การรวมฟังก์ชันตรรกยะ เศษส่วน - ฟังก์ชันตรรกยะ เศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุด การสลายตัวของเศษส่วนตรรกยะเป็นเศษส่วนอย่างง่าย การรวมเศษส่วนอย่างง่าย กฎทั่วไปสำหรับการรวมเศษส่วนตรรกยะ
พหุนามของดีกรี n ฟังก์ชันเศษส่วน - ตรรกยะ ฟังก์ชันเศษส่วน - ตรรกยะเป็นฟังก์ชันเท่ากับอัตราส่วนของพหุนามสองตัว: เศษส่วนตรรกยะเรียกว่าเหมาะสมหากระดับของตัวเศษน้อยกว่าระดับของตัวส่วนนั่นคือ m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P
เศษส่วน - ฟังก์ชันตรรกยะ ลดเศษส่วนเกินให้อยู่ในรูปแบบที่ถูกต้อง: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x x 342 23 xxx 2 15 x
เศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุด เศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสมในรูปแบบ: เรียกว่าเศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุดในประเภทต่างๆ ขวาน ก); 2(Nkk ขวาน A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx kVV,
การสลายตัวของเศษส่วนตรรกยะให้เป็นเศษส่วนอย่างง่าย ทฤษฎีบท: เศษส่วนตรรกยะใดๆ ซึ่งมีตัวส่วนเป็นการแยกตัวประกอบ: สามารถแทนได้ ยิ่งกว่านั้น ด้วยวิธีพิเศษเฉพาะในรูปแบบของผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย: sk qxpxxxxxx Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)
การสลายตัวของเศษส่วนตรรกยะเป็นเศษส่วนอย่างง่าย ให้เราอธิบายการกำหนดทฤษฎีบทโดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้: หากต้องการค้นหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน A, B, C, D... จะใช้สองวิธี: วิธีเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์และวิธีการ ของค่าบางส่วนของตัวแปร ลองดูวิธีแรกโดยใช้ตัวอย่าง 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3xx x 2 21 x ก 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x
การสลายตัวของเศษส่วนตรรกยะเป็นเศษส่วนอย่างง่าย แสดงเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย: ลองนำเศษส่วนที่ง่ายที่สุดมาเป็นตัวหารร่วม เท่ากันกับตัวเศษของผลลัพธ์และเศษส่วนดั้งเดิม เท่ากับสัมประสิทธิ์ที่มีกำลังเท่ากัน x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. ขวาน 35 32 2 0 1 2 CAx Bax 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x
การรวมเศษส่วนที่ง่ายที่สุด มาดูปริพันธ์ของเศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุดกัน: ลองดูที่การรวมเศษส่วนประเภท 3 โดยใช้ตัวอย่าง dx ขวาน A k dx qpxx NMx 2 ขวาน axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ขวาน A k
อินทิเกรตของเศษส่วนอย่างง่ายdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln
การอินทิกรัลของเศษส่วนอย่างง่าย อินทิกรัลประเภทนี้โดยใช้การทดแทน: ลดลงจนเป็นผลรวมของอินทิกรัลสองตัว อินทิกรัลอันแรกคำนวณโดยการใส่ t ไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล อินทิกรัลตัวที่สองคำนวณโดยใช้สูตรการเกิดซ้ำ: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk ที่ dt N ที่ dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt
การรวมเศษส่วนอย่างง่าย a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(
กฎทั่วไปสำหรับการปริพันธ์เศษส่วนที่เป็นตรรกยะ ถ้าเศษส่วนนั้นไม่เหมาะสม ให้แทนเศษส่วนนั้นเป็นผลรวมของพหุนามและเศษส่วนแท้ เมื่อแยกตัวประกอบของเศษส่วนเหตุผลที่เหมาะสมแล้ว แสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ ค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดโดยวิธีการเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์หรือโดยวิธีค่าบางส่วนของตัวแปร รวมพหุนามและผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายเข้าด้วยกัน
ตัวอย่าง การใส่เศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบที่ถูกต้อง dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x x
ตัวอย่าง ลองแยกตัวส่วนของเศษส่วนแท้มาแทนเศษส่วนด้วยผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย ลองหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดโดยใช้วิธีค่าย่อยของตัวแปร xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx ขวาน 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx
ตัวอย่าง dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln
“นักคณิตศาสตร์ก็เหมือนกับศิลปินหรือกวี ที่สร้างรูปแบบขึ้นมา และถ้ารูปแบบของเขามั่นคงกว่านี้ก็เพียงเพราะมันประกอบด้วยความคิด... รูปแบบของนักคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับรูปแบบของศิลปินหรือกวี จะต้องสวยงาม; ความคิด เช่นเดียวกับสีหรือคำพูด จะต้องสอดคล้องกัน ความงามคือข้อกำหนดแรก: ไม่มีที่ใดในโลกสำหรับคณิตศาสตร์ที่น่าเกลียด».
