การแสดงเรขาคณิตของคำนิยามจำนวนเชิงซ้อน การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน แบบฟอร์มตรีโกณมิติ จำนวนเชิงซ้อน.

2015-06-04

แกนจริงและจินตภาพ
อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อน
อาร์กิวเมนต์หลักจำนวนเชิงซ้อน
รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

การระบุจำนวนเชิงซ้อน $z = a+bi$ เทียบเท่ากับการระบุจำนวนจริงสองตัว $a,b$ - ส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนนี้ แต่คู่ลำดับของตัวเลข $(a,b)$ จะแสดงเป็นภาษาคาร์ทีเซียน ระบบสี่เหลี่ยมพิกัดตามจุดที่มีพิกัด $(a, b)$ ดังนั้น จุดนี้สามารถใช้เป็นรูปภาพของจำนวนเชิงซ้อน $z$: ระหว่างจำนวนเชิงซ้อนกับจุด ประสานงานเครื่องบินมีการสร้างการติดต่อแบบตัวต่อตัว

เมื่อใช้ระนาบพิกัดเพื่อแสดงจำนวนเชิงซ้อน แกน $Ox$ มักจะเรียกว่าแกนจริง (เนื่องจากส่วนที่แท้จริงของตัวเลขถือเป็นจุดหักล้างของจุด) และแกน $Oy$ คือแกนจินตภาพ (เนื่องจากส่วนจินตภาพของจำนวนนั้นถือเป็นพิกัดของจุด)

จำนวนเชิงซ้อน $z$ แทนด้วยจุด $M(a,b)$ เรียกว่าส่วนต่อท้ายของจุดนี้ ในเวลาเดียวกัน ตัวเลขจริงแสดงด้วยจุดที่วางอยู่บนแกนจริง และจำนวนจินตภาพล้วนๆ $bi$ (สำหรับ $a = 0$) แสดงด้วยจุดที่วางอยู่บนแกนจินตภาพ เลขศูนย์แสดงด้วยจุด O

รูปที่ 1
ในรูป 1, รูปภาพของตัวเลข $z_(1) = 2 + 3i, z_(2)=1 =1,z_(3) = 4i, z_(4) = -4 + i, z_(5) = -2, z_( 6) = - 3 – 2i, z_(7) = -5i, z_(8) = 2 – 3i$.

จำนวนคอนจูเกตเชิงซ้อนสองตัวแสดงด้วยจุดที่สมมาตรรอบแกน $Ox$ (จุด $z_(1)$ และ $z_(8)$ ในรูปที่ 1)

ข้าว. 2
มักจะเกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน $z$ ไม่เพียงแต่เป็นจุดที่ $M$ แทนตัวเลขนี้เท่านั้น แต่ยังรวมถึงเวกเตอร์ $\vec(OM)$ ที่นำจาก $O$ ถึง $M$ ด้วย การแสดงตัวเลข $z$ เป็นเวกเตอร์นั้นสะดวกจากมุมมองของการตีความทางเรขาคณิตของการกระทำของการบวกและการลบจำนวนเชิงซ้อน ในรูป 2 และแสดงให้เห็นว่าเวกเตอร์ที่แทนผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน $z_(1), z_(2)$ จะได้มาในรูปของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ $\vec(OM_(1)), \vec (OM_(2)) $ เป็นตัวแทนเงื่อนไข กฎสำหรับการบวกเวกเตอร์นี้เรียกว่ากฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เช่น สำหรับการบวกแรงหรือความเร็วในวิชาฟิสิกส์) การลบสามารถลดลงไปบวกกับ เวกเตอร์ตรงข้าม(รูปที่ 2,ข)

ข้าว. 3
ดังที่ทราบกันดีว่า ตำแหน่งของจุดบนระนาบสามารถระบุได้ด้วยพิกัดเชิงขั้ว $r, \phi$ ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อน - จุดต่อท้าย - จะถูกกำหนดโดยการระบุ $r$ และ $\phi$ จากรูป 3 เห็นได้ชัดว่า $r = OM = \sqrt(x^(2) + y^(2))$ ในเวลาเดียวกันคือโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน $z$: รัศมีเชิงขั้วของจุดที่แทนจำนวน $z$, เท่ากับโมดูลัสหมายเลขนี้

