ตัวอย่างเศษส่วนตรรกยะคืออะไร เศษส่วนตรรกยะ

คำนิยาม.ผลรวมของจำนวนเต็มยกกำลังที่ไม่เป็นลบของ X ที่ไม่ทราบค่าซึ่งนำมาด้วยสัมประสิทธิ์ตัวเลขจำนวนหนึ่ง เรียกว่าพหุนาม

ที่นี่: - ตัวเลขจริง

n- ระดับของพหุนาม

การดำเนินงานเกี่ยวกับพหุนาม

1). เมื่อบวก (ลบ) พหุนามสองตัว ค่าสัมประสิทธิ์จะถูกบวก (ลบ) องศาที่เท่ากันไม่รู้จัก x

2). พหุนามสองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อมีดีกรีเท่ากันและมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากันที่กำลัง X เท่ากัน

3). ระดับของพหุนามที่ได้จากการคูณพหุนามสองตัวจะเท่ากับผลรวมของดีกรีของพหุนามที่ถูกคูณ

4) การดำเนินการเชิงเส้นของพหุนามมีคุณสมบัติของการเชื่อมโยง การสับเปลี่ยน และการแจกแจง

5) การหารพหุนามด้วยพหุนามสามารถทำได้โดยใช้กฎ "การหารด้วยมุม"

คำนิยาม. จำนวน x=a เรียกว่ารากของพหุนามหากการแทนที่เป็นพหุนามทำให้กลายเป็นศูนย์ กล่าวคือ

ทฤษฎีบทของเบซูต์ เศษพหุนาม
โดยทวินาม (x-a) เท่ากับค่าของพหุนามที่ x=a นั่นคือ

การพิสูจน์.

ให้ที่ไหน

เมื่อใส่ x=a ในความเท่าเทียมกัน เราก็จะได้

1). เมื่อหารพหุนามด้วยทวินาม (x-a) เศษที่เหลือจะเป็นตัวเลขเสมอ

2). ถ้า a เป็นรากของพหุนาม พหุนามนั้นจะหารด้วยทวินาม (x-a) ลงตัวโดยไม่มีเศษ

3) เมื่อหารพหุนามของดีกรี n ด้วยทวินาม (x-a) เราจะได้พหุนามของดีกรี (n-1)

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตพหุนามของดีกรีใดๆn (n>1) มีอย่างน้อยหนึ่งรูท(นำเสนอโดยไม่มีหลักฐาน)

ผลที่ตามมาพหุนามของดีกรีใดๆ n มีอย่างแน่นอน n รากและเหนือสนามของจำนวนเชิงซ้อนจะถูกแยกย่อยเป็นผลคูณ n ปัจจัยเชิงเส้น เช่น ท่ามกลางรากของพหุนาม อาจมีตัวเลขซ้ำกัน (หลายราก) สำหรับพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริง รากเชิงซ้อนจะปรากฏเป็นคู่คอนจูเกตเท่านั้น ให้เราพิสูจน์ข้อความสุดท้าย

อนุญาต
- รากที่ซับซ้อนพหุนามแล้วขึ้นอยู่กับ ทรัพย์สินทั่วไปจึงสามารถระบุจำนวนเชิงซ้อนได้
- ยังเป็นราก

แต่ละคู่ของรากคอนจูเกตเชิงซ้อนของพหุนามจะสอดคล้องกับตรีโกณมิติกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริง

ที่นี่ พี, ถาม- จำนวนจริง (แสดงตัวอย่าง)

บทสรุป.เราสามารถแสดงพหุนามใดๆ เป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นและตรีโกณมิติกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนจริง

เศษส่วนตรรกยะ

เศษส่วนตรรกยะคืออัตราส่วนของพหุนามสองตัว

ถ้า
แล้วเศษส่วนที่เป็นตรรกยะเรียกว่าเหมาะสม ใน มิฉะนั้นเศษส่วนไม่ถูกต้อง เศษส่วนเกินใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของพหุนาม (ผลหาร) และเศษส่วนตรรกยะแท้ได้โดยการหารพหุนามในตัวเศษด้วยพหุนามในตัวส่วน

- เศษส่วนตรรกยะไม่ตรง

เศษส่วนตรรกยะที่ไม่เหมาะสมนี้สามารถแสดงได้ในรูปแบบต่อไปนี้

เมื่อคำนึงถึงสิ่งที่แสดงไว้ ในอนาคตเราจะพิจารณาเฉพาะเศษส่วนที่เป็นตรรกยะที่เหมาะสมเท่านั้น

มีสิ่งที่เรียกว่าเศษส่วนตรรกศาสตร์แบบง่าย ซึ่งเป็นเศษส่วนที่ไม่สามารถทำให้ถูกทำให้ง่ายขึ้นในทางใดทางหนึ่ง เศษส่วนที่ง่ายที่สุดเหล่านี้มีลักษณะดังนี้:

เศษส่วนตรรกยะแท้ในรูปแบบที่ซับซ้อนกว่าสามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุดได้เสมอ เซตของเศษส่วนถูกกำหนดโดยเซตรากของพหุนามที่ปรากฏในตัวส่วนของเศษส่วนตรรกยะที่ลดไม่ได้ กฎในการแยกเศษส่วนให้เหลือน้อยที่สุดมีดังนี้

