มีการศึกษาสมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ไขมีความจำเป็นอย่างยิ่ง

สมการกำลังสองคือสมการที่มีรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c คือ ตัวเลขที่กำหนดเองและ ≠ 0

ก่อนเรียน วิธีการเฉพาะคำตอบ โปรดทราบว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามประเภท:

1. ไม่มีราก
2. มีรากเพียงอันเดียว
3. มีสอง รากต่างๆ.

นี่เป็นข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสมการกำลังสองและสมการเชิงเส้น โดยที่รากมีอยู่เสมอและไม่ซ้ำกัน จะทราบได้อย่างไรว่าสมการหนึ่งมีกี่ราก? มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ - เลือกปฏิบัติ.

เลือกปฏิบัติ

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้นตัวแยกแยะก็เป็นเพียงตัวเลข D = b 2 − 4ac

คุณต้องรู้สูตรนี้ด้วยใจ มาจากไหนไม่สำคัญตอนนี้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: ด้วยเครื่องหมายของการแบ่งแยก คุณสามารถระบุได้ว่าสมการกำลังสองมีรากกี่ราก กล่าวคือ:

1. ถ้า D< 0, корней нет;
2. ถ้า D = 0 แสดงว่ามีรากเดียวเท่านั้น
3. ถ้า D > 0 จะมีราก 2 อัน

โปรดทราบ: ผู้จำแนกระบุจำนวนรากและไม่ใช่สัญญาณเลยเนื่องจากหลายคนเชื่อด้วยเหตุผลบางประการ ดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวเอง:

งาน. สมการกำลังสองมีกี่ราก:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0

ลองเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกแล้วหาค่าจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
ง = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

การแบ่งแยกเป็นบวก สมการจึงมีรากที่ต่างกัน 2 ราก เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
ง = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131

การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายที่เหลืออยู่คือ:
ก = 1; ข = −6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0

เลือกปฏิบัติ เท่ากับศูนย์- จะมีหนึ่งรูท

โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์ได้ถูกเขียนไว้สำหรับแต่ละสมการแล้ว ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ แต่คุณจะไม่ปะปนโอกาสและทำผิดพลาดโง่ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ

อย่างไรก็ตาม หากคุณเข้าใจแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องจดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้หลังจากแก้สมการไปแล้ว 50-70 ข้อ โดยทั่วไปแล้วไม่มากขนาดนั้น

รากของสมการกำลังสอง

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า หากจำแนก D > 0 คุณสามารถค้นหารากได้โดยใช้สูตร:

สูตรรากพื้นฐาน สมการกำลังสอง

เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้เหล่านี้ - คุณจะได้ตัวเลขเดียวกันซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้ายนี้ถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 − 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0

สมการแรก:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16

D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:

สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64

D > 0 ⇒ สมการอีกครั้งมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3 \\ \end(จัดแนว)\]

ในที่สุดสมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
ง = 12 2 − 4 1 36 = 0

D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูท ใช้สูตรไหนก็ได้ ตัวอย่างเช่นอันแรก:

อย่างที่คุณเห็นจากตัวอย่างทุกอย่างนั้นง่ายมาก ถ้ารู้สูตรและนับได้ก็ไม่มีปัญหา บ่อยครั้งที่ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเมื่อแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ลบลงในสูตร อีกครั้งเทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้: ดูสูตรตามตัวอักษรจดบันทึกแต่ละขั้นตอน - และในไม่ช้าคุณก็จะกำจัดข้อผิดพลาด

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0

สังเกตได้ง่ายว่าสมการเหล่านี้ขาดคำศัพท์ข้อใดข้อหนึ่งไป สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน โดยไม่จำเป็นต้องคำนวณการแบ่งแยกด้วยซ้ำ ขอแนะนำแนวคิดใหม่:

สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ถ้า b = 0 หรือ c = 0 กล่าวคือ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์

แน่นอนว่าเป็นกรณีที่ยากมากเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์: b = c = 0 ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ ax 2 = 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีรากเดียว: x = 0.

ลองพิจารณากรณีที่เหลือ ให้ b = 0 จากนั้นเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c = 0 ให้เราแปลงมันสักหน่อย:

ตั้งแต่เลขคณิต รากที่สองมีอยู่จากเท่านั้น จำนวนที่ไม่เป็นลบความเสมอภาคสุดท้ายเหมาะสมสำหรับ (−c /a) ≥ 0 เท่านั้น สรุป:

1. หากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 + c = 0 เป็นไปตามสมการ (−c /a) ≥ 0 ก็จะได้รากสองอัน สูตรได้รับข้างต้น
2. ถ้า (−c /a)< 0, корней нет.

อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องจำแนก - ในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ไม่มี การคำนวณที่ซับซ้อน- ที่จริงแล้ว ไม่จำเป็นต้องจำความไม่เท่าเทียมกัน (−c /a) ≥ 0 ด้วยซ้ำ การแสดงค่า x 2 และดูว่าอีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับมีอะไรอยู่ก็เพียงพอแล้ว ถ้ามี จำนวนบวก- จะมีสองราก ถ้าเป็นลบก็จะไม่มีรากเลย

ตอนนี้เรามาดูสมการของรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกตัวประกอบพหุนาม:

การกำจัด ตัวคูณทั่วไปออกจากวงเล็บ

ผลคูณจะเป็นศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ นี่คือที่มาของราก โดยสรุป ลองดูที่สมการเหล่านี้บางส่วน:

งาน. แก้สมการกำลังสอง:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6 ไม่มีรากเพราะว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สามารถเท่ากับจำนวนลบได้

