ปัญหาของชีวิตส่วนใหญ่แก้ไขได้ด้วยสมการพีชคณิต โดยการลดปัญหาให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด เช่น เพื่อรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แบบครบวงจร วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่ช่วยให้สามารถดำเนินการรวบรวมแบบจำลองเดียวที่ง่ายกว่า ได้แก่ สมการกำลังสองหรืออสมการได้ เมื่อแก้สมการตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม และอสมการ

ตัวอย่างที่ 1: แก้สมการ 4 x + 2 x+1 – 24 = 0

สารละลาย.

1. ขั้นแรก. การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

สังเกตว่า 4 x = (2 2 ) x = 2 2x = (2 x ) 2 และ 2 x+1 = 2 2 x เราเขียนสมการที่กำหนดใหม่ในรูปแบบ (2 x ) 2 + 2 2 x – 24 = 0.

เป็นการสมเหตุสมผลที่จะแนะนำตัวแปรใหม่: y = 2เอ็กซ์ - จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ 2 + 2у – 24 = 0. รวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แล้ว นี่คือสมการกำลังสอง 2. ขั้นตอนที่สอง. การทำงานกับโมเดลที่คอมไพล์แล้ว ต้องแก้สมการกำลังสองแล้ว 2 + 2у – 24 = 0 เมื่อเทียบกับ y เราพบว่า: y 1 = 4, ปี 2 = -6

3. ขั้นตอนที่สาม ตอบคำถามปัญหา.

เนื่องจาก y = 2 x , เราจึงต้องแก้สมการสองสมการ: 2 x = 4; 2 x = -6

จากสมการแรกที่เราพบ: x = 2; สมการที่สองไม่มีรากเนื่องจากค่าใด ๆ ของ x ความไม่เท่าเทียมกัน 2 จะเป็นที่น่าพอใจ x > 0

คำตอบ: 2.

ตัวอย่างที่ 2 งานค้นหาค่าปริมาณที่มากที่สุดและน้อยที่สุด

ถังซึ่งมีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกับฐานสี่เหลี่ยม ควรบรรจุน้ำได้ 500 ลิตร ฐานด้านไหนจะมีพื้นที่ผิวถังน้อยที่สุด (ไม่มีฝาปิด)

สารละลาย. ขั้นแรก. การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1) ค่าที่ปรับให้เหมาะสม (O.V.) คือพื้นที่ผิวของถัง เนื่องจากปัญหาต้องค้นหาว่าเมื่อใดพื้นที่นี้จะเล็กที่สุด ให้เราแสดง O.V. ด้วยตัวอักษร S.

2) พื้นที่ผิวขึ้นอยู่กับขนาดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ให้เราประกาศด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ทำหน้าที่เป็นฐานของถังเป็นตัวแปรอิสระ (I.P.) ให้เราเขียนแทนด้วยตัวอักษร x ชัดเจนว่า x > 0 ไม่มีข้อจำกัดอื่นซึ่งหมายถึง 0

3) ถ้าถังบรรจุน้ำได้ 500 ลิตร ปริมาตร V ของถังจะเท่ากับ 500 dm 3 - ถ้า h คือความสูงของถัง แล้ว V = x 2 h จากที่เราพบ h=พื้นผิวของถังประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน x และสี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่ด้านที่มีด้าน x และ- วิธี,

ส = x 2 + 4 · x= x 2 + .

ดังนั้น S = X 2 + โดยที่ x € (0; + ) (เราคำนึงว่า V = 500)

ได้มีการรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาแล้ว

ขั้นตอนที่สอง การทำงานกับโมเดลที่คอมไพล์แล้ว

ในขั้นตอนนี้สำหรับฟังก์ชัน S = x 2 + โดยที่ x € (0; + )

เราจำเป็นต้องค้นหาชื่อ ในการทำเช่นนี้คุณต้องมีอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ส" = 2x - ;

ส" = .

ในช่วงเวลา (0; +oo) ไม่มีจุดวิกฤติ และมีจุดคงที่เพียงจุดเดียว: S" = 0 ที่ x = 10

โปรดทราบว่าที่ x 10 ความไม่เท่าเทียมกัน S" > 0 ยังคงอยู่ ซึ่งหมายความว่า x = 10 เป็นจุดคงที่เพียงจุดเดียวและเป็นจุดต่ำสุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด ดังนั้น ตามทฤษฎีบทจากย่อหน้าที่ 1 ณ นี้ ชี้ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุด

ขั้นตอนที่สาม ตอบคำถามปัญหา.

โจทย์ถามว่าฐานควรอยู่ด้านไหนเพื่อให้ถังมีพื้นที่ผิวน้อยที่สุด เราพบว่าด้านข้างของจัตุรัสที่ใช้เป็นฐานของรถถังดังกล่าวคือ 10 dm

คำตอบ: 10 นาที

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นวิธีการอธิบายสถานการณ์ในชีวิตจริง (งาน) โดยใช้ภาษาทางคณิตศาสตร์ สถานการณ์จริง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ Kristina และ Gleb มีจำนวนเครื่องหมายเท่ากัน x = y Kristina มีเครื่องหมายมากกว่า Gleb x + 6 = y x - 6 = y x + y= 6 คะแนน Gleb มีเครื่องหมายมากกว่า Kristina ถึง 4 เท่า 4x = y x = y 4 ปี: x = 4

ผู้ปฏิบัติงานคนแรกทำงานให้เสร็จภายใน t ชั่วโมง และผู้ปฏิบัติงานคนที่สองทำงานเดียวกันให้เสร็จสิ้นใน v ชั่วโมง ในขณะที่ผู้ปฏิบัติงานคนแรกทำงานมากกว่าคนที่สอง 3 ชั่วโมง

แอปเปิ้ล 3 กิโลกรัมมีราคาเท่ากับลูกแพร์ 2 กิโลกรัม เป็นที่ทราบกันว่าแอปเปิ้ล 1 กิโลกรัมมีราคา x r และลูกแพร์ 1 กิโลกรัมมีราคา x r เอ็กซ์ อาร์ ที่แม่น้ำ

ราคาน้ำส้มเขียวหวานหนึ่งแก้วคือ r. และน้ำองุ่นหนึ่งแก้วคือ b r เป็นที่รู้กันว่าน้ำองุ่น 5 แก้วมีราคาเท่ากับน้ำส้มเขียวหวาน 6 แก้ว

จากจุด A และ B นักปั่นจักรยานที่มีความเร็ว v 1 และนักปั่นจักรยานยนต์ที่มีความเร็ว v 2 ออกไปพร้อมกันและมาพบกันหลังจากผ่านไป t ชั่วโมงt A B s v1v1 v2v2 เคลื่อนที่ไปทาง v = v 1 + v 2

รถยนต์ที่มีความเร็ว v 1 และรถบัสที่มีความเร็ว v 2 จุดซ้าย A พร้อมกันในทิศทางตรงกันข้าม v1v1 v2v2 A การเคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้าม v = v 1 + v 2

รถยนต์และรถบรรทุกออกจากจุด A พร้อมกันในทิศทางเดียวกัน โดยมีความเร็วเท่ากับ x กม./ชม. และ y กม./ชม. ตามลำดับ X km/h Y km/ht เคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียว v = x-y

นักปั่นจักรยานออกจากจุด A ในเวลาเดียวกัน คนเดินเท้าออกจากจุด B เป็นระยะทาง 30 กม. ในทิศทางที่นักปั่นจักรยานเคลื่อนที่ ไปในทิศทางเดียวกันด้วยความเร็ว x กม./ชม. เป็นที่ทราบกันดีว่านักปั่นจักรยานตามทันคนเดินเท้าหลังจากนั้น 30 ชั่วโมง x กม./ชม

12 ในการแก้ปัญหาเชิงพีชคณิต การใช้เหตุผลแบ่งออกเป็นสามขั้นตอน: การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ โมเดล; การทำงานกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ การทำงานกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (การแก้สมการ) แบบจำลอง (การแก้สมการ) ตอบคำถามของปัญหา ตอบคำถามปัญหา ขั้นตอนของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

แนวคิดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่ง่ายมาก และที่สำคัญมาก เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับชีวิตจริง

กล่าวง่ายๆ ก็คือ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์ใดๆนั่นคือทั้งหมดที่ โมเดลอาจเป็นแบบดั้งเดิมหรือซับซ้อนมากก็ได้ ไม่ว่าสถานการณ์จะเป็นเช่นไร)

ในเรื่องใด ๆ (ฉันขอย้ำ - แต่อย่างใด!) ในกรณีที่คุณต้องการนับและคำนวณบางอย่าง - เรามีส่วนร่วมในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ แม้ว่าเราจะไม่สงสัยก็ตาม)

P = 2 CB + 3 ซม

รายการนี้จะเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของต้นทุนการซื้อของเรา แบบจำลองไม่คำนึงถึงสีของบรรจุภัณฑ์ วันหมดอายุ ความสุภาพของพนักงานเก็บเงิน ฯลฯ นั่นเป็นเหตุผลที่เธอ แบบอย่าง,ไม่ใช่การซื้อจริง แต่ค่าใช้จ่ายเช่น สิ่งที่เราต้องการ- เราจะรู้อย่างแน่นอน ถ้าตรงรุ่นแน่นอนครับ

การจินตนาการว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คืออะไรนั้นมีประโยชน์ แต่ยังไม่เพียงพอ สิ่งที่สำคัญที่สุดคือต้องสามารถสร้างโมเดลเหล่านี้ได้

การวาด (การสร้าง) แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หมายถึงการแปลเงื่อนไขของปัญหาให้เป็นรูปแบบทางคณิตศาสตร์ เหล่านั้น. เปลี่ยนคำให้เป็นสมการ สูตร อสมการ ฯลฯ นอกจากนี้ ให้แปลงเพื่อให้คณิตศาสตร์นี้สอดคล้องกับข้อความต้นฉบับอย่างเคร่งครัด มิฉะนั้น เราจะได้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาอื่นที่เราไม่รู้จัก)

โดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณต้องการ

มีงานจำนวนไม่สิ้นสุดในโลก ดังนั้นจึงควรเสนอคำแนะนำทีละขั้นตอนที่ชัดเจนสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ใดๆงานเป็นไปไม่ได้

แต่มีประเด็นหลักสามประการที่คุณต้องใส่ใจ

1. ปัญหาใด ๆ มีข้อความแปลกพอสมควร) ตามกฎแล้วข้อความนี้มี ข้อมูลที่ชัดเจนและเปิดเผยตัวเลข ค่า ฯลฯ

2.มีปัญหาใดๆ ข้อมูลที่ซ่อนอยู่นี่คือข้อความที่ถือว่าความรู้เพิ่มเติมในหัวของคุณ หากไม่มีพวกเขา - ไม่มีอะไรเลย นอกจากนี้ ข้อมูลทางคณิตศาสตร์มักถูกซ่อนอยู่หลังคำง่ายๆ และ... มองข้ามความสนใจไป

3. จะต้องมอบหมายงานใด ๆ การเชื่อมต่อข้อมูลระหว่างกันการเชื่อมต่อนี้สามารถระบุเป็นข้อความธรรมดา (บางสิ่งเท่ากับบางสิ่ง) หรืออาจซ่อนอยู่หลังคำง่ายๆ ก็ได้ แต่ข้อเท็จจริงที่เรียบง่ายและชัดเจนมักถูกมองข้ามไป และโมเดลไม่ได้ถูกคอมไพล์แต่อย่างใด

ฉันจะพูดทันที: เพื่อที่จะใช้สามประเด็นนี้ คุณต้องอ่านปัญหา (และอย่างระมัดระวัง!) หลายครั้ง สิ่งปกติ.

และตอนนี้ - ตัวอย่าง

เริ่มจากปัญหาง่ายๆ:

Petrovich กลับจากการตกปลาและมอบสิ่งที่จับได้ให้กับครอบครัวอย่างภาคภูมิใจ เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิดพบว่าปลา 8 ตัวมาจากทะเลทางเหนือ 20% ของปลาทั้งหมดมาจากทะเลทางใต้และไม่ใช่ปลาสักตัวเดียวที่มาจากแม่น้ำในท้องถิ่นที่ Petrovich กำลังตกปลา Petrovich ซื้อปลากี่ตัวในร้านอาหารทะเล

คำเหล่านี้ทั้งหมดจะต้องกลายเป็นสมการบางประเภท ในการทำเช่นนี้คุณต้องขอย้ำอีกครั้ง สร้างการเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ระหว่างข้อมูลทั้งหมดในปัญหา

จะเริ่มตรงไหน? ขั้นแรก เรามาดึงข้อมูลทั้งหมดออกจากงานกันก่อน มาเริ่มกันตามลำดับ:

ให้ความสนใจกับประเด็นแรก

อันไหนอยู่ที่นี่? ชัดเจนข้อมูลทางคณิตศาสตร์? ปลา 8 ตัว และ 20% ไม่มากแต่ก็ไม่ต้องการมาก)

ให้เราใส่ใจกับประเด็นที่สอง

กำลังมองหา ที่ซ่อนอยู่ข้อมูล. มันอยู่ที่นี่ เหล่านี้คือคำ: “20% ของปลาทั้งหมด". ที่นี่คุณต้องเข้าใจ ดอกเบี้ยคืออะไรและคำนวณอย่างไร?มิฉะนั้นปัญหาจะไม่สามารถแก้ไขได้ นี่เป็นข้อมูลเพิ่มเติมที่ควรอยู่ในหัวของคุณ

ก็มีเช่นกัน ทางคณิตศาสตร์ข้อมูลที่มองไม่เห็นโดยสิ้นเชิง นี้ คำถามเกี่ยวกับงาน: "ฉันซื้อปลามากี่ตัว...”นี่ก็เป็นตัวเลขเช่นกัน และหากไม่มีมัน ก็จะไม่มีแบบจำลองเกิดขึ้น ดังนั้นเราจึงแสดงตัวเลขนี้ด้วยตัวอักษร "เอ็กซ์"เรายังไม่รู้ว่า x เท่ากับอะไร แต่การกำหนดนี้จะมีประโยชน์มากสำหรับเรา รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งที่ต้องทำสำหรับ X และวิธีจัดการกับมันเขียนไว้ในบทเรียน จะแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร?มาเขียนมันทันที:

x ชิ้น - จำนวนปลาทั้งหมด

ในปัญหาของเรา ปลาภาคใต้จะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ เราต้องแปลงมันเป็นชิ้น ๆ เพื่ออะไร? แล้วอะไรเข้า. ใดๆจะต้องร่างปัญหาของแบบจำลองขึ้นมา ในปริมาณประเภทเดียวกันชิ้น - ดังนั้นทุกอย่างจึงเป็นชิ้น ๆ ถ้าให้ เช่น ชั่วโมงและนาที เราจะแปลทุกอย่างเป็นอันเดียว - ไม่ว่าจะเป็นเพียงชั่วโมงหรือเพียงนาทีเท่านั้น มันไม่สำคัญว่ามันคืออะไร มันเป็นสิ่งสำคัญที่ ค่าทั้งหมดเป็นประเภทเดียวกัน

กลับมาที่การเปิดเผยข้อมูลกัน ใครไม่รู้ เปอร์เซ็นต์คืออะไรจะไม่เปิดเผยเลย ใช่... แล้วใครจะรู้เขาจะบอกทันทีว่าให้เปอร์เซ็นต์ของจำนวนปลาทั้งหมดที่นี่ แต่เราไม่รู้ตัวเลขนี้ ไม่มีอะไรจะทำงาน!

ไม่ใช่เพื่ออะไรที่เราเขียนจำนวนปลาทั้งหมด (เป็นชิ้น!) "เอ็กซ์"กำหนด นับปลาภาคใต้เป็นชิ้นไม่ได้ แต่เราจดไว้ได้ไหม? แบบนี้:

0.2 ตัว x - จำนวนปลาจากทะเลใต้

ตอนนี้เราได้ดาวน์โหลดข้อมูลทั้งหมดจากงานแล้ว ทั้งชัดเจนและซ่อนเร้น

ให้เราใส่ใจกับประเด็นที่สาม

กำลังมองหา การเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์ระหว่างข้อมูลงาน การเชื่อมต่อนี้ง่ายมากจนหลายคนไม่สังเกตเห็น... สิ่งนี้มักเกิดขึ้น การเขียนข้อมูลที่รวบรวมไว้เป็นกองจะเป็นประโยชน์และดูว่ามีอะไรเกิดขึ้นบ้าง

เรามีอะไร? กิน 8 ชิ้นปลาภาคเหนือ ชิ้นละ 0.2x- ปลาใต้และ เอ็กซ์ ปลา- ปริมาณรวม เป็นไปได้ไหมที่จะเชื่อมโยงข้อมูลนี้เข้าด้วยกัน? ง่ายมาก! จำนวนปลาทั้งหมด เท่ากับรวมภาคใต้และภาคเหนือ! ใครจะคิดล่ะ...) ดังนั้นเราจึงเขียนมันลงไป:

x = 8 + 0.2x

นี่คือสมการ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาของเรา

โปรดทราบว่าในปัญหานี้ เราไม่ได้ขอให้พับอะไร!เราเองที่คิดไม่ออกว่าผลรวมของปลาทางตอนใต้และทางเหนือจะทำให้เราได้จำนวนทั้งหมด สิ่งที่ชัดเจนจนไม่มีใครสังเกตเห็น แต่หากไม่มีหลักฐานนี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ก็ไม่สามารถสร้างได้ แบบนี้.

ตอนนี้คุณสามารถใช้คณิตศาสตร์เต็มกำลังเพื่อแก้สมการนี้ได้) นี่คือสาเหตุที่รวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อย่างแม่นยำ มาแก้กันเถอะ สมการเชิงเส้นและเราก็ได้คำตอบ

คำตอบ: x=10

มาสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาอื่นกัน:

พวกเขาถาม Petrovich:“ คุณมีเงินเยอะไหม?” Petrovich เริ่มร้องไห้และตอบว่า: "ใช่เพียงเล็กน้อย ถ้าฉันใช้เงินไปครึ่งหนึ่งและส่วนที่เหลืออีกครึ่งหนึ่ง ฉันจะมีเงินเหลือเพียงถุงเดียวเท่านั้น ... " Petrovich มีเงินเท่าไหร่?

อีกครั้งเราทำงานทีละจุด

1. เรากำลังมองหาข้อมูลที่ชัดเจน คุณจะไม่พบมันทันที! ข้อมูลที่ชัดเจนคือ หนึ่งถุงเงิน ยังมีอีกครึ่งหนึ่ง... เราจะมาดูกันในประเด็นที่สอง

2. เรากำลังมองหาข้อมูลที่ซ่อนอยู่ เหล่านี้เป็นครึ่งหนึ่ง อะไร มันไม่ชัดเจนมาก เรากำลังมองต่อไป มีคำถามเกี่ยวกับงานอื่น: “ เปโตรวิชมีเงินเท่าไหร่?”ให้เราแสดงจำนวนเงินด้วยตัวอักษร "เอ็กซ์":

เอ็กซ์- เงินทั้งหมด

และอีกครั้งที่เราอ่านปัญหา รู้อยู่แล้วว่าเปโตรวิช เอ็กซ์เงิน. นี่คือที่ครึ่งหนึ่งจะทำงานได้! เราเขียนลงไป:

0.5 เท่า- ครึ่งหนึ่งของเงินทั้งหมด

ส่วนที่เหลือก็จะเป็นครึ่งหนึ่งเช่นกันนั่นคือ 0.5 เท่าและครึ่งหนึ่งของครึ่งหนึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้:

0.5 0.5 x = 0.25x- ครึ่งหนึ่งของส่วนที่เหลือ

ขณะนี้ข้อมูลที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดได้ถูกเปิดเผยและบันทึกแล้ว

3. เรากำลังมองหาความเชื่อมโยงระหว่างข้อมูลที่บันทึกไว้ ที่นี่คุณสามารถอ่านความทุกข์ทรมานของ Petrovich และจดบันทึกทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้:

ถ้าฉันใช้เงินไปครึ่งหนึ่ง...

มาบันทึกกระบวนการนี้กัน เงินทั้งหมด - เอ็กซ์ครึ่ง - 0.5 เท่า- การใช้จ่ายคือการเอาไป วลีนี้กลายเป็นการบันทึก:

x - 0.5 เท่า

ใช่ครึ่งที่เหลือ...

ลองลบอีกครึ่งหนึ่งของส่วนที่เหลือ:

x - 0.5 x - 0.25x

แล้วผมจะเหลือเงินแค่ถุงเดียว...

และที่นี่เราได้พบความเท่าเทียมกันแล้ว! หลังจากลบออกทั้งหมดแล้ว จะเหลือเงินหนึ่งถุง:

x - 0.5 x - 0.25x = 1

นี่มันคือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์! มันอีกแล้ว สมการเชิงเส้นเราแก้ปัญหา เราได้รับ:

คำถามเพื่อการพิจารณา. สี่คืออะไร? รูเบิล ดอลลาร์ หยวน? และเงินเขียนในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเราในหน่วยใด? ในถุง!แปลว่า สี่ ถุงเงินจากเปโตรวิช ก็ไม่เลวเหมือนกัน)

แน่นอนว่างานนั้นเป็นงานระดับประถมศึกษา นี่เป็นการจับภาพสาระสำคัญของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะ งานบางอย่างอาจมีข้อมูลมากกว่านั้นมาก ซึ่งอาจสูญหายได้ง่าย สิ่งนี้มักเกิดขึ้นในสิ่งที่เรียกว่า งานด้านความสามารถ วิธีแยกเนื้อหาทางคณิตศาสตร์จากกองคำและตัวเลขจะแสดงพร้อมตัวอย่าง

อีกหนึ่งบันทึก ในปัญหาของโรงเรียนคลาสสิก (ท่อเติมสระน้ำ เรือลอยอยู่ที่ไหนสักแห่ง ฯลฯ) ตามกฎแล้วข้อมูลทั้งหมดจะถูกเลือกอย่างระมัดระวัง มีกฎสองข้อ:
- มีข้อมูลในปัญหาเพียงพอที่จะแก้ไข
- ไม่มีข้อมูลที่ไม่จำเป็นในปัญหา

นี่เป็นคำใบ้ หากมีค่าบางส่วนที่ยังไม่ได้ใช้ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ให้ลองพิจารณาว่ามีข้อผิดพลาดหรือไม่ หากมีข้อมูลไม่เพียงพอ อาจเป็นไปได้ว่าข้อมูลที่ซ่อนอยู่บางส่วนไม่ได้รับการระบุและบันทึก

ในงานที่เกี่ยวข้องกับความสามารถและงานในชีวิตอื่นๆ กฎเหล่านี้ไม่ได้ปฏิบัติตามอย่างเคร่งครัด ไม่มีเบาะแส แต่ปัญหาดังกล่าวก็สามารถแก้ไขได้เช่นกัน แน่นอนถ้าคุณฝึกฝนแบบคลาสสิก)

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ระดับรายการ

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับ OGE และการสอบ Unified State (2019)

แนวคิดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ลองนึกภาพเครื่องบิน: ปีก ลำตัว หาง ทั้งหมดนี้รวมกัน เป็นเครื่องบินที่ใหญ่โตมหึมาทั้งลำ หรือคุณสามารถสร้างแบบจำลองเครื่องบิน ขนาดเล็ก แต่เหมือนในชีวิตจริง ปีกแบบเดียวกัน ฯลฯ แต่กะทัดรัด แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ก็เช่นกัน มีปัญหาข้อความยุ่งยาก ดู อ่านได้ แต่ไม่ค่อยเข้าใจ และยิ่งทำให้ไม่ชัดเจนว่าจะแก้ไขอย่างไร จะเป็นอย่างไรถ้าคุณสร้างแบบจำลองขนาดเล็กของปัญหาคำใหญ่ ซึ่งเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์? คณิตศาสตร์หมายถึงอะไร? ซึ่งหมายความว่าโดยใช้กฎและกฎของสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ในการแปลงข้อความให้เป็นตัวแทนที่ถูกต้องตามตรรกะโดยใช้ตัวเลขและเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ ดังนั้น, แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือการนำเสนอสถานการณ์จริงโดยใช้ภาษาทางคณิตศาสตร์

มาเริ่มกันด้วยวิธีง่ายๆ: ตัวเลขมากกว่าตัวเลขด้วย เราจำเป็นต้องเขียนสิ่งนี้โดยไม่ใช้คำพูด แต่เขียนเฉพาะภาษาของคณิตศาสตร์เท่านั้น ถ้ามีมากกว่านั้น ปรากฎว่าถ้าเราลบออก ผลต่างของตัวเลขเหล่านี้จะยังคงเท่ากัน เหล่านั้น. หรือ. คุณเข้าใจประเด็นหรือไม่?

ตอนนี้มันยากขึ้นตอนนี้จะมีข้อความที่คุณควรพยายามนำเสนอในรูปแบบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ อย่าเพิ่งอ่าน ฉันจะทำยังไง ลองทำด้วยตัวเอง! มีตัวเลขสี่ตัว: , และ สินค้ามีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าของสินค้า

เกิดอะไรขึ้น

ในรูปแบบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะมีลักษณะดังนี้:

เหล่านั้น. ผลิตภัณฑ์มีความเกี่ยวข้องกับสองต่อหนึ่ง แต่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีก:

โอเค ด้วยตัวอย่างง่ายๆ ฉันคิดว่าคุณเข้าใจประเด็นแล้ว เรามาดูปัญหาเต็มรูปแบบซึ่งจำเป็นต้องแก้ไขแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ด้วย! นี่คือความท้าทาย

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในทางปฏิบัติ

ปัญหาที่ 1

หลังฝนตกระดับน้ำในบ่ออาจสูงขึ้น เด็กชายวัดเวลาที่ก้อนกรวดเล็กๆ ตกลงไปในบ่อน้ำ และคำนวณระยะทางถึงน้ำโดยใช้สูตร โดยที่คือระยะทางเป็นเมตร และคือเวลาที่ตกลงไปเป็นวินาที ก่อนฝนตก เวลาตกของก้อนกรวดคือ ระดับน้ำหลังฝนตกต้องเพิ่มขึ้นเท่าใดจึงจะเปลี่ยนเวลาที่วัดได้เป็น s? แสดงคำตอบของคุณเป็นเมตร

โอ้สยองขวัญ! สูตรอะไร อะไรดี อะไรเกิดขึ้น จะทำอย่างไร? ฉันอ่านใจคุณออกหรือเปล่า? ผ่อนคลาย ในปัญหาประเภทนี้ยังมีเงื่อนไขที่เลวร้ายยิ่งกว่านั้น สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าในปัญหานี้ คุณสนใจในสูตรและความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร และความหมายทั้งหมดนี้ในกรณีส่วนใหญ่ไม่สำคัญมาก คุณเห็นว่ามีประโยชน์อะไรที่นี่ ฉันเห็นมันเป็นการส่วนตัว หลักการในการแก้ปัญหาเหล่านี้มีดังต่อไปนี้: คุณนำปริมาณที่ทราบทั้งหมดมาแทนที่แต่บางครั้งคุณต้องคิด!

ทำตามคำแนะนำแรกของฉัน และแทนที่ทุกสิ่งที่รู้จักในสมการ เราได้:

ฉันเองที่เปลี่ยนเวลาของวินาทีและพบความสูงที่หินปลิวไปก่อนฝน ตอนนี้เราต้องนับหลังฝนตกและค้นหาความแตกต่าง!

ตอนนี้ให้ฟังคำแนะนำที่สองแล้วลองคิดดู คำถามระบุว่า “ระดับน้ำจะต้องเพิ่มขึ้นหลังฝนตกเท่าใดจึงจะเปลี่ยนเวลาที่วัดได้เป็น s” คุณต้องคิดออกทันทีว่าหลังฝนตกระดับน้ำจะสูงขึ้นซึ่งหมายความว่าเวลาที่หินตกลงสู่ระดับน้ำจะสั้นลง และวลีหรูหรา "เพื่อให้เวลาที่วัดได้เปลี่ยนไป" มีความหมายเฉพาะ: การตก เวลาไม่เพิ่มขึ้น แต่ลดลงตามวินาทีที่ระบุ ซึ่งหมายความว่าในกรณีของการขว้างหลังฝนตก เราเพียงแค่ต้องลบ c จากเวลาเริ่มต้น c แล้วเราจะได้สมการสำหรับความสูงที่ก้อนหินจะปลิวหลังฝนตก:

และสุดท้าย หากต้องการค้นหาว่าระดับน้ำจะต้องเพิ่มขึ้นหลังฝนตกเท่าใดจึงจะถึงเวลาที่วัดได้จึงจะเปลี่ยนเป็น s คุณเพียงแค่ต้องลบส่วนที่สองออกจากความสูงของการตกครั้งแรก!

เราได้รับคำตอบ: ต่อเมตร

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อน สิ่งสำคัญคือ อย่ากังวลมากเกินไปว่าสมการเงื่อนไขที่เข้าใจยากและบางครั้งก็ซับซ้อนนั้นมาจากไหน และทุกสิ่งในนั้นหมายถึงอะไร ใช้คำพูดของฉัน ส่วนใหญ่ สมการเหล่านี้นำมาจากฟิสิกส์ และที่นั่นป่านั้นแย่กว่าในพีชคณิต สำหรับฉันบางครั้งดูเหมือนว่างานเหล่านี้ถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อข่มขู่นักเรียนในการสอบ Unified State ด้วยสูตรและคำศัพท์ที่ซับซ้อนมากมายและในกรณีส่วนใหญ่พวกเขาไม่ต้องการความรู้เกือบทั้งหมด เพียงอ่านเงื่อนไขอย่างละเอียดแล้วแทนที่ปริมาณที่ทราบลงในสูตร!

นี่เป็นอีกปัญหาหนึ่งที่ไม่ได้อยู่ในฟิสิกส์อีกต่อไป แต่มาจากโลกแห่งทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ แม้ว่าความรู้ด้านวิทยาศาสตร์อื่นที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์จะไม่จำเป็นอีกต่อไปที่นี่

ปัญหาที่ 2

การพึ่งพาปริมาณความต้องการ (หน่วยต่อเดือน) สำหรับผลิตภัณฑ์ขององค์กรผูกขาดในราคา (พันรูเบิล) กำหนดโดยสูตร

รายได้ขององค์กรต่อเดือน (เป็นพันรูเบิล) คำนวณโดยใช้สูตร กำหนดราคาสูงสุดที่รายได้ต่อเดือนจะมีอย่างน้อยพันรูเบิล ให้คำตอบเป็นพันรูเบิล

เดาว่าฉันจะทำอะไรตอนนี้? ใช่ ฉันจะเริ่มเชื่อมโยงสิ่งที่เรารู้ แต่อีกครั้ง ฉันยังต้องคิดอีกสักหน่อย เริ่มจากจุดสิ้นสุดกันเถอะเราต้องค้นหาว่าอันไหน มันมี มันเท่ากับอะไรบางอย่าง เราหาอย่างอื่นที่มันเท่ากับ และมันก็เท่ากับมัน เราก็เลยเขียนมันลงไป อย่างที่คุณเห็น ฉันไม่สนใจความหมายของปริมาณทั้งหมดนี้ ฉันแค่ดูจากเงื่อนไขเพื่อดูว่าอะไรเท่ากับอะไร นั่นคือสิ่งที่คุณต้องทำ กลับมาที่ปัญหา คุณมีอยู่แล้ว แต่เมื่อคุณจำสมการหนึ่งที่มีตัวแปรสองตัวแล้ว คุณหาตัวใดตัวหนึ่งไม่พบ จะทำอย่างไร? ใช่ เรายังมีชิ้นส่วนที่ไม่ได้ใช้เหลืออยู่ในสภาพ ตอนนี้ มีสองสมการและตัวแปรสองตัวแล้ว ซึ่งหมายความว่าตอนนี้สามารถพบตัวแปรทั้งสองได้แล้ว เยี่ยมมาก!

– คุณสามารถแก้ไขระบบดังกล่าวได้หรือไม่?

เราแก้โดยการแทนที่ มันแสดงออกมาแล้ว ลองแทนที่มันลงในสมการแรกแล้วลดรูปลง

เราได้สมการกำลังสองนี้: , เราแก้ได้, รากเป็นแบบนี้ งานต้องการการค้นหาราคาสูงสุดที่จะตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดที่เราคำนึงถึงเมื่อสร้างระบบ อ้าว กลายเป็นว่าราคานี้ เจ๋งดังนั้นเราจึงพบราคา: และ ราคาสูงสุดที่คุณพูด? โอเค เห็นได้ชัดว่าใหญ่ที่สุด เราเขียนมันเพื่อตอบโต้ แล้วมันยากมั้ย? ฉันคิดว่าไม่ และไม่จำเป็นต้องเจาะลึกเรื่องนี้มากนัก!

และนี่คือฟิสิกส์ที่น่าสะพรึงกลัวหรือปัญหาอื่น:

ปัญหา 3

ในการกำหนดอุณหภูมิประสิทธิผลของดาวฤกษ์ จะใช้กฎสเตฟาน-โบลต์ซมันน์ โดยที่พลังงานการแผ่รังสีของดาวฤกษ์มีค่าคงที่ คือพื้นที่ผิวของดาวฤกษ์ และคืออุณหภูมิ เป็นที่ทราบกันดีว่าพื้นที่ผิวของดาวฤกษ์ดวงหนึ่งมีค่าเท่ากันและพลังงานการแผ่รังสีของดาวฤกษ์นั้นเท่ากับ W ค้นหาอุณหภูมิของดาวดวงนี้เป็นองศาเคลวิน

ชัดเจนแค่ไหน? ใช่ครับ เงื่อนไขบอกว่าอะไรเท่ากับอะไร ก่อนหน้านี้ ฉันแนะนำให้แทนที่สิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมดในคราวเดียว แต่ที่นี่ เป็นการดีกว่าที่จะแสดงสิ่งที่ไม่รู้จักที่จำเป็นก่อน ดูสิว่ามันง่ายแค่ไหน: มีสูตรและเรารู้ในนั้นและ (นี่คือตัวอักษรกรีก "ซิกมา" โดยทั่วไปนักฟิสิกส์ชอบอักษรกรีกและคุ้นเคยกับมัน) และไม่ทราบอุณหภูมิ ลองแสดงมันออกมาในรูปของสูตร. ฉันหวังว่าคุณจะรู้วิธีการทำเช่นนี้? งานดังกล่าวสำหรับการทดสอบการสอบสถานะในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 มักจะได้รับ:

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่ตัวเลขแทนตัวอักษรทางด้านขวาและทำให้ง่ายขึ้น:

นี่คือคำตอบ: องศาเคลวิน! และมันเป็นงานที่แย่มาก!

เรายังคงทรมานปัญหาฟิสิกส์ต่อไป

ปัญหาที่ 4

ความสูงเหนือพื้นของลูกบอลที่โยนเปลี่ยนแปลงไปตามกฎหมาย โดยที่ความสูงเป็นเมตร และเป็นเวลาเป็นวินาทีที่ผ่านไปนับตั้งแต่ช่วงเวลาที่โยน ลูกบอลจะคงอยู่ที่ความสูงอย่างน้อยสามเมตรเป็นเวลากี่วินาที?

ทั้งหมดนี้เป็นสมการ แต่ในที่นี้ เราต้องพิจารณาว่าลูกบอลอยู่ที่ความสูงอย่างน้อย 3 เมตร ซึ่งหมายถึงที่ความสูงนั้นยาวเท่าใด เราจะแต่งหน้าอะไร? ความไม่เท่าเทียมกันนั่นเอง! เรามีฟังก์ชันที่อธิบายว่าลูกบอลลอยไปอย่างไร โดยที่ - นี่คือความสูงเท่ากันทุกประการในหน่วยเมตร เราต้องการความสูง วิธี

และตอนนี้คุณก็แค่แก้อสมการ สิ่งสำคัญคืออย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมายของอสมการจากมากหรือเท่ากับน้อยกว่าหรือเท่ากับเมื่อคุณคูณด้วยอสมการทั้งสองข้างเพื่อกำจัดเครื่องหมายลบที่อยู่ข้างหน้า

นี่คือราก เราสร้างช่วงของความไม่เท่าเทียมกัน:

เราสนใจช่วงเวลาที่เครื่องหมายลบอยู่ เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนำค่าลบไปที่นั่น นี่คือจากถึงทั้งสองอย่าง ทีนี้ลองเปิดสมองและคิดให้รอบคอบ: สำหรับความไม่เท่าเทียมกันเราใช้สมการที่อธิบายการบินของลูกบอล มันบินไปตามพาราโบลาเช่น มันขึ้นถึงจุดสูงสุดและตกลงมาจะเข้าใจได้อย่างไรว่ามันจะยังคงอยู่ที่ระดับความสูงอย่างน้อยเมตรได้นานแค่ไหน? เราพบจุดเปลี่ยน 2 จุด คือ ช่วงเวลาที่ลอยอยู่เหนือเมตร และช่วงเวลาที่ตกถึงจุดเดียวกัน จุดสองจุดนี้จะแสดงออกมาในรูปของเวลา กล่าวคือ เรารู้ว่าวินาทีใดที่เขาบินเข้าสู่โซนที่เราสนใจ (สูงกว่าเมตร) และวินาทีใดที่เขาทิ้งไว้ (ตกลงไปต่ำกว่าเครื่องหมายมิเตอร์) เขาอยู่ในโซนนี้กี่วินาที? เป็นเหตุผลที่เราใช้เวลาในการออกจากโซนและลบเวลาที่เข้าสู่โซนนี้ออกจากมัน ดังนั้น: - เขาอยู่ในโซนเหนือเมตรเป็นเวลานานนี่คือคำตอบ

คุณโชคดีที่ตัวอย่างส่วนใหญ่ในหัวข้อนี้สามารถนำมาจากหมวดหมู่ของปัญหาทางฟิสิกส์ ดังนั้นจับเพิ่มอีกอันหนึ่งอันสุดท้ายแล้ว ผลักดันตัวเองให้เต็มที่ เหลืออีกเพียงเล็กน้อย!

ปัญหาที่ 5

สำหรับองค์ประกอบความร้อนของอุปกรณ์บางอย่างนั้น การทดลองจะขึ้นอยู่กับอุณหภูมิในการทำงาน:

เวลาเป็นนาทีอยู่ที่ไหน . เป็นที่ทราบกันว่าหากอุณหภูมิขององค์ประกอบความร้อนสูงขึ้นอุปกรณ์อาจเสื่อมสภาพจึงต้องปิดเครื่อง ค้นหาเวลาที่นานที่สุดหลังจากเริ่มทำงานที่คุณต้องปิดเครื่อง แสดงคำตอบของคุณในไม่กี่นาที

เราปฏิบัติตามแผนการที่กำหนดไว้ ขั้นแรกเราเขียนทุกสิ่งที่ได้รับ:

ตอนนี้เราใช้สูตรและเท่ากับค่าอุณหภูมิที่อุปกรณ์สามารถให้ความร้อนได้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้จนกระทั่งมันไหม้นั่นคือ:

ตอนนี้เราแทนที่ตัวเลขที่รู้จักแทนตัวอักษร:

อย่างที่คุณเห็น อุณหภูมิระหว่างการทำงานของอุปกรณ์อธิบายโดยสมการกำลังสอง ซึ่งหมายความว่าอุณหภูมิจะกระจายไปตามพาราโบลา เช่น อุปกรณ์จะร้อนขึ้นถึงอุณหภูมิหนึ่งแล้วจึงเย็นลง เราได้รับคำตอบ ดังนั้นในเวลาและนาทีที่ให้ความร้อนอุณหภูมิจะเท่ากับวิกฤต แต่ระหว่างและนาที - มันสูงกว่าขีดจำกัดด้วยซ้ำ!

ซึ่งหมายความว่าคุณต้องปิดอุปกรณ์หลังจากผ่านไปไม่กี่นาที

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

บ่อยครั้งที่มีการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในวิชาฟิสิกส์: คุณอาจต้องจำสูตรทางกายภาพหลายสิบสูตร และสูตรนี้เป็นตัวแทนทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์

ใน OGE และการสอบ Unified State มีงานในหัวข้อนี้ทุกประการ ในการสอบ Unified State (โปรไฟล์) นี่คืองานหมายเลข 11 (เดิมคือ B12) ใน OGE - ภารกิจที่ 20

แนวทางการแก้ปัญหาชัดเจน:

1) จากข้อความของเงื่อนไขจำเป็นต้อง "แยก" ข้อมูลที่เป็นประโยชน์ - เราเขียนอะไรในโจทย์ฟิสิกส์ภายใต้คำว่า "ให้" ข้อมูลที่เป็นประโยชน์นี้คือ:

• สูตร
• ปริมาณทางกายภาพที่ทราบ

นั่นคือตัวอักษรแต่ละตัวจากสูตรจะต้องเชื่อมโยงกับตัวเลขที่แน่นอน

2) นำปริมาณที่ทราบทั้งหมดมาแทนลงในสูตร ปริมาณที่ไม่ทราบยังคงอยู่ในรูปแบบของจดหมาย ตอนนี้คุณเพียงแค่ต้องแก้สมการ (โดยปกติจะค่อนข้างง่าย) และคำตอบก็พร้อมแล้ว

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

สำหรับการผ่านการสอบ Unified State ได้สำเร็จ เพื่อเข้าวิทยาลัยด้วยงบประมาณ และที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสอีกมากมายเปิดอยู่ตรงหน้าและชีวิตก็สดใสขึ้นใช่ไหม? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

รับมือกับปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้อง แก้ปัญหากับเวลา.

และหากคุณยังไม่ได้แก้ไข (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันเหมือนกับในกีฬา คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหาการวิเคราะห์โดยละเอียดและตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ - 299 ถู
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - 999 ถู

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

ในกรณีที่สอง เราจะให้คุณโปรแกรมจำลอง “6,000 ปัญหาพร้อมวิธีแก้ไขและคำตอบ สำหรับแต่ละหัวข้อ ในทุกระดับของความซับซ้อน” มันจะเพียงพอที่จะแก้ไขปัญหาในทุกหัวข้ออย่างแน่นอน

อันที่จริงนี่เป็นมากกว่าเครื่องจำลอง - โปรแกรมการฝึกอบรมทั้งหมด หากจำเป็น คุณก็สามารถใช้งานได้ฟรีเช่นกัน

การเข้าถึงข้อความและโปรแกรมทั้งหมดนั้นมีให้ตลอดระยะเวลาที่เว็บไซต์มีอยู่

และโดยสรุป...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!