จี.เอช.ฮาร์ดี
ในบทแรกสังเกตว่ามีแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันที่ค่อนข้างง่ายซึ่งไม่สามารถแสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐานได้อีกต่อไป ในเรื่องนี้ คลาสของฟังก์ชันเหล่านั้นซึ่งเราสามารถพูดได้อย่างแม่นยำว่าแอนติเดริเวทีฟของพวกมันเป็นฟังก์ชันพื้นฐานได้รับความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมาก ฟังก์ชันคลาสนี้ประกอบด้วย ฟังก์ชันตรรกยะซึ่งแสดงถึงอัตราส่วนของพหุนามพีชคณิตสองตัว ปัญหามากมายนำไปสู่การรวมตัวของเศษส่วนที่เป็นตรรกยะ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญมากที่จะต้องบูรณาการฟังก์ชันดังกล่าวเข้าด้วยกัน
2.1.1. ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน
เศษส่วนที่เป็นตรรกยะ(หรือ ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน) เรียกว่าความสัมพันธ์ของพหุนามพีชคณิตสองตัว:
ที่ไหน และ เป็นพหุนาม
ให้เรานึกถึงสิ่งนั้น พหุนาม (พหุนาม, ฟังก์ชันตรรกศาสตร์ทั้งหมด) nปริญญาเรียกว่าฟังก์ชันของแบบฟอร์ม
ที่ไหน 
– ตัวเลขจริง ตัวอย่างเช่น,
– พหุนามของดีกรีแรก
– พหุนามของดีกรีที่ 4 เป็นต้น
เรียกว่าเศษส่วนตรรกยะ (2.1.1) ถูกต้องถ้าระดับต่ำกว่าระดับคือ n<มมิฉะนั้นจะเรียกว่าเศษส่วน ผิด.
เศษส่วนเกินใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของพหุนาม (ส่วนจำนวนเต็ม) และเศษส่วนแท้ (ส่วนที่เป็นเศษส่วน)การแยกส่วนทั้งหมดและเศษส่วนของเศษส่วนเกินสามารถทำได้ตามกฎสำหรับการหารพหุนามด้วย "มุม"
ตัวอย่าง 2.1.1.ระบุส่วนทั้งหมดและเศษส่วนของเศษส่วนตรรกยะที่ไม่เหมาะสมต่อไปนี้:
ก) 
, ข) 
.
สารละลาย - ก) เราได้รับโดยใช้อัลกอริธึมการแบ่ง "มุม"
ดังนั้นเราจึงได้
.
b) ที่นี่เราใช้อัลกอริธึมการแบ่ง "มุม" ด้วย:
เป็นผลให้เราได้รับ
.
มาสรุปกัน ในกรณีทั่วไป อินทิกรัลไม่กำหนดของเศษส่วนตรรกยะสามารถแสดงเป็นผลรวมของปริพันธ์ของพหุนามและเศษส่วนตรรกยะแท้ การค้นหาแอนติเดริเวทีฟของพหุนามนั้นไม่ใช่เรื่องยาก ดังนั้น ต่อไปนี้เราจะพิจารณาเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสมเป็นหลัก
2.1.2. เศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุดและการอินทิเกรตของมัน
ในบรรดาเศษส่วนตรรกยะแท้นั้นมีอยู่ 4 ประเภท ซึ่งจำแนกได้ดังนี้ เศษส่วนเหตุผลที่ง่ายที่สุด (ประถมศึกษา):
|
3) |
4) |
,
,จำนวนเต็มอยู่ที่ไหน 
, เช่น. ตรีโกณมิติกำลังสอง 
ไม่มีรากที่แท้จริง
การรวมเศษส่วนอย่างง่ายของประเภทที่ 1 และ 2 ไม่ได้ทำให้เกิดความยุ่งยากใดๆ:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
ตอนนี้ให้เราพิจารณาการรวมเศษส่วนอย่างง่ายของประเภทที่ 3 แต่เราจะไม่พิจารณาเศษส่วนของประเภทที่ 4
เริ่มจากอินทิกรัลของแบบฟอร์มกันก่อน
.
โดยทั่วไปอินทิกรัลนี้คำนวณโดยการแยกกำลังสองสมบูรณ์ของตัวส่วนออก ผลลัพธ์ที่ได้คืออินทิกรัลของตารางตามแบบฟอร์มต่อไปนี้
หรือ 
.
ตัวอย่างที่ 2.1.2ค้นหาอินทิกรัล:
ก) 
, ข) 
.
สารละลาย - ก) เลือกกำลังสองที่สมบูรณ์จากตรีโกณมิติกำลังสอง:
จากที่นี่เราพบว่า
b) โดยการแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ออกจากตรีนามกำลังสอง เราจะได้:
ดังนั้น,
.
เพื่อหาอินทิกรัล
คุณสามารถแยกอนุพันธ์ของตัวส่วนในตัวเศษและขยายอินทิกรัลเป็นผลรวมของอินทิกรัลสองตัว: อันแรกโดยการแทนที่ 
ลงมาสู่รูปลักษณ์ภายนอก
,
และอย่างที่สอง - สำหรับสิ่งที่กล่าวถึงข้างต้น
ตัวอย่างที่ 2.1.3ค้นหาอินทิกรัล:
.
