และยังมีองค์ประกอบอีกมากมายที่... การดำเนินการกับฉากและคุณสมบัติของฉาก

ผู้คนต้องจัดการกับคอลเลกชันของวัตถุต่าง ๆ อย่างต่อเนื่องซึ่งนำไปสู่การเกิดขึ้นของแนวคิดเรื่องตัวเลขและจากนั้นแนวคิดเรื่องเซตซึ่งเป็นหนึ่งในพื้นฐานที่ง่ายที่สุด แนวคิดทางคณิตศาสตร์และไม่ยอม คำจำกัดความที่แม่นยำ- ข้อสังเกตต่อไปนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อชี้แจง ชุดคืออะไรแต่ไม่ได้มุ่งหมายที่จะกำหนดมัน

เซต คือ ของสะสม เซต ของสะสมที่รวมกันตามลักษณะบางอย่างหรือตามกฎเกณฑ์บางอย่าง แนวคิดเรื่องฉากเกิดขึ้นจากนามธรรม เมื่อพิจารณาถึงการรวมตัวกันของวัตถุเป็นชุด สิ่งหนึ่งจะถูกแยกออกจากความเชื่อมโยงและความสัมพันธ์ระหว่างกันทั้งหมด รายการต่างๆส่วนประกอบของเซต แต่คงไว้สำหรับอ็อบเจ็กต์ ลักษณะบุคลิกภาพ- ดังนั้นชุดที่ประกอบด้วยเหรียญห้าเหรียญและชุดที่ประกอบด้วยแอปเปิ้ลห้าลูกจึงเป็นชุดที่แตกต่างกัน ในทางกลับกัน ชุดเหรียญห้าเหรียญที่จัดเรียงเป็นวงกลมและชุดเหรียญเดียวกันที่วางทับอีกเหรียญหนึ่งเป็นชุดเดียวกัน

เรามายกตัวอย่างชุดกัน เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับจำนวนเม็ดทรายที่ประกอบกันเป็นกองทราย เกี่ยวกับจำนวนดาวเคราะห์ทั้งหมดของเรา ระบบสุริยะเกี่ยวกับชุดของคนทุกคนใน ในขณะนี้ในบ้านใด ๆ เกี่ยวกับชุดของทุกหน้าของหนังสือเล่มนี้ ในวิชาคณิตศาสตร์เรายังพบกันอยู่ตลอดเวลา ชุดต่างๆเช่น เซตของรากทั้งหมด สมการที่กำหนด,ทุกคนมากมาย ตัวเลขธรรมชาติเซตของจุดทุกจุดบนเส้น ฯลฯ

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เรียน คุณสมบัติทั่วไปเซต กล่าวคือ คุณสมบัติของเซตที่ไม่ขึ้นอยู่กับธรรมชาติของวัตถุที่เป็นส่วนประกอบ เรียกว่า ทฤษฎีเซต วินัยนี้เริ่มพัฒนาอย่างรวดเร็วใน ปลาย XIXและต้นศตวรรษที่ 20 ผู้ก่อตั้ง ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ชุด - นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันก.กันเตอร์.

งานของคันทอร์เกี่ยวกับทฤษฎีเซตเกิดขึ้นจากการพิจารณาคำถามเรื่องการลู่เข้า อนุกรมตรีโกณมิติ- นี่เป็นปรากฏการณ์ที่พบบ่อยมาก: มักจะพิจารณาถึงความเฉพาะเจาะจงมาก ปัญหาทางคณิตศาสตร์นำไปสู่การสร้างนามธรรมและ ทฤษฎีทั่วไป- ความสำคัญของสิ่งก่อสร้างที่เป็นนามธรรมนั้นพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันเกี่ยวข้องไม่เพียงแต่กับสิ่งนั้นเท่านั้น งานเฉพาะที่พวกเขาเติบโตแต่ก็มีการประยุกต์ในเรื่องอื่นๆอีกมากมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นี่เป็นกรณีของทฤษฎีเซตอย่างแน่นอน แนวคิดและแนวความคิดของทฤษฎีเซตเจาะลึกคณิตศาสตร์ทุกแขนงอย่างแท้จริง และได้เปลี่ยนโฉมหน้าของมันไปอย่างมาก ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะได้แนวคิดที่ถูกต้องเกี่ยวกับคณิตศาสตร์สมัยใหม่โดยไม่ต้องทำความคุ้นเคยกับองค์ประกอบของทฤษฎีเซต โดยเฉพาะ คุ้มค่ามากได้กำหนดทฤษฎีสำหรับทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรจริง

เซตจะถือว่ามอบให้หากเกี่ยวกับวัตถุใด ๆ ที่สามารถพูดได้ว่าเป็นของเซตหรือไม่เป็นส่วนหนึ่งของเซตนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง เซตจะถูกกำหนดโดยคุณสมบัติของวัตถุทั้งหมดที่อยู่ในเซตนั้น หากเซต \(M\) ประกอบด้วยอ็อบเจ็กต์ \(a,\,b,\,c,\,\ldots\) และเฉพาะอ็อบเจ็กต์เหล่านี้เท่านั้น เราก็จะเขียน

\(M=\(ก,\,ข,\,ค,\,\ldots\)\)

วัตถุที่ประกอบเป็นเซตมักเรียกว่าองค์ประกอบ ความจริงที่ว่าวัตถุ m เป็นองค์ประกอบของเซต \(M\) ถูกเขียนในรูปแบบ

\(\ใหญ่(m\ใน M)\)

และอ่านว่า: “\(m\) เป็นของ \(M\)” หรือ “\(m\) เป็นองค์ประกอบของ \(M\)” หากวัตถุ \(m\) ไม่ได้อยู่ในชุด \(M\) พวกเขาก็เขียน: \(m\notin M\) แต่ละวัตถุสามารถทำหน้าที่เป็นเพียงองค์ประกอบเดียวของชุดที่กำหนด กล่าวคือ องค์ประกอบทั้งหมด (ของชุดเดียวกันจะแตกต่างกัน
จากกัน

องค์ประกอบของเซต \(M\) สามารถเป็นเซตได้เอง อย่างไรก็ตาม เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง เราต้องกำหนดให้เซต \(M\) เองไม่เป็นหนึ่งในองค์ประกอบของตัวเอง: \(M\notin M\)

ชุดที่ไม่มีองค์ประกอบเดียวเรียกว่า ชุดเปล่า- เช่น เซตของทั้งหมด รากที่แท้จริงสมการ

\(x^2+1=0\)

มี ชุดเปล่า- เซตว่างจะถูกเขียนแทนด้วย \(\varnothing\)

ถ้าสำหรับสองเซต \(M\) และ \(N\) แต่ละสมาชิก \(x\) ของเซต \(M\) ก็เป็นสมาชิกของเซต \(N\) เช่นกัน เราจะบอกว่า \(M\ ) รวมอยู่ใน \ (\) ว่า \(M\) เป็นส่วนหนึ่งของ \(N\) ว่า \(M\) เป็นส่วนย่อยของ \(M\) หรือ \(M\) มีอยู่ใน \ (ยังไม่มี\) ; สิ่งนี้เขียนเป็น

\(M\subseteq N\) หรือ \(N\supseteq M\)

ตัวอย่างเช่น ชุด \(M=\(1,2\)\) เป็นส่วนหนึ่งของชุด \(N=\(1,2,3\)\)

เห็นได้ชัดว่ามี \(M\subseteq M\) อยู่เสมอ จะสะดวกที่จะถือว่าเซตว่างเป็นส่วนหนึ่งของเซตใดๆ

สองชุด เท่ากันหากประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกัน ตัวอย่างเช่น เซตรากของสมการ \(x^2-3x+2=0\) และเซต \(M=\(1,2\)\) มีค่าเท่ากัน

เรามากำหนดกัน กฎการดำเนินงานในชุด.

ยูเนี่ยนหรือผลรวมของเซต

ให้มีชุด \(M,N,P,\ldots\) สหภาพหรือผลรวมของเซตเหล่านี้คือเซต \(X\) ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดที่เป็นของ “ผลรวม” อย่างน้อยหนึ่งรายการ

\(X=M+N+P+\ldots\) หรือ \(X=M\ถ้วย N\ถ้วย P\ถ้วย\ldots\)

ยิ่งกว่านั้น แม้ว่าองค์ประกอบ \(x\) จะอยู่ในหลายพจน์ แต่ก็ปรากฏในผลรวม \(M\) เพียงครั้งเดียว มันชัดเจนว่า

\(ม+ม=ม\คัพ M=ม\)

และถ้า \(M\subseteq N\) แล้ว

\(M+N=M\คัพ N=N\)

จุดตัดของชุด

โดยการข้ามหรือ ส่วนทั่วไปชุด \(M,N,P,\ldots\) เรียกว่าเซต \(Y\) ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดที่เป็นของเซตทั้งหมด \(M,N,P,\ldots\) พร้อมกัน

เป็นที่ชัดเจนว่า \(M\cdot M=M\) และถ้า \(M\subseteq N\) แล้ว \(M\cdot N=M\)

ถ้าจุดตัดของเซต \(M\) และ \(N\) ว่างเปล่า: \(M\cdot N=\varnothing\) แล้วเซตเหล่านี้จะถูกกล่าวว่าเป็น อย่าตัดกัน.

