41.1. แผนการใช้อินทิกรัลจำกัดเขต
ปล่อยให้จำเป็นต้องค้นหาค่าของปริมาณเรขาคณิตหรือทางกายภาพ A (พื้นที่ของรูป, ปริมาตรของร่างกาย, ความดันของเหลวบนแผ่นแนวตั้ง ฯลฯ ) ที่เกี่ยวข้องกับส่วนของการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรอิสระ x สันนิษฐานว่าปริมาณ A นี้เป็นปริมาณบวก เช่น เมื่อแบ่งพาร์ติชัน [a; b] ชี้ด้วย є (a; b) ในส่วน [a; ส] และ [s; b] ค่าของ A ที่สอดคล้องกับส่วนทั้งหมด [a; b] เท่ากับผลรวมของค่าที่สอดคล้องกับ [a; ส] และ [s; ข]
ในการค้นหาค่า A นี้ คุณสามารถใช้รูปแบบใดรูปแบบหนึ่งจากสองรูปแบบได้: รูปแบบ I (หรือวิธีหาผลรวมอินทิกรัล) และรูปแบบ II (หรือวิธีอนุพันธ์)
โครงการแรกขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของอินทิกรัลจำกัดเขต
1. ใช้คะแนน x 0 = a, x 1 ,..., xn = b แบ่งเซกเมนต์ [a;b] ออกเป็น n ส่วน ตามนี้ ปริมาณ A ที่เราสนใจจะถูกแบ่งออกเป็น n “พจน์เบื้องต้น” ΔAi (i = 1,...,n): A = ΔA 1 +ΔA 2 +...+ ΔA n
2. นำเสนอ “คำศัพท์เบื้องต้น” แต่ละคำเป็นผลคูณของฟังก์ชันบางอย่าง (กำหนดจากเงื่อนไขของปัญหา) ซึ่งคำนวณที่จุดใดก็ได้ของเซ็กเมนต์ที่เกี่ยวข้องตามความยาว: ΔA i µ ƒ(c i)Δx i
เมื่อค้นหาค่าโดยประมาณของ ΔA i อนุญาตให้ลดความซับซ้อนบางอย่างได้: ส่วนโค้งในพื้นที่เล็กๆ สามารถถูกแทนที่ด้วยคอร์ดที่หดตัวปลายของมัน ความเร็วที่แปรผันได้ในพื้นที่เล็กๆ ถือว่าคงที่โดยประมาณ เป็นต้น
เราได้รับค่าประมาณของปริมาณ A ในรูปของผลรวมอินทิกรัล:
3. ค่าที่ต้องการ A เท่ากับขีด จำกัด ของผลรวมครบถ้วนเช่น
ตามที่เราเห็น “วิธีการหาผลรวม” ที่ระบุนั้นขึ้นอยู่กับการแทนค่าอินทิกรัลเป็นผลรวมของพจน์ที่มีจำนวนไม่สิ้นสุดที่มีจำนวนมากเป็นอนันต์
โครงการที่ 1 ใช้เพื่อชี้แจงความหมายทางเรขาคณิตและทางกายภาพของอินทิกรัลจำกัดเขต
โครงการที่สองเป็นโครงการที่ได้รับการปรับเปลี่ยนเล็กน้อย I และเรียกว่า "วิธีการส่วนต่าง" หรือ "วิธีการละทิ้งคำสั่งซื้อที่สูงกว่าเล็กน้อย":
1) ในส่วน [a;b] เราเลือกค่าที่กำหนดเอง x และพิจารณาส่วนของตัวแปร [a; เอ็กซ์] ในส่วนนี้ ปริมาณ A จะกลายเป็นฟังก์ชันของ x: A = A(x) กล่าวคือ เราถือว่าส่วนหนึ่งของปริมาณ A ที่ต้องการนั้นเป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก A(x) โดยที่ x є เป็นหนึ่งในพารามิเตอร์ของ ปริมาณ ก;
2) เราพบส่วนหลักของการเพิ่มขึ้น ΔA เมื่อ x เปลี่ยนจำนวนเล็กน้อย Δx = dx นั่นคือ เราพบส่วนต่าง dA ของฟังก์ชัน A = A(x): dA = ƒ(x) dx โดยที่ ƒ(x ) พิจารณาจากเงื่อนไขของปัญหา ฟังก์ชันของตัวแปร x (การทำให้เข้าใจง่ายต่างๆ ก็สามารถทำได้เช่นกัน)
3) สมมติว่า dA µ ΔA สำหรับ Δx → 0 เราจะพบค่าที่ต้องการโดยการรวม dA ในช่วงตั้งแต่ a ถึง b:
41.2. การคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบิน
พิกัดสี่เหลี่ยม
ตามที่ได้กำหนดไว้แล้ว (ดู "ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลจำกัด") พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่อยู่ "เหนือ" แกน x (ƒ(x) ≥ 0) เท่ากับอินทิกรัลจำกัดที่สอดคล้องกัน:
ได้รับสูตร (41.1) โดยใช้รูปแบบ I - วิธีการหาผลรวม ให้เราปรับสูตร (41.1) โดยใช้โครงร่าง II ปล่อยให้สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยเส้นตรง y = ƒ(x) ≥ 0, x = a, x = b, y = 0 (ดูรูปที่ 174)
ในการหาพื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้ เราต้องดำเนินการดังต่อไปนี้:
1. รับ x О [a; b] และเราจะถือว่า S = S(x)
2. ลองให้อาร์กิวเมนต์ x เพิ่มขึ้น Δx = dx (x + Δx є [a; b]) ฟังก์ชัน S = S(x) จะได้รับการเพิ่มขึ้น ΔS ซึ่งเป็นพื้นที่ของ “รูปสี่เหลี่ยมคางหมูเส้นโค้งเบื้องต้น” (เน้นไว้ในรูป)
ส่วนต่างของพื้นที่ dS เป็นส่วนหลักของการเพิ่มขึ้น ΔS ที่ Δх → 0 และเห็นได้ชัดว่ามันเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีฐาน dx และความสูง y: dS = y dx
3. เมื่อรวมผลลัพธ์ความเท่าเทียมกันในช่วงจาก x = a ถึง x = b เราได้
โปรดทราบว่าหากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ "ใต้" แกน Ox (ƒ(x)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле
สูตร (41.1) และ (41.2) สามารถรวมกันเป็นหนึ่งเดียวได้:
พื้นที่ของรูปที่ถูกล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = fι(x) และ y = ƒг(x), เส้นตรง x = a และ x = b (โดยให้ ƒ 2 (x) ≥ ƒ 1 (x)) (ดูรูปที่. 175) หาได้จากสูตร
หากรูปร่างแบนมีรูปร่าง "ซับซ้อน" (ดูรูปที่ 176) ควรแบ่งออกเป็นส่วนต่างๆ ด้วยเส้นตรงขนานกับแกน Oy เพื่อให้สามารถใช้สูตรที่ทราบอยู่แล้วได้
หากรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งถูกจำกัดด้วยเส้นตรง y = c และ y = d แกน Oy และเส้นโค้งต่อเนื่อง x = φ(y) ≥ 0 (ดูรูปที่ 177) ดังนั้นสูตรจะพบพื้นที่ของมัน 
และสุดท้าย ถ้าสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งถูกจำกัดด้วยเส้นโค้งที่กำหนดแบบพาราเมตริก
เส้นตรง x = aix = b และแกน Ox จากนั้นสูตรก็จะหาพื้นที่ของมันได้
โดยที่ a และ β ถูกกำหนดจากความเท่าเทียมกัน x(a) = a และ x(β) = b
ตัวอย่างที่ 41.1 ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยแกน Ox และกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 - 2x สำหรับ x є
วิธีแก้ไข: รูปนี้มีรูปแบบดังแสดงในรูปที่ 178 ค้นหาพื้นที่ S:
ตัวอย่างที่ 41.2 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยวงรี x = a cos t, y = b sin t
วิธีแก้: ก่อนอื่นให้หา 1/4 ของพื้นที่ S โดยที่ x เปลี่ยนจาก 0 เป็น a ดังนั้น t จึงเปลี่ยนจาก 0 (ดูรูปที่ 179) เราพบ:
ดังนั้น . ซึ่งหมายความว่า S = π аВ
พิกัดเชิงขั้ว
ขอให้เราค้นหาพื้นที่ S ของเซกเตอร์เส้นโค้ง เช่น รูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้นต่อเนื่อง r=r(φ) และรังสีสองเส้น φ=a และ φ=β (a< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - วิธีที่แตกต่าง
1. เราจะพิจารณาส่วนหนึ่งของพื้นที่ที่ต้องการ S เป็นฟังก์ชันของมุม φ เช่น S = S(φ) โดยที่ a ≤
φ ≤
β (ถ้า φ = a แล้ว S(a) = 0 ถ้า φ=β แล้ว S(β) = S)
2. หากมุมเชิงขั้วปัจจุบัน φ ได้รับการเพิ่มขึ้น Δφ = dφ ดังนั้นการเพิ่มขึ้นในพื้นที่ AS จะเท่ากับพื้นที่ของ "เซกเตอร์เส้นโค้งเบื้องต้น" OAB
ดิฟเฟอเรนเชียล dS แสดงถึงส่วนหลักของการเพิ่มขึ้น ΔS ที่ dφ →
0 และเท่ากับพื้นที่ของเซกเตอร์วงกลม O AC (แรเงาในรูป) ของรัศมี r โดยมีมุมที่ศูนย์กลาง dφ นั่นเป็นเหตุผล 
3. เมื่อรวมความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นในช่วงตั้งแต่ φ = a ถึง φ = β เราได้พื้นที่ที่ต้องการ
ตัวอย่างที่ 41.3 ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วย "กุหลาบสามกลีบ" r=acos3φ (ดูรูปที่ 181)
วิธีแก้ปัญหา: ก่อนอื่นเรามาหาพื้นที่ครึ่งหนึ่งของกลีบกุหลาบหนึ่งกลีบนั่นคือ 1/6 ของพื้นที่ทั้งหมดของรูป:
กล่าวคือ ดังนั้น
หากรูปร่างแบนมีรูปร่าง "ซับซ้อน" รังสีที่เล็ดลอดออกมาจากขั้วโลกควรแบ่งออกเป็นส่วนโค้งซึ่งควรใช้สูตรผลลัพธ์เพื่อค้นหาพื้นที่ ดังนั้นสำหรับรูปที่ 182 เรามี:
41.3. การคำนวณความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งระนาบ
พิกัดสี่เหลี่ยม
ให้เส้นโค้งระนาบ AB กำหนดไว้ในพิกัดสี่เหลี่ยม โดยสมการคือ y=ƒ(x) โดยที่ a≤x≤ b
ความยาวของส่วนโค้ง AB เข้าใจว่าเป็นขีดจำกัดของความยาวของเส้นขาดที่จารึกไว้ในส่วนโค้งนี้มีแนวโน้มเมื่อจำนวนจุดเชื่อมต่อของเส้นขาดเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด และความยาวของจุดเชื่อมต่อที่ใหญ่ที่สุดมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ให้เราแสดงว่าถ้าฟังก์ชัน y=ƒ(x) และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y" = ƒ"(x) มีความต่อเนื่องกันในช่วง [a; b] ดังนั้นเส้นโค้ง AB จะมีความยาวเท่ากับ
ลองใช้รูปแบบ I (วิธีรวม)
1. คะแนน x 0 = a, x 1 ..., xn = b (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =
2. ความยาวของคอร์ด (หรือจุดต่อของเส้นขาด) ΔL 1 สามารถพบได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากรูปสามเหลี่ยมที่มีขา Δx i และ Δу i:
ตามทฤษฎีบทของลากรองจ์เกี่ยวกับการเพิ่มขึ้นอันจำกัดของฟังก์ชัน Δу i =ƒ"(с i) Δх i โดยที่ ci є (x i-1;x i) ดังนั้น
และความยาวของเส้นขาดทั้งหมด M 0 M 1 ... M n เท่ากับ
3.ความยาว ลเส้นโค้ง AB ตามนิยาม เท่ากับ
.
โปรดทราบว่าสำหรับ ΔL i →
0 เช่นกัน ∆x i →
0 ∆Li = 
และด้วยเหตุนี้ |Δx i |<ΔL i).
การทำงาน 
มีความต่อเนื่องในช่วงเวลา [a; b] เนื่องจากตามเงื่อนไขแล้ว ฟังก์ชัน ƒ"(x) จะต่อเนื่องกัน ด้วยเหตุนี้ ผลรวมอินทิกรัลจึงมีขีดจำกัด (41.4) เมื่อสูงสุด Δx i →
0
:
ดังนั้น, 
หรือในรูปแบบย่อ ล =
ถ้าสมการของเส้นโค้ง AB ถูกกำหนดไว้ในรูปแบบพาราเมตริก
โดยที่ x(t) และ y(t) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง และ x(a) = a, x(β) = b แล้วความยาว ลสูตรจะพบเส้นโค้ง AB
สูตร (41.5) สามารถหาได้จากสูตร (41.3) โดยการแทนที่ x = x(t),dx = x"(t)dt, 
ตัวอย่างที่ 41.4 ค้นหาเส้นรอบวงของวงกลมที่มีรัศมี R 
วิธีแก้: ลองหา 1/4 ของความยาวจากจุด (0;R) ไปยังจุด (R;0) กัน (ดูรูปที่ 184) เพราะ 
ที่
วิธี, ล= 2π R ถ้าสมการของวงกลมเขียนในรูปแบบพาราเมตริก x = Rcost, y = Rsint (0≤t≤2π ) แล้ว
การคำนวณความยาวส่วนโค้งอาจขึ้นอยู่กับการประยุกต์ใช้วิธีดิฟเฟอเรนเชียล ให้เราแสดงวิธีการหาสูตร (41.3) โดยใช้รูปแบบ II (วิธีดิฟเฟอเรนเชียล)
1. รับค่าที่กำหนดเอง x є [a; b] และพิจารณาส่วนของตัวแปร [a;x] ขนาดบนนั้น. ลกลายเป็นฟังก์ชันของ x นั่นคือ ล = ล(เอ็กซ์) ( ล(ก) = 0 และ ล(ข) = ล).
2. ค้นหาส่วนต่าง ดลฟังก์ชั่น ล = ล(x) เมื่อ x เปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อย Δх = dx: ดล = ล"(x)dx มาหากัน ล"(x) แทนที่ส่วนโค้งจิ๋ว MN ด้วยคอร์ด Δ ลโดยเกร็งส่วนโค้งนี้ (ดูรูปที่ 185):
3. เราได้รับการรวม dl ในช่วงจาก a ถึง b 
ความเท่าเทียมกัน 
เรียกว่าสูตรดิฟเฟอเรนเชียลส่วนโค้งในพิกัดสี่เหลี่ยม
เนื่องจาก y" x = -dy/dx ดังนั้น
สูตรสุดท้ายคือทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับ MST สามเหลี่ยมขนาดจิ๋ว (ดูรูปที่ 186)
พิกัดเชิงขั้ว
ปล่อยให้เส้นโค้ง AB ถูกกำหนดโดยสมการในพิกัดเชิงขั้ว r = r(φ), a≤φ≤β สมมติว่า r(φ) และ r"(φ) มีความต่อเนื่องกันในช่วงเวลา [a;β]
หากในความเท่ากัน x = rcosφ, y = rsinφ ซึ่งเชื่อมต่อพิกัดเชิงขั้วและพิกัดคาร์ทีเซียน มุม φ ถือเป็นพารามิเตอร์ ดังนั้นเส้นโค้ง AB สามารถระบุได้โดยใช้พารามิเตอร์
เราใช้สูตร (41.5) ที่เราได้รับ
ตัวอย่างที่ 41.5 ค้นหาความยาวของคาร์ดิออยด์ r = = a(1 + cosφ)
วิธีแก้: คาร์ดิออยด์ r = a(1 + cosφ) มีรูปแบบดังแสดงในรูปที่ 187 ซึ่งมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนขั้ว ลองหาความยาวครึ่งหนึ่งของคาร์ดิออยด์:
ดังนั้น 1/2l= 4a ซึ่งหมายความว่า l= 8a
41.4. การคำนวณปริมาตรของร่างกาย
การคำนวณปริมาตรของร่างกายจากพื้นที่ที่ทราบของส่วนขนาน
ปล่อยให้จำเป็นต้องค้นหาปริมาตร V ของวัตถุ และพื้นที่ S ของส่วนต่างๆ ของวัตถุนี้ด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับแกนบางแกน เช่น แกน Ox เป็นที่รู้จัก: S = S(x), a ≤ x ≤ b .
