พหุนามของรูปแบบมาตรฐานหมายถึงอะไร? เรียนรู้ที่จะลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

พหุนามและรูปแบบมาตรฐาน

พหุนามคือผลรวมของเอกนาม

เอกนามที่ประกอบเป็นพหุนามเรียกว่าสมาชิกของพหุนาม ดังนั้นเงื่อนไขของพหุนาม 4x2y - 5xy + 3x -1 คือ 4x2y, -5xy, 3x และ -1

หากพหุนามประกอบด้วยสองเทอม จะเรียกว่าทวินาม หากประกอบด้วยสามเทอมจะเรียกว่าตรีโกณมิติ monomial ถือเป็นพหุนามที่ประกอบด้วยคำเดียว

ในพหุนาม 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 คำว่า 7x3y2 และ - 2y2x3 เป็นคำที่คล้ายกันเพราะมีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน เงื่อนไข -12 และ 6 ซึ่งไม่มีส่วนตัวอักษรก็คล้ายกันเช่นกัน พจน์ที่คล้ายกันในพหุนามเรียกว่า พจน์ที่คล้ายกันของพหุนาม และการลดลง เงื่อนไขที่คล้ายกันในพหุนาม - โดยการนำพจน์ที่คล้ายกันของพหุนามมา

ตามตัวอย่าง ขอให้เราระบุพจน์ที่คล้ายกันในพหุนาม 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 = 5x3y2 + 4x2y - 6

พหุนามเรียกว่าพหุนาม มุมมองมาตรฐานถ้าแต่ละพจน์เป็นรูปแบบมาตรฐานและพหุนามนี้ไม่มีพจน์ที่คล้ายคลึงกัน

พหุนามใดๆ สามารถลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานได้ ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องนำเสนอสมาชิกแต่ละคนในรูปแบบมาตรฐานและนำเงื่อนไขที่คล้ายกันมาด้วย

ระดับของพหุนามของรูปแบบมาตรฐานคือระดับที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของระดับของ monomials ที่เป็นส่วนประกอบ

ระดับของพหุนามตามอำเภอใจคือระดับของพหุนามที่เท่ากันของรูปแบบมาตรฐาน

ตัวอย่างเช่น ลองหาดีกรีของพหุนาม 8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4:

8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 = 4x2y -6

โปรดทราบว่าพหุนามดั้งเดิมมีเอกนามของดีกรีที่ 6 แต่เมื่อพจน์ที่คล้ายกันลดลง ทั้งหมดก็ลดลง และผลลัพธ์ที่ได้คือพหุนามของดีกรีที่ 3 ซึ่งหมายความว่าพหุนามดั้งเดิมมีดีกรี 3!
พหุนามในตัวแปรเดียว

การแสดงออกของรูปแบบที่มีตัวเลขจำนวนหนึ่งและเรียกว่าพหุนามของดีกรีจาก

พหุนามสองตัวจะบอกว่าเท่ากันถ้าพวกมัน ค่าตัวเลขตรงกันทุกค่า พหุนาม และ จะเท่ากันก็ต่อเมื่อตรงกันเท่านั้น เช่น ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ องศาที่เท่ากันพหุนามเหล่านี้เหมือนกัน

เมื่อหารพหุนามด้วยพหุนาม (ตัวอย่างเช่นโดย "มุม") เราจะได้พหุนาม (ผลหารที่ไม่สมบูรณ์) และส่วนที่เหลือ - พหุนาม (ในกรณีที่ส่วนที่เหลือ เท่ากับศูนย์พหุนามเรียกว่าไพรเวต) ถ้า คือเงินปันผลและเป็นตัวหาร เราจะแทนพหุนามในรูปแบบ ในกรณีนี้ ผลรวมของดีกรีของพหุนาม และ เท่ากับดีกรีของพหุนาม และดีกรีของเศษ ปริญญาน้อยกว่าตัวแบ่ง..

แนวคิดของพหุนาม ดีกรีพหุนาม

พหุนามในตัวแปร x คือนิพจน์ของรูปแบบ

anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 โดยที่ n - จำนวนธรรมชาติ- аn, an-1,..., a1, a0 - ตัวเลขใดๆ ที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามนี้ นิพจน์ anxn, an-1xn-1,..., a1x, a0 เรียกว่าพจน์ของพหุนาม ส่วน a0 คือพจน์อิสระ

เรามักจะใช้คำศัพท์ต่อไปนี้: an - สัมประสิทธิ์สำหรับ xn, an-1 - สัมประสิทธิ์สำหรับ xn-1 เป็นต้น

ตัวอย่างของพหุนามคือนิพจน์ต่อไปนี้: 0x4+2x3+ (-3) x3+ (3/7) x+; 0x2+0x+3; 0x2+0x+0 ในที่นี้ สำหรับพหุนามตัวแรก ค่าสัมประสิทธิ์คือตัวเลข 0, 2, - 3, 3/7, ; ตัวอย่างเช่น ในกรณีนี้ หมายเลข 2 คือสัมประสิทธิ์ของ x3 และเป็นพจน์อิสระ

พหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ทั้งหมดเรียกว่าศูนย์

ตัวอย่างเช่น พหุนาม 0x2+0x+0 จะเป็นศูนย์

จากสัญกรณ์พหุนามจะเห็นได้ชัดว่าประกอบด้วยสมาชิกหลายตัว นี่คือที่มาของคำว่า ‹‹พหุนาม›› (หลายคำ) บางครั้งพหุนามเรียกว่าพหุนาม คำนี้มาจาก คำภาษากรีกπολι - มากมาย และ νομχ - สมาชิก