มุมเชิงขั้วของจุด $M$ เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของตัวเลข $z$ ที่แสดงโดยจุดนี้

อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน (เช่น มุมเชิงขั้วของจุด) ไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างคลุมเครือ ถ้า $\phi_(0)$ เป็นหนึ่งในค่าของมัน ค่าทั้งหมดจะแสดงโดยสูตร
$\phi = \phi_(0) + 2k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$

ค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์จะแสดงร่วมกันด้วยสัญลักษณ์ $Arg \: z$

ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนทุกจำนวนสามารถเชื่อมโยงกับจำนวนจริงคู่หนึ่งได้: โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ หมายเลขที่กำหนดและอาร์กิวเมนต์ถูกกำหนดอย่างคลุมเครือ ในทางตรงกันข้าม เมื่อกำหนดโมดูล $|z| = r$ และอาร์กิวเมนต์ $\phi$ สอดคล้องกัน เอกพจน์$z$ มีโมดูลและอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด คุณสมบัติพิเศษมีเลขศูนย์: โมดูลัสของมัน เท่ากับศูนย์อาร์กิวเมนต์ไม่ได้ถูกกำหนดความหมายเฉพาะใดๆ

เพื่อให้เกิดความชัดเจนในคำจำกัดความของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนเราสามารถตกลงที่จะเรียกค่าใดค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์เป็นค่าหลักได้ แสดงด้วยสัญลักษณ์ $arg \: z$ โดยทั่วไปแล้ว ค่าหลักของอาร์กิวเมนต์จะถูกเลือกให้เป็นค่าที่สอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกัน
$0 \leq arg \: z (ในกรณีอื่น ๆ ความไม่เท่าเทียมกัน $- \pi

ให้เราใส่ใจกับค่าของการโต้แย้งของจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพล้วนๆ:
$arg \: a = \begin(cases) 0, & \text(if) a>0, \\
\pi, & \text(if) a $arg \: bi = \begin(cases) \frac(\pi)(2), & \text(if) b > 0, \\
\frac(3 \pi)(2), & \text(if) ข

ส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน (เช่น พิกัดคาร์ทีเซียนคะแนน) แสดงผ่านโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ ( พิกัดเชิงขั้วคะแนน) ตามสูตร:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
และจำนวนเชิงซ้อนสามารถเขียนได้ในรูปแบบตรีโกณมิติดังต่อไปนี้
$z = r(\cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(เราจะเรียกการเขียนตัวเลขในรูปแบบ $z = a + bi$ บันทึกในรูปแบบพีชคณิต)

เงื่อนไขสำหรับความเท่าเทียมกันของตัวเลขสองตัวที่กำหนดในรูปแบบตรีโกณมิติมีดังนี้: ตัวเลขสองตัวที่ $z_(1)$ และ $z_(2)$ จะเท่ากันก็ต่อเมื่อโมดูลัสของพวกมันเท่ากัน และอาร์กิวเมนต์เท่ากันหรือต่างกันด้วย จำนวนงวด $2 \pi $ เป็นจำนวนเต็ม

การเปลี่ยนจากการเขียนตัวเลขในรูปแบบพีชคณิตเป็นการเขียนในรูปแบบตรีโกณมิติและในทางกลับกันทำตามสูตร (4):
$r = \sqrt(a^(2) + b^(2)), \cos \phi = \frac(a)(r)= \frac(a)(\sqrt(a^(2) + b^ (2)), \sin \phi = \frac(b)(r) = \frac(b)(\sqrt(a^(2) + b^(2))), tg \phi = \frac( b )(ก)$ (3)
และสูตร (1) เมื่อกำหนดอาร์กิวเมนต์ (ค่าหลัก) คุณสามารถใช้ค่าใดค่าหนึ่งได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ$\cos \phi$ หรือ $\sin \phi$ และคำนึงถึงเครื่องหมายของวินาที

