ఈ పాఠంలో మనం అసమానతల వ్యవస్థలను అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభిస్తాము. మొదట, మేము సరళ అసమానతల వ్యవస్థలను పరిశీలిస్తాము. పాఠం ప్రారంభంలో, అసమానతల వ్యవస్థలు ఎక్కడ మరియు ఎందుకు ఉత్పన్నమవుతాయని మేము పరిశీలిస్తాము. తరువాత, మేము సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించడం అంటే ఏమిటో అధ్యయనం చేస్తాము మరియు సెట్ల యూనియన్ మరియు ఖండనను గుర్తుంచుకోవాలి. ముగింపులో మేము సరళ అసమానతల వ్యవస్థల యొక్క నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను పరిష్కరిస్తాము.
విషయం: ఆహారంఅసమానతలు మరియు వాటి వ్యవస్థలు
పాఠం:ప్రధానభావనలు, సరళ అసమానతల పరిష్కార వ్యవస్థలు
ఇప్పటివరకు మేము వ్యక్తిగత అసమానతలను పరిష్కరించాము మరియు వాటికి విరామ పద్ధతిని వర్తింపజేసాము, ఇవి కావచ్చు సరళ అసమానతలు, చదరపు మరియు హేతుబద్ధమైన రెండూ. ఇప్పుడు అసమానతల వ్యవస్థల పరిష్కారానికి వెళ్దాం - మొదట సరళ వ్యవస్థలు. అసమానతల వ్యవస్థలను పరిగణనలోకి తీసుకోవలసిన అవసరం ఉన్న ఉదాహరణను చూద్దాం.
ఫంక్షన్ డొమైన్‌ను కనుగొనండి
ఫంక్షన్ డొమైన్‌ను కనుగొనండి
రెండు వర్గమూలాలు ఉన్నప్పుడు ఒక ఫంక్షన్ ఉంటుంది, అనగా.
అటువంటి వ్యవస్థను ఎలా పరిష్కరించాలి? మొదటి మరియు రెండవ అసమానతలు రెండింటినీ సంతృప్తిపరిచే అన్ని xని కనుగొనడం అవసరం.
మొదటి మరియు రెండవ అసమానతలకు పరిష్కారాల సమితిని ఎద్దు అక్షం మీద చిత్రీకరిద్దాం.
రెండు కిరణాల ఖండన విరామం మా పరిష్కారం.
అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారాన్ని వర్ణించే ఈ పద్ధతిని కొన్నిసార్లు పైకప్పు పద్ధతి అని పిలుస్తారు.
వ్యవస్థకు పరిష్కారం రెండు సెట్ల ఖండన.
దీన్ని గ్రాఫికల్‌గా వర్ణిద్దాం. మేము ఏకపక్ష స్వభావం యొక్క సెట్ A మరియు ఏకపక్ష స్వభావం యొక్క సెట్ Bని కలిగి ఉన్నాము, ఇవి కలుస్తాయి.
నిర్వచనం: A మరియు B అనే రెండు సెట్ల ఖండన అనేది A మరియు B రెండింటిలోనూ చేర్చబడిన అన్ని మూలకాలతో కూడిన మూడవ సెట్.
అసమానతల యొక్క సరళ వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను ఉపయోగించి, సిస్టమ్‌లో చేర్చబడిన వ్యక్తిగత అసమానతలకు పరిష్కారాల సెట్ల విభజనలను ఎలా కనుగొనాలో పరిశీలిద్దాం.
అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:
సమాధానం: (7; 10].
4. వ్యవస్థను పరిష్కరించండి 
వ్యవస్థ యొక్క రెండవ అసమానత ఎక్కడ నుండి వస్తుంది? ఉదాహరణకు, అసమానత నుండి
ప్రతి అసమానతకు పరిష్కారాలను గ్రాఫికల్‌గా నిర్దేశిద్దాం మరియు వాటి ఖండన యొక్క విరామాన్ని కనుగొనండి.
ఈ విధంగా, అసమానతలలో ఒకటి x యొక్క ఏదైనా విలువను సంతృప్తిపరిచే వ్యవస్థను కలిగి ఉంటే, దానిని తొలగించవచ్చు.
సమాధానం: వ్యవస్థ విరుద్ధమైనది.