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5

ตัวอย่างเช่น สำหรับตรีนาม \(3x^2+2x-7\) การแบ่งแยกจะเท่ากับ \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) และสำหรับตรีนาม \(x^2-5x+11\) จะเท่ากับ \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\)

การเลือกปฏิบัติจะแสดงด้วยตัวอักษร \(D\) และมักใช้ในการแก้โจทย์ นอกจากนี้ ด้วยค่าของ discriminant คุณสามารถเข้าใจได้ว่ากราฟประมาณนี้เป็นอย่างไร (ดูด้านล่าง)

จำแนกและรากของสมการ

ค่าจำแนกจะแสดงจำนวนสมการกำลังสอง:
- ถ้า \(D\) เป็นบวก สมการจะมีสองราก
- ถ้า \(D\) เท่ากับศูนย์ - จะมีเพียงรากเดียวเท่านั้น
- ถ้า \(D\) เป็นลบ แสดงว่าไม่มีราก

ไม่จำเป็นต้องสอนเรื่องนี้ ไม่ใช่เรื่องยากที่จะได้ข้อสรุป เพียงรู้ว่าจากการแบ่งแยก (นั่นคือ \(\sqrt(D)\) รวมอยู่ในสูตรสำหรับการคำนวณรากของสมการ : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) และ \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D ))(2a)\) มาดูรายละเอียดแต่ละกรณีกันดีกว่า

หากผู้เลือกปฏิบัติเป็นบวก

ในกรณีนี้ รากของมันคือจำนวนบวก ซึ่งหมายความว่า \(x_(1)\) และ \(x_(2)\) จะมีความหมายที่แตกต่างกัน เพราะในสูตรแรก \(\sqrt(D)\ ) จะถูกเพิ่ม และในวินาทีนั้นจะถูกลบออก และเรามีรากที่แตกต่างกันสองอัน

ตัวอย่าง : ค้นหารากของสมการ \(x^2+2x-3=0\)
สารละลาย :

คำตอบ : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

หากการแบ่งแยกเป็นศูนย์

จะมีกี่รากถ้าการแบ่งแยกเป็นศูนย์? ขอเหตุผล

สูตรรากมีลักษณะดังนี้: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) และ \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . และถ้าการแบ่งแยกเป็นศูนย์ รากของมันก็จะเป็นศูนย์เช่นกัน ปรากฎว่า:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

นั่นคือค่ารากของสมการจะตรงกันเนื่องจากการบวกหรือลบศูนย์จะไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย

ตัวอย่าง : ค้นหารากของสมการ \(x^2-4x+4=0\)
สารละลาย :

\(x^2-4x+4=0\)		เราเขียนค่าสัมประสิทธิ์:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		เราคำนวณการแบ่งแยกโดยใช้สูตร \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		การหารากของสมการ
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		มีสองอัน รากที่เหมือนกันดังนั้นจึงไม่มีประโยชน์ที่จะเขียนแยกกัน - เราเขียนเป็นอันเดียว

คำตอบ : \(x=2\)

สมการกำลังสอง เลือกปฏิบัติ วิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

ประเภทของสมการกำลังสอง

สมการกำลังสองคืออะไร? มันมีลักษณะอย่างไร? ในระยะ สมการกำลังสองคำหลักคือ "สี่เหลี่ยม".ซึ่งหมายความว่าในสมการ จำเป็นจะต้องมี x กำลังสอง นอกจากนี้ สมการอาจมี (หรืออาจจะไม่!) มีเพียง X (ยกกำลังแรก) และเพียงตัวเลขเท่านั้น (สมาชิกฟรี).และไม่ควรมี X ยกกำลังมากกว่า 2

ในแง่คณิตศาสตร์ สมการกำลังสองคือสมการที่มีรูปแบบดังนี้

ที่นี่ ก ข และค- ตัวเลขบางตัว ข และ ค- อะไรก็ได้ แต่. ก– สิ่งอื่นใดที่ไม่ใช่ศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

ที่นี่ ก =1; ข = 3; ค = -4

ที่นี่ ก =2; ข = -0,5; ค = 2,2

ที่นี่ ก =-3; ข = 6; ค = -18

คุณก็เข้าใจ...

ในสมการกำลังสองทางด้านซ้ายนี้จะมี ชุดเต็มสมาชิก X กำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ เอ, x ยกกำลังแรกด้วยสัมประสิทธิ์ ขและ สมาชิกฟรี

สมการกำลังสองดังกล่าวเรียกว่า เต็ม.

เกิดอะไรขึ้นถ้า ข= 0 เราได้อะไร? เรามี X จะหายไปในระดับแรกสิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อคูณด้วยศูนย์) ปรากฎว่า:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

ฯลฯ และถ้าทั้งสองค่าสัมประสิทธิ์ ขและ คเท่ากับศูนย์ แล้วยังง่ายกว่า:

2x 2 = 0,

-0.3x 2 =0

สมการดังกล่าวที่มีบางสิ่งหายไปเรียกว่า สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งค่อนข้างสมเหตุสมผล) โปรดทราบว่า x กำลังสองมีอยู่ในสมการทั้งหมด

โดยวิธีการทำไม กไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ใช่ไหม? และคุณทดแทนแทน กศูนย์) X กำลังสองของเราจะหายไป! สมการจะกลายเป็นเส้นตรง และวิธีแก้ปัญหาก็แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง...

