นิพจน์ลอการิทึม, การแก้ตัวอย่าง ในบทความนี้ เราจะดูปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการแก้ลอการิทึม งานถามคำถามในการค้นหาความหมายของสำนวน ควรสังเกตว่าแนวคิดของลอการิทึมถูกใช้ในงานหลายอย่างและการทำความเข้าใจความหมายของมันเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่ง สำหรับการตรวจสอบ Unified State จะใช้ลอการิทึมในการแก้สมการ ปัญหาที่ประยุกต์ในงานที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาหน้าที่ด้วย
ให้เรายกตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจความหมายของลอการิทึม:
ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน:
คุณสมบัติของลอการิทึมที่ต้องจำไว้เสมอ:
*ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เท่ากับผลรวมลอการิทึมของปัจจัย
* * *
*ลอการิทึมของผลหาร (เศษส่วน) เท่ากับความแตกต่างระหว่างลอการิทึมของปัจจัย
* * *
*ลอการิทึมของดีกรี เท่ากับสินค้าเลขชี้กำลังด้วยลอการิทึมของฐาน
* * *
*การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
* * *
คุณสมบัติเพิ่มเติม:
* * *
การคำนวณลอการิทึมมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการใช้คุณสมบัติของเลขชี้กำลัง
เรามาแสดงรายการบางส่วนกัน:
สาระสำคัญ ของทรัพย์สินนี้อยู่ในความจริงที่ว่าเมื่อโอนตัวเศษไปยังตัวส่วนและในทางกลับกันเครื่องหมายของเลขชี้กำลังจะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม ตัวอย่างเช่น:
ข้อพิสูจน์จากคุณสมบัตินี้:
* * *
เมื่อยกกำลังเป็นกำลัง ฐานจะยังคงเหมือนเดิม แต่เลขชี้กำลังจะถูกคูณ
* * *
อย่างที่คุณเห็น แนวคิดของลอการิทึมนั้นเรียบง่าย สิ่งสำคัญคือสิ่งที่จำเป็น แนวปฏิบัติที่ดีซึ่งให้ทักษะบางอย่าง แน่นอนว่าต้องมีความรู้เรื่องสูตรด้วย หากทักษะในการแปลงลอการิทึมเบื้องต้นยังไม่ได้รับการพัฒนา เมื่อแก้ไขงานง่าย ๆ คุณก็อาจทำผิดพลาดได้ง่าย
ฝึกฝน แก้ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ก่อน จากนั้นจึงไปยังตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น ในอนาคต ฉันจะแสดงให้เห็นอย่างแน่นอนว่าลอการิทึม "น่าเกลียด" ได้รับการแก้ไขอย่างไร สิ่งเหล่านี้จะไม่ปรากฏในการสอบ Unified State แต่เป็นที่สนใจ อย่าพลาด!
นั่นคือทั้งหมด! ขอให้โชคดี!
ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh
ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก
การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ
การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล
ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ
คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา
ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว
เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:
- เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ
เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:
- รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบได้ ข้อเสนอที่ไม่ซ้ำใครโปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
- ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
- เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และ การศึกษาต่างๆเพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเรา
- หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว
การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม
เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม
ข้อยกเว้น:
- หากจำเป็นตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี, วี การทดลองและ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือการร้องขอจาก หน่วยงานภาครัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
- ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง
การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล
เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต
การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท
เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด
\(a^(b)=c\) \(\ลูกศรซ้าย\) \(\log_(a)(c)=b\)
มาอธิบายให้ง่ายกว่านี้กันดีกว่า ตัวอย่างเช่น \(\log_(2)(8)\) เท่ากับพลังซึ่งจะต้องยก \(2\) ขึ้นเพื่อให้ได้ \(8\) จากนี้จะเห็นชัดเจนว่า \(\log_(2)(8)=3\)
|
ตัวอย่าง: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
เพราะ \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
เพราะ \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
เพราะ \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
อาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึม
ลอการิทึมใดๆ มี “กายวิภาคศาสตร์” ดังต่อไปนี้:
อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมมักจะเขียนที่ระดับของมัน และฐานจะเขียนเป็นตัวห้อยใกล้กับเครื่องหมายลอการิทึม และรายการนี้อ่านได้ดังนี้: "ลอการิทึมของยี่สิบห้าถึงฐานห้า"
วิธีการคำนวณลอการิทึม?
