความสูงดึงจากจุดยอด มุมขวาด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นมีค่าเฉลี่ย ค่าสัดส่วนระหว่างเส้นโครงของขาถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก และแต่ละขาคือค่าสัดส่วนเฉลี่ยระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากทั้งหมดกับเส้นโครงของขานี้ไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากในงานนี้เฉพาะส่วนที่ขีดเส้นใต้ของกฎเท่านั้นที่จะเป็นประโยชน์สำหรับเรา

เราเขียนความเท่าเทียมกัน: MA 2 =MO∙MM 1 เราแทนที่ข้อมูลของเรา: 6 2 =3∙MM 1 ดังนั้น MM 1 =36:3=12 เราพบเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอล ดังนั้น รัศมีของ MO 1 =6

25. Petya มีอายุมากกว่า Kolya ซึ่งมีอายุมากกว่า Misha, Masha มีอายุมากกว่า Kolya และ Dasha มีอายุน้อยกว่า Petya แต่แก่กว่า Masha ใครอายุมากที่สุดเป็นอันดับสาม?

สมมติว่า: อายุมากขึ้นหมายถึงมากขึ้น Petya แก่กว่า Kolya ซึ่งแก่กว่า Mishaมาเขียนแบบนี้: Petya>Kolya>Misha Dasha อายุน้อยกว่า Petya แต่แก่กว่า Mashaมาเขียนแบบนี้: Masha<Даша<Петя, что будет равнозначно записи: Петя>ดาชา>มาช่า เพราะ Masha แก่กว่า Kolyaจากนั้นเราก็จะได้: Petya>Dasha>Masha>Kolya และสุดท้าย: Petya>Dasha>Masha>Kolya>Misha ดังนั้นคนที่สามที่เก่าแก่ที่สุดคือ Masha

ปรารถนา การเตรียมการที่ประสบความสำเร็จถึง UNT!

คำแนะนำ

ก่อนที่คุณจะกำจัด ความไร้เหตุผลวี ตัวส่วนประเภทของมันจะเป็นไปตามนั้น และให้ดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไปโดยขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ และถึงแม้ว่าความไร้เหตุผลใดๆ จะตามมาจากการมีอยู่อย่างเรียบง่าย แต่การผสมผสานและองศาต่างๆ ของพวกมันก็สันนิษฐานได้ อัลกอริธึมที่แตกต่างกัน.

การแสดงตนด้านล่างบรรทัด เศษส่วนราก พลังเศษส่วนของรูปแบบ m/n โดยมี n>m นิพจน์นี้มีลักษณะดังนี้: a/√(b^m/n)

กำจัดสิ่งนี้ ความไร้เหตุผลด้วยการป้อนตัวคูณ คราวนี้ซับซ้อนมากขึ้น: b^(n-m)/n เช่น จากเลขชี้กำลังของรากนั้นเอง คุณต้องมีระดับของนิพจน์ใต้เครื่องหมายของมัน แล้วเข้า. ตัวส่วนเท่านั้น :a/(b^m/n) → a √(b^(n-m)/n)/b จะยังคงอยู่ ตัวอย่างที่ 2: 5/(4^3/5) → 5 √(4^2/5) / 4 = 5 √(16^1/5)/4

ผลรวม รากที่สองคูณส่วนประกอบทั้งสอง เศษส่วนด้วยความแตกต่างที่คล้ายคลึงกัน จากนั้นจากการบวกรากแบบไม่มีเหตุผล ตัวส่วนจะถูกแปลงเป็น / ใต้เครื่องหมายราก:a/(√b + √c) → a (√b - √c)/(b - c)ตัวอย่างที่ 3: 9/(√ 13 + √23) → 9 (√13 - √23)/(13 - 23) = 9 (√23 - √13)/10

ผลรวม/ผลต่างของรากลูกบาศก์ เลือกกำลังสองบางส่วนของผลต่างเป็นปัจจัยเพิ่มเติมหากเข้า ตัวส่วนคือผลรวม และกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวมสำหรับผลต่างของราก: a/(∛b ± ∛c) → a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/ ((∛b ± ∛c ) ∛b² ∓ ∛(b c ) + ∛c²) →a (∛b² ∓ ∛(bc) + ∛c²)/(b ± c).ตัวอย่าง 4: 7/(∛5 + ∛4) → 7 (∛25 - ∛20 + ∛16) /9.