นั่นคือสมการกำลังสองประเภทหลักทั้งหมด สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

การแก้สมการกำลังสอง

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์

สมการกำลังสองแก้ได้ง่าย ตามสูตรและกติกาง่ายๆชัดเจน ในระยะแรกมีความจำเป็น สมการที่กำหนดนำไปสู่ มุมมองมาตรฐาน, เช่น. ไปที่แบบฟอร์ม:

หากคุณให้สมการในรูปแบบนี้แล้ว คุณไม่จำเป็นต้องทำขั้นตอนแรก) สิ่งสำคัญคือต้องกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดให้ถูกต้อง ก, ขและ ค.

สูตรการหารากของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

เรียกว่านิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูท เลือกปฏิบัติ- แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับเขาด้านล่าง อย่างที่คุณเห็น เราใช้เพื่อค้นหา X เฉพาะ a, b และ c. เหล่านั้น. สัมประสิทธิ์จากสมการกำลังสอง เพียงทดแทนค่าต่างๆ อย่างระมัดระวัง ก ข และคเราคำนวณเป็นสูตรนี้ มาทดแทนกันเถอะ ด้วยสัญญาณของคุณเอง! ตัวอย่างเช่น ในสมการ:

ก =1; ข = 3; ค= -4. ที่นี่เราเขียนมันลงไป:

ตัวอย่างนี้เกือบจะได้รับการแก้ไขแล้ว:

นี่คือคำตอบ

มันง่ายมาก แล้วคุณคิดว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำผิดพลาดเหรอ? ใช่แล้วยังไง...

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือความสับสนกับค่าสัญญาณ ก ข และค- หรือไม่ใช่ด้วยสัญญาณของพวกเขา (จะสับสนได้ที่ไหน) แต่เป็นการทดแทน ค่าลบลงในสูตรคำนวณราก สิ่งที่ช่วยได้ที่นี่คือการบันทึกสูตรโดยละเอียดด้วย หมายเลขเฉพาะ- หากมีปัญหาในการคำนวณ ทำอย่างนั้น!

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ที่นี่ ก = -6; ข = -5; ค = -1

สมมติว่าคุณรู้ว่าคุณไม่ค่อยได้รับคำตอบในครั้งแรก

เอาล่ะ อย่าขี้เกียจนะ จะใช้เวลาประมาณ 30 วินาทีในการเขียนบรรทัดเพิ่มเติมและจำนวนข้อผิดพลาด จะลดลงอย่างรวดเร็ว- ดังนั้นเราจึงเขียนโดยละเอียดพร้อมวงเล็บและเครื่องหมายทั้งหมด:

ดูเหมือนเป็นเรื่องยากมากที่จะเขียนออกมาอย่างระมัดระวัง แต่ดูเหมือนเป็นเช่นนั้นเท่านั้น ลองดูสิ ดีหรือเลือก อะไรจะดีไปกว่า รวดเร็ว หรือถูกต้อง?

นอกจากนี้ฉันจะทำให้คุณมีความสุข หลังจากนั้นไม่นาน ก็ไม่จำเป็นต้องเขียนทุกอย่างลงอย่างระมัดระวัง มันจะได้ผลด้วยตัวมันเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากคุณใช้เทคนิคเชิงปฏิบัติตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง ตัวอย่างที่ชั่วร้ายที่มีข้อเสียมากมายนี้สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายและไม่มีข้อผิดพลาด!

แต่บ่อยครั้งที่สมการกำลังสองดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นเช่นนี้: คุณจำได้ไหม?) ใช่! นี้.

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ก ข และค.

สามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรทั่วไป คุณแค่ต้องเข้าใจให้ถูกต้องว่ามันเท่ากับอะไรตรงนี้ คุณคิดออกแล้วหรือยัง? ในตัวอย่างแรกก = 1; ข = -4; คก - มันไม่ได้อยู่ที่นั่นเลย! ใช่แล้ว ถูกต้องแล้ว ในทางคณิตศาสตร์ก็หมายความว่าอย่างนั้น - แค่นั้นแหละ. แทนศูนย์ลงในสูตรแทน คและเราจะประสบความสำเร็จ เช่นเดียวกับตัวอย่างที่สอง มีเพียงเราเท่านั้นที่ไม่มีศูนย์ที่นี่ กับ, ก ข !

แต่สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามารถแก้ไขได้ง่ายกว่ามาก โดยไม่มีสูตรใดๆ ลองพิจารณาสิ่งแรก สมการที่ไม่สมบูรณ์- ด้านซ้ายทำอะไรได้บ้าง? คุณสามารถเอา X ออกจากวงเล็บได้! เอามันออกไปเถอะ

แล้วนี่ล่ะ? และความจริงที่ว่าผลคูณเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อปัจจัยใดๆ เท่ากับศูนย์เท่านั้น! ไม่เชื่อฉันเหรอ? เอาล่ะ คิดเลขที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวที่เมื่อคูณแล้วจะได้ศูนย์!
ไม่ทำงานเหรอ? แค่นั้นแหละ...
ดังนั้นเราจึงเขียนได้อย่างมั่นใจ: x 1 = 0, x 2 = 4.

ทั้งหมด. พวกนี้จะเป็นรากของสมการของเรา ทั้งสองมีความเหมาะสม เมื่อแทนค่าใดค่าหนึ่งลงในสมการดั้งเดิม เราจะได้ข้อมูลประจำตัวที่ถูกต้อง 0 = 0 อย่างที่คุณเห็น วิธีแก้ปัญหานั้นง่ายกว่าการใช้สูตรทั่วไปมาก โปรดทราบว่า X ตัวไหนจะเป็นตัวแรกและอันไหนจะเป็นตัวที่สอง - ไม่แยแสเลย สะดวกที่จะเขียนตามลำดับ x1- อะไรที่เล็กกว่าและ x2- สิ่งที่ยิ่งใหญ่กว่า

สมการที่สองสามารถแก้ได้ง่ายๆ เช่นกัน เลื่อน 9 ไปทางด้านขวา เราได้รับ:

สิ่งที่เหลืออยู่คือการแยกรูตออกจาก 9 เท่านี้ก็เรียบร้อย ปรากฎว่า:

สองรากเช่นกัน . x 1 = -3, x 2 = 3.