1. ผ่านจุดใดก็ได้ x є เราวาดระนาบ ∏ ตั้งฉากกับแกน Ox (ดูรูปที่ 188) ให้เราแสดงด้วย S(x) พื้นที่หน้าตัดของร่างกายด้วยระนาบนี้ S(x) ถือว่าทราบและเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องเมื่อ x เปลี่ยนแปลง ให้ v(x) แทนปริมาตรของส่วนของร่างกายที่วางอยู่ทางด้านซ้ายของระนาบ P เราถือว่าบนเซกเมนต์ [a; x] ค่า v เป็นฟังก์ชันของ x นั่นคือ v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V)
2. ค้นหาค่า dV ของฟังก์ชัน v = v(x) มันแสดงถึง "ชั้นประถมศึกษา" ของร่างกาย ซึ่งอยู่ระหว่างระนาบขนานที่ตัดกับแกน Ox ที่จุด x และ x+Δx ซึ่งสามารถมองได้เป็นทรงกระบอกโดยมีฐาน S(x) และความสูง dx ดังนั้น ส่วนต่างของปริมาตร dV = S(x) dx
3. ค้นหาค่า V ที่ต้องการโดยการรวม dA ในช่วงตั้งแต่ a ถึง B:
สูตรที่ได้เรียกว่าสูตรปริมาตรของร่างกายตามพื้นที่ส่วนขนาน
ตัวอย่างที่ 41.6 ค้นหาปริมาตรของทรงรี 
วิธีแก้ไข: ตัดทรงรีด้วยระนาบขนานกับระนาบ Oyz และอยู่ห่างจากระนาบ x (-a ≤h≤ก) เราได้วงรี (ดูรูปที่ 189):
พื้นที่ของวงรีนี้คือ 
ดังนั้นตามสูตร (41.6) เราก็จะได้
ปริมาณของร่างแห่งการปฏิวัติ
ปล่อยให้สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งหมุนรอบแกน Ox โดยมีเส้นต่อเนื่อง y = ƒ(x) 0, ส่วน a ≤ x ≤ b และเส้นตรง x = a และ x = b (ดูรูปที่ 190) ตัวเลขที่ได้จากการหมุนเรียกว่าร่างแห่งการปฏิวัติ ส่วนของร่างกายนี้โดยระนาบตั้งฉากกับแกน Ox ลากผ่านจุดใดก็ได้ x ของแกน Ox (x Î [ก; b]) จะมีวงกลมที่มีรัศมี y= ƒ(x) ดังนั้น S(x)= π คุณ 2.
เราได้รับสูตร (41.6) สำหรับปริมาตรของร่างกายตามพื้นที่ส่วนขนาน
ถ้าเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูถูกจำกัดโดยกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง x = φ(y) ≥ 0 และเส้นตรง x = 0, y = c,
y = d (ค< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен
ตัวอย่าง 41.7 ค้นหาปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนของรูปร่างที่ล้อมรอบด้วยเส้นรอบแกน Oy (ดูรูปที่ 191)
วิธีแก้ไข: การใช้สูตร (41.8) เราพบ:
41.5. การคำนวณพื้นที่ผิวของการปฏิวัติ
ให้เส้นโค้ง AB เป็นกราฟของฟังก์ชัน y = ƒ(x) ≥ 0 โดยที่ x є [a;b] และฟังก์ชัน y = ƒ(x) และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y"=ƒ"(x) มีความต่อเนื่องกัน ในส่วนนี้
ให้เราหาพื้นที่ S ของพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนเส้นโค้ง AB รอบแกน Ox
ลองใช้ Scheme II (วิธีดิฟเฟอเรนเชียล)
1. ผ่านจุดใดก็ได้ x є [a; b] วาดระนาบ ∏ ตั้งฉากกับแกน Ox ระนาบ ∏ ตัดกับพื้นผิวของการหมุนรอบวงกลมโดยมีรัศมี y = ƒ(x) (ดูรูปที่ 192) ค่า S ของพื้นผิวของส่วนของรูปการปฏิวัติที่อยู่ทางด้านซ้ายของระนาบนั้นเป็นฟังก์ชันของ x นั่นคือ s=s(x) (s(a)=0 และ s(b)=S)
2. ลองให้อาร์กิวเมนต์ x เพิ่มขึ้น Δх = dx ผ่านจุด x + dx є [a; b] เรายังวาดระนาบตั้งฉากกับแกน Ox ด้วย ฟังก์ชัน s=s(x) จะได้รับ Az ที่เพิ่มขึ้น ซึ่งแสดงในรูปเป็น "เข็มขัด"
ให้เราค้นหาส่วนต่างของพื้นที่ ds โดยการแทนที่ตัวเลขที่เกิดขึ้นระหว่างส่วนต่างๆ ด้วยกรวยที่ถูกตัดทอน ซึ่ง generatrix มีค่าเท่ากับ ดลและรัศมีของฐานเท่ากับ y และ y + dy พื้นที่ผิวด้านข้างคือ ds= π (ป+ย+ ดี้) ดล=2π ที่ ดล + π ดีดีแอล- π ที่ ดลเมื่อปฏิเสธผลคูณ dydl ว่ามีลำดับที่สูงกว่า ds เราจะได้ ds=2
หรือตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
3. เราได้รับความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นในช่วงตั้งแต่ x = a ถึง x = b
หากเส้นโค้ง AB ถูกกำหนดโดยสมการพาราเมตริก x = x(t),y=y(t), t 1 ≤ t ≤ t 2 ดังนั้นสูตร (41.9) สำหรับพื้นที่ของพื้นผิวการหมุนจะอยู่ในรูปแบบ
ตัวอย่างที่ 41.8 ค้นหาพื้นที่ผิวของลูกบอลรัศมี R
ตัวอย่างที่ 41.9 ให้ไซโคลิด
หาพื้นที่ผิวที่เกิดจากการหมุนรอบแกนวัว
วิธีแก้ปัญหา: เมื่อครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งไซโคลิดหมุนรอบแกนวัว พื้นที่ผิวของการหมุนจะเท่ากับ
41.6. การประยุกต์ทางกลของอินทิกรัลจำกัดเขต
การทำงานของแรงแปรผัน< b), находится по формуле (см. п. 36).
ปล่อยให้จุดวัสดุ M เคลื่อนที่ไปตามแกน Ox ภายใต้การกระทำของแรงแปรผัน F = F(x) ซึ่งขนานไปกับแกนนี้ งานที่ทำโดยแรงเมื่อเคลื่อนที่จุด M จากตำแหน่ง x = a ไปยังตำแหน่ง x = b (a
ตัวอย่างที่ 41.10 จะต้องทำงานหนักแค่ไหนในการยืดสปริงออกไป 0.05 ม. ถ้าแรง 100 นิวตันยืดสปริงออกไป 0.01 ม.
