วัตถุประสงค์ของการบริการ- บริการนี้ออกแบบมาเพื่อค้นหารากของสมการ f(x) ทางออนไลน์โดยใช้วิธีคอร์ด

คำแนะนำ. ป้อนนิพจน์ F(x) คลิกถัดไป ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกบันทึกเป็นไฟล์ Word เทมเพลตโซลูชันจะถูกสร้างขึ้นใน Excel ด้วย ด้านล่างนี้เป็นคำแนะนำวิดีโอ

ฉ(x) =

ค้นหาในช่วงตั้งแต่ ถึง
ความแม่นยำ ξ =
จำนวนช่วงเวลาการแยก, น =
วิธีการแก้สมการไม่เชิงเส้นวิธีแบ่งขั้ว วิธีของนิวตัน (วิธีแทนเจนต์) วิธีของนิวตันดัดแปลง วิธีคอร์ด วิธีรวม วิธีโกลเด้นเซคชัน วิธีวนซ้ำ วิธีซีแคนต์

กฎสำหรับการเข้าฟังก์ชั่น

ตัวอย่าง
≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)

ลองพิจารณาวิธีที่เร็วกว่าในการค้นหารากในช่วงเวลา ภายใต้สมมติฐานที่ว่า f(a)f(b)<0.
ฉ''(x)>0 ฉ''(x)<0
ฉ(ข)ฉ’(ข)>0 ฉ(ก)ฉ’(ก)>0


รูปที่ 1a รูปที่ 1ข

ลองดูรูปที่ 1a มาวาดคอร์ดผ่านจุด A และ B กัน สมการคอร์ด
.
ณ จุด x=x 1 , y=0 ด้วยเหตุนี้เราจึงได้รับการประมาณรากครั้งแรก
. (3.8)
การตรวจสอบเงื่อนไข
(ก) ฉ(x 1)ฉ(ข)<0,
(ข) ฉ(x 1)ฉ(ก)<0.
หากตรงตามเงื่อนไข (a) แล้วในสูตร (3.8) เราแทนที่จุด a ด้วย x 1 เราก็จะได้

.

ดำเนินกระบวนการนี้ต่อไป เราได้รับสำหรับการประมาณที่ n
. (3.9)
จุดสิ้นสุดตรงนี้ a เคลื่อนที่ได้ นั่นคือ f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
ลองพิจารณากรณีที่จุดสิ้นสุด a ได้รับการแก้ไขแล้ว
ฉ''(x)<0 f’’(x)>0
ฉ(ข)ฉ’(ข)<0 f(a)f’’(a)<0


รูปที่.2a รูปที่.2b

ในรูปที่ 1b, 2b f(x i)f(a) จะถูกดำเนินการ<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.

ดำเนินกระบวนการต่อไปเราก็มาถึงสูตร
. (3.10)
การหยุดกระบวนการ

|x n – x n-1 |<ε; ξ≈x n

ข้าว. 3
ในรูปที่ 3 f’’(x) เปลี่ยนเครื่องหมาย ดังนั้นปลายทั้งสองข้างจึงสามารถเคลื่อนย้ายได้
ก่อนที่จะไปยังคำถามเกี่ยวกับการลู่เข้าของกระบวนการวนซ้ำของวิธีคอร์ด เราจะแนะนำแนวคิดของฟังก์ชันนูนก่อน

คำนิยาม.ฟังก์ชันเปิดต่อเนื่องเรียกว่านูน (เว้า) ถ้าจุดสองจุดใดๆ x 1 ,x 2 เป็นไปตาม a≤x 1 f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - นูน
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - เว้า
สำหรับฟังก์ชันนูน f’’(x)≥0
สำหรับฟังก์ชันเว้า f’’(x)≤0

ทฤษฎีบท 3หากฟังก์ชัน f(x) นูน (เว้า) บนเซกเมนต์ แสดงว่าอยู่ในเซกเมนต์ใดๆ กราฟของฟังก์ชัน f(x) อยู่ไม่สูง (ไม่ต่ำกว่า) กว่าคอร์ดที่ผ่านจุดกราฟด้วย abscissas x 1 และ x 2

การพิสูจน์:

ลองพิจารณาฟังก์ชันนูนดู สมการของคอร์ด: ผ่าน x 1 และ x 2 มีรูปแบบ:
.
พิจารณาจุด c= αx 1 + (1-α)x 2 โดยที่ aО

ในทางกลับกัน ตามคำจำกัดความของฟังก์ชันนูน เรามี f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2 ; ดังนั้น f(c) ≤ g(c) เป็นต้น

สำหรับฟังก์ชันเว้า การพิสูจน์จะคล้ายกัน
เราจะพิจารณาการพิสูจน์การลู่เข้าของกระบวนการวนซ้ำสำหรับกรณีของฟังก์ชันนูน (เว้า)

ทฤษฎีบท 4ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ต่อเนื่องเป็นสองเท่า และปล่อยให้ f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
การพิสูจน์:ให้เราพิจารณาตัวอย่างกรณี f(a)f''(a)<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n >x n -1 ตั้งแต่ (b-x n -1)>0, และ f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x 0 ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าการประมาณทั้งหมด x n< ξ, где ξ - корень. Пусть x n -1 < ξ. Покажем, что x n тоже меньше ξ. Введем
. (3.11)
เรามี
(3.12)
(นั่นคือ ค่าของฟังก์ชัน y(x) ที่จุด x n บนคอร์ดเกิดขึ้นพร้อมกับ f(ξ))
เนื่องจาก จากนั้น จาก (3.12) จะตามมา
หรือ
. (3.13)
สำหรับมะเดื่อ 1a ดังนั้น
หรือ
หมายความว่าอย่างนั้น ฯลฯ (ดู (3.11))
สำหรับรูปที่ 2a ดังนั้นจาก (3.12) เราได้
วิธี
เพราะ ฯลฯ
หลักฐานที่คล้ายกันสำหรับรูปที่ 1b และรูปที่ 2b ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าลำดับของตัวเลขมาบรรจบกัน
a≤x 0 อ≤ξ ซึ่งหมายความว่าสำหรับ ε ใดๆ สามารถระบุ n ได้ว่า |x n - ξ |<ε. Теорема доказана.
การบรรจบกันของวิธีคอร์ดจะเป็นเส้นตรงกับค่าสัมประสิทธิ์ .
, (3.14)
โดยที่ ม. 1 =นาที|f’(x)|, ม. 1 =สูงสุด|f’(x)|.
ตามมาจากสูตรต่อไปนี้ ให้เราพิจารณากรณีของจุดสิ้นสุดคงที่ b และ f(b)>0
เรามีจาก (3.9) - จากที่นี่
- เมื่อพิจารณาว่าเราสามารถเขียนได้ หรือ
.
การแทนที่ (ξ-x n -1) ในตัวหารของด้านขวามือด้วย (b-x n -1) และคำนึงถึงสิ่งนั้น (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์ (ดูความไม่เท่าเทียมกัน (3.14))
การพิสูจน์การลู่เข้ากันในกรณีของรูปที่ 3 (f’’(x) เปลี่ยนเครื่องหมาย ในกรณีทั่วไป ทั้ง f’ และ f’’ สามารถเปลี่ยนเครื่องหมายได้) จะซับซ้อนกว่าและไม่ได้ระบุไว้ในที่นี้

ในโจทย์ ให้กำหนดจำนวนรากที่แท้จริงของสมการ f(x) = 0 แยกรากเหล่านี้ออกและใช้วิธีการของคอร์ดและแทนเจนต์ ค้นหาค่าโดยประมาณด้วยความแม่นยำ 0.001

ปล่อยให้ในส่วน ฟังก์ชันเป็นแบบต่อเนื่อง ใช้สัญญาณที่แตกต่างกันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ และอนุพันธ์ ฉ "(x)บันทึกเครื่องหมาย ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง กรณีของการจัดเรียงเส้นโค้งต่อไปนี้เป็นไปได้ (รูปที่ 1)

ข้าว. 1.

อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณรูตโดยประมาณโดยใช้วิธีคอร์ด

ข้อมูลเริ่มต้น: ฉ(x)-การทำงาน ; จ- ความแม่นยำที่ต้องการ x 0 - การประมาณเบื้องต้น

ผลลัพธ์: เอ็กซ์พีอาร์- รากโดยประมาณของสมการ ฉ(x)= 0.

วิธีการแก้ปัญหา:

ข้าว. 2. ฉ "(x) ฉ ""(x)>0.

ลองพิจารณากรณีเมื่อ ฉ "(x)และ ฉ ""(x)มีสัญญาณเหมือนกัน (รูปที่ 2)

กราฟของฟังก์ชันผ่านจุดต่างๆ ก 0 (ก,ฉ(ก))และ บี 0 (ข,ฉ(ข))- รากที่ต้องการของสมการ (จุดที่ เอ็กซ์*) เราไม่รู้จัก แต่จะใช้จุดแทน เอ็กซ์ 1 ทางแยกคอร์ด ก 0 ใน 0 กับแกนแอบซิสซา นี่จะเป็นค่าโดยประมาณของรูท

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ จะได้สูตรมาซึ่งระบุสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดพร้อมพิกัด (x1; y1)และ (x2; y2): .

แล้วสมการคอร์ด ก 0 ใน 0 จะเขียนอยู่ในรูปแบบ: .

มาหาค่ากัน x = x 1 เพื่อที่ ย = 0- ตอนนี้รูตอยู่ในเซ็กเมนต์ - ลองใช้วิธีคอร์ดกับส่วนนี้ มาวาดคอร์ดเชื่อมจุดกัน ก 1 (x 1 ,ฉ(x 1 )) และ บี 0 (ข,ฉ(ข))และเราจะพบ เอ็กซ์ 2 - จุดตัดของคอร์ด ก 1 ใน 0 มีเพลา โอ้: x 2 =x 1 .

เราพบว่าดำเนินการตามกระบวนการนี้ต่อไป

x 3 =x 2 .

เราได้รับสูตรที่เกิดซ้ำสำหรับการคำนวณการประมาณราก

x n+1 =x n .

ในกรณีนี้เป็นจุดสิ้นสุด ขส่วน ยังคงนิ่งเฉยและสิ้นสุด กย้าย

ดังนั้นเราจึงได้สูตรการคำนวณสำหรับวิธีคอร์ด:

x n+1 =x n ; x 0 =ก. (4)

การคำนวณการประมาณค่าต่อเนื่องของรากที่แน่นอนของสมการจะดำเนินต่อไปจนกว่าเราจะไปถึงความแม่นยำที่ระบุ เช่น ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: |x n+1 -x n |< โดยที่ความแม่นยำที่กำหนดอยู่ที่ไหน

ทีนี้ลองพิจารณากรณีที่อนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สองมีเครื่องหมายต่างกัน เช่น ฉ "(x) ฉ ""(x)<0 - (รูปที่ 3)

ข้าว. 3. การตีความทางเรขาคณิตของวิธีคอร์ดสำหรับเคส ฉ "(x) ฉ ""(x)<0 .

มาเชื่อมต่อจุดต่างๆ ก 0 (ก,ฉ(ก))และ บี 0 (ข,ฉ(ข))คอร์ด ก 0 ใน 0 . จุดตัดของคอร์ดกับแกน โอ้เราจะพิจารณาการประมาณรากครั้งแรก ในกรณีนี้ จุดสิ้นสุดคงที่ของเซ็กเมนต์จะเป็นจุดสิ้นสุด ก.

สมการคอร์ด ก 0 ใน 0 - จากนี้เราจะพบกับ x 1 สมมติว่า ย = 0: x 1 =ข- ตอนนี้รากของสมการ x- เราได้รับการใช้วิธีคอร์ดกับส่วนนี้ x 2 =x 1 - ต่อเนื่อง ฯลฯ เราได้รับ x n+1 =x n .

สูตรการคำนวณของวิธีการ:

x n+1 =x n , x 0 =0 . (5)

เงื่อนไขในการคำนวณให้เสร็จสิ้น: |x n+1 -x n |< - แล้ว xpr = xn+1ด้วยความแม่นยำ ดังนั้นหาก ฉ "(x) ฉ ""(x)>0พบค่าโดยประมาณของรูตโดยใช้สูตร (4) ถ้า ฉ "(x) ฉ ""(x)<0 แล้วตามสูตร (5)

การเลือกสูตรในทางปฏิบัติของสูตรหนึ่งหรือสูตรอื่นนั้นดำเนินการโดยใช้กฎต่อไปนี้: ส่วนท้ายคงที่ของเซ็กเมนต์คือส่วนที่เครื่องหมายของฟังก์ชันเกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง

ตัวอย่าง. แสดงให้เห็นผลของกฎนี้โดยใช้สมการ

(x-1)ln(x)-1=0ถ้าส่วนแยกราก .

สารละลาย. ที่นี่ ฉ(x)=(x-1)ln(x)-1.

ฉ "(x)=ln(x)+;

ฉ ""(x)=.

อนุพันธ์อันดับสองในตัวอย่างนี้เป็นผลบวกบนส่วนของการแยกราก : ฉ ""(x)>0, ฉ(3)>0 เช่น FB) ฉ""(x)>0- ดังนั้นเมื่อแก้สมการนี้โดยใช้วิธีคอร์ดเพื่อชี้แจงรากเราจึงเลือกสูตร (4)

var e,c,a,b,y,ya,yb,yn,x,x1,x2,xn,f1,f2:จริง;

เริ่มต้น e:=0.0001;

writeln("vvedi nachalo otrezka");

writeln("vvedi konec otrezka");

y:=((x-1)*ln(x))-1;

y:=((x-1)*ln(x))-1;

ยบ:=ย; ค:=(ก+ข)/2; x:=ค;

y:=((x-1)*ln(x))-1;

f1:=ln(x) + (x-1)/x ;

f2:= 1/x + 1/(x*x);

ถ้า (ya*yb< 0) and (f1*f2 > 0)

จากนั้นให้เริ่ม x1:=a; ในขณะที่ abs(x2 - x) > e do

x2:=x1 - (yn*(b-x1))/(yb - yn);

writeln("เกาหลี uravneniya xn = ", x2)

จบอย่างอื่นเริ่มต้น x1:=b;

ในขณะที่ abs(x2 - x) > e do

เริ่มต้น x:=x1; y:=((x-1)*ln(x))-1; yn:=y;

x2:=x1 - (yn*(x1- ก))/(yn - ย่า);

writeln("เกาหลี uravneniya xn = ", x2);

วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

พิจารณาสมการ ฉ(x)=0(1) มีรากแยกออกจากกัน เอ็กซ์- ในการแก้สมการ (1) โดยใช้วิธีวนซ้ำอย่างง่าย เราจะลดให้เหลือรูปแบบที่เทียบเท่ากัน: x=ที(x) (2)

ซึ่งสามารถทำได้เสมอและในหลายวิธี ตัวอย่างเช่น:

x=ก(x) ฉ(x) + x ? ค(เอ็กซ์), ที่ไหน ก.(x) - ฟังก์ชันต่อเนื่องตามอำเภอใจที่ไม่มีรากอยู่ในเซ็กเมนต์ .

อนุญาต x (0) - การประมาณรากที่ได้รับในทางใดทางหนึ่ง x(ในกรณีที่ง่ายที่สุด x (0) =(ก+ข)/2).วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายประกอบด้วยการคำนวณเงื่อนไขของลำดับการวนซ้ำตามลำดับ:

x (เค+1) =ts(x (ฎ) ), k=0, 1, 2, ... (3)

เริ่มต้นจากการเข้าใกล้ x (0) .

คำชี้แจง: 1 ถ้าลำดับ (x (k) ) ของวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายมาบรรจบกันและฟังก์ชัน q มีความต่อเนื่อง ดังนั้นขีดจำกัดของลำดับคือรากของสมการ x = q (x)

หลักฐาน: ปล่อยให้มันเป็นไป (4)

ก้าวไปสู่ขีดจำกัดแห่งความเท่าเทียมกันเถอะ x (เค+1) =ts(x (ฎ) ) ในด้านหนึ่ง เราได้มาจาก (4) นั้น และอีกด้านหนึ่ง เนื่องจากความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ทีเอสและ (4) .

เป็นผลให้เราได้รับ x * =ts(x * ). เพราะฉะนั้น, x * - รากของสมการ (2) เช่น เอ็กซ์=เอ็กซ์ * .

หากต้องการใช้คำสั่งนี้ ลำดับจะต้องมาบรรจบกัน (x (ฎ) }. เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการลู่เข้าให้:

ทฤษฎีบท 1: (เรื่องการลู่เข้า) ให้สมการ x=ที(x)มีรูตเดียวบนเซ็กเมนต์ และตรงตามเงื่อนไข:

• 1) ค(x) ค 1 ;
• 2) ค(เอ็กซ์) "x;
• 3) มีค่าคงที่ คิว > 0: | คิว "(x) | ? . จากนั้นลำดับการวนซ้ำ (x (ฎ) }, กำหนดโดยสูตร x (เค+1) = คิว(x (ฎ) ), เค=0, 1, ...มาบรรจบกันที่การประมาณเริ่มต้นใดๆ x (0) .

หลักฐาน: พิจารณาพจน์สองพจน์ที่อยู่ติดกันของลำดับ (x (ฎ) ):x (ฎ) = คิว(x (ฎ-1) ) และ x (เค+1) = คิว(x (ฎ) ) เนื่องจากตามเงื่อนไขข้อ 2) x (ฎ)และ x (เค+1)นอนอยู่ภายในส่วน , จากนั้นใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของลากรองจ์ที่เราได้รับ:

x (เค+1) -x (ฎ) = คิว(x (ฎ) ) - ค(x (ฎ-1) ) = ค "(ค เค )(x (ฎ) -x (ฎ-1) ) โดยที่ค เค (x (ฎ-1) , x (ฎ) ).

จากที่นี่เราได้รับ:

- x (เค+1) -x (ฎ) - - ทีเอส "(ค เค - - x (ฎ) -x (ฎ-1) - - คิว | x (ฎ) -x (ฎ-1) | ?

- คิว(คิว|x (ฎ-1) -x (เค-2) |) = ถาม 2 - x (ฎ-1) -x (เค-2) - - - ถาม เค - x (1) -x (0) |. (5)

พิจารณาซีรีส์

ส ? = x (0) + (x (1) -x (0) ) + ... + (x (เค+1) -x (ฎ) ) + ... . (6)

ถ้าเราพิสูจน์ว่าอนุกรมนี้มาบรรจบกัน ลำดับของผลรวมย่อยก็จะมาบรรจบกันด้วย

ส เค = x (0) + (x (1) -x (0) ) + ... + (x (ฎ) -x (ฎ-1) ).

แต่การคำนวณนั้นไม่ใช่เรื่องยาก

ส เค = x (ฎ)) . (7)

ดังนั้น เราจะพิสูจน์การบรรจบกันของลำดับการวนซ้ำ (x (ฎ) }.

เพื่อพิสูจน์การบรรจบกันของอนุกรม (6) ให้เราเปรียบเทียบแบบทีละเทอม (โดยไม่ต้องมีเทอมแรก x (0) ) ที่อยู่ใกล้เคียง

ถาม 0 - x (1) -x (0) - +ถาม 1 |x (1) -x (0) - + ... + |x (1) -x (0) | + ..., (8)

ซึ่งมาบรรจบกันเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด (ตั้งแต่ตามเงื่อนไข ถาม< 1 - เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกัน (5) ค่าสัมบูรณ์ของอนุกรม (6) จะต้องไม่เกินเงื่อนไขที่สอดคล้องกันของอนุกรมลู่เข้า (8) (นั่นคือ อนุกรม (8) จะเน้นอนุกรม (6) ดังนั้นอนุกรม (6) ) ก็มาบรรจบกันเช่นกัน ดังนั้นลำดับจึงมาบรรจบกัน (x (0) }.

เราได้รับสูตรที่ให้วิธีการประมาณค่าข้อผิดพลาด |เอ็กซ์ - เอ็กซ์ (เค+1) |

วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

เอ็กซ์-เอ็กซ์ (เค+1) = X - ส เค+1 = ส ? -ส เค+1 = (x (เค+2) - (เค+1) ) + (x (เค+3) -x (เค+2) ) + ... .

เพราะฉะนั้น

|เอ็กซ์ - เอ็กซ์ (เค+1) - - |x (เค+2) - (เค+1) - + |x (เค+3) -x (เค+2) - - ถาม เค+1 |x (1) -x (0) - +ถาม เค+2 |x (1) -x (0) - + ... = คิว เค+1 |x (1) -x (0) - /(1-คิว)

เป็นผลให้เราได้สูตร

|เอ็กซ์ - เอ็กซ์ (เค+1) - - ถาม เค+1 |x (1) -x (0) - /(1-คิว)(9)

การสำหรับ x (0) ความหมาย x (ฎ) , สำหรับ x (1) - ความหมาย x (เค+1)(เนื่องจากตัวเลือกดังกล่าวเป็นไปได้หากตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท) และคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมกันด้วย ถาม เค+1 - ถามเราส่งออก:

|เอ็กซ์ - เอ็กซ์ (เค+1) - - ถาม เค+1 |x (เค+1) -x (ฎ) - / (1-คิว) ? คิว|x (เค+1) -x (ฎ) - /(1-คิว)

ในที่สุดเราก็ได้:

|เอ็กซ์ - เอ็กซ์ (เค+1) - - คิว|x (เค+1) -x (ฎ) - /(1-คิว) (10)

เราใช้สูตรนี้เพื่อหาเกณฑ์ในการสิ้นสุดลำดับการวนซ้ำ ให้สมการ x=ที(x)แก้ได้ด้วยการวนซ้ำแบบง่ายๆ และต้องหาคำตอบให้ถูกต้องแม่นยำ อีนั่นคือ

|เอ็กซ์ - เอ็กซ์ (เค+1) - - จ.

เมื่อคำนึงถึง (10) เราพบว่ามีความถูกต้อง จจะสำเร็จได้หากความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ

|x (เค+1) -x (ฎ) - - (1-q)/q(11)

ดังนั้นการหารากของสมการ x=ที(x)โดยใช้วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายด้วยความแม่นยำ จำเป็นต้องวนซ้ำต่อไปจนกว่าโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างการประมาณใกล้เคียงครั้งล่าสุดจะยังคงมากกว่าตัวเลข อี(1-q)/คิว

หมายเหตุ 1: เนื่องจากค่าคงที่ q มักจะใช้ค่าประมาณที่สูงกว่าสำหรับปริมาณ

การตีความทางเรขาคณิต

ลองดูกราฟของฟังก์ชันกัน ซึ่งหมายความว่าการแก้สมการและเป็นจุดตัดกับเส้นตรง:

รูปที่ 1.

และการวนซ้ำครั้งต่อไปคือพิกัด x ของจุดตัดของเส้นตรงแนวนอนกับเส้นตรง

รูปที่ 2.

รูปนี้แสดงให้เห็นข้อกำหนดของการลู่เข้าอย่างชัดเจน ยิ่งอนุพันธ์เข้าใกล้ 0 มากเท่าใด อัลกอริธึมก็จะยิ่งมาบรรจบกันเร็วขึ้นเท่านั้น ขึ้นอยู่กับสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ที่อยู่ใกล้สารละลาย การประมาณสามารถสร้างได้หลายวิธี หากการประมาณถัดไปแต่ละครั้งถูกสร้างขึ้นที่อีกด้านหนึ่งของราก:

รูปที่ 3.

บทสรุป

ปัญหาในการปรับปรุงคุณภาพการคำนวณเนื่องจากความแตกต่างระหว่างความต้องการกับความเป็นจริงนั้นมีอยู่และจะมีอยู่ในอนาคต โซลูชันจะได้รับการอำนวยความสะดวกโดยการพัฒนาเทคโนโลยีสารสนเทศซึ่งประกอบด้วยทั้งการปรับปรุงวิธีการจัดระเบียบกระบวนการข้อมูลและการนำไปใช้โดยใช้เครื่องมือเฉพาะ - สภาพแวดล้อมและภาษาการเขียนโปรแกรม

ผลลัพธ์ของงานถือได้ว่าเป็นแบบจำลองเชิงฟังก์ชันที่สร้างขึ้นสำหรับการค้นหารากของสมการโดยใช้วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย นิวตัน คอร์ด และการหารครึ่ง โมเดลนี้ใช้ได้กับปัญหาเชิงกำหนด เช่น ข้อผิดพลาดในการคำนวณเชิงทดลองซึ่งสามารถละเลยได้ โมเดลการทำงานที่สร้างขึ้นและการใช้งานซอฟต์แวร์สามารถทำหน้าที่เป็นส่วนอินทรีย์ในการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น

หลังจากทำการวิจัยในหัวข้องานหลักสูตร "วิธีเชิงตัวเลข การแก้สมการไม่เชิงเส้น" ฉันบรรลุเป้าหมายที่ตั้งไว้ในบทนำ มีการพูดคุยถึงวิธีการทำให้รากดีขึ้นอย่างละเอียด มีการให้ตัวอย่างหลายตัวอย่างสำหรับแต่ละคำจำกัดความและทฤษฎีบท ทฤษฎีบททั้งหมดได้รับการพิสูจน์แล้ว

การใช้แหล่งข้อมูลที่หลากหลายทำให้สามารถสำรวจหัวข้อได้อย่างเต็มที่

วิธีคอร์ด (วิธีการเรียกอีกอย่างว่า วิธีการตัด ) หนึ่งในวิธีการแก้สมการไม่เชิงเส้นและขึ้นอยู่กับการแคบลงตามลำดับของช่วงเวลาที่มีรากของสมการเท่านั้น- กระบวนการวนซ้ำจะดำเนินการจนกว่าจะได้ความแม่นยำตามที่ระบุ.

ต่างจากวิธีการแบ่งครึ่ง วิธีคอร์ดแนะนำว่าการแบ่งช่วงเวลาที่พิจารณาจะไม่ดำเนินการตรงกลาง แต่อยู่ที่จุดตัดของคอร์ดกับแกนแอบซิสซา (แกน X) ควรสังเกตว่าคอร์ดถูกเข้าใจว่าเป็นส่วนที่ลากผ่านจุดของฟังก์ชันที่พิจารณาเมื่อสิ้นสุดช่วงเวลาที่พิจารณา วิธีการที่กำลังพิจารณาช่วยให้ค้นหารากได้เร็วกว่าวิธีแบ่งครึ่ง โดยมีการระบุช่วงเวลาเดียวกันในการพิจารณา

ในเชิงเรขาคณิต วิธีคอร์ดจะเทียบเท่ากับการแทนที่ด้วยคอร์ดโค้งที่ผ่านจุดต่างๆ และ (ดูรูปที่ 1)

รูปที่ 1. การสร้างเซ็กเมนต์ (คอร์ด) ให้กับฟังก์ชัน

สมการของเส้นตรง (คอร์ด) ที่ผ่านจุด A และ B มีรูปแบบดังนี้

สมการนี้เป็นสมการทั่วไปสำหรับการอธิบายเส้นตรงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ความชันของเส้นโค้งถูกระบุตามแนวพิกัดและ abscissa โดยใช้ค่าในตัวส่วน และ ตามลำดับ

สำหรับจุดตัดของเส้นตรงกับแกนแอบซิสซา สมการที่เขียนด้านบนจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้

เป็นช่วงเวลาใหม่สำหรับการผ่านกระบวนการวนซ้ำเราเลือกหนึ่งในสอง หรือ ที่ส่วนท้ายของฟังก์ชันที่รับค่าของเครื่องหมายที่แตกต่างกัน เครื่องหมายตรงข้ามของค่าฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์สามารถกำหนดได้หลายวิธี หนึ่งในหลายวิธีเหล่านี้คือการคูณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและกำหนดเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์โดยการเปรียบเทียบผลลัพธ์ของการคูณกับศูนย์:

หรือ .

กระบวนการทำซ้ำของการปรับแต่งรูทจะสิ้นสุดลงเมื่อเงื่อนไขของความใกล้ชิดของการประมาณค่าที่ต่อเนื่องกันสองครั้งมีค่าน้อยกว่าความแม่นยำที่ระบุ กล่าวคือ

รูปที่ 2. คำอธิบายคำจำกัดความของข้อผิดพลาดในการคำนวณ

ควรสังเกตว่าการบรรจบกันของวิธีคอร์ดนั้นเป็นเส้นตรง แต่เร็วกว่าการบรรจบกันของวิธีคอร์ด

อัลกอริทึมในการค้นหารากของสมการไม่เชิงเส้นโดยใช้วิธีคอร์ด

1. ค้นหาช่วงความไม่แน่นอนเริ่มต้นโดยใช้วิธีแยกรากวิธีใดวิธีหนึ่ง ซีให้ข้อผิดพลาดในการคำนวณ (จำนวนบวกน้อย) และ ขั้นตอนการทำซ้ำเบื้องต้น () .

2. ค้นหาจุดตัดของคอร์ดกับแกนแอบซิสซา:

3. จำเป็นต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด และ . ถัดไป คุณต้องตรวจสอบเงื่อนไขสองประการ:

หากตรงตามเงื่อนไข จากนั้นรูทที่ต้องการจะอยู่ภายในส่วนด้านซ้ายที่ใส่ ;

หากตรงตามเงื่อนไข จากนั้นรูตที่ต้องการจะอยู่ภายในส่วนที่ถูกต้อง ยอมรับ ,

เป็นผลให้พบช่วงความไม่แน่นอนใหม่ซึ่งมีรากของสมการที่ต้องการอยู่:

4. เราตรวจสอบค่าประมาณของรากของสมการเพื่อความแม่นยำที่ระบุ ในกรณี:

หากความแตกต่างระหว่างการประมาณสองครั้งต่อเนื่องกันน้อยกว่าความแม่นยำที่ระบุ กระบวนการวนซ้ำจะสิ้นสุดลง ค่าโดยประมาณของรูตถูกกำหนดโดยสูตร:

หากความแตกต่างระหว่างการประมาณสองครั้งติดต่อกันไม่ถึงความแม่นยำที่ต้องการ ก็จำเป็นต้องดำเนินการวนซ้ำต่อไปและไปที่ขั้นตอนที่ 2 ของอัลกอริทึมที่กำลังพิจารณา

ตัวอย่างการแก้สมการโดยใช้วิธีคอร์ด

เป็นตัวอย่าง ลองแก้สมการไม่เชิงเส้นโดยใช้วิธีคอร์ด จะต้องค้นหารูตในช่วงที่พิจารณาด้วยความแม่นยำที่

ตัวเลือกสำหรับการแก้สมการไม่เชิงเส้นในชุดซอฟต์แวร์MathCAD.

ผลการคำนวณ ได้แก่ พลวัตของการเปลี่ยนแปลงในค่าโดยประมาณของรูตตลอดจนข้อผิดพลาดในการคำนวณขึ้นอยู่กับขั้นตอนการวนซ้ำจะแสดงในรูปแบบกราฟิก (ดูรูปที่ 1)

รูปที่ 1. ผลการคำนวณโดยใช้วิธีคอร์ด

เพื่อให้แน่ใจว่ามีความแม่นยำตามที่ระบุเมื่อค้นหาสมการในช่วง จำเป็นต้องทำซ้ำ 6 ครั้ง ในขั้นตอนการวนซ้ำครั้งสุดท้าย ค่าโดยประมาณของรากของสมการไม่เชิงเส้นจะถูกกำหนดโดยค่า:

บันทึก:

การปรับเปลี่ยนวิธีนี้ก็คือ วิธีตำแหน่งเท็จ(วิธีระบุตำแหน่งเท็จ) ซึ่งจะแตกต่างจากวิธีซีแคนต์เพียงแต่ว่าแต่ละครั้งไม่ได้นำ 2 จุดสุดท้ายมา แต่จุดเหล่านั้นจะอยู่รอบๆ ราก

ควรสังเกตว่าหากอนุพันธ์อันดับสองสามารถนำมาจากฟังก์ชันไม่เชิงเส้นได้ อัลกอริธึมการค้นหาก็จะสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ ให้เราสมมติว่าอนุพันธ์อันดับสองรักษาเครื่องหมายคงที่และพิจารณาสองกรณี:

กรณีที่ #1:

จากเงื่อนไขแรกปรากฎว่าด้านคงที่ของเซ็กเมนต์คือด้านข้างก.

กรณีที่ #2:

วิธีการเชิงตัวเลข 1

การแก้สมการไม่เชิงเส้น 1

คำชี้แจงปัญหา 1

การแปลรูท 2

การปรับปรุงราก4

วิธีการทำให้รากดีขึ้น 4

วิธีที่ 4 การแบ่งครึ่ง

คอร์ดวิธีที่ 5

วิธีของนิวตัน (วิธีแทนเจนต์) 6

การบูรณาการเชิงตัวเลข 7

คำชี้แจงปัญหา 7

สี่เหลี่ยมผืนผ้าวิธีที่ 8

สี่เหลี่ยมคางหมูวิธีที่ 9

วิธีพาราโบลา (สูตรซิมป์สัน) 10

วิธีการเชิงตัวเลข

ในทางปฏิบัติ ในกรณีส่วนใหญ่ ไม่สามารถหาวิธีแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เกิดขึ้นได้อย่างแม่นยำ สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากวิธีแก้ปัญหาที่ต้องการมักจะไม่แสดงในฟังก์ชันพื้นฐานหรือฟังก์ชันอื่นที่รู้จัก ดังนั้นวิธีการเชิงตัวเลขจึงมีความสำคัญอย่างยิ่ง

วิธีเชิงตัวเลขหมายถึงวิธีการแก้ปัญหาที่ลดเหลือเพียงเลขคณิตและการดำเนินการเชิงตรรกะบางอย่างกับตัวเลข ความแม่นยำที่ระบุและวิธีการที่ใช้อาจจำเป็นต้องมีการดำเนินการจำนวนมากทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของงานและที่นี่คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีคอมพิวเตอร์ความเร็วสูง

วิธีแก้ปัญหาที่ได้รับโดยวิธีเชิงตัวเลขมักจะเป็นค่าประมาณนั่นคือมีข้อผิดพลาดอยู่บ้าง แหล่งที่มาของข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาโดยประมาณคือ:

ข้อผิดพลาดของวิธีการแก้ไข

ข้อผิดพลาดในการปัดเศษในการดำเนินการกับตัวเลข

ข้อผิดพลาดของวิธีการมีสาเหตุมาจากความจริงที่ว่าวิธีการเชิงตัวเลขมักจะแก้ปัญหาอื่นที่ง่ายกว่าซึ่งใกล้เคียงกับปัญหาเดิมมากขึ้น ในบางกรณีวิธีการเชิงตัวเลขคือ กระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุด, ที่ ในขอบเขตนำไปสู่ทางออกที่ต้องการ กระบวนการที่ถูกขัดจังหวะในบางขั้นตอนจะให้วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ

ข้อผิดพลาดในการปัดเศษขึ้นอยู่กับจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการในกระบวนการแก้ไขปัญหา สามารถใช้วิธีตัวเลขต่างๆ เพื่อแก้ปัญหาเดียวกันได้ ความไวต่อข้อผิดพลาดในการปัดเศษขึ้นอยู่กับวิธีที่เลือกเป็นอย่างมาก

การแก้สมการไม่เชิงเส้น คำชี้แจงปัญหา

การแก้สมการไม่เชิงเส้นโดยไม่ทราบค่าเป็นหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่เกิดขึ้นในสาขาวิชาฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา และสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอื่นๆ

โดยทั่วไปแล้ว สมการไม่เชิงเส้นที่มีค่าไม่ทราบค่าหนึ่งสามารถเขียนได้:

ฉ(x) = 0 ,

ที่ไหน ฉ(x) – ฟังก์ชันต่อเนื่องของอาร์กิวเมนต์ x.

หมายเลขใดก็ได้ x 0 ซึ่ง ฉ(x 0 ) ≡ 0 เรียกว่ารากของสมการ ฉ(x) = 0.

วิธีการแก้สมการไม่เชิงเส้นแบ่งออกเป็น ตรง(เชิงวิเคราะห์ที่แม่นยำ) และ วนซ้ำ- วิธีการทางตรงช่วยให้คุณสามารถเขียนคำตอบในรูปแบบของความสัมพันธ์ (สูตร) ในกรณีนี้ค่าของรูตสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรนี้ในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในจำนวนจำกัด วิธีการที่คล้ายกันนี้ได้รับการพัฒนาขึ้นสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติ ลอการิทึม เลขชี้กำลัง และสมการพีชคณิตอย่างง่าย

อย่างไรก็ตาม สมการไม่เชิงเส้นส่วนใหญ่ที่พบในการปฏิบัติไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีโดยตรง แม้แต่สมการพีชคณิตที่สูงกว่าระดับที่ 4 ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะได้คำตอบเชิงวิเคราะห์ในรูปแบบของสูตรที่มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จำนวนจำกัด ในกรณีดังกล่าวทั้งหมดมีความจำเป็นต้องหันไปใช้วิธีตัวเลขที่ทำให้สามารถรับค่าประมาณของรากด้วยความแม่นยำที่กำหนด

ด้วยวิธีเชิงตัวเลข ปัญหาของการแก้สมการไม่เชิงเส้นแบ่งออกเป็นสองขั้นตอน: การแปลเป็นภาษาท้องถิ่น(การแยก) ของรากเช่น ค้นหาส่วนดังกล่าวบนแกน xซึ่งภายในมีรากเดียวและ การชี้แจงราก, เช่น. การคำนวณค่าประมาณของรากด้วยความแม่นยำที่กำหนด

รองรับหลายภาษาของราก

เพื่อแยกรากของสมการ ฉ(x) = 0 จำเป็นต้องมีเกณฑ์ที่ทำให้สามารถตรวจสอบได้ว่า ประการแรก บนส่วนที่อยู่ระหว่างการพิจารณา [ ก,ข] มีรูท และประการที่สอง รูทนี้เป็นเพียงรูทเดียวในส่วนที่ระบุ

ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) ต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก,ข] และที่ส่วนท้ายของส่วนค่าจะมีเครื่องหมายต่างกันเช่น

ฉ(ก)  ฉ(ข) < 0 ,

จากนั้นจะมีอย่างน้อยหนึ่งรูตในส่วนนี้

รูปที่ 1. การแยกราก การทำงาน ฉ(x) ไม่ซ้ำซากในช่วงเวลา [ ก,ข].

สภาวะนี้ดังที่เห็นได้จากรูปที่ (1) ไม่ได้รับประกันความเป็นเอกลักษณ์ของราก เงื่อนไขเพิ่มเติมที่เพียงพอเพื่อให้มั่นใจถึงความเป็นเอกลักษณ์ของรูตบนเซ็กเมนต์ [ ก,ข] คือข้อกำหนดที่ฟังก์ชันจะต้องเป็นแบบโมโนโทนิกในช่วงเวลานี้ เพื่อเป็นสัญญาณของความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน เราสามารถใช้เงื่อนไขความคงตัวของเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่งได้ ฉ′( x) .

ดังนั้น หากอยู่ในช่วง [ ก,ข] ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องและน่าเบื่อ และค่าของมันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์มีสัญญาณที่แตกต่างกัน จากนั้นจะมีหนึ่งและเพียงรูตเดียวในเซ็กเมนต์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

เมื่อใช้เกณฑ์นี้ คุณสามารถแยกรากได้ วิเคราะห์วิธีค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน

การแยกรากสามารถทำได้ แบบกราฟิกหากสามารถสร้างกราฟของฟังก์ชันได้ ย=ฉ(x- ตัวอย่างเช่น กราฟของฟังก์ชันในรูปที่ (1) แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันนี้ในช่วงเวลาหนึ่งสามารถแบ่งออกเป็นช่วงความซ้ำซ้อนสามช่วง และในช่วงเวลานี้มีรากสามช่วง

การแยกรากก็สามารถทำได้เช่นกัน แบบตารางทาง. สมมติว่ารากของสมการ (2.1) ทั้งหมดที่เราสนใจนั้นอยู่ที่ช่วง [ เอ, บี- ทางเลือกของเซ็กเมนต์นี้ (ช่วงเวลาการค้นหารูท) สามารถทำได้ ตามการวิเคราะห์ปัญหาทางกายภาพหรือปัญหาอื่นๆ ที่เฉพาะเจาะจง

ข้าว. 2. วิธีการแปลรูตแบบตาราง

เราจะคำนวณค่าต่างๆ ฉ(x) เริ่มต้นจากจุด x=กโดยเคลื่อนไปทางขวาด้วยขั้นตอนบางอย่าง ชม.(รูปที่ 2) ทันทีที่ตรวจพบคู่ของค่าที่อยู่ติดกัน ฉ(x) มีเครื่องหมายต่างกันดังนั้นค่าที่สอดคล้องกันของอาร์กิวเมนต์ xถือได้ว่าเป็นขอบเขตของเซ็กเมนต์ที่มีรูท

ความน่าเชื่อถือของวิธีการแบบตารางสำหรับการแยกรากของสมการขึ้นอยู่กับทั้งลักษณะของฟังก์ชัน ฉ(x) และตามขนาดขั้นตอนที่เลือก ชม.- แท้จริงแล้วหากมีมูลค่าเพียงเล็กน้อยเพียงพอ ชม.(ชม.<<|บี−ก|) บนขอบเขตของส่วนปัจจุบัน [ เอ็กซ์, เอ็กซ์+ชม.] การทำงาน ฉ(x) รับค่าของเครื่องหมายเดียวกันแล้วจึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จะคาดหวังว่าสมการนั้น ฉ(x) = 0 ไม่มีการรูทในส่วนนี้ อย่างไรก็ตาม กรณีนี้ไม่เสมอไป: หากไม่ตรงตามเงื่อนไขความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน ฉ(x) บนส่วน [ เอ็กซ์, เอ็กซ์+ชม.] อาจกลายเป็นรากของสมการได้ (รูปที่ 3a)

รูปที่ 3a รูปที่ 3b

นอกจากนี้ยังมีหลายรากในส่วนนี้ [ เอ็กซ์, เอ็กซ์+ชม.] อาจปรากฏขึ้นหากตรงตามเงื่อนไข ฉ(x)  ฉ(x+ ชม.) < 0 (รูปที่ 3b) เมื่อคาดการณ์ถึงสถานการณ์ดังกล่าว คุณควรเลือกค่าที่ค่อนข้างต่ำ ชม..

โดยการแยกรากด้วยวิธีนี้เราจะได้ค่าโดยประมาณจนถึงขั้นตอนที่เลือกเป็นหลัก ตัวอย่างเช่น หากเราใช้จุดกึ่งกลางของส่วนการแปลเป็นค่าโดยประมาณของรูท ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของค่านี้จะไม่เกินครึ่งหนึ่งของขั้นตอนการค้นหา ( ชม./2) โดยการลดขั้นตอนในบริเวณใกล้เคียงของแต่ละรูต ตามหลักการแล้ว สามารถเพิ่มความแม่นยำของการแยกรูตให้เป็นค่าที่กำหนดไว้ล่วงหน้าได้ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ต้องใช้การคำนวณจำนวนมาก ดังนั้นเมื่อทำการทดลองเชิงตัวเลขโดยเปลี่ยนพารามิเตอร์ของปัญหาเมื่อจำเป็นต้องค้นหารากซ้ำ ๆ วิธีการดังกล่าวไม่เหมาะสำหรับการปรับปรุงรากและใช้สำหรับการแยก (การแปล) รากเท่านั้นเช่น การพิจารณาการประมาณเบื้องต้นสำหรับพวกเขา การปรับแต่งรูททำได้โดยใช้วิธีอื่นที่ประหยัดกว่า

วิธีการวนซ้ำ

วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายสำหรับสมการ ฉ(x) = 0 เป็นดังนี้:

1) สมการดั้งเดิมจะถูกแปลงเป็นรูปแบบที่สะดวกสำหรับการวนซ้ำ:

x = φ (เอ็กซ์). (2.2)

2) เลือกการประมาณเริ่มต้น เอ็กซ์ 0 และคำนวณการประมาณตามมาโดยใช้สูตรวนซ้ำ
เอ็กซ์เค = φ (เอ็กซ์เค -1), เค =1,2, ... (2.3)

หากมีขีดจำกัดของลำดับการวนซ้ำ ลำดับการวนซ้ำจะเป็นรากของสมการ ฉ(x) = 0 เช่น ฉ(ξ ) =0.

ย = φ (เอ็กซ์)

เอ็กซ์ 0 x 1 x 2 ξ ข

ข้าว. 2. กระบวนการวนซ้ำแบบมาบรรจบกัน

ในรูป รูปที่ 2 แสดงกระบวนการรับค่าประมาณถัดไปโดยใช้วิธีการวนซ้ำ ลำดับของการประมาณมาบรรจบกันที่ราก ξ .

พื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับการใช้วิธีการวนซ้ำได้รับจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 2.3- ปล่อยให้เป็นไปตามเงื่อนไข:

1) รากของสมการ เอ็กซ์= φ(x)อยู่ในส่วน [ ก, ข];

2) ค่าฟังก์ชันทั้งหมด φ (เอ็กซ์) อยู่ในกลุ่ม [ ก, ข],ท. จ. ก ≤ φ (เอ็กซ์)≤ข;

3) มีจำนวนบวกเช่นนี้ ถาม< 1, อนุพันธ์คืออะไร φ "(x) ที่ทุกจุดของเซ็กเมนต์ [ ก, ข] ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน | φ "(x) | ≤ ถาม.

1) ลำดับการวนซ้ำ เอ็กซ์เอ็น= φ (เอ็กซ์พี- 1)(น= 1, 2, 3, ...) มาบรรจบกันสำหรับค่าใดๆ x 0 Î [ ก, ข];

2) ขีดจำกัดของลำดับการวนซ้ำคือรากของสมการ

x = φ(x) กล่าวคือ ถ้า เอ็กซ์เค= ξ จากนั้น ξ= φ (ξ);

3) ความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดลักษณะของอัตราการบรรจบกันของลำดับการวนซ้ำนั้นเป็นจริง

| ξ -xk | ≤ (บี-เอ)×คิวเค(2.4)

แน่นอนว่าทฤษฎีบทนี้กำหนดเงื่อนไขที่ค่อนข้างเข้มงวดซึ่งจะต้องตรวจสอบก่อนที่จะใช้วิธีการวนซ้ำ ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน φ (x) มากกว่าค่าสัมบูรณ์ ดังนั้นกระบวนการวนซ้ำจะแยกออก (รูปที่ 3)

ย = φ (x) ย = x

ข้าว. 3. กระบวนการทำซ้ำที่แตกต่าง

เป็นเงื่อนไขสำหรับการบรรจบกันของวิธีการวนซ้ำความไม่เท่าเทียมกัน

|x k - x k - 1 | ≤ ε . (2.5)

วิธีคอร์ดคือการแทนที่เส้นโค้ง ที่ = ฉ(x) ส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดต่างๆ ( ก, ฉ(ก)) และ ( ข, ฉ(ข)) ข้าว. 4) Abscissa ของจุดตัดของเส้นกับแกน โอ้ถือเป็นแนวทางต่อไป

เพื่อให้ได้สูตรการคำนวณสำหรับวิธีคอร์ด ให้เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดต่างๆ ( ก, ฉ(ก)) และ ( ข, ฉ(ข)) และการทำให้เท่าเทียมกัน ที่ถึงศูนย์ เราจะพบ เอ็กซ์:

Þ

อัลกอริธึมวิธีคอร์ด :

1) ปล่อย เค = 0;

2) คำนวณหมายเลขการวนซ้ำถัดไป: เค = เค + 1.

เรามาค้นหากันต่อไป เค-e การประมาณโดยใช้สูตร:

เอ็กซ์เค= ก- ฉ(ก)(ข - ก)/(ฉ(ข) - ฉ(ก)).

มาคำนวณกัน ฉ(เอ็กซ์เค);

3) ถ้า ฉ(เอ็กซ์เค)= 0 (พบรากแล้ว) จากนั้นไปที่ขั้นตอนที่ 5

ถ้า ฉ(เอ็กซ์เค) × ฉ(ข)>0 จากนั้น ข= เอ็กซ์เค, มิฉะนั้น ก = เอ็กซ์เค;

4) ถ้า |x ก – x เค -1 | > ε จากนั้นไปที่ขั้นตอนที่ 2;

5) แสดงค่าของรูท เอ็กซ์เค ;

ความคิดเห็น- การกระทำของย่อหน้าที่สามนั้นคล้ายคลึงกับการกระทำของวิธีแบ่งครึ่ง อย่างไรก็ตาม ในวิธีคอร์ด ในแต่ละขั้นตอนสามารถเปลี่ยนจุดสิ้นสุดเดียวกันของเซ็กเมนต์ (ขวาหรือซ้าย) ได้หากกราฟของฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงของรูทนูนขึ้นด้านบน (รูปที่ 4, ก) หรือเว้าลง (รูปที่ 4, ข). ดังนั้น ความแตกต่างระหว่างการประมาณใกล้เคียงจึงถูกใช้ในเกณฑ์การลู่เข้า

ข้าว. 4. วิธีคอร์ด

4- วิธีการของนิวตัน(แทนเจนต์)

ให้หาค่าประมาณของรากของสมการได้ ฉ(x)= 0 และแสดงว่ามัน เอ็กซ์เอ็น. สูตรคำนวณ วิธีการของนิวตันเพื่อกำหนดแนวทางต่อไป เอ็กซ์เอ็น+1 สามารถรับได้สองวิธี

วิธีแรกแสดงความหมายทางเรขาคณิต วิธีการของนิวตันและประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าแทนที่จะเป็นจุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน ที่= ฉ(x) พร้อมเพลา โอ้มองหาจุดตัดกับแกน โอ้แทนเจนต์ที่วาดไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุด ( เอ็กซ์เอ็น,ฉ(เอ็กซ์เอ็น)) ดังแสดงไว้ในรูปที่ 5. สมการแทนเจนต์มีรูปแบบ ย - ฉ(เอ็กซ์เอ็น)= ฉ"(เอ็กซ์เอ็น)(x- เอ็กซ์เอ็น).

ข้าว. 5. วิธีของนิวตัน (แทนเจนต์)

ณ จุดตัดกันของเส้นสัมผัสกันกับแกน โอ้ตัวแปร ที่= 0. การเท่ากัน ที่ถึงศูนย์เราแสดงออกมา เอ็กซ์และเราได้สูตร วิธีการแทนเจนต์ :

(2.6)

วิธีที่สอง: ขยายฟังก์ชัน ฉ(x) ให้เป็นอนุกรมเทย์เลอร์ในบริเวณใกล้กับจุดหนึ่ง x = xn:

ให้เราจำกัดตัวเองให้อยู่ในเงื่อนไขเชิงเส้นด้วยความเคารพ ( เอ็กซ์- เอ็กซ์เอ็น) ตั้งค่าเป็นศูนย์ ฉ(x) และแสดงสิ่งที่ไม่ทราบจากสมการผลลัพธ์ เอ็กซ์แสดงถึงมันด้วย เอ็กซ์เอ็น+1 เราได้รับสูตร (2.6)

ให้เรานำเสนอเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการลู่เข้าของวิธีของนิวตัน

ทฤษฎีบท 2.4- ให้ในส่วน [ ก, ข] ตรงตามเงื่อนไข:

1) ฟังก์ชั่น ฉ(x) และอนุพันธ์ของมัน ฉ"(เอ็กซ์)และ ฉ ""(x)ต่อเนื่อง;

2) อนุพันธ์ ฉ"(x)และ ฉ""(x) แตกต่างจากศูนย์และคงสัญญาณคงที่ไว้

3) ฉ(ก)× ฉ(ข) < 0 (ฟังก์ชัน ฉ(x) เปลี่ยนเครื่องหมายในส่วนนั้น)
จากนั้นก็มีส่วน [ α , β ] ซึ่งมีรากของสมการที่ต้องการ ฉ(x) = 0 ซึ่งลำดับการวนซ้ำ (2.6) มาบรรจบกัน ถ้าเป็นการประมาณเป็นศูนย์ เอ็กซ์ 0 เลือกจุดขอบเขตนั้น [ α , β ] ซึ่งเครื่องหมายของฟังก์ชันเกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง

เหล่านั้น. ฉ(x 0)× ฉ"(x 0)>0 จากนั้นลำดับการวนซ้ำจะมาบรรจบกันแบบซ้ำซากจำเจ

ความคิดเห็น- โปรดทราบว่าวิธีคอร์ดมาจากทิศทางตรงกันข้าม และทั้งสองวิธีนี้สามารถเสริมซึ่งกันและกันได้ การรวมกันก็เป็นไปได้เช่นกัน วิธีคอร์ดแทนเจนต์

5. วิธีการตัด

วิธีตัดค่าหาได้จากวิธีของนิวตันโดยการแทนที่อนุพันธ์ด้วยนิพจน์โดยประมาณ - สูตรผลต่าง:

, ,

. (2.7)

สูตร (2.7) ใช้การประมาณสองค่าก่อนหน้านี้ เอ็กซ์เอ็นและ เอ็กซ์ เอ็น - 1. ดังนั้น สำหรับการประมาณเบื้องต้นที่กำหนด เอ็กซ์ 0 จำเป็นต้องคำนวณค่าประมาณถัดไป x 1 , เช่น โดยวิธีของนิวตันด้วยการแทนที่อนุพันธ์โดยประมาณตามสูตร

,

อัลกอริทึมของวิธีซีแคนต์:

1) ตั้งค่าเริ่มต้นแล้ว เอ็กซ์ 0 และข้อผิดพลาด ε - มาคำนวณกัน

;

2) สำหรับ น= 1, 2, ... ในขณะที่ตรงตามเงื่อนไข | เอ็กซ์เอ็น – เอ็กซ์เอ็น -1 | > ε , คำนวณ xn+ 1 ตามสูตร (2.7)