พิสูจน์ว่า abcd เป็นคำตอบของตารางสี่เหลี่ยมด้านขนาน 8.1 สี่เหลี่ยมด้านขนาน

เพื่อพิจารณาว่า รูปนี้สี่เหลี่ยมด้านขนาน มีคุณสมบัติหลายประการ มาดูคุณสมบัติหลักสามประการของสี่เหลี่ยมด้านขนานกัน

เครื่องหมายสี่เหลี่ยมด้านขนาน 1 อัน

ถ้าด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านนี้ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์:

พิจารณารูปสี่เหลี่ยม ABCD ให้ด้าน AB และ CD ขนานกัน และให้ AB=CD ลองวาดเส้นทแยงมุม BD ลงไป มันจะแบ่งรูปสี่เหลี่ยมนี้ออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน: ABD และ CBD

สามเหลี่ยมเหล่านี้มีขนาดเท่ากันทั้งสองด้านและมีมุมระหว่างกัน (BD - ด้านทั่วไป, AB = CD ตามเงื่อนไข มุม 1 = มุม 2 เป็นมุมนอนขวาง โดยมีเส้นตัดขวาง BD ของเส้นคู่ขนาน AB และ CD) ดังนั้น มุม 3 = มุม 4

และมุมเหล่านี้จะนอนขวางเมื่อเส้น BC และ AD ตัดกับเส้นตัด BD จากนี้ไป BC และ AD ขนานกัน เรามีมันอยู่ในรูปสี่เหลี่ยม ABCD ฝั่งตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยม ABCD จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เครื่องหมายสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ 2

ถ้าในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านตรงข้ามเท่ากันเป็นคู่ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์:

พิจารณารูปสี่เหลี่ยม ABCD ลองวาดเส้นทแยงมุม BD ลงไป มันจะแบ่งรูปสี่เหลี่ยมนี้ออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน: ABD และ CBD

สามเหลี่ยมทั้งสองนี้จะเท่ากันทั้งสามด้าน (BD คือด้านร่วม, AB = CD และ BC = AD ตามเงื่อนไข) จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่ามุม 1 = มุม 2 ตามมาว่า AB ขนานกับ CD และเนื่องจาก AB = CD และ AB ขนานกับ CD ดังนั้นตามเกณฑ์แรกของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

3 เครื่องหมายสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ถ้าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมตัดกันและถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดตัด รูปสี่เหลี่ยมนี้จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พิจารณารูปสี่เหลี่ยม ABCD ให้เราวาดเส้นทแยงมุม AC และ BD สองเส้นในนั้น ซึ่งจะตัดกันที่จุด O และถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนโดยจุดนี้

สามเหลี่ยม AOB และ COD จะเท่ากันตามเครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม (AO = OC, BO = OD ตามเงื่อนไข มุม AOB = มุม COD เช่น มุมแนวตั้ง.) ดังนั้น AB = CD และมุม 1 = มุม 2 จากความเท่ากันของมุม 1 และ 2 จะได้ว่า AB ขนานกับ CD จากนั้นเราได้ว่าใน ABCD ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้าน AB เท่ากับ CD และขนานกัน และตามเกณฑ์แรกของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ฉัน. ถ้าด้านตรงข้ามสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนานกันและเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมนั้นก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ภารกิจที่ 1จากจุดยอด B และ D ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD โดยที่ AB≠ BC และมุม A เป็นมุมแหลม BK และ DM ตั้งฉากกับเส้นตรง AC พิสูจน์ว่า BMDK รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์.

เนื่องจาก VC และ DM ตั้งฉากกับ AC เส้นตรงเดียวกัน ดังนั้น VC II DM นอกจากนี้ VK และ DM ยังเป็นความสูงที่ดึงเข้ามา สามเหลี่ยมเท่ากันΔ ABC และ Δ CDA จากจุดยอด มุมเท่ากัน∠B และ ∠D ไปทางด้าน AC เดียวกัน ดังนั้น BC = DM เรามี: สองด้าน BC และ DM ของ BMDK รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนขนานกันและเท่ากัน ซึ่งหมายความว่า BMDK เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ครั้งที่สอง หากด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากันเป็นคู่ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ภารกิจที่ 2ที่ด้าน AB, BC, CD และ DA ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD จุด M, N, P และ Q จะถูกทำเครื่องหมายตามลำดับ ดังนั้น AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA พิสูจน์ว่า ABCD และ MNPQ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์.

1. ตามเงื่อนไข ในรูปสี่เหลี่ยม ABCD ด้านตรงข้ามประกอบด้วย ส่วนที่เท่ากันจึงเท่ากัน กล่าวคือ AD=BC, AB=ซีดี ดังนั้น ABCD จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

2. พิจารณา Δ MBN และ Δ PDQ BM=DP และ BN=DQ ตามเงื่อนไข ∠B =∠D เป็นมุมตรงข้าม สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD- ซึ่งหมายความว่า Δ MBN = Δ PDQ บนสองด้านและมุมระหว่างสองด้าน (เครื่องหมายที่ 1 ของความเท่ากันของรูปสามเหลี่ยม) และในสามเหลี่ยมเท่ากันที่อยู่ตรงข้ามกับมุมเท่ากัน ด้านที่เท่ากัน- ดังนั้น MN=PQ เราได้พิสูจน์แล้วว่าด้านตรงข้าม MN และ PQ ของ MNPQ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากัน ในทำนองเดียวกัน จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม Δ MAQ และ Δ PCN จะตามมาว่าด้าน MQ และ PN เท่ากัน ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามของ MNPQ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เรามี: ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยม MNPQ เท่ากันเป็นคู่ ดังนั้น MNPQ ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

III. หากเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมตัดกันและถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดตัด รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้นจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ภารกิจที่ 3เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ตัดกันที่จุด O พิสูจน์ว่า MNPQ ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีจุดยอดเป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของ OA, OB, OC และ OD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์.

ตามคุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD เส้นทแยงมุม AC และ BD จะถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดตัดกัน เช่น OA=ระบบปฏิบัติการ และ OB=OD เส้นทแยงมุมของ MNPQ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็ตัดกันที่จุด O ซึ่งจะเป็นจุดกึ่งกลางของแต่ละเส้น อันที่จริง เนื่องจากจุดยอดของ MNPQ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นไปตามเงื่อนไขจุดกึ่งกลางของส่วน OA, OC, OB และ OD ดังนั้น BN=ON=OQ=DQ และ AM=OM=OP=CP ด้วยเหตุนี้ MP และ NQ ในเส้นทแยงมุมของ MNPQ ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน ณ จุดตัดกัน ดังนั้น MNPQ ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

กลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของงานนำเสนอ หากคุณสนใจ งานนี้กรุณาดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:พิจารณาลักษณะของสี่เหลี่ยมด้านขนานและรวบรวมความรู้ที่ได้รับในกระบวนการแก้ไขปัญหา

งาน:

ทางการศึกษา:การพัฒนาความสามารถในการใช้คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนานในการแก้ปัญหา
การพัฒนา:การพัฒนา การคิดเชิงตรรกะความสนใจทักษะ งานอิสระทักษะการเห็นคุณค่าในตนเอง
ทางการศึกษา:การดูแลความสนใจในเรื่องความสามารถในการทำงานเป็นทีมวัฒนธรรมการสื่อสาร

ประเภทบทเรียน: การเรียนรู้เนื้อหาใหม่ การรวมหลัก

อุปกรณ์: ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ, โปรเจ็กเตอร์, การ์ดงาน, การนำเสนอ

ความคืบหน้าของบทเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

U: สวัสดีตอนบ่ายพวก! วันนี้ในชั้นเรียน เราจะมาพูดถึงสี่เหลี่ยมด้านขนานอีกครั้ง เราต้องทำงานหลายอย่างให้สำเร็จ พิสูจน์ทฤษฎีบท และเรียนรู้วิธีนำไปใช้ในการแก้ปัญหา คำขวัญของบทเรียนของเราคือคำพูดของเลอ คาร์บูซิเยร์: “ทุกสิ่งรอบตัวคือเรขาคณิต”

2. การอัพเดตความรู้ของนักศึกษา

การสำรวจเชิงทฤษฎี

มอบหมายงานให้นักเรียนบางคนเป็นรายบุคคลในการ์ดในหัวข้อ คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน(ทุกคนเลือกงานอย่างอิสระบนสไลด์การนำเสนอผ่านไฮเปอร์ลิงก์ โดยชี้เมาส์ไปที่รูป แต่ไม่ใช่ที่ตัวเลข) ฟังผู้ตอบแบบสอบถามแต่ละคนเป็นรายบุคคล

ที่เหลือ - พิสูจน์คุณสมบัติเพิ่มเติมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ขั้นแรกให้อภิปรายการพิสูจน์ด้วยปากเปล่า จากนั้นตรวจสอบด้วยกระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ)

1° เส้นแบ่งครึ่งของมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะตัดสามเหลี่ยมหน้าจั่วออกไป

2° เส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นตั้งฉากกัน และเส้นแบ่งครึ่ง มุมตรงข้ามขนานกันหรือนอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

หลังการเตรียมการ ให้ฟังหลักฐานคุณสมบัติเพิ่มเติมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ABCD -สี่เหลี่ยมด้านขนาน

AE เป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม BAD

พิสูจน์: ABE เป็นหน้าจั่ว

การพิสูจน์:

เนื่องจาก ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น BC || AD แล้วมุม EAD = มุม BEA ที่วางขวางโดยมีเส้นขนาน BC และ AD และเส้นตัดขวาง AE AE เป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม BAD ซึ่งหมายถึงมุม BAE = มุม EAD ดังนั้น มุม BAE = มุม BEA

ใน ABE มุม BAE = มุม BEA ซึ่งหมายความว่า ABE เป็นหน้าจั่วที่มีฐาน AE

คำถามชี้แนะ:

กำหนดเครื่องหมายของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

มุมใดใน BAE ที่สามารถเท่ากันได้? ทำไม

ABCD -สี่เหลี่ยมด้านขนาน

BE เป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม CBA

AE เป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม BAD

คำถามชี้แนะ:

เมื่อไหร่เส้น AE และ CK จะขนานกัน?

เป็นมุม BEA และ<3? Почему?

AE และ CK จะตรงกันในกรณีใด?

การเตรียมตัวศึกษาเนื้อหาใหม่

งานหน้าผากกับชั้นเรียน (ปากเปล่า)

คำว่า “คุณสมบัติ” และ “อุปนิสัย” หมายถึงอะไร?
ยกตัวอย่าง.
ทฤษฎีบทสนทนาคืออะไร?

สิ่งที่ตรงกันข้ามกับข้อความนี้เป็นจริงเสมอไปหรือไม่

ยกตัวอย่าง.

3. คำอธิบายเนื้อหาใหม่

U.: แต่ละวัตถุมีคุณสมบัติและลักษณะเฉพาะของตัวเอง โปรดบอกฉันว่าคุณสมบัติแตกต่างจากป้ายอย่างไร
ลองทำความเข้าใจปัญหานี้โดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ วัตถุที่กำหนดคือฤดูใบไม้ร่วง ตั้งชื่อคุณสมบัติ: ลักษณะของมัน:

ข้อความใดเป็นคุณสมบัติและคุณลักษณะของวัตถุที่สัมพันธ์กัน (คำตอบ: ผกผัน)

เราได้ศึกษาคุณสมบัติอะไรบ้างในหลักสูตรเรขาคณิตแล้ว?

ระบุพวกเขา (ชื่อไม่กี่)

เป็นไปได้ไหมที่จะสร้างข้อความสนทนาที่แท้จริงสำหรับทรัพย์สินใดๆ? (คำตอบที่แตกต่างกัน)

ลองตรวจสอบคุณสมบัติต่อไปนี้:

สรุป: เป็นไปได้ไหมที่จะสร้างข้อความสนทนาที่แท้จริงสำหรับทรัพย์สินใดๆ? (ไม่ ไม่ใช่เพื่อใครเลย)

ตอนนี้ กลับไปที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนของเรา จำคุณสมบัติของมัน และกำหนดประโยคสนทนา เช่น:... (คำตอบ - ลักษณะของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ดังนั้นหัวข้อของบทเรียนวันนี้คือ: "สัญญาณของสี่เหลี่ยมด้านขนาน"

ดังนั้น จงตั้งชื่อคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

กำหนดคำสั่งที่ผกผันกับคุณสมบัติ (นักเรียนกำหนดป้าย ครูแก้ไขและกำหนดอีกครั้ง)

ให้เราพิสูจน์สัญญาณเหล่านี้ สัญญาณแรกมีรายละเอียด สัญญาณที่สองคือสั้นๆ และสัญญาณที่สามอยู่ที่บ้านของคุณเอง

การพิสูจน์.

เนื่องจาก VC และ DM ตั้งฉากกับ AC เส้นตรงเดียวกัน ดังนั้น VC II DM นอกจากนี้ BC และ DM คือความสูงที่วาดเป็นรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน Δ ABC และ Δ CDA จากจุดยอดของมุมที่เท่ากัน ∠B และ ∠D ไปยังด้าน AC เดียวกัน ดังนั้น BC = DM เรามี: สองด้าน BC และ DM ของ BMDK รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนขนานกันและเท่ากัน ซึ่งหมายความว่า BMDK เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

การพิสูจน์.

1. โดยเงื่อนไข ใน ABCD รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ด้านตรงข้ามประกอบด้วยส่วนที่เท่ากัน ดังนั้น พวกมันจึงเท่ากัน กล่าวคือ AD=BC, AB=ซีดี ดังนั้น ABCD จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

2. พิจารณา Δ MBN และ Δ PDQ BM=DP และ BN=DQ ตามเงื่อนไข ∠B =∠D เป็นมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ซึ่งหมายความว่า Δ MBN = Δ PDQ บนสองด้านและมุมระหว่างสองด้าน (เครื่องหมายที่ 1 ของความเท่ากันของรูปสามเหลี่ยม) และในสามเหลี่ยมเท่ากัน ด้านเท่ากันอยู่ตรงข้ามมุมเท่ากัน ดังนั้น MN=PQ เราได้พิสูจน์แล้วว่าด้านตรงข้าม MN และ PQ ของ MNPQ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากัน ในทำนองเดียวกัน จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม Δ MAQ และ Δ PCN จะตามมาว่าด้าน MQ และ PN เท่ากัน ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามของ MNPQ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เรามี: ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยม MNPQ เท่ากันเป็นคู่ ดังนั้น MNPQ ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

การพิสูจน์.