เพื่อแสดงถึงการดำเนินการของผลรวมและจุดตัดของเซต ให้ใช้เครื่องหมาย \(\textstyle(\sum)\) และ \(\textstyle(\prod)\) เช่นกัน ดังนั้น,

\(E=\sum E_i\) คือผลรวมของเซต \(E_i\) และ \(F=\prod E_i\) คือจุดตัดกัน

\(ม(N+P)=MN+MP,\)

เช่นเดียวกับตามกฎหมาย

\(ม+NP=(ม+น)(ม+พี).\)

กำหนดความแตกต่าง

ผลต่างของสองเซต \(M\) และ \(N\) คือเซต \(Z\) ขององค์ประกอบทั้งหมดจาก \(Z\) ที่ไม่ได้อยู่ใน \(N\):

\(Z=M-N\) หรือ \(Z=M\setminus N\)

ถ้า \(N\subseteq M\) ดังนั้นความแตกต่าง \(Z=M\setminus N=M-N\) ก็ถูกเรียกว่าส่วนเสริมของเซต \(N\) เทียบกับ \(M\)

ไม่ใช่เรื่องยากที่จะแสดงให้เห็นว่าเป็นเช่นนั้นเสมอไป

\(M(N-P)=MN-MP\) และ \((M-N)+MN=M.\)

ดังนั้นกฎสำหรับการปฏิบัติงานในฉากจึงแตกต่างอย่างมากจาก กฎปกติเลขคณิต

เซตจำกัดและเซตอนันต์

เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกจำนวนจำกัดเรียกว่าเซตจำกัด หากจำนวนองค์ประกอบของเซตไม่ จำกัด เซตดังกล่าวจะเรียกว่าอนันต์ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดเป็นอนันต์

ลองพิจารณาสองชุด \(M\) และ \(N\) และถามคำถามว่าจำนวนองค์ประกอบในชุดเหล่านี้เท่ากันหรือไม่

ถ้าเซต \(M\) มีจำกัด จำนวนขององค์ประกอบจะมีลักษณะเฉพาะด้วยจำนวนธรรมชาติ - จำนวนขององค์ประกอบ ในกรณีนี้ เพื่อเปรียบเทียบจำนวนองค์ประกอบของเซต \(M\) และ \(N\) ก็เพียงพอที่จะนับจำนวนองค์ประกอบใน \(M\) จำนวนองค์ประกอบใน \(N\ ) และเปรียบเทียบตัวเลขผลลัพธ์ เป็นเรื่องปกติที่จะสมมุติว่าถ้าเซตใดเซตหนึ่ง \(M\) และ \(N\) มีขอบเขตจำกัด และอีกเซตหนึ่งไม่มีที่สิ้นสุด แสดงว่าเซตอนันต์ประกอบด้วย องค์ประกอบเพิ่มเติมกว่าอันสุดท้าย

อย่างไรก็ตาม ถ้าทั้งสองเซต \(M\) และ \(N\) ไม่มีที่สิ้นสุด การนับองค์ประกอบเพียงอย่างเดียวจะไม่ให้ผลอะไรเลย ดังนั้นคำถามต่อไปนี้จึงเกิดขึ้นทันที: คือทุกสิ่ง ชุดอนันต์มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน หรือมีเซตอนันต์ที่มีสมาชิกมากขึ้นเรื่อยๆ หรือไม่? หากค่าที่สองเป็นจริง เราจะเปรียบเทียบจำนวนสมาชิกในเซตอนันต์ได้อย่างไร ตอนนี้เราจะจัดการกับคำถามเหล่านี้

การจับคู่ชุดแบบตัวต่อตัว

ให้อีกครั้ง \(M\) และ \(N\) เป็นเซตจำกัดสองชุด จะรู้ได้อย่างไรว่าชุดใดมีองค์ประกอบมากกว่าโดยไม่นับจำนวนองค์ประกอบในแต่ละชุด ในการทำเช่นนี้ เราจะสร้างคู่โดยการรวมองค์ประกอบหนึ่งจาก \(M\) และองค์ประกอบหนึ่งจาก \(N\) ให้เป็นคู่กัน จากนั้น หากองค์ประกอบบางส่วนจาก \(M\) ไม่มีองค์ประกอบที่จับคู่จาก \(N\) ดังนั้น \(M\) มีองค์ประกอบมากกว่า \(N\) ให้เราอธิบายเหตุผลนี้ด้วยตัวอย่าง

ให้มีคนจำนวนหนึ่งและเก้าอี้จำนวนหนึ่งอยู่ในห้องโถง หากต้องการทราบว่ามีอะไรเพิ่มเติม เพียงขอให้ผู้คนนั่งลง ถ้ามีคนถูกทิ้งไว้โดยไม่มีที่นั่ง ก็แสดงว่ามีคนมากขึ้น และถ้าสมมติว่า ทุกคนนั่งและที่นั่งเต็ม ก็แสดงว่ามีคนจำนวนมากพอๆ กับเก้าอี้ วิธีการที่อธิบายไว้ในการเปรียบเทียบจำนวนองค์ประกอบในชุดมีข้อได้เปรียบเหนือการนับองค์ประกอบโดยตรง ซึ่งสามารถนำมาใช้โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงพิเศษใดๆ ไม่เพียงแต่กับเซตที่มีจำกัดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดด้วย

พิจารณาเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด

\(M=\(1,\,2,\,3,\,4,\,\ldots\)\)

และเซตของเลขคู่ทั้งหมด

\(N=\(2,\,4,\,6,\,8,\,\ldots\)\)

ชุดไหนมีองค์ประกอบมากกว่ากัน? เมื่อมองแวบแรกดูเหมือนว่าเป็นครั้งแรก อย่างไรก็ตาม เราสามารถสร้างคู่จากองค์ประกอบของเซตเหล่านี้ได้ดังนี้

ตารางที่ 1

\((\สี(สีน้ำเงิน)\begin(array)(c|c|c|c|c|c) (\สี(สีดำ)M) &(\สี(สีดำ)1) &(\สี(สีดำ) 2) &(\สี(สีดำ)3) &(\สี(สีดำ)4) &(\สี(สีดำ)\cdots)\\\hline (\สี(สีดำ)N) &(\สี(สีดำ)2 ) &(\สี(สีดำ)4) &(\สี(สีดำ)6) &(\สี(สีดำ)8) &(\สี(สีดำ)\cdots) \end(อาร์เรย์))\)

ไม่มีองค์ประกอบของ \(M\) และไม่มีองค์ประกอบของ \(N\) เหลืออยู่โดยไม่มีคู่ จริงอยู่ เราสามารถสร้างคู่เช่นนี้ได้:

ตารางที่ 2

\((\color(blue)\begin(array)(c|c|c|c|c|c|c) (\color(black)M)&(\color(black)1)&(\color( สีดำ)2)&(\สี(สีดำ)3)&(\สี(สีดำ)4)&(\สี(สีดำ)5)&(\สี(สีดำ)\cdots)\\\hline (\สี(สีดำ) )N)&(\สี(สีดำ)-)&(\สี(สีดำ)2)&(\สี(สีดำ)-)&(\สี(สีดำ)4)&(\สี(สีดำ)-)&( \color(black)\cdots) \end(array))\)

จากนั้นองค์ประกอบจำนวนมากจาก \(M\) จะเหลืออยู่โดยไม่มีคู่ ในทางกลับกัน เราสามารถสร้างคู่ได้ดังนี้:

ตารางที่ 3

\((\color(blue)\begin(array)(c|c|c|c|c|c|c|c|c) (\color(สีดำ)M)&(\สี(สีดำ)-)& (\สี(สีดำ)1)&(\สี(สีดำ)-)&(\สี(สีดำ)2)&(\สี(สีดำ)-)&(\สี(สีดำ)3)&(\สี(สีดำ) )-)&(\สี(สีดำ)\cdots)\\\hline (\สี(สีดำ)N)&(\สี(สีดำ)2)&(\สี(สีดำ)4)&(\สี(สีดำ) 6)&(\สี(สีดำ)8)&(\สี(สีดำ)10)&(\สี(สีดำ)12)&(\สี(สีดำ)14)&(\สี(สีดำ)\cdots) \end (อาร์เรย์))\)

ตอนนี้องค์ประกอบหลายอย่างจาก \(M\) ยังคงไม่มีคู่

ดังนั้น ถ้าเซต \(A\) และ \(B\) ไม่มีที่สิ้นสุด ในรูปแบบต่างๆการก่อตัวของคู่จะสอดคล้องกับผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน หากมีวิธีการสร้างคู่โดยที่แต่ละองค์ประกอบ \(A\) และแต่ละองค์ประกอบ \(B\) มีองค์ประกอบที่จับคู่ เราจะบอกว่าระหว่างเซต \(A\) และ \(B\) มันเป็น เป็นไปได้ที่จะจัดตั้ง การติดต่อสื่อสารแบบตัวต่อตัว- ตัวอย่างเช่น ระหว่างเซต \(M\) และ \(N\) ที่พิจารณาข้างต้น เราสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งได้ ดังที่
นี้สามารถเห็นได้จากตาราง 1.

ถ้าสามารถสร้างการติดต่อแบบตัวต่อตัวระหว่างเซต \(A\) และ \(B\) ได้ ก็จะกล่าวได้ว่า เดียวกันจำนวนองค์ประกอบหรือ มีพลังไม่แพ้กัน- ถ้า ณ ใดๆวิธีการสร้างคู่ องค์ประกอบบางตัวจาก \(A\) จะคงอยู่โดยไม่มีคู่เสมอ จากนั้นเราจะบอกว่าเซต \(A\) มีองค์ประกอบมากกว่า \(B\) หรือเซต \(A\) มีมากกว่า จำนวนสมาชิกมากกว่า \(B\)

ดังนั้นเราจึงได้รับคำตอบสำหรับคำถามข้อหนึ่งข้างต้น: วิธีเปรียบเทียบจำนวนองค์ประกอบในเซตอนันต์ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้ทำให้เราเข้าใกล้การตอบคำถามอื่นมากขึ้นไปอีก: เซตอนันต์มีอยู่จริงหรือไม่? มีอำนาจต่างกันเหรอ? หากต้องการคำตอบสำหรับคำถามนี้ ให้เราตรวจสอบเซตอนันต์ประเภทที่ง่ายที่สุดบางประเภท

ชุดนับได้ หากเป็นไปได้ที่จะสร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างองค์ประกอบของเซต \(A\) และองค์ประกอบของเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด

\(Z=\(1,\,2,\,3,\,\ldots\),\)

แล้วเขาก็บอกว่าเซต \(A\) นับได้- กล่าวอีกนัยหนึ่ง เซต \(A\) สามารถนับได้หากสมาชิกทั้งหมดของเซตสามารถแจกแจงได้โดยใช้ตัวเลขธรรมชาติ กล่าวคือ เขียนในรูปแบบ ลำดับ

\(a_1,~a_2,~\ldots,~a_n,~\ldots\)

ตารางที่ 1 แสดงว่าเซตของเลขคู่ทั้งหมดสามารถนับได้ (ขณะนี้เลขบนถือเป็นเลขของเลขล่างที่สอดคล้องกัน)

กล่าวคือ เซตนับได้นั้นเป็นเซตที่เล็กที่สุดของเซตอนันต์ โดยเซตอนันต์ทุกเซตจะมีเซตย่อยที่นับได้

หากเซตจำกัดที่ไม่ว่างสองเซตไม่ตัดกัน ผลรวมของเซตดังกล่าวจะมีองค์ประกอบมากกว่าแต่ละเทอม สำหรับเซตอนันต์กฎนี้อาจใช้ไม่ได้ โดยแท้จริงแล้ว ให้ \(G\) เป็นเซตของเลขคู่ทั้งหมด \(H\) เซตของเลขคี่ทั้งหมด และ \(Z\) เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ดังที่ตารางที่ 4 แสดง เซต \(G\) และ \(H\) สามารถนับได้ อย่างไรก็ตาม เซต \(Z=G+H\) สามารถนับได้อีกครั้ง

ตารางที่ 4

\((\color(blue)\begin(array)(c|c|c|c|c|c) (\color(black)G)&(\color(black)2)&(\color(สีดำ) 4)&(\สี(สีดำ)6)&(\สี(สีดำ)8)&(\สี(สีดำ)\cdots)\\\hline (\สี(สีดำ)H)&(\สี(สีดำ)1 )&(\สี(สีดำ)3)&(\สี(สีดำ)5)&(\สี(สีดำ)7)&(\สี(สีดำ)\cdots)\\\hline (\สี(สีดำ)Z) &(\สี(สีดำ)1)&(\สี(สีดำ)2)&(\สี(สีดำ)3)&(\สี(สีดำ)4)&(\สี(สีดำ)\cdots) \end(อาร์เรย์ ))\)

การละเมิดกฎ "ส่วนทั้งหมดมากกว่าส่วน" สำหรับเซตอนันต์แสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติของเซตอนันต์นั้นแตกต่างในเชิงคุณภาพจากคุณสมบัติของเซตจำกัด การเปลี่ยนจากขอบเขตจำกัดไปสู่ขอบเขตไม่มีที่สิ้นสุดนั้นมาพร้อมกับข้อตกลงเต็มรูปแบบกับจุดยืนของวิภาษวิธีที่รู้จักกันดี - การเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพคุณสมบัติ.

มาพิสูจน์กัน ชุดทั้งหมด จำนวนตรรกยะนับได้- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะจัดเรียงจำนวนตรรกยะทั้งหมดในตารางต่อไปนี้:

ตารางที่ 5

\(\)

บรรทัดแรกประกอบด้วยตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดโดยเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก บรรทัดที่สองประกอบด้วย 0 และจำนวนเต็ม ตัวเลขติดลบตามลำดับจากมากไปน้อยในบรรทัดที่สาม - บวก เศษส่วนที่ลดไม่ได้โดยมีตัวส่วน 2 ตามลำดับจากน้อยไปหามากในแถวที่สี่ - เศษส่วนที่ลดไม่ได้ที่เป็นลบโดยมีตัวส่วน 2 ตามลำดับจากมากไปน้อย ฯลฯ เป็นที่ชัดเจนว่าจำนวนตรรกยะแต่ละตัวจะปรากฏเพียงครั้งเดียวและเพียงครั้งเดียวในตารางนี้ เรามานับใหม่กันเถอะ
ตัวเลขทั้งหมดในตารางนี้เรียงตามลูกศร จากนั้นจำนวนตรรกยะทั้งหมดจะเรียงตามลำดับเดียว:

จำนวนที่นั่งที่ถูกครอบครอง
จำนวนตรรกยะ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - -
จำนวนตรรกยะ 1 2, O, 3, - 1, 4 -2 _

วิธีนี้จะสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจำนวนตรรกยะทั้งหมดกับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ดังนั้นเซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดจึงสามารถนับได้

ชุดพลังต่อเนื่อง

หากเป็นไปได้ที่จะสร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างองค์ประกอบของเซต \(M\) และจุดของเซ็กเมนต์ \(0\leqslant x\leqslant1\) ดังนั้นเซต \(M\) จะเป็น บอกว่ามี พลังต่อเนื่อง- โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตามคำจำกัดความนี้ เซตของจุดของส่วน \(0\leqslant x\leqslant1\) นั้นมีภาวะเชิงการนับของความต่อเนื่อง

จากรูป 1 เห็นได้ชัดว่าเซตของจุดของส่วนใดๆ \(AB\) มีภาวะเชิงการนับของความต่อเนื่อง ที่นี่ การติดต่อแบบตัวต่อตัวถูกสร้างขึ้นในเชิงเรขาคณิตผ่านการออกแบบ

มันง่ายที่จะแสดงว่าเซตของจุดของช่วงใดๆ \(x\in\) และเส้นจำนวนทั้งหมด \(x\in[-\infty,+\infty]\) มีภาวะเชิงการนับเป็นความต่อเนื่อง

ข้อเท็จจริงนี้น่าสนใจกว่ามาก: เซตของจุดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส \(0\leqslant x\leqslant1,\) \(0\leqslant y\leqslant1\) มีภาวะเชิงการนับของความต่อเนื่อง ดังนั้น พูดคร่าวๆ ก็คือ มีจุด "มาก" ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสพอๆ กับที่มีในส่วนนั้น

Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
หากต้องการคำนวณ คุณต้องเปิดใช้งานตัวควบคุม ActiveX!