ให้เศษส่วนตรรกยะแสดงในรูปแบบต่อไปนี้

ในที่นี้ ตัวเศษของเศษส่วนที่ง่ายที่สุดจะมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก ซึ่งสามารถกำหนดได้โดยวิธีการเสมอ ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน- สาระสำคัญของวิธีนี้คือการเทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากันของ X สำหรับพหุนามในตัวเศษของเศษส่วนดั้งเดิมและพหุนามในตัวเศษของเศษส่วนที่ได้รับหลังจากลดเศษส่วนที่ง่ายที่สุดให้เป็นตัวส่วนร่วม

ลองหาค่าสัมประสิทธิ์ของกำลัง X เท่ากัน

เราได้การแก้ระบบสมการสำหรับสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก

ดังนั้น, เศษส่วนที่กำหนดสามารถแสดงด้วยเซตของเศษส่วนอย่างง่ายต่อไปนี้

นำไปสู่ ตัวส่วนร่วมเราตรวจสอบให้แน่ใจว่าปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง

นิพจน์เศษส่วนใดๆ (ข้อ 48) สามารถเขียนได้ในรูปแบบ โดยที่ P และ Q เป็นนิพจน์เหตุผล และ Q จำเป็นต้องมีตัวแปร เศษส่วนดังกล่าวเรียกว่าเศษส่วนตรรกยะ

ตัวอย่างของเศษส่วนตรรกยะ:

คุณสมบัติหลักของเศษส่วนแสดงออกมาด้วยอัตลักษณ์ที่ยุติธรรมภายใต้เงื่อนไขนี้ นั่นคือนิพจน์เชิงเหตุผลทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าตัวเศษและส่วนของเศษส่วนตรรกยะสามารถคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ โมโนเมียล หรือพหุนามเดียวกันได้

ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติของเศษส่วนสามารถใช้เพื่อเปลี่ยนเครื่องหมายของเศษส่วนได้ หากตัวเศษและส่วนของเศษส่วนคูณด้วย -1 เราจะได้ ดังนั้นค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงหากเครื่องหมายของเศษและส่วนมีการเปลี่ยนแปลงพร้อมกัน หากคุณเปลี่ยนเครื่องหมายเฉพาะตัวเศษหรือตัวส่วนเท่านั้น เศษส่วนจะเปลี่ยนเครื่องหมาย:

ตัวอย่างเช่น,

60. การลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะ

การลดเศษส่วนหมายถึงการหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยตัวประกอบร่วม ความเป็นไปได้ที่จะลดลงนั้นเกิดจากคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน

หากต้องการลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะ คุณต้องแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน หากปรากฎว่าตัวเศษและตัวส่วนมีตัวประกอบร่วมกัน เศษส่วนก็สามารถลดลงได้ หากไม่มีปัจจัยร่วม การแปลงเศษส่วนด้วยการลดลงจะเป็นไปไม่ได้

ตัวอย่าง. ลดเศษส่วน

สารละลาย. เรามี

การลดเศษส่วนจะดำเนินการภายใต้เงื่อนไข

61. การลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะให้เป็นตัวส่วนร่วม

ตัวส่วนร่วมของเศษส่วนที่เป็นตรรกยะหลายตัวคือนิพจน์ตรรกศาสตร์ทั้งหมด ซึ่งหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วน (ดูย่อหน้าที่ 54)

ตัวอย่างเช่น ตัวส่วนร่วมของเศษส่วนเป็นพหุนามเนื่องจากหารด้วยทั้งสองและโดยพหุนาม พหุนาม และพหุนามได้ลงตัว เป็นต้น โดยปกติแล้วเศษส่วนจะใช้ตัวส่วนร่วมจนตัวส่วนร่วมอื่นๆ หารด้วย Echosen ลงตัวได้ เช่น ตัวส่วนที่ง่ายที่สุดบางครั้งเรียกว่าตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด

ในตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น ตัวส่วนร่วมคือ เรามี

การลดเศษส่วนเหล่านี้ให้เป็นตัวส่วนร่วมทำได้โดยการคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนแรกด้วย 2 และตัวเศษและส่วนของเศษส่วนที่สองด้วยพหุนามเรียกว่าตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนตัวแรกและตัวที่สองตามลำดับ ตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนที่กำหนดจะเท่ากับผลหารของการหารตัวส่วนร่วมด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนด

ในการลดเศษส่วนจำนวนตรรกยะให้เป็นตัวส่วนร่วม คุณต้องมี:

1) แยกตัวประกอบของเศษส่วนแต่ละส่วน

2) สร้างตัวส่วนร่วมโดยรวมปัจจัยทั้งหมดที่ได้รับในขั้นตอนที่ 1) ของการขยายเป็นปัจจัย หากมีปัจจัยบางอย่างในการขยายหลาย ๆ รายการ ก็จะมีเลขชี้กำลังเท่ากับค่าที่ใหญ่ที่สุดที่มีอยู่

3) ค้นหาปัจจัยเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วน (สำหรับสิ่งนี้ ตัวส่วนร่วมจะถูกหารด้วยตัวส่วนของเศษส่วน)

4) คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบเพิ่มเติม นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม

ตัวอย่าง. ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม

สารละลาย. ลองแยกตัวประกอบตัวส่วน:

จะต้องรวมปัจจัยต่อไปนี้ในตัวส่วนร่วม: และตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 12, 18, 24 เช่น ซึ่งหมายความว่าตัวส่วนร่วมมีรูปแบบ

ปัจจัยเพิ่มเติม: สำหรับเศษส่วนแรกของส่วนที่สองสำหรับส่วนที่สาม ดังนั้นเราจึงได้:

62. การบวกและการลบเศษส่วนตรรกยะ

ผลรวมของสอง (และโดยทั่วไปใดๆ จำนวนจำกัด) เศษส่วนตรรกยะด้วย ตัวส่วนเดียวกันเท่ากับเศษส่วนที่มีทั้งตัวส่วนและตัวเศษเท่ากัน เท่ากับจำนวนเงินตัวเศษของเศษส่วนบวก:

สถานการณ์จะคล้ายกันในกรณีของการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน:

ตัวอย่างที่ 1: ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย.