หากปัญหามีทั้งกำลังสองและ ให้แบ่งคำตอบออกเป็นสองขั้นตอน: ดึงรากที่สองจากตัวส่วนตามลำดับ แล้วตามด้วยรากที่สาม ทำได้โดยใช้วิธีการที่คุณรู้จักอยู่แล้ว: ในขั้นตอนแรกคุณต้องเลือกตัวคูณของผลต่าง/ผลรวมของราก ในขั้นตอนที่สอง - กำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวม/ผลต่าง

วิดีโอในหัวข้อ

แหล่งที่มา:

• วิธีกำจัดความไร้เหตุผลในรูปเศษส่วน

เคล็ดลับ 2: วิธีกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน

เข้าถูกต้อง จำนวนเศษส่วนไม่มี ความไร้เหตุผลวี ตัวส่วน- การบันทึกดังกล่าวจะมองเห็นได้ง่ายกว่าด้วยสายตาดังนั้นเมื่อไร ความไร้เหตุผลวี ตัวส่วนก็ควรที่จะกำจัดมันออกไป ในกรณีนี้ ความไร้เหตุผลอาจกลายเป็นตัวเศษได้

คำแนะนำ

อันดับแรก เราสามารถพิจารณาวิธีที่ง่ายที่สุด - 1/sqrt(2) รากที่สองของสองคือตัวเลขใน . ในกรณีนี้ คุณต้องคูณตัวเศษและส่วนด้วยตัวส่วน เท่านี้ก็จะได้ ตัวส่วน- โดยแท้แล้ว sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2 การคูณรากที่สองที่เหมือนกันสองตัวเข้าด้วยกันจะได้ผลลัพธ์ที่อยู่ใต้รากแต่ละอันในที่สุด: ในกรณีนี้จะได้สอง ผลลัพธ์คือ: 1/ sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2 อัลกอริธึมนี้ยังใช้กับเศษส่วนในหน่วยนิ้วด้วย ตัวส่วนซึ่งมีรากคูณด้วยจำนวนตรรกยะ ตัวเศษและส่วนในกรณีนี้จะต้องคูณด้วยรากที่อยู่ในนั้น ตัวส่วน.ตัวอย่าง: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt( 3)/6.

คุณต้องดำเนินการในลักษณะเดียวกันทุกประการหาก ตัวส่วนไม่ใช่รากที่พบ แต่เป็นลูกบาศก์หรือระดับอื่นใด รูทเข้า ตัวส่วนคุณต้องคูณด้วยรากเดียวกันทุกประการ และคูณตัวเศษด้วยรากเดียวกัน แล้วรากจะเข้าไปอยู่ในตัวเศษ.

ในกรณีเพิ่มเติมใน ตัวส่วนมีผลรวมของจำนวนอตรรกยะและหรือจำนวนอตรรกยะสองตัว ในกรณีของผลรวม (ผลต่าง) ของรากที่สองหรือรากที่สองและ จำนวนตรรกยะสามารถใช้งานได้ดี สูตรที่รู้จักกันดี(x+y)(x-y) = (x^2)-(y^2) มันจะช่วยให้คุณกำจัด ตัวส่วน- ถ้าเข้า. ตัวส่วนความแตกต่างจากนั้นคุณจะต้องคูณทั้งเศษและส่วนด้วยผลรวมของตัวเลขเดียวกันถ้าผลรวม - จากนั้นด้วยผลต่าง ผลรวมหรือผลต่างคูณนี้จะเรียกว่าคอนจูเกตของนิพจน์ ตัวส่วน. ผลของสิ่งนี้มองเห็นได้ชัดเจนในตัวอย่าง: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = ( sqrt(2) -1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1

ถ้าเข้า. ตัวส่วนมีผลรวม (ความแตกต่าง) ซึ่งมีรากอยู่ ในระดับที่มากขึ้นจากนั้นสถานการณ์จะกลายเป็นเรื่องไม่สำคัญและกำจัดออกไป ความไร้เหตุผลวี ตัวส่วนไม่สามารถทำได้เสมอไป

แหล่งที่มา:

• กำจัดรากในตัวส่วนในปี 2562

เคล็ดลับ 3: วิธีปลดปล่อยตัวเองจากความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน

เศษส่วนประกอบด้วยตัวเศษที่อยู่ด้านบนของเส้นและตัวส่วนซึ่งจะถูกหารอยู่ที่ด้านล่าง จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงในรูปแบบได้ เศษส่วนโดยมีจำนวนเต็มในตัวเศษและจำนวนธรรมชาติเข้า ตัวส่วน- ตัวอย่างเช่น ตัวเลขดังกล่าวคือรากที่สองของสองหรือพาย ปกติแล้วเวลาคุยกัน. ความไร้เหตุผลวี ตัวส่วนรากคือนัยโดยนัย

คำแนะนำ

กำจัด คูณด้วยตัวส่วน. จึงจะโอนไปที่ตัวเศษ. เมื่อคูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกันจะได้ค่า เศษส่วนไม่เปลี่ยนแปลง ใช้ตัวเลือกนี้หากตัวส่วนทั้งหมดเป็นราก

คูณทั้งเศษและส่วนด้วยตัวส่วน หมายเลขที่ถูกต้องครั้ง ขึ้นอยู่กับราก ถ้ารูทเป็นรูปสี่เหลี่ยมก็ให้หนึ่งครั้ง

คูณทั้งเศษและส่วน เศษส่วนถึงตัวส่วน นั่นคือ ถึง √(x+2) ตัวอย่างเดิม (56-y)/√(x+2) จะเปลี่ยนเป็น ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)) ผลลัพธ์จะเป็น ((56-y)*√(x+2))/(x+2) ตอนนี้รูทอยู่ในตัวเศษ และเข้า ตัวส่วนเลขที่ ความไร้เหตุผล.

คูณตัวส่วนด้วยผลรวมของราก. คูณตัวเศษด้วยค่าเดียวกันเพื่อให้ได้ค่า เศษส่วนยังไม่เปลี่ยนแปลง เศษส่วนจะอยู่ในรูปแบบ ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) ).

ใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติข้างต้น (x+y)*(x-y)=x²-y² และปล่อยตัวส่วนออกจาก ความไร้เหตุผล- ผลลัพธ์จะเป็น ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y) ตอนนี้รากอยู่ในตัวเศษ และตัวส่วนได้กำจัดไปแล้ว ความไร้เหตุผล.

ใน กรณีที่ยากลำบากทำซ้ำทั้งสองตัวเลือกนี้ โดยนำไปใช้ตามความจำเป็น โปรดทราบว่าไม่สามารถกำจัดออกไปได้เสมอไป ความไร้เหตุผลวี ตัวส่วน.

แหล่งที่มา:

เศษส่วนพีชคณิตคือการแสดงออกของรูปแบบ A/B โดยที่ตัวอักษร A และ B แทนตัวเลขหรือ การแสดงออกตามตัวอักษร- มักเป็นตัวเศษและส่วนใน เศษส่วนพีชคณิตมีลักษณะยุ่งยาก แต่การดำเนินการกับเศษส่วนดังกล่าวควรทำตามกฎเดียวกันกับการกระทำกับเศษส่วนสามัญโดยที่ตัวเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็ม ตัวเลขบวก.

คำแนะนำ

หากได้รับ เศษส่วนให้แปลงพวกมัน (เศษส่วนที่ตัวเศษมากกว่าตัวส่วน): คูณตัวส่วนด้วยส่วนทั้งหมดแล้วบวกตัวเศษ เลข 2 1/3 จะกลายเป็น 7/3. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณ 3 ด้วย 2 แล้วบวกหนึ่ง

หากคุณต้องการแปลงเศษส่วนเป็นเศษส่วนเกิน ให้จินตนาการว่าเป็นตัวเลขที่ไม่มีจุดทศนิยมต่อหนึ่งที่มีศูนย์มากเท่ากับจำนวนตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยม ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพตัวเลข 2.5 เป็น 25/10 (ถ้าย่อให้สั้นลง คุณจะได้ 5/2) และตัวเลข 3.61 เป็น 361/100 มักจะใช้งานได้ง่ายกว่ากับวัตถุที่ไม่ปกติมากกว่าแบบผสมหรือทศนิยม

