แทนเจนต์ของคำนิยามวงกลมคืออะไร สัมผัสกันเป็นวงกลม

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อแจ้งข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้นได้ไม่ซ้ำใคร
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

คำนิยาม. แทนเจนต์ของวงกลมคือเส้นตรงในระนาบที่มีจุดเดียวกับวงกลมพอดี

นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง โอสัมผัสเป็นเส้นตรง ลตรงจุด ก จากที่ใดก็ได้ มสามารถลากแทนเจนต์สองตัวออกมานอกวงกลมได้ ความแตกต่างระหว่างแทนเจนต์ ล, ซีแคนต์ บี.ซี.และตรง มซึ่งไม่มีจุดร่วมในวงกลม

เราอาจจบเพียงเท่านี้ แต่การฝึกฝนแสดงให้เห็นว่าการจำคำจำกัดความเพียงอย่างเดียวนั้นไม่เพียงพอ คุณต้องเรียนรู้ที่จะเห็นแทนเจนต์ในภาพวาด รู้คุณสมบัติของมัน และนอกจากนี้ ฝึกฝนอย่างถูกต้องในการใช้คุณสมบัติเหล่านี้โดยการแก้ปัญหาจริง เราจะทำทั้งหมดนี้ในวันนี้

คุณสมบัติพื้นฐานของแทนเจนต์

ในการแก้ปัญหาใดๆ คุณจำเป็นต้องทราบคุณสมบัติหลักสี่ประการ มีคำอธิบายสองรายการในหนังสืออ้างอิง / หนังสือเรียน แต่สองรายการสุดท้ายถูกลืมไปบ้าง แต่ก็ไร้ผล

1. ส่วนแทนเจนต์ที่ดึงมาจากจุดหนึ่งมีค่าเท่ากัน

สูงขึ้นอีกหน่อย เราได้พูดถึงแทนเจนต์สองตัวที่ดึงมาจากจุด M แล้ว ดังนั้น:

ส่วนแทนเจนต์ของวงกลมที่ลากจากจุดหนึ่งมีค่าเท่ากัน

เซ็กเมนต์ เช้า.และ บี.เอ็ม.เท่ากัน

2. แทนเจนต์ตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส

ลองดูภาพด้านบนอีกครั้ง ลองวาดรัศมีกัน โอเอและ โอ.บี.หลังจากนั้นเราจะพบว่ามุมนั้น โอมและ โอ.บี.เอ็ม.- ตรง.

รัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสกัน

ข้อเท็จจริงนี้สามารถใช้ได้โดยไม่มีข้อพิสูจน์ในปัญหาใด ๆ :

รัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสกันนั้นตั้งฉากกับจุดสัมผัสกัน

หมายเหตุ: หากคุณวาดส่วน โอมแล้วเราจะได้สามเหลี่ยมสองอันที่เท่ากัน: โอมและ โอ.บี.เอ็ม..

3. ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และซีแคนต์

แต่นี่เป็นข้อเท็จจริงที่ร้ายแรงกว่านั้น และเด็กนักเรียนส่วนใหญ่ก็ไม่รู้เรื่องนี้ พิจารณาแทนเจนต์และซีแคนต์ที่ผ่านจุดร่วมเดียวกัน ม- โดยปกติแล้ว เส้นตัดจะให้สองส่วนแก่เรา: ภายในวงกลม (segment บี.ซี.- เรียกอีกอย่างว่าคอร์ด) และภายนอก (นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า - ส่วนนอก เอ็ม.ซี.).

ผลคูณของเส้นตัดทั้งหมดและส่วนภายนอกเท่ากับกำลังสองของเส้นสัมผัสกัน

ความสัมพันธ์ระหว่างซีแคนต์และแทนเจนต์

4. มุมระหว่างแทนเจนต์และคอร์ด

ข้อเท็จจริงขั้นสูงที่มักใช้ในการแก้ปัญหาที่ซับซ้อน ฉันขอแนะนำให้นำไปใช้บริการ

มุมระหว่างแทนเจนต์และคอร์ดจะเท่ากับมุมที่ถูกจารึกไว้ซึ่งสนับสนุนโดยคอร์ดนี้

ประเด็นมาจากไหน? บี- ในปัญหาที่แท้จริง มันมักจะ "ปรากฏขึ้น" ที่ไหนสักแห่งในสภาพนั้น ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญที่จะต้องเรียนรู้ที่จะจดจำการกำหนดค่านี้ในแบบร่าง

บางครั้งมันก็สำคัญ :)

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

• ทางการศึกษา – การทำซ้ำ การวางนัยทั่วไป และการทดสอบความรู้ในหัวข้อ: “สัมผัสกันเป็นวงกลม”; การพัฒนาทักษะพื้นฐาน
• พัฒนาการ – เพื่อพัฒนาความสนใจ ความอุตสาหะ ความอุตสาหะ การคิดเชิงตรรกะ การพูดทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน
• การศึกษา - ผ่านบทเรียน ปลูกฝังทัศนคติที่เอาใจใส่ต่อกัน ปลูกฝังความสามารถในการฟังสหาย การช่วยเหลือซึ่งกันและกัน และความเป็นอิสระ
• แนะนำแนวคิดเรื่องแทนเจนต์ซึ่งเป็นจุดติดต่อ
• พิจารณาคุณสมบัติของแทนเจนต์และเครื่องหมายแล้วแสดงการประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาในธรรมชาติและเทคโนโลยี

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

• พัฒนาทักษะในการสร้างแทนเจนต์โดยใช้ไม้บรรทัดสเกล ไม้โปรแทรกเตอร์ และการวาดสามเหลี่ยม
• ทดสอบทักษะการแก้ปัญหาของนักเรียน
• ตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีความเชี่ยวชาญในเทคนิคอัลกอริทึมพื้นฐานในการสร้างเส้นสัมผัสกันของวงกลม
• พัฒนาความสามารถในการประยุกต์ความรู้ทางทฤษฎีในการแก้ปัญหา
• พัฒนาความคิดและคำพูดของนักเรียน
• พัฒนาทักษะในการสังเกต สังเกตรูปแบบ การสรุป และการใช้เหตุผลโดยการเปรียบเทียบ
• ปลูกฝังความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์

แผนการสอน

1. การเกิดขึ้นของแนวคิดเรื่องแทนเจนต์
2. ประวัติความเป็นมาของการปรากฏตัวของแทนเจนต์
3. คำจำกัดความทางเรขาคณิต
4. ทฤษฎีบทพื้นฐาน
5. การสร้างเส้นสัมผัสกันของวงกลม
6. การรวมบัญชี

การเกิดขึ้นของแนวคิดเรื่องแทนเจนต์

แนวคิดเรื่องแทนเจนต์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่เก่าแก่ที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ ในเรขาคณิต เส้นสัมผัสกันของวงกลมถูกกำหนดให้เป็นเส้นที่มีจุดตัดกับวงกลมนั้นเพียงจุดเดียว คนสมัยก่อนใช้วงเวียนและไม้บรรทัด สามารถวาดแทนเจนต์ให้เป็นวงกลม และต่อมาเป็นรูปกรวย ได้แก่ วงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลา

ประวัติความเป็นมาของแทนเจนต์

ความสนใจในเรื่องแทนเจนต์ฟื้นขึ้นมาในยุคปัจจุบัน จากนั้นจึงค้นพบเส้นโค้งที่นักวิทยาศาสตร์โบราณไม่รู้จัก ตัวอย่างเช่น กาลิเลโอแนะนำไซโคลิด และเดส์การตส์และแฟร์มาต์ได้สร้างแทนเจนต์ให้กับมัน ในช่วงสามแรกของศตวรรษที่ 17 เราเริ่มเข้าใจว่าแทนเจนต์เป็นเส้นตรง "ที่อยู่ติดกันมากที่สุด" กับเส้นโค้งในย่านเล็กๆ ของจุดที่กำหนด เป็นเรื่องง่ายที่จะจินตนาการถึงสถานการณ์ที่ไม่สามารถสร้างเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดที่กำหนด (รูป) ได้

คำจำกัดความทางเรขาคณิต

วงกลม- ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดบนระนาบซึ่งอยู่ห่างจากจุดที่กำหนดเท่ากันเรียกว่าจุดศูนย์กลาง

วงกลม.

คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

• เรียกว่าส่วนที่เชื่อมต่อศูนย์กลางของวงกลมกับจุดใดๆ บนนั้น (รวมถึงความยาวของส่วนนี้) รัศมีวงกลม
• ส่วนของระนาบที่ล้อมรอบด้วยวงกลมเรียกว่า ทั่วทุกมุม.
• ส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลมเรียกว่าส่วนนั้น คอร์ด- เรียกว่าคอร์ดที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลาง.
• จุดสองจุดที่แตกต่างกันบนวงกลมจะแบ่งจุดออกเป็นสองส่วน แต่ละส่วนเหล่านี้เรียกว่า ส่วนโค้งวงกลม การวัดส่วนโค้งสามารถวัดมุมที่จุดศูนย์กลางที่สอดคล้องกันได้ ส่วนโค้งจะเรียกว่าครึ่งวงกลมหากส่วนที่เชื่อมต่อปลายมีเส้นผ่านศูนย์กลาง
• เส้นตรงที่มีจุดร่วมหนึ่งจุดกับวงกลมเรียกว่าเส้นตรง แทนเจนต์สู่วงกลม และจุดร่วมของพวกมันเรียกว่าจุดสัมผัสของเส้นตรงและวงกลม
• เส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดบนวงกลมเรียกว่า ตัดออก.
• มุมที่ศูนย์กลางในวงกลมคือมุมระนาบที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลาง
• เรียกว่ามุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและมีด้านตัดกับวงกลมนี้ มุมที่ถูกจารึกไว้.
• วงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางร่วมเรียกว่า มีศูนย์กลางร่วมกัน.

เส้นสัมผัสกัน- เส้นตรงที่ผ่านจุดบนเส้นโค้งและขนานกัน ณ จุดนี้จนถึงลำดับที่หนึ่ง

สัมผัสกันเป็นวงกลมเป็นเส้นตรงที่มีจุดร่วมจุดหนึ่งกับวงกลม

เส้นตรงที่ลากผ่านจุดบนวงกลมในระนาบเดียวกันซึ่งตั้งฉากกับรัศมีที่ลากมาถึงจุดนี้ เรียกว่าแทนเจนต์- ในกรณีนี้ จุดบนวงกลมนี้เรียกว่าจุดสัมผัส

ในกรณีของเรา “a” เป็นเส้นตรงที่สัมผัสกับวงกลมที่กำหนด จุด “A” คือจุดสัมผัส ในกรณีนี้ a⊥OA (เส้นตรง a ตั้งฉากกับรัศมี OA)

พวกเขาพูดอย่างนั้น วงกลมสองวงสัมผัสกันถ้ามีจุดร่วมเพียงจุดเดียว จุดนี้เรียกว่า จุดสัมผัสของวงกลม- ผ่านจุดสัมผัส คุณสามารถวาดเส้นสัมผัสของวงกลมวงใดวงหนึ่งได้ ซึ่งเป็นเส้นสัมผัสของวงกลมอีกวงหนึ่งด้วย วงกลมที่สัมผัสอาจเป็นภายในหรือภายนอกก็ได้

สัมผัสกันจะเรียกว่าภายในถ้าศูนย์กลางของวงกลมอยู่ด้านเดียวกันของแทนเจนต์

สัมผัสกันจะเรียกว่าสัมผัสภายนอกถ้าจุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่คนละด้านของแทนเจนต์

a คือเส้นสัมผัสร่วมของวงกลมทั้งสองวง K คือจุดสัมผัสกัน

ทฤษฎีบทพื้นฐาน

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับแทนเจนต์และซีแคนต์

ถ้าลากแทนเจนต์และเซแคนต์จากจุดที่อยู่นอกวงกลม กำลังสองของความยาวของแทนเจนต์จะเท่ากับผลคูณของเซแคนต์และส่วนนอก: MC 2 = MA MB

ทฤษฎีบท.รัศมีที่ลากไปยังจุดแทนเจนต์ของวงกลมนั้นตั้งฉากกับแทนเจนต์

ทฤษฎีบท.หากรัศมีตั้งฉากกับเส้นตรงจุดที่ตัดกับวงกลม เส้นนี้จะสัมผัสกันกับวงกลมนี้

การพิสูจน์.

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทเหล่านี้ เราต้องจำไว้ว่าค่าตั้งฉากจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคืออะไร นี่คือระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดนี้ถึงเส้นนี้ สมมติว่า OA ไม่ได้ตั้งฉากกับแทนเจนต์ แต่มี OS เป็นเส้นตรงตั้งฉากกับแทนเจนต์ ความยาว OS รวมถึงความยาวของรัศมีและส่วน BC บางส่วน ซึ่งมากกว่ารัศมีอย่างแน่นอน ดังนั้นใครๆ ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าเส้นไหนก็ได้ เราสรุปได้ว่ารัศมีหรือรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสคือระยะทางที่สั้นที่สุดถึงแทนเจนต์จากจุด O นั่นคือ OS ตั้งฉากกับแทนเจนต์ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสนทนา เราจะดำเนินการต่อจากข้อเท็จจริงที่ว่าแทนเจนต์มีจุดร่วมเพียงจุดเดียวบนวงกลม ปล่อยให้เส้นตรงนี้มีจุด B ร่วมอีกจุดหนึ่งกับวงกลม สามเหลี่ยม AOB เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และด้านทั้งสองมีรัศมีเท่ากัน ซึ่งไม่เป็นเช่นนั้น ดังนั้นเราจึงพบว่าเส้นตรงนี้ไม่มีจุดที่เหมือนกันกับวงกลมอีกต่อไป ยกเว้นจุด A นั่นคือ สัมผัสกัน

ทฤษฎีบท.ส่วนแทนเจนต์ที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังวงกลมมีค่าเท่ากัน และเส้นตรงที่เชื่อมจุดนี้กับศูนย์กลางของวงกลมจะแบ่งมุมระหว่างแทนเจนต์

การพิสูจน์.

การพิสูจน์นั้นง่ายมาก เมื่อใช้ทฤษฎีบทก่อนหน้านี้ เรายืนยันว่า OB ตั้งฉากกับ AB และระบบปฏิบัติการตั้งฉากกับ AC สามเหลี่ยมมุมฉาก ABO และ ACO เท่ากันในด้านขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก (OB=OS - รัศมี, AO - ผลรวม) ดังนั้น ด้าน AB=AC และมุม OAC และ OAB จึงเท่ากัน

ทฤษฎีบท.ขนาดของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์และคอร์ดที่มีจุดร่วมบนวงกลมจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของขนาดเชิงมุมของส่วนโค้งที่อยู่ระหว่างด้านข้าง

การพิสูจน์.

พิจารณามุม NAB ที่เกิดจากแทนเจนต์และคอร์ด ลองวาดเส้นผ่านศูนย์กลางของ AC กัน แทนเจนต์จะตั้งฉากกับเส้นผ่านศูนย์กลางที่ลากไปยังจุดที่สัมผัสกัน ดังนั้น ∠CAN=90 o เมื่อรู้ทฤษฎีบท เราจะเห็นว่ามุมอัลฟา (a) เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าเชิงมุมของส่วนโค้ง BC หรือครึ่งหนึ่งของมุม BOS ∠NAB=90 o -a จากตรงนี้ เราจะได้ ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB หรือ = ครึ่งหนึ่งของค่าเชิงมุมของส่วนโค้ง BA ฯลฯ

ทฤษฎีบท.ถ้าวาดแทนเจนต์และเซแคนต์จากจุดหนึ่งไปยังวงกลม ดังนั้น กำลังสองของเซกเมนต์แทนเจนต์จากจุดที่กำหนดไปยังจุดแทนเจนต์จะเท่ากับผลคูณของความยาวของเซกเมนต์เซแคนต์จากจุดที่กำหนดไปยังจุดของ จุดตัดกับวงกลม

การพิสูจน์.

ในรูป ทฤษฎีบทนี้มีลักษณะดังนี้: MA 2 = MV * MC มาพิสูจน์กัน ตามทฤษฎีบทที่แล้ว มุม MAC เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าเชิงมุมของส่วนโค้ง AC แต่มุม ABC ก็เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าเชิงมุมของส่วนโค้ง AC ตามทฤษฎีบท ดังนั้น มุมเหล่านี้จึงเท่ากับแต่ละมุม อื่น. เมื่อคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าสามเหลี่ยม AMC และ BMA มีมุมร่วมที่จุดยอด M เราจึงระบุความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้ในสองมุม (เครื่องหมายที่สอง) จากความคล้ายคลึงที่เรามี: MA/MB=MC/MA ซึ่งเราได้รับ MA 2 =MB*MC

การสร้างแทนเจนต์ให้เป็นวงกลม

ทีนี้ ลองหามันและหาว่าต้องทำอะไรเพื่อสร้างเส้นสัมผัสกันของวงกลม

ในกรณีนี้ ตามกฎแล้ว ปัญหาจะให้วงกลมและจุด และคุณกับฉันต้องสร้างแทนเจนต์ของวงกลม แล้วแทนเจนต์นี้ผ่านจุดที่กำหนด

ในกรณีที่เราไม่ทราบตำแหน่งของจุดใดจุดหนึ่ง ให้พิจารณากรณีของตำแหน่งที่เป็นไปได้ของจุดนั้น

ประการแรก จุดหนึ่งอาจอยู่ภายในวงกลม ซึ่งถูกจำกัดด้วยวงกลมที่กำหนด ในกรณีนี้ ไม่สามารถสร้างแทนเจนต์ผ่านวงกลมนี้ได้

ในกรณีที่สอง จุดนั้นอยู่บนวงกลม และเราสามารถสร้างแทนเจนต์ได้โดยลากเส้นตั้งฉากกับรัศมี ซึ่งถูกลากไปยังจุดที่เรารู้จัก

ประการที่สาม สมมติว่าจุดนั้นตั้งอยู่นอกวงกลม ซึ่งถูกจำกัดด้วยวงกลม ในกรณีนี้ ก่อนที่จะสร้างแทนเจนต์ จำเป็นต้องหาจุดบนวงกลมที่แทนเจนต์จะต้องผ่าน

ในกรณีแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจนสำหรับคุณ แต่เพื่อแก้ปัญหาตัวเลือกที่สอง เราจำเป็นต้องสร้างส่วนบนเส้นตรงซึ่งมีรัศมีอยู่ ส่วนนี้จะต้องเท่ากับรัศมีและส่วนที่อยู่บนวงกลมด้านตรงข้าม

ตรงนี้เราจะเห็นว่าจุดบนวงกลมคือจุดกึ่งกลางของส่วนที่เท่ากับรัศมีสองเท่า ขั้นตอนต่อไปคือการสร้างวงกลมสองวง รัศมีของวงกลมเหล่านี้จะเท่ากับ 2 เท่าของรัศมีของวงกลมเดิม โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ปลายส่วนของวงกลม ซึ่งเท่ากับ 2 เท่าของรัศมี ตอนนี้เราสามารถวาดเส้นตรงผ่านจุดตัดกันของวงกลมเหล่านี้กับจุดที่กำหนดได้ เส้นตรงดังกล่าวคือค่ามัธยฐานที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่วาดในตอนแรก ดังนั้น เราจะเห็นว่าเส้นนี้ตั้งฉากกับวงกลม และต่อจากนี้ไปเป็นเส้นสัมผัสกับวงกลม

ในตัวเลือกที่สาม เรามีจุดที่อยู่นอกวงกลมซึ่งถูกจำกัดด้วยวงกลม ในกรณีนี้ อันดับแรกเราสร้างส่วนที่จะเชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ให้ไว้กับจุดที่กำหนด แล้วเราก็พบมันตรงกลาง แต่สำหรับสิ่งนี้ มีความจำเป็นต้องสร้างเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก และคุณก็รู้วิธีสร้างมันแล้ว จากนั้นเราก็ต้องวาดวงกลมหรืออย่างน้อยก็ส่วนหนึ่ง ตอนนี้เราเห็นว่าจุดตัดของวงกลมที่กำหนดกับวงกลมที่สร้างขึ้นใหม่คือจุดที่แทนเจนต์ผ่านไป อีกทั้งยังผ่านจุดที่กำหนดตามเงื่อนไขของปัญหาอีกด้วย และสุดท้าย จากจุดสองจุดที่คุณรู้ คุณสามารถวาดเส้นสัมผัสกันได้

และสุดท้าย เพื่อพิสูจน์ว่าเส้นตรงที่เราสร้างนั้นเป็นเส้นสัมผัสกัน เราต้องใส่ใจกับมุมที่เกิดจากรัศมีของวงกลมและส่วนที่ทราบโดยเงื่อนไขและการเชื่อมต่อจุดตัดของวงกลม ด้วยจุดที่กำหนดโดยสภาพของปัญหา ตอนนี้เราเห็นว่ามุมที่ได้นั้นอยู่บนครึ่งวงกลม และจากนี้จึงเป็นไปตามว่ามุมนี้ถูกต้อง ดังนั้นรัศมีจะตั้งฉากกับเส้นที่สร้างขึ้นใหม่ และเส้นนี้คือเส้นสัมผัสกัน

การก่อสร้างแทนเจนต์

การสร้างเส้นสัมผัสกันเป็นหนึ่งในปัญหาที่นำไปสู่การเกิดแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ งานตีพิมพ์ครั้งแรกที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ซึ่งเขียนโดยไลบ์นิซ มีชื่อว่า "วิธีการใหม่ของค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด รวมถึงแทนเจนต์ ซึ่งทั้งปริมาณที่เป็นเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล หรือแคลคูลัสชนิดพิเศษ ล้วนเป็นอุปสรรค"

ความรู้ทางเรขาคณิตของชาวอียิปต์โบราณ

หากเราไม่คำนึงถึงการมีส่วนร่วมเล็กน้อยของชาวหุบเขาโบราณระหว่างไทกริสยูเฟรติสและเอเชียไมเนอร์ เรขาคณิตก็มีต้นกำเนิดในอียิปต์โบราณก่อนปี 1700 ปีก่อนคริสตกาล ในช่วงฤดูฝนเขตร้อน แม่น้ำไนล์ได้เติมน้ำสำรองและล้นออกมา พื้นที่เพาะปลูกมีน้ำปกคลุม และเพื่อวัตถุประสงค์ด้านภาษี จำเป็นต้องพิจารณาว่าที่ดินสูญหายไปมากน้อยเพียงใด นักสำรวจใช้เชือกที่ขึงแน่นเป็นเครื่องมือวัด แรงจูงใจอีกประการหนึ่งในการสั่งสมความรู้ทางเรขาคณิตโดยชาวอียิปต์ก็คือกิจกรรมของพวกเขา เช่น การสร้างปิรามิดและวิจิตรศิลป์

ระดับของความรู้เรขาคณิตสามารถตัดสินได้จากต้นฉบับโบราณซึ่งอุทิศให้กับคณิตศาสตร์โดยเฉพาะและเป็นเหมือนหนังสือเรียนหรือหนังสือปัญหาซึ่งมีวิธีแก้ปัญหาในทางปฏิบัติต่างๆ

ต้นฉบับทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดของชาวอียิปต์ถูกคัดลอกโดยนักเรียนคนหนึ่งระหว่างปี 1800 - 1600 พ.ศ จากข้อความเก่า กระดาษปาปิรัสถูกค้นพบโดยนักอียิปต์วิทยาชาวรัสเซีย Vladimir Semenovich Golenishchev มันถูกเก็บไว้ในมอสโก - ในพิพิธภัณฑ์วิจิตรศิลป์ซึ่งตั้งชื่อตาม A.S. พุชกิน และถูกเรียกว่ากระดาษปาปิรัสมอสโก

กระดาษปาปิรัสทางคณิตศาสตร์อีกชิ้นหนึ่งซึ่งเขียนช้ากว่าของมอสโกสองถึงสามร้อยปีถูกเก็บไว้ในลอนดอน มันถูกเรียกว่า: “คำแนะนำในการบรรลุความรู้เกี่ยวกับสิ่งมืดมนทั้งหมด ความลับทั้งหมดที่สิ่งต่าง ๆ ซ่อนอยู่ในตัวเอง... ตามอนุสาวรีย์เก่า ๆ อาลักษณ์อาเมสเขียนสิ่งนี้” ต้นฉบับเรียกว่า "กระดาษปาปิรัสอาห์เมส" หรือ กระดาษปาปิรัส Rhind - ตามชื่อของชาวอังกฤษผู้ค้นพบและซื้อกระดาษปาปิรัสนี้ในอียิปต์ กระดาษปาปิรัส Ahmes นำเสนอวิธีแก้ปัญหา 84 ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณต่างๆ ที่อาจจำเป็นในทางปฏิบัติ

บทความนี้ให้คำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับคำจำกัดความ ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ที่มีเครื่องหมายกราฟิก เราจะพิจารณาสมการของเส้นสัมผัสกันด้วยตัวอย่าง โดยจะพบสมการของเส้นโค้งสัมผัสถึงลำดับที่ 2

Yandex.RTB R-A-339285-1 คำจำกัดความ 1

มุมเอียงของเส้นตรง y = k x + b เรียกว่ามุม α ซึ่งวัดจากทิศทางบวกของแกน x ไปยังเส้นตรง y = k x + b ในทิศทางบวก

ในภาพ ทิศทาง x ระบุด้วยลูกศรสีเขียวและส่วนโค้งสีเขียว และมุมเอียงระบุด้วยส่วนโค้งสีแดง เส้นสีน้ำเงินหมายถึงเส้นตรง

คำจำกัดความ 2

ความชันของเส้นตรง y = k x + b เรียกว่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข k

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากับแทนเจนต์ของเส้นตรง หรืออีกนัยหนึ่งคือ k = t g α

• มุมเอียงของเส้นตรงจะเท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อมันขนานกันประมาณ x และความชันเท่ากับศูนย์ เพราะแทนเจนต์ของศูนย์เท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่ารูปแบบของสมการจะเป็น y = b
• หากมุมเอียงของเส้นตรง y = k x + b เป็นแบบเฉียบพลันแสดงว่าเงื่อนไข 0 เป็นไปตามนั้น< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 และกราฟเพิ่มขึ้น
• ถ้า α = π 2 ตำแหน่งของเส้นตรงจะตั้งฉากกับ x ความเท่าเทียมกันระบุโดย x = c โดยค่า c เป็นจำนวนจริง
• ถ้ามุมเอียงของเส้นตรง y = k x + b ป้าน มันจะสอดคล้องกับเงื่อนไข π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

คำจำกัดความ 3

เส้นตัดคือเส้นที่ลากผ่าน 2 จุดของฟังก์ชัน f (x) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นตัดเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดใดๆ บนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด

รูปนี้แสดงให้เห็นว่า A B คือเส้นตัดมุม และ f (x) คือเส้นโค้งสีดำ ส่วน α คือเส้นโค้งสีแดง ซึ่งแสดงถึงมุมเอียงของเส้นตัด

เมื่อสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงเท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียง จะเห็นได้ชัดว่าสามารถหาแทนเจนต์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก A B C ได้จากอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน

คำจำกัดความที่ 4

เราได้รับสูตรสำหรับค้นหาซีแคนต์ของแบบฟอร์ม:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A โดยที่ abscissas ของจุด A และ B คือค่า x A, x B และ f (x A), f (x B) คือฟังก์ชันค่าที่จุดเหล่านี้

แน่นอนว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตัดถูกกำหนดโดยใช้ความเท่าเทียมกัน k = f (x B) - f (x A) x B - x A หรือ k = f (x A) - f (x B) x A - x B และต้องเขียนสมการเป็น y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) หรือ
y = ฉ (x A) - ฉ (x B) x A - x B x - x B + ฉ (x B) .

เส้นตัดจะแบ่งกราฟออกเป็น 3 ส่วนทางสายตา: ทางด้านซ้ายของจุด A จาก A ถึง B และทางด้านขวาของ B รูปด้านล่างแสดงให้เห็นว่ามีเส้นตัด 3 เส้นที่ถือว่าตรงกัน กล่าวคือ พวกมันถูกกำหนดโดยใช้ สมการที่คล้ายกัน

ตามคำจำกัดความ เป็นที่ชัดเจนว่าเส้นตรงและเส้นตัดในกรณีนี้ตรงกัน

เส้นตัดสามารถตัดกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดได้หลายครั้ง หากมีสมการในรูปแบบ y = 0 สำหรับเส้นตัดมุม จำนวนจุดตัดกับไซนัสอยด์จะไม่มีที่สิ้นสุด

คำจำกัดความที่ 5

แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x 0 ; f (x 0) เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด x 0; f (x 0) โดยมีส่วนที่มีค่า x หลายค่าใกล้กับ x 0

ตัวอย่างที่ 1

เรามาดูตัวอย่างด้านล่างนี้กันดีกว่า เป็นที่ชัดเจนว่าเส้นที่กำหนดโดยฟังก์ชัน y = x + 1 ถือเป็นเส้นสัมผัสของ y = 2 x ที่จุดที่มีพิกัด (1; 2) เพื่อความชัดเจนจำเป็นต้องพิจารณากราฟที่มีค่าใกล้เคียงกับ (1; 2) ฟังก์ชัน y = 2 x จะแสดงเป็นสีดำ เส้นสีน้ำเงินคือเส้นสัมผัสกัน และจุดสีแดงคือจุดตัดกัน

แน่นอนว่า y = 2 x รวมเข้ากับเส้นตรง y = x + 1

ในการหาค่าแทนเจนต์ เราควรพิจารณาพฤติกรรมของแทนเจนต์ A B เมื่อจุด B เข้าใกล้จุด A อย่างไม่สิ้นสุด เราจะนำเสนอรูปวาด

เส้นตัด A B ซึ่งระบุด้วยเส้นสีน้ำเงิน มีแนวโน้มไปที่ตำแหน่งของเส้นสัมผัสกันเอง และมุมเอียงของเส้นตัด α จะเริ่มมีแนวโน้มที่จะทำมุมเอียงของเส้นสัมผัสกัน α x

คำนิยาม 6

เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ที่จุด A ถือเป็นตำแหน่งจำกัดของเส้นตัดขวาง A B เนื่องจาก B มีแนวโน้มไปทาง A นั่นคือ B → A

ตอนนี้เรามาดูความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งกัน

มาพิจารณาเซแคนต์ AB สำหรับฟังก์ชัน f (x) โดยที่ A และ B ที่มีพิกัด x 0, f (x 0) และ x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) และ ∆ x คือ แสดงว่าเป็นการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ตอนนี้ฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบ ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . เพื่อความชัดเจน เรามายกตัวอย่างการวาดภาพกัน

พิจารณาผลลัพธ์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก A B C เราใช้คำจำกัดความของแทนเจนต์ในการแก้ นั่นคือ เราได้รับความสัมพันธ์ ∆ y ∆ x = t g α . จากนิยามของแทนเจนต์ จะได้ว่า lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x ตามกฎของอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง เรามีอนุพันธ์ f (x) ที่จุด x 0 เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ โดยที่ ∆ x → 0 จากนั้นเราแสดงว่ามันเป็น f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x

ตามมาว่า f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x โดยที่ k x แสดงเป็นความชันของแทนเจนต์

นั่นคือเราพบว่า f ' (x) สามารถมีอยู่ได้ที่จุด x 0 และเหมือนกับค่าแทนเจนต์ของกราฟที่กำหนดของฟังก์ชันที่จุดแทนเจนต์เท่ากับ x 0, f 0 (x 0) โดยที่ค่าของ ความชันของแทนเจนต์ที่จุดเท่ากับอนุพันธ์ที่จุด x 0 . จากนั้นเราจะได้ k x = f " (x 0)

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือ ให้แนวคิดเรื่องการมีอยู่ของแทนเจนต์กับกราฟที่จุดเดียวกัน

ในการเขียนสมการของเส้นตรงใดๆ บนระนาบ จำเป็นต้องมีสัมประสิทธิ์เชิงมุมกับจุดที่มันผ่านไป สัญกรณ์ของมันคือ x 0 ที่จุดตัด

สมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ที่จุด x 0, f 0 (x 0) ใช้รูปแบบ y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0)

ซึ่งหมายความว่าค่าสุดท้ายของอนุพันธ์ f "(x 0) สามารถกำหนดตำแหน่งของแทนเจนต์นั่นคือในแนวตั้งที่ให้ไว้ lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ และ lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞หรือไม่มีเลยภายใต้เงื่อนไข lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

ตำแหน่งของแทนเจนต์ขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม k x = f "(x 0) เมื่อขนานกับแกน o x เราจะได้ k k = 0 เมื่อขนานกับประมาณ y - k x = ∞ และรูปแบบของ สมการแทนเจนต์ x = x 0 เพิ่มขึ้นเมื่อ k x > 0 ลดลงเมื่อ k x< 0 .

ตัวอย่างที่ 2

รวบรวมสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 ณ จุดที่มีพิกัด (1; 3) และกำหนดมุมเอียง

สารละลาย

โดยเงื่อนไข เรามีฟังก์ชันที่นิยามไว้สำหรับจำนวนจริงทั้งหมด เราพบว่าจุดที่มีพิกัดที่ระบุตามเงื่อนไข (1; 3) คือจุดสัมผัส จากนั้น x 0 = - 1, f (x 0) = - 3

จำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ ณ จุดที่มีค่า - 1 เราเข้าใจแล้ว

y " = อี x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = อี x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = อี x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 ปี " (x 0) = y " (- 1) = จ - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

ค่าของ f' (x) ที่จุดแทนเจนต์คือความชันของแทนเจนต์ ซึ่งเท่ากับค่าแทนเจนต์ของความชัน

จากนั้น k x = t ก α x = y " (x 0) = 3 3

ตามมาว่า α x = a rc t g 3 3 = π 6

คำตอบ:สมการแทนเจนต์จะอยู่ในรูปแบบ

y = ฉ " (x 0) x - x 0 + ฉ (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

เพื่อความชัดเจน เราจะยกตัวอย่างเป็นภาพประกอบกราฟิก

สีดำใช้สำหรับกราฟของฟังก์ชันดั้งเดิม สีน้ำเงินคือภาพของเส้นสัมผัสกัน และจุดสีแดงคือจุดสัมผัสกัน รูปภาพทางด้านขวาแสดงมุมมองที่ขยายใหญ่ขึ้น

ตัวอย่างที่ 3

พิจารณาการมีอยู่ของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด
y = 3 · x - 1 5 + 1 ณ จุดพิกัด (1 ; 1) เขียนสมการและหามุมเอียง

สารละลาย

ตามเงื่อนไขแล้ว โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่กำหนดถือเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

มาดูการหาอนุพันธ์กันดีกว่า

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

ถ้า x 0 = 1 แสดงว่า f' (x) ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ แต่ลิมิตจะเขียนเป็น lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ และ lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ ซึ่งหมายถึง การดำรงอยู่ของเส้นสัมผัสแนวตั้งที่จุด (1; 1)

คำตอบ:สมการจะอยู่ในรูปแบบ x = 1 โดยที่มุมเอียงจะเท่ากับ π 2

เพื่อความชัดเจน เรามาอธิบายเป็นภาพกราฟิกกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 โดยที่

1. ไม่มีแทนเจนต์
2. แทนเจนต์ขนานกับ x;
3. เส้นสัมผัสขนานกับเส้นตรง y = 8 5 x + 4

สารละลาย

จำเป็นต้องคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความ โดยเงื่อนไข เรามีฟังก์ชันที่นิยามไว้บนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด เราขยายโมดูลและแก้ระบบด้วยช่วงเวลา x ∈ - ∞ ; 2 และ [ - 2 ; + ) . เราเข้าใจแล้ว

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + )

จำเป็นต้องแยกแยะฟังก์ชั่น เรามีสิ่งนั้น

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + )

เมื่อ x = - 2 อนุพันธ์จะไม่มีอยู่เนื่องจากขีดจำกัดด้านเดียวไม่เท่ากัน ณ จุดนั้น:

ลิม x → - 2 - 0 y " (x) = ลิม x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 ลิม x → - 2 + 0 y " (x) = ลิม x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x = - 2 โดยที่เราได้รับค่านั้น

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2 นั่นคือแทนเจนต์ที่จุด ( - 2; - 2) จะไม่มีอยู่
2. แทนเจนต์จะขนานกับ x เมื่อความชันเป็นศูนย์ จากนั้น k x = t g α x = f "(x 0) นั่นคือจำเป็นต้องค้นหาค่าของ x ดังกล่าวเมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนเป็นศูนย์ นั่นคือค่าของ f ' (x) จะเป็นจุดสัมผัสกัน โดยที่แทนเจนต์ขนานกับ x

เมื่อ x ∈ - ∞ ; - 2 จากนั้น - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 และสำหรับ x ∈ (- 2; + ∞) เราจะได้ 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +

คำนวณค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 ปี 3 = ปี (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 ปี 4 = ปี (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

ดังนั้น - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 ถือเป็นจุดที่ต้องการของกราฟฟังก์ชัน

ลองดูการแสดงวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิก

เส้นสีดำคือกราฟของฟังก์ชัน จุดสีแดงคือจุดสัมผัส

1. เมื่อเส้นขนานกัน ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะเท่ากัน จากนั้นคุณต้องค้นหาจุดบนกราฟฟังก์ชันโดยที่ความชันจะเท่ากับค่า 8 5 ในการทำเช่นนี้คุณต้องแก้สมการในรูปแบบ y "(x) = 8 5 จากนั้นถ้า x ∈ - ∞; - 2 เราจะได้สิ่งนั้น - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 และถ้า x ∈ ( - 2 ; + ∞) ดังนั้น 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5

สมการแรกไม่มีรากเนื่องจากตัวจำแนกมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ลองเขียนลงไปดู

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

อีกสมการหนึ่งมีรากจริงสองอัน

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +

มาดูการหาค่าของฟังก์ชันกันดีกว่า เราเข้าใจแล้ว

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

คะแนนที่มีค่า - 1; 4 15, 5; 8 3 คือจุดที่แทนเจนต์ขนานกับเส้นตรง y = 8 5 x + 4

คำตอบ:เส้นสีดำ – กราฟของฟังก์ชัน เส้นสีแดง – กราฟของ y = 8 5 x + 4 เส้นสีน้ำเงิน – แทนเจนต์ที่จุด - 1; 4 15, 5; 8 3.

อาจมีจำนวนแทนเจนต์เป็นจำนวนอนันต์สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 5

เขียนสมการแทนเจนต์ที่มีอยู่ทั้งหมดของฟังก์ชัน y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง y = - 2 x + 1 2

สารละลาย

ในการรวบรวมสมการแทนเจนต์ จำเป็นต้องค้นหาค่าสัมประสิทธิ์และพิกัดของจุดแทนเจนต์ตามเงื่อนไขของการตั้งฉากของเส้น คำจำกัดความมีดังต่อไปนี้ ผลคูณของสัมประสิทธิ์เชิงมุมที่ตั้งฉากกับเส้นตรงเท่ากับ - 1 กล่าวคือ เขียนเป็น k x · k ⊥ = - 1 จากเงื่อนไขที่เรามีว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมตั้งฉากกับเส้นตรงและเท่ากับ k ⊥ = - 2 จากนั้น k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2

ตอนนี้คุณต้องค้นหาพิกัดของจุดสัมผัส คุณต้องค้นหา x แล้วตามด้วยค่าของมันสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด โปรดทราบว่าจากความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ ณ จุดนั้น
x 0 เราได้รับว่า k x = y "(x 0) จากความเท่าเทียมกันนี้เราจะพบค่าของ x สำหรับจุดสัมผัส

เราเข้าใจแล้ว

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - บาป 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 บาป 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 บาป 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 บาป 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ บาป 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

สมการตรีโกณมิตินี้จะใช้ในการคำนวณพิกัดของจุดสัมผัสกัน

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk หรือ 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk หรือ 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk หรือ x 0 = 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z คือเซตของจำนวนเต็ม

พบจุดติดต่อ x แล้ว ตอนนี้คุณต้องดำเนินการค้นหาค่าของ y:

y 0 = 3 เพราะ 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - บาป 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 หรือ y 0 = 3 - 1 - บาป 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 หรือ y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 หรือ y 0 = - 4 5 + 1 3

จากนี้เราจะได้ว่า 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a rc บาป 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 คือจุดสัมผัส

คำตอบ:สมการที่จำเป็นจะเขียนเป็น

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

หากต้องการแสดงภาพ ให้พิจารณาฟังก์ชันและเส้นสัมผัสกันบนเส้นพิกัด

รูปแสดงว่าฟังก์ชันนั้นอยู่ที่ช่วง [ - 10 ; 10 ] โดยที่เส้นสีดำคือกราฟของฟังก์ชัน เส้นสีน้ำเงินคือเส้นสัมผัสกัน ซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดในรูปแบบ y = - 2 x + 1 2 จุดสีแดงคือจุดสัมผัส

สมการมาตรฐานของเส้นโค้งลำดับที่ 2 ไม่ใช่ฟังก์ชันค่าเดียว สมการแทนเจนต์สำหรับพวกมันถูกรวบรวมตามรูปแบบที่ทราบ

สัมผัสกันเป็นวงกลม

กำหนดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด x c e n t e r ; y c e n t e r และรัศมี R ใช้สูตร x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2

ความเท่าเทียมกันนี้สามารถเขียนเป็นการรวมกันของสองฟังก์ชัน:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

ฟังก์ชันแรกจะอยู่ที่ด้านบน และฟังก์ชันที่สองจะอยู่ที่ด้านล่าง ดังแสดงในรูป

เพื่อรวบรวมสมการของวงกลมที่จุด x 0; y 0 ซึ่งอยู่ในครึ่งวงกลมบนหรือล่างคุณควรค้นหาสมการของกราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r หรือ y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + ได้ตามจุดที่กำหนด

เมื่อถึงจุด x c e n t e r ; y c e n t e r + R และ x c e n t r ; y c e n t e r - R แทนเจนต์สามารถกำหนดได้จากสมการ y = y c e n t e r + R และ y = y c e n t e r - R และที่จุด x c e n t e r + R ; ใช่แล้ว และ
x c e n t e r - R ; y c e n t e r จะขนานกับ o y จากนั้นเราจะได้สมการในรูปแบบ x = x c e n t e r + R และ x = x c e n t e r - R

แทนเจนต์กับวงรี

เมื่อวงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ x c e n t e r ; y c e n t e r ด้วยครึ่งแกน a และ b จากนั้นสามารถระบุได้โดยใช้สมการ x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1

วงรีและวงกลมสามารถแสดงได้โดยการรวมสองฟังก์ชันเข้าด้วยกัน ได้แก่ วงรีครึ่งบนและครึ่งล่าง แล้วเราจะได้รับสิ่งนั้น

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

ถ้าแทนเจนต์อยู่ที่จุดยอดของวงรี พวกมันจะขนานกันประมาณ x หรือประมาณ y เพื่อความชัดเจน ให้พิจารณาตามรูปด้านล่างนี้

ตัวอย่างที่ 6

เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับวงรี x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 ที่จุดที่มีค่า x เท่ากับ x = 2

สารละลาย

จำเป็นต้องค้นหาจุดสัมผัสที่สอดคล้องกับค่า x = 2 เราแทนสมการที่มีอยู่ของวงรีแล้วพบว่า

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

จากนั้น 2 ; 5 3 2 + 5 และ 2; - 5 3 2 + 5 คือจุดสัมผัสที่อยู่ในครึ่งวงรีบนและล่าง

มาดูการค้นหาและแก้สมการของวงรีเทียบกับ y กันดีกว่า เราเข้าใจแล้ว

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 ปี = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

เห็นได้ชัดว่าวงรีครึ่งบนถูกกำหนดโดยใช้ฟังก์ชันในรูปแบบ y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 และวงรีครึ่งล่าง y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2

ลองใช้อัลกอริธึมมาตรฐานเพื่อสร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง ให้เราเขียนสมการของแทนเจนต์แรกที่จุดที่ 2; 5 3 2 + 5 จะเป็นเช่นนี้

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2" = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

เราพบว่าสมการของแทนเจนต์ที่สองที่มีค่า ณ จุดนั้น
2 ; - 5 3 2 + 5 ขึ้นรูปแบบ

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

กราฟิกแทนเจนต์ถูกกำหนดดังนี้:

แทนเจนต์ถึงอติพจน์

เมื่อไฮเปอร์โบลามีจุดศูนย์กลางที่ x c e n t e r ; y c e n t e r และจุดยอด x c e n t e r + α ; ใช่ และ x c e n t e r - α ; y c e n t e r ความไม่เท่าเทียมกัน x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 เกิดขึ้น หากมีจุดยอด x c e n t e r ; ใช่ c e n t e r + b และ x c e n t e r ; y c e n t e r - b จากนั้นระบุโดยใช้ความไม่เท่าเทียมกัน x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1

ไฮเปอร์โบลาสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันสองฟังก์ชันรวมกันของแบบฟอร์มได้

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r หรือ b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

ในกรณีแรก เราพบว่าแทนเจนต์ขนานกับ y และส่วนที่สองขนานกับ x

ตามมาว่าในการหาสมการของแทนเจนต์กับไฮเปอร์โบลา จำเป็นต้องค้นหาว่าจุดสัมผัสของฟังก์ชันใดเป็นของฟังก์ชันใด เพื่อระบุสิ่งนี้ จำเป็นต้องแทนที่สมการและตรวจสอบตัวตน

ตัวอย่างที่ 7

เขียนสมการแทนเจนต์ของไฮเปอร์โบลา x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ที่จุดที่ 7; - 3 3 - 3 .

สารละลาย

จำเป็นต้องแปลงบันทึกคำตอบสำหรับการค้นหาไฮเปอร์โบลาโดยใช้ 2 ฟังก์ชัน เราเข้าใจแล้ว

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 และ y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

จำเป็นต้องระบุว่าจุดที่กำหนดด้วยพิกัด 7 เป็นของฟังก์ชันใด - 3 3 - 3 .

เห็นได้ชัดว่าในการตรวจสอบฟังก์ชันแรกจำเป็นต้องมี y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 จากนั้นจุดไม่อยู่ในกราฟ เพราะความเท่าเทียมกันไม่คงอยู่

สำหรับฟังก์ชันที่สอง เรามี y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นอยู่ในกราฟที่กำหนด จากที่นี่คุณจะพบความชัน

เราเข้าใจแล้ว

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

คำตอบ:สมการแทนเจนต์สามารถแสดงเป็น

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

อธิบายไว้ชัดเจนดังนี้

แทนเจนต์กับพาราโบลา

ในการสร้างสมการแทนเจนต์ของพาราโบลา y = a x 2 + b x + c ที่จุด x 0, y (x 0) คุณต้องใช้อัลกอริทึมมาตรฐาน จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0) แทนเจนต์ที่จุดยอดนั้นขนานกับ x

คุณควรนิยามพาราโบลา x = a y 2 + by y + c เป็นผลรวมของสองฟังก์ชัน ดังนั้นเราจึงต้องแก้สมการของ y เราเข้าใจแล้ว

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - ข - ข 2 - 4 ก (ค - x) 2 ก

แสดงภาพกราฟิกเป็น:

หากต้องการทราบว่าจุด x 0, y (x 0) เป็นของฟังก์ชันหรือไม่ ให้ดำเนินการเบาๆ ตามอัลกอริทึมมาตรฐาน แทนเจนต์ดังกล่าวจะขนานกับ y สัมพันธ์กับพาราโบลา

ตัวอย่างที่ 8

เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟ x - 2 y 2 - 5 y + 3 เมื่อเรามีมุมแทนเจนต์ 150 °

สารละลาย

เราเริ่มหาคำตอบโดยแทนพาราโบลาเป็นฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชัน เราเข้าใจแล้ว

2 ปี 2 - 5 ปี + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 ปี = 5 - 49 - 8 x - 4

ค่าของความชันเท่ากับค่าของอนุพันธ์ที่จุด x 0 ของฟังก์ชันนี้ และเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียง

เราได้รับ:

k x = y "(x 0) = เสื้อ ก α x = เสื้อ ก 150 ° = - 1 3

จากที่นี่ เราจะกำหนดค่า x สำหรับจุดสัมผัส

ฟังก์ชันแรกจะถูกเขียนเป็น

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

แน่นอน ไม่มีรากที่แท้จริง เนื่องจากเราได้ค่าลบ เราสรุปได้ว่าไม่มีเส้นสัมผัสกันที่มีมุม 150° สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว

ฟังก์ชันที่สองจะถูกเขียนเป็น

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

เรามีจุดติดต่อคือ 23 4 ; - 5 + 3 4 .

คำตอบ:สมการแทนเจนต์จะอยู่ในรูปแบบ

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

ลองพรรณนามันแบบกราฟิกด้วยวิธีนี้:

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ให้เรานึกถึงกรณีของตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นและวงกลม

ให้วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O และรัศมี r เส้นตรง P คือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางถึงเส้นตรงซึ่งตั้งฉากกับ OM เท่ากับ d

กรณีที่ 1- ระยะห่างจากศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรงน้อยกว่ารัศมีของวงกลม:

เราได้พิสูจน์แล้วว่าในกรณีที่ระยะทาง d น้อยกว่ารัศมีของวงกลม r เส้นตรงและวงกลมจะมีจุดร่วมเพียงสองจุดเท่านั้น (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. ภาพประกอบสำหรับกรณีที่ 1

กรณีที่สอง- ระยะห่างจากศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรงเท่ากับรัศมีของวงกลม:

เราได้พิสูจน์แล้วว่าในกรณีนี้มีจุดร่วมเพียงจุดเดียวเท่านั้น (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. ภาพประกอบสำหรับกรณีที่ 2

กรณีที่ 3- ระยะห่างจากศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรงมากกว่ารัศมีของวงกลม:

เราได้พิสูจน์แล้วว่าในกรณีนี้ วงกลมและเส้นตรงไม่มีจุดร่วม (รูปที่ 3)

ข้าว. 3. ภาพประกอบสำหรับกรณีที่ 3

ในบทเรียนนี้ เราสนใจในกรณีที่สอง เมื่อเส้นตรงและวงกลมมีจุดร่วมจุดเดียว

คำนิยาม:

เส้นตรงที่มีจุดร่วมจุดเดียวกับวงกลมเรียกว่าจุดสัมผัสกันของวงกลม จุดร่วมเรียกว่าจุดสัมผัสกันของเส้นและวงกลม

เส้นตรง p คือเส้นสัมผัสกัน จุด A คือจุดสัมผัส (รูปที่ 4)

ข้าว. 4. แทนเจนต์

ทฤษฎีบท:

เส้นสัมผัสของวงกลมตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส (รูปที่ 5)

ข้าว. 5. ภาพประกอบสำหรับทฤษฎีบท

การพิสูจน์:

ในทางตรงกันข้าม ให้ OA ไม่ตั้งฉากกับเส้นตรง r ในกรณีนี้ เราจะลดเส้นตั้งฉากจากจุด O ไปที่เส้นตรง p ซึ่งจะเป็นระยะทางจากศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรง:

จากสามเหลี่ยมมุมฉาก เราสามารถพูดได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก OH น้อยกว่าขา OA นั่นคือ เส้นตรงและวงกลมมีจุดร่วมสองจุด เส้นตรง p คือเส้นตัดฉาก ดังนั้นเราจึงได้รับความขัดแย้ง ซึ่งหมายความว่าทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ข้าว. 6. ภาพประกอบสำหรับทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน

ทฤษฎีบท:

ถ้าเส้นตรงลากผ่านจุดสิ้นสุดของรัศมีที่วางอยู่บนวงกลมและตั้งฉากกับรัศมีนี้ เส้นนั้นจะเป็นรูปแทนเจนต์

การพิสูจน์:

เนื่องจากเส้นตรงตั้งฉากกับรัศมี ระยะทาง OA คือระยะห่างจากเส้นตรงถึงศูนย์กลางของวงกลม และจะเท่ากับรัศมี: นั่นคือและในกรณีนี้ ตามที่เราได้พิสูจน์ไปก่อนหน้านี้ เส้นตรงและวงกลมมีจุดร่วมกันเพียงจุดเดียว - จุด A ดังนั้นเส้น p จึงสัมผัสกับวงกลมตามคำจำกัดความ (รูปที่ 7)

ข้าว. 7. ภาพประกอบสำหรับทฤษฎีบท

ทฤษฎีบททางตรงและทางผกผันสามารถรวมกันได้ดังนี้ (รูปที่ 8):

ให้วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O เส้นตรง p รัศมี OA

ข้าว. 8. ภาพประกอบสำหรับทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท:

เส้นตรงจะสัมผัสกับวงกลมก็ต่อเมื่อรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสนั้นตั้งฉากกับวงกลมนั้น

ทฤษฎีบทนี้หมายความว่า หากเส้นหนึ่งเป็นเส้นสัมผัสกัน รัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสของเส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับเส้นนั้น และในทางกลับกัน จากเส้นตั้งฉากของ OA และ p จะตามมาด้วยว่า p เป็นเส้นสัมผัสกัน นั่นคือ เส้นตรง และวงกลมมีจุดร่วมเพียงจุดเดียว

พิจารณาแทนเจนต์สองตัวที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังวงกลม

ทฤษฎีบท:

ส่วนของแทนเจนต์ของวงกลมที่ลากจากจุดหนึ่งจะเท่ากันและสร้างมุมเท่ากันโดยมีเส้นตรงที่ลากผ่านจุดนี้และจุดศูนย์กลางของวงกลม

ให้วงกลมมีศูนย์กลาง O จุด A อยู่นอกวงกลม แทนเจนต์สองตัวถูกดึงมาจากจุด A จุด B และ C เป็นจุดสัมผัส คุณต้องพิสูจน์ว่ามุม 3 และ 4 เท่ากัน

ข้าว. 9. ภาพประกอบสำหรับทฤษฎีบท

การพิสูจน์:

การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม - มาอธิบายความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมกัน เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเนื่องจากรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสตั้งฉากกับเส้นสัมผัสกัน ซึ่งหมายความว่ามุมนั้นมีทั้งมุมฉากและเท่ากันใน ขา OB และ OS เท่ากัน เนื่องจากเป็นรัศมีของวงกลม ด้านตรงข้ามมุมฉาก AO คือค่าทั่วไป

ดังนั้น สามเหลี่ยมจะเท่ากันในแง่ของความเท่าเทียมกันของขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก จากตรงนี้จะเห็นได้ชัดว่าขา AB และ AC นั้นเท่ากัน นอกจากนี้ มุมที่อยู่ตรงข้ามด้านเท่ากันจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่ามุม และ , เท่ากัน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ดังนั้นเราจึงได้ทำความคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องเส้นสัมผัสกันของวงกลมแล้ว ในบทต่อไป เราจะดูการวัดระดับของส่วนโค้งของวงกลม

อ้างอิง

1. อเล็กซานดรอฟ เอ.ดี. เป็นต้น เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - ม.: การศึกษา, 2549.
2. บูตูซอฟ วี.เอฟ., คาดอมเซฟ เอส.บี., ปราโซลอฟ วี.วี. เรขาคณิต 8. - ม.: การศึกษา, 2554.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. เรขาคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - ม.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Univer.omsk.su ()
2. Oldskola1.narod.ru ()
3. School6.aviel.ru ()

การบ้าน

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. และคณะ เรขาคณิต 7-9 หมายเลข 634-637, p. 168.