การบวกหรือลบเศษส่วนตรรกยะด้วย ตัวส่วนที่แตกต่างกันคุณต้องลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนร่วมก่อน จากนั้นจึงดำเนินการกับเศษส่วนผลลัพธ์ที่มีตัวส่วนเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 2: ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย. เรามี

63. การคูณและการหารเศษส่วนตรรกยะ

ผลคูณของเศษส่วนตรรกยะสองตัว (และโดยทั่วไปจะเป็นจำนวนจำกัด) จะเท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษเท่ากัน เท่ากับสินค้าตัวเศษและตัวส่วน - ผลคูณของตัวส่วนของเศษส่วนคูณ:

ผลหารของการหารเศษส่วนจำนวนตรรกยะสองตัวจะเท่ากับเศษส่วนที่ตัวเศษเท่ากับผลคูณของตัวเศษของเศษส่วนแรกและตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง และตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวส่วนของเศษส่วนแรกและ ตัวเศษของเศษส่วนที่สอง:

กฎการคูณและการหารที่กำหนดไว้ยังใช้กับกรณีของการคูณหรือการหารด้วยพหุนามด้วย: ก็เพียงพอแล้วที่จะเขียนพหุนามนี้ในรูปของเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 1

เมื่อพิจารณาถึงความเป็นไปได้ในการลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะที่ได้จากการคูณหรือหารเศษส่วนที่เป็นตรรกยะ พวกเขามักจะพยายามแยกตัวประกอบของเศษและส่วนของเศษส่วนดั้งเดิมก่อนที่จะดำเนินการเหล่านี้

ตัวอย่างที่ 1: ทำการคูณ

สารละลาย. เรามี

จากการใช้กฎการคูณเศษส่วน จะได้:

ตัวอย่างที่ 2: ดำเนินการแบ่ง

สารละลาย. เรามี

เมื่อใช้กฎการหารเราจะได้:

64. การเพิ่มเศษส่วนที่เป็นตรรกยะให้เป็นกำลังทั้งหมด

ในการเพิ่มเศษส่วนตรรกยะ - ถึง ระดับธรรมชาติคุณต้องแยกตัวเศษและส่วนของเศษส่วนออกเป็นกำลังนี้แยกจากกัน นิพจน์แรกคือตัวเศษ และนิพจน์ที่สองคือตัวส่วนของผลลัพธ์:

ตัวอย่างที่ 1: แปลงเป็นเศษส่วนของกำลัง 3

โซลูชั่น โซลูชั่น.

เมื่อบวกเศษส่วนให้เป็นจำนวนเต็ม ระดับลบมีการใช้ข้อมูลประจำตัวที่ถูกต้องสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรที่

ตัวอย่างที่ 2: แปลงนิพจน์ให้เป็นเศษส่วน

65. การแปลงนิพจน์เชิงเหตุผล

การแปลงนิพจน์เชิงตรรกใดๆ จะต้องอาศัยการบวก ลบ คูณ และหารเศษส่วนตรรกยะ รวมถึงการบวกเศษส่วนให้เป็นกำลังธรรมชาติ นิพจน์ตรรกยะใดๆ สามารถแปลงเป็นเศษส่วนได้ โดยทั้งเศษและส่วนเป็นนิพจน์ตรรกศาสตร์ทั้งหมด ตามกฎแล้วนี่คือเป้าหมายของการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ การแสดงออกที่มีเหตุผล.

ตัวอย่าง. ลดความซับซ้อนของนิพจน์

66. การแปลงรากเลขคณิต (ราก) ที่ง่ายที่สุด

เมื่อแปลงโคเรียทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติของพวกมันจะถูกใช้ (ดูย่อหน้าที่ 35)

มาดูตัวอย่างการใช้คุณสมบัติกัน รากเลขคณิตสำหรับการแปลงรากที่ง่ายที่สุด ในกรณีนี้ เราจะถือว่าตัวแปรทั้งหมดรับเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 1. แยกรากของผลิตภัณฑ์

สารละลาย. เมื่อใช้คุณสมบัติ 1° เราจะได้:

ตัวอย่างที่ 2 ลบตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูท

สารละลาย.