วิธีแก้: ตามกฎของฮุค แรงยืดหยุ่นที่ยืดสปริงจะเป็นสัดส่วนกับการยืด x นั่นคือ F = kx โดยที่ k คือสัมประสิทธิ์ของสัดส่วน ตามเงื่อนไขของปัญหา แรง F = 100 N จะยืดสปริงออก x = 0.01 m; ดังนั้น 100 = k*0.01 ดังนั้น k = 10,000; ดังนั้น F = 10,000x
งานที่ต้องการตามสูตร (41.10) เท่ากับ
ตัวอย่าง 41.11. ค้นหางานที่จำเป็นในการสูบของเหลวเหนือขอบจากถังทรงกระบอกแนวตั้งที่มีความสูง N m และรัศมีฐาน R m
วิธีแก้: งานที่ใช้ในการยกน้ำหนัก p ถึงความสูง h เท่ากับ pH แต่ชั้นของเหลวที่แตกต่างกันในอ่างเก็บน้ำจะมีความลึกต่างกันและความสูงของการเพิ่มขึ้น (ถึงขอบอ่างเก็บน้ำ) ของชั้นต่างๆ ก็ไม่เท่ากัน
เพื่อแก้ปัญหา เราใช้ Scheme II (วิธีดิฟเฟอเรนเชียล) ขอแนะนำระบบพิกัดดังแสดงในรูปที่ 193< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).
2. เราพบส่วนหลักของการเพิ่มขึ้น ΔA เมื่อ x เปลี่ยนตามจำนวน Δx = dx นั่นคือ เราพบค่า dA ของฟังก์ชัน A(x)
เนื่องจาก dx มีขนาดเล็ก เราจึงถือว่าชั้นของเหลว "พื้นฐาน" อยู่ที่ความลึก x เท่ากัน (จากขอบอ่างเก็บน้ำ) (ดูรูปที่ 193) จากนั้น dA = dp*x โดยที่ dp คือน้ำหนักของเลเยอร์นี้ มันเท่ากับ g *g dv โดยที่ g คือความเร่งของแรงโน้มถ่วง g คือความหนาแน่นของของเหลว dv คือปริมาตรของชั้นของเหลว "พื้นฐาน" (มันถูกเน้นในรูป) เช่น dp = gg ดีวี ปริมาตรของชั้นของเหลวที่ระบุมีค่าเท่ากับอย่างเห็นได้ชัด π R 2 dx โดยที่ dx คือความสูงของกระบอกสูบ (ชั้น) π R 2 คือพื้นที่ฐานเช่น dv= π อาร์ 2 ดีเอ็กซ์
ดังนั้น dp=gg π R 2 dx และ dA = gg π ร 2 dx*x
3) เราพบการรวมผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันในช่วงตั้งแต่ x = 0 ถึง x = H
เส้นทางที่ร่างกายเดินทาง
ปล่อยให้จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วแปรผัน v=v(t) ลองหาเส้นทาง S ที่มันเดินทางในช่วงเวลาตั้งแต่ t 1 ถึง t 2
วิธีแก้: จากความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ เป็นที่ทราบกันว่าเมื่อจุดเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียว “ความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงเท่ากับอนุพันธ์ของเวลาของเส้นทาง” กล่าวคือ จะได้ว่า dS = v(t)dt เราได้รับการรวมผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันในช่วงตั้งแต่ t 1 ถึง t 2 
โปรดทราบว่าสามารถรับสูตรเดียวกันนี้ได้โดยใช้โครงร่าง I หรือ II ในการใช้อินทิกรัลจำกัดเขต
ตัวอย่างที่ 41.12 หาเส้นทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไปใน 4 วินาทีนับจากเริ่มเคลื่อนที่ ถ้าความเร็วของวัตถุคือ v(t) = 10t + 2 (m/s)
วิธีแก้: ถ้า v(t)=10t+2 (m/s) แล้วเส้นทางที่วัตถุเคลื่อนที่ตั้งแต่เริ่มต้นการเคลื่อนที่ (t=0) จนถึงจุดสิ้นสุดของวินาทีที่ 4 จะเท่ากับ
แรงดันของของไหลบนแผ่นแนวตั้ง
ตามกฎของปาสคาล ความดันของของเหลวบนแผ่นแนวนอนเท่ากับน้ำหนักของคอลัมน์ของของเหลวนี้ซึ่งมีแผ่นเป็นฐาน และความสูงของมันคือความลึกของการแช่จากพื้นผิวอิสระของของเหลว เช่น P = g*g* S* h โดยที่ g คือความเร่งของแรงโน้มถ่วง g คือความหนาแน่นของของเหลว S คือพื้นที่ของแผ่น h คือความลึกของการแช่
เมื่อใช้สูตรนี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะมองหาแรงดันของของไหลบนแผ่นที่จุ่มในแนวตั้ง เนื่องจากจุดต่างๆ ของมันอยู่ที่ความลึกต่างกัน
ปล่อยให้จานจุ่มในแนวตั้งในของเหลว โดยมีเส้นขีด x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) และ y 2 = ƒ 2 (x); เลือกระบบพิกัดตามที่ระบุในรูปที่ 194 ในการค้นหาความดันของเหลว P บนจานนี้ เราใช้โครงร่าง II (วิธีดิฟเฟอเรนเชียล)
1. ให้ส่วนหนึ่งของค่าที่ต้องการ P เป็นฟังก์ชันของ x: p=p(x) เช่น p=p(x) คือแรงกดบนส่วนของแผ่นที่สอดคล้องกับส่วน [a; x] ค่าของตัวแปร x โดยที่ x є [a; ข] (พี(ก)=0,พี(ข) = ป).
2. ลองให้อาร์กิวเมนต์ x เพิ่มขึ้น Δх = dx ฟังก์ชัน p(x) จะได้รับการเพิ่มขึ้น Δр (ในรูปคือชั้นแถบที่มีความหนา dx) ลองหาดิฟเฟอเรนเชียล dp ของฟังก์ชันนี้กัน เนื่องจาก dx มีขนาดเล็ก เราจะถือว่าแถบนี้เป็นสี่เหลี่ยมโดยประมาณ โดยทุกจุดมีความลึกเท่ากัน x กล่าวคือ แผ่นนี้อยู่ในแนวนอน
แล้วตามกฎของปาสคาล 
3. เราได้รับความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นในช่วงจาก x = a ถึง x = B
ตัวอย่างที่ 41.13 หาปริมาณแรงดันน้ำบนครึ่งวงกลมที่จุ่มลงในของเหลวในแนวตั้ง หากรัศมีของมันคือ R และศูนย์กลาง O อยู่บนผิวน้ำที่ว่าง (ดูรูปที่ 195)
โมเมนต์คงที่ S y ของระบบนี้สัมพันธ์กับแกนถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน 
หากมวลมีการกระจายอย่างต่อเนื่องไปตามเส้นโค้งใดเส้นโค้งหนึ่ง ก็จำเป็นต้องมีการอินทิเกรตเพื่อแสดงโมเมนต์คงที่
ให้ y = ƒ(x) (a≤ x≤ b) เป็นสมการของเส้นโค้งวัสดุ AB เราจะพิจารณาว่าเป็นเนื้อเดียวกันโดยมีความหนาแน่นเชิงเส้นคงที่ g (g = const)
สำหรับ x є [a; b] บนเส้นโค้ง AB มีจุดที่มีพิกัด (x;y) ให้เราเลือกส่วนเบื้องต้นที่มีความยาว dl บนเส้นโค้งที่มีจุด (x;y) จากนั้นมวลของส่วนนี้จะเท่ากับ g dl ขอให้เราใช้ส่วนนี้ dl ประมาณเป็นจุดที่อยู่ห่างจากแกน Ox จากนั้นส่วนต่างของโมเมนต์คงที่ dS x (“ โมเมนต์พื้นฐาน”) จะเท่ากับ g dly เช่น dS x = g dlу (ดูรูปที่ 196)
ตามมาว่าโมเมนต์คงที่ S x ของเส้นโค้ง AB ที่สัมพันธ์กับแกน Ox เท่ากับ
ในทำนองเดียวกันเราพบ S y:
โมเมนต์คงที่ S x และ S y ของเส้นโค้งทำให้ง่ายต่อการกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง (จุดศูนย์กลางมวล)
จุดศูนย์ถ่วงของเส้นโค้งระนาบวัสดุ y = ƒ(x), x Î เป็นจุดบนระนาบที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ถ้ามวล m ทั้งหมดของเส้นโค้งที่กำหนดมีความเข้มข้นที่จุดนี้ แล้วโมเมนต์คงที่ของ จุดนี้สัมพันธ์กับแกนพิกัดใดๆ จะเท่ากับโมเมนต์คงที่ของเส้นโค้งทั้งหมด y = ƒ (x) สัมพันธ์กับแกนเดียวกัน ให้เราแสดงด้วย C(x c;y c) จุดศูนย์ถ่วงของเส้นโค้ง AB
จากคำจำกัดความของจุดศูนย์ถ่วงจะมีความเท่าเทียมกันตามมา 
จากที่นี่
การคำนวณโมเมนต์คงที่และพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของรูปร่างเครื่องบิน
ให้กำหนดรูปร่างแบนของวัสดุ (แผ่น) โดยมีเส้นโค้ง y = ƒ(x) 0 และเส้นตรง y = 0, x = a, x = b (ดูรูปที่ 198)
เราจะถือว่าความหนาแน่นพื้นผิวของแผ่นคงที่ (g = const) จากนั้นมวลของแผ่นทั้งหมดจะเท่ากับ g * S เช่น 
ให้เราเลือกส่วนพื้นฐานของแผ่นในรูปแบบของแถบแนวตั้งที่แคบไม่สิ้นสุดและพิจารณาว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยประมาณ
แล้วมวลของมันเท่ากับ g ydx จุดศูนย์ถ่วง C ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จุด C นี้อยู่ห่างจากแกน Ox 1/2*y และ x จากแกน Oy (โดยประมาณ หรือแม่นยำกว่านั้น ที่ระยะห่าง x+ 1/2 ∆x) จากนั้นสำหรับโมเมนต์คงที่เบื้องต้นที่สัมพันธ์กับแกน Ox และ Oy จะเป็นไปตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้:
ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงจึงมีพิกัด
1. พื้นที่ของรูปทรงแบน
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบ ฉ(x), แกน x และเส้นตรง x = ก, x = ขถูกกำหนดให้เป็น S = ∫ a b f x d x
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง
พื้นที่ของรูปที่ถูกล้อมรอบด้วยฟังก์ชัน ฉ(x)ตัดแกน abscissa ถูกกำหนดโดยสูตร S = ∑ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - ∑ i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x ฉัน– ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในการคำนวณพื้นที่ของรูปนี้ คุณต้องแบ่งส่วนออก ฟังก์ชันศูนย์ ฉ(x)เป็นส่วนๆ รวมฟังก์ชันเข้าด้วยกัน ฉสำหรับแต่ละช่วงผลลัพธ์ของเครื่องหมายคงที่ ให้บวกอินทิกรัลแยกกันบนส่วนที่ฟังก์ชันนั้นอยู่ ฉใช้เครื่องหมายต่างกัน แล้วลบเครื่องหมายที่สองจากเครื่องหมายแรก
2. พื้นที่ภาคส่วนโค้ง
พื้นที่ของเซกเตอร์โค้ง พิจารณาเส้นโค้ง ρ = ρ (φ) ในระบบพิกัดเชิงขั้วโดยที่ ρ (φ) – เปิดต่อเนื่องและไม่ติดลบ [α; β] การทำงาน. รูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง ρ (φ) และรังสี φ = α , φ = β เรียกว่าเซกเตอร์ส่วนโค้ง พื้นที่ของส่วนโค้งคือ S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ .
3. ปริมาตรของตัวการหมุน
ปริมาณของร่างแห่งการปฏิวัติ
ปล่อยให้ร่างกายเกิดขึ้นโดยการหมุนรอบแกน OX ของรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นต่อเนื่องบนส่วนนั้น การทำงาน ฉ(x)- ปริมาตรแสดงโดยสูตร V = π ∫ a b f 2 x d x
ถึงปัญหาการหาปริมาตรของวัตถุจากพื้นที่หน้าตัด ปล่อยให้ร่างกายถูกปิดอยู่ระหว่างระนาบ x = กและ x = ขและพื้นที่หน้าตัดโดยระนาบที่ผ่านจุดนั้น x, – ต่อเนื่องในส่วนนั้น การทำงาน ซิ(x)- จากนั้นปริมาตรจะเท่ากับ V = ∫ a b σ x d x .
4. ความยาวของส่วนโค้ง
ปล่อยให้เส้นโค้ง r → t = x t , y t , z t ได้รับการจำกัดด้วยค่าต่างๆ เสื้อ = แอลฟาและ เสื้อ = βแสดงได้ด้วยสูตร S = ∫ α β x ′ t 2 + y ′ t 2 + z ′ t 2 dt
ความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งระนาบ โดยเฉพาะความยาวของเส้นโค้งระนาบที่กำหนดบนระนาบพิกัด อ็อกซี่สมการ ย = ฉ(x), ก ≤ x ≤ ขแสดงได้ด้วยสูตร S = ∫ a b 1 + f ′ x 2 dx
5. พื้นที่ผิวของการหมุน
พื้นที่ผิวของการปฏิวัติ ให้กำหนดพื้นผิวโดยการหมุนสัมพันธ์กับแกน OX ของกราฟของฟังก์ชัน ย = ฉ(x), ก ≤ x ≤ ขและฟังก์ชัน ฉมีอนุพันธ์ต่อเนื่องในช่วงนี้ จากนั้นพื้นที่ของพื้นผิวการปฏิวัติถูกกำหนดโดยสูตร Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f ′ x 2 d x .
การบรรยายครั้งที่ 21 การประยุกต์อินทิกรัลจำกัดเขต (2 ชั่วโมง)
การประยุกต์ทางเรขาคณิต
ก) พื้นที่ของรูป
ดังที่กล่าวไว้แล้วในการบรรยายครั้งที่ 19 มีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง ที่ = ฉ(x), ตรง เอ็กซ์ = ก, เอ็กซ์ = ขและส่วน [ ก, ข] แกน OX นอกจากนี้หาก ฉ(x) 0 ปอนด์ บน [ ก, ข] ดังนั้นอินทิกรัลควรมีเครื่องหมายลบ
ถ้าในช่วงเวลาที่กำหนดฟังก์ชัน ที่ = ฉ(x) เปลี่ยนเครื่องหมาย จากนั้นในการคำนวณพื้นที่ของรูปที่อยู่ระหว่างกราฟของฟังก์ชันนี้กับแกน OX คุณควรแบ่งส่วนออกเป็นส่วนๆ โดยแต่ละฟังก์ชันจะมีเครื่องหมายอยู่ และค้นหาพื้นที่ของ แต่ละส่วนของรูป พื้นที่ที่ต้องการในกรณีนี้คือผลรวมเชิงพีชคณิตของปริพันธ์เหนือส่วนเหล่านี้ และปริพันธ์ที่สอดคล้องกับค่าลบของฟังก์ชันจะถูกนำมารวมด้วยเครื่องหมายลบ
ถ้ารูปหนึ่งมีเส้นโค้งสองเส้นล้อมรอบ ที่ = ฉ 1 (x) และ ที่ = ฉ 2 (x), ฉ 1 (x)£ ฉ 2 (x) ดังนั้นจากรูปที่ 9 พื้นที่ของมันจะเท่ากับความแตกต่างในพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง กดวงอาทิตย์ ขและ กค.ศ ขซึ่งแต่ละค่ามีตัวเลขเท่ากับอินทิกรัล วิธี,
 |
โปรดทราบว่าพื้นที่ของรูปที่แสดงในรูปที่ 10a นั้นพบได้โดยใช้สูตรเดียวกัน: S = 
(พิสูจน์สิ!). ลองคิดดูว่าจะคำนวณพื้นที่ของรูปที่แสดงในรูปที่ 10b ได้อย่างไร?
เรากำลังพูดถึงเฉพาะรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่อยู่ติดกับแกน OX แต่สูตรที่คล้ายกันก็ใช้ได้กับตัวเลขที่อยู่ติดกับแกน OU เช่นกัน เช่น พื้นที่ของรูปที่ 11 หาได้จากสูตร
ให้เส้น ย=ฉ(x) ขอบเขตสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งสามารถกำหนดได้จากสมการพาราเมตริก ทีО และ j(a)= ก, เจ(ข) = ข, เช่น. ที่- จากนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งนี้จะเท่ากับ
.
ข) ความยาวส่วนโค้ง
ปล่อยให้เส้นโค้งได้รับ ที่ = ฉ(x- ให้เราพิจารณาส่วนโค้งของเส้นโค้งนี้ที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลง เอ็กซ์บนส่วน [ ก, ข- ลองหาความยาวของส่วนโค้งนี้กัน ในการทำเช่นนี้ เราแบ่งส่วนโค้ง AB ออกเป็น ปส่วนตามจุด A = M 0, M 1, M 2, ..., M ป= B (รูปที่ 14) ตรงกับจุด เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , ..., เอ็กซ์เอ็น Î [ ก, ข].
 |
ให้เราแสดง D ฉันความยาวส่วนโค้งแล้ว ล- ถ้าส่วนโค้งยาว D ฉันมีขนาดเล็กพอที่จะพิจารณาได้ว่าเท่ากับความยาวของส่วนที่เกี่ยวข้องซึ่งเชื่อมต่อจุด M โดยประมาณ ฉัน-1,ม ฉัน- จุดเหล่านี้มีพิกัด M ฉัน -1 (x ฉัน -1, ฉ (x ฉัน-1)), ม ฉัน(x ฉัน, ฉ(x ฉัน- จากนั้นความยาวของเซ็กเมนต์จะเท่ากันตามลำดับ
ที่นี่ใช้สูตรของลากรองจ์ เอาล่ะใส่ x ฉัน – x ฉัน-1 =ง x ฉัน, เราได้รับ
แล้ว ล = 
, ที่ไหน
ล = 
.
ดังนั้นความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้ง ที่ = ฉ(x) สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลง เอ็กซ์บนส่วน [ ก, ข] พบได้จากสูตร
ล = 
, (1)
หากมีการระบุเส้นโค้งแบบพาราเมตริก ทีอ๋อ คือ ย(ที) = ฉ(x(ที)) จากสูตร (1) เราได้:
ล= 
.
ซึ่งหมายความว่าหากกำหนดเส้นโค้งโดยใช้พารามิเตอร์ ความยาวของส่วนโค้งของเส้นโค้งนี้จะสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลง ทีО พบได้จากสูตร
วี) ปริมาณของร่างแห่งการปฏิวัติ
|
พิจารณารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง กเอบี ข, ล้อมรอบด้วยเส้น ที่ = ฉ(x), ตรง เอ็กซ์ = ก, เอ็กซ์ = ขและส่วน [ ก,ข] แกน OX (รูปที่ 15) ปล่อยให้สี่เหลี่ยมคางหมูนี้หมุนรอบแกน OX ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวของการหมุน พิสูจน์ได้ว่าปริมาตรของร่างกายนี้จะเท่ากับ 
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถหาสูตรสำหรับปริมาตรของวัตถุที่ได้จากการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งรอบแกน OU ซึ่งจำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชัน เอ็กซ์= เจ( ที่), ตรง ย = ค , ย = งและส่วน [ ค,ง] แกนของ op-amp (รูปที่ 15):
การประยุกต์ทางกายภาพของอินทิกรัลจำกัดเขต
ในการบรรยายที่ 19 เราได้พิสูจน์ว่าจากมุมมองทางกายภาพ อินทิกรัลมีค่าเท่ากับมวลของแท่งที่มีความยาวไม่เท่ากันและเป็นเส้นตรงบางๆ ล= ข – กโดยมีความหนาแน่นเชิงเส้นแปรผัน r = ฉ(x), ฉ(x) ³ 0 โดยที่ เอ็กซ์– ระยะห่างจากปลายคันเบ็ดถึงปลายด้านซ้าย
ลองพิจารณาการประยุกต์ใช้ทางกายภาพอื่นๆ ของอินทิกรัลจำกัดเขต
ปัญหาที่ 1. ค้นหางานที่ต้องใช้ในการสูบน้ำมันจากถังทรงกระบอกแนวตั้งที่มีความสูง H และรัศมีฐาน R ความหนาแน่นของน้ำมันคือ r
สารละลาย.เรามาสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหานี้กัน ปล่อยให้แกน OX ผ่านไปตามแกนสมมาตรของทรงกระบอกสูง H และรัศมี R โดยจุดกำเนิดอยู่ที่ศูนย์กลางของฐานด้านบนของทรงกระบอก (รูปที่ 17) เรามาแยกกระบอกสูบออกเป็น ปชิ้นส่วนแนวนอนขนาดเล็ก แล้วที่ ฉัน– งานปั้ม ฉันชั้นที่ การแบ่งส่วนของทรงกระบอกนี้สอดคล้องกับการแบ่งส่วนของการเปลี่ยนแปลงความสูงของชั้นเป็น ปชิ้นส่วน ลองพิจารณาหนึ่งในเลเยอร์เหล่านี้ซึ่งอยู่ห่างจากกัน x ฉันจากพื้นผิว กว้าง D เอ็กซ์(หรือทันที. ดีเอ็กซ์- การปั๊มชั้นนี้ออกมาถือได้ว่าเป็น "การยก" ชั้นให้สูงขึ้น x ฉัน.
แล้วงานปั๊มออกชั้นนี้ก็เท่ากับ
ฉัน“ร ฉัน x ฉัน, 
,
ที่ไหน ป ฉัน=rgV ฉัน= อาร์จีพีอาร์ 2 ดีเอ็กซ์, อาร์ ฉัน– น้ำหนัก, วี ฉัน– ปริมาตรของชั้น แล้ว ฉันร ฉัน x ฉัน= อาร์จีพีอาร์ 2 dx.x ฉัน, ที่ไหน
, และดังนั้นจึง 
.
ปัญหาที่ 2. ค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อย
ก) ทรงกระบอกผนังบางกลวงสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านแกนสมมาตร
b) ทรงกระบอกทึบสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านแกนสมมาตร
c) แท่งยาวบาง ลสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านตรงกลาง
d) ความยาวก้านบาง ลสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านปลายด้านซ้าย
สารละลาย.ดังที่ทราบกันดีว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของจุดที่สัมพันธ์กับแกนนั้นมีค่าเท่ากับ เจ=นาย 2 และระบบคะแนน
ก) กระบอกสูบมีผนังบาง ซึ่งหมายความว่าความหนาของผนังสามารถละเลยได้ ให้รัศมีของฐานของทรงกระบอกเป็น R ความสูง H และความหนาแน่นของมวลบนผนังเท่ากับ r
เรามาแยกกระบอกสูบออกเป็น ปอะไหล่และหาที่ไหน จิ- โมเมนต์ความเฉื่อย ฉันองค์ประกอบที่หนึ่งของพาร์ติชัน
ลองพิจารณาดู ฉันองค์ประกอบที่หนึ่งของพาร์ติชั่น (ทรงกระบอกเล็ก) จุดทั้งหมดอยู่ที่ระยะ R จากแกน ล- ให้มวลของทรงกระบอกนี้ Ti, แล้ว Ti= อาร์วี ฉัน» RS ด้านข้าง= 2prR ดีเอ็กซ์ ฉัน, ที่ไหน x ฉันโอ แล้ว จิ» อาร์ 2 พีอาร์ ดีเอ็กซ์ ฉัน, ที่ไหน
.