นี่คือวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ทั้งหมด โดยการวาง X ออกจากวงเล็บ หรือเพียงเลื่อนตัวเลขไปทางขวาแล้วแยกรากออก
เป็นเรื่องยากมากที่จะสร้างความสับสนให้กับเทคนิคเหล่านี้ เพียงเพราะในกรณีแรก คุณจะต้องแยกรากของ X ซึ่งไม่สามารถเข้าใจได้ และในกรณีที่สอง ไม่มีอะไรจะออกจากวงเล็บ...

เลือกปฏิบัติ สูตรจำแนก

คำวิเศษ เลือกปฏิบัติ - นักเรียนมัธยมปลายไม่เคยได้ยินคำนี้มาก่อน! วลีที่ว่า “เราแก้ปัญหาด้วยการเลือกปฏิบัติ” สร้างแรงบันดาลใจให้เกิดความมั่นใจและความมั่นใจ เพราะไม่จำเป็นต้องคาดหวังกลอุบายจากผู้เลือกปฏิบัติ! มันใช้งานง่ายและไร้ปัญหา) ฉันเตือนคุณถึงสิ่งที่สำคัญที่สุด สูตรทั่วไปที่จะแก้ปัญหา ใดๆสมการกำลังสอง:

การแสดงออกภายใต้เครื่องหมายรากเรียกว่าการเลือกปฏิบัติ โดยปกติแล้วการเลือกปฏิบัติจะแสดงด้วยตัวอักษร ดี- สูตรจำแนก:

ง = ข 2 - 4เอซี

และอะไรที่น่าทึ่งเกี่ยวกับสำนวนนี้? เหตุใดจึงสมควรได้รับชื่อพิเศษ? อะไร ความหมายของการเลือกปฏิบัติ?หลังจากทั้งหมด -ข,หรือ 2กในสูตรนี้พวกเขาไม่ได้เรียกมันว่าอะไรโดยเฉพาะ... ตัวอักษรและตัวอักษร

นี่คือสิ่งที่ เมื่อแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรนี้ก็เป็นไปได้ เพียงสามกรณี

1. การเลือกปฏิบัติเป็นบวกซึ่งหมายความว่าสามารถแยกรากออกมาได้ ไม่ว่ารากจะถูกสกัดออกมาได้ดีหรือไม่นั้นเป็นอีกคำถามหนึ่ง สิ่งสำคัญคือสิ่งที่สกัดออกมาในหลักการ แล้วสมการกำลังสองของคุณมีสองราก สอง โซลูชั่นต่างๆ.

2. การเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์แล้วคุณจะมีทางออกหนึ่ง เนื่องจากการบวกหรือลบศูนย์ในตัวเศษจึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย พูดอย่างเคร่งครัดนี่ไม่ใช่รากเดียว แต่ สองอันเหมือนกัน- แต่, ใน เวอร์ชันที่เรียบง่ายเป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึง ทางออกหนึ่ง

3. การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่สามารถหารากที่สองของจำนวนลบได้ โอ้ดี. ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข

พูดตรงๆ เมื่อไหร่. วิธีแก้ปัญหาง่ายๆสมการกำลังสอง แนวคิดเรื่องการแบ่งแยกไม่จำเป็นเป็นพิเศษ เราแทนค่าสัมประสิทธิ์ลงในสูตรแล้วนับ ทุกสิ่งทุกอย่างเกิดขึ้นที่นั่นด้วยตัวของมันเอง มี 2 ราก 1 และไม่มีเลย แต่เมื่อแก้ไขเพิ่มเติม งานที่ยากลำบากโดยไม่มีความรู้ ความหมายและสูตรของการเลือกปฏิบัติไม่สามารถผ่านไปได้ โดยเฉพาะในสมการที่มีพารามิเตอร์ สมการดังกล่าวคือ ไม้ลอยสำหรับการสอบของรัฐและการสอบ Unified State!)

ดังนั้น, วิธีแก้สมการกำลังสองผ่านการเลือกปฏิบัติที่คุณจำได้ หรือคุณได้เรียนรู้ซึ่งก็ไม่เลวเช่นกัน) คุณรู้วิธีกำหนดอย่างถูกต้อง ก ข และค- คุณรู้วิธีการ? อย่างตั้งใจแทนที่พวกมันลงในสูตรรูทและ อย่างตั้งใจนับผลลัพธ์ คุณเข้าใจไหมว่า คำหลักที่นี่ - อย่างตั้งใจ?

ตอนนี้ให้สังเกตเทคนิคเชิงปฏิบัติที่ช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก อันเกิดจากการไม่ตั้งใจ...ซึ่งต่อมากลับกลายเป็นความเจ็บปวดและขุ่นเคือง...