การแปลงนี้เรียกว่าการลบตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายรูท จุดประสงค์ของการเปลี่ยนแปลงคือการทำให้นิพจน์รากศัพท์ง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 3: ลดความซับซ้อน

สารละลาย. ด้วยคุณสมบัติของ 3° ที่เรามี โดยปกติแล้วพวกมันจะพยายามทำให้นิพจน์รากง่ายขึ้น โดยจะดึงตัวประกอบออกจากเครื่องหมายโคเรียม เรามี

ตัวอย่างที่ 4: ลดความซับซ้อน

สารละลาย. ลองแปลงนิพจน์โดยใส่ตัวประกอบภายใต้เครื่องหมายราก: ตามคุณสมบัติ 4° ที่เรามี

ตัวอย่างที่ 5: ลดความซับซ้อน

สารละลาย. ด้วยสมบัติของ 5° เรามีสิทธิ์แบ่งเลขชี้กำลังของรากและเลขชี้กำลังของนิพจน์รากออกเป็นสิ่งเดียวกัน จำนวนธรรมชาติ- หากในตัวอย่างที่กำลังพิจารณาเราหารตัวบ่งชี้ที่ระบุด้วย 3 เราจะได้

ตัวอย่างที่ 6 ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

วิธีแก้ปัญหา a) ตามคุณสมบัติ 1° เราพบว่าในการคูณรากที่มีระดับเดียวกัน ก็เพียงพอที่จะคูณนิพจน์รากและแยกรากที่มีระดับเดียวกันออกจากผลลัพธ์ที่ได้ วิธี,

b) ก่อนอื่น เราต้องลดอนุมูลให้เหลือตัวบ่งชี้เดียว จากคุณสมบัติของ 5° เราสามารถคูณเลขชี้กำลังของรากและเลขชี้กำลังของนิพจน์รากด้วยจำนวนธรรมชาติที่เท่ากันได้ ดังนั้น ต่อไป ตอนนี้เราได้ผลลัพธ์ที่ได้โดยการหารเลขชี้กำลังของรากและระดับของนิพจน์รากด้วย 3 เราได้

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความบางอย่าง พหุนาม ระดับที่ n(หรือลำดับที่ n) เราจะเรียกนิพจน์ในรูปแบบ $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n )+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$ ตัวอย่างเช่น นิพจน์ $4x^(14)+87x^2+4x-11$ เป็นพหุนามที่มีดีกรีเป็น $14$ สามารถเขียนแทนได้ดังนี้: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

อัตราส่วนของพหุนามสองตัว $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ เรียกว่า ฟังก์ชันตรรกยะหรือ เศษส่วนตรรกยะ- ถ้าให้เจาะจงกว่านี้ก็คือ ฟังก์ชันตรรกยะตัวแปรหนึ่งตัว (เช่น ตัวแปร $x$)

เศษส่วนตรรกยะเรียกว่า ถูกต้องถ้า $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, ปริญญาน้อยกว่าพหุนามในตัวส่วน มิฉะนั้น (ถ้า $n ≥ m$) เศษส่วนจะถูกเรียก ผิด.

ตัวอย่างหมายเลข 1

จงระบุว่าเศษส่วนใดต่อไปนี้เป็นตรรกยะ หากเศษส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ ให้ค้นหาว่าเศษส่วนนั้นถูกต้องหรือไม่

1. $\frac(3x^2+5\sin x-4)(2x+5)$;
2. $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$;
3. $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4) (3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$;
4. $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$.

1) เศษส่วนนี้ไม่เป็นตรรกยะเนื่องจากมี $\sin x$ เศษส่วนตรรกยะไม่อนุญาตให้ทำเช่นนี้

2) เรามีอัตราส่วนของพหุนามสองตัว: $5x^2+3x-8$ และ $11x^9+25x^2-4$ ดังนั้น ตามคำจำกัดความ นิพจน์ $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$ จึงเป็นเศษส่วนตรรกยะ เนื่องจากดีกรีของพหุนามในตัวเศษเท่ากับ $2$ และดีกรีของพหุนามในตัวส่วนเท่ากับ $9$ ดังนั้นเศษส่วนนี้จึงเหมาะสม (เนื่องจาก $2< 9$).

3) ทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนนี้มีพหุนาม (แยกตัวประกอบเป็นปัจจัย) มันไม่สำคัญสำหรับเราเลยว่าจะนำเสนอพหุนามตัวเศษและตัวส่วนในรูปแบบใด: ไม่ว่าจะแยกตัวประกอบหรือไม่ก็ตาม เนื่องจากเรามีอัตราส่วนของพหุนามสองตัว ดังนั้นตามคำจำกัดความ นิพจน์ $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x ^6+9x ^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$ เป็นเศษส่วนตรรกยะ

เพื่อที่จะตอบคำถามว่าเศษส่วนที่กำหนดนั้นถูกต้องหรือไม่ เราจะต้องกำหนดกำลังของพหุนามในตัวเศษและตัวส่วน เริ่มจากตัวเศษกันก่อนนั่นคือ จากนิพจน์ $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$ หากต้องการกำหนดระดับของพหุนามนี้ คุณสามารถเปิดวงเล็บได้แน่นอน อย่างไรก็ตาม การกระทำอย่างมีเหตุผลนั้นง่ายกว่ามาก เพราะเราสนใจแต่เพียงเท่านั้น ระดับสูงสุดตัวแปร $x$ จากแต่ละวงเล็บ เราเลือกตัวแปร $x$ จนถึงระดับสูงสุด จากวงเล็บ $(2x^3+8x+4)$ เราจะได้ $x^3$ จากวงเล็บ $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ เราจะได้ $(x^4) ^9=x ^(4\cdot9)=x^(36)$ และจากวงเล็บ $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ เราเลือก $x^7$ จากนั้น หลังจากเปิดวงเล็บแล้ว กำลังที่ใหญ่ที่สุดของตัวแปร $x$ จะเป็นดังนี้:

$$ x^3\cdot x^(36)\cdot x^7=x^(3+36+7)=x^(46) -

ระดับของพหุนามที่อยู่ในตัวเศษคือ $46$ ทีนี้มาดูตัวส่วนกันดีกว่า เช่น เป็นนิพจน์ $(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1)$ ระดับของพหุนามนี้ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับตัวเศษนั่นคือ

$$ x\cdot (x^2)^(15)\cdot x^(10)=x^(1+30+10)=x^(41) -

ตัวส่วนประกอบด้วยพหุนามของดีกรี 41 เนื่องจากดีกรีของพหุนามในตัวเศษ (เช่น 46) ไม่น้อยกว่าดีกรีของพหุนามในตัวส่วน (เช่น 41) ดังนั้นเศษส่วนที่เป็นตรรกยะคือ $\frac((2x^3+8x+4)(8x ^4+5x^ 3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^( 10)+9x- 1))$ ไม่ถูกต้อง