หากคุณต้องการลบเศษส่วนหนึ่งจากอีกเศษส่วนหนึ่งและพวกเขาก็ได้ ตัวส่วนที่แตกต่างกันให้นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค้นหาจำนวนที่จะเป็นตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวส่วนทั้งสองหรือหลายตัวหากมีเศษส่วนมากกว่าสองตัว LCM คือตัวเลขที่จะหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนดทั้งหมด ตัวอย่างเช่น สำหรับ 2 และ 5 ตัวเลขนี้คือ 10

หลังเครื่องหมายเท่ากับ ให้ลากเส้นแนวนอนแล้วเขียนตัวเลขนี้ (NOC) ลงในส่วนของ เพิ่มตัวประกอบเพิ่มเติมในแต่ละเทอม - จำนวนที่ต้องคูณทั้งเศษและส่วนเพื่อให้ได้ LCM คูณตัวเศษด้วยตัวประกอบเพิ่มเติมตามลำดับ โดยคงเครื่องหมายของการบวกหรือการลบไว้

คำนวณผลลัพธ์ ย่อให้สั้นลงหากจำเป็น หรือเลือกทั้งส่วน ตัวอย่างเช่น คุณต้องเพิ่ม ⅓ และ ¼ LCM สำหรับเศษส่วนทั้งสองคือ 12 จากนั้นตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนแรกคือ 4 สำหรับเศษส่วนที่สอง - 3 รวม: ⅓+¼=(1·4+1·3)/12=7/12

ถ้ากำหนดให้สำหรับการคูณ ให้คูณตัวเศษ (ซึ่งก็คือตัวเศษของผลลัพธ์) และตัวส่วน (ซึ่งจะเป็นตัวส่วนของผลลัพธ์) ในกรณีนี้ ไม่จำเป็นต้องลดให้เป็นตัวส่วนร่วม

แยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วนตามความจำเป็น ตัวอย่างเช่น นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บหรือใช้สูตรคูณแบบย่อ เพื่อที่คุณจะได้ลดตัวเศษและส่วนด้วย gcd ซึ่งเป็นค่าที่น้อยที่สุดหากจำเป็น ตัวหารร่วม.

โปรดทราบ

บวกตัวเลขกับตัวเลข ตัวอักษรชนิดเดียวกัน กับตัวอักษรชนิดเดียวกัน ตัวอย่างเช่น คุณไม่สามารถบวก 3a และ 4b ได้ ซึ่งหมายความว่าผลรวมหรือผลต่างจะยังคงอยู่ในตัวเศษ - 3a ± 4b

แหล่งที่มา:

• การคูณและหารเศษส่วน

ในชีวิตประจำวันมักพบตัวเลขที่ไม่เป็นธรรมชาติ: 1, 2, 3, 4 เป็นต้น (มันฝรั่ง 5 กก.) และเศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม (หัวหอม 5.4 กก.) ส่วนใหญ่จะนำเสนอใน รูปร่างเศษส่วนทศนิยม แต่ ทศนิยมส่งไปที่ รูปร่าง เศษส่วนง่ายพอ

คำแนะนำ

เช่น ให้เลข "0.12" หากไม่ใช่เศษส่วนนี้แล้วจินตนาการตามที่เป็นอยู่ ก็จะมีลักษณะดังนี้: 12/100 (“สิบสอง”) หากต้องการกำจัดร้อยใน คุณต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวเลขที่หารตัวเลข จำนวนนี้คือ 4 จากนั้น เมื่อหารทั้งเศษและส่วน เราจะได้ตัวเลข: 3/25

หากเราพิจารณาผลิตภัณฑ์ที่ใช้ในชีวิตประจำวันมากขึ้น ป้ายราคาก็มักจะชัดเจนว่ามีน้ำหนัก เช่น 0.478 กก. หรือมากกว่านั้น ตัวเลขนี้ก็ง่ายต่อการจินตนาการเช่นกัน รูปร่าง เศษส่วน:
478/1000 = 239/500 เศษส่วนนี้ค่อนข้างน่าเกลียด และหากเป็นไปได้ เศษส่วนทศนิยมนี้ก็จะลดลงได้อีก และทั้งหมดใช้วิธีเดียวกันคือเลือกจำนวนที่หารทั้งเศษและส่วน จำนวนนี้มากที่สุด ปัจจัยทั่วไป- ตัวประกอบนั้น "มากที่สุด" เนื่องจากสะดวกกว่ามากในการหารทั้งเศษและส่วนด้วย 4 ทันที (ดังตัวอย่างแรก) แทนที่จะหารสองครั้งด้วย 2