สารละลาย
- โปรดทราบว่า 
- ให้เราแยกอนุพันธ์ของตัวส่วนในตัวเศษ:
อินทิกรัลแรกคำนวณโดยใช้การทดแทน 
:
ในอินทิกรัลที่สอง เราเลือกกำลังสองสมบูรณ์ในตัวส่วน
ในที่สุดเราก็ได้
2.1.3. การขยายเศษส่วนแบบตรรกยะที่เหมาะสม
สำหรับผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย
เศษส่วนตรรกยะใดๆ 
สามารถแสดงด้วยวิธีพิเศษเฉพาะเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ตัวส่วนจะต้องถูกแยกตัวประกอบ จากพีชคณิตชั้นสูงจะทราบได้ว่าพหุนามทุกตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริง
คลาสของฟังก์ชันที่สำคัญที่สุดคลาสหนึ่ง ซึ่งอินทิกรัลแสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน คือคลาสของฟังก์ชันตรรกยะ
คำจำกัดความ 1. หน้าที่ของแบบฟอร์มที่ไหน 
- พหุนามขององศาnและมเรียกว่ามีเหตุผล ฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมด เช่น พหุนาม อินทิเกรตโดยตรง อินทิกรัลของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะสามารถหาได้โดยการแยกย่อยเป็นเทอม ซึ่งจะถูกแปลงด้วยวิธีมาตรฐานไปเป็นอินทิกรัลแบบตารางหลัก
คำจำกัดความ 2. เศษส่วน 
เรียกว่าถูกถ้าดีกรีของตัวเศษnน้อยกว่ากำลังของตัวส่วนม- เศษส่วนที่มีดีกรีของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับดีกรีของตัวส่วน เรียกว่า ไม่เหมาะสม.
เศษส่วนเกินใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของพหุนามและเศษส่วนแท้ได้ ทำได้โดยการหารพหุนามด้วยพหุนาม เช่นเดียวกับการหารตัวเลข
ตัวอย่าง.
ลองจินตนาการถึงเศษส่วน 
เป็นผลรวมของพหุนามและเศษส่วนแท้:
x - 1
3
3
3
ภาคเรียนแรก 
ในผลหารที่ได้นั้นได้มาจากการหารเทอมนำหน้า 
หารด้วยคำนำหน้า เอ็กซ์ตัวแบ่ง จากนั้นเราก็คูณ 
ต่อตัวหาร x-1และผลที่ได้จะถูกหักออกจากเงินปันผล เงื่อนไขที่เหลือของผลหารที่ไม่สมบูรณ์จะพบในลักษณะเดียวกัน
เมื่อแบ่งพหุนามแล้วเราจะได้:
การดำเนินการนี้เรียกว่าการเลือกบางส่วน
คำจำกัดความที่ 3 เศษส่วนที่ง่ายที่สุดคือเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสมประเภทต่อไปนี้:
ฉัน. 
ครั้งที่สอง 
(K=2, 3, …)
III. 
ตรีโกณมิติกำลังสองอยู่ที่ไหน 
IV. 
โดยที่ K=2, 3, …; ตรีโกณมิติกำลังสอง 
ไม่มีรากที่แท้จริง
ก) ขยายตัวส่วน 
ให้เป็นปัจจัยจริงที่ง่ายที่สุด (ตามทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต การขยายตัวนี้สามารถมีทวินามเชิงเส้นของรูปแบบได้ 
และตรีโกณมิติกำลังสอง 
ไม่มีราก);
b) เขียนแผนภาพการสลายตัวของเศษส่วนที่กำหนดเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย นอกจากนี้แต่ละปัจจัยของรูปแบบ 
สอดคล้องกัน เคส่วนประกอบประเภท I และ II:
ในแต่ละปัจจัยของแบบฟอร์ม 
สอดคล้องกับเงื่อนไข e ประเภท III และ IV:
ตัวอย่าง.
เขียนแผนการขยายเศษส่วน 
เพื่อผลรวมที่ง่ายที่สุด
c) ทำการบวกเศษส่วนที่ง่ายที่สุดที่ได้รับ
เขียนความเท่าเทียมกันของตัวเศษของผลลัพธ์และเศษส่วนดั้งเดิม 
d) ค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ของการขยายตัวที่สอดคล้องกัน:
(วิธีการแก้ปัญหาจะกล่าวถึงด้านล่าง);
จ) แทนที่ค่าที่พบของสัมประสิทธิ์เป็นรูปแบบการสลายตัว
(เคการรวมเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสมหลังจากการสลายตัวเป็นเงื่อนไขที่ง่ายที่สุดจะช่วยลดการค้นหาปริพันธ์ประเภทใดประเภทหนึ่ง: และ =2, 3, …).
จ 
การคำนวณอินทิกรัล
ลดเหลือสูตร III: 
บูรณาการ
- ถึงสูตร II: 
บูรณาการ 
สามารถพบได้ตามกฎที่ระบุในทฤษฎีการรวมฟังก์ชันที่มีตรีโกณมิติกำลังสอง
- ผ่านการแปลงที่แสดงด้านล่างในตัวอย่างที่ 4
ตัวอย่างที่ 1
ก) แยกตัวประกอบตัวส่วน:
b) เขียนไดอะแกรมเพื่อแยกย่อยปริพันธ์ออกเป็นเงื่อนไข:
c) ทำการบวกเศษส่วนอย่างง่าย:
ให้เราเขียนความเท่าเทียมกันของตัวเศษของเศษส่วน:
d) มีสองวิธีในการค้นหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก A, B, C เอ็กซ์พหุนามสองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของพวกมันเท่ากันสำหรับกำลังที่เท่ากัน
เพื่อให้คุณสามารถสร้างระบบสมการที่สอดคล้องกันได้ นี่เป็นหนึ่งในวิธีการแก้ปัญหา 
ค่าสัมประสิทธิ์ที่ 
):สมาชิกฟรี (สัมประสิทธิ์ที่
4A=8. เมื่อแก้ไขระบบแล้วเราก็จะได้, ก=2, ข=1.