ในการคำนวณลอการิทึมคุณต้องตอบคำถาม: ควรยกฐานให้ยกกำลังเท่าใดจึงจะได้รับอาร์กิวเมนต์?
ตัวอย่างเช่น, คำนวณลอการิทึม: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) จ) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) \(4\) ต้องยกกำลังเท่าใดจึงจะได้ \(16\)? เห็นได้ชัดว่าคนที่สอง นั่นเป็นเหตุผล:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) \(\sqrt(5)\) ต้องยกกำลังเท่าใดจึงจะได้ \(1\)? พลังอะไรที่ทำให้ใครก็ตามเป็นอันดับหนึ่ง? แน่นอนเป็นศูนย์!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) \(\sqrt(7)\) ต้องยกกำลังเท่าใดจึงจะได้ \(\sqrt(7)\)? ประการแรก จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) \(3\) ต้องยกกำลังเท่าใดจึงจะได้ \(\sqrt(3)\)? จากที่เรารู้ว่ามันคืออะไร พลังเศษส่วนและนั่นหมายความว่า รากที่สองคือพลังของ \(\frac(1)(2)\)
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
ตัวอย่าง : คำนวณลอการิทึม \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
สารละลาย :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
เราจำเป็นต้องหาค่าลอการิทึม แสดงว่ามันเป็น x ตอนนี้ลองใช้คำจำกัดความของลอการิทึม: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
อะไรเชื่อมต่อ \(4\sqrt(2)\) และ \(8\)? สอง เนื่องจากตัวเลขทั้งสองสามารถแสดงด้วยสองได้: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
ทางด้านซ้าย เราใช้คุณสมบัติของดีกรี: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) และ \((a^(m))^(n)= เป็น^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
ฐานเท่ากัน เราจะก้าวไปสู่ความเท่าเทียมกันของตัวบ่งชี้ |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \(\frac(2)(5)\) |
|
|
ผลลัพธ์ที่ได้คือค่าของลอการิทึม |
คำตอบ : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
เหตุใดลอการิทึมจึงถูกประดิษฐ์ขึ้น?
เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ เรามาแก้สมการกัน: \(3^(x)=9\) เพียงจับคู่ \(x\) เพื่อให้สมการทำงานได้ แน่นอน \(x=2\)
ตอนนี้แก้สมการ: \(3^(x)=8\).ทำไม เท่ากับ x- นั่นคือประเด็น
คนที่ฉลาดที่สุดจะพูดว่า: “X น้อยกว่าสองนิดหน่อย” จะเขียนตัวเลขนี้ได้อย่างไร? เพื่อตอบคำถามนี้ จึงมีการประดิษฐ์ลอการิทึมขึ้น ต้องขอบคุณเขาที่ทำให้คำตอบตรงนี้สามารถเขียนได้เป็น \(x=\log_(3)(8)\)
ฉันอยากจะเน้นว่า \(\log_(3)(8)\) ชอบ ลอการิทึมใดๆ ก็เป็นเพียงตัวเลข- ใช่ มันดูแปลกแต่มันสั้น เพราะถ้าเราอยากจะเขียนมันออกมาในรูปแบบ ทศนิยมจากนั้นจะมีลักษณะดังนี้: \(1.892789260714.....\)
ตัวอย่าง : แก้สมการ \(4^(5x-4)=10\)
สารละลาย :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) และ \(10\) ไม่สามารถนำมาเป็นฐานเดียวกันได้ ซึ่งหมายความว่าคุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีลอการิทึม ลองใช้คำจำกัดความของลอการิทึม: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
ลองพลิกสมการเพื่อให้ X อยู่ทางซ้าย |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
ก่อนเรา. ลองย้าย \(4\) ไปทางขวากัน และอย่ากลัวลอการิทึม ให้ปฏิบัติเหมือนเลขธรรมดา |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
หารสมการด้วย 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
นี่คือรากของเรา ใช่ มันดูผิดปกติแต่พวกเขาไม่ได้เลือกคำตอบ |
คำตอบ : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
ลอการิทึมทศนิยมและลอการิทึมธรรมชาติ
ตามที่ระบุไว้ในคำจำกัดความของลอการิทึม ฐานของมันคือค่าใดก็ได้ จำนวนบวกยกเว้นหน่วย \((a>0, a\neq1)\) และในบรรดาฐานที่เป็นไปได้ทั้งหมด มี 2 ฐานที่เกิดขึ้นบ่อยมากจนมีการประดิษฐ์สัญกรณ์สั้นพิเศษสำหรับลอการิทึม:
ลอการิทึมธรรมชาติ: ลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขของออยเลอร์ \(e\) (เท่ากับประมาณ \(2.7182818…\)) และลอการิทึมเขียนเป็น \(\ln(a)\)
นั่นคือ \(\ln(a)\) เหมือนกับ \(\log_(e)(a)\)
ลอการิทึมทศนิยม: ลอการิทึมที่มีฐานเป็น 10 จะถูกเขียนเป็น \(\lg(a)\)
นั่นคือ \(\lg(a)\) เหมือนกับ \(\log_(10)(a)\)โดยที่ \(a\) คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง
เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
ลอการิทึมมีคุณสมบัติหลายอย่าง หนึ่งในนั้นเรียกว่า "Basic Logarithmic Identity" และมีลักษณะดังนี้:
| \(a^(\log_(ก)(c))=c\) |
คุณสมบัตินี้เป็นไปตามคำจำกัดความโดยตรง เรามาดูกันว่าสูตรนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร
ให้เรานึกถึงสัญกรณ์สั้น ๆ เกี่ยวกับคำจำกัดความของลอการิทึม:
ถ้า \(a^(b)=c\) ดังนั้น \(\log_(a)(c)=b\)
นั่นคือ \(b\) เหมือนกับ \(\log_(a)(c)\) จากนั้นเราสามารถเขียน \(\log_(a)(c)\) แทน \(b\) ในสูตร \(a^(b)=c\) มันกลายเป็น \(a^(\log_(a)(c))=c\) - ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมหลัก
คุณสามารถค้นหาคุณสมบัติอื่นๆ ของลอการิทึมได้ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถลดความซับซ้อนและคำนวณค่าของนิพจน์ด้วยลอการิทึมซึ่งยากต่อการคำนวณโดยตรง
ตัวอย่าง : ค้นหาค่าของนิพจน์ \(36^(\log_(6)(5))\)
สารละลาย :
คำตอบ : \(25\)
จะเขียนตัวเลขเป็นลอการิทึมได้อย่างไร?
ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ลอการิทึมใดๆ ก็เป็นเพียงตัวเลขเท่านั้น การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน โดยตัวเลขใดๆ ก็ตามสามารถเขียนเป็นลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่า \(\log_(2)(4)\) เท่ากับสอง จากนั้นแทนที่จะเขียนสองรายการ คุณสามารถเขียน \(\log_(2)(4)\) ได้
แต่ \(\log_(3)(9)\) ก็เท่ากับ \(2\) เช่นกัน ซึ่งหมายความว่าเราสามารถเขียน \(2=\log_(3)(9)\) ได้เช่นกัน ในทำนองเดียวกันด้วย \(\log_(5)(25)\) และด้วย \(\log_(9)(81)\) ฯลฯ นั่นคือปรากฎว่า
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
ดังนั้น หากจำเป็น เราก็สามารถเขียนสองตัวเป็นลอการิทึมโดยมีฐานใดๆ ก็ได้ (ไม่ว่าจะเป็นในสมการ ในนิพจน์ หรือในอสมการ) เราก็แค่เขียนฐานกำลังสองเป็นอาร์กิวเมนต์
เช่นเดียวกับทริปเปิล โดยสามารถเขียนเป็น \(\log_(2)(8)\) หรือเป็น \(\log_(3)(27)\) หรือเป็น \(\log_(4)( 64) \)... ที่นี่เราเขียนฐานในคิวบ์เป็นอาร์กิวเมนต์:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
และด้วยสี่:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
และด้วยลบหนึ่ง:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
และหนึ่งในสาม:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
จำนวนใดๆ \(a\) สามารถแสดงเป็นลอการิทึมที่มีฐาน \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
ตัวอย่าง : ค้นหาความหมายของสำนวน \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
สารละลาย :
คำตอบ : \(1\)
ลอการิทึมของตัวเลข เอ็น ขึ้นอยู่กับ ก เรียกว่าเลขชี้กำลัง เอ็กซ์ ที่คุณต้องสร้าง ก เพื่อรับหมายเลข เอ็น
โดยมีเงื่อนไขว่า 
,
,
จากคำจำกัดความของลอการิทึมจะได้ดังนี้ 
, เช่น.
- ความเท่าเทียมกันนี้เป็นพื้นฐาน เอกลักษณ์ลอการิทึม.
ลอการิทึมที่มีฐาน 10 เรียกว่าลอการิทึมฐานสิบ แทน 
เขียน 
.
ลอการิทึมถึงฐาน จ
เรียกว่าเป็นธรรมชาติและถูกกำหนดไว้ 
.
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
ลอการิทึมของ 1 เท่ากับศูนย์สำหรับฐานใดๆ
ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึมของปัจจัย
3) ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม
ปัจจัย 
เรียกว่าโมดูลัสของการเปลี่ยนผ่านจากลอการิทึมเป็นฐาน ก
เป็นลอการิทึมที่ฐาน ข
.
การใช้คุณสมบัติ 2-5 มักจะเป็นไปได้ที่จะลดลอการิทึมของนิพจน์ที่ซับซ้อนให้เหลือผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายกับลอการิทึม
ตัวอย่างเช่น, 
การแปลงลอการิทึมดังกล่าวเรียกว่าลอการิทึม การแปลงผกผันกับลอการิทึมเรียกว่าศักยภาพ
บทที่ 2 องค์ประกอบของคณิตศาสตร์ชั้นสูง
1. ข้อจำกัด
ขีดจำกัดของฟังก์ชัน 
เป็นจำนวนจำกัด A ถ้า เช่น xx
0
สำหรับแต่ละที่กำหนดไว้ล่วงหน้า 
มีจำนวนดังกล่าว 
ทันทีที่ 
, ที่ 
.
ฟังก์ชันที่มีขีดจำกัดจะแตกต่างจากฟังก์ชันนี้ด้วยจำนวนที่น้อยมาก: 
ที่ไหน- b.m.v. เช่น 
.
ตัวอย่าง. พิจารณาฟังก์ชัน 
.
เมื่อมุ่งมั่น 
, การทำงาน ย
มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์: 
1.1. ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับขีดจำกัด
ขีดจำกัด ค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นี้
.
ขีดจำกัดจำนวนเงิน (ส่วนต่าง) จำนวนจำกัดฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้
ขีดจำกัดของผลคูณของฟังก์ชันจำนวนจำกัดจะเท่ากับผลคูณของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้
ขีดจำกัดของผลหารของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลหารของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้ ถ้าขีดจำกัดของตัวส่วนไม่เป็นศูนย์
ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์
,
, ที่ไหน 
1.2. ตัวอย่างการคำนวณขีดจำกัด
อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกขีดจำกัดจะคำนวณได้ง่ายนัก บ่อยครั้งที่การคำนวณขีดจำกัดลงมาเพื่อเผยให้เห็นความไม่แน่นอนของประเภท: 
หรือ .
.
2. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ให้เรามีหน้าที่ 
ต่อเนื่องในส่วนนี้ 
.
การโต้แย้ง 
เพิ่มขึ้นบ้าง 
- จากนั้นฟังก์ชันจะได้รับการเพิ่มขึ้น 
.
ค่าอาร์กิวเมนต์ 
สอดคล้องกับค่าฟังก์ชัน 
.
ค่าอาร์กิวเมนต์ 
สอดคล้องกับค่าฟังก์ชัน
เพราะฉะนั้น, .
ให้เราหาลิมิตของอัตราส่วนนี้กันที่ 
- หากมีขีดจำกัดนี้จะเรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด
คำจำกัดความ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด 
โดยการโต้แย้ง 
เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์โดยพลการ
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 
สามารถกำหนดได้ดังนี้:
;
;
;
.
คำจำกัดความที่ 4 เรียกว่าการดำเนินการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความแตกต่าง
2.1. ความหมายทางกลของอนุพันธ์
ขอให้เราพิจารณาการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของวัตถุแข็งเกร็งหรือจุดวัสดุ
ปล่อยให้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง 
จุดเคลื่อนที่ 
อยู่ในระยะไกล 
จากตำแหน่งเริ่มต้น 
.
หลังจากนั้นช่วงระยะเวลาหนึ่ง 
เธอขยับไปไกล 
- ทัศนคติ 
=
- ความเร็วเฉลี่ยจุดวัสดุ 
- ให้เราหาขีดจำกัดของอัตราส่วนนี้โดยคำนึงถึงสิ่งนั้น 
.
ดังนั้นคำจำกัดความ ความเร็วทันทีการเคลื่อนที่ของจุดวัตถุลงมาเพื่อค้นหาอนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลา
2.2. ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์
ขอให้เรามีฟังก์ชันที่กำหนดไว้แบบกราฟิก 
.
ข้าว. 1. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์
ถ้า 
แล้วชี้ 
,จะเคลื่อนที่ไปตามโค้งเข้าใกล้จุดนั้น 
.
เพราะฉะนั้น 
, เช่น. มูลค่าของอนุพันธ์สำหรับมูลค่าที่กำหนดของการโต้แย้ง 
เป็นตัวเลขเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์ ณ จุดที่กำหนดโดยมีทิศทางบวกของแกน 
.
2.3. ตารางสูตรหาอนุพันธ์พื้นฐาน
ฟังก์ชั่นพลังงาน
|
|
|
|
|
|
|
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
|
|
|
|
|
ฟังก์ชันลอการิทึม
|
|
|
|
|
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. กฎของความแตกต่าง
อนุพันธ์ของ 
อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน
2.5. อนุพันธ์ของ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน.
ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ 
จึงสามารถแสดงออกมาในรูปได้
และ 
โดยที่ตัวแปร 
ก็เป็นข้อโต้แย้งระดับกลางแล้ว 
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับ x
ตัวอย่างที่ 1 
ตัวอย่างที่ 2 
3. ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล
ให้มี 
, หาอนุพันธ์ได้ในบางช่วง 
และปล่อยให้ ที่
ฟังก์ชันนี้มีอนุพันธ์
,
แล้วเราก็สามารถเขียนได้
(1),
ที่ไหน 
- ปริมาณที่ไม่มีที่สิ้นสุด
ตั้งแต่เมื่อไหร่ 
คูณเงื่อนไขความเท่าเทียมกันทั้งหมด (1) ด้วย 
เรามี:
ที่ไหน 
- บีเอ็มวี ลำดับที่สูงขึ้น
ขนาด 
เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน 
และถูกกำหนดไว้ 
.
3.1. ค่าเรขาคณิตของส่วนต่าง
ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ 
.
รูปที่ 2. ความหมายทางเรขาคณิตของดิฟเฟอเรนเชียล
.
แน่นอนว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน 
เท่ากับการเพิ่มขึ้นของพิกัดของแทนเจนต์ที่จุดที่กำหนด
3.2. อนุพันธ์และส่วนต่างของคำสั่งต่างๆ
ถ้ามี 
, แล้ว 
เรียกว่าอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ 1 เรียกว่าอนุพันธ์อันดับ 2 และเขียนเป็นลายลักษณ์อักษร 
.
อนุพันธ์ลำดับที่ n ของฟังก์ชัน 
เรียกว่าอนุพันธ์ลำดับที่ (n-1) และเขียนว่า:
.
ดิฟเฟอเรนเชียลของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลลำดับที่สองหรือดิฟเฟอเรนเชียลลำดับที่สอง
.
.
3.3 การแก้ปัญหาทางชีววิทยาโดยใช้ความแตกต่าง
ภารกิจที่ 1 การศึกษาพบว่าการเจริญเติบโตของอาณานิคมของจุลินทรีย์เป็นไปตามกฎหมาย 
, ที่ไหน เอ็น
– จำนวนจุลินทรีย์ (เป็นพัน) ที
– เวลา (วัน)
b) ประชากรในอาณานิคมจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงในช่วงเวลานี้?
คำตอบ. ขนาดของอาณานิคมจะเพิ่มขึ้น
ภารกิจที่ 2 น้ำในทะเลสาบได้รับการทดสอบเป็นระยะเพื่อติดตามปริมาณแบคทีเรียที่ทำให้เกิดโรค ผ่าน ที วันหลังการทดสอบ ความเข้มข้นของแบคทีเรียจะถูกกำหนดโดยอัตราส่วน
.
ทะเลสาบจะมีความเข้มข้นของแบคทีเรียขั้นต่ำเมื่อใดและจะสามารถว่ายน้ำได้หรือไม่?
วิธีแก้ไข: ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์
,
ลองพิจารณาว่าสูงสุดหรือต่ำสุดจะอยู่ใน 6 วัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองใช้อนุพันธ์อันดับสองกัน
คำตอบ: หลังจากผ่านไป 6 วัน แบคทีเรียจะมีความเข้มข้นน้อยที่สุด
(จากภาษากรีก γόγος - "คำ", "ความสัมพันธ์" และ ἀριθμός - "ตัวเลข") ขขึ้นอยู่กับ ก(บันทึก α ข) เรียกว่าตัวเลขดังกล่าว ค, และ ข= คนั่นคือ บันทึกบันทึก α ข=คและ ข=กคเทียบเท่ากัน ลอการิทึมสมเหตุสมผลถ้า a > 0, a ≠ 1, b > 0
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลอการิทึมตัวเลข ขขึ้นอยู่กับ กกำหนดเป็นเลขชี้กำลังซึ่งจะต้องยกจำนวนขึ้น กเพื่อรับหมายเลข ข(ลอการิทึมมีอยู่เฉพาะสำหรับจำนวนบวกเท่านั้น)
จากสูตรนี้ จะได้ว่าการคำนวณ x= log α ขเทียบเท่ากับการแก้สมการ a x =b
ตัวอย่างเช่น:
บันทึก 2 8 = 3 เพราะ 8 = 2 3
ให้เราเน้นว่าการกำหนดลอการิทึมที่ระบุทำให้สามารถกำหนดได้ทันที ค่าลอการิทึมเมื่อตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมทำหน้าที่เป็นกำลังหนึ่งของฐาน ที่จริงแล้ว การกำหนดลอการิทึมทำให้สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้า ข=คแล้วตามด้วยลอการิทึมของตัวเลข ขขึ้นอยู่กับ กเท่ากับ กับ- เป็นที่ชัดเจนว่าหัวข้อของลอการิทึมมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับหัวข้อ พลังของตัวเลข.