เมื่อศึกษาการแปลงนิพจน์ที่ไม่ลงตัว คำถามที่สำคัญมากคือจะกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วนได้อย่างไร วัตถุประสงค์ของบทความนี้คือการอธิบายการกระทำนี้ใน ตัวอย่างเฉพาะงาน ในย่อหน้าแรกเราจะพิจารณากฎพื้นฐานของการเปลี่ยนแปลงนี้และในส่วนที่สอง - ตัวอย่างทั่วไปพร้อมคำอธิบายโดยละเอียด

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

แนวคิดของการปลดปล่อยจากความไร้เหตุผลในตัวส่วน

เริ่มต้นด้วยการอธิบายว่าการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวมีความหมายว่าอย่างไร เมื่อต้องการทำเช่นนี้ โปรดจำข้อกำหนดต่อไปนี้

เราสามารถพูดถึงความไม่ลงตัวในตัวส่วนของเศษส่วนได้หากมีรากหรือที่เรียกว่าสัญลักษณ์ของราก ตัวเลขที่เขียนโดยใช้เครื่องหมายนี้มักจะไม่มีเหตุผล ตัวอย่างคือ 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 · x · y + 1, 11 7 - 5 เศษส่วนที่มีตัวส่วนไม่ลงตัวจะรวมถึงเศษส่วนที่มีเครื่องหมายรากอยู่ที่นั่นด้วย องศาที่แตกต่างกัน(สี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์ ฯลฯ) เช่น 3 4 3, 1 x + x · y 4 + y คุณควรกำจัดความไร้เหตุผลเพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นและอำนวยความสะดวกในการคำนวณเพิ่มเติม มากำหนดคำจำกัดความพื้นฐาน:

คำจำกัดความ 1

ปลดปล่อยตัวเองจากความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน- หมายถึง แปรสภาพโดยแทนที่ด้วยสิ่งเดียวกัน เศษส่วนเท่ากันตัวส่วนซึ่งไม่มีรากหรือกำลัง

การกระทำดังกล่าวอาจเรียกว่าการปลดปล่อยหรือการขจัดความไร้เหตุผล แต่ความหมายยังคงเหมือนเดิม ดังนั้นการเปลี่ยนจาก 1 2 เป็น 2 2 เช่น เป็นเศษส่วนที่มีค่าเท่ากันโดยไม่มีเครื่องหมายรากในตัวส่วนและจะเป็นการกระทำที่เราต้องการ ลองอีกตัวอย่างหนึ่ง: เรามีเศษส่วน x x - y มาดำเนินการกัน การเปลี่ยนแปลงที่จำเป็นและเราได้เศษส่วนที่เท่ากัน x · x + y x - y โดยปราศจากเหตุผลในตัวส่วน

หลังจากกำหนดคำจำกัดความแล้ว เราสามารถดำเนินการศึกษาลำดับของการกระทำที่ต้องดำเนินการสำหรับการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวได้โดยตรง

ขั้นตอนพื้นฐานในการกำจัดความไม่ลงตัวในตัวส่วนของเศษส่วน

ในการกำจัดราก คุณต้องทำการแปลงเศษส่วนสองครั้งติดต่อกัน: คูณทั้งสองส่วนของเศษส่วนด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ จากนั้นจึงแปลงนิพจน์ที่ได้รับในตัวส่วน ลองพิจารณากรณีหลัก ๆ

ในส่วนใหญ่ กรณีง่ายๆคุณทำได้โดยการแปลงตัวส่วน ตัวอย่างเช่น เราสามารถหาเศษส่วนที่มีตัวส่วนได้ เท่ากับรากจาก 9 เมื่อคำนวณ 9 แล้ว เราก็เขียน 3 ในตัวส่วนและกำจัดความไร้เหตุผลออกไป