4) ตัวเศษของเศษส่วน $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$ มีตัวเลข $3$ กล่าวคือ พหุนาม ระดับศูนย์- อย่างเป็นทางการ ตัวเศษสามารถเขียนได้ดังนี้: $3x^0=3\cdot1=3$ ในตัวส่วน เรามีพหุนามซึ่งมีดีกรีเท่ากับ $6\cdot 4=24$ อัตราส่วนของพหุนามสองตัวเป็นเศษส่วนตรรกยะ ตั้งแต่ $0< 24$, то данная дробь является правильной.

คำตอบ: 1) เศษส่วนไม่เป็นตรรกยะ; 2) เศษส่วนตรรกยะ (เหมาะสม); 3) เศษส่วนตรรกยะ (ผิดปกติ); 4) เศษส่วนตรรกยะ (เหมาะสม)

ตอนนี้เรามาดูแนวคิดเรื่องเศษส่วนเบื้องต้นกัน (เรียกอีกอย่างว่าเศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุด) เศษส่วนตรรกศาสตร์เบื้องต้นมีสี่ประเภท:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4,\ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

หมายเหตุ (ต้องการให้เข้าใจข้อความได้ครบถ้วนยิ่งขึ้น): show\hide

เหตุใดจึงจำเป็นต้องมีเงื่อนไข $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим สมการกำลังสอง$x^2+px+q=0$. การแบ่งแยกของสมการนี้คือ $D=p^2-4q$ โดยพื้นฐานแล้ว เงื่อนไข $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет รากที่แท้จริง- เหล่านั้น. แยกตัวประกอบนิพจน์ $x^2+px+q$ ไม่ได้ มันคือความไม่สามารถย่อยสลายได้ที่เราสนใจ

ตัวอย่างเช่น สำหรับนิพจน์ $x^2+5x+10$ เราจะได้: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$ ตั้งแต่ $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

อย่างไรก็ตาม สำหรับการตรวจสอบนี้ ไม่จำเป็นเลยที่สัมประสิทธิ์ก่อน $x^2$ จะเท่ากับ 1 ตัวอย่างเช่น สำหรับ $5x^2+7x-3=0$ เราจะได้: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. เนื่องจาก $D > 0$ นิพจน์ $5x^2+7x-3$ จึงสามารถแยกตัวประกอบได้

งานมีดังนี้: ได้รับ ถูกต้องแทนเศษส่วนตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วนตรรกยะเบื้องต้น เนื้อหาที่นำเสนอในหน้านี้มีวัตถุประสงค์เพื่อแก้ไขปัญหานี้โดยเฉพาะ ก่อนอื่นคุณต้องแน่ใจว่าคุณทำเสร็จแล้ว เงื่อนไขต่อไป: พหุนามในตัวส่วนของเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสมจะถูกแยกตัวประกอบในลักษณะที่การขยายตัวนี้มีเพียงวงเล็บปีกกาในรูปแบบ $(x-a)^n$ หรือ $(x^2+px+q)^n$ ($p ^2-4คิว< 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:

1. แต่ละวงเล็บที่อยู่ในรูปแบบ $(x-a)$ ที่อยู่ในตัวส่วนจะสอดคล้องกับเศษส่วน $\frac(A)(x-a)$
2. แต่ละวงเล็บของรูปแบบ $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$) ที่อยู่ในตัวส่วนจะสอดคล้องกับผลรวมของเศษส่วน $n$: $\frac(A_1)(x-a)+ \frac( A_2)((x-a)^2)+\frac(A_3)((x-a)^3)+\ldots+\frac(A_n)((x-a)^n)$
3. แต่ละวงเล็บจะมีรูปแบบ $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
4. แต่ละวงเล็บจะมีรูปแบบ $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.

หากเศษส่วนไม่เหมาะสม ก่อนที่จะใช้โครงร่างข้างต้น คุณควรหารมันเป็นผลรวมของส่วนจำนวนเต็ม (พหุนาม) และเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสม เราจะดูว่าจะดำเนินการอย่างไรต่อไป (ดูตัวอย่างที่ 2 จุดที่ 3) คำสองสามคำเกี่ยวกับการกำหนดตัวอักษรในตัวเศษ (เช่น $A$, $A_1$, $C_2$ และอื่นๆ) คุณสามารถใช้ตัวอักษรใดก็ได้เพื่อให้เหมาะกับรสนิยมของคุณ สิ่งสำคัญคือต้องมีตัวอักษรเหล่านี้เท่านั้น หลากหลายในเศษส่วนเบื้องต้นทั้งหมด หากต้องการค้นหาค่าของพารามิเตอร์เหล่านี้ให้ใช้วิธีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดหรือวิธีทดแทนค่าบางส่วน (ดูตัวอย่างหมายเลข 3 หมายเลข 4 และหมายเลข 5)

ตัวอย่างหมายเลข 2

แยกเศษส่วนตรรกยะที่กำหนดให้เป็นเศษส่วนเบื้องต้น (โดยไม่ต้องค้นหาพารามิเตอร์):

1. $\frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5) $;
2. $\frac(x^2+10)((x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10))$;
3. $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$.