ตัวอย่าง. เขียนตัวเลขต่อไปนี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ:
ก)$6 + 6i$; ข) $3i$; ค) $-10$
วิธีแก้ปัญหา ก) เรามี
$r = \sqrt(6^(2) + (-6)^(2)) = 6 \sqrt(2)$,
$\cos \phi = \frac(6)(6 \sqrt(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) = \frac(\sqrt(2))(2)$,
$\sin \phi = - \frac(6)(6 \sqrt(2)) = - \frac(1)(\sqrt(2)) = - \frac(\sqrt(2))(2)$,
โดยที่ $\phi = \frac(7 \pi)(4)$ และด้วยเหตุนี้
$6-6i = 6 \sqrt(2) \left (\cos \frac(7 \pi)(4) + i \sin \frac(7 \pi)(4) \right)$;
b) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \left (\cos \frac(\pi)(2) + i \sin \frac(\pi)(2) \right)$
ค) $r = 10, \cos \phi = -1, \sin \phi = 0, \phi = \pi$;
$-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$

จำนวนเชิงซ้อน การแสดงบนเครื่องบิน การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตส่วนจำนวนเชิงซ้อน การจับคู่ที่ซับซ้อน โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน พีชคณิตและ แบบฟอร์มตรีโกณมิติจำนวนเชิงซ้อน. รากของจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อน สูตรของออยเลอร์ แบบฟอร์มสาธิตจำนวนเชิงซ้อน.

เมื่อศึกษาวิธีการบูรณาการขั้นพื้นฐานวิธีใดวิธีหนึ่ง: การบูรณาการ เศษส่วนตรรกยะ– ในการพิสูจน์อย่างเข้มงวด จำเป็นต้องพิจารณาพหุนามในโดเมนที่ซับซ้อน ดังนั้นให้เราศึกษาคุณสมบัติบางอย่างของจำนวนเชิงซ้อนและการดำเนินการกับพวกมันก่อน

คำจำกัดความ 7.1 จำนวนเชิงซ้อน z คือคู่ลำดับของจำนวนจริง (a,b) : z = (a,b) (คำว่า “เรียงลำดับ” หมายความว่าในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน ลำดับของตัวเลข a และ b มีความสำคัญ: (a ,ข)≠(ข,ก )). ในกรณีนี้ เลข a ตัวแรกเรียกว่าส่วนที่แท้จริงของจำนวนเชิงซ้อน z และเขียนแทน a = Re z และเลขตัวที่สอง b เรียกว่าส่วนจินตภาพของ z: b = Im z

คำจำกัดความ 7.2 จำนวนเชิงซ้อนสองตัว z 1 = (a 1 , b 1) และ z 2 = (a 2 , b 2) จะเท่ากันก็ต่อเมื่อส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากัน นั่นคือ a 1 = a 2 , b 1 = ข 2 .

การดำเนินการเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน

1. จำนวนจำนวนเชิงซ้อน ซี 1 =(ก 1 ข 1) และ ซี 2 =(ก 2 ข 2 ซี =(ก,ข) เช่นนั้น ก = ก 1 + ก 2, ข = ข 1 + ข 2คุณสมบัติของการบวก: ก) ซี 1 + ซี 2 = ซี 2 + ซี 1- ข) ซี 1 +(ซี 2 + ซี 3) = (ซี 1 + ซี 2) + ซี 3- c) มีจำนวนเชิงซ้อน 0 = (0,0): ซี + 0 =zสำหรับจำนวนเชิงซ้อนใดๆ z.

2. การทำงานจำนวนเชิงซ้อน ซี 1 =(ก 1 ข 1) และ ซี 2 =(ก 2 ข 2) เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน ซี =(ก,ข) เช่นนั้น ก = ก 1 ก 2 – ข 1 ข 2, ข = ก 1 ข 2 + ก 2 ข 1คุณสมบัติของการคูณ: ก) ซี 1 ซี 2 = ซี 2 ซี 1- ข) ซี 1 (ซี 2 ซี 3) = (ซี 1 ซี 2) ซี 3, วี) ( ซี 1 + ซี 2) ซี 3 = ซี 1 ซี 3 + ซี 2 ซี 3 .