อย่างไรก็ตามบ่อยครั้งที่จำเป็นต้องคูณตัวเศษและส่วนด้วยตัวเลขซึ่งจะทำให้ตัวส่วนถูกนำไปยังรูปแบบที่ต้องการ (โดยไม่ต้องรูท) ดังนั้น หากเราคูณ 1 x + 1 ด้วย x + 1 เราจะได้เศษส่วน x + 1 x + 1 x + 1 และสามารถแทนที่นิพจน์ในตัวส่วนด้วย x + 1 ได้ เราก็แปลง 1 x + 1 เป็น x + 1 x + 1 โดยกำจัดความไร้เหตุผลไป

บางครั้งการเปลี่ยนแปลงที่คุณต้องดำเนินการค่อนข้างเฉพาะเจาะจง ลองดูตัวอย่างประกอบบางส่วน

วิธีแปลงนิพจน์เป็นตัวส่วนของเศษส่วน

อย่างที่เราบอกไป วิธีที่ง่ายที่สุดคือการแปลงตัวส่วน

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข:ปลดปล่อยเศษส่วน 1 2 · 18 + 50 ออกจากความไม่ลงตัวในตัวส่วน

สารละลาย

ก่อนอื่น ให้เปิดวงเล็บแล้วได้นิพจน์ 1 2 18 + 2 50 เมื่อใช้คุณสมบัติพื้นฐานของราก เราไปยังนิพจน์ 1 2 18 + 2 50 เราคำนวณค่าของทั้งสองนิพจน์ใต้รากและรับ 1 36 + 100 ที่นี่คุณสามารถแยกรากได้แล้ว ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วน 1 6 + 10 เท่ากับ 1 16 การเปลี่ยนแปลงสามารถทำได้ที่นี่

มาเขียนความคืบหน้าของโซลูชันทั้งหมดโดยไม่ต้องแสดงความคิดเห็น:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

คำตอบ: 1 2 18 + 50 = 1 16.

ตัวอย่างที่ 2

เงื่อนไข:ให้เศษส่วน 7 - x (x + 1) 2. กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน

สารละลาย

ก่อนหน้านี้ในบทความเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลง การแสดงออกที่ไม่ลงตัวโดยใช้คุณสมบัติของราก เรากล่าวว่าสำหรับ A และแม้แต่ n ใดๆ เราสามารถแทนที่นิพจน์ A n n ด้วย | ก | ตลอดช่วงค่าที่อนุญาตของตัวแปรทั้งหมด ดังนั้น ในกรณีของเรา เราสามารถเขียนได้ดังนี้: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 ด้วยวิธีนี้เราจึงหลุดพ้นจากความไร้เหตุผลในตัวส่วน

คำตอบ: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1

กำจัดความไร้เหตุผลด้วยการคูณราก

หากตัวส่วนของเศษส่วนมีนิพจน์อยู่ในรูปแบบ A และนิพจน์ A เองไม่มีสัญญาณของการเป็นราก เราก็สามารถหลุดพ้นจากการไร้เหตุผลได้โดยการคูณทั้งสองข้างของเศษส่วนดั้งเดิมด้วย A ความเป็นไปได้ของการดำเนินการนี้พิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่า A จะไม่เปลี่ยนเป็น 0 ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ หลังจากการคูณ ตัวส่วนจะมีนิพจน์ในรูปแบบ A · A ซึ่งง่ายต่อการกำจัดราก: A · A = A 2 = A เรามาดูวิธีการใช้วิธีนี้อย่างถูกต้องในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 3

เงื่อนไข:ให้เศษส่วน x 3 และ - 1 x 2 + y - 4 กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนออกไป

สารละลาย

ลองคูณเศษส่วนแรกด้วยรากที่สองของ 3 เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3

ในกรณีที่สอง เราต้องคูณด้วย x 2 + y - 4 และแปลงนิพจน์ผลลัพธ์ในตัวส่วน:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + ปี - 4

คำตอบ: x 3 = x · 3 3 และ - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

หากตัวหารของเศษส่วนดั้งเดิมมีนิพจน์ในรูปแบบ A n m หรือ A m n (ขึ้นอยู่กับธรรมชาติ m และ n) เราต้องเลือกปัจจัยเพื่อให้สามารถแปลงนิพจน์ผลลัพธ์เป็น A n n k หรือ A n k n (ขึ้นอยู่กับธรรมชาติ ฏ) หลังจากนี้ก็จะกำจัดความไร้เหตุผลได้ง่าย ลองดูตัวอย่างนี้