จากหลากหลายชนิดมากมาย ชุด ดอกเบี้ยพิเศษเป็นตัวแทนของสิ่งที่เรียกว่า ชุดตัวเลข นั่นคือเซตที่มีองค์ประกอบเป็นตัวเลข เห็นได้ชัดว่าในการทำงานกับพวกเขาอย่างสบายใจ คุณจะต้องสามารถจดบันทึกไว้ได้ เราจะเริ่มบทความนี้ด้วยสัญกรณ์และหลักการเขียนเซตตัวเลข ต่อไป มาดูวิธีการแสดงชุดตัวเลขบนเส้นพิกัด

การนำทางหน้า

การเขียนชุดตัวเลข

เริ่มต้นด้วย สัญกรณ์ที่ยอมรับ- ดังที่คุณทราบ ตัวพิมพ์ใหญ่ใช้เพื่อแสดงถึงชุด ตัวอักษรละติน- ชุดตัวเลขเช่น กรณีพิเศษชุดยังแสดงด้วย ตัวอย่างเช่น เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับชุดตัวเลข A, H, W เป็นต้น สิ่งที่สำคัญที่สุดคือเซตของธรรมชาติ จำนวนเต็ม ตรรกยะ จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อนฯลฯ ได้มีการนำเอาการกำหนดของตนเองมาใช้:

N – เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด
Z – เซตของจำนวนเต็ม
Q – เซตของจำนวนตรรกยะ
เจ – เซ็ต ตัวเลขอตรรกยะ;
R – ตั้งค่า ตัวเลขจริง;
C คือเซตของจำนวนเชิงซ้อน

จากตรงนี้ ชัดเจนว่าคุณไม่ควรแทนเซตที่ประกอบด้วยตัวเลข 5 และ −7 สองตัวเป็น Q การกำหนดนี้จะทำให้เข้าใจผิด เนื่องจากตัวอักษร Q มักจะหมายถึงเซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด หากต้องการแสดงชุดตัวเลขที่ระบุ ควรใช้ตัวอักษร "เป็นกลาง" อื่น ๆ เช่น A

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงสัญลักษณ์ ขอให้เรานึกถึงสัญลักษณ์ของเซตว่างด้วย นั่นคือเซตที่ไม่มีองค์ประกอบ แสดงด้วยเครื่องหมาย ∅

ให้เรานึกถึงการกำหนดว่าองค์ประกอบนั้นอยู่ในชุดหรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้เครื่องหมาย ∈ - เป็นของ และ ∉ - ไม่เป็นของ ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์ 5∈N หมายความว่าตัวเลข 5 เป็นของเซตของจำนวนธรรมชาติ และ 5,7∉Z – ทศนิยม 5,7 ไม่ได้อยู่ในเซตของจำนวนเต็ม

และให้เราจำสัญกรณ์ที่ใช้ในการรวมชุดหนึ่งเข้าไว้ในอีกชุดหนึ่งด้วย เห็นได้ชัดว่าองค์ประกอบทั้งหมดของเซต N รวมอยู่ในเซต Z ดังนั้นหมายเลขเซต N จึงรวมอยู่ใน Z ซึ่งแสดงเป็น N⊂Z คุณยังสามารถใช้สัญลักษณ์ Z⊃N ซึ่งหมายความว่าเซตของจำนวนเต็ม Z ทั้งหมดจะมีเซต N ด้วย ความสัมพันธ์ที่ไม่รวมและไม่รวมจะถูกระบุด้วย ⊄ และ ตามลำดับ เครื่องหมายการรวมแบบไม่เข้มงวดของแบบฟอร์ม ⊆ และ ⊇ ก็ใช้เช่นกัน ซึ่งหมายถึง รวม หรือ เกิดขึ้นพร้อมกัน และ รวมถึง หรือ เกิดขึ้นพร้อมกัน ตามลำดับ

เราได้พูดคุยเกี่ยวกับสัญกรณ์แล้ว มาดูคำอธิบายของเซตตัวเลขกันดีกว่า ในกรณีนี้เราจะกล่าวถึงเฉพาะกรณีหลักที่ใช้บ่อยที่สุดในทางปฏิบัติเท่านั้น

เริ่มจากชุดตัวเลขที่มีองค์ประกอบจำนวนจำกัดและจำนวนน้อย สะดวกในการอธิบายชุดตัวเลขที่ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนจำกัดโดยการแสดงรายการองค์ประกอบทั้งหมด องค์ประกอบตัวเลขทั้งหมดเขียนโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคและปิดล้อมด้วย ซึ่งสอดคล้องกับองค์ประกอบทั่วไป กฎสำหรับการอธิบายชุด- ตัวอย่างเช่น ชุดที่ประกอบด้วยตัวเลข 0, −0.25 และ 4/7 สามตัวสามารถอธิบายได้เป็น (0, −0.25, 4/7)

บางครั้ง เมื่อจำนวนองค์ประกอบของชุดตัวเลขค่อนข้างมาก แต่องค์ประกอบเป็นไปตามรูปแบบที่กำหนด ก็จะใช้จุดไข่ปลาเพื่ออธิบาย ตัวอย่างเช่น เซตของเลขคี่ทั้งหมดตั้งแต่ 3 ถึง 99 สามารถเขียนได้เป็น (3, 5, 7, ..., 99)

ดังนั้นเราจึงเข้าใกล้คำอธิบายของชุดตัวเลขอย่างราบรื่นจำนวนองค์ประกอบที่ไม่มีที่สิ้นสุด บางครั้งสามารถอธิบายได้โดยใช้วงรีเดียวกันทั้งหมด ตัวอย่างเช่น อธิบายเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด: N=(1, 2. 3, …)

พวกเขายังใช้คำอธิบายของชุดตัวเลขโดยระบุคุณสมบัติขององค์ประกอบต่างๆ ในกรณีนี้ จะใช้สัญกรณ์ (x| properties) ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์ (n| 8·n+3, n∈N) ระบุเซตของจำนวนธรรมชาติที่เมื่อหารด้วย 8 จะเหลือเศษ 3 ชุดเดียวกันนี้สามารถอธิบายได้ว่าเป็น (11,19, 27, ...)

ในกรณีพิเศษ เซตตัวเลขที่มีจำนวนองค์ประกอบไม่สิ้นสุดคือเซตที่รู้จัก เช่น เซต N, Z, R เป็นต้น หรือ ช่วงเวลาตัวเลข- โดยพื้นฐานแล้ว ชุดตัวเลขจะแสดงเป็น สมาคมส่วนประกอบของช่วงตัวเลขและชุดตัวเลขที่มีองค์ประกอบจำนวนจำกัด (ซึ่งเราพูดถึงข้างต้น)

ลองแสดงตัวอย่าง ให้ชุดตัวเลขประกอบด้วยตัวเลข −10, −9, −8.56, 0 ตัวเลขทั้งหมดของเซกเมนต์ [−5, −1,3] และตัวเลขของเส้นจำนวนเปิด (7, +∞) เนื่องจากนิยามของการรวมกันของเซต ทำให้เซตตัวเลขที่ระบุสามารถเขียนเป็นได้ {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) - สัญกรณ์นี้จริงๆ แล้วหมายถึงเซตที่มีสมาชิกทุกตัวของเซต (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] และ (7, +∞)

ในทำนองเดียวกัน เมื่อรวมช่วงจำนวนต่างๆ และชุดของตัวเลขแต่ละตัวเข้าด้วยกัน จึงสามารถอธิบายชุดตัวเลขใดๆ (ที่ประกอบด้วยจำนวนจริง) ได้ ที่นี่จะชัดเจนว่าทำไมช่วงเวลาตัวเลขประเภทดังกล่าวเป็นช่วงเวลา, ครึ่งช่วง, ส่วน, เปิด ลำแสงจำนวนและรังสีตัวเลข: ทั้งหมดนี้ประกอบกับสัญลักษณ์สำหรับชุดตัวเลขแต่ละชุด ทำให้สามารถอธิบายชุดตัวเลขใดๆ ผ่านการรวมกันได้

โปรดทราบว่าเมื่อเขียนชุดตัวเลข ตัวเลขที่เป็นส่วนประกอบและช่วงตัวเลขจะเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก นี่ไม่ใช่เงื่อนไขที่จำเป็นแต่เป็นที่ต้องการ เนื่องจากชุดตัวเลขที่เรียงลำดับจะง่ายต่อการจินตนาการและพรรณนาบนเส้นพิกัด โปรดทราบว่าบันทึกดังกล่าวไม่ได้ใช้ช่วงตัวเลขด้วย องค์ประกอบทั่วไปเนื่องจากบันทึกดังกล่าวสามารถถูกแทนที่ด้วยการรวมช่วงตัวเลขโดยไม่มีองค์ประกอบร่วมกัน ตัวอย่างเช่น การรวมกันของชุดตัวเลขที่มีองค์ประกอบร่วม [−10, 0] และ (−5, 3) คือช่วงครึ่งเวลา [−10, 3) เช่นเดียวกับการรวมกันของช่วงเวลาตัวเลขที่มีขอบเขตเดียวกันตัวอย่างเช่นสหภาพ (3, 5]∪(5, 7] เป็นเซต (3, 7] เราจะอาศัยสิ่งนี้แยกกันเมื่อเราเรียนรู้ที่จะ หาจุดตัดและการรวมกันของชุดตัวเลข

การแสดงชุดตัวเลขบนเส้นพิกัด

ในทางปฏิบัติ จะสะดวกในการใช้ภาพเรขาคณิตของชุดตัวเลข - เปิดภาพ เช่น เมื่อใด การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันซึ่งจำเป็นต้องคำนึงถึง ODZ จึงจำเป็นต้องพรรณนาชุดตัวเลขเพื่อค้นหาจุดตัดและ/หรือการรวม ดังนั้นจึงมีประโยชน์ที่จะมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับความแตกต่างทั้งหมดของการแสดงชุดตัวเลขบนเส้นพิกัด

เป็นที่ทราบกันดีว่ามีการติดต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดของเส้นพิกัดกับจำนวนจริง ซึ่งหมายความว่าเส้นพิกัดนั้นเป็นแบบจำลองทางเรขาคณิตของเซตของจำนวนจริงทั้งหมด R ดังนั้น ในการพรรณนาชุดของจำนวนจริงทั้งหมด คุณต้องวาดเส้นพิกัดโดยแรเงาตามความยาวทั้งหมด:

และบ่อยครั้งพวกเขาไม่ได้ระบุที่มาและส่วนของหน่วยด้วยซ้ำ:

ทีนี้เรามาพูดถึงภาพของชุดตัวเลขที่เป็นตัวแทนบางส่วนกัน หมายเลขสุดท้ายหมายเลขส่วนบุคคล ตัวอย่างเช่น ลองพรรณนาชุดตัวเลข (−2, −0.5, 1.2) ภาพเรขาคณิตของชุดนี้ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขสามตัว −2, −0.5 และ 1.2 จะเป็นจุดสามจุดของเส้นพิกัดที่มีพิกัดที่สอดคล้องกัน:

โปรดทราบว่าโดยปกติแล้วเพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติไม่จำเป็นต้องวาดภาพอย่างแน่นอน บ่อยครั้งที่การวาดแผนผังก็เพียงพอแล้ว ซึ่งหมายความว่าไม่จำเป็นต้องรักษามาตราส่วน และสิ่งสำคัญคือต้องรักษาไว้เท่านั้น ตำแหน่งสัมพัทธ์จุดสัมพันธ์กัน: จุดใดๆ ที่มีพิกัดเล็กกว่าจะต้องอยู่ทางด้านซ้ายของจุดที่มีพิกัดใหญ่กว่า ภาพวาดก่อนหน้าจะมีลักษณะเป็นแผนผังดังนี้:

แยกช่วงตัวเลข (ช่วง ช่วงครึ่ง ช่วงรังสี ฯลฯ) ออกจากชุดตัวเลขทุกประเภท ซึ่งแสดงถึงภาพเรขาคณิต เราตรวจสอบรายละเอียดในส่วนนี้ เราจะไม่พูดซ้ำตัวเองที่นี่

และยังคงเป็นเพียงการอาศัยภาพของชุดตัวเลขซึ่งเป็นการรวมกันของช่วงตัวเลขและชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขแต่ละตัว ไม่มีอะไรยุ่งยากที่นี่: ตามความหมายของสหภาพในกรณีเหล่านี้ บนเส้นพิกัดจำเป็นต้องพรรณนาส่วนประกอบทั้งหมดของชุดของชุดตัวเลขที่กำหนด เป็นตัวอย่าง เราจะแสดงรูปภาพของชุดตัวเลข (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (บันทึก 2 5, 5)∪(17, +∞) :

และให้เราพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อชุดตัวเลขที่แสดงแทนชุดจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจุดหนึ่งจุดหรือหลายจุด ชุดดังกล่าวมักจะระบุตามเงื่อนไขเช่น x≠5 หรือ x≠−1, x≠2, x≠3.7 เป็นต้น ในกรณีเหล่านี้ เส้นพิกัดจะแสดงเส้นพิกัดทั้งหมดในทางเรขาคณิต ยกเว้น จุดที่สอดคล้องกัน- กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดเหล่านี้จะต้อง "ดึงออก" ออกจากเส้นพิกัด มีลักษณะเป็นวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางว่างเปล่า เพื่อความชัดเจน ให้เราพรรณนาชุดตัวเลขที่สอดคล้องกับเงื่อนไข (ชุดนี้มีอยู่แล้ว):

มาสรุปกัน ข้อมูลตามอุดมคติ ย่อหน้าก่อนหน้าควรสร้างมุมมองเดียวกันในการบันทึกและการแทนชุดตัวเลขเป็นมุมมองในแต่ละช่วงตัวเลข การบันทึกชุดตัวเลขควรให้ภาพบนเส้นพิกัดทันที และจากภาพบนเส้นพิกัดเราควรพร้อมที่จะ อธิบายชุดตัวเลขที่สอดคล้องกันได้อย่างง่ายดายผ่านช่วงแต่ละช่วงของสหภาพและชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขแต่ละตัว

อ้างอิง.

พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียน สถาบันการศึกษา/ A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - ฉบับที่ 13 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2011. - 222 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01752-3.

มากมายคือเซตของวัตถุใดๆ ที่เรียกว่า องค์ประกอบของเซตนี้

ตัวอย่างเช่น: เด็กนักเรียนมากมาย รถหลายคัน ตัวเลขมากมาย .

ในทางคณิตศาสตร์ เซตถือว่ากว้างกว่ามาก เราจะไม่เจาะลึกหัวข้อนี้มากเกินไปเนื่องจากเกี่ยวข้องกับเรื่องนี้ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นและอาจสร้างความยุ่งยากในการเรียนรู้ในช่วงแรก เราจะพิจารณาเฉพาะส่วนหนึ่งของหัวข้อที่เราได้จัดการไปแล้วเท่านั้น

เนื้อหาบทเรียน

การกำหนด

ชุดส่วนใหญ่มักแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ของอักษรละตินและองค์ประกอบของชุดนั้น - ด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็ก ในกรณีนี้ องค์ประกอบจะอยู่ในวงเล็บปีกกา

เช่น ถ้าเพื่อนของเราชื่อ ทอม จอห์น และลีโอ จากนั้นเราสามารถกำหนดกลุ่มเพื่อนที่จะองค์ประกอบได้ ทอม จอห์น และลีโอ

เรามาแทนเพื่อนของเราหลายคนโดยใช้อักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ เอฟ(เพื่อน) จากนั้นใส่เครื่องหมายเท่ากับและระบุรายชื่อเพื่อนของเราในวงเล็บปีกกา:

F = (ทอม, จอห์น, ลีโอ)

ตัวอย่างที่ 2- ลองเขียนเซตตัวหารของเลข 6 กัน.

ให้เราแสดงชุดนี้ด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น ด้วยตัวอักษร ดี

จากนั้นเราใส่เครื่องหมายเท่ากับและแสดงรายการองค์ประกอบของชุดนี้ในวงเล็บปีกกา นั่นคือเราแสดงรายการตัวหารของหมายเลข 6

ง = (1, 2, 3, 6)

หากมีธาตุใดเป็นองค์ประกอบ ชุดที่ให้มาจากนั้นความเกี่ยวข้องนี้จะถูกระบุโดยใช้เครื่องหมายความเกี่ยวข้อง ∈ เช่น ตัวหาร 2 อยู่ในเซตตัวหารของเลข 6 (เซต ดี- มันเขียนแบบนี้:

อ่านว่า: “2 อยู่ในเซตตัวหารของเลข 6”

หากองค์ประกอบบางอย่างไม่ได้อยู่ในชุดที่กำหนด การไม่เป็นสมาชิกนี้จะถูกระบุโดยใช้เครื่องหมายสมาชิกที่มีเครื่องหมายกากบาท ∉ เช่น ตัวหาร 5 ไม่อยู่ในเซต ดี- มันเขียนแบบนี้:

อ่านว่า: "5 ไม่ได้เป็นของชุดตัวหารเลข 6″

นอกจากนี้ เซตสามารถเขียนได้โดยการแสดงรายการองค์ประกอบโดยตรง โดยไม่ต้องมี ตัวพิมพ์ใหญ่- วิธีนี้จะสะดวกหากชุดประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนน้อย ตัวอย่างเช่น ลองกำหนดชุดขององค์ประกอบหนึ่งชุด ให้องค์ประกอบนี้เป็นเพื่อนของเรา ปริมาณ:

( ปริมาณ )

ลองนิยามเซตที่ประกอบด้วยเลข 2 หนึ่งตัวกัน

{ 2 }

ลองกำหนดชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขสองตัว: 2 และ 5

{ 2, 5 }

เซตของจำนวนธรรมชาติ

นี่เป็นชุดแรกที่เราเริ่มทำงานด้วย ตัวเลขธรรมชาติ ได้แก่ ตัวเลข 1, 2, 3 เป็นต้น

จำนวนธรรมชาติปรากฏขึ้นเนื่องจากต้องการให้คนนับวัตถุอื่นๆ เหล่านั้น เช่น นับจำนวนไก่ วัว ม้า จำนวนธรรมชาติเกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่อทำการนับ

ในบทเรียนที่แล้วเมื่อเราใช้คำว่า "ตัวเลข"ส่วนใหญ่มักจะเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีความหมาย

ในทางคณิตศาสตร์ ชุดของจำนวนธรรมชาติจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ อักษรละติน เอ็น.

ตัวอย่างเช่น ชี้ให้เห็นว่าเลข 1 เป็นของเซตของจำนวนธรรมชาติ ในการทำเช่นนี้ เราเขียนเลข 1 จากนั้นใช้เครื่องหมายสมาชิก ∈ เพื่อระบุว่าหน่วยนั้นเป็นของเซต เอ็น

1 ∈ เอ็น

อ่านว่า: “อันหนึ่งอยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ”

เซตของจำนวนเต็ม

ชุดของจำนวนเต็มประกอบด้วยค่าบวกทั้งหมด และ รวมถึงตัวเลข 0

ชุดของจำนวนเต็มจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ ซี .

ตัวอย่างเช่น ให้เราชี้ให้เห็นว่าตัวเลข −5 เป็นของเซตของจำนวนเต็ม:

−5 ∈ ซี

ให้เราชี้ให้เห็นว่า 10 เป็นของเซตของจำนวนเต็ม:

10 ∈ ซี

ให้เราชี้ให้เห็นว่า 0 เป็นของเซตของจำนวนเต็ม:

ในอนาคตเราจะเรียกตัวเลขทั้งบวกและลบทั้งหมดเป็นวลีเดียว - จำนวนเต็ม.

เซตของจำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะเป็นจำนวนเดียวกัน เศษส่วนทั่วไปซึ่งเรายังคงศึกษาอยู่จนทุกวันนี้

จำนวนตรรกยะคือตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ ก- ตัวเศษของเศษส่วน ข- ตัวส่วน

ตัวเศษและส่วนสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ รวมทั้งจำนวนเต็มด้วย (ยกเว้นศูนย์ เนื่องจากคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้)

ตัวอย่างเช่น ลองจินตนาการถึงสิ่งนั้นแทน กคือหมายเลข 10 แต่แทน ข- หมายเลข 2

10 หารด้วย 2 เท่ากับ 5 เราจะเห็นว่าเลข 5 สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ซึ่งหมายความว่าเลข 5 จะรวมอยู่ในเซตของจำนวนตรรกยะ

เห็นได้ง่ายว่าเลข 5 ใช้กับเซตจำนวนเต็มด้วย ดังนั้นชุดของจำนวนเต็มจึงรวมอยู่ในชุดของจำนวนตรรกยะ ซึ่งหมายความว่าชุดของจำนวนตรรกยะไม่เพียงแต่จะรวมถึงเศษส่วนธรรมดาเท่านั้น แต่ยังรวมถึงจำนวนเต็มที่อยู่ในรูป −2, −1, 0, 1, 2 ด้วย

ทีนี้ลองจินตนาการแบบนั้นแทน กหมายเลขคือ 12 แต่แทน ข- หมายเลข 5

12 หารด้วย 5 เท่ากับ 2.4 เราจะเห็นว่าเศษส่วนทศนิยม 2.4 สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ซึ่งหมายความว่าจะรวมอยู่ในเซตของจำนวนตรรกยะด้วย จากนี้ เราสรุปได้ว่าชุดของจำนวนตรรกยะไม่เพียงแต่รวมถึงเศษส่วนและจำนวนเต็มธรรมดาเท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงเศษส่วนทศนิยมด้วย

เราคำนวณเศษส่วนแล้วได้คำตอบ 2.4 แต่เราสามารถเน้นเศษส่วนนี้ทั้งหมดได้:

เมื่อแยกส่วนทั้งหมดออกเป็นเศษส่วนปรากฎ หมายเลขผสม- เราเห็นว่าจำนวนคละสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้เช่นกัน ซึ่งหมายความว่าชุดของจำนวนตรรกยะจะรวมจำนวนคละด้วย

ดังนั้นเราจึงได้ข้อสรุปว่าเซตของจำนวนตรรกยะประกอบด้วย:

จำนวนเต็ม
เศษส่วนทั่วไป
ทศนิยม
ตัวเลขผสม

ชุดของจำนวนตรรกยะจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ ถาม.

ตัวอย่างเช่น เราชี้ให้เห็นว่าเศษส่วนเป็นของเซตของจำนวนตรรกยะ ในการทำเช่นนี้ เราเขียนเศษส่วนนั้นเอง จากนั้นใช้เครื่องหมายสมาชิก ∈ เพื่อระบุว่าเศษส่วนนั้นเป็นของเซตของจำนวนตรรกยะ:

∈ ถาม

ให้เราชี้ให้เห็นว่าเศษส่วนทศนิยม 4.5 เป็นของเซตของจำนวนตรรกยะ:

4,5 ∈ ถาม

ให้เราชี้ให้เห็นว่าจำนวนคละเป็นของเซตของจำนวนตรรกยะ:

∈ ถาม

บทเรียนเบื้องต้นเกี่ยวกับฉากต่างๆ เสร็จสมบูรณ์แล้ว เราจะดูฉากต่างๆ ให้ดีขึ้นมากในอนาคต แต่สำหรับตอนนี้สิ่งที่จะกล่าวถึงในบทเรียนนี้ก็เพียงพอแล้ว

คุณชอบบทเรียนหรือไม่?
เข้าร่วมกับเรา กลุ่มใหม่ VKontakte และเริ่มรับการแจ้งเตือนเกี่ยวกับบทเรียนใหม่

ในทางคณิตศาสตร์ แนวคิดเรื่องเซตเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานหลัก แต่ไม่มีคำจำกัดความของเซตเพียงข้อเดียว คำจำกัดความที่ชัดเจนที่สุดประการหนึ่งของเซตคือ เซตคือกลุ่มของวัตถุที่ชัดเจนและชัดเจนใดๆ ที่สามารถมองเป็นภาพรวมเดียวได้ ผู้สร้างทฤษฎีเซตคือ Georg Cantor นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน (1845-1918) กล่าวว่า "เซตคือหลายสิ่งที่เราคิดโดยรวม"

ตั้งค่าเป็นชนิดข้อมูลที่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสะดวกมากสำหรับการเขียนโปรแกรมที่ซับซ้อน สถานการณ์ชีวิตเนื่องจากสามารถใช้สร้างแบบจำลองวัตถุในโลกแห่งความเป็นจริงได้อย่างแม่นยำ และแสดงความสัมพันธ์เชิงตรรกะที่ซับซ้อนได้อย่างกะทัดรัด ชุดต่างๆ ใช้ในภาษาการเขียนโปรแกรม Pascal และเราจะดูตัวอย่างหนึ่งของวิธีแก้ปัญหาด้านล่าง นอกจากนี้ ตามทฤษฎีเซต แนวคิดของฐานข้อมูลเชิงสัมพันธ์ได้ถูกสร้างขึ้น และขึ้นอยู่กับการดำเนินการกับเซต - พีชคณิตเชิงสัมพันธ์และการดำเนินการ- ใช้ในภาษาคิวรีฐานข้อมูล โดยเฉพาะ SQL

ตัวอย่าง 0 (ปาสคาล)มีผลิตภัณฑ์ให้เลือกมากมายในร้านค้าหลายแห่งในเมือง พิจารณาว่ามีผลิตภัณฑ์อะไรบ้างในร้านค้าทุกแห่งในเมือง สินค้าในเมืองครบครัน

สารละลาย. เรากำหนดประเภทข้อมูลพื้นฐาน อาหาร (ผลิตภัณฑ์) โดยสามารถรับค่าที่สอดคล้องกับชื่อผลิตภัณฑ์ (เช่น hleb) เราประกาศประเภทชุด โดยจะกำหนดชุดย่อยทั้งหมดที่ประกอบด้วยค่าผสมกัน ประเภทพื้นฐานนั่นก็คือ อาหาร (ผลิตภัณฑ์) และเราสร้างชุดย่อย: ร้านค้า "Solnyshko", "Veterok", "Ogonyok" รวมถึงชุดย่อยที่ได้รับ: MinFood (ผลิตภัณฑ์ที่มีอยู่ในร้านค้าทั้งหมด), MaxFood (ผลิตภัณฑ์ครบวงจรในเมือง) ต่อไป เรากำหนดการดำเนินการเพื่อรับชุดย่อยที่ได้รับ ชุดย่อย MinFood ได้มาจากจุดตัดของชุดย่อย Solnyshko, Veterok และ Ogonyok และรวมองค์ประกอบเหล่านั้นและเฉพาะองค์ประกอบของชุดย่อยเหล่านี้ที่รวมอยู่ในแต่ละชุดย่อยเหล่านี้ (ใน Pascal การดำเนินการของจุดตัดของชุดจะแสดงแทน ด้วยเครื่องหมายดอกจัน: A * B * C การกำหนดทางคณิตศาสตร์สำหรับจุดตัดของเซตแสดงไว้ด้านล่าง ) ชุดย่อย MaxFood ได้มาจากการรวมชุดย่อยเดียวกันและรวมองค์ประกอบที่รวมอยู่ในชุดย่อยทั้งหมด (ใน Pascal การดำเนินการของชุดรวมจะแสดงด้วยเครื่องหมายบวก: A + B + C การกำหนดทางคณิตศาสตร์สำหรับชุดการรวมแสดงไว้ด้านล่าง ).

รหัส PASCAL

ร้านค้าโปรแกรม;

ประเภทอาหาร=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, น้ำตาล, maslo, ryba);

ร้านค้า = ชุดอาหาร;

var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: ร้านค้า;

เริ่ม Solnyshko:=;

เลขคู่

ฯลฯ (ชุดตัวเลขหลักจะกล่าวถึงในเนื้อหานี้)

วัตถุที่ประกอบเป็นเซตเรียกว่าองค์ประกอบ เราสามารถพูดได้ว่าเซตคือ "ถุงใส่องค์ประกอบ" สิ่งสำคัญมาก: ไม่มีองค์ประกอบที่เหมือนกันในชุด

เซตสามารถมีขอบเขตและไม่มีที่สิ้นสุด เซตจำกัดคือเซตที่มีจำนวนธรรมชาติซึ่งเป็นจำนวนสมาชิกของเซตนั้น ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนเต็มคี่ที่ไม่ใช่ค่าลบห้าตัวแรกนั้นเป็นเซตจำกัดเซตที่ไม่สิ้นสุดเรียกว่าเซตอนันต์ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดเป็นเซตอนันต์

ถ้า ม- มากมายและ ก- องค์ประกอบแล้วเขียนว่า: ก∈มซึ่งหมายความว่า " กเป็นของชุด ม".

จากตัวอย่างแรก (ศูนย์) ใน Pascal ที่มีผลิตภัณฑ์ที่มีจำหน่ายในร้านค้าบางแห่ง:

เข้าใจแล้ว∈เวเทอร็อก ,

ซึ่งหมายความว่า: องค์ประกอบ "hleb" เป็นของผลิตภัณฑ์จำนวนมากที่มีอยู่ในร้าน "VETEROK"

มีสองวิธีหลักในการกำหนดชุด: การแจงนับและคำอธิบาย

ชุดสามารถกำหนดได้โดยการแสดงองค์ประกอบทั้งหมด ตัวอย่างเช่น:

เวเทอร็อก = {เข้าใจแล้ว, ท่าน, เนย} ,

ก = {7 , 14 , 28 } .

การแจงนับสามารถกำหนดเซตจำกัดได้เท่านั้น แม้ว่าคุณจะสามารถทำได้โดยมีคำอธิบายก็ตาม แต่เซตอนันต์สามารถกำหนดได้ด้วยคำอธิบายเท่านั้น

วิธีการต่อไปนี้ใช้เพื่ออธิบายชุด อนุญาต พี(x) - คำสั่งบางคำสั่งที่อธิบายคุณสมบัติของตัวแปร xซึ่งช่วงที่เป็นเซ็ต ม- แล้วผ่าน ม = {x | พี(x)} หมายถึงชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเหล่านั้นทั้งหมดและเฉพาะองค์ประกอบเหล่านั้นซึ่งมีคำสั่ง พี(x) เป็นจริง สำนวนนี้อ่านได้ดังนี้: "มากมาย มซึ่งประกอบด้วยทั้งหมดดังกล่าว x, อะไร พี(x) ".

เช่น บันทึก

ม = {x | x² - 3 x + 2 = 0}

ตัวอย่างที่ 6จากการสำรวจผู้ซื้อในตลาด 100 รายที่ซื้อผลไม้รสเปรี้ยว ผู้ซื้อส้ม 29 ราย มะนาว - ผู้ซื้อ 30 ราย ส้มเขียวหวาน - 9 ส้มเท่านั้น - 1 ส้มและมะนาว - 10 มะนาวและส้มเขียวหวาน - 4 ทั้งสามประเภท ผลไม้ - ผู้ซื้อ 3 ราย มีลูกค้ากี่รายที่ยังไม่ได้ซื้อผลไม้รสเปรี้ยวที่แสดงไว้ที่นี่ มีลูกค้ากี่คนที่ซื้อเฉพาะมะนาว?

การทำงานของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต

เพื่อกำหนดอีกอย่างหนึ่ง การดำเนินงานที่สำคัญโอเวอร์เซ็ต - ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตเรามาแนะนำแนวคิดของชุดความยาวเรียงลำดับกัน n.

ความยาวของชุดเป็นตัวเลข nส่วนประกอบของมัน ชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบตามลำดับนี้จะแสดงแทน - ในเวลาเดียวกัน ฉัน i () องค์ประกอบที่ตั้งไว้คือ .

ตอนนี้คำจำกัดความที่เข้มงวดจะตามมาซึ่งอาจไม่ชัดเจนในทันที แต่หลังจากคำจำกัดความนี้จะมีภาพที่ชัดเจนว่าจะได้ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซ็ตต่างๆ ได้อย่างไร

ผลคูณคาร์ทีเซียน (โดยตรง) ของเซตเรียกว่าเซตที่เขียนแทนด้วย และประกอบด้วยชุดความยาวเหล่านั้นทั้งหมดเท่านั้น n, ฉัน- องค์ประกอบที่ประกอบด้วย .

ตัวอย่างเช่น ถ้า , , ,

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีเซต

แนวคิดเรื่องฉากเป็นแนวคิดพื้นฐาน คณิตศาสตร์สมัยใหม่- เราจะพิจารณาเป็นเบื้องต้นและสร้างทฤษฎีเซตอย่างสังหรณ์ใจ ให้เราอธิบายแนวคิดเริ่มต้นนี้

มากมาย– คือกลุ่มของวัตถุ (หัวเรื่องหรือแนวคิด) ซึ่งถูกมองว่าเป็นองค์รวม วัตถุที่รวมอยู่ในคอลเลกชันนี้เรียกว่า องค์ประกอบฝูงชน

เราพูดถึงนักเรียนคณิตศาสตร์ปีแรก ปลาในมหาสมุทร และอื่นๆ มากมาย นักคณิตศาสตร์มักจะสนใจชุดของวัตถุทางคณิตศาสตร์ เช่น ชุดของจำนวนตรรกยะ ชุดของสี่เหลี่ยม ฯลฯ

เราจะแสดงถึงเซต เป็นตัวพิมพ์ใหญ่ตัวอักษรละตินและองค์ประกอบมีขนาดเล็ก

ถ้าเป็นองค์ประกอบของเซต มแล้วพวกเขาก็พูดว่า "เป็นของ" ม" และเขียนว่า: . ถ้าวัตถุบางอย่างไม่ใช่องค์ประกอบของเซต ก็ถือว่า "ไม่เข้าข่าย" ม” และเขียน (บางครั้ง)

มีสองวิธีหลักในการกำหนดชุด: โอนย้ายองค์ประกอบและการบ่งชี้ของมัน คุณสมบัติลักษณะองค์ประกอบของมัน วิธีแรกจะใช้กับเซตจำกัดเป็นหลัก เมื่อแสดงรายการองค์ประกอบของชุดที่กำลังพิจารณา องค์ประกอบต่างๆ จะถูกล้อมรอบด้วยเครื่องหมายปีกกา ตัวอย่างเช่น, หมายถึงเซตที่มีองค์ประกอบเป็นตัวเลข 2, 4, 7 และมีเพียงพวกเขาเท่านั้น วิธีการนี้ใช้ไม่ได้เสมอไป เนื่องจากไม่สามารถระบุเซตของจำนวนจริงทั้งหมดด้วยวิธีนี้ได้

คุณสมบัติลักษณะ องค์ประกอบของชุด มเป็นคุณสมบัติที่ทุกองค์ประกอบที่ครอบครองคุณสมบัตินี้เป็นของ มและองค์ประกอบใด ๆ ที่ไม่มีคุณสมบัตินี้จะไม่ได้อยู่ในนั้น ม- ชุดขององค์ประกอบที่มีคุณสมบัติแสดงดังนี้:

หรือ .

ชุดที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดจะมีการกำหนดพิเศษของตัวเอง ต่อไปนี้เราจะยึดตามสัญกรณ์ต่อไปนี้:

เอ็น= – เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด

ซี= – เซตของจำนวนเต็มทั้งหมด

– เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด

ร– เซตของจำนวนจริง (จำนวนจริง) ทั้งหมด เช่น จำนวนตรรกยะ (ทศนิยมอนันต์ เศษส่วนเป็นระยะ) และจำนวนอตรรกยะ (เศษส่วนที่ไม่ใช่เศษส่วนแบบทศนิยมอนันต์)

– เซตของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด

เราจะให้มากขึ้น ตัวอย่างพิเศษการระบุชุดโดยการระบุคุณสมบัติลักษณะเฉพาะ

ตัวอย่าง 1. มากมายทุกคน ตัวหารตามธรรมชาติหมายเลข 48 สามารถเขียนได้ดังนี้: (สัญลักษณ์ใช้เฉพาะกับจำนวนเต็ม และหมายความว่าหารด้วย)

ตัวอย่าง 2. เซตของจำนวนตรรกยะบวกทั้งหมดที่น้อยกว่า 7 จะถูกเขียน ดังต่อไปนี้: .

ตัวอย่าง 3. – ช่วงของจำนวนจริงที่ลงท้ายด้วย 1 และ 5 – ส่วนของจำนวนจริงที่ลงท้ายด้วย 2 และ 7

คำว่า "มาก" บ่งบอกว่ามีองค์ประกอบหลายอย่าง แต่นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป ในทางคณิตศาสตร์ เซตถือได้ว่าเป็นเซตที่มีองค์ประกอบเดียวเท่านั้น เช่น เซตรากจำนวนเต็มของสมการ - นอกจากนี้ยังสะดวกที่จะพูดคุยเกี่ยวกับชุดที่ไม่มีองค์ประกอบเดียว ชุดดังกล่าวเรียกว่า ว่างเปล่าและเขียนแทนด้วย Ø ตัวอย่างเช่น เซตรากจริงของสมการว่างเปล่า

คำจำกัดความ 1.ชุดที่เรียกว่า เท่ากัน(แสดง ก=ข) หากชุดเหล่านี้ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกัน

คำจำกัดความ 2ถ้าทุกองค์ประกอบของเซตเป็นของเซตนั้น สิ่งนั้นจะถูกเรียก เซตย่อยชุด

การกำหนด: (“รวมอยู่ใน”); ("รวมถึง").

เห็นได้ชัดว่า Ø และเซตนั้นเป็นสับเซตของเซต สับเซตอื่นใดของเซตเรียกว่าเซตของมัน ส่วนที่ถูกต้อง - ถ้า และ แล้วพวกเขาก็พูดว่า “ ก – เซตย่อยของตัวเอง"หรืออะไร" A รวมอยู่ในนั้นโดยเคร่งครัด"และเขียน

ข้อความต่อไปนี้ชัดเจน: ชุด และ มีค่าเท่ากันก็ต่อเมื่อและเท่านั้น

อ้างอิงจากคำกล่าวนี้ วิธีการสากลหลักฐานความเท่าเทียมกันของสองชุด: เพื่อพิสูจน์ว่าชุด และ เท่ากันก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็นว่า ,ก เป็นสับเซตของเซต .

นี่เป็นวิธีที่ใช้บ่อยที่สุด แม้ว่าจะไม่ใช่วิธีเดียวก็ตาม ต่อมาเมื่อได้ทำความคุ้นเคยกับการดำเนินการกับชุดและคุณสมบัติของชุดต่างๆ แล้ว เราจะระบุวิธีอื่นในการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของสองชุด - โดยใช้การแปลง.

โดยสรุป เราสังเกตว่าบ่อยครั้งไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์จัดการกับเซตย่อยของเซตเดียวกัน คุณซึ่งเรียกว่า สากลในทฤษฎีนี้ ตัวอย่างเช่นในพีชคณิตของโรงเรียนและ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ชุดเป็นแบบสากล รจำนวนจริงในเรขาคณิต - ชุดของจุดในอวกาศ

การดำเนินการกับฉากและคุณสมบัติของฉาก

คุณสามารถดำเนินการ (การดำเนินการ) กับชุดที่มีลักษณะคล้ายกับการบวก การคูณ และการลบ

คำจำกัดความ 1. สมาคมชุดและชุดถูกเรียก แสดงโดย แต่ละองค์ประกอบที่เป็นของอย่างน้อยหนึ่งชุดหรือ

การดำเนินการซึ่งส่งผลให้เกิดเซตดังกล่าว เรียกว่าสหภาพ

คำจำกัดความ 1 สรุป:

คำจำกัดความ 2 โดยการข้ามชุด และเรียกว่าชุด ซึ่งแสดงโดย ประกอบด้วยองค์ประกอบเหล่านั้นทั้งหมดและเฉพาะองค์ประกอบเหล่านั้น ซึ่งแต่ละองค์ประกอบเป็นของทั้งสอง และ

การดำเนินการซึ่งส่งผลให้เกิดเซตหนึ่งเรียกว่าจุดตัด

สรุปโดยย่อของคำจำกัดความ 2:

ตัวอย่างเช่น ถ้า , , ที่ , .

ชุดสามารถแสดงเป็น รูปทรงเรขาคณิตซึ่งช่วยให้คุณแสดงการดำเนินการในชุดได้อย่างชัดเจน วิธีนี้เสนอโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (1707–1783) เพื่อวิเคราะห์การใช้เหตุผลเชิงตรรกะ ซึ่งมีการใช้กันอย่างแพร่หลายและได้รับ การพัฒนาต่อไปในงานเขียนของนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ จอห์น เวนน์ (ค.ศ. 1834–1923) นั่นเป็นสาเหตุที่เรียกว่าภาพวาดดังกล่าว แผนภาพออยเลอร์-เวนน์.

การดำเนินการของการรวมและจุดตัดกันของเซตสามารถแสดงได้ด้วยแผนภาพออยเลอร์–เวนน์ ดังนี้

– ส่วนที่แรเงา; – ส่วนที่แรเงา

คุณสามารถกำหนดการรวมและจุดตัดของชุดของชุดใดๆ โดยที่คือชุดของดัชนีบางชุด

คำนิยาม . สมาคมคอลเลกชันของชุดคือชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเหล่านั้นทั้งหมดซึ่งแต่ละองค์ประกอบเป็นของชุดอย่างน้อยหนึ่งชุด

คำนิยาม . โดยการข้ามคอลเลกชันของชุดคือชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเหล่านั้นทั้งหมด ซึ่งแต่ละองค์ประกอบเป็นของชุดใดชุดหนึ่ง

ในกรณีที่ชุดดัชนีมีจำกัด เช่น จากนั้นเพื่อแสดงถึงการรวมและจุดตัดของชุดของชุดในกรณีนี้ มักใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้:

และ .

ตัวอย่างเช่น ถ้า , , , ที่ , .

แนวคิดเรื่องการรวมกันและจุดตัดกันของเซตเกิดขึ้นซ้ำแล้วซ้ำอีก หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์.

ตัวอย่างที่ 1มากมาย มการแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกัน

คือจุดตัดของชุดคำตอบสำหรับอสมการแต่ละข้อของระบบนี้:

ตัวอย่างที่ 2มากมาย มโซลูชั่นระบบ

คือจุดตัดของชุดคำตอบของอสมการแต่ละข้อของระบบนี้ ชุดคำตอบของสมการแรกคือชุดของจุดบนเส้นตรง เช่น - มากมาย. ชุดประกอบด้วยองค์ประกอบเดียว - จุดตัดของเส้น

ตัวอย่างที่ 3ชุดของการแก้สมการ

ที่ไหน , คือการรวมกันของเซตของคำตอบของแต่ละสมการ เช่น

คำจำกัดความ 3 โดยความแตกต่างชุดและ เป็นเซตที่แสดงโดย และประกอบด้วยองค์ประกอบเหล่านั้นทั้งหมดและเฉพาะองค์ประกอบเหล่านั้นที่เป็นของแต่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของ .– ส่วนที่แรเงา; - ด้วยการดำเนินงานของสหภาพ สี่แยก และบวก ได้รับ โครงสร้างทางคณิตศาสตร์เรียกว่า ตั้งพีชคณิตหรือ พีชคณิตชุดบูลีน(ตามชื่อนักคณิตศาสตร์และนักตรรกศาสตร์ชาวไอริช George Boole (1816–1864)) เราจะเขียนแทนด้วยเซตย่อยทั้งหมดของเซตใดก็ได้แล้วเรียกมันว่า บูลีนชุด

ความเท่าเทียมกันที่แสดงด้านล่างนี้ใช้ได้กับชุดย่อยใดๆ ก, บี, ซีชุดสากล คุณนั่นเป็นเหตุผลที่พวกเขาถูกเรียก กฎของเซตพีชคณิต