ถ้า r เป็นค่าคงที่ แล้ว เจ= 2prR 3 N และเนื่องจากมวลของกระบอกสูบเท่ากับ M = 2prRН ดังนั้น เจ=ม.ร.2.
b) ถ้ากระบอกสูบแข็ง (เต็ม) เราก็จะแบ่งเป็น ปโวลกระบอกสูบบาง ๆ เชื่อมต่อกันภายในอีกอันหนึ่ง ถ้า ปมีขนาดใหญ่แต่ละกระบอกสูบถือได้ว่าเป็นผนังบาง พาร์ติชั่นนี้สอดคล้องกับพาร์ติชั่นของเซ็กเมนต์ ปชิ้นส่วนที่มีจุด R ฉัน- มาหามวลกันดีกว่า ฉันกระบอกสูบผนังบาง: Ti= อาร์วี ฉัน, ที่ไหน
วี ฉัน= พีอาร์ ฉัน 2 ชม. – พีอาร์ ฉัน- 1 2 H = pH(อาร์ ฉัน 2 –ร ฉัน -1 2) =
พีเอช(ร ฉัน–ร ฉัน-1)(ร ฉัน+อาร์ ฉัน -1).
เนื่องจากผนังทรงกระบอกบาง เราจึงสรุปได้ว่า R ฉัน+อาร์ ฉัน-1 » 2อาร์ ฉันและร ฉัน–ร ฉัน-1 = ดร ฉันแล้ววี ฉัน» pH2R ฉันดร. ฉัน, ที่ไหน Ti» rpN×2R ฉันดร. ฉัน,
แล้วในที่สุด 
c) พิจารณาท่อนไม้ที่มีความยาว ลซึ่งมีความหนาแน่นของมวลเท่ากับ r ปล่อยให้แกนหมุนผ่านไปตรงกลาง
เราจำลองแกนเป็นส่วนของแกน OX จากนั้นแกนการหมุนของแกนคือแกน OU ลองพิจารณาเซกเมนต์เบื้องต้น มวล ระยะทางถึงแกนนั้นถือว่าเท่ากันโดยประมาณ ร ฉัน= x ฉัน- จากนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนนี้เท่ากับ โดยที่โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งทั้งหมดเท่ากับ 
- เมื่อพิจารณาว่ามวลของไม้เรียวเท่ากับ แล้ว
d) ปล่อยให้แกนหมุนผ่านปลายด้านซ้ายของแกนเช่น แบบจำลองของแกนเป็นส่วนหนึ่งของแกน OX แล้วในทำนองเดียวกัน ร ฉัน= x ฉัน, , ที่ไหน 
และตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
ภารกิจที่ 3ค้นหาแรงกดของของเหลวที่มีความหนาแน่น r บนสามเหลี่ยมมุมฉากกับขา กและ ขโดยแช่ในของเหลวในแนวตั้งเพื่อให้ขา กอยู่บนพื้นผิวของของเหลว
สารละลาย.
มาสร้างแบบจำลองของปัญหากันเถอะ ให้จุดยอดของมุมขวาของรูปสามเหลี่ยมอยู่ที่จุดกำเนิดคือขา กเกิดขึ้นพร้อมกับส่วนของแกน OU (แกน OU กำหนดพื้นผิวของของเหลว) แกน OX ชี้ลงขา ขตรงกับส่วนของแกนนี้ ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้มีสมการ หรือ
เป็นที่รู้กันว่าหากอยู่บนพื้นที่แนวนอน สซึ่งแช่อยู่ในของเหลวที่มีความหนาแน่น r และถูกกดด้วยคอลัมน์ที่มีความสูง ชม.แล้วแรงกดจะเท่ากัน (กฎปาสคาล) มาใช้กฎหมายนี้กัน
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน y=ฉ(x),ซ้ายและขวา-ตรง x=กและ x=ขดังนั้นจากด้านล่าง - แกน วัวคำนวณโดยสูตร
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันทางด้านขวา x=φ(ย)ด้านบนและด้านล่าง - ตรง ย=งและ ย=คดังนั้นทางด้านซ้าย - แกน เฮ้ย:
พื้นที่ของรูปทรงโค้งที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน ปี 2 =ฉ 2 (x)ด้านล่าง - กราฟฟังก์ชัน ปี 1 =ฉ 1 (x),ซ้ายและขวา-ตรง x=กและ x=ข:
พื้นที่ของรูปทรงโค้งที่ล้อมรอบด้านซ้ายและขวาด้วยกราฟของฟังก์ชัน x 1 =φ 1 (ย)และ x 2 =φ 2 (ย)ด้านบนและด้านล่าง - ตรง ย=งและ ย=คตามลำดับ:
ให้เราพิจารณากรณีที่เส้นที่จำกัดเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูจากด้านบนถูกกำหนดโดยสมการพาราเมตริก x = φ 1 (เสื้อ), y = φ 2 (t), ที่ไหน α ≤ เสื้อ ≤ β, φ 1 (α)=ก, φ 1 (β)=ข- สมการเหล่านี้กำหนดฟังก์ชันบางอย่าง y=ฉ(x)บนส่วน [ ก, ข- พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคำนวณโดยสูตร
มาดูตัวแปรใหม่กันดีกว่า x = φ 1 (เสื้อ), แล้ว dx = φ" 1 (t) dt, ก y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t)ดังนั้น \begin(displaymath)
พื้นที่ในพิกัดเชิงขั้ว
พิจารณาเซกเตอร์เส้นโค้ง โอเอบีล้อมรอบด้วยเส้นที่กำหนดโดยสมการ ρ=ρ(φ) ในพิกัดเชิงขั้วจะมีรังสีสองเส้น โอเอและ โอ.บี., ซึ่ง φ=α , φ=β .
เราจะแบ่งภาคออกเป็นภาคเบื้องต้น โอม เค-1เอ็ม เค ( k=1, …, น, ม 0 =ก, ม น =บี- ให้เราแสดงโดย Δφkมุมระหว่างรังสี โอม เค-1และ โอม เคทำให้เกิดมุมกับแกนขั้วโลก φ เค-1และ φ เคตามลำดับ ภาคประถมศึกษาแต่ละภาค โอม เค-1 เอ็มเคแทนที่ด้วยเซกเตอร์วงกลมที่มีรัศมี ρ เค =ρ(φ" k), ที่ไหน φ"เค- ค่ามุม φ
จากช่วงเวลา [ φ เค-1 , φ เค] และมุมที่อยู่ตรงกลาง Δφk- พื้นที่ของเซกเตอร์สุดท้ายแสดงด้วยสูตร 
.
เป็นการแสดงออกถึงพื้นที่ของเซกเตอร์ "ขั้นบันได" ที่แทนที่เซกเตอร์ที่กำหนดโดยประมาณ โอเอบี.
พื้นที่ภาค โอเอบีเรียกว่าขีดจำกัดของพื้นที่ภาค “ก้าว” ที่ n → ∞และ แลมบ์=สูงสุด Δφ k → 0:
เพราะ 
, ที่
ความยาวส่วนโค้ง
ให้ในส่วน [ ก, ข] จะได้ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ y=ฉ(x)กราฟซึ่งเป็นส่วนโค้ง ส่วนของเส้น [ ก,ข] เรามาแบ่งออกเป็น nส่วนที่มีจุด x1, x2, …, เอ็กซ์เอ็น-1- จุดเหล่านี้จะสอดคล้องกับจุด ม.1, ม.2, …, Mn-1ส่วนโค้ง เราเชื่อมมันเข้ากับเส้นขาด ซึ่งเรียกว่าเส้นขาดที่จารึกไว้ในส่วนโค้ง เส้นรอบวงของเส้นประนี้จะแสดงด้วย ส, นั่นคือ
คำนิยาม- ความยาวของส่วนโค้งของเส้นคือขีดจำกัดของเส้นรอบวงของเส้นขาดที่จารึกไว้เมื่อจำนวนลิงก์ เอ็ม เค-1 เอ็ม เคเพิ่มขึ้นไม่จำกัด และความยาวของอันที่ใหญ่ที่สุดมีแนวโน้มเป็นศูนย์:
โดยที่ lah คือความยาวของลิงค์ที่ใหญ่ที่สุด
เราจะนับความยาวของส่วนโค้งจากจุดใดจุดหนึ่ง เช่น ก- ให้ตรงจุด ม(x,ย)ความยาวส่วนโค้งคือ สและตรงจุด ม"(x+Δ x,y+Δy)ความยาวส่วนโค้งคือ ส+Δสโดยที่ i>Δs คือความยาวของส่วนโค้ง จากรูปสามเหลี่ยม เอ็มเอ็นเอ็ม"ค้นหาความยาวของคอร์ด: .