ตัวอย่างที่ 4

เงื่อนไข:ให้เศษส่วน 7 6 3 5 และ x x 2 + 1 4 15 กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน

สารละลาย

เราจำเป็นต้องใช้ จำนวนธรรมชาติซึ่งสามารถหารด้วยห้าได้แต่ต้องมากกว่าสาม เพื่อให้เลขชี้กำลัง 6 เท่ากับ 5 เราต้องคูณด้วย 6 2 5 ดังนั้น เราจะต้องคูณทั้งสองส่วนของเศษส่วนเดิมด้วย 6 2 5:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

ในกรณีที่สอง เราต้องการจำนวนมากกว่า 15 ซึ่งสามารถหารด้วย 4 ได้โดยไม่มีเศษ เรารับ 16. หากต้องการได้เลขยกกำลังในตัวส่วน เราจำเป็นต้องนำ x 2 + 1 4 เป็นตัวประกอบ ให้เราชี้แจงว่าค่าของนิพจน์นี้จะไม่เป็น 0 ไม่ว่าในกรณีใด เราคำนวณ:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

คำตอบ: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 และ x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

กำจัดความไร้เหตุผลด้วยการคูณด้วยนิพจน์คอนจูเกต

วิธีการต่อไปนี้เหมาะสำหรับกรณีที่ตัวส่วนของเศษส่วนดั้งเดิมมีนิพจน์ a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b ในกรณีเช่นนี้ เราจำเป็นต้องนำนิพจน์คอนจูเกตมาเป็นปัจจัย ให้เราอธิบายความหมายของแนวคิดนี้

สำหรับนิพจน์แรก a + b คอนจูเกตจะเป็น a - b สำหรับนิพจน์ที่สอง a - b – a + b สำหรับ a + b – a - b สำหรับ a - b – a + b สำหรับ a + b – a - b และสำหรับ a - b – a + b กล่าวอีกนัยหนึ่ง นิพจน์คอนจูเกตคือนิพจน์ที่เทอมที่สองนำหน้าด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม

มาดูกันว่ามันคืออะไรกันแน่ วิธีนี้- สมมุติว่าเรามีผลคูณอยู่ในรูป a - b · a + b มันสามารถถูกแทนที่ด้วยผลต่างของกำลังสอง a - b · a + b = a 2 - b 2 หลังจากนั้นเราไปยังนิพจน์ a - b ไร้ราก ดังนั้นเราจึงปลดปล่อยตัวเองจากความไม่ลงตัวในตัวส่วนของเศษส่วนด้วยการคูณด้วยนิพจน์คอนจูเกต ลองยกตัวอย่างประกอบสักสองสามตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 5

เงื่อนไข:กำจัดความไร้เหตุผลในนิพจน์ 3 7 - 3 และ x - 5 - 2

สารละลาย

ในกรณีแรก เราใช้นิพจน์คอนจูเกตเท่ากับ 7 + 3 ตอนนี้เราคูณทั้งสองส่วนของเศษส่วนดั้งเดิมด้วย:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

ในกรณีที่สอง เราต้องการนิพจน์ - 5 + 2 ซึ่งเป็นสังยุคของนิพจน์ - 5 - 2 คูณทั้งเศษและส่วนด้วยมันแล้วได้:

x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3

นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะทำการแปลงก่อนที่จะคูณ: หากเราลบเครื่องหมายลบออกจากตัวส่วนก่อนจะคำนวณได้สะดวกกว่า:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3

คำตอบ: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 และ x - 5 - 2 = x 2 - 5 3

สิ่งสำคัญคือต้องใส่ใจกับความจริงที่ว่านิพจน์ที่ได้รับจากการคูณจะไม่เปลี่ยนเป็น 0 สำหรับตัวแปรใด ๆ ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับนิพจน์นี้

ตัวอย่างที่ 6

เงื่อนไข:ให้เศษส่วน x x + 4 แปลงมันเพื่อไม่ให้นิพจน์ที่ไม่ลงตัวในตัวส่วน.