นัดแรก - อย่าเกียจคร้านก่อนที่จะแก้สมการกำลังสองและทำให้มันอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร?
สมมติว่าหลังจากการแปลงทั้งหมดคุณจะได้สมการต่อไปนี้:

อย่ารีบเขียนสูตรรูท! คุณเกือบจะได้รับโอกาสปะปนกันอย่างแน่นอน ก ข และคสร้างตัวอย่างอย่างถูกต้อง อย่างแรก X กำลังสอง จากนั้นไม่มีกำลังสอง ตามด้วยพจน์อิสระ แบบนี้:

และอีกครั้งอย่ารีบเร่ง! ลบหน้า X กำลังสองอาจทำให้คุณเสียใจได้ ลืมง่าย...กำจัดลบทิ้งไป ยังไง? ใช่แล้ว ตามที่สอนในหัวข้อที่แล้ว! เราจำเป็นต้องคูณสมการทั้งหมดด้วย -1 เราได้รับ:

แต่ตอนนี้คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับรากได้อย่างปลอดภัย คำนวณการแบ่งแยก และแก้ไขตัวอย่างให้เสร็จสิ้น ตัดสินใจด้วยตัวเอง

ตอนนี้คุณควรมีรูต 2 และ -1 แผนกต้อนรับที่สอง เช็คต้นตอ! ตามทฤษฎีบทของเวียตตา ไม่ต้องกลัว ฉันจะอธิบายทุกอย่าง! กำลังตรวจสอบล่าสุด สมการ เหล่านั้น. อันที่เราใช้เขียนสูตรรูทลงไป ถ้า (ดังตัวอย่างนี้) ค่าสัมประสิทธิ์ก = 1 การตรวจสอบรากเป็นเรื่องง่าย มันก็เพียงพอแล้วที่จะคูณพวกมัน ผลลัพธ์ควรเป็นสมาชิกฟรีเช่น ในกรณีของเรา -2 โปรดทราบว่าไม่ใช่ 2 แต่เป็น -2! สมาชิกฟรี ด้วยสัญญาณของคุณ

- หากไม่ได้ผลก็หมายความว่าพวกเขาทำผิดพลาดอยู่ที่ไหนสักแห่งแล้ว มองหาข้อผิดพลาด ขหากได้ผลคุณจะต้องเพิ่มราก การตรวจสอบครั้งสุดท้ายและครั้งสุดท้าย ค่าสัมประสิทธิ์ควรจะเป็น ตรงข้าม คุ้นเคย. ในกรณีของเรา -1+2 = +1 ค่าสัมประสิทธิ์ ขซึ่งอยู่ก่อน X เท่ากับ -1 ดังนั้นทุกอย่างถูกต้อง!
น่าเสียดายที่นี่เป็นเพียงตัวอย่างที่ x กำลังสองมีค่าบริสุทธิ์และมีค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น ก = 1แต่อย่างน้อยก็ตรวจสอบสมการดังกล่าว! ทั้งหมด ข้อผิดพลาดน้อยลงจะ.

แผนกต้อนรับที่สาม - ถ้าสมการของคุณมี อัตราต่อรองแบบเศษส่วน, - กำจัดเศษส่วน! คูณสมการด้วย ตัวส่วนร่วมตามที่อธิบายไว้ในบทเรียน "จะแก้สมการได้อย่างไร การแปลงที่เหมือนกัน" เมื่อทำงานกับเศษส่วน ข้อผิดพลาดก็คืบคลานเข้ามาด้วยเหตุผลบางประการ...

อย่างไรก็ตามฉันสัญญาว่าจะทำให้ตัวอย่างที่ชั่วร้ายง่ายขึ้นด้วยข้อเสียมากมาย โปรด! นี่เขาอยู่

เพื่อไม่ให้สับสนกับเครื่องหมายลบ เราจะคูณสมการด้วย -1 เราได้รับ:

แค่นั้นแหละ! การแก้ปัญหาเป็นเรื่องน่ายินดี!

เรามาสรุปหัวข้อกัน

คำแนะนำการปฏิบัติ:

1. ก่อนที่จะแก้โจทย์ เราจะนำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐานและสร้างมันขึ้นมา ขวา.

2. หากมีสัมประสิทธิ์ลบอยู่หน้า X กำลังสอง เราจะกำจัดมันโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วย -1

3. ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน เราจะกำจัดเศษส่วนโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วยตัวประกอบที่เกี่ยวข้อง

4. ถ้า x กำลังสองบริสุทธิ์ แสดงว่าสัมประสิทธิ์ของมัน เท่ากับหนึ่งสามารถตรวจสอบคำตอบได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ทำมัน!

ตอนนี้เราตัดสินใจได้แล้ว)

แก้สมการ:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

คำตอบ (อยู่ในความระส่ำระสาย):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - ตัวเลขใด ๆ

x 1 = -3
x 2 = 3

ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

ทุกอย่างพอดีหรือเปล่า? ยอดเยี่ยม! สมการกำลังสองไม่ใช่สิ่งที่คุณชอบ ปวดศีรษะ- สามตัวแรกได้ผล แต่ที่เหลือไม่ได้ผลเหรอ? ปัญหาไม่ได้อยู่ที่สมการกำลังสอง ปัญหาอยู่ที่การแปลงสมการที่เหมือนกัน ลองดูตามลิงค์นะครับ มีประโยชน์

ไม่ค่อยได้ผลใช่ไหม? หรือมันไม่ได้ผลเลย? แล้วมาตรา 555 จะช่วยคุณได้ แสดงแล้ว หลักข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหา แน่นอนว่ามันยังพูดถึงการใช้งานด้วย การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ในการแก้สมการต่างๆ ช่วยได้มาก!

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ฉันหวังว่าจะได้ศึกษา บทความนี้คุณจะได้เรียนรู้การหารากของสมการกำลังสองที่สมบูรณ์

เมื่อใช้การแบ่งแยก จะแก้ได้เฉพาะสมการกำลังสองที่สมบูรณ์เท่านั้น หากต้องการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ จะใช้วิธีการอื่น ซึ่งคุณจะพบได้ในบทความ “การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์”

สมการกำลังสองใดที่เรียกว่าสมบูรณ์? นี้ สมการของรูปแบบ ax 2 + b x + c = 0โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ในการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ เราจำเป็นต้องคำนวณค่าจำแนก D

ง = ข 2 – 4เอซี

เราจะเขียนคำตอบทั้งนี้ขึ้นอยู่กับค่าของการเลือกปฏิบัติ

ถ้าจะเลือกปฏิบัติ จำนวนลบ(ด< 0),то корней нет.

ถ้าตัวแยกแยะเป็นศูนย์ แล้ว x = (-b)/2a เมื่อตัวจำแนกเป็นจำนวนบวก (D > 0)

จากนั้น x 1 = (-b - √D)/2a และ x 2 = (-b + √D)/2a

ตัวอย่างเช่น. แก้สมการ x2– 4x + 4= 0.

ง = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

คำตอบ: 2.

แก้สมการที่ 2 x2 + x + 3 = 0

ง = 1 2 – 4 2 3 = – 23

คำตอบ: ไม่มีราก.

แก้สมการที่ 2 x2 + 5x – 7 = 0.

ง = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

คำตอบ: – 3.5; 1.

ลองจินตนาการถึงคำตอบของสมการกำลังสองสมบูรณ์โดยใช้แผนภาพในรูปที่ 1

การใช้สูตรเหล่านี้ทำให้คุณสามารถแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ได้ คุณเพียงแค่ต้องระมัดระวัง สมการนี้เขียนเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน

ก x2 + bx + คมิฉะนั้นคุณอาจทำผิดพลาด ตัวอย่างเช่น ในการเขียนสมการ x + 3 + 2x 2 = 0 คุณอาจตัดสินใจผิดพลาดได้ว่า

a = 1, b = 3 และ c = 2 จากนั้น

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 จากนั้นสมการจะมีราก 2 อัน และนี่ไม่เป็นความจริง (ดูวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างที่ 2 ด้านบน)

ดังนั้น หากสมการไม่ได้เขียนเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน ขั้นแรกให้เขียนสมการกำลังสองที่สมบูรณ์เป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐานก่อน (เอกพจน์ที่มีเลขชี้กำลังมากที่สุดควรมาก่อน นั่นคือ ก x2 แล้วมีน้อยลง – บีเอ็กซ์แล้วก็เป็นสมาชิกฟรี กับ.

เมื่อแก้สมการกำลังสองที่ลดลงและสมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์เลขคู่ในเทอมที่สอง คุณสามารถใช้สูตรอื่นได้ มาทำความรู้จักกับสูตรเหล่านี้กันดีกว่า ถ้าในสมการกำลังสองสมบูรณ์ เทอมที่สองมีค่าสัมประสิทธิ์เลขคู่ (b = 2k) คุณสามารถแก้สมการได้โดยใช้สูตรที่แสดงในแผนภาพในรูปที่ 2

สมการกำลังสองสมบูรณ์เรียกว่าลดลงถ้าสัมประสิทธิ์อยู่ที่ x2 เท่ากับหนึ่ง และสมการจะอยู่ในรูปแบบ x 2 + px + q = 0- สมการดังกล่าวสามารถให้ไว้สำหรับการแก้โจทย์ หรือหาได้โดยการหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการด้วยสัมประสิทธิ์ ก, ยืนอยู่ที่ x2 .

รูปที่ 3 แสดงแผนภาพสำหรับการแก้กำลังสองลดลง
สมการ ลองดูตัวอย่างการใช้สูตรที่กล่าวถึงในบทความนี้

ตัวอย่าง. แก้สมการ

3x2 + 6x – 6 = 0

ลองแก้สมการนี้โดยใช้สูตรที่แสดงในแผนภาพในรูปที่ 1

ง = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

คำตอบ: –1 – √3; –1 + √3

คุณจะสังเกตเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของ x ในสมการนี้ เลขคู่นั่นคือ b = 6 หรือ b = 2k โดยที่ k = 3 จากนั้นลองแก้สมการโดยใช้สูตรที่ให้ไว้ในแผนภาพของรูป D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(ง 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

คำตอบ: –1 – √3; –1 + √3- เมื่อสังเกตว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดในสมการกำลังสองนี้หารด้วย 3 ลงตัวและทำการหาร เราจะได้สมการกำลังสองที่ลดลง x 2 + 2x – 2 = 0 แก้สมการนี้โดยใช้สูตรสำหรับกำลังสองที่ลดลง
สมการรูปที่ 3

ง 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(ง 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

คำตอบ: –1 – √3; –1 + √3.

ดังที่เราเห็นเมื่อแก้สมการนี้โดย สูตรต่างๆเราได้รับคำตอบเดียวกัน ดังนั้น เมื่อเชี่ยวชาญสูตรที่แสดงในแผนภาพในรูปที่ 1 อย่างถี่ถ้วนแล้ว คุณจะสามารถแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ได้เสมอ

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

สมการกำลังสองมักปรากฏขึ้นระหว่างการแก้โจทย์ งานต่างๆฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ ในบทความนี้ เราจะมาดูวิธีแก้ปัญหาความเท่าเทียมกันเหล่านี้ ในทางที่เป็นสากล"โดยการเลือกปฏิบัติ" ตัวอย่างของการใช้ความรู้ที่ได้รับมีอยู่ในบทความด้วย

เราจะพูดถึงสมการอะไร?

รูปด้านล่างแสดงสูตรที่ x เป็นตัวแปรที่ไม่รู้จักและ ตัวอักษรละติน a, b, c เป็นตัวแทนของตัวเลขที่รู้จัก

แต่ละสัญลักษณ์เหล่านี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์ อย่างที่คุณเห็น ตัวเลข "a" ปรากฏก่อนตัวแปร x กำลังสอง นี้ ระดับสูงสุดของนิพจน์ที่นำเสนอ จึงเรียกว่าสมการกำลังสอง มักใช้ชื่ออื่น: สมการอันดับสอง คุณค่าของตัวมันเองก็คือ ค่าสัมประสิทธิ์กำลังสอง(ยืนโดยให้ตัวแปรกำลังสอง) b คือ ค่าสัมประสิทธิ์เชิงเส้น(อยู่ถัดจากตัวแปรที่ยกกำลัง 1) สุดท้ายเลข c ก็คือพจน์อิสระ

โปรดทราบว่ารูปแบบของสมการที่แสดงในรูปด้านบนเป็นแบบคลาสสิกทั่วไป นิพจน์กำลังสอง- นอกจากนั้น ยังมีสมการอันดับสองอื่นๆ ซึ่งสัมประสิทธิ์ b และ c อาจเป็นศูนย์

เมื่องานถูกตั้งค่าให้แก้ไขความเท่าเทียมกันที่เป็นปัญหานั่นหมายความว่าจำเป็นต้องหาค่าของตัวแปร x ที่จะตอบสนองความต้องการดังกล่าว สิ่งแรกที่คุณต้องจำที่นี่คือ สิ่งต่อไป: เนื่องจากกำลังสูงสุดของ X คือ 2 ดังนั้น ประเภทนี้นิพจน์ไม่สามารถมีมากกว่า 2 คำตอบ ซึ่งหมายความว่าหากเมื่อแก้สมการพบว่ามีค่า x 2 ค่าที่ตรงใจแล้วคุณสามารถมั่นใจได้ว่าไม่มีเลขตัวที่ 3 แทนที่ด้วย x ความเท่าเทียมกันก็จะเป็นจริงเช่นกัน การแก้สมการทางคณิตศาสตร์เรียกว่ารากของมัน

วิธีการแก้สมการอันดับสอง

การแก้สมการประเภทนี้ต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบางอย่างเกี่ยวกับสมการเหล่านั้น ใน หลักสูตรของโรงเรียนพีชคณิตพิจารณา 4 วิธีการต่างๆโซลูชั่น มาแสดงรายการกัน:

• ใช้การแยกตัวประกอบ
• ใช้สูตรสำหรับกำลังสองสมบูรณ์
• โดยการใช้กราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่สอดคล้องกัน
• โดยใช้สมการจำแนก

ข้อดีของวิธีแรกคือความเรียบง่าย อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถใช้กับสมการทั้งหมดได้ วิธีที่สองนั้นเป็นสากล แต่ค่อนข้างยุ่งยาก วิธีที่สามนั้นโดดเด่นด้วยความชัดเจน แต่ไม่สะดวกและใช้งานได้เสมอไป และสุดท้าย การใช้สมการจำแนกเป็นวิธีสากลและค่อนข้างง่ายในการค้นหารากของสมการอันดับสองใดๆ ก็ตาม ดังนั้นในบทความนี้เราจะพิจารณาเฉพาะเรื่องนี้เท่านั้น

สูตรการหารากของสมการ

หันมากันดีกว่า ลักษณะทั่วไปสมการกำลังสอง ลองเขียนมันลงไป: a*x²+ b*x + c =0 ก่อนที่จะใช้วิธีการแก้ไข "โดยการเลือกปฏิบัติ" คุณควรนำความเสมอภาคมาสู่รูปแบบลายลักษณ์อักษรเสมอ นั่นคือ ต้องประกอบด้วยสามเทอม (หรือน้อยกว่าถ้า b หรือ c เป็น 0)

ตัวอย่างเช่น หากมีนิพจน์: x²-9*x+8 = -5*x+7*x² ขั้นแรกคุณควรย้ายพจน์ทั้งหมดไปที่ด้านหนึ่งของความเท่าเทียมกัน และเพิ่มพจน์ที่มีตัวแปร x ใน พลังเดียวกัน

ใน ในกรณีนี้การดำเนินการนี้จะนำไปสู่นิพจน์ต่อไปนี้: -6*x²-4*x+8=0 ซึ่งเทียบเท่ากับสมการ 6*x²+4*x-8=0 (ในที่นี้ เราจะคูณด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ ความเท่าเทียมกันด้วย -1)

ในตัวอย่างข้างต้น a = 6, b=4, c=-8 โปรดทราบว่าเงื่อนไขทั้งหมดของความเท่าเทียมกันที่พิจารณาจะถูกรวมเข้าด้วยกันเสมอ ดังนั้นหากเครื่องหมาย "-" ปรากฏขึ้น หมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นลบ เช่น ตัวเลข c ในกรณีนี้

เมื่อพิจารณาประเด็นนี้แล้ว ให้เรามาดูสูตรกันดีกว่า ซึ่งทำให้ได้รากของสมการกำลังสองได้ ดูเหมือนว่าที่แสดงในภาพด้านล่าง

ดังที่เห็นได้จากสำนวนนี้ มันช่วยให้คุณได้สองรูท (ให้ความสนใจกับเครื่องหมาย “±”) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ b, c และ a ลงไปได้

แนวคิดเรื่องการเลือกปฏิบัติ

ใน ย่อหน้าก่อนหน้ามีการกำหนดสูตรที่ช่วยให้คุณสามารถแก้สมการอันดับสองได้อย่างรวดเร็ว ในนั้น การแสดงออกที่รุนแรงเรียกว่าการแบ่งแยก นั่นคือ D = b²-4*a*c