จากการพิจารณาทางเรขาคณิตจึงเป็นไปตามนั้น
นั่นคือ ส่วนโค้งเล็ก ๆ ของเส้นและคอร์ดที่ซับมันนั้นเทียบเท่ากัน
ให้เราแปลงสูตรที่แสดงความยาวของคอร์ด:
เมื่อผ่านไปถึงขีดจำกัดของความเท่าเทียมกันนี้ เราจะได้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ส=ส(x):
จากที่เราพบ
สูตรนี้เป็นการแสดงออกถึงส่วนต่างของส่วนโค้งของเส้นโค้งระนาบและมีความเรียบง่าย ความหมายทางเรขาคณิต: เป็นการแสดงออกถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมขนาดจิ๋ว เอ็มทีเอ็น (ดีเอส=มอนแทนา, ).
ส่วนต่างของส่วนโค้งของเส้นโค้งเชิงพื้นที่ถูกกำหนดโดยสูตร
พิจารณาส่วนโค้งของเส้นเชิงพื้นที่ที่กำหนดโดยสมการพาราเมตริก
ที่ไหน α ≤ เสื้อ ≤ β, φi(t) (ผม=1, 2, 3) - ฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ ที, ที่
บูรณาการความเท่าเทียมกันนี้ในช่วงเวลา [ α, β ] เราได้สูตรคำนวณความยาวของส่วนโค้งของเส้นนี้
หากสายอยู่ในเครื่องบิน อ็อกซี่, ที่ ซ=0ต่อหน้าทุกคน t∈[α, β]นั่นเป็นเหตุผล
ในกรณีที่กำหนดให้เป็นเส้นแบนตามสมการ y=ฉ(x) (ก≤x≤b), ที่ไหน ฉ(x)เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ สูตรสุดท้ายอยู่ในรูปแบบ
ให้เส้นระนาบถูกกำหนดโดยสมการ ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) ในพิกัดเชิงขั้ว ในกรณีนี้ เรามีสมการพาราเมตริกของเส้นตรง x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) บาป φโดยที่มุมเชิงขั้วถูกใช้เป็นพารามิเตอร์ φ - เพราะว่า
แล้วสูตรแสดงความยาวของส่วนโค้งของเส้น ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) ในพิกัดเชิงขั้วมีรูปแบบ
ปริมาณร่างกาย
ลองหาปริมาตรของร่างกายถ้าทราบพื้นที่ของหน้าตัดใด ๆ ของร่างกายนี้ตั้งฉากกับทิศทางที่แน่นอน
ให้เราแบ่งร่างกายนี้ออกเป็นชั้นพื้นฐานด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับแกน วัวและกำหนดโดยสมการ x=ค่าคงที่- สำหรับการแก้ไขใดๆ x∈พื้นที่ที่รู้จัก ส=ส(x)ภาพตัดขวางของร่างกายที่กำหนด
ชั้นประถมศึกษาถูกตัดออกโดยเครื่องบิน x=x k-1, x=x เค (k=1, …, น, x 0 =ก, xn =ข) แทนที่ด้วยกระบอกสูบที่มีความสูง ∆x k =x k -x k-1และพื้นที่ฐาน เอส(ξ k), ξ เค ∈.
ปริมาตรของกระบอกสูบเบื้องต้นที่ระบุจะแสดงโดยสูตร Δv k =E(ξ k)Δx k- ลองสรุปผลิตภัณฑ์ดังกล่าวทั้งหมด
ซึ่งเป็นผลรวมอินทิกรัลของฟังก์ชันที่กำหนด ส=ส(x)บนส่วน [ ก, ข- มันแสดงปริมาตรของตัวถังขั้นบันไดที่ประกอบด้วยกระบอกสูบพื้นฐานและแทนที่ตัวถังนี้โดยประมาณ
ปริมาตรของวัตถุที่กำหนดคือขีดจำกัดของปริมาตรของวัตถุขั้นบันไดที่ระบุที่ λ→0 , ที่ไหน λ - ความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุดของส่วนประถมศึกษา ∆xเค- ให้เราแสดงโดย วีปริมาตรของร่างกายที่กำหนดแล้วตามคำจำกัดความ
อีกด้านหนึ่ง
ดังนั้น ปริมาตรของวัตถุเหนือส่วนตัดขวางที่กำหนดจึงคำนวณโดยสูตร
หากวัตถุเกิดขึ้นจากการหมุนรอบแกน วัวสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยส่วนโค้งของเส้นต่อเนื่องกันที่ด้านบน y=ฉ(x), ที่ไหน ก≤x≤b, ที่ S(x)=πf 2 (x)และสูตรสุดท้ายจะอยู่ในรูปแบบ:
ความคิดเห็น- ปริมาตรของวัตถุที่ได้จากการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันทางด้านขวา x=φ(ย) (ค ≤ x ≤ ง) รอบแกน เฮ้ยคำนวณโดยสูตร
พื้นที่ผิวของการหมุน
พิจารณาพื้นผิวที่ได้จากการหมุนส่วนโค้งของเส้น y=ฉ(x) (ก≤x≤b) รอบแกน วัว(สมมุติว่าฟังก์ชัน y=ฉ(x)มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง) การแก้ไขค่า x∈เราจะเพิ่มค่าอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน ดีเอ็กซ์ซึ่งสอดคล้องกับ "วงแหวนพื้นฐาน" ที่ได้จากการหมุนส่วนโค้งเบื้องต้น ∆ลิตร- ให้เราแทนที่ "วงแหวน" นี้ด้วยวงแหวนทรงกระบอก - พื้นผิวด้านข้างของวัตถุที่เกิดจากการหมุนของสี่เหลี่ยมที่มีฐานเท่ากับส่วนต่างของส่วนโค้ง ดลและส่วนสูง ชั่วโมง=ฉ(x)- โดยการตัดวงแหวนสุดท้ายแล้วคลี่ออก เราจะได้แถบที่มีความกว้าง ดลและความยาว 2ปี, ที่ไหน y=ฉ(x).
ดังนั้นค่าส่วนต่างของพื้นที่ผิวจึงแสดงด้วยสูตร
สูตรนี้แสดงพื้นที่ผิวที่ได้จากการหมุนส่วนโค้งของเส้น y=ฉ(x) (ก≤x≤b) รอบแกน วัว.
หัวข้อ 6.10. การประยุกต์ทางเรขาคณิตและฟิสิกส์ของอินทิกรัลจำกัดเขต
1. พื้นที่ของรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y =f(x)(f(x)>0), เส้นตรง x = a, x = b และส่วน [a, b] ของแกน Ox คำนวณโดยสูตร
2. พื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = f (x) และ y = g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле
3. หากเส้นโค้งถูกกำหนดโดยสมการพาราเมตริก x = x (t), y = y (t) ดังนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งนี้และเส้นตรง x = a, x = b จะถูกพบโดย สูตร
4. ให้ S (x) เป็นพื้นที่หน้าตัดของร่างกายโดยระนาบตั้งฉากกับแกน Ox จากนั้นปริมาตรของส่วนของร่างกายที่อยู่ระหว่างระนาบ x = a และ x = b ตั้งฉากกับ หาแกนได้จากสูตร
5. ปล่อยให้เส้นโค้งรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = f (x) และเส้นตรง y = 0, x = a และ x = b หมุนรอบแกน Ox จากนั้นปริมาตรของตัวการหมุนจะคำนวณโดย สูตร
6. ให้สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง x = g (y) และ
เส้นตรง x = 0, y = c และ y = d หมุนรอบแกน O y จากนั้นปริมาตรของตัวการปฏิวัติคำนวณโดยสูตร
7. ถ้าเส้นโค้งระนาบสัมพันธ์กับระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและกำหนดโดยสมการ y = f (x) (หรือ x = F (y)) ความยาวของส่วนโค้งจะถูกกำหนดโดยสูตร