అసమానతల యొక్క ఏదైనా సరళ వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాన్ని తగ్గించగల సాధారణ మద్దతు సమస్యలను మేము పరిశీలించాము.
కింది వ్యవస్థను పరిగణించండి.
7. 
కొన్నిసార్లు సరళ వ్యవస్థ డబుల్ అసమానత ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది; ఈ కేసును పరిగణించండి.
8. 
మేము సరళ అసమానతల వ్యవస్థలను చూశాము, అవి ఎక్కడ నుండి వచ్చాయో అర్థం చేసుకున్నాము, అన్ని సరళ వ్యవస్థలను తగ్గించగల ప్రామాణిక వ్యవస్థలను పరిశీలించాము మరియు వాటిలో కొన్నింటిని పరిష్కరించాము.
1. మోర్డ్కోవిచ్ A.G. మరియు ఇతరులు ఆల్జీబ్రా 9వ తరగతి: పాఠ్యపుస్తకం. సాధారణ విద్య కోసం సంస్థలు.- 4వ ఎడిషన్. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: అనారోగ్యం.
2. మోర్డ్కోవిచ్ A.G. మరియు ఇతరులు. ఆల్జీబ్రా 9వ తరగతి: సాధారణ విద్యా సంస్థల విద్యార్థులకు సమస్య పుస్తకం / A. G. మోర్డ్కోవిచ్, T. N. మిషుస్టినా, మొదలైనవి - 4వ ఎడిషన్. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: అనారోగ్యం.
3. మకారిచెవ్ యు. ఎన్. ఆల్జీబ్రా. 9వ తరగతి: విద్యా. సాధారణ విద్య విద్యార్థులకు. సంస్థలు / యు.ఎన్. మకారిచెవ్, ఎన్.జి. మిన్డ్యూక్, కె. ఐ. నెష్కోవ్, ఐ. ఇ. ఫియోక్టిస్టోవ్. - 7వ ఎడిషన్., రెవ. మరియు అదనపు - M.: Mnemosyne, 2008.
4. అలిమోవ్ Sh.A., కొలియాగిన్ యు.ఎమ్., సిడోరోవ్ యు.వి. బీజగణితం. 9వ తరగతి. 16వ ఎడిషన్ - M., 2011. - 287 p.
5. మోర్డ్కోవిచ్ A. G. ఆల్జీబ్రా. 9వ తరగతి. 2 గంటల్లో. పార్ట్ 1. సాధారణ విద్యా సంస్థల విద్యార్థులకు పాఠ్య పుస్తకం / A. G. మోర్డ్కోవిచ్, P. V. సెమెనోవ్. - 12వ ఎడిషన్, తొలగించబడింది. - M.: 2010. - 224 p.: అనారోగ్యం.
6. బీజగణితం. 9వ తరగతి. 2 భాగాలుగా. పార్ట్ 2. సాధారణ విద్యా సంస్థల విద్యార్థులకు సమస్య పుస్తకం / A. G. మోర్డ్కోవిచ్, L. A. అలెక్సాండ్రోవా, T. N. మిషుస్టినా మరియు ఇతరులు; Ed. A. G. మోర్డ్కోవిచ్. - 12వ ఎడిషన్., రెవ. - M.: 2010.-223 p.: అనారోగ్యం.
1. పోర్టల్ ఆఫ్ నేచురల్ సైన్సెస్ ().
2. కంప్యూటర్ సైన్స్, గణితం, రష్యన్ భాష () లో ప్రవేశ పరీక్షల కోసం 10-11 తరగతులను సిద్ధం చేయడానికి ఎలక్ట్రానిక్ ఎడ్యుకేషనల్ మరియు మెథడాలాజికల్ కాంప్లెక్స్.
4. ఎడ్యుకేషన్ సెంటర్ "టీచింగ్ టెక్నాలజీ" ().
5. గణితంపై College.ru విభాగం ().
1. మోర్డ్కోవిచ్ A.G. మరియు ఇతరులు. ఆల్జీబ్రా 9వ తరగతి: సాధారణ విద్యా సంస్థల విద్యార్థులకు సమస్య పుస్తకం / A. G. మోర్డ్కోవిచ్, T. N. మిషుస్టినా, మొదలైనవి - 4వ ఎడిషన్. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: అనారోగ్యం. నం. 53; 54; 56; 57.