ความคิดเห็น เซตย่อยของเซตจำนวนเชิงซ้อนคือเซตของจำนวนจริง ซึ่งกำหนดเป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบ ( เอ, 0) จะเห็นได้ว่าคำจำกัดความของการดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนยังคงรักษากฎที่ทราบสำหรับการดำเนินการที่สอดคล้องกันกับจำนวนจริง นอกจากนี้ จำนวนจริง 1 = (1,0) จะยังคงคุณสมบัติของมันไว้เมื่อคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนใดๆ: 1∙ ซ = ซ

คำจำกัดความ 7.3จำนวนเชิงซ้อน (0, ข) เรียกว่า จินตนาการล้วนๆ- โดยเฉพาะการเรียกตัวเลข (0,1) หน่วยจินตภาพและถูกกำหนดด้วยสัญลักษณ์ ฉัน.

คุณสมบัติของหน่วยจินตภาพ:

1) ฉัน∙ฉัน=ฉัน² = -1; 2) จำนวนจินตภาพล้วนๆ (0, ข) สามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนจริงได้ ( ข 0) และ ฉัน: (ข 0) = ข∙ฉัน

ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนใดๆ z = (a,b) สามารถแสดงเป็น: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib

คำจำกัดความ 7.4 เรียกว่าสัญกรณ์ในรูปแบบ z = a + ib รูปแบบพีชคณิตการเขียนจำนวนเชิงซ้อน

ความคิดเห็น สัญกรณ์พีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนช่วยให้คุณสามารถดำเนินการกับตัวเลขเหล่านี้ได้ กฎปกติพีชคณิต.

คำจำกัดความ 7.5 จำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าคอนจูเกตเชิงซ้อนของ z = a + ib

3. การลบจำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดให้เป็นการดำเนินการผกผันของการบวก: ซี =(ก,ข) เรียกว่าผลต่างของจำนวนเชิงซ้อน ซี 1 =(ก 1 ข 1) และ ซี 2 =(ก 2 ข 2), ถ้า ก = ก 1 – ก 2, ข = ข 1 – ข 2

4. แผนกจำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดให้เป็นการดำเนินการ ค่าผกผันของการคูณ: ตัวเลข z = ก + ไอบีเรียกว่าผลหารหาร z 1 = ก 1 + ไอ 1และ z 2 = ก 2 + ไอ 2(ซี 2 ≠ 0) ถ้า ซี 1 = z∙z 2 .ด้วยเหตุนี้จึงสามารถหาส่วนจริงและส่วนจินตภาพของผลหารได้จากการแก้ระบบสมการ: ก 2 ก – ข 2 ข = 1, ข 2 ก + 2 ข = ข 1

การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน.

จำนวนเชิงซ้อน ซี =(ก,ข) สามารถแสดงเป็นจุดบนระนาบที่มีพิกัด ( ก,ข) หรือเวกเตอร์ที่มีจุดกำเนิดที่จุดกำเนิดและสิ้นสุดที่จุด ( ก,ข).

ในกรณีนี้จะเรียกว่าโมดูลัสของเวกเตอร์ผลลัพธ์ โมดูลจำนวนเชิงซ้อน และมุม เกิดจากเวกเตอร์โดยมีทิศทางบวกของแกน x - การโต้แย้งตัวเลข เมื่อพิจารณาแล้วว่า ก = ρเพราะ φ, ข = ρบาป φ, ที่ไหน ρ = |z- - โมดูล z,และ φ = arg z คืออาร์กิวเมนต์ คุณสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนรูปแบบอื่นได้:

คำจำกัดความ 7.6ประเภทการบันทึก

z = ρ(เพราะ φ + ฉันบาป φ ) (7.1)

เรียกว่า แบบฟอร์มตรีโกณมิติการเขียนจำนวนเชิงซ้อน

ในทางกลับกัน โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงผ่านได้ กและ ข: - ด้วยเหตุนี้ อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนจึงไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ แต่ขึ้นอยู่กับพจน์ที่เป็นพหุคูณของ 2π

ง่ายต่อการตรวจสอบว่าการดำเนินการบวกจำนวนเชิงซ้อนสอดคล้องกับการดำเนินการบวกเวกเตอร์ ลองพิจารณาการตีความทางเรขาคณิตของการคูณกัน ให้แล้ว

ดังนั้นโมดูลัสของผลิตภัณฑ์ของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวคือ เท่ากับสินค้าโมดูลของพวกเขา และอาร์กิวเมนต์คือผลรวมของอาร์กิวเมนต์ของพวกเขา ดังนั้นเมื่อทำการหารโมดูลของผลหาร เท่ากับอัตราส่วนโมดูลของเงินปันผลและตัวหาร และอาร์กิวเมนต์คือผลต่างของอาร์กิวเมนต์

กรณีพิเศษของการคูณคือการยกกำลัง:

- สูตรมูฟวร์.