เราจะแสดงพหุนามในตัวแปร x หนึ่งตัวดังนี้: f (x), g (x), h (x) เป็นต้น ตัวอย่างเช่น หากพหุนามตัวแรกของพหุนามข้างต้นแสดงด้วย f (x) เราก็สามารถเขียนได้: f (x) =0x4+2x3+ (-3) x2+3/7x+

เพื่อทำให้สัญกรณ์พหุนามง่ายขึ้นและกระชับยิ่งขึ้น เราได้ตกลงกันในอนุสัญญาหลายข้อ

เงื่อนไขของพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เท่ากับศูนย์จะไม่ถูกเขียนลงไป ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเป็น f (x) =0x3+3x2+0x+5 พวกเขาเขียนว่า: f (x) =3x2+5; แทน ก (x) =0x2+0x+3 - ก (x) =3 ดังนั้นทุกจำนวนจึงเป็นพหุนามเช่นกัน พหุนาม h (x) ซึ่งสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์ นั่นคือ พหุนามศูนย์เขียนได้ดังนี้: h (x) =0

ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่ไม่ใช่สมาชิกอิสระและเท่ากับ 1 จะไม่ถูกเขียนลงไปเช่นกัน ตัวอย่างเช่น พหุนาม f (x) =2x3+1x2+7x+1 สามารถเขียนได้ดังนี้: f (x) =x3+x2+7x+1

เครื่องหมาย ‹‹-›› ของสัมประสิทธิ์ลบถูกกำหนดให้กับคำที่มีค่าสัมประสิทธิ์นี้ เช่น พหุนาม f (x) =2x3+ (-3) x2+7x+ (-5) เขียนเป็น f (x) ) =2x3 -3x2+7x-5. ยิ่งกว่านั้นหากค่าสัมประสิทธิ์ซึ่งไม่ใช่คำศัพท์อิสระเท่ากับ - 1 เครื่องหมาย "-" จะถูกเก็บไว้หน้าคำที่เกี่ยวข้องและหน่วยจะไม่ถูกเขียน ตัวอย่างเช่น หากพหุนามมีรูปแบบ f (x) =x3+ (-1) x2+3x+ (-1) ก็สามารถเขียนได้ดังนี้: f (x) =x3-x2+3x-1

คำถามอาจเกิดขึ้น: เหตุใดจึงยอมแทนที่ 1x ด้วย x ในรูปแบบพหุนาม ในเมื่อรู้ว่า 1x = x สำหรับจำนวน x ใดๆ ประเด็นก็คือความเสมอภาคสุดท้ายยังคงอยู่หาก x เป็นตัวเลข ในกรณีของเรา x เป็นองค์ประกอบที่มีลักษณะไม่แน่นอน ยิ่งกว่านั้น เรายังไม่มีสิทธิ์พิจารณารายการ 1x เป็นผลคูณของเลข 1 และองค์ประกอบ x เนื่องจากเราทำซ้ำ x ไม่ใช่ตัวเลข มันเป็นสถานการณ์นี้เองที่ทำให้เกิดแบบแผนในการเขียนพหุนาม และถ้าเรายังคงพูดถึงผลคูณของ 2 และ x โดยไม่มีเหตุผลใดๆ แสดงว่าเรากำลังยอมรับว่าขาดความเข้มงวดบางประการ

เนื่องจากแบบแผนในการเขียนพหุนาม เราจึงใส่ใจกับรายละเอียดนี้ ตัวอย่างเช่น หากมีพหุนาม f (x) = 3x3-2x2-x+2 สัมประสิทธิ์ของมันคือตัวเลข 3, - 2, - 1.2 แน่นอน อาจกล่าวได้ว่าสัมประสิทธิ์คือตัวเลข 0, 3, - 2, - 1, 2 ซึ่งหมายถึงการแทนพหุนามนี้: f (x) = 0x4-3x2-2x2-x+2

ในอนาคตเพื่อความแน่นอนเราจะระบุค่าสัมประสิทธิ์โดยเริ่มจากค่าที่ไม่เป็นศูนย์ตามลำดับที่ปรากฏในสัญกรณ์พหุนาม ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม f (x) = 2x5-x คือตัวเลข 2, 0, 0, 0, - 1, 0 ความจริงก็คือแม้ว่า ตัวอย่างเช่น คำที่มี x2 จะไม่อยู่ในสัญกรณ์ก็ตาม นี่หมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์ของมันเท่ากับศูนย์เท่านั้น ในทำนองเดียวกัน ไม่มีเงื่อนไขว่างในรายการ เนื่องจากมีค่าเท่ากับศูนย์

หากมีพหุนาม f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 และ an≠0 ดังนั้นตัวเลข n จะเรียกว่าดีกรีของพหุนาม f (x) (หรือพวกเขาพูดว่า: ฉ(x) - ระดับที่ n) และเขียนศิลปะ ฉ(x)=n. ในกรณีนี้ a เรียกว่าสัมประสิทธิ์นำหน้า และ anxn เป็นคำนำหน้าของพหุนามนี้

ตัวอย่างเช่น ถ้า f (x) =5x4-2x+3 แสดงว่าเป็น art f (x) =4, สัมประสิทธิ์นำ - 5, เทอมนำ - 5x4