అసమానతలు మరియు అసమానతల వ్యవస్థలు హైస్కూల్లో బీజగణితంలో కవర్ చేయబడిన అంశాలలో ఒకటి. కష్టం స్థాయి పరంగా, ఇది చాలా కష్టం కాదు, ఎందుకంటే దీనికి సాధారణ నియమాలు ఉన్నాయి (వాటిపై కొంచెం తరువాత). నియమం ప్రకారం, పాఠశాల పిల్లలు అసమానతల వ్యవస్థలను చాలా సులభంగా పరిష్కరించడం నేర్చుకుంటారు. ఉపాధ్యాయులు తమ విద్యార్థులకు ఈ అంశంపై "శిక్షణ" ఇవ్వడం కూడా దీనికి కారణం. మరియు వారు సహాయం చేయలేరు కానీ దీన్ని చేయలేరు, ఎందుకంటే ఇది భవిష్యత్తులో ఇతర గణిత పరిమాణాలను ఉపయోగించి అధ్యయనం చేయబడుతుంది మరియు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ మరియు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో కూడా పరీక్షించబడుతుంది. పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలలో, అసమానతలు మరియు అసమానతల వ్యవస్థల అంశం చాలా వివరంగా వివరించబడింది, కాబట్టి మీరు దానిని అధ్యయనం చేయబోతున్నట్లయితే, వాటిని ఆశ్రయించడం ఉత్తమం. ఈ కథనం పెద్ద విషయాలను మాత్రమే సంగ్రహిస్తుంది మరియు కొన్ని లోపాలు ఉండవచ్చు.
అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క భావన
మేము శాస్త్రీయ భాషకు మారినట్లయితే, "అసమానతల వ్యవస్థ" అనే భావనను మనం నిర్వచించవచ్చు. ఇది అనేక అసమానతలను సూచించే గణిత నమూనా. ఈ మోడల్‌కు, వాస్తవానికి, పరిష్కారం అవసరం, మరియు ఇది పనిలో ప్రతిపాదించబడిన సిస్టమ్ యొక్క అన్ని అసమానతలకు సాధారణ సమాధానం అవుతుంది (సాధారణంగా ఇది దానిలో వ్రాయబడుతుంది, ఉదాహరణకు: “అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి 4 x + 1 > 2 మరియు 30 - x > 6... "). అయితే, పరిష్కారాల రకాలు మరియు పద్ధతులకు వెళ్లడానికి ముందు, మీరు వేరేదాన్ని అర్థం చేసుకోవాలి.
అసమానతల వ్యవస్థలు మరియు సమీకరణాల వ్యవస్థలు
క్రొత్త అంశాన్ని నేర్చుకునేటప్పుడు, తరచుగా అపార్థాలు తలెత్తుతాయి. ఒక వైపు, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది మరియు మీరు వీలైనంత త్వరగా పనులను పరిష్కరించడం ప్రారంభించాలనుకుంటున్నారు, కానీ మరోవైపు, కొన్ని క్షణాలు "నీడ"లో ఉంటాయి మరియు పూర్తిగా అర్థం కాలేదు. అలాగే, ఇప్పటికే సంపాదించిన జ్ఞానం యొక్క కొన్ని అంశాలు కొత్త వాటితో ముడిపడి ఉండవచ్చు. ఈ "అతివ్యాప్తి" ఫలితంగా, లోపాలు తరచుగా జరుగుతాయి.
కాబట్టి, మేము మా అంశాన్ని విశ్లేషించడానికి ముందు, సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు మరియు వాటి వ్యవస్థల మధ్య తేడాలను గుర్తుంచుకోవాలి. దీన్ని చేయడానికి, ఈ గణిత భావనలు దేనిని సూచిస్తాయి అని మనం మరోసారి వివరించాలి. సమీకరణం ఎల్లప్పుడూ సమానత్వం, మరియు అది ఎల్లప్పుడూ దేనికైనా సమానంగా ఉంటుంది (గణితంలో ఈ పదం "=" గుర్తుతో సూచించబడుతుంది). అసమానత అనేది ఒక నమూనా, దీనిలో ఒక విలువ మరొకదాని కంటే ఎక్కువ లేదా తక్కువగా ఉంటుంది లేదా అవి ఒకేలా ఉండవు అనే ప్రకటనను కలిగి ఉంటుంది. అందువల్ల, మొదటి సందర్భంలో, సమానత్వం గురించి మాట్లాడటం సముచితం, మరియు రెండవది, పేరు నుండి ఎంత స్పష్టంగా అనిపించినా, ప్రారంభ డేటా యొక్క అసమానత గురించి. సమీకరణాలు మరియు అసమానతల వ్యవస్థలు ఆచరణాత్మకంగా ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉండవు మరియు వాటిని పరిష్కరించే పద్ధతులు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. ఒకే తేడా ఏమిటంటే, మొదటి సందర్భంలో సమానతలు ఉపయోగించబడతాయి మరియు రెండవ సందర్భంలో అసమానతలు ఉపయోగించబడతాయి.
అసమానతల రకాలు
రెండు రకాల అసమానతలు ఉన్నాయి: సంఖ్యాపరమైన మరియు తెలియని వేరియబుల్‌తో. మొదటి రకం అందించబడిన పరిమాణాలు (సంఖ్యలు) ఒకదానికొకటి అసమానంగా ఉంటాయి, ఉదాహరణకు, 8 > 10. రెండవది తెలియని వేరియబుల్ (లాటిన్ వర్ణమాల యొక్క అక్షరంతో సూచించబడుతుంది, చాలా తరచుగా X) ఉన్న అసమానతలు. ఈ వేరియబుల్ కనుగొనవలసి ఉంది. ఎన్ని ఉన్నాయనే దానిపై ఆధారపడి, గణిత నమూనా అసమానతలను ఒకటి (అవి ఒక వేరియబుల్‌తో అసమానతల వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తాయి) లేదా అనేక వేరియబుల్స్ (అవి అనేక వేరియబుల్స్‌తో అసమానతల వ్యవస్థను తయారు చేస్తాయి) మధ్య తేడాను చూపుతాయి.
చివరి రెండు రకాలు, వాటి నిర్మాణం యొక్క డిగ్రీ మరియు పరిష్కారం యొక్క సంక్లిష్టత స్థాయి ప్రకారం, సాధారణ మరియు సంక్లిష్టంగా విభజించబడ్డాయి. సరళమైన వాటిని సరళ అసమానతలు అని కూడా అంటారు. వారు, క్రమంగా, కఠినమైన మరియు నాన్-స్ట్రిక్ట్ గా విభజించబడ్డారు. ఒక పరిమాణం తప్పనిసరిగా తక్కువ లేదా ఎక్కువ ఉండాలి అని ఖచ్చితంగా "చెప్పండి", కాబట్టి ఇది స్వచ్ఛమైన అసమానత. అనేక ఉదాహరణలు ఇవ్వవచ్చు: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, మొదలైనవి. కఠినంగా లేని వాటిలో సమానత్వం కూడా ఉంటుంది. అంటే, ఒక విలువ మరొక విలువ ("≥" గుర్తు) కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉండవచ్చు లేదా మరొక విలువ ("≤" గుర్తు) కంటే తక్కువ లేదా సమానంగా ఉండవచ్చు. సరళ అసమానతలలో కూడా, వేరియబుల్ మూలం, చతురస్రం లేదా దేనితోనూ భాగించబడదు, అందుకే వాటిని "సింపుల్" అని పిలుస్తారు. సంక్లిష్టమైన వాటిలో తెలియని వేరియబుల్స్ ఉంటాయి, అవి కనుగొనడానికి ఎక్కువ గణిత అవసరం. అవి తరచుగా చతురస్రం, క్యూబ్ లేదా రూట్ కింద ఉంటాయి, అవి మాడ్యులర్, లాగరిథమిక్, ఫ్రాక్షనల్ మొదలైనవి కావచ్చు. కానీ అసమానతల వ్యవస్థల పరిష్కారాన్ని అర్థం చేసుకోవడం మా పని కాబట్టి, మేము సరళ అసమానతల వ్యవస్థ గురించి మాట్లాడుతాము. . అయితే, దీనికి ముందు, వారి ఆస్తుల గురించి కొన్ని మాటలు చెప్పాలి.
అసమానతల లక్షణాలు
అసమానతల లక్షణాలు క్రింది వాటిని కలిగి ఉంటాయి:
- భుజాల క్రమాన్ని మార్చడానికి ఒక ఆపరేషన్ ఉపయోగించినట్లయితే అసమానత గుర్తు రివర్స్ అవుతుంది (ఉదాహరణకు, t 1 ≤ t 2, అప్పుడు t 2 ≥ t 1).
- అసమానత యొక్క రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్యను జోడించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి (ఉదాహరణకు, t 1 ≤ t 2 అయితే, అప్పుడు t 1 + సంఖ్య ≤ t 2 + సంఖ్య).
- ఒకే దిశలో గుర్తు ఉన్న రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అసమానతలు వాటి ఎడమ మరియు కుడి భుజాలను జోడించడానికి అనుమతిస్తాయి (ఉదాహరణకు, t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, అప్పుడు t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
- అసమానత యొక్క రెండు భాగాలను ఒకే సానుకూల సంఖ్యతో గుణించవచ్చు లేదా విభజించవచ్చు (ఉదాహరణకు, t 1 ≤ t 2 మరియు సంఖ్య ≤ 0, అప్పుడు సంఖ్య · t 1 ≥ సంఖ్య · t 2).
- సానుకూల పదాలు మరియు ఒకే దిశలో ఒక సంకేతం ఉన్న రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అసమానతలు ఒకదానికొకటి గుణించటానికి అనుమతిస్తాయి (ఉదాహరణకు, t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 ఆపై t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
- అసమానత యొక్క రెండు భాగాలు ఒకే ప్రతికూల సంఖ్యతో గుణించబడటానికి లేదా భాగించబడటానికి అనుమతిస్తాయి, అయితే ఈ సందర్భంలో అసమానత యొక్క సంకేతం మారుతుంది (ఉదాహరణకు, t 1 ≤ t 2 మరియు సంఖ్య ≤ 0 అయితే, సంఖ్య · t 1 ≥ సంఖ్య · t 2).
- అన్ని అసమానతలు ట్రాన్సిటివిటీ యొక్క ఆస్తిని కలిగి ఉంటాయి (ఉదాహరణకు, t 1 ≤ t 2 మరియు t 2 ≤ t 3, అప్పుడు t 1 ≤ t 3).
ఇప్పుడు, అసమానతలకు సంబంధించిన సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలను అధ్యయనం చేసిన తర్వాత, మేము నేరుగా వారి వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి నియమాల పరిశీలనకు వెళ్లవచ్చు.
అసమానతలను పరిష్కరించే వ్యవస్థలు. సాధారణ సమాచారం. పరిష్కారాలు
పైన చెప్పినట్లుగా, ఇచ్చిన సిస్టమ్ యొక్క అన్ని అసమానతలకు సరిపోయే వేరియబుల్ యొక్క విలువలు పరిష్కారం. అసమానతల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం అనేది గణిత కార్యకలాపాల అమలు, ఇది చివరికి మొత్తం వ్యవస్థకు పరిష్కారానికి దారి తీస్తుంది లేదా దానికి పరిష్కారాలు లేవని రుజువు చేస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, వేరియబుల్ ఖాళీ సంఖ్యా సమితికి చెందినదిగా చెప్పబడుతుంది (ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడింది: వేరియబుల్‌ను సూచించే అక్షరం∈ (సంకేతం “చెందినది”) ø (సంకేతం “ఖాళీ సెట్”), ఉదాహరణకు, x ∈ ø (చదవండి: “వేరియబుల్ “x” ఖాళీ సెట్‌కు చెందినది”). అసమానతల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి: గ్రాఫికల్, బీజగణితం, ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి. వారు అనేక తెలియని వేరియబుల్స్ ఉన్న గణిత నమూనాలను సూచిస్తారని గమనించాలి. ఒకటి మాత్రమే ఉన్న సందర్భంలో, విరామం పద్ధతి అనుకూలంగా ఉంటుంది.
గ్రాఫిక్ పద్ధతి
అనేక తెలియని పరిమాణాలతో (రెండు మరియు అంతకంటే ఎక్కువ) అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఈ పద్ధతికి ధన్యవాదాలు, సరళ అసమానతల వ్యవస్థ చాలా సులభంగా మరియు త్వరగా పరిష్కరించబడుతుంది, కాబట్టి ఇది అత్యంత సాధారణ పద్ధతి. గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయడం వల్ల గణిత శాస్త్ర కార్యకలాపాలను వ్రాయడం తగ్గుతుందని ఇది వివరించబడింది. పెన్ నుండి కొద్దిగా విరామం తీసుకోవడం, పాలకుడితో పెన్సిల్ తీసుకోవడం మరియు చాలా పని పూర్తయినప్పుడు మరియు మీకు కొద్దిగా వెరైటీ కావాలనుకున్నప్పుడు వారి సహాయంతో తదుపరి చర్యలను ప్రారంభించడం చాలా ఆహ్లాదకరంగా ఉంటుంది. అయినప్పటికీ, కొందరు వ్యక్తులు ఈ పద్ధతిని ఇష్టపడరు ఎందుకంటే వారు పని నుండి వైదొలగవలసి ఉంటుంది మరియు వారి మానసిక కార్యకలాపాలను డ్రాయింగ్కు మార్చాలి. అయితే, ఇది చాలా ప్రభావవంతమైన పద్ధతి.
గ్రాఫికల్ పద్ధతిని ఉపయోగించి అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి, ప్రతి అసమానత యొక్క అన్ని నిబంధనలను వారి ఎడమ వైపుకు బదిలీ చేయడం అవసరం. సంకేతాలు రివర్స్ చేయబడతాయి, సున్నా కుడివైపున వ్రాయబడాలి, ఆపై ప్రతి అసమానత విడిగా వ్రాయబడాలి. ఫలితంగా, అసమానతల నుండి విధులు పొందబడతాయి. దీని తరువాత, మీరు పెన్సిల్ మరియు పాలకుడిని తీయవచ్చు: ఇప్పుడు మీరు పొందిన ప్రతి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీయాలి. వారి ఖండన విరామంలో ఉండే మొత్తం సంఖ్యల సమితి అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారంగా ఉంటుంది.
బీజగణిత మార్గం
రెండు తెలియని వేరియబుల్స్‌తో అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. అలాగే, అసమానతలు తప్పనిసరిగా ఒకే అసమానత చిహ్నాన్ని కలిగి ఉండాలి (అనగా, అవి తప్పనిసరిగా "కంటే ఎక్కువ" గుర్తును మాత్రమే కలిగి ఉండాలి లేదా "తక్కువ" గుర్తును మాత్రమే కలిగి ఉండాలి.) దాని పరిమితులు ఉన్నప్పటికీ, ఈ పద్ధతి కూడా చాలా క్లిష్టంగా ఉంటుంది. ఇది రెండు దశల్లో వర్తించబడుతుంది.
మొదటిది తెలియని వేరియబుల్స్‌లో ఒకదానిని వదిలించుకోవడానికి చర్యలను కలిగి ఉంటుంది. మొదట మీరు దీన్ని ఎంచుకోవాలి, ఆపై ఈ వేరియబుల్ ముందు సంఖ్యల ఉనికిని తనిఖీ చేయండి. అవి లేనట్లయితే (అప్పుడు వేరియబుల్ ఒకే అక్షరం వలె కనిపిస్తుంది), అప్పుడు మేము దేనినీ మార్చము, ఉంటే (వేరియబుల్ రకం, ఉదాహరణకు, 5y లేదా 12y), అప్పుడు దానిని తయారు చేయడం అవసరం ప్రతి అసమానతలో ఎంచుకున్న వేరియబుల్ ముందు ఉన్న సంఖ్య ఒకే విధంగా ఉంటుందని నిర్ధారించుకోండి. దీన్ని చేయడానికి, మీరు అసమానతల యొక్క ప్రతి పదాన్ని ఒక సాధారణ కారకం ద్వారా గుణించాలి, ఉదాహరణకు, 3y మొదటి అసమానతలో మరియు 5y రెండవదానిలో వ్రాసినట్లయితే, మీరు మొదటి అసమానత యొక్క అన్ని నిబంధనలను 5 ద్వారా గుణించాలి. , మరియు 3 ద్వారా రెండవది. ఫలితం వరుసగా 15y మరియు 15y.