เมื่อใช้ความสัมพันธ์ที่ได้รับ เราจะแสดงรายการคุณสมบัติหลักของจำนวนคอนจูเกตที่ซับซ้อน:

จำนวนเชิงซ้อน

แนวคิดพื้นฐาน

ข้อมูลเริ่มต้นเกี่ยวกับจำนวนนี้มีอายุย้อนกลับไปถึงยุคหิน - ยุคหินเก่า เหล่านี้คือ "หนึ่ง" "น้อย" และ "มากมาย" พวกเขาถูกบันทึกในรูปแบบของรอยบาก ปม ฯลฯ การพัฒนากระบวนการแรงงานและการเกิดขึ้นของทรัพย์สินบังคับให้มนุษย์ประดิษฐ์ตัวเลขและชื่อของพวกเขา ตัวแรกที่ปรากฏตัว ตัวเลขธรรมชาติ เอ็นได้มาจากการนับสิ่งของ จากนั้น นอกจากความจำเป็นในการนับแล้ว ผู้คนยังจำเป็นต้องวัดความยาว พื้นที่ ปริมาตร เวลา และปริมาณอื่นๆ โดยต้องคำนึงถึงส่วนของการวัดที่ใช้ด้วย เศษส่วนจึงเกิดขึ้นมาเช่นนี้ เหตุผลอย่างเป็นทางการของแนวคิดเรื่องเศษส่วนและ จำนวนลบดำเนินการในศตวรรษที่ 19 เซตของจำนวนเต็ม ซี– คือ จำนวนธรรมชาติ จำนวนธรรมชาติที่มีเครื่องหมายลบและศูนย์ ทั้งหมดและ ตัวเลขเศษส่วนก่อตั้งคอลเลกชัน จำนวนตรรกยะ ถามแต่ยังไม่เพียงพอต่อการศึกษาเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง ตัวแปร- ปฐมกาลแสดงให้เห็นอีกครั้งถึงความไม่สมบูรณ์ของคณิตศาสตร์: ความเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้สมการของรูปแบบ เอ็กซ์ 2 = 3 ซึ่งเป็นสาเหตุที่ทำให้จำนวนอตรรกยะปรากฏขึ้น ฉัน.ยูเนี่ยนของเซตของจำนวนตรรกยะ ถามและ ตัวเลขอตรรกยะ ฉัน– เซตของจำนวนจริง (หรือจำนวนจริง) ร- เป็นผลให้เส้นจำนวนเต็ม: จำนวนจริงแต่ละจำนวนสอดคล้องกับจุดบนเส้นจำนวน แต่กับหลาย ๆ คน รไม่มีทางแก้สมการของรูปได้ เอ็กซ์ 2 = – ก 2. ด้วยเหตุนี้ จึงมีความจำเป็นเกิดขึ้นอีกครั้งเพื่อขยายแนวคิดเรื่องตัวเลข นี่คือจำนวนเชิงซ้อนที่ปรากฏในปี 1545 ผู้สร้าง J. Cardano เรียกพวกเขาว่า "เชิงลบล้วนๆ" ชื่อ "จินตนาการ" ถูกนำมาใช้ในปี 1637 โดยชาวฝรั่งเศส R. Descartes ในปี 1777 ออยเลอร์เสนอโดยใช้อักษรตัวแรก หมายเลขฝรั่งเศส ฉันเพื่อแสดงถึงหน่วยจินตภาพ สัญลักษณ์นี้ถูกนำมาใช้ทั่วไปโดย K. Gauss

ในช่วงศตวรรษที่ 17 และ 18 การอภิปรายเกี่ยวกับธรรมชาติทางคณิตศาสตร์ของจินตภาพและการตีความทางเรขาคณิตยังคงดำเนินต่อไป ชาวเดน จี. เวสเซล ชาวฝรั่งเศส เจ. อาร์แกน และเค เกาส์ ชาวเยอรมัน เสนออย่างเป็นอิสระให้แสดงจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดบนระนาบพิกัด ต่อมาปรากฎว่าสะดวกกว่าในการแสดงตัวเลขไม่ใช่จากจุดนั้นเอง แต่เป็นเวกเตอร์ที่ไปยังจุดนี้จากจุดกำเนิด