สารละลาย

เริ่มต้นด้วยการค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับตัวแปร x มันถูกกำหนดโดยเงื่อนไข x ≥ 0 และ x + 4 ≠ 0 จากนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าพื้นที่ที่ต้องการคือเซต x ≥ 0

สังยุคของตัวส่วนคือ x - 4 . เมื่อไหร่เราจะคูณมันได้? เฉพาะในกรณีที่ x - 4 ≠ 0 ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ จะเท่ากับเงื่อนไข x≠16 เป็นผลให้เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

ถ้า x เท่ากับ 16 เราจะได้:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

ดังนั้น x x + 4 = x · x - 4 x - 16 สำหรับค่าทั้งหมดของ x ที่อยู่ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ยกเว้น 16 ที่ x = 16 เราจะได้ x x + 4 = 2

คำตอบ: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

การแปลงเศษส่วนด้วยความไร้เหตุผลในตัวส่วนโดยใช้ผลรวมและผลต่างของสูตรกำลังสาม

ใน ย่อหน้าก่อนหน้าเราคูณด้วยนิพจน์คอนจูเกต เพื่อที่เราจะได้ใช้ผลต่างของสูตรกำลังสองได้ บางครั้ง เพื่อกำจัดความไม่ลงตัวในตัวส่วน จะเป็นประโยชน์ถ้าใช้สูตรการคูณแบบย่ออื่นๆ เช่น ผลต่างของลูกบาศก์ a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)- สูตรนี้สะดวกในการใช้งานหากตัวส่วนของเศษส่วนดั้งเดิมมีนิพจน์ที่มีรากระดับที่สามของรูปแบบ A 3 - B 3, A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 ฯลฯ หากต้องการใช้ เราต้องคูณตัวส่วนของเศษส่วนด้วยกำลังสองบางส่วนของผลรวม A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 หรือผลต่าง A 3 - B 3 สูตรผลรวมก็ใช้วิธีเดียวกันได้ a 3 + b 3 = (a) (a 2 − a b + b 2).

ตัวอย่างที่ 7

เงื่อนไข:แปลงเศษส่วน 1 7 3 - 2 3 และ 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 เพื่อกำจัดความไม่ลงตัวในตัวส่วน

สารละลาย

สำหรับเศษส่วนแรก เราจำเป็นต้องใช้วิธีการคูณทั้งสองส่วนด้วยกำลังสองบางส่วนของผลรวม 7 3 และ 2 3 จากนั้นเราจึงสามารถแปลงค่าได้โดยใช้สูตรผลต่างของลูกบาศก์:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

ในเศษส่วนที่สอง เราแทนตัวส่วนเป็น 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 นิพจน์นี้แสดงกำลังสองบางส่วนของความแตกต่างระหว่าง 2 และ x 3 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถคูณทั้งสองส่วนของเศษส่วนด้วยผลรวม 2 + x 3 และใช้สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์ ในการทำเช่นนี้จะต้องตรงตามเงื่อนไข 2 + x 3 ≠ 0 ซึ่งเทียบเท่ากับ x 3 ≠ - 2 และ x ≠ − 8:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

ลองแทน 8 เป็นเศษส่วนแล้วค้นหาค่า:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

มาสรุปกัน สำหรับ x ทั้งหมดที่รวมอยู่ในช่วงของค่าของเศษส่วนดั้งเดิม (ชุด R) ยกเว้น - 8 เราจะได้ 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x ถ้า x = 8 ดังนั้น 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4

คำตอบ: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8

การประยุกต์ใช้วิธีการแปลงต่างๆ อย่างสม่ำเสมอ

บ่อยครั้งในทางปฏิบัติยังมีอีกมาก ตัวอย่างที่ซับซ้อนเมื่อเราไม่สามารถปลดปล่อยตัวเองจากความไร้เหตุผลในตัวส่วนโดยใช้วิธีเดียวได้ สำหรับพวกเขา คุณจะต้องทำการเปลี่ยนแปลงหลายอย่างตามลำดับหรือเลือก โซลูชั่นที่ไม่ได้มาตรฐาน- ลองใช้ปัญหาดังกล่าวกัน

ตัวอย่าง N

เงื่อนไข:แปลง 5 7 4 - 2 4 เพื่อกำจัดเครื่องหมายของรากในตัวส่วน

สารละลาย

ลองคูณทั้งสองส่วนของเศษส่วนดั้งเดิมด้วยนิพจน์คอนจูเกต 7 4 + 2 4 ด้วยค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

ตอนนี้ลองใช้วิธีเดิมอีกครั้ง:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

คำตอบ: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2.

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter