การแปลงเรขาคณิตของกราฟฟังก์ชัน การแปลงกราฟของฟังก์ชันเบื้องต้น

การถ่ายโอนแบบขนาน

การแปลตามแกน Y

ฉ(x) => ฉ(x) - ข
สมมติว่าคุณต้องการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) - b จะสังเกตได้ง่ายว่าลำดับของกราฟนี้สำหรับค่าทั้งหมดของ x บน |b| หน่วยที่น้อยกว่าลำดับที่สอดคล้องกันของกราฟฟังก์ชัน y = f(x) สำหรับ b>0 และ |b| หน่วยที่มากกว่า - ที่ b 0 หรือสูงกว่าที่ b ในการพล็อตกราฟของฟังก์ชัน y + b = f(x) คุณควรสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และย้ายแกน x ไปที่ |b| หน่วยขึ้นที่ b>0 หรือโดย |b| หน่วยลงที่ b

โอนไปตามแกน ABSCISS

ฉ(x) => ฉ(x + ก)
สมมติว่าคุณต้องการพล็อตฟังก์ชัน y = f(x + a) พิจารณาฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่ง ณ จุดใดจุดหนึ่ง x = x1 รับค่า y1 = f(x1) เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชัน y = f(x + a) จะใช้ค่าเดียวกันที่จุด x2 ซึ่งพิกัดถูกกำหนดจากความเท่าเทียมกัน x2 + a = x1 นั่นคือ x2 = x1 - a และความเท่าเทียมกันที่พิจารณานั้นใช้ได้กับผลรวมของค่าทั้งหมดจากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ดังนั้น กราฟของฟังก์ชัน y = f(x + a) สามารถหาได้โดยการเลื่อนกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ไปตามแกน x ไปทางซ้ายแบบขนานโดย |a| หน่วยของ a > 0 หรือไปทางขวาโดย |a| หน่วยสำหรับ a ในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = f(x + a) คุณควรสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และย้ายแกนพิกัดไปที่ |a| หน่วยทางด้านขวาเมื่อ a>0 หรือโดย |a| หน่วยทางซ้ายที่

ตัวอย่าง:

1.y=ฉ(x+ก)

2.y=ฉ(x)+ข

การสะท้อนกลับ

การสร้างกราฟของฟังก์ชันของแบบฟอร์ม Y = F(-X)

ฉ(x) => ฉ(-x)
เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชัน y = f(-x) และ y = f(x) รับค่าเท่ากัน ณ จุดที่ abscissas เท่ากันในค่าสัมบูรณ์ แต่ตรงกันข้ามในเครื่องหมาย กล่าวอีกนัยหนึ่งลำดับของกราฟของฟังก์ชัน y = f(-x) ในพื้นที่ของค่าบวก (ลบ) ของ x จะเท่ากับลำดับของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) สำหรับค่าลบ (บวก) ที่สอดคล้องกันของ x ในค่าสัมบูรณ์ ดังนั้นเราจึงได้กฎต่อไปนี้
ในการพลอตฟังก์ชัน y = f(-x) คุณควรพลอตฟังก์ชัน y = f(x) และสะท้อนให้สัมพันธ์กับพิกัด กราฟที่ได้คือกราฟของฟังก์ชัน y = f(-x)

การสร้างกราฟของฟังก์ชันของแบบฟอร์ม Y = - F(X)

ฉ(x) => - ฉ(x)
ลำดับของกราฟของฟังก์ชัน y = - f(x) สำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์มีค่าเท่ากันในค่าสัมบูรณ์ แต่ตรงกันข้ามกับเครื่องหมายของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) สำหรับ ค่าเดียวกันของการโต้แย้ง ดังนั้นเราจึงได้กฎต่อไปนี้
ในการพล็อตกราฟของฟังก์ชัน y = - f(x) คุณควรพล็อตกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และสะท้อนกราฟนั้นสัมพันธ์กับแกน x

ตัวอย่าง:

1.ย=-ฉ(x)

2.y=ฉ(-x)

3.y=-ฉ(-x)

การเสียรูป

การเปลี่ยนรูปแบบกราฟตามแกน Y

ฉ(x) => k ฉ(x)
พิจารณาฟังก์ชันในรูปแบบ y = k f(x) โดยที่ k > 0 จะสังเกตได้ง่ายว่าด้วยค่าอาร์กิวเมนต์ที่เท่ากัน ลำดับของกราฟของฟังก์ชันนี้จะมากกว่าลำดับของ k เท่า กราฟของฟังก์ชัน y = f(x) สำหรับ k > 1 หรือ 1/k คูณน้อยกว่าพิกัดของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) สำหรับ k เพื่อสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = k f(x ) คุณควรสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และเพิ่มพิกัดของมันด้วย k คูณด้วย k > 1 (ยืดกราฟไปตามแกนพิกัด ) หรือลดพิกัดของมันลง 1/k คูณด้วย k คูณ
เค > 1- ยืดออกจากแกนวัว
0 - บีบอัดไปที่แกน OX

การเปลี่ยนรูปแบบกราฟตามแกน ABSCISS

ฉ(x) => ฉ(k x)
ปล่อยให้จำเป็นต้องสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = f(kx) โดยที่ k>0 พิจารณาฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่ง ณ จุดใดจุดหนึ่ง x = x1 รับค่า y1 = f(x1) เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชัน y = f(kx) รับค่าเดียวกันที่จุด x = x2 ซึ่งพิกัดถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน x1 = kx2 และความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้กับผลรวมของค่าทั้งหมดของ x จากโดเมนของนิยามของฟังก์ชัน ด้วยเหตุนี้ กราฟของฟังก์ชัน y = f(kx) จึงถูกบีบอัด (สำหรับ k 1) ตามแนวแกนแอบซิสซาที่สัมพันธ์กับกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ดังนั้นเราจึงได้กฎ
ในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = f(kx) คุณควรสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และลดค่า Abscissas ลง k ครั้งสำหรับ k>1 (บีบอัดกราฟตามแกน abscissa) หรือเพิ่มขึ้น การแยกตัวของมันคูณ 1/k คูณสำหรับ k
เค > 1- บีบอัดไปที่แกนออย
0 - ยืดออกจากแกน OY

งานนี้ดำเนินการโดย Alexander Chichkanov, Dmitry Leonov ภายใต้การแนะนำของ T.V. Tkach, S.M.
©2014

ฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานในรูปแบบบริสุทธิ์โดยไม่มีการแปลงนั้นหาได้ยาก ดังนั้นบ่อยครั้งที่คุณต้องทำงานกับฟังก์ชันพื้นฐานที่ได้รับจากฟังก์ชันหลักโดยการบวกค่าคงที่และสัมประสิทธิ์ กราฟดังกล่าวถูกสร้างขึ้นโดยใช้การแปลงทางเรขาคณิตของฟังก์ชันพื้นฐานที่กำหนด

ลองพิจารณาตัวอย่างฟังก์ชันกำลังสองในรูปแบบ y = - 1 3 x + 2 3 2 + 2 ซึ่งกราฟคือพาราโบลา y = x 2 ซึ่งถูกบีบอัดสามครั้งด้วยความเคารพต่อ Oy และสมมาตรด้วยความเคารพ ถึง Ox และเลื่อนไป 2 3 ตาม Ox ไปทางขวา ขึ้น 2 หน่วยตาม Oy บนเส้นพิกัดจะมีลักษณะดังนี้:

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

การแปลงเรขาคณิตของกราฟของฟังก์ชัน

เมื่อใช้การแปลงทางเรขาคณิตของกราฟที่กำหนด เราพบว่ากราฟแสดงด้วยฟังก์ชันในรูปแบบ ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b เมื่อ k 1 > 0, k 2 > 0 คือค่าสัมประสิทธิ์การบีบอัดที่ 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 >1, k 2 > 1 ตาม O y และ O x เครื่องหมายที่อยู่หน้าค่าสัมประสิทธิ์ k 1 และ k 2 บ่งบอกถึงการแสดงกราฟแบบสมมาตรสัมพันธ์กับแกน a และ b เลื่อนไปตาม O x และตาม O y

คำจำกัดความ 1

มี 3 ประเภท การแปลงทางเรขาคณิตของกราฟ:

การปรับขนาดตาม O x และ O y สิ่งนี้ได้รับอิทธิพลจากสัมประสิทธิ์ k 1 และ k 2 โดยมีเงื่อนไขว่าไม่เท่ากับ 1 เมื่อ 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у, а растягивается по О х, когда k 1 >1, k 2 > 1 จากนั้นกราฟจะยืดไปตาม O y และบีบอัดไปตาม O x
การแสดงผลแบบสมมาตรสัมพันธ์กับแกนพิกัดหากมีเครื่องหมาย “-” หน้า k 1 ความสมมาตรจะสัมพันธ์กับ O x และหน้า k 2 จะสัมพันธ์กับ O y หากไม่มี "-" แสดงว่ารายการนั้นถูกข้ามไปเมื่อทำการแก้ไข
การถ่ายโอนแบบขนาน (กะ)ตาม O x และ O y การแปลงจะดำเนินการหากมีค่าสัมประสิทธิ์ a และ b ไม่เท่ากับ 0 หาก a เป็นบวก กราฟจะเลื่อนไปทางซ้ายด้วย | ก | หน่วย ถ้า a เป็นลบ ให้ไปทางขวาที่ระยะเท่ากัน ค่า b กำหนดการเคลื่อนที่ตามแนวแกน O y ซึ่งหมายความว่าเมื่อ b เป็นบวก ฟังก์ชันจะเลื่อนขึ้น และเมื่อ b เป็นลบ ฟังก์ชันจะเลื่อนลง

มาดูวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ตัวอย่าง โดยเริ่มจากฟังก์ชันกำลัง

ตัวอย่างที่ 1

แปลง y = x 2 3 และพลอตฟังก์ชัน y = - 1 2 · 8 x - 4 2 3 + 3

สารละลาย

เรามาแสดงฟังก์ชันดังนี้:

y = - 1 2 8 x - 4 2 3 + 3 = - 1 2 8 x - 1 2 2 3 + 3 = - 2 x - 1 2 2 3 + 3

โดยที่ k 1 = 2 ควรให้ความสนใจกับการมี "-", a = - 1 2, b = 3 จากจุดนี้ เราพบว่าการแปลงทางเรขาคณิตทำได้โดยการยืดไปตาม O y สองครั้ง โดยแสดงสัมพันธ์กับ O x แบบสมมาตร และเลื่อนไปทางขวา 1 2 และขึ้นไป 3 หน่วย

ถ้าเราพรรณนาถึงฟังก์ชันกำลังดั้งเดิม เราจะได้สิ่งนั้น

เมื่อยืดออกไปสองครั้ง โอ้ เราก็ได้อย่างนั้น

การแมปซึ่งสมมาตรด้วยความเคารพต่อ O x มีรูปแบบ

และเลื่อนไปทางขวา 1 2

การเคลื่อนไหว 3 หน่วยขึ้นไปดูเหมือน

ลองดูการแปลงฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 2

สร้างกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8

สารละลาย.

เรามาแปลงฟังก์ชันตามคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังกันดีกว่า แล้วเราจะได้รับสิ่งนั้น

y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 = - 1 2 - 1 2 x + 1 + 8 = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

จากนี้เราจะเห็นว่าเราได้รับห่วงโซ่ของการแปลง y = 1 2 x:

y = 1 2 x → y = 1 2 1 2 x → y = 1 2 1 2 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 1 2 x → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

เราพบว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังดั้งเดิมมีรูปแบบ

บีบครึ่งตามโอ้ให้

ยืดเหยียดไปตาม O x

การทำแผนที่แบบสมมาตรเทียบกับ O x

การทำแผนที่มีความสมมาตรด้วยความเคารพต่อ O y

ขยับขึ้น 8 หน่วย

ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ตัวอย่างฟังก์ชันลอการิทึม y = ln (x)

ตัวอย่างที่ 3

สร้างฟังก์ชัน y = ln e 2 · - 1 2 x 3 โดยใช้การแปลง y = ln (x)

สารละลาย

ในการแก้ปัญหา จำเป็นต้องใช้คุณสมบัติของลอการิทึม จากนั้นเราจะได้:

y = ln อี 2 · - 1 2 x 3 = ln (e 2) + ln - 1 2 x 1 3 = 1 3 ln - 1 2 x + 2

การแปลงฟังก์ชันลอการิทึมมีลักษณะดังนี้:

y = ln (x) → y = 1 3 ln (x) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln - 1 2 x → y = 1 3 ln - 1 2 x + 2

ลองพลอตฟังก์ชันลอการิทึมดั้งเดิมกัน

เราบีบอัดระบบตาม O y

เรายืดไปตาม O x

เราทำการแมปด้วยความเคารพต่อ O y

เราเลื่อนขึ้น 2 หน่วย เราได้

ในการแปลงกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ จำเป็นต้องปรับคำตอบของรูปแบบ ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b ให้เข้ากับโครงร่าง จำเป็นที่ k 2 จะเท่ากับ T k 2 . จากตรงนี้เราจะได้ 0< k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х, при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.

ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการแปลง y = sin x

ตัวอย่างที่ 4

สร้างกราฟของ y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 โดยใช้การแปลงฟังก์ชัน y=sinx

สารละลาย

จำเป็นต้องลดฟังก์ชันให้อยู่ในรูปแบบ ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b เมื่อต้องการทำสิ่งนี้:

y = - 3 บาป 1 2 x - 3 2 - 2 = - 3 บาป 1 2 (x - 3) - 2

จะเห็นได้ว่า k 1 = 3, k 2 = 1 2, a = - 3, b = - 2 เนื่องจากมี "-" ก่อน k 1 แต่ไม่ใช่ก่อน k 2 เราจึงได้ห่วงโซ่ของการเปลี่ยนแปลงของรูปแบบ:

y = บาป (x) → y = 3 บาป (x) → y = 3 บาป 1 2 x → y = - 3 บาป 1 2 x → → y = - 3 บาป 1 2 x - 3 → y = - 3 บาป 1 2 (x - 3) - 2

การแปลงคลื่นไซน์โดยละเอียด เมื่อวาดจุดไซน์ซอยด์ดั้งเดิม y = sin (x) เราพบว่าคาบบวกที่เล็กที่สุดถือเป็น T = 2 π ค้นหาค่าสูงสุดที่จุด π 2 + 2 π · k; 1 และค่าต่ำสุด - - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z

O y ถูกยืดออกสามเท่า ซึ่งหมายความว่าแอมพลิจูดของการแกว่งจะเพิ่มขึ้น 3 เท่า T = 2 π คือคาบบวกที่น้อยที่สุด ค่าสูงสุดไปที่ π 2 + 2 π · k; 3, k ∈ Z, ขั้นต่ำ - - π 2 + 2 π · k; - 3, เค ∈ ซี

เมื่อยืดไปตาม O x ครึ่งหนึ่ง เราจะพบว่าคาบบวกที่น้อยที่สุดเพิ่มขึ้น 2 เท่า และเท่ากับ T = 2 π k 2 = 4 π ค่าสูงสุดไปที่ π + 4 π · k; 3, k ∈ Z, ค่าต่ำสุด – ใน - π + 4 π · k; - 3, เค ∈ ซี

ภาพถูกสร้างขึ้นอย่างสมมาตรด้วยความเคารพต่อ O x คาบบวกที่น้อยที่สุดในกรณีนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงและเท่ากับ T = 2 π k 2 = 4 π การเปลี่ยนแปลงสูงสุดดูเหมือน - π + 4 π · k; 3, k ∈ Z และค่าต่ำสุดคือ π + 4 π · k; - 3, เค ∈ ซี

กราฟเลื่อนลง 2 หน่วย ระยะเวลาทั่วไปขั้นต่ำไม่เปลี่ยนแปลง การค้นหาสูงสุดโดยการเปลี่ยนไปสู่จุด - π + 3 + 4 π · k; 1, k ∈ Z, ค่าต่ำสุด - π + 3 + 4 π · k; - 5 , k ∈ Z .

ในขั้นตอนนี้ กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะถือว่าถูกแปลง

ลองพิจารณาการเปลี่ยนแปลงโดยละเอียดของฟังก์ชัน y = cos x

ตัวอย่างที่ 5

สร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 โดยใช้การแปลงฟังก์ชันในรูปแบบ y = cos x

สารละลาย

ตามอัลกอริทึมจำเป็นต้องลดฟังก์ชันที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบ ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b แล้วเราจะได้รับสิ่งนั้น

y = 3 2 คอส 2 - 2 x + 1 = 3 2 คอส (- 2 (x - 1)) + 1

จากเงื่อนไขเป็นที่ชัดเจนว่า k 1 = 3 2, k 2 = 2, a = - 1, b = 1 โดยที่ k 2 มี "-" และก่อน k 1 จะหายไป

จากนี้เราจะเห็นว่าเราได้กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติของรูปแบบ:

y = คอส (x) → y = 3 2 คอส (x) → y = 3 2 คอส (2 x) → y = 3 2 คอส (- 2 x) → → y = 3 2 คอส (- 2 (x - 1 )) → y = 3 2 cos - 2 (x - 1) + 1

การแปลงโคไซน์ทีละขั้นตอนพร้อมภาพประกอบกราฟิก

เมื่อพิจารณาจากกราฟ y = cos(x) เห็นได้ชัดว่าคาบรวมที่สั้นที่สุดคือ T = 2π หาค่าสูงสุดใน 2 π · k ; 1, k ∈ Z และมี π + 2 π · k ขั้นต่ำ; - 1, k ∈ Z

เมื่อยืดไปตาม Oy 3 2 เท่า แอมพลิจูดของการแกว่งจะเพิ่มขึ้น 3 2 เท่า T = 2 π คือคาบบวกที่น้อยที่สุด หาค่าสูงสุดใน 2 π · k ; 3 2, k ∈ Z, ค่าต่ำสุดใน π + 2 π · k; - 3 2 , k ∈ Z .

เมื่อบีบอัดตาม O x ลงครึ่งหนึ่ง เราจะพบว่าคาบบวกที่น้อยที่สุดคือตัวเลข T = 2 π k 2 = π การเปลี่ยนแปลงของค่าสูงสุดเป็น π · k เกิดขึ้น 3 2 , k ∈ Z , ค่าต่ำสุด - π 2 + π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

การทำแผนที่แบบสมมาตรเทียบกับ Oy เนื่องจากกราฟเป็นเลขคี่ มันจะไม่เปลี่ยนแปลง

เมื่อกราฟเลื่อนไป 1 ไม่มีการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาบวกที่น้อยที่สุด T = π หาค่าสูงสุดใน π · k + 1 ; 3 2, k ∈ Z, ค่าต่ำสุด - π 2 + 1 + π · k; - 3 2 , k ∈ Z .

เมื่อเลื่อนไป 1 คาบบวกที่น้อยที่สุดจะเท่ากับ T = π และไม่มีการเปลี่ยนแปลง หาค่าสูงสุดใน π · k + 1 ; 5 2, k ∈ Z, ขั้นต่ำใน π 2 + 1 + π · k; - 1 2 , k ∈ Z .

การแปลงฟังก์ชันโคไซน์เสร็จสมบูรณ์

ลองพิจารณาการแปลงโดยใช้ตัวอย่าง y = t g x

ตัวอย่างที่ 6

สร้างกราฟของฟังก์ชัน y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 โดยใช้การแปลงฟังก์ชัน y = t g (x) .

สารละลาย

ขั้นแรกจำเป็นต้องลดฟังก์ชันที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบ ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b หลังจากนั้นเราจะได้สิ่งนั้น

y = - 1 2 t ก. π 3 - 2 3 x + π 3 = - 1 2 t ก. - 2 3 x - π 2 + π 3

เห็นได้ชัดว่า k 1 = 1 2, k 2 = 2 3, a = - π 2, b = π 3 และหน้าสัมประสิทธิ์ k 1 และ k 2 จะมี "-" ซึ่งหมายความว่าหลังจากเปลี่ยนแทนเจนต์ซอยด์แล้วเราจะได้

y = t g (x) → y = 1 2 t g (x) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = - 1 2 t g 2 3 x → → y = - 1 2 t g - 2 3 x → y = - 1 2 ตัน ก. - 2 3 x - π 2 → → y = - 1 2 ตัน ก. - 2 3 x - π 2 + π 3

การแปลงแทนเจนต์ทีละขั้นตอนด้วยการแสดงกราฟิก

เรามีกราฟเดิมคือ y = t g (x) การเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาบวกจะเท่ากับ T = π โดเมนของคำจำกัดความถือเป็น - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z

เราบีบอัดมัน 2 ครั้งตามออย T = π ถือเป็นคาบบวกที่เล็กที่สุด โดยที่โดเมนของคำจำกัดความมีรูปแบบ - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ Z

ยืดตาม O x 3 2 ครั้ง ลองคำนวณคาบบวกที่น้อยที่สุด และจะเท่ากับ T = π k 2 = 3 2 π และโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่มีพิกัดคือ 3 π 4 + 3 2 π · k; 3 π 4 + 3 2 π · k, k ∈ Z เฉพาะโดเมนของคำจำกัดความเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง

สมมาตรไปทางด้าน O x ระยะเวลาจะไม่เปลี่ยนแปลง ณ จุดนี้

จำเป็นต้องแสดงแกนพิกัดแบบสมมาตร ขอบเขตของคำจำกัดความในกรณีนี้ไม่มีการเปลี่ยนแปลง กำหนดการตรงกับกำหนดการก่อนหน้า นี่แสดงว่าฟังก์ชันแทนเจนต์เป็นเลขคี่ หากเรากำหนดการแมปสมมาตรของ O x และ O y ให้กับฟังก์ชันคี่ เราจะแปลงมันเป็นฟังก์ชันดั้งเดิม

สรุปบทเรียนพีชคณิตและจุดเริ่มต้นการวิเคราะห์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

ในหัวข้อ: “การแปลงกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ”

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อจัดระบบความรู้ในหัวข้อ “คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ y=sin (x), y=cos (x)”

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทำซ้ำคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ y=sin (x), y=cos (x);
สูตรลดซ้ำ;
การแปลงกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
พัฒนาความสนใจความจำการคิดเชิงตรรกะ เพิ่มความเข้มข้นของกิจกรรมทางจิตความสามารถในการวิเคราะห์สรุปและเหตุผล
ส่งเสริมการทำงานหนักความขยันในการบรรลุเป้าหมายความสนใจในเรื่อง

อุปกรณ์การเรียน : ไอซีที

ประเภทบทเรียน: การเรียนรู้สิ่งใหม่ๆ

ความคืบหน้าของบทเรียน

ก่อนบทเรียน นักเรียน 2 คนวาดกราฟจากการบ้านบนกระดาน

ช่วงเวลาขององค์กร:

สวัสดีทุกคน!

วันนี้ในบทเรียน เราจะแปลงกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ y=sin (x), y=cos (x)

งานช่องปาก:

ตรวจการบ้าน.

แก้ปริศนา

การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

การแปลงกราฟฟังก์ชันทั้งหมดเป็นแบบสากล - เหมาะสำหรับฟังก์ชันทั้งหมด รวมถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วย ที่นี่เราจะจำกัดตัวเองอยู่เพียงการเตือนสั้นๆ เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงหลักของกราฟ

การแปลงกราฟฟังก์ชัน

กำหนดให้ฟังก์ชัน y = f (x) เราเริ่มสร้างกราฟทั้งหมดจากกราฟของฟังก์ชันนี้ จากนั้นจึงดำเนินการกับกราฟนั้น

การทำงาน

จะทำอย่างไรกับกำหนดการ

y = ฉ(x) + ก

เรายกจุดทั้งหมดของกราฟแรกขึ้นหนึ่งหน่วย

y = ฉ(x) – ก

เราลดจุดทั้งหมดของกราฟแรกลงหนึ่งหน่วย

y = ฉ(x + ก)

เราเลื่อนจุดทั้งหมดของกราฟแรกไปทางซ้ายหนึ่งหน่วย

y = ฉ (x – ก)

เราเลื่อนจุดทั้งหมดของกราฟแรกไปทางขวาหนึ่งหน่วย

y = a*f (x),a>1

เราแก้ไขศูนย์ให้เข้าที่ เลื่อนจุดบนให้สูงขึ้นทีละครั้ง และลดจุดล่างให้ต่ำลงทีละครั้ง

กราฟจะ "ยืด" ขึ้นและลง โดยเลขศูนย์จะยังคงอยู่ที่เดิม

y = a*f(x), ก<1

เราแก้ไขศูนย์ จุดบนจะลดลงคูณหนึ่ง จุดล่างจะเพิ่มขึ้นคูณหนึ่ง กราฟจะ "หดตัว" ไปทางแกน x

ย = -ฉ(x)

สะท้อนกราฟแรกเกี่ยวกับแกน x

y = f (ขวาน), ก<1

แก้ไขจุดบนแกนพิกัด แต่ละส่วนบนแกนแอบซิสซาจะเพิ่มขึ้น 1 เท่า กราฟจะยืดออกจากแกนพิกัดไปในทิศทางที่ต่างกัน

y = f (ขวาน), a >1

แก้ไขจุดบนแกนกำหนด ลดแต่ละส่วนบนแกนแอบซิสซาลงหนึ่งตัว กราฟจะ “ย่อ” ไปทางแกน y ทั้งสองด้าน

ย = - ฉ(x)|

ส่วนของกราฟที่อยู่ใต้แกนแอบซิสซาจะถูกมิเรอร์ กราฟทั้งหมดจะอยู่ในระนาบครึ่งบน

แผนการแก้ปัญหา

1)y = บาป x + 2

เราสร้างกราฟ y = sin x เรายกแต่ละจุดของกราฟขึ้น 2 หน่วย (ศูนย์ด้วย)

2)y = คอส x – 3

เราสร้างกราฟ y = cos x เราลดแต่ละจุดของกราฟลง 3 หน่วย

3)y = คอส (x - /2)

เราสร้างกราฟ y = cos x เราเลื่อนจุดทั้งหมดไปทางขวาด้วย p/2

4)ป = 2 บาป

เราสร้างกราฟ y = sin x เราปล่อยให้ศูนย์อยู่กับที่ เพิ่มคะแนนบน 2 ครั้ง และลดคะแนนล่างด้วยจำนวนที่เท่ากัน

งานภาคปฏิบัติ การพล็อตกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้โปรแกรม Advanced Grapher

ลองพลอตฟังก์ชัน y = -cos 3x + 2 กัน

ลองพลอตฟังก์ชัน y = cos x กัน
ลองสะท้อนมันเทียบกับแกนแอบซิสซาดู
กราฟนี้จะต้องถูกบีบอัดสามครั้งตามแนวแกน x
สุดท้าย กราฟดังกล่าวจะต้องถูกยกขึ้นสามหน่วยตามแนวแกน y

y = 0.5 บาป x

ย = 0.2 คอส x-2

y = 5cos 0 .5 เท่า

y= -3ซิน(x+π)

2) ค้นหาข้อผิดพลาดและแก้ไข

V. เนื้อหาทางประวัติศาสตร์ ข้อความเกี่ยวกับออยเลอร์

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ เป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแห่งศตวรรษที่ 18 เกิดที่ประเทศสวิสเซอร์แลนด์ เขาอาศัยและทำงานในรัสเซียเป็นเวลาหลายปีซึ่งเป็นสมาชิกของสถาบันเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

ทำไมเราจึงควรรู้และจำชื่อนักวิทยาศาสตร์คนนี้?

เมื่อต้นศตวรรษที่ 18 ตรีโกณมิติยังไม่พัฒนาเพียงพอ: ไม่มีสัญลักษณ์, สูตรเขียนด้วยคำพูด, เป็นการยากที่จะเรียนรู้, คำถามเกี่ยวกับสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติในส่วนต่าง ๆ ของวงกลมไม่ชัดเจน และการโต้แย้งของฟังก์ชันตรีโกณมิติหมายถึงเฉพาะมุมหรือส่วนโค้งเท่านั้น เฉพาะในงานของออยเลอร์เท่านั้นที่ตรีโกณมิติได้รับรูปแบบที่ทันสมัย เขาเป็นคนที่เริ่มพิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติของตัวเลขเช่น อาร์กิวเมนต์เริ่มเข้าใจไม่เพียงแค่ส่วนโค้งหรือองศาเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตัวเลขด้วย ออยเลอร์ได้สูตรตรีโกณมิติทั้งหมดจากสูตรพื้นฐานหลายๆ สูตร และปรับปรุงคำถามเกี่ยวกับเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติในส่วนต่างๆ ของวงกลม เพื่อแสดงถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติ เขาแนะนำสัญลักษณ์: sin x, cos x, tan x, ctg x

เมื่อเริ่มต้นศตวรรษที่ 18 ทิศทางใหม่ปรากฏขึ้นในการพัฒนาตรีโกณมิติ - เชิงวิเคราะห์ หากก่อนหน้านี้เป้าหมายหลักของตรีโกณมิติถือเป็นคำตอบของรูปสามเหลี่ยม ออยเลอร์ก็ถือว่าวิชาตรีโกณมิติเป็นศาสตร์แห่งฟังก์ชันตรีโกณมิติ ส่วนแรก: หลักคำสอนเรื่องฟังก์ชันเป็นส่วนหนึ่งของหลักคำสอนทั่วไปเรื่องฟังก์ชันซึ่งมีการศึกษาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วนที่สอง: การแก้สามเหลี่ยม - บทเรขาคณิต นวัตกรรมดังกล่าวถูกสร้างขึ้นโดยออยเลอร์

วี. การทำซ้ำ

งานอิสระ “เติมสูตร”

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว สรุปบทเรียน:

1) วันนี้คุณเรียนรู้อะไรใหม่ในชั้นเรียน?

2) คุณต้องการรู้อะไรอีก?

3) การให้เกรด