లైన్ మరియు సర్కిల్ పాఠం యొక్క సాపేక్ష స్థానం. జ్యామితి వర్క్‌షీట్ "పంక్తి మరియు వృత్తం యొక్క సాపేక్ష స్థానం"

ప్రెజెంటేషన్ ప్రివ్యూలను ఉపయోగించడానికి, Google ఖాతాను సృష్టించండి మరియు దానికి లాగిన్ చేయండి: https://accounts.google.com

స్లయిడ్ శీర్షికలు:

L.A. అటనాస్యాన్ పాఠ్యపుస్తకం ప్రకారం స్ట్రెయిట్ అండ్ సర్కిల్ జ్యామితి గ్రేడ్ 8 యొక్క సాపేక్ష స్థానం

సరళ రేఖ మరియు వృత్తం ఎన్ని సాధారణ పాయింట్‌లను కలిగి ఉంటాయని మీరు అనుకుంటున్నారు? గురించి

O ముందుగా, సర్కిల్ సర్కిల్ (O, r) r - వ్యాసార్థం r A B AB - తీగ C D CD - వ్యాసం ఎలా నిర్వచించాలో గుర్తుంచుకోండి.

మొదటి సందర్భంలో సరళ రేఖ మరియు వృత్తం యొక్క సాపేక్ష స్థానాన్ని పరిశీలిద్దాం: d అనేది వృత్తం యొక్క కేంద్రం నుండి సరళ రేఖకు O A B N d దూరం

రెండవ సందర్భం: O N r ఒక సాధారణ బిందువు d = r d – వృత్తం మధ్యలో నుండి సరళ రేఖకు దూరం d

మూడవ సందర్భం: O H d r d > r d – వృత్తం యొక్క కేంద్రం నుండి సరళ రేఖకు ఉన్న దూరానికి సాధారణ పాయింట్లు లేవు

ఒక పంక్తి మరియు వృత్తం ఉమ్మడిగా ఎన్ని సాధారణ పాయింట్లను కలిగి ఉంటాయి? d r రెండు సాధారణ బిందువులు ఒక సాధారణ బిందువుకు సాధారణ బిందువులు లేవు, వృత్తం యొక్క కేంద్రం నుండి సరళ రేఖకు దూరం వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు సరళ రేఖ మరియు వృత్తం రెండు సాధారణ బిందువులను కలిగి ఉంటాయి. వృత్తం యొక్క కేంద్రం నుండి సరళ రేఖకు దూరం వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు సరళ రేఖ మరియు వృత్తం ఒకే ఒక సాధారణ బిందువును కలిగి ఉంటాయి. వృత్తం యొక్క కేంద్రం నుండి సరళ రేఖకు దూరం వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు సరళ రేఖ మరియు వృత్తం సాధారణ పాయింట్లను కలిగి ఉండవు.

వృత్తానికి టాంజెంట్ నిర్వచనం: వృత్తంతో ఒకే ఒక సాధారణ బిందువును కలిగి ఉండే సరళ రేఖను వృత్తానికి టాంజెంట్ అంటారు మరియు వాటి సాధారణ బిందువును రేఖ మరియు వృత్తం యొక్క టాంజెంట్ పాయింట్ అంటారు. O s = r M m

r = 15 cm, s = 11 cm r = 6 cm, s = 5.2 cm r = 3.2 m, s = 4.7 m r = 7 cm, s = 0 .5 అయితే సరళ రేఖ మరియు వృత్తం యొక్క సాపేక్ష స్థానాన్ని కనుగొనండి dm r = 4 సెం.మీ., s = 4 0 mm సరళ రేఖ - secant line - secant line - secant line ఏ సాధారణ పాయింట్లు లేవు సరళ రేఖ - secant line - tangent

టాంజెంట్ ప్రాపర్టీ: వృత్తానికి ఒక టాంజెంట్ టాంజెన్సీ బిందువుకు గీసిన వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉంటుంది. m – OM మధ్యలో ఉన్న వృత్తానికి టాంజెంట్ – OM యొక్క కాంటాక్ట్ పాయింట్ - O M m వ్యాసార్థం

ఒక బిందువు గుండా వెళ్ళే టాంజెంట్‌ల లక్షణం: ▼ టాంజెంట్ ప్రాపర్టీ ద్వారా ∆ ABO, ∆ ACO–దీర్ఘచతురస్రాకార ∆ ABO= ∆ ACO–హైపోటెన్యూస్ మరియు లెగ్ ద్వారా: OA – జనరల్, OB=OS – రేడియే AB=AC మరియు ▲ O BCA A 1 2 3 4 ఒక బిందువు నుండి గీసిన వృత్తానికి టాంజెంట్‌ల విభాగాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు ఈ బిందువు మరియు వృత్తం మధ్యలో ఉన్న సరళ రేఖతో సమాన కోణాలను తయారు చేస్తాయి.

టాంజెంట్ గుర్తు: ఒక రేఖ వృత్తం మీద ఉన్న వ్యాసార్థం చివర గుండా వెళితే మరియు వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉంటే, అది టాంజెంట్. OM m వ్యాసార్థం O మధ్యలో ఉన్న వృత్తం – పాయింట్ M మరియు m గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ – టాంజెంట్ O M m

పరిష్కారం నం. 633. ఇవ్వబడింది: OABC- చదరపు AB = 6 సెం.మీ. వ్యాసార్థం 5 సెం.మీ మధ్య O కలిగిన వృత్తం కనుగొనండి: OA, AB, BC, AC O A B C O పంక్తుల నుండి secants

పరిష్కారం నం. 638, 640. d/z: లెర్న్ నోట్స్, నం. 631, 635

అంశంపై: పద్దతి అభివృద్ధి, ప్రదర్శనలు మరియు గమనికలు

లక్ష్యం: సరళ రేఖ మరియు విమానం యొక్క సాపేక్ష స్థానాన్ని గుర్తించే సామర్థ్యాన్ని ఏకీకృతం చేయడం, సమస్య-పరిష్కార నైపుణ్యాలను పరీక్షించడం మరియు జట్టుకృషి యొక్క భావాన్ని పెంపొందించడం. ...

రేఖ మరియు వృత్తం యొక్క సాపేక్ష స్థానం. 8వ తరగతి.

ప్రెజెంటేషన్‌లో రెడీమేడ్ డ్రాయింగ్‌లను ఉపయోగించి పరిష్కరించబడిన నాలుగు మౌఖిక సమస్యలు ఉన్నాయి. లక్ష్యం: కొత్త విషయాలను నేర్చుకోవడానికి విద్యార్థులను సిద్ధం చేయండి....

సరళ రేఖ మరియు వృత్తం యొక్క సాపేక్ష స్థానం. రెండు సర్కిల్‌ల సాపేక్ష స్థానం.

"పంక్తి మరియు వృత్తం యొక్క సాపేక్ష స్థానం. రెండు సర్కిల్‌ల సాపేక్ష స్థానం" అనే అంశంపై పాఠం కోసం సారాంశం మరియు ప్రదర్శన. పాఠ్యపుస్తకం "గణితం - 6" ఉపయోగించి 6వ తరగతిలో పాఠం. జి.వి. డోరోఫీవ్, నేను ...

ఒక వృత్తం మరియు కొంత సరళ రేఖను విమానంలో ఇవ్వనివ్వండి. ఈ సరళ రేఖపై వృత్తం C కేంద్రం నుండి లంబంగా వదలండి; ఈ లంబంగా ఉన్న ఆధారంతో సూచిస్తాము. ఒక బిందువు సర్కిల్‌కు సంబంధించి మూడు సాధ్యమైన స్థానాలను ఆక్రమించగలదు: ఎ) వృత్తం వెలుపల ఉంటుంది, బి) సర్కిల్‌పై, సి) సర్కిల్ లోపల. దీనిపై ఆధారపడి, దిగువ వివరించిన సర్కిల్‌కు సంబంధించి మూడు విభిన్న స్థానాల్లో ఒకదానిని సరళ రేఖ ఆక్రమిస్తుంది.

a) వృత్తం యొక్క కేంద్రం C నుండి వృత్తం వెలుపల ఉన్న అబద్ధం సరళ రేఖకు లంబంగా ఉన్న ఆధారాన్ని వదిలివేయండి (Fig. 197). అప్పుడు సరళ రేఖ వృత్తాన్ని కలుస్తుంది; దాని పాయింట్లన్నీ బయటి ప్రాంతంలో ఉంటాయి. నిజానికి, సూచించిన సందర్భంలో, షరతు ప్రకారం, ఇది వ్యాసార్థం కంటే ఎక్కువ దూరంలో ఉన్న కేంద్రం నుండి తీసివేయబడుతుంది). అంతేకాకుండా, ఒక సరళ రేఖపై ఉన్న M బిందువుకు, అంటే, ఇచ్చిన సరళ రేఖలోని ప్రతి బిందువు వృత్తం వెలుపల ఉంటుంది.

బి) వృత్తం (Fig. 198)పై లంబంగా ఉన్న ఆధారం పడిపోనివ్వండి. అప్పుడు సరళ రేఖ a సర్కిల్‌తో సరిగ్గా ఒక సాధారణ బిందువును కలిగి ఉంటుంది. నిజానికి, M అనేది రేఖ యొక్క ఏదైనా ఇతర బిందువు అయితే, (వొంపు ఉన్నవి లంబంగా కంటే పొడవుగా ఉంటాయి) M పాయింట్ బాహ్య ప్రాంతంలో ఉంటుంది. వృత్తంతో ఒకే సాధారణ బిందువును కలిగి ఉన్న అటువంటి రేఖను ఈ బిందువు వద్ద సర్కిల్‌కు టాంజెంట్ అంటారు. దీనికి విరుద్ధంగా, సరళ రేఖకు వృత్తంతో ఒకే సాధారణ బిందువు ఉంటే, ఈ బిందువుకు గీసిన వ్యాసార్థం ఈ సరళ రేఖకు లంబంగా ఉంటుందని చూపిద్దాం. నిజానికి, ఈ రేఖపై కేంద్రం నుండి లంబంగా వదలండి. దాని ఆధారం వృత్తం లోపల ఉంటే, c)లో చూపిన విధంగా సరళ రేఖ దానితో రెండు సాధారణ పాయింట్లను కలిగి ఉంటుంది. అది వృత్తం వెలుపల ఉన్నట్లయితే, ఎ) సరళ రేఖకు వృత్తంతో సాధారణ పాయింట్లు ఉండవు.

అందువల్ల, రేఖ మరియు వృత్తం యొక్క సాధారణ బిందువు వద్ద లంబంగా పడుతుందని భావించడం మిగిలి ఉంది - వాటి టాంజెన్సీ పాయింట్ వద్ద. ముఖ్యమైనదని నిరూపించబడింది

సిద్ధాంతం. ఒక వృత్తం మీద ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ ఆ బిందువుకు గీసిన వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉంటేనే వృత్తాన్ని తాకుతుంది.

ఇక్కడ ఇవ్వబడిన వృత్తానికి టాంజెంట్ యొక్క నిర్వచనం ఇతర వక్రతలకు మారదని గమనించండి. వక్ర రేఖకు సరళ రేఖ యొక్క టాంజెంట్ యొక్క మరింత సాధారణ నిర్వచనం పరిమితుల సిద్ధాంతం యొక్క భావనలతో ముడిపడి ఉంటుంది మరియు అధిక గణిత శాస్త్రంలో వివరంగా చర్చించబడుతుంది. ఇక్కడ మేము దాని గురించి సాధారణ భావనను మాత్రమే ఇస్తాము. దానిపై ఒక వృత్తం మరియు పాయింట్ A ఇవ్వబడనివ్వండి (Fig. 199).

సర్కిల్‌పై మరొక పాయింట్ A ని తీసుకుందాం మరియు AA యొక్క సరళ రేఖ యొక్క రెండు పాయింట్లను కనెక్ట్ చేద్దాం. పాయింట్ A, వృత్తం వెంబడి కదులుతూ, కొత్త స్థానాలను ఆక్రమించనివ్వండి, పాయింట్ Aకి మరింత ఎక్కువగా చేరుకుంటుంది. A చుట్టూ తిరిగే స్ట్రెయిట్ లైన్ AA, అనేక స్థానాలను తీసుకుంటుంది: ఈ సందర్భంలో, కదిలే పాయింట్ పాయింట్ Aకి చేరుకుంటుంది. , సరళ రేఖ AT టాంజెంట్‌తో సమానంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, ఇచ్చిన బిందువు గుండా వెళుతున్న సెకెంట్ యొక్క పరిమితి స్థానం మరియు పరిమితి లేకుండా దానిని చేరుకునే వక్రరేఖపై ఉన్న బిందువుగా మనం టాంజెంట్ గురించి మాట్లాడవచ్చు. ఈ రూపంలో, టాంజెంట్ యొక్క నిర్వచనం చాలా సాధారణ రూపం యొక్క వక్రతలకు వర్తిస్తుంది (Fig. 200).

c) చివరగా, పాయింట్ సర్కిల్ లోపల ఉండనివ్వండి (Fig. 201). అప్పుడు . C కేంద్రం నుండి a సరళ రేఖకు గీసిన వంపుతిరిగిన వృత్తాలను మేము పరిశీలిస్తాము, స్థావరాలు రెండు సాధ్యమైన దిశలలో ఏదైనా పాయింట్ నుండి దూరంగా కదులుతాయి. వంపుతిరిగిన పొడవు దాని బేస్ పాయింట్ నుండి దూరంగా కదులుతున్నప్పుడు మార్పు లేకుండా పెరుగుతుంది; వంపుతిరిగిన పొడవులో ఈ పెరుగుదల క్రమంగా ("నిరంతరంగా") విలువలకు దగ్గరగా ఉన్న విలువల నుండి ఏకపక్షంగా పెద్దదిగా ఉంటుంది, కాబట్టి ఇది స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది వంపుతిరిగిన స్థావరాల యొక్క నిర్దిష్ట స్థానం వద్ద వాటి పొడవు సరిగ్గా సమానంగా ఉంటుంది సంబంధిత పాయింట్లు K మరియు L రేఖ వృత్తం మీద ఉంటుంది.

సరళ రేఖ మరియు వృత్తం యొక్క సాపేక్ష స్థానం వాటి సాపేక్ష స్థానాన్ని బట్టి సరళ రేఖ మరియు వృత్తం ఎన్ని సాధారణ పాయింట్లను కలిగి ఉంటాయో తెలుసుకుందాం. ఒక వృత్తం మధ్యలో ఒక సరళ రేఖ వెళితే, అది వ్యాసం యొక్క రెండు చివర్లలోని వృత్తాన్ని కలుస్తుంది. ఈ ప్రైమా.

అది నేరుగా ఉండనివ్వండి ఆర్వ్యాసార్థ వృత్తం యొక్క కేంద్రం గుండా వెళ్ళదు ఆర్.లంబంగా గీయండి అతనుసరళ రేఖకు ఆర్మరియు అక్షరం ద్వారా సూచించండి డిఈ లంబంగా ఉండే పొడవు, అనగా, ఈ వృత్తం మధ్యలో నుండి సరళ రేఖకు దూరం (Fig. 1 ). మేము రేఖ మరియు వృత్తం మధ్య ఉన్న సంబంధాన్ని బట్టి సంబంధిత స్థానాన్ని పరిశీలిస్తాము డిమరియు ఆర్.మూడు సాధ్యమైన కేసులు ఉన్నాయి.

1) డి ఆర్పాయింట్ నుండి ఎన్రెండు విభాగాలను పక్కన పెట్టండి పైమరియు NV,సమానంగా ఉండే పొడవులు (Fig. 1) పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం OA=,

0 B= కాబట్టి, పాయింట్లు ఎమరియు INవృత్తం మీద పడుకుని, రేఖ యొక్క సాధారణ బిందువులు ఆర్మరియు ఇచ్చిన సర్కిల్.

రేఖ అని నిరూపిద్దాం ఆర్మరియు ఈ సర్కిల్‌కు ఇతర సాధారణ పాయింట్‌లు లేవు. వాటికి మరో సాధారణ పాయింట్ C. తర్వాత మధ్యస్థం ఉందని అనుకుందాం ఓ.డి.సమద్విబాహు త్రిభుజం OAS. బేస్ వరకు తీసుకువెళ్లారు AC,ఈ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు, కాబట్టి గురించిడిp. విభాగాలు ఓ.డి.మరియు అతనుజత చేయవద్దు

మధ్య నుండి డిసెగ్మెంట్ ACచుక్కతో సరిపోదు N -సెగ్మెంట్ మధ్య బిందువు , AB.పాయింట్ O నుండి రెండు లంబాలు గీయబడినట్లు మేము కనుగొన్నాము: అతనుమరియు OD-సరళ రేఖకు ఆర్,అసాధ్యమైనది. కాబట్టి ఉంటేదూరం వృత్తం మధ్యలో నుండి సరళ రేఖకు దూరం వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది(డి< р), ఆ సరళ రేఖ మరియు వృత్తంరెండు సాధారణ పాయింట్లు ఉన్నాయి.ఈ సందర్భంలో లైన్ అంటారు సెకెంట్సర్కిల్కు సంబంధించి.

2) d=ఆర్.ఈ విషయంలో OH=r,అంటే పాయింట్ ఎన్వృత్తం మీద ఉంటుంది మరియు కనుక ఇది రేఖ మరియు వృత్తం యొక్క సాధారణ బిందువు (Fig. 1, బి)నేరుగా ఆర్మరియు వృత్తానికి ఏ బిందువుకైనా ఉమ్మడిగా ఉన్న ఇతర పాయింట్లు లేవు ఎంనేరుగా ఆర్.పాయింట్ నుండి భిన్నమైనది N, OM>OH= ఆర్(వాలుగా ఓంమరింత లంబంగా అతను),ఇందుమూలంగా , పాయింట్ M సర్కిల్‌పై పడదు. కనుక ఉంటే జాతులువృత్తం యొక్క కేంద్రం నుండి సరళ రేఖకు దూరం వ్యాసార్థానికి సమానంగా ఉంటుంది, అప్పుడు సరళ రేఖ మరియు వృత్తం ఒకే ఒక సాధారణ బిందువును కలిగి ఉంటాయి.

3) d>ఆర్ఈ విషయంలో -ఓహ్> ఆర్అందుకే . ఏదైనా పాయింట్ కోసం ఎంనేరుగా p 0MON.>r(బియ్యం . 1,ఎ)కాబట్టి, పాయింట్ M సర్కిల్‌పై పడదు. కాబట్టి, .వృత్తం కేంద్రం నుండి దూరం ఉంటేసరళ రేఖకు దూరం వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు సరళ రేఖ మరియు వృత్తానికి సాధారణ పాయింట్లు లేవు.

ఒక పంక్తి మరియు వృత్తం ఒకటి లేదా రెండు సాధారణ పాయింట్లను కలిగి ఉండవచ్చని మరియు ఏ సాధారణ పాయింట్లను కలిగి ఉండకపోవచ్చని మేము నిరూపించాము. వృత్తంతో సరళ రేఖఒకే ఒక్కటి సాధారణ బిందువును వృత్తానికి టాంజెంట్ అంటారు,మరియు వారి సాధారణ బిందువును రేఖ మరియు వృత్తం యొక్క టాంజెన్సీ పాయింట్ అంటారు.మూర్తి 2 లో సరళ రేఖ ఉంది ఆర్- O కేంద్రంతో వృత్తానికి టాంజెంట్, ఎ- పరిచయం పాయింట్.

టాంజెంట్ ప్రాపర్టీ గురించి సిద్ధాంతాన్ని నిరూపిద్దాం.

సిద్ధాంతం. వృత్తానికి టాంజెంట్ లంబంగా ఉంటుందికు సంప్రదింపు బిందువుకు గీసిన వ్యాసార్థం.

రుజువు. వీలు ఆర్- O కేంద్రంతో వృత్తానికి టాంజెంట్. ఎ- పరిచయం పాయింట్ (Fig. 2 చూడండి). నిరూపిద్దాం. టాంజెంట్ ఏమిటి ఆర్వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఓ ఏ.

ఇది అలా కాదని అనుకుందాం. అప్పుడు వ్యాసార్థం: ఓ ఏసరళ రేఖకు వొంపు ఉంటుంది ఆర్.పాయింట్ నుండి లంబంగా డ్రా అయినందున గురించిసరళ రేఖకు ఆర్,తక్కువ మొగ్గు ఓ ఏ, అప్పుడు కేంద్రం నుండి దూరాలు గురించివృత్తం నుండి సరళ రేఖకు ఆర్వ్యాసార్థం కంటే తక్కువ. అందువలన, నేరుగా ఆర్మరియు వృత్తానికి రెండు సాధారణ పాయింట్లు ఉంటాయి. కానీ ఇది షరతుకు విరుద్ధంగా ఉంది; నేరుగా ఆర్- టాంజెంట్. అందువలన, నేరుగా ఆర్వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఓ ఏ.సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

మధ్యలో ఉన్న వృత్తానికి రెండు టాంజెంట్‌లను పరిగణించండి గురించి, పాయింట్ గుండా వెళుతుంది ఎమరియు పాయింట్ల వద్ద సర్కిల్‌ను తాకడం INమరియు సి (Fig. 3). విభాగాలు ABమరియు ACపిలుద్దాం టాంజెంట్ విభాగాలుnyh, పాయింట్ A నుండి తీసుకోబడింది.వారు ఈ క్రింది ఆస్తిని కలిగి ఉన్నారు, ఇది నిరూపితమైన సిద్ధాంతం నుండి అనుసరిస్తుంది:

ఒక బిందువు నుండి గీసిన వృత్తానికి టాంజెంట్‌ల విభాగాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు ఈ బిందువు మరియు వృత్తం మధ్యలో ఉన్న సరళ రేఖతో సమాన కోణాలను తయారు చేస్తాయి.

ఈ ప్రకటనను నిరూపించడానికి, మనం మూర్తి 3కి వెళ్దాం. టాంజెంట్ ప్రాపర్టీ గురించి సిద్ధాంతం ప్రకారం, కోణాలు 1 మరియు 2 లంబ కోణాలు, కాబట్టి త్రిభుజాలు AVOమరియు ASOదీర్ఘచతురస్రాకార. సాధారణ హైపోటెన్యూస్ ఉన్నందున అవి సమానంగా ఉంటాయి ఓ ఏమరియు సమాన కాళ్ళు OBమరియు OS.అందుకే, AB=ACమరియు 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

అన్నం. 2 అంజీర్. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" width="101" height="19 src=">.

కాంటాక్ట్ పాయింట్ ద్వారా వ్యాసాన్ని గీయడం ME, ఉంటుంది: ; అందుకే

అన్నం. 1 అంజీర్. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" width="191 height=177" height="177">.jpg" width="227 height=197" height="197" >

ఆర్క్‌లు, తీగలు మరియు కేంద్రం నుండి తీగల దూరాల మధ్య ఆధారపడటం.

సిద్ధాంతాలు. ఒక సర్కిల్‌లో లేదావి సమాన వృత్తాలు :

1) ఆర్క్‌లు సమానంగా ఉంటే, వాటిని ఉపసంహరించుకునే తీగలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు కేంద్రం నుండి సమానంగా ఉంటాయి;

2) సెమిసర్కిల్ కంటే చిన్న రెండు ఆర్క్‌లు సమానంగా లేకుంటే, వాటిలో పెద్దది పెద్ద తీగ ద్వారా ఉపసంహరించబడుతుంది మరియు రెండు తీగలలో పెద్దది కేంద్రానికి దగ్గరగా ఉంటుంది .

1) ఆర్క్ లెట్ ABఆర్క్ కు సమానం CD(Fig. 1), శ్రుతులు AB మరియు అని నిరూపించడానికి ఇది అవసరం CDసమాన మరియు కూడా సమాన మరియు లంబంగా OEమరియు OF,కేంద్రం నుండి తీగలకు తగ్గించబడింది.

రంగాన్ని తిప్పుదాం OAJBకేంద్రం చుట్టూ గురించివ్యాసార్థం చాలా బాణం సూచించిన దిశలో గురించిఏకీభవించింది OS.అప్పుడు ఆర్క్ VAఒక ఆర్క్ లో వెళ్తుంది CDమరియు వారి సమానత్వం కారణంగా, ఈ ఆర్క్‌లు అతివ్యాప్తి చెందుతాయి. దీని అర్థం AS తీగ తీగతో సమానంగా ఉంటుంది CDమరియు లంబంగా OEఏకీభవిస్తుంది OF(ఒక పాయింట్ నుండి ఒక లంబాన్ని మాత్రమే సరళ రేఖపైకి తగ్గించవచ్చు), అనగా. AB=CDమరియు OE=OF.

2) ఆర్క్ లెట్ AB(Fig. 2) తక్కువ ఆర్క్ CD,మరియు, అంతేకాకుండా, రెండు ఆర్క్‌లు సెమిసర్కిల్ కంటే చిన్నవిగా ఉంటాయి; తీగ అని నిరూపించడానికి ఇది అవసరం ABతక్కువ తీగ CD,మరియు లంబంగా OEమరింత లంబంగా OF. దానిని ఆర్క్‌లో ఉంచుదాం CDఆర్క్ SK,సమానంగా AB,మరియు సహాయక తీగను గీయండి SK, ఇది నిరూపించబడిన దాని ప్రకారం, తీగతో సమానంగా ఉంటుంది ABమరియు కేంద్రం నుండి సమానంగా దూరం. త్రిభుజాల వద్ద సి.ఓ.డి.మరియు జ్యూస్ఒకదాని యొక్క రెండు భుజాలు ఒకదానికొకటి రెండు భుజాలకు సమానం (రేడీల వంటివి), కానీ ఈ భుజాల మధ్య ఉన్న కోణాలు సమానంగా ఉండవు; ఈ సందర్భంలో, మనకు తెలిసినట్లుగా, పెద్ద కోణాలకు వ్యతిరేకంగా, అనగా. lCOD,పెద్ద వైపు తప్పనిసరిగా అబద్ధం చెప్పాలి, అంటే CD>CK,మరియు అందుకే CD>AB.

అని నిరూపించడానికి OE>OF,మేము నిర్వహిస్తాము OLXCKమరియు నిరూపించబడిన దాని ప్రకారం, పరిగణనలోకి తీసుకోండి OE=OL;కాబట్టి, మనం పోల్చుకుంటే సరిపోతుంది OFతో OL.లంబ త్రిభుజంలో 0 FM(డాష్‌లతో బొమ్మలో కప్పబడి ఉంటుంది) హైపోటెన్యూస్ ఓంమరింత కాలు OF;కానీ OL>OM;అంటే ఇంకా ఎక్కువ OL>OF.మరియు అందుకే OE>OF.

ఒక వృత్తం కోసం మేము నిరూపించిన సిద్ధాంతం సమాన వృత్తాలకు నిజమైనదిగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే అటువంటి వృత్తాలు ఒకదానికొకటి స్థానంలో మాత్రమే భిన్నంగా ఉంటాయి.

సంభాషణ సిద్ధాంతాలు. మునుపటి పేరాలో ఒకే వ్యాసార్థంలోని రెండు ఆర్క్‌ల తులనాత్మక పరిమాణానికి సంబంధించి అన్ని రకాల పరస్పరం ప్రత్యేకమైన సందర్భాలు పరిగణించబడ్డాయి మరియు తీగల యొక్క తులనాత్మక పరిమాణం మరియు కేంద్రం నుండి వాటి దూరాలకు సంబంధించి పరస్పరం ప్రత్యేకమైన ముగింపులు పొందబడ్డాయి కాబట్టి, సంభాషణ ప్రతిపాదనలు తప్పనిసరిగా ఉండాలి నిజం, సి. సరిగ్గా:

IN ఒక సర్కిల్ లేదా సమాన వృత్తాలు:

1) సమాన తీగలు కేంద్రం నుండి సమానంగా దూరంగా ఉంటాయి మరియు సమాన ఆర్క్‌లను ఉపసంహరించుకుంటాయి;

2) కేంద్రం నుండి సమానంగా దూరంలో ఉన్న తీగలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు సమాన ఆర్క్‌లను ఉపసంహరించుకుంటాయి;

3) రెండు అసమాన తీగలలో, పెద్దది కేంద్రానికి దగ్గరగా ఉంటుంది మరియు పెద్ద ఆర్క్‌ను ఉపసంహరించుకుంటుంది;

4) రెండు తీగలు కేంద్రం నుండి అసమానంగా దూరంగా ఉన్నాయి, ఇది కేంద్రానికి దగ్గరగా ఉన్న పెద్దది మరియు పెద్ద ఆర్క్‌ను ఉపసంహరించుకుంటుంది.

ఈ ప్రతిపాదనలు వైరుధ్యం ద్వారా సులభంగా నిరూపించబడతాయి. ఉదాహరణకు, వాటిలో మొదటిదాన్ని నిరూపించడానికి, మేము ఈ క్రింది విధంగా వాదిస్తాము: ఈ తీగలు అసమాన ఆర్క్‌లను కలిగి ఉంటే, అప్పుడు, ప్రత్యక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం, అవి సమానంగా ఉండవు, ఇది షరతుకు విరుద్ధంగా ఉంటుంది; దీని అర్థం సమాన తీగలు సమాన ఆర్క్‌లను ఉపసంహరించుకోవాలి; మరియు ఆర్క్‌లు సమానంగా ఉంటే, ప్రత్యక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం, వాటిని ఉపసంహరించుకునే తీగలు కేంద్రం నుండి సమానంగా దూరంగా ఉంటాయి.

సిద్ధాంతం. తీగలలో వ్యాసం పెద్దది .

మేము కేంద్రానికి కనెక్ట్ చేస్తే గురించిమధ్యలో గుండా వెళ్ళని కొన్ని తీగ చివరలు, ఉదాహరణకు ఒక తీగ AB(Fig. 3) అప్పుడు మేము ఒక త్రిభుజం పొందుతాము AOB,దీనిలో ఒక వైపు ఈ తీగ, మరియు ఇతర రెండు వ్యాసార్థాలు, కానీ ఒక త్రిభుజంలో, ప్రతి వైపు ఇతర రెండు భుజాల మొత్తం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది; అందువలన తీగ ABరెండు రేడియాల మొత్తం కంటే తక్కువ; అయితే ప్రతి వ్యాసం CDరెండు వ్యాసార్థాల మొత్తానికి సమానం. దీని అర్థం మధ్యలో గుండా వెళ్ళని ఏదైనా తీగ కంటే వ్యాసం ఎక్కువగా ఉంటుంది. కానీ వ్యాసం కూడా శ్రేణి కాబట్టి, తీగలలో వ్యాసమే పెద్దదని చెప్పవచ్చు.

అన్నం. 1 అంజీర్. 2

టాంజెంట్ సిద్ధాంతం.

ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, ఒక బిందువు నుండి వృత్తానికి గీసిన టాంజెంట్ విభాగాలు ఒకే పొడవును కలిగి ఉంటాయి. ఈ పొడవు అంటారు టాంజెంట్ దూరంఒక బిందువు నుండి వృత్తం వరకు.

టాంజెంట్ సిద్ధాంతం లేకుండా, లిఖిత వృత్తాల గురించి, మరో మాటలో చెప్పాలంటే, బహుభుజి వైపులా తాకే వృత్తాల గురించి ఒకటి కంటే ఎక్కువ సమస్యలను పరిష్కరించడం అసాధ్యం.

త్రిభుజంలో టాంజెంట్ దూరాలు.

త్రిభుజం వైపులా ఉండే విభాగాల పొడవులను కనుగొనండి ABCఒక వృత్తంతో స్పర్శ బిందువుల ద్వారా విభజించబడ్డాయి (Fig. 1,a), ఉదాహరణకు, టాంజెంట్ దూరం tаపాయింట్ నుండి ఎసర్కిల్కు. వైపులా కలుపుదాం బిమరియు సి, ఆపై మొత్తం నుండి వైపు తీసివేయండి ఎ. ఒక శీర్షం నుండి గీసిన టాంజెంట్ల సమానత్వాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మనకు 2 వస్తుంది tа. కాబట్టి,

ta=(b+c-ఎ)/ 2=p-a,

ఎక్కడ p=(a+b+సి)/ 2 అనేది ఈ త్రిభుజం యొక్క సెమీ చుట్టుకొలత. శీర్షాలకు ప్రక్కనే ఉన్న సైడ్ సెగ్మెంట్ల పొడవు INమరియు తో, వరుసగా సమానంగా ఉంటాయి p-బిమరియు p-సి.

అదేవిధంగా, ఒక త్రిభుజం టాంజెంట్ యొక్క ఎక్సర్కిల్ కోసం (బయట) వైపు ఎ(Fig. 1, b), నుండి టాంజెంట్ దూరాలు INమరియు తోవరుసగా సమానంగా ఉంటాయి p-సిమరియు p-బి, మరియు ఎగువ నుండి ఎ- కేవలం p.

ఈ సూత్రాలను వ్యతిరేక దిశలో కూడా ఉపయోగించవచ్చని గమనించండి.

అది మూలకు వెళ్లనివ్వండి మీరుఒక వృత్తం చెక్కబడి ఉంటుంది మరియు కోణం యొక్క శీర్షం నుండి వృత్తానికి టాంజెంట్ దూరం సమానంగా ఉంటుందిpలేదాp- a, ఎక్కడp- త్రిభుజం యొక్క సెమీ చుట్టుకొలత ABC, ఎ a=క్రీ.పూ. అప్పుడు వృత్తం రేఖను తాకుతుంది సూర్యుడు(వరుసగా త్రిభుజం వెలుపల లేదా లోపల).

నిజానికి, ఉదాహరణకు, టాంజెంట్ దూరం సమానంగా ఉండనివ్వండి p-a. అప్పుడు మన వృత్తాలు త్రిభుజం యొక్క వృత్తం వలె అదే పాయింట్ల వద్ద కోణం యొక్క భుజాలను తాకుతాయి ABC, అంటే అది దానితో సమానంగా ఉంటుంది. అందువలన, ఇది లైన్ను తాకుతుంది సూర్యుడు.

ప్రదక్షిణ చతుర్భుజం.టాంజెంట్ల సమానత్వంపై సిద్ధాంతం నుండి అది వెంటనే అనుసరిస్తుంది (Fig. 2a).

ఒక వృత్తాన్ని చతుర్భుజంలో లిఖించగలిగితే, దాని వ్యతిరేక భుజాల మొత్తాలు సమానంగా ఉంటాయి:

AD+ BC= AB+ CD

వివరించిన చతుర్భుజం తప్పనిసరిగా కుంభాకారంగా ఉంటుందని గమనించండి. వ్యతిరేకం కూడా నిజం:

చతుర్భుజం కుంభాకారంగా ఉంటే మరియు దాని వ్యతిరేక భుజాల మొత్తాలు సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు దానిలో ఒక వృత్తాన్ని చెక్కవచ్చు.

సమాంతర చతుర్భుజం కాకుండా ఇతర చతుర్భుజం కోసం దీనిని నిరూపిద్దాం. ఉదాహరణకు, చతుర్భుజం యొక్క కొన్ని రెండు వ్యతిరేక భుజాలను తెలియజేయండి ABమరియు DC,కొనసాగినప్పుడు అవి ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయి ఇ(Fig. 2, b). వృత్తాన్ని త్రిభుజంలోకి రాద్దాం ADE. దాని టాంజెంట్ దూరం teవిషయానికి ఇసూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది

te =½ (AE+ED-AD).

కానీ షరతు ప్రకారం, చతుర్భుజం యొక్క వ్యతిరేక భుజాల మొత్తాలు సమానంగా ఉంటాయి, అంటే AD+BC=AB+CD, లేదా AD=AB+CD-బి.సి.. కోసం వ్యక్తీకరణలో ఈ విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం te, మాకు దొరికింది

te=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+BC)= ½ (BE+EC+BC),

మరియు ఇది త్రిభుజం యొక్క సెమీ చుట్టుకొలత బి.సి.ఇ.. పైన నిరూపించబడిన టాంజెన్సీ స్థితి నుండి మన సర్కిల్ తాకినట్లు అనుసరిస్తుంది బి.సి..

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width="336" height="198 src=">

దాని వెలుపలి బిందువు నుండి వృత్తానికి గీసిన రెండు టాంజెంట్‌లు సమానంగా ఉంటాయి మరియు ఈ బిందువును కేంద్రంతో అనుసంధానించే సరళ రేఖతో సమాన కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి, ఇది AOB మరియు AOB1 లంబ త్రిభుజాల సమానత్వం నుండి అనుసరిస్తుంది.

పాయింట్ O వద్ద కేంద్రం మరియు సరళ రేఖ aతో ఏకపక్ష వృత్తాన్ని తీసుకుందాం.
సరళ రేఖ A పాయింట్ O గుండా వెళితే, అది ఇచ్చిన వృత్తాన్ని K మరియు L అనే రెండు పాయింట్ల వద్ద కలుస్తుంది, అవి a సరళ రేఖపై ఉన్న వ్యాసం చివరలు.

సరళ రేఖ a వృత్తం యొక్క కేంద్రం O గుండా వెళ్ళకపోతే, మేము సహాయక నిర్మాణాన్ని నిర్వహిస్తాము మరియు సరళ రేఖను గీస్తాము ఓహ్సరళ రేఖకు లంబంగా aమరియు వృత్తం యొక్క కేంద్రం నుండి సరళ రేఖకు ఫలిత దూరాన్ని సూచించండి aవేరియబుల్ rasstoanie. రేఖకు ఎన్ని సాధారణ పాయింట్లు ఉంటాయో తెలుసుకుందాం aమరియు వేరియబుల్ rasstoanie మరియు వ్యాసార్థం మధ్య సంబంధాన్ని బట్టి వృత్తాలు.
3 ఎంపికలు ఉండవచ్చు:

1. rasstoanie < వ్యాసార్థం. ఈ సందర్భంలో, పాయింట్ హెచ్ఇచ్చిన సర్కిల్ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన సర్కిల్ మధ్యలో ఉంటుంది.

ఒక విభాగాన్ని సరళ రేఖలో ఉంచుదాం HD = rఆదియస్.

OHDలో హైపోటెన్యూస్ ఓ.డి.మరింత కాలు HD, అందుకే OD > rఆదియస్. అందువలన, పాయింట్ డిఇచ్చిన వృత్తం ద్వారా సరిహద్దులుగా ఉన్న వృత్తం దాటి ఉంటుంది. దీని అర్థం సెగ్మెంట్ యొక్క ఒక ముగింపు HDవృత్తం మధ్యలో ఉంది, మరియు మరొకటి సర్కిల్ వెలుపల ఉంది. అందువలన, విభాగంలో HDమీరు ఒక పాయింట్‌ను గుర్తించవచ్చు ఎ, ఇది సర్కిల్‌పై ఉంటుంది, అంటే OA = rఆదియస్.

పుంజం పొడిగించుకుందాం హెచ్.ఎ.మరియు దానిపై ఒక విభాగాన్ని ఉంచండి BH, ఇది విభాగానికి సమానం AN

2 లంబ త్రిభుజాలను స్వీకరించారు OHAమరియు OHB, ఇవి రెండు కాళ్లపై సమానంగా ఉంటాయి. అప్పుడు వాటి సంబంధిత భుజాలు సమానంగా ఉంటాయి: OB = OA = r. అందుకే, బివృత్తం మరియు రేఖ యొక్క సాధారణ బిందువు కూడా. వృత్తంలోని 3 పాయింట్లు ఒకే రేఖపై ఉండవు కాబట్టి, రేఖ యొక్క ఇతర సాధారణ పాయింట్లు aమరియు సర్కిల్‌లు లేవు.
ఈ విధంగా, వృత్తం యొక్క కేంద్రం మరియు సరళ రేఖ మధ్య దూరం వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం కంటే తక్కువగా ఉంటే ( rasstoanie < r ఆదియస్), అప్పుడు పంక్తి మరియు వృత్తం 2 సాధారణ పాయింట్లను కలిగి ఉంటాయి.

1. rasstoanie= ఆర్ఆదియస్ . ఎందుకంటే OH = rఆదియస్, అప్పుడు పాయింట్ హెచ్వృత్తానికి చెందినది మరియు కనుక ఇది రేఖకు ఒక సాధారణ బిందువు aమరియు సర్కిల్‌లు.

లైన్‌లోని ఏదైనా ఇతర పాయింట్ల కోసం a(ఉదాహరణకు, పాయింట్లు మరియు ఎం) వాలుగా ఓంమరింత విభాగం ఓహ్, అంటే OM > OH = rఆదియస్, అందువలన పాయింట్ ఎంఇచ్చిన సర్కిల్‌కు చెందినది కాదు.
కాబట్టి, వృత్తం యొక్క కేంద్రం మరియు సరళ రేఖ మధ్య దూరం వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానంగా ఉంటే ( rasstoanie= ఆర్ఆదియస్), అప్పుడు పంక్తి మరియు వృత్తం ఒకే ఒక సాధారణ బిందువును కలిగి ఉంటాయి.

1. rasstoanie>ఆర్ఆదియస్ . OH > వ్యాసార్థం నుండి, ఆపై పంక్తిలోని ఏదైనా పాయింట్లకు a(ఉదాహరణకు, పాయింట్లు ఎం) అసమానత కలిగి ఉంది OM > OH > rఆదియస్. కాబట్టి పాయింట్ ఎంవృత్తానికి చెందినది కాదు.

కాబట్టి, వృత్తం యొక్క కేంద్రం మరియు సరళ రేఖ మధ్య దూరం వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం కంటే ఎక్కువగా ఉంటే ( rasstoanie>ఆర్ఆదియస్), అప్పుడు పంక్తి మరియు వృత్తానికి సాధారణ పాయింట్లు లేవు.

మనం ఒక ముఖ్యమైన నిర్వచనాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం - సర్కిల్ యొక్క నిర్వచనం]

నిర్వచనం:

పాయింట్ O వద్ద కేంద్రం మరియు R వ్యాసార్థం ఉన్న వృత్తం అనేది పాయింట్ O నుండి R దూరంలో ఉన్న విమానం యొక్క అన్ని బిందువుల సమితి.

సర్కిల్ అనేది ఒక సమితి అనే వాస్తవాన్ని మనం దృష్టిలో ఉంచుకుందాం ప్రతి ఒక్కరూవివరించిన పరిస్థితిని సంతృప్తిపరిచే పాయింట్లు. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

స్క్వేర్ యొక్క A, B, C, D పాయింట్లు పాయింట్ E నుండి సమాన దూరంలో ఉన్నాయి, కానీ అవి వృత్తం కాదు (Fig. 1).

అన్నం. 1. ఉదాహరణకి ఉదాహరణ

ఈ సందర్భంలో, ఫిగర్ ఒక వృత్తం, ఎందుకంటే ఇది కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్ల సమితి.

మీరు సర్కిల్‌పై ఏవైనా రెండు పాయింట్‌లను కనెక్ట్ చేస్తే, మీరు తీగను పొందుతారు. కేంద్రం గుండా వెళ్ళే తీగను వ్యాసం అంటారు.

MB - తీగ; AB - వ్యాసం; MnB అనేది ఒక ఆర్క్, ఇది MV తీగ ద్వారా సంకోచించబడుతుంది;

కోణాన్ని సెంట్రల్ అంటారు.

పాయింట్ O అనేది వృత్తం యొక్క కేంద్రం.

అన్నం. 2. ఉదాహరణకు ఉదాహరణ

ఈ విధంగా, సర్కిల్ అంటే ఏమిటి మరియు దాని ప్రధాన అంశాలు మేము గుర్తుంచుకున్నాము. ఇప్పుడు వృత్తం మరియు సరళ రేఖ యొక్క సాపేక్ష స్థానాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము.

O కేంద్రం మరియు r వ్యాసార్థంతో వృత్తం ఇవ్వబడింది. సరళ రేఖ P, కేంద్రం నుండి సరళ రేఖకు దూరం, అంటే OMకి లంబంగా, dకి సమానం.

O పాయింట్ P లైన్‌లో ఉండదని మేము ఊహిస్తాము.

ఒక వృత్తం మరియు సరళ రేఖను బట్టి, మేము సాధారణ పాయింట్ల సంఖ్యను కనుగొనాలి.

కేసు 1 - వృత్తం మధ్యలో నుండి సరళ రేఖకు దూరం వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది:

మొదటి సందర్భంలో, దూరం d వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం కంటే తక్కువగా ఉన్నప్పుడు, పాయింట్ M వృత్తం లోపల ఉంటుంది. ఈ పాయింట్ నుండి మేము రెండు విభాగాలను ప్లాట్ చేస్తాము - MA మరియు MB, దీని పొడవు ఉంటుంది . r మరియు d విలువలు మనకు తెలుసు, d r కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, అంటే వ్యక్తీకరణ ఉనికిలో ఉంది మరియు పాయింట్లు A మరియు B ఉనికిలో ఉన్నాయి. ఈ రెండు పాయింట్లు నిర్మాణం ద్వారా సరళ రేఖపై ఉంటాయి. వారు సర్కిల్‌పై పడుకున్నారో లేదో తనిఖీ చేద్దాం. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి దూరాన్ని OA మరియు OBని గణిద్దాం:

అన్నం. 3. కేసు 1 కోసం ఉదాహరణ

కేంద్రం నుండి రెండు బిందువుల దూరం వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానం, కాబట్టి A మరియు B పాయింట్లు సర్కిల్‌కు చెందినవని మేము నిరూపించాము.

కాబట్టి, A మరియు B పాయింట్లు నిర్మాణం ద్వారా లైన్‌కు చెందినవి, అవి నిరూపించబడిన వాటి ద్వారా సర్కిల్‌కు చెందినవి - సర్కిల్ మరియు లైన్‌కు రెండు సాధారణ పాయింట్లు ఉన్నాయి. ఇతర పాయింట్లు లేవని నిరూపిద్దాం (Fig. 4).

అన్నం. 4. రుజువు కోసం ఉదాహరణ

దీన్ని చేయడానికి, ఒక సరళ రేఖపై ఏకపక్ష బిందువు C ను తీసుకోండి మరియు అది ఒక వృత్తం - దూరం OS = r అని భావించండి. ఈ సందర్భంలో, త్రిభుజం ఐసోసెల్స్ మరియు దాని మధ్యస్థ ON, ఇది సెగ్మెంట్ OMతో ఏకీభవించదు, ఎత్తు. మేము ఒక వైరుధ్యాన్ని పొందుతాము: పాయింట్ O నుండి సరళ రేఖపై రెండు లంబాలు పడిపోతాయి.

అందువలన, వృత్తంతో P లైన్‌లో ఇతర సాధారణ పాయింట్లు లేవు. r వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం కంటే d దూరం తక్కువగా ఉన్న సందర్భంలో, సరళ రేఖ మరియు వృత్తం ఉమ్మడిగా రెండు పాయింట్లను మాత్రమే కలిగి ఉన్నాయని మేము నిరూపించాము.

కేసు రెండు - వృత్తం మధ్యలో నుండి సరళ రేఖకు దూరం వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానంగా ఉంటుంది (Fig. 5):

అన్నం. 5. కేసు 2 కోసం ఉదాహరణ

ఒక బిందువు నుండి సరళ రేఖకు దూరం లంబంగా ఉండే పొడవు అని గుర్తుంచుకోండి, ఈ సందర్భంలో OH లంబంగా ఉంటుంది. షరతుల ప్రకారం, OH పొడవు వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానంగా ఉంటుంది, ఆపై పాయింట్ H వృత్తానికి చెందినది, కాబట్టి పాయింట్ H అనేది లైన్ మరియు సర్కిల్‌కు సాధారణం.

ఇతర సాధారణ పాయింట్లు లేవని నిరూపిద్దాం. దీనికి విరుద్ధంగా: లైన్‌లోని పాయింట్ C సర్కిల్‌కు చెందినదని అనుకుందాం. ఈ సందర్భంలో, దూరం OS rకి సమానం, ఆపై OS OHకి సమానం. కానీ లంబకోణ త్రిభుజంలో, హైపోటెన్యూస్ OC లెగ్ OH కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. మాకు ఒక వైరుధ్యం వచ్చింది. ఆ విధంగా, ఊహ తప్పు మరియు రేఖకు మరియు వృత్తానికి సాధారణమైన H తప్ప మరే ఇతర పాయింట్ లేదు. ఈ సందర్భంలో ఒకే ఒక సాధారణ విషయం ఉందని మేము నిరూపించాము.

కేసు 3 - వృత్తం మధ్యలో నుండి సరళ రేఖకు దూరం వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది:

ఒక బిందువు నుండి రేఖకు దూరం లంబంగా ఉండే పొడవు. మేము పాయింట్ O నుండి లైన్ P వరకు లంబంగా గీస్తాము, మేము పాయింట్ H ను పొందుతాము, ఇది సర్కిల్‌పై ఉండదు, ఎందుకంటే OH అనేది వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. రేఖపై ఉన్న మరే ఇతర బిందువు సర్కిల్‌పై పడదని నిరూపిద్దాం. ఇది లంబ త్రిభుజం నుండి స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది, దీని యొక్క హైపోటెన్యూస్ OM లెగ్ OH కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు అందువల్ల వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది, కాబట్టి పాయింట్ M రేఖలోని ఇతర బిందువుల వలె వృత్తానికి చెందినది కాదు. ఈ సందర్భంలో సర్కిల్ మరియు సరళ రేఖకు సాధారణ పాయింట్లు లేవని మేము నిరూపించాము (Fig. 6).

అన్నం. 6. కేసు 3 కోసం ఉదాహరణ

పరిగణలోకి తీసుకుందాం సిద్ధాంతం . సరళ రేఖ AB వృత్తంతో రెండు సాధారణ పాయింట్లను కలిగి ఉందని అనుకుందాం (Fig. 7).

అన్నం. 7. సిద్ధాంతానికి ఉదాహరణ

మాకు AB తీగ ఉంది. పాయింట్ H, సంప్రదాయం ప్రకారం, AB తీగ మధ్యలో ఉంటుంది మరియు వ్యాసం CD పై ఉంటుంది.

ఈ సందర్భంలో వ్యాసం తీగకు లంబంగా ఉందని నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

రుజువు:

సమద్విబాహు త్రిభుజం OABని పరిగణించండి, ఇది సమద్విబాహు ఎందుకంటే .

పాయింట్ H, సంప్రదాయం ప్రకారం, తీగ యొక్క మధ్య బిందువు, అంటే సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క మధ్యస్థ AB యొక్క మధ్య బిందువు. సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క మధ్యస్థం దాని స్థావరానికి లంబంగా ఉంటుందని మనకు తెలుసు, అంటే అది ఎత్తు: , కాబట్టి, తీగ మధ్య గుండా వెళుతున్న వ్యాసం దానికి లంబంగా ఉందని నిరూపించబడింది.

ఫెయిర్ మరియు సంభాషణ సిద్ధాంతం : వ్యాసం తీగకు లంబంగా ఉంటే, అది దాని మధ్యలో గుండా వెళుతుంది.

కేంద్రం O, దాని వ్యాసం CD మరియు తీగ ABతో వృత్తం ఇవ్వబడింది. వ్యాసం తీగకు లంబంగా ఉందని తెలుసు; అది దాని మధ్య గుండా వెళుతుందని నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది (Fig. 8).

అన్నం. 8. సిద్ధాంతానికి ఉదాహరణ

రుజువు:

సమద్విబాహు త్రిభుజం OABని పరిగణించండి, ఇది సమద్విబాహు ఎందుకంటే . OH, సంప్రదాయం ప్రకారం, త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు, ఎందుకంటే వ్యాసం తీగకు లంబంగా ఉంటుంది. సమద్విబాహు త్రిభుజంలోని ఎత్తు కూడా మధ్యస్థంగా ఉంటుంది, కాబట్టి AN = HB, అంటే పాయింట్ H అనేది తీగ AB యొక్క మధ్య బిందువు, అంటే తీగకు లంబంగా ఉన్న వ్యాసం దాని మధ్య బిందువు గుండా వెళుతుందని నిరూపించబడింది.

ప్రత్యక్ష మరియు సంభాషణ సిద్ధాంతాన్ని ఈ క్రింది విధంగా సాధారణీకరించవచ్చు.

సిద్ధాంతం:

వ్యాసం దాని మధ్య బిందువు గుండా వెళితే మరియు మాత్రమే తీగకు లంబంగా ఉంటుంది.

కాబట్టి, మేము లైన్ మరియు సర్కిల్ యొక్క సాపేక్ష స్థానం యొక్క అన్ని కేసులను పరిగణించాము. తరువాతి పాఠంలో మనం వృత్తానికి టాంజెంట్‌ని పరిశీలిస్తాము.

గ్రంథ పట్టిక

1. అలెగ్జాండ్రోవ్ A.D. మొదలైనవి. జ్యామితి 8వ తరగతి. - M.: విద్య, 2006.
2. బుతుజోవ్ V.F., కడోమ్ట్సేవ్ S.B., ప్రసోలోవ్ V.V. జ్యామితి 8. - M.: విద్య, 2011.
3. మెర్జ్లియాక్ A.G., పోలోన్స్కీ V.B., యాకిర్ S.M. జామెట్రీ 8వ తరగతి. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Edu.glavsprav.ru ().
2. Webmath.exponenta.ru ().
3. Fmclass.ru ().

ఇంటి పని

టాస్క్ 1. తీగ యొక్క పొడవు 16 సెం.మీ మరియు వ్యాసం దానికి లంబంగా ఉంటే, వృత్తం యొక్క వ్యాసం దానిని విభజించే తీగ యొక్క రెండు విభాగాల పొడవులను కనుగొనండి.

టాస్క్ 2. ఒక లైన్ మరియు సర్కిల్ యొక్క సాధారణ పాయింట్ల సంఖ్యను సూచించండి:

a) సరళ రేఖ నుండి వృత్తం మధ్యలో దూరం 6 సెం.మీ, మరియు వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం 6.05 సెం.మీ;

బి) సరళ రేఖ నుండి వృత్తం మధ్యలో దూరం 6.05 సెం.మీ, మరియు వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం 6 సెం.మీ;

c) సరళ రేఖ నుండి వృత్తం మధ్యలో దూరం 8 సెం.మీ, మరియు వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం 16 సెం.మీ.

టాస్క్ 3. వ్యాసం దానికి లంబంగా ఉంటే తీగ యొక్క పొడవును కనుగొనండి మరియు దాని నుండి వ్యాసం ద్వారా కత్తిరించబడిన విభాగాలలో ఒకటి 2 సెం.మీ.