పరిష్కారం యొక్క రెండవ దశ. ప్రతి అసమానత యొక్క ఎడమ వైపును వారి కుడి వైపులా బదిలీ చేయడం, ప్రతి పదం యొక్క చిహ్నాన్ని వ్యతిరేకానికి మార్చడం మరియు కుడి వైపున సున్నాని వ్రాయడం అవసరం. తర్వాత సరదా భాగం వస్తుంది: అసమానతలను జోడించేటప్పుడు ఎంచుకున్న వేరియబుల్ (లేకపోతే "తగ్గింపు" అని పిలుస్తారు) నుండి బయటపడటం. ఇది పరిష్కరించాల్సిన ఒక వేరియబుల్‌తో అసమానతకు దారితీస్తుంది. దీని తరువాత, మీరు అదే పనిని మరొక తెలియని వేరియబుల్‌తో మాత్రమే చేయాలి. పొందిన ఫలితాలు సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారంగా ఉంటాయి.
ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి
కొత్త వేరియబుల్‌ను పరిచయం చేయడం సాధ్యమైతే అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. సాధారణంగా, అసమానత యొక్క ఒక పదంలోని తెలియని వేరియబుల్ నాల్గవ శక్తికి పెంచబడినప్పుడు మరియు మరొక పదంలో ఇది స్క్వేర్ చేయబడినప్పుడు ఈ పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది. అందువలన, ఈ పద్ధతి వ్యవస్థలో అసమానతల స్థాయిని తగ్గించడం లక్ష్యంగా పెట్టుకుంది. నమూనా అసమానత x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 ఈ విధంగా పరిష్కరించబడుతుంది. ఒక కొత్త వేరియబుల్ పరిచయం చేయబడింది, ఉదాహరణకు t. వారు వ్రాస్తారు: "లెట్ t = x 2," అప్పుడు మోడల్ కొత్త రూపంలో తిరిగి వ్రాయబడుతుంది. మన విషయంలో, మనకు t 2 - t - 1 ≤0 వస్తుంది. ఈ అసమానతను విరామ పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించాలి (కొంచెం తర్వాత మరింత), ఆపై వేరియబుల్ Xకి తిరిగి, ఆపై ఇతర అసమానతతో అదే చేయండి. అందుకున్న సమాధానాలు వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారంగా ఉంటాయి.
విరామం పద్ధతి
అసమానతల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి ఇది సరళమైన మార్గం, మరియు అదే సమయంలో ఇది సార్వత్రికమైనది మరియు విస్తృతమైనది. ఇది మాధ్యమిక పాఠశాలల్లో మరియు ఉన్నత పాఠశాలల్లో కూడా ఉపయోగించబడుతుంది. దాని సారాంశం ఏమిటంటే, విద్యార్థి సంఖ్యా రేఖపై అసమానత యొక్క విరామాల కోసం చూస్తున్నాడు, ఇది నోట్‌బుక్‌లో గీస్తారు (ఇది గ్రాఫ్ కాదు, సంఖ్యలతో కూడిన సాధారణ పంక్తి). అసమానతల విరామాలు కలిసే చోట, వ్యవస్థకు పరిష్కారం కనుగొనబడుతుంది. విరామం పద్ధతిని ఉపయోగించడానికి, మీరు ఈ దశలను అనుసరించాలి:
- ప్రతి అసమానత యొక్క అన్ని నిబంధనలు ఎదురుగా మారుతున్న గుర్తుతో ఎడమ వైపుకు బదిలీ చేయబడతాయి (సున్నా కుడి వైపున వ్రాయబడుతుంది).
- అసమానతలు విడిగా వ్రాయబడ్డాయి మరియు వాటిలో ప్రతిదానికి పరిష్కారం నిర్ణయించబడుతుంది.
- సంఖ్య రేఖపై అసమానతల ఖండనలు కనుగొనబడ్డాయి. ఈ కూడళ్లలో ఉన్న అన్ని సంఖ్యలు పరిష్కారంగా ఉంటాయి.
నేను ఏ పద్ధతిని ఉపయోగించాలి?