เฉพาะช่วงปลายศตวรรษที่ 18 และต้นศตวรรษที่ 19 เท่านั้นที่จำนวนเชิงซ้อนเข้ามาแทนที่อย่างถูกต้อง การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์- การใช้งานครั้งแรกในทางทฤษฎี สมการเชิงอนุพันธ์และในทฤษฎีอุทกพลศาสตร์

คำจำกัดความ 1.จำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์มโดยที่ xและ ยเป็นจำนวนจริง และ ฉัน– หน่วยจินตภาพ, .

จำนวนเชิงซ้อนสองตัวและ เท่ากันถ้าและหาก , .

ถ้า แสดงว่าหมายเลขนั้นถูกเรียก จินตนาการล้วนๆ- ถ้า แล้วตัวเลขนั้นเป็นจำนวนจริงแสดงว่าเซตนั้น ร กับ, ที่ไหน กับ– เซตของจำนวนเชิงซ้อน

ผันเป็นจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน

การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนใดๆ สามารถแสดงด้วยจุดได้ ม(x, ย) เครื่องบิน อ็อกซี่.จำนวนจริงคู่หนึ่งยังแสดงถึงพิกัดของเวกเตอร์รัศมีด้วย , เช่น. ระหว่างเซตของเวกเตอร์บนระนาบและเซตของจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งได้:

คำจำกัดความ 2ส่วนจริง เอ็กซ์.

การกำหนด: x= เรื่อง z(จากภาษาละติน Realis)

คำจำกัดความ 3ส่วนจินตภาพจำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนจริง ย.

การกำหนด: ย= ฉัน z(จากภาษาละติน Imaginarius)

อีกครั้ง zวางอยู่บนแกน ( โอ้)ฉัน zวางอยู่บนแกน ( โอ้) จากนั้นเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อนคือเวกเตอร์รัศมีของจุด ม(x, ย), (หรือ ม(อีกครั้ง zฉัน z)) (รูปที่ 1)

คำจำกัดความที่ 4ระนาบที่มีจุดสัมพันธ์กับชุดของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า เครื่องบินที่ซับซ้อน- เรียกว่าแกนแอบซิสซา แกนจริงเพราะมันมีจำนวนจริง เรียกว่าแกน y แกนจินตภาพประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อนจินตภาพล้วนๆ เซตของจำนวนเชิงซ้อนจะแสดงแทน กับ.

คำจำกัดความที่ 5โมดูลจำนวนเชิงซ้อน z = (x, ย) เรียกว่าความยาวของเวกเตอร์: เช่น .

คำนิยาม 6การโต้แย้งจำนวนเชิงซ้อนคือมุมระหว่างทิศทางบวกของแกน ( โอ้) และเวกเตอร์: .

หมายเหตุ 3ถ้าตรงประเด็น zอยู่บนแกนจริงหรือแกนจินตภาพ จากนั้นคุณสามารถค้นหาได้โดยตรง

จำนวนเชิงซ้อนและ
ประสานงาน
เครื่องบิน

แบบจำลองทางเรขาคณิตของเซต R ของจำนวนจริงคือเส้นจำนวน จำนวนจริงใดๆ สอดคล้องกับจุดเดียว

บน
เส้นจำนวนและจุดใดๆ บนเส้น
มีเพียงนัดเดียวเท่านั้น
จำนวนจริง!