เหตุใดส่วนนี้ของสูตรจึงถูกเน้นและยังมีด้วย ชื่อที่ถูกต้อง- ความจริงก็คือผู้แยกแยะเชื่อมโยงสัมประสิทธิ์ทั้งสามของสมการเข้าด้วยกันเป็นนิพจน์เดียว ข้อเท็จจริงสุดท้ายหมายความว่ามีข้อมูลเกี่ยวกับรากอย่างสมบูรณ์ซึ่งสามารถแสดงได้ในรายการต่อไปนี้:

1. D>0: ความเท่าเทียมกันมีคำตอบที่แตกต่างกัน 2 แบบ ซึ่งทั้งคู่เป็นจำนวนจริง
2. D=0: สมการนี้มีรากเพียงอันเดียวและเป็นจำนวนจริง

งานการกำหนดแยกแยะ

เราจะยกตัวอย่างง่ายๆ ของวิธีการค้นหาผู้เลือกปฏิบัติ ให้มีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7

ลองมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เราจะได้: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0 ซึ่งเราจะได้ความเท่าเทียมกัน : -2*x² +2*x-11 = 0 โดยที่ a=-2, b=2, c=-11

ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตรข้างต้นสำหรับการแบ่งแยก: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84 หมายเลขผลลัพธ์คือคำตอบของงาน เนื่องจากในตัวอย่าง การแบ่งแยกมีค่าน้อยกว่าศูนย์ เราจึงสามารถพูดได้ว่าสมการกำลังสองนี้ไม่มี รากที่แท้จริง- คำตอบของมันจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเท่านั้น

ตัวอย่างของความไม่เท่าเทียมกันโดยการเลือกปฏิบัติ

มาแก้ปัญหาประเภทอื่นเล็กน้อย: เมื่อพิจารณาจากความเท่าเทียมกัน -3*x²-6*x+c = 0 จำเป็นต้องค้นหาค่า c โดยที่ D>0

ในกรณีนี้ ทราบค่าสัมประสิทธิ์เพียง 2 ใน 3 เท่านั้น ดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณค่าที่แน่นอนของตัวแยกแยะได้ แต่เป็นที่ทราบกันดีว่าเป็นค่าบวก เราใช้ข้อเท็จจริงสุดท้ายในการเขียนอสมการ: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0 การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นนำไปสู่ผลลัพธ์: c>-3

ลองตรวจสอบหมายเลขผลลัพธ์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราคำนวณ D สำหรับ 2 กรณี: c=-2 และ c=-4 หมายเลข -2 เป็นไปตามผลลัพธ์ที่ได้รับ (-2>-3) การแบ่งแยกที่สอดคล้องกันจะมีค่า: D = 12>0 ในทางกลับกัน จำนวน -4 ไม่เป็นไปตามอสมการ (-4 ดังนั้น จำนวน c ใดๆ ที่มากกว่า -3 จะเป็นไปตามเงื่อนไข

ตัวอย่างการแก้สมการ

ให้เรานำเสนอปัญหาที่ไม่เพียงแต่เกี่ยวข้องกับการค้นหาผู้จำแนกเท่านั้น แต่ยังต้องแก้สมการด้วย จำเป็นต้องค้นหารากของความเท่าเทียมกัน -2*x²+7-9*x = 0

ในตัวอย่างนี้ ตัวจำแนกจะเท่ากับค่าต่อไปนี้: D = 81-4*(-2)*7= 137 จากนั้นรากของสมการจะถูกกำหนดดังนี้: x = (9±√137)/(- 4) นี้ ค่าที่แน่นอนราก หากคุณคำนวณรากโดยประมาณ คุณจะได้ตัวเลข: x = -5.176 และ x = 0.676

ปัญหาเรขาคณิต

เราจะแก้ปัญหาที่ไม่เพียงแต่จะต้องใช้ความสามารถในการคำนวณการเลือกปฏิบัติเท่านั้น แต่ยังต้องใช้ทักษะด้วย การคิดเชิงนามธรรมและความรู้การเขียนสมการกำลังสอง

บ๊อบมีผ้านวมขนาด 5 x 4 เมตร เด็กชายต้องการเย็บมันให้ทั่วทั้งเส้นรอบวง แถบต่อเนื่องจากผ้าที่สวยงาม แถบนี้จะหนาแค่ไหนถ้าเรารู้ว่าบ๊อบมีผ้า 10 ตร.ม.

ให้แถบมีความหนา x m แล้วพื้นที่ของผ้าตามด้านยาวของผ้าห่มจะเป็น (5+2*x)*x และเนื่องจากมี 2 ด้านยาว เราจึงได้: 2*x *(5+2*x). ด้านสั้นพื้นที่ผ้าที่เย็บจะเป็น 4*x เนื่องจากมี 2 ด้านนี้ เราจึงได้ค่า 8*x โปรดทราบว่ามีการเพิ่ม 2*x ในด้านยาวเนื่องจากความยาวของผ้าห่มเพิ่มขึ้นตามจำนวนนั้น พื้นที่ผ้าเย็บผ้าห่มรวม 10 ตร.ม. ดังนั้นเราจึงได้ความเท่าเทียมกัน: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0

สำหรับตัวอย่างนี้ ตัวจำแนกจะเท่ากับ: D = 18²-4*4*(-10) = 484 ค่ารากของมันคือ 22 เมื่อใช้สูตร เราจะหาค่ารากที่ต้องการ: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0.5) แน่นอนว่าจากทั้งสองรากนั้น มีเพียงเลข 0.5 เท่านั้นที่เหมาะสมตามเงื่อนไขของปัญหา

ดังนั้นแถบผ้าที่บ๊อบเย็บติดกับผ้าห่มจะมีความกว้าง 50 ซม.