ค= - 10
วิธีอื่น - ค่าส่วนตัว - จะกล่าวถึงในตัวอย่างต่อไปนี้
e) แทนที่ค่าที่พบเป็นรูปแบบการสลายตัว:
แทนที่ผลรวมผลลัพธ์ภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัลและรวมแต่ละเทอมแยกกันเราจะพบว่า:
ตัวอย่างที่ 2 ตัวตนคือความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องสำหรับค่าใด ๆ ของสิ่งที่ไม่รู้จักที่รวมอยู่ในนั้นขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ เอ็กซ์วิธีมูลค่าส่วนตัว
สามารถให้ได้ ค่าใดๆ สะดวกกว่าสำหรับการคำนวณในการนำค่าเหล่านั้นที่ทำให้เงื่อนไขใด ๆ ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันหายไปอนุญาต x = 0 - แล้ว 1 = อ (0-1)(0+2).
0(0+2)+วี 0 (0-1)+ซในทำนองเดียวกันสำหรับ x = - 2เรามี 1= - 2V*(-3), ที่ x = 1.
เรามี 
1 = 3เอ
เพราะฉะนั้น,
สามารถให้ได้ ค่าใดๆ สะดวกกว่าสำหรับการคำนวณในการนำค่าเหล่านั้นที่ทำให้เงื่อนไขใด ๆ ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันหายไปตัวอย่างที่ 3 x = 0 d) ก่อนอื่นเราใช้วิธีค่าบางส่วน.
, แล้ว 1, ก = 1ในทำนองเดียวกันสำหรับ - ที่หรือ x = - 1, 1+4+2+1 = - B(1+1+1).
หากต้องการหาสัมประสิทธิ์ C และ D คุณต้องสร้างสมการเพิ่มอีกสองสมการ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณสามารถใช้ค่าอื่นๆ ได้ เอ็กซ์, ตัวอย่างเช่น x = 1และ x = 2- คุณสามารถใช้วิธีแรกได้เช่น เอ็กซ์เท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่มีกำลังเท่ากัน 
เช่น เมื่อใด 
และ
- เราได้รับ1 = A+B+C และ 4 = C +ดี
- ใน. รู้, ก = 1ข = -2 เราจะพบ, 1 = A+B+C และ 4 = C + = 0 .
ค = 2
ดังนั้นทั้งสองวิธีสามารถนำมารวมกันเมื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ 
อินทิกรัลสุดท้าย
เราพบแยกกันตามกฎที่ระบุในวิธีการระบุตัวแปรใหม่ 
ลองเลือกกำลังสองสมบูรณ์ในตัวส่วน: 
สมมติว่า
=
แล้ว
เราได้รับ:
เราพบการแทนที่ความเท่าเทียมกันก่อนหน้า 
ตัวอย่างที่ 4 
หา 
ข)
ง)
บูรณาการเรามี:
ให้เราแปลงอินทิกรัลแรกเป็นสูตร III: 
ให้เราแปลงอินทิกรัลตัวที่สองเป็นสูตร II: 
ในปริพันธ์ที่สามเราแทนที่ตัวแปร:
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
(เมื่อทำการแปลง เราใช้สูตรตรีโกณมิติ
ค้นหาอินทิกรัล:
คำถามทดสอบตัวเอง
เศษส่วนตรรกยะใดต่อไปนี้ถูกต้อง:
2. แผนภาพการแยกเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายเขียนถูกต้องหรือไม่?
การบูรณาการฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ วิธีสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน.
เรายังคงทำงานเกี่ยวกับการอินทิเกรตเศษส่วนต่อไป เราได้ดูอินทิกรัลของเศษส่วนบางประเภทในบทเรียนแล้ว และบทเรียนนี้ในแง่หนึ่งก็ถือเป็นบทเรียนต่อเนื่องได้ เพื่อให้เข้าใจเนื้อหาได้สำเร็จ จำเป็นต้องมีทักษะบูรณาการขั้นพื้นฐาน ดังนั้นหากคุณเพิ่งเริ่มศึกษาอินทิกรัลนั่นคือคุณเป็นมือใหม่ คุณต้องเริ่มด้วยบทความ อินทิกรัลไม่ จำกัด ตัวอย่างการแก้ปัญหาน่าแปลกที่ตอนนี้เราจะไม่มีส่วนร่วมในการหาอินทิกรัลมากนัก แต่... ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ในเรื่องนี้
อย่างเร่งด่วน ฉันแนะนำให้เข้าร่วมบทเรียน กล่าวคือ คุณต้องเชี่ยวชาญวิธีการทดแทน (“วิธีโรงเรียน” และวิธีการบวก (ลบ) สมการของระบบแบบเทอมต่อเทอม).
ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนคืออะไร? พูดง่ายๆ ก็คือ ฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะคือเศษส่วนที่ตัวเศษและส่วนประกอบด้วยพหุนามหรือผลคูณของพหุนาม นอกจากนี้ เศษส่วนยังมีความซับซ้อนมากกว่าที่กล่าวถึงในบทความ
การบูรณาการเศษส่วนบางส่วน
การรวมฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะที่เหมาะสม
ทันทีตัวอย่างและอัลกอริทึมทั่วไปสำหรับการแก้อินทิกรัลของฟังก์ชันเศษส่วน - ตรรกยะตัวอย่างที่ 1 ขั้นตอนที่ 1สิ่งแรกที่เราทำเสมอเมื่อแก้อินทิกรัลของฟังก์ชันเศษส่วนคือชี้แจงคำถามต่อไปนี้:
ขั้นแรกเราดูที่ตัวเศษแล้วค้นหา ระดับสูงพหุนาม: 
กำลังนำของตัวเศษคือสอง
ตอนนี้เราดูตัวส่วนแล้วหาคำตอบ ระดับสูงตัวส่วน วิธีที่ชัดเจนคือการเปิดวงเล็บและนำคำที่คล้ายกันมาใช้ แต่คุณสามารถทำได้ง่ายกว่านี้ แต่ละหาระดับสูงสุดในวงเล็บ 
และคูณทางจิตใจ: - ดังนั้นระดับสูงสุดของตัวส่วนจึงเท่ากับสาม เห็นได้ชัดว่าถ้าเราเปิดวงเล็บจริงๆ เราจะไม่ได้ระดับที่มากกว่าสาม
บทสรุป: ดีกรีหลักของตัวเศษ อย่างเคร่งครัดน้อยกว่ากำลังสูงสุดของตัวส่วน ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนมีความเหมาะสม
หากในตัวอย่างนี้ ตัวเศษมีพหุนาม 3, 4, 5 เป็นต้น องศา แล้วเศษส่วนก็จะเท่ากับ ผิด.
ตอนนี้เราจะพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันเศษส่วนที่ถูกต้องเท่านั้น- กรณีที่ระดับของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับระดับของตัวส่วนจะกล่าวถึงในตอนท้ายของบทเรียน
ขั้นตอนที่ 2ลองแยกตัวประกอบตัวส่วน. ลองดูตัวส่วนของเรา: 
โดยทั่วไปแล้ว นี่เป็นผลงานของปัจจัยต่างๆ อยู่แล้ว แต่อย่างไรก็ตาม เราถามตัวเองว่า: เป็นไปได้ไหมที่จะขยายสิ่งอื่นออกไป? เป้าหมายของการทรมานจะต้องเป็นกำลังสองอย่างไม่ต้องสงสัย การแก้สมการกำลังสอง: 
ค่าจำแนกมีค่ามากกว่าศูนย์ ซึ่งหมายความว่าสามารถแยกตัวประกอบตรีโกณมิติได้จริง:
กฎทั่วไป: ทุกอย่างในตัวส่วนสามารถแยกตัวประกอบได้ - แยกตัวประกอบได้
มาเริ่มกำหนดวิธีแก้ปัญหากัน:
ขั้นตอนที่ 3โดยใช้วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน เราจะขยายปริพันธ์เป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย (ระดับประถมศึกษา) ตอนนี้มันจะชัดเจนขึ้น
ลองดูที่ฟังก์ชันปริพันธ์ของเรา: 
และคุณรู้ไหม มีความคิดตามสัญชาตญาณปรากฏขึ้นมาว่า คงจะดีถ้าเปลี่ยนเศษส่วนมากให้กลายเป็นเศษส่วนเล็กๆ หลายอัน ตัวอย่างเช่นเช่นนี้: 
คำถามเกิดขึ้น เป็นไปได้ไหมที่จะทำเช่นนี้? ให้เราถอนหายใจด้วยความโล่งอก ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่สอดคล้องกันของสถานะการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - มันเป็นไปได้ การสลายตัวดังกล่าวมีอยู่และมีลักษณะเฉพาะ.
มีเพียงสิ่งเดียวที่จับได้คือโอกาส ลาก่อนเราไม่รู้ จึงเป็นชื่อ – วิธีการของสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน
ดังที่คุณเดาไว้ การเคลื่อนไหวร่างกายในภายหลังเป็นแบบนั้น อย่าหัวเราะเยาะ! จะมุ่งเป้าไปที่การจดจำพวกเขา - เพื่อค้นหาว่าพวกเขามีค่าเท่ากับอะไร
ระวังผมจะอธิบายละเอียดเพียงครั้งเดียวเท่านั้น!
เรามาเริ่มเต้นรำกันตั้งแต่: 
ทางด้านซ้ายเราลดนิพจน์ให้เป็นตัวส่วนร่วม:
ตอนนี้เราสามารถกำจัดตัวส่วนได้อย่างปลอดภัยแล้ว (เนื่องจากพวกมันเหมือนกัน):
ทางด้านซ้ายเราเปิดวงเล็บ แต่อย่าแตะค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักในตอนนี้:
ในเวลาเดียวกัน เรายังทวนกฎโรงเรียนเรื่องการคูณพหุนาม เมื่อฉันเป็นครู ฉันเรียนรู้ที่จะออกเสียงกฎนี้ด้วยสีหน้าตรง: ในการคูณพหุนามด้วยพหุนาม คุณต้องคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละพจน์ของพหุนามอีกตัวหนึ่ง.
จากมุมมองของคำอธิบายที่ชัดเจน ควรใส่ค่าสัมประสิทธิ์ในวงเล็บจะดีกว่า (แม้ว่าโดยส่วนตัวแล้วฉันไม่เคยทำสิ่งนี้เพื่อประหยัดเวลา):
เราเขียนระบบสมการเชิงเส้น
ก่อนอื่นเรามองหาวุฒิการศึกษาระดับสูง:
และเราเขียนสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันลงในสมการแรกของระบบ:
จำประเด็นต่อไปนี้ให้ดี- จะเกิดอะไรขึ้นหากไม่มี s อยู่ทางด้านขวาเลย? สมมุติว่ามันจะโชว์โดยไม่มีกำลังสองเลยไหม? ในกรณีนี้ ในสมการของระบบ จำเป็นต้องใส่ศูนย์ทางด้านขวา: ทำไมเป็นศูนย์? แต่เนื่องจากทางด้านขวาคุณสามารถกำหนดกำลังสองเดียวกันนี้ด้วยศูนย์ได้เสมอ: หากทางด้านขวาไม่มีตัวแปรและ/หรือเทอมอิสระ เราจะใส่ศูนย์ทางด้านขวาของสมการที่สอดคล้องกันของระบบ
เราเขียนสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันลงในสมการที่สองของระบบ: 
และสุดท้ายน้ำแร่เราคัดสรรสมาชิกฟรี
เอ่อ...ผมล้อเล่นนะ นอกเหนือจากเรื่องตลก - คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่จริงจัง ในกลุ่มสถาบันของเรา ไม่มีใครหัวเราะเมื่อผู้ช่วยศาสตราจารย์บอกว่าเธอจะกระจายเทอมตามเส้นจำนวนและเลือกอันที่ใหญ่ที่สุด มาจริงจังกันเถอะ แม้ว่า... ใครก็ตามที่มีชีวิตอยู่เพื่อดูบทเรียนจบนี้จะยังคงยิ้มเงียบๆ
ระบบพร้อมแล้ว:
เราแก้ไขระบบ: 
(1) จากสมการแรกเราแสดงและแทนที่มันลงในสมการที่ 2 และ 3 ของระบบ ในความเป็นจริง มันเป็นไปได้ที่จะแสดง (หรือตัวอักษรอื่น) จากสมการอื่น แต่ในกรณีนี้ จะเป็นประโยชน์ที่จะแสดงจากสมการที่ 1 เนื่องจากมี อัตราต่อรองที่เล็กที่สุด.
(2) เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในสมการที่ 2 และ 3
(3) เราบวกสมการที่ 2 และ 3 ทีละเทอม จะได้ความเท่าเทียมกัน ซึ่งตามมาว่า
(4) เราแทนลงในสมการที่สอง (หรือสาม) จากจุดที่เราพบสิ่งนั้น
(5) แทนค่าลงในสมการแรก จะได้
หากคุณมีปัญหากับวิธีการแก้ไขระบบ ให้ฝึกฝนในชั้นเรียน จะแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้อย่างไร?
หลังจากแก้ไขระบบแล้ว จะมีประโยชน์เสมอในการตรวจสอบ - ทดแทนค่าที่พบ ทั้งหมดสมการของระบบ ด้วยเหตุนี้ ทุกอย่างจึงควร "มาบรรจบกัน"
เกือบจะถึงแล้ว พบค่าสัมประสิทธิ์และ: 
งานที่เสร็จแล้วควรมีลักษณะดังนี้:
อย่างที่คุณเห็น ปัญหาหลักของงานคือการเขียน (ถูกต้อง!) และแก้ระบบสมการเชิงเส้น (ถูกต้อง!) และในขั้นตอนสุดท้าย ทุกอย่างก็ไม่ใช่เรื่องยาก เราใช้คุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลไม่ จำกัด และอินทิเกรต โปรดทราบว่าภายใต้อินทิกรัลทั้งสามนี้ เรามีฟังก์ชันที่ซับซ้อน "ฟรี" ฉันได้พูดคุยเกี่ยวกับคุณลักษณะของการบูรณาการในบทเรียน วิธีการเปลี่ยนแปลงตัวแปรในอินทิกรัลไม่จำกัด.
ตรวจสอบ: แยกคำตอบ:
ได้รับฟังก์ชันอินทิกรัลดั้งเดิมแล้ว ซึ่งหมายความว่าพบอินทิกรัลอย่างถูกต้อง
ในระหว่างการตรวจสอบ เราต้องลดนิพจน์ให้เป็นตัวส่วนร่วม และนี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนและการลดนิพจน์ให้เหลือตัวส่วนร่วมนั้นเป็นการกระทำที่ผกผันร่วมกัน
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด 
ลองกลับไปสู่เศษส่วนจากตัวอย่างแรก: 
- สังเกตได้ง่ายว่าในตัวส่วนปัจจัยทั้งหมดมีความแตกต่างกัน คำถามเกิดขึ้นว่าจะทำอย่างไรถ้าได้รับเศษส่วนต่อไปนี้: 
- ตรงนี้ เรามีองศาเป็นตัวส่วน หรือทางคณิตศาสตร์ ทวีคูณ- นอกจากนี้ยังมีตรีโกณมิติกำลังสองที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ (ง่ายต่อการตรวจสอบว่าการแบ่งแยกสมการ 
เป็นลบ ดังนั้นจึงไม่สามารถแยกตัวประกอบตรีโกณมิติได้) จะทำอย่างไร? การขยายตัวเป็นผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้นจะมีลักษณะดังนี้ 
โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักอยู่ด้านบนหรืออย่างอื่น?
ตัวอย่างที่ 3
แนะนำฟังก์ชั่น 
ทันทีตัวอย่างและอัลกอริทึมทั่วไปสำหรับการแก้อินทิกรัลของฟังก์ชันเศษส่วน - ตรรกยะตรวจสอบว่าเรามีเศษส่วนถูกต้องหรือไม่
ตัวเศษหลัก: 2
ระดับสูงสุดของตัวส่วน: 8
ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนถูกต้อง
ขั้นตอนที่ 2เป็นไปได้ไหมที่จะแยกตัวประกอบบางอย่างในตัวส่วน? ไม่แน่นอน ทุกอย่างถูกจัดวางไว้แล้ว ไม่สามารถขยายตรีโกณมิติกำลังสองเป็นผลิตภัณฑ์ได้ด้วยเหตุผลที่ระบุไว้ข้างต้น เครื่องดูดควัน งานน้อยลง.
ขั้นตอนที่ 3ลองจินตนาการถึงฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้น
ในกรณีนี้ ส่วนขยายจะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:
ลองดูตัวส่วนของเรา:
เมื่อแยกย่อยฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกศาสตร์เป็นผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้น สามารถแยกแยะจุดพื้นฐานได้สามจุด:
1) หากตัวส่วนมีปัจจัย "โดดเดี่ยว" ยกกำลังแรก (ในกรณีของเรา) เราจะใส่สัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนไว้ที่ด้านบน (ในกรณีของเรา) ตัวอย่างที่ 1, 2 ประกอบด้วยปัจจัย "โดดเดี่ยว" เท่านั้น
2) ถ้าตัวส่วนมี หลายรายการตัวคูณคุณต้องแยกย่อยดังนี้: 
- นั่นคือผ่านระดับ "X" ทั้งหมดตามลำดับตั้งแต่ระดับแรกไปจนถึงระดับที่ n ในตัวอย่างของเรา มีสองปัจจัยหลายประการ: และ ลองดูส่วนขยายที่ฉันให้ไว้อีกครั้ง และตรวจสอบให้แน่ใจว่าส่วนขยายเหล่านั้นถูกขยายตามกฎนี้ทุกประการ
3) หากตัวส่วนมีพหุนามที่แยกไม่ออกของดีกรีที่สอง (ในกรณีของเรา) ดังนั้นเมื่อแยกย่อยในตัวเศษคุณจะต้องเขียนฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ (ในกรณีของเราที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ และ )
อันที่จริงยังมีกรณีที่ 4 อีก แต่ฉันจะเงียบเกี่ยวกับเรื่องนี้เนื่องจากในทางปฏิบัติมันหายากมาก
ตัวอย่างที่ 4
แนะนำฟังก์ชั่น 
เป็นผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้นที่ไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน
ปฏิบัติตามอัลกอริธึมอย่างเคร่งครัด!
หากคุณเข้าใจหลักการที่คุณต้องขยายฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะให้เป็นผลรวม คุณสามารถพิจารณาอินทิกรัลประเภทใดก็ได้ที่อยู่ระหว่างการพิจารณา
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด 
ทันทีตัวอย่างและอัลกอริทึมทั่วไปสำหรับการแก้อินทิกรัลของฟังก์ชันเศษส่วน - ตรรกยะแน่นอนว่าเศษส่วนนั้นถูกต้อง:
ขั้นตอนที่ 2เป็นไปได้ไหมที่จะแยกตัวประกอบบางอย่างในตัวส่วน? สามารถ. นี่คือผลรวมของลูกบาศก์ 
- แยกตัวประกอบตัวส่วนโดยใช้สูตรคูณแบบย่อ
ขั้นตอนที่ 3โดยใช้วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน เราจะขยายปริพันธ์เป็นผลรวมของเศษส่วนมูลฐาน:
โปรดทราบว่าพหุนามไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ (ตรวจสอบว่าค่าการแบ่งแยกเป็นลบ) ดังนั้นที่ด้านบน เราจึงใส่ฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก และไม่ใช่แค่ตัวอักษรตัวเดียว
เรานำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม:
มาเขียนและแก้ไขระบบกัน:
(1) เราแสดงจากสมการแรกและแทนที่มันลงในสมการที่สองของระบบ (นี่เป็นวิธีที่มีเหตุผลที่สุด)
(2) เรานำเสนอพจน์ที่คล้ายกันในสมการที่สอง
(3) เราบวกสมการที่สองและสามของเทอมของระบบทีละเทอม
โดยหลักการแล้วการคำนวณเพิ่มเติมทั้งหมดนั้นเป็นการคำนวณแบบปากเปล่า เนื่องจากระบบเป็นแบบง่าย 
(1) เราเขียนผลรวมของเศษส่วนตามค่าสัมประสิทธิ์ที่พบ
(2) เราใช้คุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลไม่ จำกัด เกิดอะไรขึ้นในอินทิกรัลที่สอง? คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับวิธีนี้ได้ในย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียน ฉันแนะนำให้เข้าร่วมบทเรียน กล่าวคือ คุณต้องเชี่ยวชาญวิธีการทดแทน (“วิธีโรงเรียน” และวิธีการบวก (ลบ) สมการของระบบแบบเทอมต่อเทอม).
(3) เราใช้คุณสมบัติของความเป็นเส้นตรงอีกครั้ง ในอินทิกรัลที่สาม เราเริ่มแยกกำลังสองทั้งหมด (ย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียน ฉันแนะนำให้เข้าร่วมบทเรียน กล่าวคือ คุณต้องเชี่ยวชาญวิธีการทดแทน (“วิธีโรงเรียน” และวิธีการบวก (ลบ) สมการของระบบแบบเทอมต่อเทอม)).