1) เรามีเศษส่วนตรรกยะ. ตัวเศษของเศษส่วนนี้มีพหุนามของดีกรีที่ 4 และตัวส่วนมีพหุนามที่มีดีกรีเท่ากับ $17$ (วิธีการหาระดับนี้มีอธิบายรายละเอียดในจุดที่ 3 ของตัวอย่างที่ 1) เนื่องจากดีกรีของพหุนามในตัวเศษน้อยกว่าดีกรีของพหุนามในตัวส่วน เศษส่วนนี้จึงเหมาะสม ลองหันไปหาตัวส่วนของเศษส่วนนี้. เริ่มจากวงเล็บ $(x-5)$ และ $(x+2)^4$ ซึ่งอยู่ในรูปแบบ $(x-a)^n$ โดยสมบูรณ์ นอกจากนี้ ยังมีวงเล็บ $(x^2+3x+10)$ และ $(x^2+11)^5$ อีกด้วย นิพจน์ $(x^2+3x+10)$ มีรูปแบบ $(x^2+px+q)^n$ โดยที่ $p=3$; $q=10$, $n=1$. ตั้งแต่ $p^2-4q=9-40=-31< 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем เอาต์พุตถัดไป: พหุนามในตัวส่วนจะถูกแยกตัวประกอบในลักษณะที่การแยกตัวประกอบนี้มีเพียงวงเล็บอยู่ในรูปแบบ $(x-a)^n$ หรือ $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:

$$ \frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5 )=\frac(A)(x-5)+\ldots $$

ผลลัพธ์สามารถเขียนได้ดังนี้:

$$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22 . -

จากนั้นเศษส่วน $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ สามารถแสดงได้ในอีกรูปแบบหนึ่ง:

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\frac((x^3-2x^2 +4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\\ =\frac((x^3-2x^2+ 4x-8)(3x^2+x))(x^3-2x^2+4x-8)+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) =\\ =3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) -

เศษส่วน $\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ เป็นเศษส่วนตรรกยะที่ถูกต้อง เนื่องจากระดับของพหุนามในตัวเศษ (เช่น 2) น้อยกว่า ระดับของพหุนามในตัวส่วน ( เช่น 3) ทีนี้ ลองดูตัวส่วนของเศษส่วนนี้กัน. ตัวส่วนประกอบด้วยพหุนามที่ต้องแยกตัวประกอบ บางครั้งรูปแบบของฮอร์เนอร์ก็มีประโยชน์สำหรับการแยกตัวประกอบ แต่ในกรณีของเรา มันง่ายกว่าที่จะใช้วิธีการจัดกลุ่มคำศัพท์แบบ "โรงเรียน":

$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\ \ 3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)((x -2)\cdot(x^2+4)) $$

โดยใช้วิธีการเดียวกับใน ย่อหน้าก่อนหน้าเราได้รับ:

$$ \frac(4x^2+x+22)((x-2)\cdot(x^2+4))=\frac(A)(x-2)+\frac(Cx+D)(x ^2+4) $$

ในที่สุดเราก็มี:

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(A)( x-2)+\frac(Cx+D)(x^2+4) $$

หัวข้อนี้จะดำเนินต่อไปในส่วนที่สอง

จากหลักสูตรพีชคณิต หลักสูตรของโรงเรียนมาดูข้อมูลเฉพาะกันดีกว่า ในบทความนี้เราจะศึกษารายละเอียด ชนิดพิเศษการแสดงออกอย่างมีเหตุผล – เศษส่วนตรรกยะและพิจารณาด้วยว่าลักษณะใดที่เหมือนกัน การแปลงเศษส่วนตรรกยะเกิดขึ้น

ให้เราทราบทันทีว่าเศษส่วนตรรกยะในแง่ที่เรานิยามไว้ด้านล่างนี้เรียกว่าเศษส่วนพีชคณิตในตำราพีชคณิตบางเล่ม นั่นคือในบทความนี้ เราจะเข้าใจเศษส่วนเชิงตรรกยะและพีชคณิตว่ามีความหมายเหมือนกัน

ตามปกติเรามาเริ่มด้วยคำจำกัดความและตัวอย่างกันก่อน ต่อไป เราจะพูดถึงการนำเศษส่วนที่เป็นตรรกยะมาสู่ตัวส่วนใหม่และการเปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกของเศษส่วน หลังจากนี้เรามาดูวิธีลดเศษส่วนกัน สุดท้ายนี้ เรามาดูการแสดงเศษส่วนที่เป็นตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วนหลายๆ ตัวกัน เราจะให้ข้อมูลทั้งหมดพร้อมตัวอย่าง คำอธิบายโดยละเอียดการตัดสินใจ

การนำทางหน้า

ความหมายและตัวอย่างของเศษส่วนตรรกยะ

เศษส่วนตรรกยะกำลังเรียนอยู่ในบทเรียนพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เราจะใช้คำจำกัดความของเศษส่วนตรรกยะซึ่ง Yu. N. Makarychev และคณะให้ไว้ในตำราพีชคณิตสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

ใน คำจำกัดความนี้ไม่ได้ระบุว่าพหุนามในตัวเศษและส่วนของเศษส่วนตรรกยะต้องเป็นพหุนามหรือไม่ มุมมองมาตรฐานหรือไม่ ดังนั้น เราจะถือว่าสัญลักษณ์สำหรับเศษส่วนตรรกยะสามารถมีทั้งพหุนามมาตรฐานและไม่เป็นมาตรฐาน

นี่คือบางส่วน ตัวอย่างของเศษส่วนตรรกยะ- ดังนั้น x/8 และ - เศษส่วนตรรกยะ และเศษส่วน และไม่สอดคล้องกับคำจำกัดความที่ระบุของเศษส่วนตรรกยะ เนื่องจากในตัวเศษตัวแรกไม่มีพหุนาม และตัวที่สองทั้งตัวเศษและตัวส่วนมีนิพจน์ที่ไม่ใช่พหุนาม

การแปลงตัวเศษและส่วนของเศษส่วนตรรกยะ

ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนใดๆ สามารถพึ่งพาตนเองได้ นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ในกรณีของเศษส่วนตรรกยะ สิ่งเหล่านี้คือพหุนาม ในบางกรณี เอกนามและตัวเลข ดังนั้น การแปลงที่เหมือนกันสามารถทำได้โดยใช้ทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนตรรกยะ เช่นเดียวกับนิพจน์อื่นๆ กล่าวอีกนัยหนึ่ง นิพจน์ในตัวเศษของเศษส่วนตรรกยะสามารถถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เท่ากันเหมือนกันได้ เช่นเดียวกับตัวส่วน

คุณสามารถทำการแปลงที่เหมือนกันทั้งในตัวเศษและส่วนของเศษส่วนตรรกยะได้ ตัวอย่างเช่น ในตัวเศษ คุณสามารถจัดกลุ่มและลดได้ เงื่อนไขที่คล้ายกันและในตัวส่วน ให้แทนที่ผลคูณของตัวเลขหลายจำนวนด้วยค่าของมัน และเนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่เป็นตรรกยะเป็นพหุนาม จึงเป็นไปได้ที่จะทำการแปลงลักษณะของพหุนามด้วยพวกมัน เช่น ลดขนาดให้เป็นรูปแบบมาตรฐานหรือแสดงแทนในรูปของผลิตภัณฑ์

เพื่อความชัดเจน ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาสำหรับหลายๆ ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แปลงเศษส่วนตรรกยะ เพื่อให้ตัวเศษมีพหุนามในรูปแบบมาตรฐาน และตัวส่วนมีผลคูณของพหุนาม

สารละลาย.

การลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะให้เหลือตัวส่วนใหม่นั้นส่วนใหญ่จะใช้ในการบวกและลบเศษส่วนที่เป็นตรรกยะ

การเปลี่ยนเครื่องหมายหน้าเศษส่วน เช่นเดียวกับทั้งเศษและส่วน

คุณสมบัติหลักของเศษส่วนสามารถใช้เพื่อเปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกของเศษส่วนได้ อันที่จริง การคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนตรรกยะด้วย -1 เทียบเท่ากับการเปลี่ยนเครื่องหมาย และผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนเท่ากันกับเศษส่วนที่กำหนด การแปลงนี้ต้องใช้ค่อนข้างบ่อยเมื่อทำงานกับเศษส่วนตรรกยะ

ดังนั้น หากคุณเปลี่ยนเครื่องหมายของทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนไปพร้อมๆ กัน คุณจะได้เศษส่วนเท่ากับเศษส่วนดั้งเดิม คำสั่งนี้ตอบด้วยความเท่าเทียมกัน

ลองยกตัวอย่าง เศษส่วนตรรกยะสามารถถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนที่เท่ากันโดยมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของตัวเศษและตัวส่วนของแบบฟอร์ม

คุณสามารถทำอีกอย่างหนึ่งกับเศษส่วนได้: การเปลี่ยนแปลงตัวตนซึ่งเครื่องหมายของตัวเศษหรือตัวส่วนจะเปลี่ยนไป ให้เราระบุกฎที่เกี่ยวข้อง หากคุณแทนที่เครื่องหมายเศษส่วนพร้อมกับเครื่องหมายของเศษหรือส่วน คุณจะได้เศษส่วนที่เท่ากันกับเศษส่วนดั้งเดิม ข้อความที่เป็นลายลักษณ์อักษรสอดคล้องกับความเท่าเทียมกันและ

การพิสูจน์ความเท่าเทียมเหล่านี้ไม่ใช่เรื่องยาก การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณตัวเลข มาพิสูจน์กันก่อน: . การใช้การแปลงที่คล้ายกันจะพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน

ตัวอย่างเช่น เศษส่วนสามารถถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ หรือ

เพื่อสรุปประเด็นนี้ เรานำเสนอความเสมอภาคที่เป็นประโยชน์อีกสองประการ และ นั่นคือ ถ้าคุณเปลี่ยนเครื่องหมายเฉพาะตัวเศษหรือตัวส่วนเท่านั้น เศษส่วนจะเปลี่ยนเครื่องหมายของมัน ตัวอย่างเช่น, และ .

การแปลงที่พิจารณาซึ่งอนุญาตให้เปลี่ยนเครื่องหมายของเงื่อนไขของเศษส่วนมักใช้เมื่อแปลงนิพจน์เชิงตรรกยะแบบเศษส่วน

การลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะ

การแปลงเศษส่วนตรรกยะต่อไปนี้ เรียกว่าการลดเศษส่วนตรรกยะ จะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนที่เหมือนกัน การแปลงนี้สอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน โดยที่ a, b และ c เป็นพหุนามบางส่วน และ b และ c ไม่ใช่ศูนย์

จากความเท่าเทียมกันข้างต้น เห็นได้ชัดว่าการลดเศษส่วนตรรกยะหมายถึงการกำจัด ตัวคูณทั่วไปในตัวเศษและส่วนของมัน.

ตัวอย่าง.

ยกเลิกเศษส่วนที่เป็นตรรกยะ

สารละลาย.

ปัจจัยร่วม 2 มองเห็นได้ทันที มาลดค่าลงกัน (เมื่อเขียน จะสะดวกที่จะขีดฆ่าปัจจัยทั่วไปที่กำลังลดลง) เรามี - เนื่องจาก x 2 =x·x และ y 7 =y 3 ·y 4 (ดูถ้าจำเป็น) จึงชัดเจนว่า x เป็นตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์ เช่นเดียวกับ y 3 มาลดปัจจัยเหล่านี้กัน: - การดำเนินการลดเสร็จสมบูรณ์

ข้างต้นเราได้ดำเนินการลดเศษส่วนตรรกยะตามลำดับ หรืออาจทำการลดในขั้นตอนเดียวโดยลดเศษส่วนลง 2 x y 3 ทันที ในกรณีนี้ วิธีแก้ไขจะมีลักษณะดังนี้: .

คำตอบ:

.

เมื่อลดเศษส่วนตรรกยะ ปัญหาหลักคือตัวประกอบร่วมของทั้งเศษและส่วนไม่สามารถมองเห็นได้เสมอไป ยิ่งกว่านั้นมันไม่ได้มีอยู่จริงเสมอไป เพื่อที่จะหาตัวประกอบร่วมหรือตรวจสอบว่าไม่มีตัวประกอบนั้น คุณจะต้องแยกตัวประกอบของเศษและส่วนของเศษส่วนตรรกยะ หากไม่มีปัจจัยร่วม ก็ไม่จำเป็นต้องลดเศษส่วนตรรกยะเดิม ไม่เช่นนั้น จะดำเนินการลด

ความแตกต่างต่างๆ สามารถเกิดขึ้นได้ในกระบวนการลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะ รายละเอียดปลีกย่อยหลักจะกล่าวถึงในบทความการลดเศษส่วนพีชคณิตโดยใช้ตัวอย่างและรายละเอียด

เมื่อสรุปบทสนทนาเกี่ยวกับการลดเศษส่วนตรรกยะ เราสังเกตว่าการแปลงนี้เหมือนกัน และปัญหาหลักในการใช้งานอยู่ที่การแยกตัวประกอบพหุนามในตัวเศษและตัวส่วน

การแสดงเศษส่วนตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วน

การเปลี่ยนแปลงของเศษส่วนตรรกยะค่อนข้างเฉพาะเจาะจง แต่ในบางกรณีก็มีประโยชน์มาก ซึ่งประกอบด้วยการแทนผลรวมของเศษส่วนหลายส่วน หรือผลรวมของนิพจน์ทั้งหมดและเศษส่วน

เศษส่วนตรรกยะซึ่งมีตัวเศษประกอบด้วยพหุนามซึ่งแสดงถึงผลรวมของเศษส่วนเชิงเดี่ยวหลายตัว สามารถเขียนเป็นผลรวมของเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากันได้เสมอ โดยตัวเศษจะมี monomials ที่สอดคล้องกันเสมอ ตัวอย่างเช่น, - การแทนค่านี้อธิบายได้ด้วยกฎสำหรับการบวกและการลบเศษส่วนพีชคณิตที่มีตัวส่วนเหมือนกัน

โดยทั่วไป เศษส่วนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น เศษส่วน a/b สามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนสองส่วน - เศษส่วนใดๆ c/d และเศษส่วนเท่ากับผลต่างระหว่างเศษส่วน a/b และ c/d ข้อความนี้เป็นจริง เนื่องจากมีความเท่าเทียมกัน - ตัวอย่างเช่น เศษส่วนตรรกยะสามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนได้ ในรูปแบบต่างๆ: ลองจินตนาการถึงเศษส่วนดั้งเดิมว่าเป็นผลรวมของนิพจน์จำนวนเต็มและเศษส่วน โดยการหารตัวเศษด้วยตัวส่วนด้วยคอลัมน์ เราจะได้ความเท่าเทียมกัน - ค่าของนิพจน์ n 3 +4 สำหรับจำนวนเต็มใดๆ n คือจำนวนเต็ม และค่าของเศษส่วนจะเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อตัวส่วนเป็น 1, −1, 3 หรือ −3 ค่าเหล่านี้สอดคล้องกับค่า n=3, n=1, n=5 และ n=−1 ตามลำดับ

คำตอบ:

−1 , 1 , 3 , 5 .

อ้างอิง.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียน สถาบันการศึกษา/ เอ.จี. มอร์ดโควิช. - ฉบับที่ 13, ฉบับที่. - อ.: Mnemosyne, 2009. - 160 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01198-9.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 น.: ป่วย ไอ 978-5-346-01155-2.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย