อินทิกรัลคืออะไรและความหมายทางกายภาพของมันคืออะไร สารานุกรมที่ดีของน้ำมันและก๊าซ

การเกิดขึ้นของแนวคิดของอินทิกรัลนั้นเกิดจากความต้องการค้นหาฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟจากอนุพันธ์ของมันรวมถึงการกำหนดปริมาณงานพื้นที่ของตัวเลขเชิงซ้อนระยะทางที่เดินทางด้วยพารามิเตอร์ที่อธิบายด้วยเส้นโค้งที่อธิบายไว้ โดยสูตรไม่เชิงเส้น

และงานนั้นก็เท่ากับผลคูณของแรงและระยะทาง หากการเคลื่อนไหวทั้งหมดเกิดขึ้นด้วยความเร็วคงที่หรือระยะทางถูกปกคลุมด้วยแรงเท่ากัน ทุกอย่างก็ชัดเจน คุณเพียงแค่ต้องคูณมัน อินทิกรัลของค่าคงที่คืออะไร? อยู่ในรูปแบบ y=kx+c

แต่ความแข็งแกร่งสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตลอดงานและในการพึ่งพาตามธรรมชาติบางอย่าง สถานการณ์เดียวกันนี้เกิดขึ้นกับการคำนวณระยะทางที่เดินทางหากความเร็วไม่คงที่

ดังนั้นจึงชัดเจนว่าทำไมจึงต้องมีอินทิกรัล คำจำกัดความของมันในฐานะผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าของฟังก์ชันโดยการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เพียงเล็กน้อยอธิบายความหมายหลักของแนวคิดนี้อย่างสมบูรณ์ในฐานะพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยบรรทัดของฟังก์ชันที่ด้านบนและ ที่ขอบตามขอบเขตของคำจำกัดความ

Jean Gaston Darboux นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 อธิบายอย่างชัดเจนมากว่าอินทิกรัลคืออะไร เขาแสดงให้เห็นชัดเจนว่าโดยทั่วไปแล้ว แม้แต่นักเรียนมัธยมต้นก็เข้าใจปัญหานี้ได้ไม่ยาก

สมมติว่ามีฟังก์ชันที่มีรูปร่างซับซ้อนใดๆ แกนลำดับที่ค่าของอาร์กิวเมนต์ถูกพล็อตจะถูกแบ่งออกเป็นช่วงเวลาเล็ก ๆ โดยหลักการแล้วพวกมันจะไม่มีที่สิ้นสุด แต่เนื่องจากแนวคิดเรื่องอนันต์นั้นค่อนข้างเป็นนามธรรมจึงเพียงพอที่จะจินตนาการถึงส่วนเล็ก ๆ ซึ่งค่าของมันมักจะเป็น เขียนแทนด้วยอักษรกรีก Δ (เดลต้า)

ฟังก์ชั่นนี้กลายเป็น "สับ" เป็นก้อนอิฐขนาดเล็ก

ค่าอาร์กิวเมนต์แต่ละค่าสอดคล้องกับจุดบนแกนพิกัดซึ่งมีการลงจุดค่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง แต่เนื่องจากพื้นที่ที่เลือกมีขอบเขตสองขอบเขต จึงจะมีค่าฟังก์ชันสองค่าด้วย มากกว่าและน้อยกว่า

ผลรวมของผลคูณของค่าที่มากขึ้นโดยส่วนเพิ่ม Δ เรียกว่าผลรวมของ Darboux ขนาดใหญ่ และเขียนแทนด้วย S ดังนั้นค่าที่น้อยกว่าในพื้นที่จำกัด คูณด้วย Δ ทั้งหมดรวมกันเป็นผลรวมของ Darboux ขนาดเล็ก s . ส่วนนี้มีลักษณะคล้ายกับสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม เนื่องจากความโค้งของเส้นฟังก์ชันที่มีการเพิ่มขึ้นเพียงเล็กน้อยสามารถถูกละเลยได้ วิธีที่ง่ายที่สุดในการค้นหาพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตคือการบวกผลคูณของค่าที่มากกว่าและน้อยกว่าของฟังก์ชันด้วยการเพิ่มขึ้น Δ และหารด้วยสอง นั่นคือ กำหนดว่าเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต

นี่คือสิ่งที่อินทิกรัลของ Darboux เป็น:

s=Σf(x) Δ - จำนวนเล็กน้อย

S= Σf(x+Δ)Δ เป็นจำนวนมาก

แล้วอินทิกรัลคืออะไร? พื้นที่ที่ถูกจำกัดโดยเส้นของฟังก์ชันและขอบเขตของคำจำกัดความจะเท่ากับ:

∫f(x)dx = ((S+s)/2) +c

นั่นคือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลบวก Darboux ขนาดใหญ่และเล็กคือค่าคงที่ซึ่งจะถูกรีเซ็ตระหว่างการหาอนุพันธ์

จากการแสดงออกทางเรขาคณิตของแนวคิดนี้ ความหมายทางกายภาพของอินทิกรัลจึงชัดเจน ที่กำหนดโดยฟังก์ชันความเร็ว และจำกัดด้วยช่วงเวลาตามแนวแกน x จะเป็นความยาวของระยะทางที่เดินทางได้

L = ∫f(x)dx ในช่วงเวลาตั้งแต่ t1 ถึง t2

f(x) เป็นฟังก์ชันของความเร็ว กล่าวคือ สูตรที่ความเร็วเปลี่ยนแปลงตามเวลา

L - ความยาวเส้นทาง;

t1 - เวลาเริ่มต้นของการเดินทาง

t2 คือเวลาสิ้นสุดของการเดินทาง

หลักการเดียวกันนี้ใช้ในการกำหนดปริมาณงาน โดยจะพล็อตระยะทางตามแนว Abscissa เท่านั้น และปริมาณแรงที่ใช้ในแต่ละจุดเฉพาะจะถูกพล็อตตามแนวพิกัด

ให้เรากลับไปสู่ปัญหาของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งและคำจำกัดความของอินทิกรัลจำกัดเขต เราจะเห็นว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y=f(x) โดยที่ f(x)0 บนส่วนแกน x และเส้น x = a และ x = b มีค่าเท่ากับตัวเลข อินทิกรัลที่แน่นอน เช่น

จนถึงตอนนี้ เราได้พิจารณาอินทิกรัลจำกัดขอบเขตที่มีขีดจำกัดคงที่ของอินทิกรัล a และ b แล้ว ตัวอย่างเช่น หากคุณเปลี่ยนขีดจำกัดบนโดยไม่ออกจากเซกเมนต์ ค่าของอินทิกรัลก็จะเปลี่ยนไป กล่าวอีกนัยหนึ่ง อินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนที่แปรผันได้คือฟังก์ชันของขีดจำกัดบน ดังนั้นถ้าเรามีอินทิกรัล

โดยมีขีดจำกัดล่างคงที่ กและลิมิตบนของตัวแปร x แล้วค่าของอินทิกรัลนี้จะเป็นฟังก์ชันของลิมิตบน x ให้เราแสดงฟังก์ชันนี้ด้วย Ф(х) เช่น เราใส่

(2.1)

และลองเรียกมันว่าอินทิกรัลจำกัดขอบเขตที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปร ในเชิงเรขาคณิต ฟังก์ชัน Ф(x) คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งแรเงา ถ้า f(x)0 (รูปที่ 2)

ตอนนี้เรามาดูการพิสูจน์ทฤษฎีบทซึ่งเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทหลักของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ทฤษฎีบท 3 . ถ้า f(t) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และ

แล้วความเท่าเทียมกันก็ยังคงอยู่

หรือ
(2.2)

กล่าวอีกนัยหนึ่ง อนุพันธ์ของอินทิกรัลจำกัดขอบเขตของฟังก์ชันต่อเนื่องเทียบกับขีดจำกัดบนของตัวแปรนั้นมีอยู่ และเท่ากับค่าของปริพันธ์ที่ขีดจำกัดบน

การพิสูจน์.ลองหาค่าใดๆ x และให้มันเพิ่มขึ้น x  0 โดยที่ x + x  นั่นคือ
- จากนั้นฟังก์ชัน Ф(х) จะได้รับค่าใหม่:

เราพบการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Ф(х):

Ф = Ф(x+x) – Ф(x) =

การใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยกับอินทิกรัลสุดท้ายที่เราได้รับ:

โดยที่ C คือตัวเลขระหว่างตัวเลข x และ x + x จากที่นี่

ถ้าตอนนี้ x 0 ดังนั้น c  x และ f(c)  f(x) (เนื่องจากความต่อเนื่องของ f(x) บน ) ดังนั้นผ่านขีดจำกัดในความเท่าเทียมกันสุดท้ายที่เราได้รับ

ฉ ( x ) หรือ
,

Q.E.D.

ผลที่ตามมาอินทิกรัลจำกัดขอบเขตที่มีขีดจำกัดบนที่แปรผันได้คือหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟสำหรับอินทิกรัลต่อเนื่อง กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับ ฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ มีแอนติเดริเวทีฟ

ความคิดเห็นอินทิกรัลที่มีขีดจำกัดสูงสุดของอินทิเกรตแบบแปรผันใช้ในการกำหนดฟังก์ชันใหม่มากมาย ตัวอย่างเช่น:

.

3. สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว การคำนวณอินทิกรัลเขตแดนโดยใช้วิธีการโดยอาศัยการหาขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัลมักจะเกี่ยวข้องกับความยากลำบากอย่างมาก ดังนั้นจึงมีวิธีอื่นซึ่งมักจะสะดวกกว่าในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต ซึ่งขึ้นอยู่กับการเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดที่มีอยู่ระหว่างแนวคิดเรื่องอินทิกรัลจำกัดเขตและอินทิกรัลไม่กำหนด การเชื่อมต่อนี้แสดงดังต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 4 . อินทิกรัลจำกัดของฟังก์ชันต่อเนื่องเท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าของแอนติเดริเวทีฟใดๆ สำหรับขีดจำกัดบนและล่างของการรวม

การพิสูจน์.เราได้กำหนดแล้วว่าฟังก์ชัน f(x) ซึ่งต่อเนื่องกันในส่วนนี้ มีแอนติเดริเวทีฟ และหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟคือฟังก์ชัน

.

ให้ F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟอื่นๆ สำหรับฟังก์ชัน f(x) บนเซกเมนต์เดียวกัน เนื่องจากแอนติเดริเวทีฟ Ф(х) และ F(х) ต่างกันด้วยค่าคงที่ (ดูคุณสมบัติของแอนติเดริเวทีฟ) ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จึงยังคงอยู่:

โดยที่ C คือจำนวนที่แน่นอน การแทนที่ค่าลงในความเท่าเทียมกันนี้ x = กจะมี 0 = เอฟ(ก) + ค, ค = - เอฟ(ก), นั่นคือสำหรับ x  เรามี

การตั้งค่า x = b เราได้รับความสัมพันธ์

(3.1)

สูตร (3.1) เรียกว่าสูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ ความแตกต่าง เอฟ(ข) – เอฟ(ก) เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนในรูปแบบตามอัตภาพ

จากนั้นสูตร (3.1) จะอยู่ในรูปแบบ

ในทางกลับกัน สูตร (3.1) ที่เราได้รับคือการสร้างการเชื่อมโยงระหว่างอินทิกรัลจำกัดจำนวนกับอินทิกรัลไม่จำกัด ในทางกลับกัน สูตรนี้ให้วิธีง่ายๆ ในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต:

อินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันต่อเนื่องเท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าของแอนติเดริเวทีฟใด ๆ ซึ่งคำนวณสำหรับขีดจำกัดบนและล่างของการรวม

คำแนะนำ

การบูรณาการเป็นการดำเนินการที่ตรงกันข้ามกับการสร้างความแตกต่าง ดังนั้น หากคุณต้องการเรียนรู้วิธีอินทิเกรตให้ดี คุณต้องเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ ก่อน คุณสามารถเรียนรู้สิ่งนี้ได้ค่อนข้างเร็ว ท้ายที่สุดแล้วก็มีอนุพันธ์พิเศษ ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณจึงสามารถทำการอินทิกรัลแบบง่ายๆ ได้แล้ว นอกจากนี้ยังมีตารางอินทิกรัลไม่จำกัดพื้นฐานด้วย มันแสดงให้เห็นในรูป.

เมื่อค้นหาผลรวมของสองฟังก์ชัน คุณเพียงแค่ต้องแยกความแตกต่างทีละฟังก์ชันแล้วบวกผลลัพธ์: (u+v)" = u"+v";

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันทั้งสอง จำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกด้วยฟังก์ชันที่สอง แล้วบวกอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สองคูณด้วยฟังก์ชันแรก: (u*v)" = u"*v +วี"*คุณ;

ในการที่จะหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันนั้น จำเป็นต้องลบผลคูณของอนุพันธ์ของเงินปันผลคูณด้วยฟังก์ชันตัวหารด้วยผลคูณของอนุพันธ์ของตัวหารคูณด้วยฟังก์ชันของเงินปันผล แล้วหาร ทั้งหมดนี้ด้วยฟังก์ชันตัวหารกำลังสอง (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

หากได้รับฟังก์ชันที่ซับซ้อนก็จำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในและอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก ให้ y=u(v(x)) แล้วก็ y"(x)=y"(u)*v"(x)

ด้วยการใช้ผลลัพธ์ที่ได้ข้างต้น คุณสามารถแยกแยะฟังก์ชันได้เกือบทุกฟังก์ชัน ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
นอกจากนี้ยังมีปัญหาเกี่ยวกับการคำนวณอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งด้วย ปล่อยให้ฟังก์ชัน y=e^(x^2+6x+5) ถูกกำหนดไว้ คุณจะต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด x=1
1) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)

2) คำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด y"(1)=8*e^0=8

การทำงาน ฉ(x ) เรียกว่า แอนติเดริเวทีฟ สำหรับฟังก์ชั่น ฉ(x) ในช่วงเวลาที่กำหนด หากเป็นทั้งหมด x จากช่วงเวลานี้ความเท่าเทียมกันก็จะคงอยู่

ฟ"(x ) = ฉ(x ) .

ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 ฉ(x ) = 2เอ็กซ์ , เพราะ

ฉ"(x) = (x 2 )" = 2x = ฉ(x) ◄

คุณสมบัติหลักของแอนติเดริเวทีฟ

ถ้า ฉ(x) - แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ตามช่วงเวลาที่กำหนด จากนั้นจึงเป็นฟังก์ชัน ฉ(x) มีแอนติเดริเวทีฟมากมายไม่จำกัด และแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดนี้สามารถเขียนอยู่ในรูปได้ เอฟ(x) + ซี, ที่ไหน กับ เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ตัวอย่างเช่น. การทำงาน ฉ(x) = x 2 + 1 คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x ) = 2เอ็กซ์ , เพราะ ฉ"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = ฉ(x); การทำงาน ฉ(x) = x 2 - 1 คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x ) = 2เอ็กซ์ , เพราะ ฉ"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = ฉ(x) ; การทำงาน ฉ(x) = x 2 - 3 คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x) = 2เอ็กซ์ , เพราะ ฉ"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = ฉ(x); ฟังก์ชั่นใดๆ ฉ(x) = x 2 + กับ , ที่ไหน กับ - ค่าคงที่ตามใจชอบ และมีเพียงฟังก์ชันดังกล่าวเท่านั้นที่เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x) = 2เอ็กซ์ . ◄

กฎสำหรับการคำนวณแอนติเดริเวทีฟ

1. ถ้า ฉ(x) - แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) , ก ก(เอ็กซ์) - แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ก.(เอ็กซ์) , ที่ ฉ(x) + ก(x) - แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) + ก(x) - กล่าวอีกนัยหนึ่ง แอนติเดริเวทีฟของผลรวมเท่ากับผลรวมของแอนติเดริเวทีฟ .
2. ถ้า ฉ(x) - แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) , และ เค - คงที่แล้ว เค · ฉ(x) - แอนติเดริเวทีฟสำหรับ เค · ฉ(x) - กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ .
3. ถ้า ฉ(x) - แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) , และ เค,ข- คงที่และ เค ≠ 0 , ที่ 1 / เค ฉ(เค x+ข ) - แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(เค x+ ข) .

อินทิกรัลไม่ จำกัด

อินทิกรัลไม่ จำกัด จากฟังก์ชัน ฉ(x) เรียกว่าการแสดงออก เอฟ(x) + ซีนั่นคือเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนด ฉ(x) - อินทิกรัลไม่ จำกัด แสดงดังนี้:

∫ ฉ(x) dx = ฉ(x) + ค ,

ฉ(x)- พวกเขาเรียก ฟังก์ชันอินทิเกรต ;

ฉ(x) dx- พวกเขาเรียก บูรณาการ ;

x - พวกเขาเรียก ตัวแปรบูรณาการ ;

ฉ(x) - หนึ่งในฟังก์ชันดั้งเดิม ฉ(x) ;

กับ เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ตัวอย่างเช่น, ∫ 2 xdx =เอ็กซ์ 2 + กับ , ∫ เพราะxdx =บาป เอ็กซ์ + กับ และอื่น ๆ ◄

คำว่า "ปริพันธ์" มาจากคำภาษาละติน จำนวนเต็ม ซึ่งหมายถึง "การบูรณะ" พิจารณาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของ 2 xดูเหมือนว่าเราจะคืนค่าฟังก์ชันนี้ เอ็กซ์ 2 ซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับ 2 x- การคืนค่าฟังก์ชันจากอนุพันธ์ของมัน หรือสิ่งที่เหมือนกันคือการค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัดเหนืออินทิกรัลที่กำหนด เรียกว่า บูรณาการ ฟังก์ชั่นนี้ การอินทิเกรตคือการดำเนินการผกผันของการหาอนุพันธ์ เพื่อตรวจสอบว่าอินทิเกรตดำเนินการอย่างถูกต้องหรือไม่ ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกความแตกต่างผลลัพธ์และรับอินทิเกรต

คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลไม่ จำกัด

1. อนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับปริพันธ์:

(∫ ฉ(x) dx )" = ฉ(x) .

2. ตัวประกอบคงที่ของปริพันธ์สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้:

∫ เค · ฉ(x) dx = เค · ∫ ฉ(x) dx .

3. อินทิกรัลของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชันเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอินทิกรัลของฟังก์ชันเหล่านี้:

∫ ( ฉ(x) ± ก(x ) ) ดีเอ็กซ์ = ∫ ฉ(x) dx ± ∫ ก.(x ) ดีเอ็กซ์ .

4. ถ้า เค,ข- คงที่และ เค ≠ 0 , ที่

∫ ฉ ( เค x+ ข) ดีเอ็กซ์ = 1 / เค ฉ(เค x+ข ) + ซี .

ตารางแอนติเดริเวทีฟและปริพันธ์ไม่แน่นอน

	ฉ(x)	เอฟ(x) + ซี	∫ ฉ(x) dx = ฉ(x) + ค
ฉัน.	$$0$$	$$ซี$$	$$\int 0dx=C$$
ครั้งที่สอง	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
สาม.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
วี.	$$\บาป x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\บาป x~dx=-\cos x+C$$
วี.	$$\คอส x$$	$$\บาป x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
8.	$$\frac(1)(\บาป^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
ทรงเครื่อง	$$อี^x$$	$$อี^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
เอ็กซ์	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln ก)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln ก)+C$$
จิน	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\อาร์คซิน x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\อาร์คซิน x +C$$
สิบสอง.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\อาร์คซิน \frac(x)(ก)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
สิบสาม	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
ที่สิบสี่	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(ก)\textrm(arctg) ~\frac(x)(ก)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
ที่สิบห้า	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
เจ้าพระยา	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ ค$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
ที่สิบแปด	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\บาป x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
สิบเก้า	$$ \frac(1)(\บาป x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
อินทิกรัลแบบแอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่กำหนดที่กำหนดในตารางนี้มักจะเรียกว่า แอนติเดริเวทีฟแบบตาราง และ อินทิกรัลของตาราง .

อินทิกรัลที่แน่นอน

ให้อยู่ระหว่าง [ก; ข] มีการกำหนดฟังก์ชันต่อเนื่องไว้ ย = ฉ(x) , แล้ว อินทิกรัลจำกัดจำนวนจาก a ถึง b ฟังก์ชั่น ฉ(x) เรียกว่าการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟ ฉ(x) ฟังก์ชันนี้ก็คือ

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

ตัวเลข กและ ขถูกเรียกตามนั้น ต่ำกว่า และ สูงสุด ขีดจำกัดของการบูรณาการ

กฎพื้นฐานสำหรับการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต

1. \(\int_(ก)^(ก)ฉ(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) โดยที่ เค - คงที่;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) ก.(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\) โดยที่ ฉ(x) - ฟังก์ชั่นสม่ำเสมอ;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\) โดยที่ ฉ(x) เป็นฟังก์ชันคี่

ความคิดเห็น - ในทุกกรณี สันนิษฐานว่าอินทิแกรนด์สามารถอินทิเกรตได้ในช่วงตัวเลข โดยมีขอบเขตเป็นขีดจำกัดของการอินทิเกรต

ความหมายทางเรขาคณิตและทางกายภาพของอินทิกรัลจำกัดเขต

ความหมายทางเรขาคณิต อินทิกรัลที่แน่นอน	ความหมายทางกายภาพ อินทิกรัลที่แน่นอน
สี่เหลี่ยม สสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง (ตัวเลขที่ถูกจำกัดโดยกราฟของค่าบวกต่อเนื่องในช่วงเวลา [ก; ข] ฟังก์ชั่น ฉ(x) , แกน วัว และตรง x=ก , x=ข ) คำนวณโดยสูตร $$S=\int_(ก)^(ข)ฉ(x)dx.$$	เส้นทาง สซึ่งจุดวัตถุเอาชนะไปได้ โดยเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วแปรผันตามกฎหมาย วี(ที) เป็นระยะเวลาหนึ่ง ; ข] จากนั้นพื้นที่ของรูปที่ถูกจำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้และเส้นตรง x = ก , x = ข คำนวณโดยสูตร $$S=\int_(ก)^(ข)(ฉ(x)-g(x))dx.$$
	ตัวอย่างเช่น. มาคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นกัน ย = x 2 และ ย = 2-x . ให้เราอธิบายกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ในแผนผังและไฮไลต์ตัวเลขที่ต้องการค้นหาพื้นที่ด้วยสีอื่น เพื่อหาขีดจำกัดของการอินทิเกรต เราแก้สมการ: x 2 = 2-x ; x 2 + เอ็กซ์- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2) - ◄

ปริมาตรของตัววัตถุที่หมุน

	หากได้วัตถุมาจากการหมุนรอบแกน วัว สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยกราฟต่อเนื่องและไม่ลบในช่วงเวลา [ก; ข] ฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) และตรง x = กและ x = ข แล้วมันถูกเรียกว่า ร่างกายของการหมุน . ปริมาตรของตัวการปฏิวัติคำนวณโดยสูตร $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ หากได้เนื้อความของการปฏิวัติอันเป็นผลมาจากการหมุนของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันด้านบนและด้านล่าง ย = ฉ(x) และ ย = ก(x) ตามนั้น $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	ตัวอย่างเช่น. ลองคำนวณปริมาตรของกรวยที่มีรัศมีกัน ร และความสูง ชม. . ให้เราวางตำแหน่งกรวยในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเพื่อให้แกนของมันตรงกับแกน วัว และศูนย์กลางฐานอยู่ที่จุดกำเนิด การหมุนของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า เอบีกำหนดกรวย เนื่องจากสมการ เอบี $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
และสำหรับปริมาตรของกรวยที่เรามี $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