(4) เราใช้อินทิกรัลตัวที่สอง ในส่วนที่สามเราเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์
(5) หาอินทิกรัลตัวที่สาม พร้อม.
นักศึกษาชั้นปีที่ 1 และ 2 จะทำการทดสอบเรื่องการบูรณาการฟังก์ชันต่างๆ รวมถึงเศษส่วนตรรกยะ ตัวอย่างของปริพันธ์ส่วนใหญ่จะเป็นที่สนใจของนักคณิตศาสตร์ นักเศรษฐศาสตร์ และนักสถิติ ตัวอย่างเหล่านี้ถูกถามระหว่างการทดสอบที่ LNU ไอ. แฟรงค์. เงื่อนไขของตัวอย่างต่อไปนี้คือ "ค้นหาอินทิกรัล" หรือ "คำนวณอินทิกรัล" ดังนั้นเพื่อประหยัดพื้นที่และเวลาของคุณ เงื่อนไขเหล่านี้จึงไม่ได้ถูกเขียนออกมา
ตัวอย่างที่ 15 เรามาถึงการบูรณาการฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ พวกเขาครอบครองสถานที่พิเศษในบรรดาอินทิกรัลเพราะต้องใช้เวลามากในการคำนวณและช่วยครูทดสอบความรู้ของคุณไม่เพียงแต่เรื่องการบูรณาการเท่านั้น เพื่อให้ฟังก์ชันภายใต้อินทิกรัลง่ายขึ้น เราจะบวกและลบนิพจน์ในตัวเศษที่จะช่วยให้เราแบ่งฟังก์ชันภายใต้อินทิกรัลออกเป็นสองฟังก์ชันง่ายๆ ได้
เป็นผลให้เราค้นหาอินทิกรัลตัวหนึ่งได้ค่อนข้างเร็ว ในวินาทีนั้นเราต้องขยายเศษส่วนให้เป็นผลรวมของเศษส่วนพื้นฐาน 
เมื่อลดเป็นตัวส่วนร่วม เราจะได้ตัวเลขดังต่อไปนี้
จากนั้นให้เปิดวงเล็บและกลุ่ม
เราถือค่าสำหรับกำลังเดียวกันของ "x" ทางด้านขวาและซ้าย เป็นผลให้เรามาถึงระบบสมการเชิงเส้นสามตัว (SLAE) โดยไม่ทราบค่าสามค่า 
วิธีแก้ระบบสมการอธิบายไว้ในบทความอื่นบนเว็บไซต์ ในเวอร์ชันสุดท้าย คุณจะได้รับโซลูชัน SLAE ต่อไปนี้
ก=4; ข=-9/2; ค=-7/2.
เราแทนที่ค่าคงที่ในการขยายเศษส่วนให้เป็นค่าที่ง่ายที่สุดและดำเนินการรวมเข้าด้วยกัน
นี่เป็นการสรุปตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 16 เราจำเป็นต้องหาอินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนอีกครั้ง ขั้นแรก เราจะแยกสมการกำลังสามที่มีอยู่ในตัวส่วนของเศษส่วนออกเป็นตัวประกอบง่ายๆ 
ต่อไป เราจะแยกย่อยเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด 
เราลดด้านขวาให้เป็นตัวส่วนร่วมแล้วเปิดวงเล็บในตัวเศษ 
เราเทียบค่าสัมประสิทธิ์สำหรับองศาของตัวแปรที่เท่ากัน มาที่ SLAE อีกครั้งพร้อมกับสิ่งไม่รู้สามประการ 
เราแทนที่ค่าของ A, B, C ลงในส่วนขยายและคำนวณอินทิกรัล 
สองเทอมแรกให้ค่าลอการิทึม ส่วนเทอมสุดท้ายก็หาได้ง่ายเช่นกัน
ตัวอย่างที่ 17 ในตัวส่วนของฟังก์ชันเศษส่วนเชิงตรรกยะ เรามีผลต่างของลูกบาศก์ เมื่อใช้สูตรคูณแบบย่อ เราจะแยกย่อยออกเป็นสองปัจจัยง่ายๆ 
ต่อไป เราจะเขียนฟังก์ชันเศษส่วนที่ได้ลงในผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายและลดให้เหลือตัวส่วนร่วม 
ในตัวเศษเราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้
จากนั้นเราสร้างระบบสมการเชิงเส้นสำหรับการคำนวณ 3 สิ่งที่ไม่ทราบ 
ก=1/3; ข=-1/3; ค=1/3.
เราแทนที่ A, B, C ลงในสูตรและดำเนินการรวมเข้าด้วยกัน ด้วยเหตุนี้เราจึงได้คำตอบดังนี้ 
ในที่นี้ตัวเศษของอินทิกรัลตัวที่สองถูกแปลงเป็นลอการิทึม และส่วนที่เหลือใต้อินทิกรัลจะให้ค่าอาร์กแทนเจนต์
มีตัวอย่างที่คล้ายกันมากมายเกี่ยวกับการรวมเศษส่วนตรรกยะบนอินเทอร์เน็ต คุณสามารถดูตัวอย่างที่คล้ายกันได้จากเอกสารด้านล่าง