เรียกว่าการคำนวณลอการิทึม ลอการิทึม- ลอการิทึมคือ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กำลังหาลอการิทึม เมื่อพิจารณาลอการิทึม ผลคูณของปัจจัยจะถูกแปลงเป็นผลรวมของพจน์
ศักยภาพคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ผกผันของลอการิทึม ในระหว่างการเพิ่มศักยภาพ ฐานที่กำหนดจะถูกยกขึ้นตามระดับของการแสดงออกซึ่งจะดำเนินการเพิ่มศักยภาพ ในกรณีนี้ ผลรวมของพจน์จะเปลี่ยนเป็นผลคูณของปัจจัย
ลอการิทึมจริงที่มีฐาน 2 (ไบนารี่) มักใช้กันบ่อยครั้ง e เลขออยเลอร์ e mut 2.718 ( ลอการิทึมธรรมชาติ) และ 10 (ทศนิยม)
บน ในขั้นตอนนี้ขอแนะนำให้พิจารณา ตัวอย่างลอการิทึมบันทึก 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
และรายการ lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ไม่สมเหตุสมผลเนื่องจากในตอนแรกจะมีการวางจำนวนลบไว้ใต้เครื่องหมายลอการิทึมในวินาที - จำนวนลบในฐานและในสาม - ทั้งจำนวนลบภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมและหน่วยในฐาน
เงื่อนไขในการกำหนดลอการิทึม
ควรพิจารณาแยกเงื่อนไข a > 0, a ≠ 1, b > 0.ภายใต้ที่เราได้รับ คำจำกัดความของลอการิทึมลองพิจารณาว่าเหตุใดจึงมีการใช้ข้อจำกัดเหล่านี้ ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ x = log α จะช่วยเราในเรื่องนี้ ขเรียกว่าเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน ซึ่งตามมาจากคำจำกัดความของลอการิทึมที่ระบุข้างต้นโดยตรง
เอาล่ะเอาเงื่อนไข ก≠1- เนื่องจากหนึ่งต่อกำลังใด ๆ เท่ากับหนึ่ง ความเท่าเทียมกัน x=log α ขจะอยู่ได้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น ข=1แต่บันทึก 1 1 จะเป็นจำนวนจริงใดๆ เราดำเนินการเพื่อขจัดความคลุมเครือนี้ ก≠1.
ให้เราพิสูจน์ความจำเป็นของเงื่อนไข ก>0- ที่ ก=0ตามสูตรของลอการิทึมจะมีได้ก็ต่อเมื่อ ข=0- และตามนั้น เข้าสู่ระบบ 0 0สามารถเป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ได้ เนื่องจากศูนย์ถึงกำลังที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ จะเป็นศูนย์ ความคลุมเครือนี้สามารถกำจัดได้ตามเงื่อนไข ก≠0- และเมื่อไร ก<0 เราจะต้องปฏิเสธการวิเคราะห์ค่าลอการิทึมที่เป็นตรรกยะและอตรรกยะ เนื่องจากระดับที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะและอตรรกยะถูกกำหนดไว้สำหรับฐานที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ด้วยเหตุนี้จึงมีการกำหนดเงื่อนไขไว้ ก>0.
และ เงื่อนไขสุดท้าย ข>0ตามมาด้วยความไม่เท่าเทียมกัน ก>0เนื่องจาก x=log α ขและค่าของดีกรีที่มีฐานบวก กเป็นบวกเสมอ
คุณสมบัติของลอการิทึม
ลอการิทึมโดดเด่นด้วยความโดดเด่น คุณสมบัติซึ่งนำไปสู่การใช้อย่างแพร่หลายเพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณที่ต้องใช้ความอุตสาหะอย่างมาก เมื่อย้าย "สู่โลกแห่งลอการิทึม" การคูณจะถูกเปลี่ยนแปลงไปอีกมากมาย พับง่ายการหารคือการลบ และการยกกำลังและการแยกรากจะถูกแปลงตามลำดับเป็นการคูณและการหารด้วยเลขชี้กำลัง
การกำหนดลอการิทึมและตารางค่า (สำหรับ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1614 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวสก็อต จอห์น เนเปียร์ ตารางลอการิทึมที่ขยายและให้รายละเอียดโดยนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม และยังคงมีความเกี่ยวข้องจนกระทั่งมีการใช้เครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์และคอมพิวเตอร์