โดยเพิ่มมิติอีกมิติหนึ่งให้กับเส้นจำนวนที่สอดคล้องกับเซตของจำนวนจริงทั้งหมด - เส้นที่มีเซตของจำนวนแท้

โดยบวกเข้ากับเส้นจำนวนที่ตรงกับชุด
ของจำนวนจริงทั้งหมดอีกมิติหนึ่ง -
เส้นตรงที่มีชุดตัวเลขจินตภาพล้วนๆ –
เราได้รับระนาบพิกัดซึ่งแต่ละอัน
สามารถเชื่อมโยงจำนวนเชิงซ้อน a+bi ได้
จุด (a; b) ของระนาบพิกัด
i=0+1i สอดคล้องกับจุด (0;1)
2+3i สอดคล้องกับจุด (2;3)
-i-4 สอดคล้องกับจุด (-4;-1)
5=5+1i สอดคล้องกับความเศร้าโศก (5;0)

ความหมายทางเรขาคณิตของการดำเนินการผันคำกริยา

- การดำเนินการผสมพันธุ์เป็นแบบแกน
สมมาตรรอบแกนแอบซิสซา
- เชื่อมถึงกัน
จำนวนเชิงซ้อนมีระยะห่างเท่ากัน
ต้นทาง.
- ภาพเวกเตอร์
คอนจูเกตตัวเลขเอียงไปทางแกน
แอบซิสซาอยู่ข้างใต้ มุมเดียวกัน, แต่
ตั้งอยู่ตาม ด้านที่แตกต่างกันจาก
แกนนี้

รูปภาพของจำนวนจริง

รูปภาพของจำนวนเชิงซ้อน

พีชคณิต
ทาง
ภาพ:
จำนวนเชิงซ้อน
a+bi เป็นภาพ
จุดเครื่องบิน
พร้อมพิกัด
(ก;ข)

ตัวอย่างการแสดงจำนวนเชิงซ้อนบนระนาบพิกัด

(เราสนใจ.
จำนวนเชิงซ้อน
z=x+yi ซึ่ง
x=-4. นี่คือสมการ
โดยตรง,
แกนขนาน
บวช)
ที่
X= - 4
ถูกต้อง
ส่วนคือ -4
0
เอ็กซ์

วาดเซตของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดบนระนาบพิกัดซึ่ง:

ส่วนจินตภาพ
เท่ากัน
ไม่คลุมเครือ
เป็นธรรมชาติ
ตัวเลข
(เราสนใจ.
จำนวนเชิงซ้อน
z=x+yi ซึ่ง
y=2,4,6,8.
ภาพเรขาคณิต
ประกอบด้วยสี่
ตรง, ขนาน
แกน x)
ที่
8
6
4
2
0
เอ็กซ์

จำนวนเชิงซ้อนรูปแบบต่อไปนี้มีอยู่: พีชคณิต(x+i) ตรีโกณมิติ(r(cos+isin )), บ่งชี้(อีกครั้งฉัน ).

สามารถแสดงจำนวนเชิงซ้อนใดๆ z=x+iy ได้ เครื่องบิน XOUในรูปของจุด A(x,y)

ระนาบที่แสดงจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าระนาบของตัวแปรเชิงซ้อน z (เราใส่สัญลักษณ์ z ไว้บนระนาบ)

แกน OX คือแกนจริง เช่น มันมีตัวเลขจริง OU เป็นแกนจินตภาพที่มีจำนวนจินตภาพ

x+iy- รูปแบบพีชคณิตในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน

ขอให้เราได้รูปแบบตรีโกณมิติในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน

เราแทนที่ค่าที่ได้รับเป็นรูปแบบเริ่มต้น: เช่น

r(คอส+ไอซิน) - รูปแบบตรีโกณมิติในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน

รูปแบบเลขชี้กำลังของการเขียนจำนวนเชิงซ้อนตามสูตรของออยเลอร์:
,แล้ว

ซ= อีกครั้ง ฉัน - รูปแบบการเขียนเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน

การดำเนินการเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน

1. ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 - การลบ z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);

3. การคูณ z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 - แผนก. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

จำนวนเชิงซ้อนสองตัวที่แตกต่างกันเฉพาะสัญลักษณ์ของหน่วยจินตภาพเท่านั้น กล่าวคือ z=x+iy (z=x-iy) เรียกว่า คอนจูเกต

งาน.

z1=r(คอส +ไอซิน - z2=r(คอส +ไอซิน ).

พบผลิตภัณฑ์นั้น z1*z2 ของจำนวนเชิงซ้อน: เช่น โมดูลัสของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของโมดูลัส และอาร์กิวเมนต์ของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของอาร์กิวเมนต์ของปัจจัย

;
;