อะไรคือรากของตรีโกณมิติกำลังสอง สมการมีสองประเภท

การขยายพหุนามเพื่อให้ได้ผลิตภัณฑ์บางครั้งอาจดูน่าสับสน แต่ก็ไม่ใช่เรื่องยากหากคุณเข้าใจกระบวนการทีละขั้นตอน บทความนี้จะอธิบายรายละเอียดวิธีการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

หลายๆ คนไม่เข้าใจวิธีแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง และเหตุใดจึงทำเช่นนี้ ในตอนแรกอาจดูเหมือนเป็นการออกกำลังกายที่ไร้ประโยชน์ แต่ในวิชาคณิตศาสตร์ไม่มีสิ่งใดที่ทำเพื่อสิ่งใดเลย การเปลี่ยนแปลงนี้มีความจำเป็นเพื่อทำให้การแสดงออกง่ายขึ้นและความง่ายในการคำนวณ

พหุนามของรูปแบบ – ax²+bx+c เรียกว่า ตรีโกณมิติกำลังสอง.คำว่า "a" ต้องเป็นค่าลบหรือค่าบวก ในทางปฏิบัติ นิพจน์นี้เรียกว่าสมการกำลังสอง ดังนั้นบางครั้งพวกเขาจึงพูดแตกต่างออกไป: วิธีขยายสมการกำลังสอง

น่าสนใจ!พหุนามเรียกว่ากำลังสองเนื่องจากมีระดับที่ใหญ่ที่สุดซึ่งก็คือกำลังสอง และตรีโกณมิติ - เนื่องจากองค์ประกอบ 3 ประการ

พหุนามประเภทอื่นๆ บางประเภท:

• ทวินามเชิงเส้น (6x+8);
• ลูกบาศก์ควอดริโนเมียล (x³+4x²-2x+9)

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

ขั้นแรกนิพจน์มีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นคุณต้องค้นหาค่าของราก x1 และ x2 อาจไม่มีราก อาจมีหนึ่งหรือสองราก การมีอยู่ของรากถูกกำหนดโดยผู้เลือกปฏิบัติ คุณต้องรู้สูตรของมันด้วยใจ: D=b²-4ac

หากผลลัพธ์ D เป็นลบ แสดงว่าไม่มีราก หากเป็นบวก จะมีรากอยู่ 2 ราก หากผลลัพธ์เป็นศูนย์ รากจะเป็นหนึ่ง รากยังคำนวณโดยใช้สูตร

เมื่อคำนวณการแบ่งแยกผลลัพธ์เป็นศูนย์ คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้ ในทางปฏิบัติ สูตรจะสั้นลง: -b / 2a

สูตรสำหรับค่าจำแนกที่แตกต่างกันจะแตกต่างกัน

ถ้า D เป็นบวก:

ถ้า D เป็นศูนย์:

เครื่องคิดเลขออนไลน์

มีเครื่องคิดเลขออนไลน์บนอินเทอร์เน็ต สามารถใช้ในการแยกตัวประกอบได้ แหล่งข้อมูลบางส่วนให้โอกาสในการดูวิธีแก้ปัญหาทีละขั้นตอน บริการดังกล่าวช่วยให้เข้าใจหัวข้อได้ดีขึ้น แต่คุณต้องพยายามทำความเข้าใจให้ดี

วิดีโอที่มีประโยชน์: การแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

ตัวอย่าง

เราขอแนะนำให้ดูตัวอย่างง่ายๆ ของวิธีแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1

นี่แสดงให้เห็นชัดเจนว่าผลลัพธ์คือ x สองตัวเพราะ D เป็นบวก พวกเขาจะต้องถูกแทนที่ลงในสูตร ถ้ารากกลายเป็นลบ เครื่องหมายในสูตรจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม

เรารู้สูตรในการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง: a(x-x1)(x-x2) เราใส่ค่าในวงเล็บ: (x+3)(x+2/3) ไม่มีตัวเลขอยู่หน้าเทอมที่อยู่ในอำนาจ ซึ่งหมายความว่ามีอันหนึ่งอยู่ตรงนั้นมันลงไป

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงวิธีการแก้สมการที่มีรากเดียว

เราแทนที่ค่าผลลัพธ์:

ตัวอย่างที่ 3

ให้ไว้: 5x²+3x+7

ขั้นแรก มาคำนวณการแบ่งแยกตามกรณีก่อนหน้ากัน

ส=9-4*5*7=9-140= -131.

การเลือกปฏิบัติเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าไม่มีราก

หลังจากได้รับผลแล้วควรเปิดวงเล็บและตรวจสอบผล ตรีโกณมิติดั้งเดิมควรปรากฏขึ้น

ทางเลือกอื่น

บางคนไม่สามารถผูกมิตรกับผู้เลือกปฏิบัติได้ มีอีกวิธีหนึ่งในการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง เพื่อความสะดวกจะแสดงวิธีการพร้อมตัวอย่าง

ให้ไว้: x²+3x-10

เรารู้ว่าเราควรมี 2 วงเล็บ: (_)(_) เมื่อนิพจน์มีลักษณะดังนี้: x²+bx+c ที่จุดเริ่มต้นของแต่ละวงเล็บ เราจะใส่ x: (x_)(x_) ตัวเลขสองตัวที่เหลือคือผลคูณที่ให้ "c" เช่น ในกรณีนี้ -10 วิธีเดียวที่จะทราบว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเลขใดคือการเลือก ตัวเลขที่ถูกแทนที่จะต้องสอดคล้องกับระยะเวลาที่เหลือ

ตัวอย่างเช่น การคูณตัวเลขต่อไปนี้จะได้ -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10 เลขที่
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10 เลขที่
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10 เลขที่
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10 พอดี

ซึ่งหมายความว่าการแปลงนิพจน์ x2+3x-10 จะเป็นดังนี้: (x-2)(x+5)

สำคัญ!คุณควรระวังอย่าให้ป้ายสับสน

การขยายตัวของตรีโกณมิติที่ซับซ้อน

หาก “a” มากกว่าหนึ่ง ปัญหาก็จะเริ่มต้นขึ้น แต่ทุกอย่างไม่ยากอย่างที่คิด

ในการแยกตัวประกอบ คุณต้องดูว่ามีอะไรที่สามารถแยกตัวประกอบออกได้ก่อนหรือไม่

ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดนิพจน์: 3x²+9x-30 ที่นี่หมายเลข 3 ถูกนำออกจากวงเล็บ:

3(x²+3x-10) ผลลัพธ์ที่ได้คือตรีโกณมิติที่รู้จักกันดีอยู่แล้ว คำตอบมีลักษณะดังนี้: 3(x-2)(x+5)

จะสลายตัวได้อย่างไรถ้าเทอมที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมเป็นลบ? ในกรณีนี้ให้นำหมายเลข -1 ออกจากวงเล็บ ตัวอย่างเช่น: -x²-10x-8 นิพจน์จะมีลักษณะดังนี้:

โครงการนี้แตกต่างเล็กน้อยจากโครงการก่อนหน้า มีสิ่งใหม่ ๆ เพียงไม่กี่อย่าง สมมติว่านิพจน์ได้รับ: 2x²+7x+3 คำตอบจะเขียนไว้ในวงเล็บ 2 วงเล็บซึ่งต้องกรอก (_)(_) ในวงเล็บที่ 2 เขียนว่า x และในวงเล็บที่ 1 สิ่งที่เหลืออยู่ ดูเหมือนว่านี้: (2x_)(x_) มิฉะนั้นโครงการก่อนหน้านี้จะถูกทำซ้ำ

หมายเลข 3 ได้รับจากตัวเลข:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

เราแก้สมการด้วยการแทนที่ตัวเลขเหล่านี้ ตัวเลือกสุดท้ายมีความเหมาะสม ซึ่งหมายความว่าการแปลงนิพจน์ 2x²+7x+3 มีลักษณะดังนี้: (2x+1)(x+3)

กรณีอื่นๆ

ไม่สามารถแปลงนิพจน์ได้เสมอไป ด้วยวิธีที่สอง ไม่จำเป็นต้องแก้สมการ แต่ความเป็นไปได้ในการเปลี่ยนเงื่อนไขให้เป็นผลิตภัณฑ์นั้นได้รับการตรวจสอบโดยการเลือกปฏิบัติเท่านั้น

มันคุ้มค่าที่จะฝึกแก้สมการกำลังสองเพื่อที่เมื่อใช้สูตรจะไม่มีปัญหา

วิดีโอที่มีประโยชน์: การแยกตัวประกอบตรีโกณมิติ

บทสรุป

คุณสามารถใช้มันในทางใดทางหนึ่ง แต่เป็นการดีกว่าที่จะฝึกฝนทั้งสองอย่างจนกว่ามันจะอัตโนมัติ นอกจากนี้ การเรียนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองให้ดีและพหุนามตัวประกอบยังเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับผู้ที่วางแผนเชื่อมโยงชีวิตกับคณิตศาสตร์ หัวข้อทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ทั้งหมดสร้างขึ้นจากสิ่งนี้

การศึกษารูปแบบทางกายภาพและเรขาคณิตจำนวนมากมักนำไปสู่การแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ มหาวิทยาลัยบางแห่งยังรวมสมการ อสมการ และระบบของสมการไว้ในข้อสอบด้วย ซึ่งมักจะซับซ้อนมากและต้องใช้แนวทางการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน ที่โรงเรียน หนึ่งในส่วนที่ยากที่สุดของหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนจะพิจารณาเฉพาะในวิชาเลือกหรือวิชาเพียงไม่กี่วิชาเท่านั้น
ในความคิดของฉัน วิธีกราฟิกเชิงฟังก์ชันเป็นวิธีที่สะดวกและรวดเร็วในการแก้สมการด้วยพารามิเตอร์
ดังที่ทราบกันดีว่าสมการที่มีพารามิเตอร์มีสูตรของปัญหาอยู่สองสูตร

1. แก้สมการ (สำหรับแต่ละค่าพารามิเตอร์ ให้หาคำตอบทั้งหมดของสมการ)
2. ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์สำหรับแต่ละค่าซึ่งคำตอบของสมการตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด

ในบทความนี้ ปัญหาประเภทที่สองได้รับการพิจารณาและศึกษาเกี่ยวกับรากของตรีโกณมิติกำลังสอง ซึ่งผลลัพธ์จะเหลือเพียงการแก้สมการกำลังสองเท่านั้น
ผู้เขียนหวังว่างานนี้จะช่วยครูในการพัฒนาบทเรียนและเตรียมนักเรียนสำหรับการสอบ Unified State

1. พารามิเตอร์คืออะไร

การแสดงออกของแบบฟอร์ม อา 2 + bx + คในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน เขาเรียกว่าตรีโกณมิติกำลังสองด้วยความเคารพ เอ็กซ์,ที่ไหน ก, ข, c จะได้รับจำนวนจริง และ ก=/= 0 ค่าของตัวแปร x ที่นิพจน์กลายเป็นศูนย์เรียกว่ารากของตรีโกณมิติกำลังสอง หากต้องการหารากของตรีโกณมิติกำลังสอง คุณต้องแก้สมการกำลังสอง อา 2 + bх + c = 0.
มาจำสมการพื้นฐานจากหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนกัน ขวาน + ข = 0;
aх2 + bх + c = 0เมื่อค้นหารากค่าของตัวแปร ก, ข, ค,รวมอยู่ในสมการถือว่าคงที่และให้ ตัวแปรเองเรียกว่าพารามิเตอร์ เนื่องจากไม่มีคำจำกัดความของพารามิเตอร์ในหนังสือเรียนของโรงเรียนฉันจึงเสนอให้ใช้เวอร์ชันที่ง่ายที่สุดต่อไปนี้เป็นพื้นฐาน

คำนิยาม.พารามิเตอร์เป็นตัวแปรอิสระ ซึ่งค่าในปัญหาถือเป็นจำนวนจริงคงที่หรือตามอำเภอใจ หรือตัวเลขที่เป็นของชุดที่กำหนดไว้ล่วงหน้า

2. ประเภทและวิธีการพื้นฐานในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์

ในงานที่มีพารามิเตอร์ สามารถแยกแยะประเภทงานหลักต่อไปนี้ได้

1. สมการที่ต้องแก้ไขสำหรับค่าใด ๆ ของพารามิเตอร์หรือสำหรับค่าพารามิเตอร์ที่เป็นของชุดที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ตัวอย่างเช่น. แก้สมการ: ขวาน = 1, (ก – 2)x = ก 2 – 4.
2. สมการที่คุณต้องกำหนดจำนวนวิธีแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ (พารามิเตอร์) ตัวอย่างเช่น. ที่ค่าพารามิเตอร์ใด กสมการ 4เอ็กซ์ 2 – 4ขวาน + 1 = 0มีรากเดียวเหรอ?
3. สมการที่ชุดโซลูชันเป็นไปตามเงื่อนไขที่ระบุในโดเมนของคำจำกัดความสำหรับค่าที่ต้องการของพารามิเตอร์

ตัวอย่างเช่น ค้นหาค่าพารามิเตอร์ที่รากของสมการ ( ก – 2)เอ็กซ์ 2 – 2ขวาน + ก + 3 = 0 เชิงบวก.
วิธีหลักในการแก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์: การวิเคราะห์และกราฟิก

วิเคราะห์- นี่คือวิธีการที่เรียกว่าการแก้ปัญหาโดยตรงโดยทำซ้ำขั้นตอนมาตรฐานเพื่อค้นหาคำตอบในปัญหาโดยไม่มีพารามิเตอร์ ลองดูตัวอย่างงานดังกล่าว

ภารกิจที่ 1

ค่าของพารามิเตอร์ใดที่ a ทำสมการ เอ็กซ์ 2 – 2ขวาน + ก 2 – 1 = 0 มีสองรากที่แตกต่างกันซึ่งอยู่ในช่วง (1; 5)?

สารละลาย

เอ็กซ์ 2 – 2ขวาน + ก 2 – 1 = 0.
ตามเงื่อนไขของปัญหา สมการจะต้องมีรากที่แตกต่างกันสองค่า และเป็นไปได้ภายใต้เงื่อนไขเท่านั้น: D > 0
เรามี: D = 4 ก 2 – 2(ก 2 – 1) = 4 ดังที่เราเห็นการแบ่งแยกไม่ได้ขึ้นอยู่กับ a ดังนั้นสมการจึงมีรากที่แตกต่างกันสองค่าสำหรับค่าใด ๆ ของพารามิเตอร์ a มาหารากของสมการกัน: เอ็กซ์ 1 = ก + 1, เอ็กซ์ 2 = ก – 1
รากของสมการจะต้องอยู่ในช่วง (1; 5) เช่น
ดังนั้นตอนตี 2<ก < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

คำตอบ: 2<ก < 4.
แนวทางในการแก้ปัญหาประเภทที่พิจารณานี้เป็นไปได้และมีเหตุผลในกรณีที่การเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสองนั้น "ดี" เช่น คือกำลังสองที่แน่นอนของจำนวนหรือนิพจน์ใดๆ หรือสามารถหารากของสมการได้โดยใช้ทฤษฎีบทผกผันของเวียตนาม จากนั้นรากจะไม่แสดงถึงการแสดงออกที่ไม่ลงตัว มิฉะนั้น การแก้ปัญหาประเภทนี้เกี่ยวข้องกับขั้นตอนที่ค่อนข้างซับซ้อนจากมุมมองทางเทคนิค และการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่มีเหตุผลต้องอาศัยความรู้ใหม่จากนักเรียน

กราฟิก- นี่เป็นวิธีการใช้กราฟในระนาบพิกัด (x; y) หรือ (x; a) ความชัดเจนและความสวยงามของโซลูชันนี้ช่วยให้พบวิธีแก้ปัญหาที่รวดเร็ว มาแก้ปัญหาหมายเลข 1 แบบกราฟิกกัน
ดังที่คุณทราบจากหลักสูตรพีชคณิต รากของสมการกำลังสอง (กำลังสองตรีโนเมียล) คือศูนย์ของฟังก์ชันกำลังสองที่สอดคล้องกัน: Y = เอ็กซ์ 2 – 2โอ้ + ก 2 – 1 กราฟของฟังก์ชันเป็นรูปพาราโบลา โดยกิ่งก้านจะชี้ขึ้นด้านบน (สัมประสิทธิ์แรกคือ 1) แบบจำลองทางเรขาคณิตที่ตรงตามข้อกำหนดทั้งหมดของปัญหาจะมีลักษณะดังนี้

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือ "แก้ไข" พาราโบลาในตำแหน่งที่ต้องการโดยใช้เงื่อนไขที่จำเป็น

1. เนื่องจากพาราโบลามีจุดตัดกับแกนสองจุด เอ็กซ์จากนั้น D > 0
2. จุดยอดของพาราโบลาอยู่ระหว่างเส้นแนวตั้ง เอ็กซ์= 1 และ เอ็กซ์= 5 ดังนั้น abscissa ของจุดยอดของพาราโบลา x o อยู่ในช่วง (1; 5) นั่นคือ
   1 <เอ็กซ์โอ< 5.
3. เราสังเกตเห็นว่า ที่(1) > 0, ที่(5) > 0.

ดังนั้น การย้ายจากแบบจำลองทางเรขาคณิตของปัญหาไปสู่แบบจำลองเชิงวิเคราะห์ เราได้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน

คำตอบ: 2<ก < 4.

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง วิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้ปัญหาประเภทที่พิจารณานั้นเป็นไปได้ในกรณีที่รากนั้น "ไม่ดี" เช่น มีพารามิเตอร์อยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์ (ในกรณีนี้ ตัวจำแนกสมการไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์)
ในวิธีแก้วิธีที่สอง เราทำงานกับค่าสัมประสิทธิ์ของสมการและพิสัยของฟังก์ชัน ที่ = เอ็กซ์ 2 – 2โอ้ + ก 2 – 1.
วิธีการแก้ปัญหานี้ไม่สามารถเรียกได้ว่าเป็นแบบกราฟิกเท่านั้นเพราะ ที่นี่เราต้องแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน แต่วิธีนี้ถูกรวมเข้าด้วยกัน: ใช้งานได้จริงและกราฟิก จากทั้งสองวิธีนี้ วิธีหลังไม่เพียงแต่สวยงามเท่านั้น แต่ยังเป็นวิธีที่สำคัญที่สุดด้วย เนื่องจากมันแสดงให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทุกประเภท: คำอธิบายทางวาจาของปัญหา แบบจำลองทางเรขาคณิต - กราฟของตรีโกณมิติกำลังสอง การวิเคราะห์ model - คำอธิบายของแบบจำลองทางเรขาคณิตโดยระบบอสมการ
ดังนั้นเราจึงพิจารณาถึงปัญหาที่รากของตรีโกณมิติกำลังสองเป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนดในขอบเขตของคำจำกัดความสำหรับค่าพารามิเตอร์ที่ต้องการ

เงื่อนไขที่เป็นไปได้อื่นใดอีกที่รากของตรีโกณมิติกำลังสองสามารถตอบสนองค่าพารามิเตอร์ที่ต้องการได้

พิจารณาสมการกำลังสอง:
(1) .
รากของสมการกำลังสอง(1) ถูกกำหนดโดยสูตร:
; .
สูตรเหล่านี้สามารถนำมารวมกันได้ดังนี้:
.
เมื่อทราบรากของสมการกำลังสองแล้ว พหุนามของระดับที่สองสามารถแสดงเป็นผลคูณของปัจจัย (แยกตัวประกอบ):
.

ต่อไปเราถือว่ามันเป็นจำนวนจริง
ลองพิจารณาดู จำแนกสมการกำลังสอง:
.
ถ้าค่าจำแนกเป็นบวก สมการกำลังสอง (1) จะมีรากจริงที่แตกต่างกันสองค่า:
; .
จากนั้นการแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติกำลังสองจะมีรูปแบบ:
.
ถ้าค่าจำแนกเท่ากับศูนย์ สมการกำลังสอง (1) จะมีรากจำนวนจริงพหุคูณ (เท่ากัน) สองค่า:
.
การแยกตัวประกอบ:
.
ถ้าค่าจำแนกเป็นลบ สมการกำลังสอง (1) จะมีรากคอนจูเกตเชิงซ้อนสองตัว:
;
.
นี่คือหน่วยจินตภาพ ;
และเป็นส่วนของรากที่แท้จริงและจินตภาพ:
; .
แล้ว

.

การตีความกราฟิก

หากคุณพลอตฟังก์ชัน
,
ซึ่งเป็นพาราโบลา จุดตัดกันของกราฟกับแกนจะเป็นรากของสมการ
.
ที่ กราฟจะตัดแกน x (แกน) ที่จุดสองจุด
เมื่อ กราฟแตะแกน x ณ จุดหนึ่ง
เมื่อ กราฟไม่ข้ามแกน x

ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของกราฟดังกล่าว

สูตรที่มีประโยชน์ที่เกี่ยวข้องกับสมการกำลังสอง

(ฉ.1) ;
(ฉ.2) ;
(ฉ.3) .

ที่มาของสูตรหารากของสมการกำลังสอง

เราทำการเปลี่ยนแปลงและใช้สูตร (f.1) และ (f.3):




,
ที่ไหน
; .

ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับพหุนามของดีกรี 2 ในรูปแบบ:
.
นี่แสดงให้เห็นว่าสมการ

ดำเนินการที่
และ .
นั่นคือ และ เป็นรากของสมการกำลังสอง
.

ตัวอย่างการหารากของสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1

(1.1) .

สารละลาย

.
เมื่อเปรียบเทียบกับสมการของเรา (1.1) เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
เราพบการเลือกปฏิบัติ:
.
เนื่องจากการแบ่งแยกเป็นบวก สมการจึงมีรากที่แท้จริงสองประการ:
;
;
.

จากตรงนี้ เราจะได้การแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติกำลังสอง:

.

กราฟของฟังก์ชัน y = 2x2+7x+3ตัดแกน x ที่จุดสองจุด

ลองพลอตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา มันตัดผ่านแกนแอบซิสซา (แกน) ที่จุดสองจุด:
และ .
จุดเหล่านี้เป็นรากของสมการดั้งเดิม (1.1)

คำตอบ

;
;
.

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหารากของสมการกำลังสอง:
(2.1) .

สารละลาย

ลองเขียนสมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับสมการดั้งเดิม (2.1) เราจะพบค่าของสัมประสิทธิ์:
.
เราพบการเลือกปฏิบัติ:
.
เนื่องจากค่าจำแนกเป็นศูนย์ สมการจึงมีรากหลายค่า (เท่ากัน) สองตัว:
;
.

จากนั้นการแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติจะมีรูปแบบ:
.

กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 - 4 x + 4สัมผัสแกน x ณ จุดหนึ่ง

ลองพลอตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา มันสัมผัสแกน x (แกน) ที่จุดหนึ่ง:
.
จุดนี้คือรากของสมการดั้งเดิม (2.1) เพราะรากนี้ถูกแยกตัวประกอบสองครั้ง:
,
ดังนั้นรากดังกล่าวจึงมักเรียกว่าทวีคูณ นั่นคือพวกเขาเชื่อว่ามีสองรากที่เท่ากัน:
.

คำตอบ

;
.

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหารากของสมการกำลังสอง:
(3.1) .

สารละลาย

ลองเขียนสมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป:
(1) .
ลองเขียนสมการดั้งเดิม (3.1):
.
เมื่อเปรียบเทียบกับ (1) เราจะพบค่าของสัมประสิทธิ์:
.
เราพบการเลือกปฏิบัติ:
.
การเลือกปฏิบัติเป็นลบ

ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง
;
;

ลองพลอตฟังก์ชันกัน
.
คุณสามารถค้นหารากที่ซับซ้อนได้:

คำตอบ

กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา มันไม่ตัดแกน x (แกน) ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง
;
;
.

ไม่มีรากที่แท้จริง รากที่ซับซ้อน:

ลองหาผลรวมและผลคูณของรากของสมการกำลังสองกัน เราได้โดยใช้สูตร (59.8) สำหรับรากของสมการข้างต้น

(ความเท่าเทียมกันแรกชัดเจนส่วนที่สองได้มาหลังจากการคำนวณอย่างง่ายซึ่งผู้อ่านจะดำเนินการอย่างอิสระสะดวกที่จะใช้สูตรในการคูณผลรวมของตัวเลขสองตัวด้วยผลต่าง)

ต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทของเวียตตา ผลรวมของรากของสมการกำลังสองข้างต้นเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของพวกมันเท่ากับเทอมอิสระ

ในกรณีของสมการกำลังสองที่ไม่ได้ลดลง ควรแทนที่นิพจน์ของสูตร (60.1) ลงในสูตร (60.1) แล้วอยู่ในรูปแบบ

ตัวอย่างที่ 1 เขียนสมการกำลังสองโดยใช้รากของมัน:

วิธีแก้ไข ก) จงหาสมการที่มีรูปแบบ

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาผลรวมของกำลังสองของรากของสมการโดยไม่ต้องแก้สมการเอง

สารละลาย. ทราบผลรวมและผลคูณของราก ให้เราแทนผลรวมของรากกำลังสองในรูปแบบ

และเราได้รับ

จากสูตรของ Vieta ทำให้ได้สูตรได้ง่าย

การแสดงกฎสำหรับการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

จริงๆ แล้ว เรามาเขียนสูตร (60.2) ในรูปแบบกันดีกว่า

ตอนนี้เรามี

ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องได้รับ

ที่มาของสูตรของ Vieta ข้างต้นเป็นที่คุ้นเคยสำหรับผู้อ่านจากหลักสูตรพีชคณิตระดับมัธยมปลาย ข้อสรุปอีกประการหนึ่งสามารถให้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเบซูต์และการแยกตัวประกอบของพหุนาม (ย่อหน้า 51, 52)

ให้รากของสมการตามกฎทั่วไป (52.2) ตรีโนเมียลทางด้านซ้ายของสมการจะถูกแยกตัวประกอบ:

เราได้การเปิดวงเล็บทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันที่เหมือนกันนี้

และการเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากันจะได้สูตรเวียตต้า (60.1)

สาระสำคัญคือเราพบตามความเท่าเทียมกัน (52.2)

(ในกรณีของเรา เมื่อเปิดวงเล็บทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันแล้วรวบรวมค่าสัมประสิทธิ์ในระดับต่างๆ เราจะได้

เมื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์และพีชคณิต บางครั้งจำเป็นต้องสร้าง เศษส่วนวี สี่เหลี่ยม- วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือเมื่อใด เศษส่วนทศนิยม - เครื่องคิดเลขธรรมดาก็เพียงพอแล้ว อย่างไรก็ตามหาก เศษส่วนธรรมดาหรือผสมแล้วเมื่อเพิ่มจำนวนดังกล่าวเป็น สี่เหลี่ยมความยากลำบากบางอย่างอาจเกิดขึ้น

คุณจะต้อง

• เครื่องคิดเลข คอมพิวเตอร์ โปรแกรม Excel

คำแนะนำ

เพื่อเพิ่มทศนิยม เศษส่วนวี สี่เหลี่ยมเลือกวิชาวิศวกรรม แล้วพิมพ์ว่ามีอะไรในตัว สี่เหลี่ยม เศษส่วนแล้วกดปุ่มเพิ่มไปที่ปุ่มเปิด/ปิดอันที่สอง ในเครื่องคิดเลขส่วนใหญ่ ปุ่มนี้จะมีป้ายกำกับว่า "x²" บนเครื่องคิดเลข Windows มาตรฐาน ฟังก์ชั่นการเพิ่มเป็น สี่เหลี่ยมดูเหมือน "x^2" ตัวอย่างเช่น, สี่เหลี่ยมเศษส่วนทศนิยม 3.14 จะเท่ากับ: 3.14² = 9.8596

เพื่อสร้างเป็น สี่เหลี่ยมทศนิยม เศษส่วนในเครื่องคิดเลขทั่วไป (การบัญชี) ให้คูณตัวเลขนี้ด้วยตัวมันเอง อย่างไรก็ตาม เครื่องคิดเลขบางรุ่นมีความสามารถในการเพิ่มจำนวนได้ สี่เหลี่ยมแม้ว่าจะไม่มีปุ่มพิเศษก็ตาม ดังนั้น ขั้นแรกให้อ่านคำแนะนำสำหรับเครื่องคิดเลขเฉพาะของคุณ บางครั้งมีการให้เลขยกกำลัง "ยุ่งยาก" ไว้บนปกหลังหรือบนเครื่องคิดเลข ตัวอย่างเช่น ในเครื่องคิดเลขหลายเครื่อง ให้เพิ่มตัวเลขเป็น สี่เหลี่ยมเพียงกดปุ่ม "x" และ "="

สำหรับการก่อสร้างใน สี่เหลี่ยมเศษส่วนร่วม (ประกอบด้วยตัวเศษและตัวส่วน) ยกให้เป็น สี่เหลี่ยมแยกตัวเศษและส่วนของเศษส่วนนี้ออกจากกัน นั่นคือ ใช้กฎต่อไปนี้: (h / z)² = h² / z² โดยที่ h คือตัวเศษของเศษส่วน z คือตัวส่วนของเศษส่วน ตัวอย่าง: (3/4)² = 3²/4² = 9 /16.

หากถูกสร้างมา. สี่เหลี่ยม เศษส่วน– คละ (ประกอบด้วยส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนสามัญ) แล้วนำมาเป็นรูปสามัญก่อน นั่นคือ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้: (c h/z)² = ((c*z+ch) / z)² = (c*z+ch)² / z² โดยที่ c คือส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วนคละ ตัวอย่าง: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25

ถ้าเข้า. สี่เหลี่ยม(ไม่ใช่ ) เศษส่วนเกิดขึ้นตลอดเวลา จากนั้นใช้ MS Excel ในการดำเนินการนี้ ให้ป้อนสูตรต่อไปนี้ลงในตารางใดตารางหนึ่ง: = DEGREE(A2;2) โดยที่ A2 คือที่อยู่ของเซลล์ที่จะป้อนค่าที่เพิ่มขึ้น สี่เหลี่ยม เศษส่วนเพื่อบอกโปรแกรมว่าควรถือว่าหมายเลขอินพุตเป็น เศษส่วน yu (เช่น อย่าแปลงเป็นทศนิยม) ให้พิมพ์ก่อน เศษส่วนฉันมีเลข “0” และเครื่องหมาย “เว้นวรรค” นั่นคือในการป้อนเศษส่วน 2/3 คุณต้องป้อน: "0 2/3" (และกด Enter) ในกรณีนี้ การแสดงทศนิยมของเศษส่วนที่ป้อนจะแสดงในบรรทัดอินพุต ค่าและการแทนเศษส่วนจะถูกบันทึกในรูปแบบดั้งเดิม นอกจากนี้ เมื่อใช้ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีอาร์กิวเมนต์เป็นเศษส่วนธรรมดา ผลลัพธ์จะแสดงเป็นเศษส่วนสามัญด้วย เพราะฉะนั้น สี่เหลี่ยมเศษส่วน 2/3 จะแสดงเป็น 4/9