ตอนนี้ให้เราพิจารณาพหุนาม f (x) =a โดยที่ a เป็นจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ ดีกรีของพหุนามนี้เป็นเท่าใด? จะสังเกตได้ง่ายว่าค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 มีการกำหนดหมายเลขจากขวาไปซ้าย โดยมีตัวเลข 0, 1, 2, …, n- 1, n และถ้า an≠0 แล้ว Art ฉ(x)=n. ซึ่งหมายความว่าระดับของพหุนามคือค่าที่ใหญ่ที่สุดของจำนวนสัมประสิทธิ์ที่แตกต่างจากศูนย์ (ด้วยการกำหนดหมายเลขที่เพิ่งกล่าวถึง) ตอนนี้เรากลับมาที่พหุนาม f (x) =a, a≠0 และเลขสัมประสิทธิ์ของมันจากขวาไปซ้ายด้วยตัวเลข 0, 1, 2, ... สัมประสิทธิ์ a จะได้รับเลข 0 และเนื่องจากค่าอื่นๆ ทั้งหมด สัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ จากนั้นนี่คือจำนวนสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ที่ใหญ่ที่สุดของพหุนามที่กำหนด ดังนั้นศิลปะ ฉ(x) =0.

ดังนั้นพหุนาม ระดับศูนย์เป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

ยังคงต้องค้นหาว่าสถานการณ์เป็นอย่างไรกับระดับพหุนามศูนย์ ดังที่ทราบกันดีว่าค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้คำจำกัดความข้างต้นได้ ดังนั้นเราจึงตกลงที่จะไม่กำหนดดีกรีใดๆ ให้กับพหุนามศูนย์ เช่น ว่าเขาไม่มีปริญญา อนุสัญญานี้มีสาเหตุมาจากสถานการณ์บางอย่างที่จะกล่าวถึงในภายหลัง

ดังนั้น พหุนามศูนย์จึงไม่มีดีกรี พหุนาม f (x) =a โดยที่ a เป็นตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์และมีดีกรี 0 ระดับของพหุนามอื่นๆ ตามที่เห็นได้ง่าย เท่ากับเลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุดของตัวแปร x ซึ่งสัมประสิทธิ์มีค่าเท่ากับศูนย์

โดยสรุป ให้เราจำคำจำกัดความเพิ่มเติมอีกสองสามข้อ พหุนามของดีกรีที่สอง f (x) =ax2+bx+c เรียกว่า ตรีโกณมิติกำลังสอง พหุนามระดับแรกของรูปแบบ g (x) =x+c เรียกว่าทวินามเชิงเส้น
แผนการของฮอร์เนอร์

โครงร่างของฮอร์เนอร์เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งในการหารพหุนามด้วย ทวินาม x-a- แน่นอนว่าการประยุกต์ใช้แผนการของฮอร์เนอร์ไม่ได้จำกัดอยู่เพียงการแบ่งแยก แต่ก่อนอื่นเรามาพิจารณาเรื่องนั้นก่อน เราจะอธิบายการใช้อัลกอริทึมพร้อมตัวอย่าง แบ่งตาม. มาสร้างตารางสองบรรทัดกัน: ในบรรทัดแรกเราเขียนค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามตามลำดับจากมากไปหาน้อยของตัวแปร โปรดทราบว่า ให้พหุนามไม่มี x นั่นคือ ค่าสัมประสิทธิ์หน้า x คือ 0 เนื่องจากเราหารด้วย เราจึงเขียนหนึ่งในบรรทัดที่สอง:

มาเริ่มเติมเซลล์ว่างในบรรทัดที่สองกัน ลองเขียน 5 ลงในเซลล์ว่างเซลล์แรก โดยย้ายจากเซลล์ที่สอดคล้องกันของแถวแรก:

มาเติมเซลล์ถัดไปตามหลักการนี้:

เติมอันที่สี่ด้วยวิธีเดียวกัน:

สำหรับเซลล์ที่ห้าเราได้รับ:

และสุดท้าย สำหรับเซลล์สุดท้าย เซลล์ที่หก เรามี:

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนคำตอบ:

อย่างที่คุณเห็นตัวเลขที่อยู่ในบรรทัดที่สอง (ระหว่างบรรทัดแรกและสุดท้าย) คือค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่ได้รับหลังจากหารด้วย ตัวเลขสุดท้ายในบรรทัดที่สองหมายถึงเศษที่เหลือของการหารหรือค่าของพหุนามที่ซึ่งเท่ากัน ดังนั้น หากในกรณีของเรา ส่วนที่เหลือเท่ากับศูนย์ พหุนามจะถูกหารทั้งหมด

ผลลัพธ์ยังระบุด้วยว่า 1 คือรากของพหุนาม

ลองยกตัวอย่างอื่น ลองหารพหุนามด้วย. ให้เรากำหนดทันทีว่าจะต้องนำเสนอนิพจน์ในรูปแบบ แผนการของฮอร์เนอร์จะเกี่ยวข้องกับ -3 อย่างแน่นอน

หากเป้าหมายของเราคือการหารากทั้งหมดของพหุนาม แผนของฮอร์เนอร์ก็สามารถนำไปใช้ได้หลายครั้งติดต่อกันจนกว่ารากจะหมด ตัวอย่างเช่น ลองหารากทั้งหมดของพหุนาม ต้องค้นหารากทั้งหมดระหว่างตัวหารของคำอิสระ เช่น ในบรรดาตัวหารนั้นมี 8 นั่นคือตัวเลข -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8 สามารถเป็นรากจำนวนเต็มได้ ลองดูตัวอย่าง 1:

ดังนั้นเศษเหลือเป็น 0 นั่นคือ ความสามัคคีเป็นรากฐานของพหุนามนี้อย่างแท้จริง ลองตรวจสอบเครื่องอีกสักสองสามครั้ง ตารางใหม่เราจะไม่สร้างขึ้นมาเพื่อสิ่งนี้ แต่จะใช้อันก่อนหน้าต่อไป:

ส่วนที่เหลือเป็นศูนย์อีกครั้ง เรามาต่อโต๊ะกันจนกว่าเราจะหมดทุกอย่าง ค่าที่เป็นไปได้ราก:

บรรทัดล่าง: แน่นอน วิธีนี้การคัดเลือกไม่ได้ผลใน กรณีทั่วไปเมื่อรากไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่สำหรับรากจำนวนเต็ม วิธีการก็ค่อนข้างดี

รากเหตุผลของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มการค้นหารากของพหุนามนั้นน่าสนใจและค่อนข้างมาก งานที่ยากลำบากวิธีแก้ปัญหาที่ก้าวข้ามขอบเขต หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์. อย่างไรก็ตาม สำหรับพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม จะมีอัลกอริธึมการแจงนับอย่างง่ายที่ช่วยให้คุณสามารถค้นหารากเหตุผลทั้งหมดได้

ทฤษฎีบท. ถ้าพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มมีรากที่เป็นตรรกยะ (- เศษส่วนที่ลดไม่ได้),

จากนั้นตัวเศษของเศษส่วนคือตัวหารของเทอมอิสระ และตัวส่วนคือตัวหารของสัมประสิทธิ์นำหน้าของพหุนามนี้

การพิสูจน์

ให้เขียนพหุนามลงไป รูปแบบบัญญัติลองแทนและกำจัดตัวส่วนด้วยการคูณด้วย ระดับสูงสุดยังไม่มีข้อความ:

ย้ายสมาชิกไปทางขวา

ผลคูณหารด้วยจำนวนเต็ม m ตามเงื่อนไข เศษส่วนไม่สามารถลดได้ ดังนั้น ตัวเลข m และ n จึงเป็นจำนวนเฉพาะ จากนั้นตัวเลข m จะเป็นจำนวนเฉพาะและหากผลคูณของตัวเลขหารด้วย m ลงตัว และตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะด้วย m ตัวประกอบที่สองจะต้องหารด้วย m ลงตัว

การพิสูจน์การหารค่าสัมประสิทธิ์นำโดยตัวส่วน n นั้นพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกัน โดยย้ายคำไปทางขวาและย้ายตัวประกอบ n ออกจากวงเล็บด้านซ้ายจากด้านซ้าย

ให้เราแสดงความเห็นเล็กน้อยเกี่ยวกับทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว

หมายเหตุ

1) ทฤษฎีบทให้เท่านั้น สภาพที่จำเป็นการดำรงอยู่ของรากแห่งเหตุผล ซึ่งหมายความว่าคุณต้องตรวจสอบทุกอย่าง จำนวนตรรกยะด้วยคุณสมบัติที่ระบุในทฤษฎีบทและเลือกจากคุณสมบัติเหล่านั้นที่กลายเป็นราก จะไม่มีคนอื่น

2) ในบรรดาตัวหาร คุณต้องใช้ไม่เพียงแต่จำนวนเต็มบวกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงจำนวนเต็มลบด้วย

3) ถ้าสัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 1 ดังนั้นรากตรรกยะทุกตัวต้องเป็นจำนวนเต็ม เนื่องจาก 1 ไม่มีตัวหารยกเว้น

ให้เราอธิบายทฤษฎีบทและข้อคิดเห็นพร้อมตัวอย่าง

1) รากเหตุผลต้องเป็นจำนวนเต็ม

เราจัดเรียงตัวหารของคำอิสระ: ตัวเลขบวกไม่มีประโยชน์ที่จะทดแทน เนื่องจากสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามเป็นค่าบวกและเมื่อใด

ยังคงต้องคำนวณ F(–1) และ F(–2) ฉ(–1)=1+0; ฉ(–2)=0.

พหุนามจึงมีอันหนึ่ง รากทั้งหมด x=–2.

เราสามารถหาร F(x) ด้วย x+2:

2) เขียนค่าที่เป็นไปได้ของราก:

โดยการแทนที่เรามั่นใจว่าพหุนามมีสามค่าที่แตกต่างกัน รากที่มีเหตุผล:

แน่นอนว่ารูต x = -1 นั้นเดาได้ง่าย จากนั้นคุณก็สามารถแยกตัวประกอบและมองหารากได้ ตรีโกณมิติกำลังสองโดยใช้วิธีการปกติ

การแบ่งพหุนาม อัลกอริทึม EUCLID

การหารพหุนาม

ผลลัพธ์ของการหารคือพหุนามคู่เดียว - ผลหารและเศษที่เหลือซึ่งจะต้องเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน:< делимое > = < делитель > ´ < частное > + <… Если многочлен степени n Pn(x) является делимым,

ตัวอย่างหมายเลข 1

6x 3 + x 2 – 3x – 2 2x 2 – x – 1

6x 3 ± 3x 2 ± 3x 3x + 2

4x 2 + 0x – 2

4x 2 ± 2x ± 2

ดังนั้น 6x 3 + x 2 – 3x – 2 = (2x 2 – x – 1)(3x + 2) + 2x

ตัวอย่างหมายเลข 2

ก 5 4 ข 4 – 3 ข + 2 ข 2 – ab 3 + ข 4

± ก 4 ข ± 3 ข 2

– ก 2 ข 3 + ข 5

± ก 2 ข 3 ± ab 4

ดังนั้น a 5 + b 5 = (a + b)(a 4 –a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4)

แนวคิดของพหุนาม

คำจำกัดความของพหุนาม: พหุนามคือผลรวมของ monomials ตัวอย่างพหุนาม:

ตรงนี้เราเห็นผลรวมของสอง monomial และนี่คือพหุนาม นั่นคือ ผลรวมของ monomials

เงื่อนไขที่ประกอบเป็นพหุนามเรียกว่าเงื่อนไขของพหุนาม

ความแตกต่างของ monomials เป็นพหุนามหรือไม่? ใช่แล้ว เนื่องจากความแตกต่างสามารถลดลงเป็นผลรวมได้อย่างง่ายดาย เช่น: 5a – 2b = 5a + (-2b)

monomials ก็ถือเป็นพหุนามเช่นกัน แต่เอกพจน์ไม่มีผลรวม แล้วเหตุใดจึงถือเป็นพหุนาม? และคุณสามารถเพิ่มศูนย์แล้วได้ผลรวมโดยมีเลขเอกพจน์เป็นศูนย์ ดังนั้น monomial จึงเป็นกรณีพิเศษของพหุนาม ประกอบด้วยคำเดียว

จำนวนศูนย์คือพหุนามศูนย์

รูปแบบมาตรฐานของพหุนาม

พหุนามของรูปแบบมาตรฐานคืออะไร? พหุนามคือผลรวมของ monomials และถ้า monomials ทั้งหมดที่ประกอบเป็นพหุนามถูกเขียนในรูปแบบมาตรฐาน และไม่ควรมีรูปแบบที่คล้ายกันในนั้น พหุนามก็จะถูกเขียนในรูปแบบมาตรฐาน

ตัวอย่างของพหุนามในรูปแบบมาตรฐาน:

ที่นี่พหุนามประกอบด้วย 2 monomials ซึ่งแต่ละอันมีรูปแบบมาตรฐาน ในบรรดา monomials นั้นไม่มีสิ่งที่คล้ายกัน

ตอนนี้เป็นตัวอย่างของพหุนามที่ไม่มีรูปแบบมาตรฐาน:

ที่นี่มีสอง monomials: 2a และ 4a มีความคล้ายคลึงกัน เราจำเป็นต้องบวกมันเข้าด้วยกัน จากนั้นพหุนามจะอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน:

อีกตัวอย่างหนึ่ง:

พหุนามนี้ลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานหรือไม่? ไม่ ภาคเรียนที่สองของเขาไม่ได้เขียนในรูปแบบมาตรฐาน เมื่อเขียนในรูปแบบมาตรฐาน เราจะได้พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน:

ดีกรีพหุนาม

ระดับของพหุนามคืออะไร?

คำจำกัดความของปริญญาพหุนาม:

ระดับของพหุนามคือระดับสูงสุดที่ monomial ที่ประกอบเป็นพหุนามที่กำหนดของรูปแบบมาตรฐานมี

ตัวอย่าง. ระดับของพหุนาม 5h เป็นเท่าใด? ดีกรีของพหุนาม 5h เท่ากับ 1 เนื่องจากพหุนามนี้มีเพียงหนึ่งโมโนเมียลและดีกรีของพหุนามเท่ากับ 1

อีกตัวอย่างหนึ่ง ดีกรีของพหุนาม 5a 2 h 3 s 4 +1 เป็นเท่าใด? ดีกรีของพหุนาม 5a 2 h 3 s 4 + 1 เท่ากับเก้า เนื่องจากพหุนามนี้มี monomials สองอัน โดย monomial แรก 5a 2 h 3 s 4 มีดีกรีสูงสุด และดีกรีของมันคือ 9

อีกตัวอย่างหนึ่ง ดีกรีของพหุนาม 5 คืออะไร? ระดับของพหุนาม 5 คือศูนย์ ดังนั้น ดีกรีของพหุนามที่ประกอบด้วยตัวเลขเท่านั้น เช่น ไม่มีตัวอักษรเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างสุดท้าย ระดับของพหุนามศูนย์คืออะไรเช่น ศูนย์? ไม่ได้กำหนดระดับของพหุนามศูนย์

ตามคำนิยาม พหุนามคือนิพจน์พีชคณิตที่แสดงผลรวมของเอกนาม

ตัวอย่างเช่น: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 เป็นพหุนาม และนิพจน์ z/(x - x*y^2 + 4) ไม่ใช่พหุนาม เนื่องจากไม่ใช่ผลรวมของพหุนาม พหุนามบางครั้งเรียกว่าพหุนาม และ monomials ที่เป็นส่วนหนึ่งของพหุนามเป็นสมาชิกของพหุนามหรือ monomials

แนวคิดที่ซับซ้อนของพหุนาม

ถ้าพหุนามประกอบด้วยสองเทอม จะเรียกว่าทวินาม ถ้าประกอบด้วยสามเทอมจะเรียกว่าตรีโกณมิติ ไม่ใช้ชื่อสี่นาม ห้านาม และอื่นๆ และในกรณีเช่นนี้ ชื่อก็แค่พูดว่าพหุนาม ชื่อดังกล่าวขึ้นอยู่กับจำนวนคำศัพท์ทำให้ทุกอย่างเข้าที่

และคำว่า monomial ก็กลายมาเป็นสัญชาตญาณ จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ monomial เป็นกรณีพิเศษของพหุนาม monomial คือพหุนามที่ประกอบด้วยหนึ่งเทอม

เช่นเดียวกับ monomial พหุนามมีรูปแบบมาตรฐานของตัวเอง รูปแบบมาตรฐานของพหุนามคือสัญลักษณ์ของพหุนามซึ่งมี monomials ทั้งหมดที่รวมอยู่ในพหุนามเป็นเงื่อนไขที่เขียนในรูปแบบมาตรฐานและมีเงื่อนไขที่คล้ายกัน

รูปแบบมาตรฐานของพหุนาม

ขั้นตอนในการลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานคือการลด monomials แต่ละรายการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นจึงบวก monomial ที่คล้ายกันทั้งหมดเข้าด้วยกัน การบวกพจน์ที่คล้ายกันของพหุนามเรียกว่า การลดลงของค่าที่คล้ายกัน
ตัวอย่างเช่น ลองระบุพจน์ที่คล้ายกันในพหุนาม 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b

เงื่อนไข 4*a*b^2*c^3 และ 6*a*b^2*c^3 มีความคล้ายคลึงกันที่นี่ ผลรวมของคำศัพท์เหล่านี้จะเป็น monomial 10*a*b^2*c^3 ดังนั้น พหุนามเดิม 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b สามารถเขียนใหม่เป็น 10*a*b^2*c^3 - a* ข รายการนี้จะเป็นรูปแบบมาตรฐานของพหุนาม

จากข้อเท็จจริงที่ว่า monomial ใดๆ สามารถถูกลดให้เป็นรูปแบบมาตรฐานได้ ก็ตามมาด้วยว่าพหุนามใดๆ สามารถถูกลดให้เป็นรูปแบบมาตรฐานได้

เมื่อพหุนามถูกรีดิวซ์ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เราสามารถพูดถึงแนวคิด เช่น ระดับของพหุนามได้ ระดับของพหุนามคือระดับสูงสุดของ monomial ที่รวมอยู่ในพหุนามที่กำหนด
ตัวอย่างเช่น 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 เป็นพหุนามของดีกรีที่ 5 เนื่องจากดีกรีสูงสุดของโมโนเมียลที่รวมอยู่ในพหุนาม (5*x^3*y^ 2) เป็นที่ห้า

เงื่อนไขของพหุนามเป็นหน่วยพื้นฐานของโครงสร้างพีชคณิตหลายๆ โครงสร้าง ตามคำจำกัดความ monomials อาจเป็นค่าตัวเลขธรรมชาติหรือตัวแปรบางตัว (กลุ่มของตัวแปรคูณกัน)

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์หลักประการหนึ่งของพหุนามคือการลดจำนวนพจน์ที่คล้ายคลึงกัน ในวิดีโอสอนนี้ เราจะดูรายละเอียดเพิ่มเติมว่าการดำเนินการของพหุนามคืออะไร

เนื่องจากพจน์ทั้งหมดของพหุนามมีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันผ่านการบวกพีชคณิต จึงเรียกว่าพจน์ทั้งหมด monomials ที่มีส่วนตัวอักษรเหมือนกันจะคล้ายกันเช่น ประกอบด้วยตัวแปรที่เหมือนกัน ในกรณีนี้ ตัวแปรต้องอยู่ในระดับเดียวกันและมีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขเท่ากัน และค่าตัวเลขแต่ละตัวในพหุนามถือว่าเทียบเท่ากับเงื่อนไขที่คล้ายกันในตัวมันเอง

การลดคำศัพท์ที่คล้ายกันเกี่ยวข้องกับการจัดกลุ่ม monomials ของพหุนามเพื่อให้ได้ส่วนที่แยกจากกัน ซึ่งประกอบด้วยคำศัพท์ที่คล้ายกันทั้งหมด ตัวอย่างเช่น พิจารณาพหุนามนี้:

3a 2 + 2ab 2 - 6 - 3c 3 + 6a 2 - 7ab 2 + 7

คำที่คล้ายกันในกรณีนี้คือ:

1. ค่าตัวเลขอิสระทั้งหมด: -6, +7;
2. monomials ที่มีฐาน a กำลังสอง: +3a 2, +6a 2;
3. monomials ที่มีฐาน ab กำลังสอง: 2ab 2, -7ab 2;
4. monomials ที่มีฐาน c ลูกบาศก์: -3c 3 ;

กลุ่มสุดท้ายประกอบด้วย monomial เพียงกลุ่มเดียว ซึ่งไม่มีกลุ่มที่คล้ายกันในพหุนามทั้งหมด

เหตุใดจึงต้องมีการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว? การนำคำที่คล้ายกันมาช่วยทำให้พหุนามอยู่ในรูปเบื้องต้น ซึ่งประกอบด้วยโมโนเมียลน้อยลง ซึ่งสามารถทำได้ง่ายๆ โดยการจัดกลุ่มเงื่อนไขเหล่านั้นระหว่างการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต การดำเนินการหลักที่นี่คือการลบและการบวก - การดำเนินการเหล่านี้ยังมีผลต่อการจัดเรียงใหม่และช่วยให้คุณสามารถย้าย monomials ภายในพหุนามได้อย่างอิสระ ดังนั้นจึงค่อนข้างเป็นไปตามกฎที่จะแปลงตัวอย่างข้างต้นดังนี้:

6 +7 + 3a 2 +6a 2 + 2ab 2 +(-7ab 2) + (-3c 3) =

9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1

เมื่อใช้การลบและการบวกมาตรฐาน เราจะได้พหุนามแบบง่าย หากเวอร์ชันเดิมมี monomial 7 ตัว เวอร์ชันปัจจุบันจะมีสมาชิกเพียง 4 ตัว อย่างไรก็ตาม มีคำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น: อะไรคือเกณฑ์ที่แน่นอนสำหรับ "ความเรียบง่าย" ของพหุนาม?
จากมุมมองของกฎพีชคณิต ระดับประถมศึกษา หรือถ้าให้ละเอียดกว่านั้น พหุนามมาตรฐานถือเป็นพหุนามโดยที่ฐานของ monomials ทั้งหมดแตกต่างกันและไม่เหมือนกัน ตัวอย่างของเรา:

9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1

ประกอบด้วยเอกนามที่มีฐาน 2, ab 2, c 3 และค่าตัวเลขหนึ่งค่า ไม่สามารถบวกหรือลบรายการข้างต้นออกจากรายการอื่นได้ ก่อนหน้าเราคือพหุนามมาตรฐานที่ประกอบด้วยคำศัพท์สี่คำ

พหุนามใดๆ มีเกณฑ์เช่นระดับ โดยทั่วไปแล้ว ระดับของพหุนามคือระดับที่ใหญ่ที่สุดของพหุนามในพหุนามที่กำหนด ควรเรียนรู้รายละเอียดที่สำคัญ - สรุประดับของนิพจน์หลายตัวอักษร (หลายตัวแปร) ดังนั้น กำลังรวมของ ab 2 คือ 3 (a กำลัง 1, b กำลังสอง) พหุนามของรูปแบบ:

9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1

มีระดับเป็นสาม เนื่องจากหนึ่งใน monomials นั้นมีกำลังลูกบาศก์สูงสุด

ระดับของพหุนามมักจะถูกกำหนดเฉพาะในรูปแบบมาตรฐานเท่านั้น หากพหุนามมีพจน์ที่คล้ายกัน ขั้นแรกให้ลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้น จากนั้นจึงคำนวณดีกรีสุดท้าย

ถ้าพหุนามประกอบด้วย monomials ที่เป็นตัวเลขเท่านั้น รูปแบบมาตรฐานของมันจะอยู่ในรูปของจำนวนเอกพจน์ ซึ่งเป็นผลรวมพีชคณิตของ monomials ทั้งหมด ระดับของจำนวนที่กำหนดซึ่งเป็นพหุนามคือศูนย์ หากตัวเลขซึ่งเป็นพหุนามประเภทมาตรฐานได้รับค่า "ศูนย์" ระดับของมันจะถือว่าไม่มีกำหนด และพหุนาม "ศูนย์" ในตัวมันเองจะเรียกว่าพหุนามว่าง

ในวิดีโอที่นำเสนอ ยังสังเกตได้ว่าพหุนามใดๆ มีค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าและเทอมอิสระ เหนือสิ่งอื่นใด ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าคือค่าตัวเลขที่อยู่ด้านหน้าตัวแปรที่มีระดับสูงสุด (ค่าที่ระบุอันดับของพหุนามนั้นเอง) และพจน์อิสระคือผลรวมของค่าตัวเลขทั้งหมดของพหุนาม หากไม่มีค่าที่คล้ายกันในพหุนามหรือหากหักล้างกันโดยสิ้นเชิง เงื่อนไขอิสระจะเท่ากับ 0 ในตัวอย่าง:

7a 4 - 2b 2 + 5c 3 + 3

ค่าสัมประสิทธิ์สูงสุดคือเลข 7 เนื่องจากอยู่หน้าตัวแปรที่มีดีกรีสูงสุด (ตัวที่สี่ - และในขณะเดียวกัน พหุนามทั้งหมดก็มีดีกรีที่สี่) เงื่อนไขอิสระในตัวอย่างนี้คือ 3

ในบรรดาสำนวนต่างๆ ที่พิจารณาในพีชคณิต ผลรวมของ monomials ครอบครองสถานที่สำคัญ นี่คือตัวอย่างของสำนวนดังกล่าว:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

ผลรวมของเอกนามเรียกว่าพหุนาม เงื่อนไขในพหุนามเรียกว่าเงื่อนไขของพหุนาม Monomials ยังถูกจัดประเภทเป็นพหุนาม โดยพิจารณาว่า monomial เป็นพหุนามที่ประกอบด้วยสมาชิกหนึ่งตัว

ตัวอย่างเช่น พหุนาม
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
สามารถทำให้ง่ายขึ้น

ให้เราแสดงคำศัพท์ทั้งหมดในรูปแบบของ monomials ของรูปแบบมาตรฐาน:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในพหุนามผลลัพธ์:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
ผลลัพธ์ที่ได้คือพหุนาม ซึ่งเงื่อนไขทั้งหมดเป็นแบบเอกพจน์ของรูปแบบมาตรฐาน และในจำนวนนั้นไม่มีคำที่คล้ายคลึงกัน พหุนามดังกล่าวเรียกว่า พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน.

สำหรับ องศาของพหุนามของรูปแบบมาตรฐานจะมีอำนาจสูงสุดของสมาชิก ดังนั้น ทวินาม \(12a^2b - 7b\) มีดีกรีที่สาม และตรีโนเมียล \(2b^2 -7b + 6\) มีดีกรีที่สอง

โดยทั่วไปแล้ว เงื่อนไขของพหุนามในรูปแบบมาตรฐานที่มีตัวแปรหนึ่งตัวจะถูกจัดเรียงจากมากไปน้อยของเลขชี้กำลังของระดับนั้น ตัวอย่างเช่น:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

ผลรวมของพหุนามหลายตัวสามารถแปลง (ทำให้ง่ายขึ้น) ให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้

บางครั้งเงื่อนไขของพหุนามจำเป็นต้องแบ่งออกเป็นกลุ่มๆ โดยใส่แต่ละกลุ่มไว้ในวงเล็บ เนื่องจากการถ่ายคร่อมเป็นการเปลี่ยนแปลงแบบผกผันของวงเล็บเปิด จึงง่ายต่อการกำหนด กฎการเปิดวงเล็บ:

หากใส่เครื่องหมาย “+” หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายเดียวกัน

หากใส่เครื่องหมาย “-” หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม

การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของ monomial และพหุนาม

การใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ คุณสามารถแปลง (ลดรูป) ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามให้เป็นพหุนามได้ ตัวอย่างเช่น:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามมีค่าเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของโมโนเมียลนี้และแต่ละเทอมของพหุนาม

ผลลัพธ์นี้มักจะถูกกำหนดเป็นกฎ

หากต้องการคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม คุณต้องคูณโมโนเมียลนั้นด้วยเงื่อนไขแต่ละข้อของพหุนาม

เราได้ใช้กฎนี้หลายครั้งเพื่อคูณด้วยผลรวม

ผลคูณของพหุนาม การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของพหุนามสองตัว

โดยทั่วไป ผลคูณของพหุนามสองตัวจะเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งและแต่ละเทอมของอีกเทอมหนึ่ง

โดยปกติจะใช้กฎต่อไปนี้

ในการคูณพหุนามด้วยพหุนาม คุณต้องคูณแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละเทอมของอีกเทอมหนึ่ง แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้

สูตรคูณแบบย่อ ผลรวมกำลังสอง ผลต่าง และผลต่างของกำลังสอง

คุณต้องจัดการกับนิพจน์บางนิพจน์ในการแปลงพีชคณิตบ่อยกว่านิพจน์อื่นๆ บางที สำนวนที่พบบ่อยที่สุดคือ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) และ \(a^2 - b^2 \) กล่าวคือ กำลังสองของผลรวม กำลังสองของ ความแตกต่างและความแตกต่างของกำลังสอง คุณสังเกตเห็นว่าชื่อของนิพจน์เหล่านี้ดูเหมือนจะไม่สมบูรณ์ เช่น \((a + b)^2 \) แน่นอนว่าไม่ใช่แค่กำลังสองของผลรวม แต่เป็นกำลังสองของผลรวมของ a และ b . อย่างไรก็ตาม ผลบวกกำลังสองของ a และ b ไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก ตามกฎแล้ว แทนที่จะเป็นตัวอักษร a และ b กลับมีสำนวนที่หลากหลาย ซึ่งบางครั้งก็ค่อนข้างซับซ้อน

นิพจน์ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) สามารถแปลง (ลดความซับซ้อน) ให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้อย่างง่ายดาย ที่จริงแล้ว คุณประสบปัญหาดังกล่าวแล้วเมื่อทำการคูณพหุนาม : :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= ก^2 + 2ab + ข^2 \)

จะมีประโยชน์ในการจดจำข้อมูลประจำตัวที่เป็นผลลัพธ์และนำไปใช้โดยไม่ต้องคำนวณขั้นกลาง สูตรวาจาสั้น ๆ ช่วยเรื่องนี้

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - กำลังสองของผลรวมเท่ากับผลรวมของกำลังสองและผลคูณสองเท่า

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - กำลังสองของผลต่างเท่ากับผลรวมของกำลังสองที่ไม่มีผลคูณสองเท่า

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ผลต่างของกำลังสองเท่ากับผลคูณของผลต่างและผลรวม

อัตลักษณ์ทั้งสามนี้ทำให้สามารถเปลี่ยนแปลงเพื่อแทนที่ชิ้นส่วนด้านซ้ายด้วยชิ้นส่วนที่ถูกต้อง และในทางกลับกัน - ชิ้นส่วนด้านขวาด้วยชิ้นส่วนด้านซ้าย สิ่งที่ยากที่สุดคือการดูนิพจน์ที่เกี่ยวข้องและทำความเข้าใจว่าตัวแปร a และ b ถูกแทนที่ด้วยตัวแปรเหล่านั้นอย่างไร มาดูตัวอย่างการใช้สูตรคูณแบบย่อกัน