సహజంగానే సులభమయిన మరియు అత్యంత అనుకూలమైనదిగా అనిపించేది, కానీ పనులకు ఒక నిర్దిష్ట పద్ధతి అవసరమయ్యే సందర్భాలు ఉన్నాయి. చాలా తరచుగా మీరు గ్రాఫ్ లేదా ఇంటర్వెల్ పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉందని వారు అంటున్నారు. బీజగణిత పద్ధతి మరియు ప్రత్యామ్నాయం చాలా అరుదుగా లేదా అస్సలు ఉపయోగించబడవు, ఎందుకంటే అవి చాలా క్లిష్టంగా మరియు గందరగోళంగా ఉంటాయి మరియు అవి అసమానతల కంటే సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి ఎక్కువగా ఉపయోగించబడతాయి, కాబట్టి మీరు డ్రాయింగ్ గ్రాఫ్‌లు మరియు విరామాలను ఆశ్రయించాలి. అవి స్పష్టతను తెస్తాయి, ఇది గణిత శాస్త్ర కార్యకలాపాలను సమర్థవంతంగా మరియు వేగంగా అమలు చేయడానికి దోహదపడదు.
ఏదో పని చేయకపోతే
బీజగణితంలో ఒక నిర్దిష్ట అంశాన్ని అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, సహజంగానే, దాని అవగాహనతో సమస్యలు తలెత్తవచ్చు. మరియు ఇది సాధారణమైనది, ఎందుకంటే మన మెదడు సంక్లిష్టమైన పదార్థాన్ని ఒకేసారి అర్థం చేసుకోలేని విధంగా రూపొందించబడింది. తరచుగా మీరు ఒక పేరాను మళ్లీ చదవాలి, ఉపాధ్యాయుని నుండి సహాయం తీసుకోవాలి లేదా ప్రామాణిక పనులను పరిష్కరించడం సాధన చేయాలి. మా విషయంలో, అవి ఇలా కనిపిస్తాయి, ఉదాహరణకు, "3 x + 1 ≥ 0 మరియు 2 x - 1 > 3 అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి." అందువల్ల, వ్యక్తిగత కోరిక, బయటి వ్యక్తుల సహాయం మరియు అభ్యాసం ఏదైనా సంక్లిష్టమైన అంశాన్ని అర్థం చేసుకోవడంలో సహాయపడతాయి.
పరిష్కరిస్తారా?
ఒక పరిష్కార పుస్తకం కూడా చాలా సరిఅయినది, కానీ హోంవర్క్ని కాపీ చేయడం కోసం కాదు, కానీ స్వీయ-సహాయం కోసం. వాటిలో మీరు పరిష్కారాలతో అసమానతల వ్యవస్థలను కనుగొనవచ్చు, వాటిని (టెంప్లేట్‌లుగా) చూడండి, పరిష్కారం యొక్క రచయిత విధిని ఎలా ఎదుర్కొన్నాడో అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నించండి, ఆపై మీ స్వంతంగా అదే చేయడానికి ప్రయత్నించండి.
ముగింపులు
ఆల్జీబ్రా పాఠశాలలో అత్యంత కష్టతరమైన విషయాలలో ఒకటి. సరే, మీరు ఏమి చేయగలరు? గణితం ఎప్పుడూ ఇలాగే ఉంటుంది: కొందరికి సులువు అయితే మరికొందరికి కష్టం. ఏ సందర్భంలోనైనా, సాధారణ విద్యా కార్యక్రమం ఏ విద్యార్థి అయినా భరించగలిగే విధంగా నిర్మించబడిందని గుర్తుంచుకోవాలి. అదనంగా, పెద్ద సంఖ్యలో సహాయకులను గుర్తుంచుకోవాలి. వాటిలో కొన్ని పైన పేర్కొనబడ్డాయి.
లీనియర్ ప్రోగ్రామింగ్ ప్రాబ్లమ్‌ని గ్రాఫికల్‌గా పరిష్కరించడం, లీనియర్ ప్రోగ్రామింగ్ సమస్యల యొక్క కానానికల్ రూపం కూడా చూడండి
అటువంటి సమస్యకు పరిమితుల వ్యవస్థ రెండు వేరియబుల్స్‌లో అసమానతలను కలిగి ఉంటుంది:
మరియు ఆబ్జెక్టివ్ ఫంక్షన్ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది ఎఫ్ = సి 1 x + సి 2 వైగరిష్టీకరించాల్సిన అవసరం ఉంది.
ప్రశ్నకు సమాధానం చూద్దాం: ఏ జతల సంఖ్యలు ( x; వై) అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు, అంటే, ప్రతి అసమానతలను ఏకకాలంలో సంతృప్తి పరుస్తాయా? మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సిస్టమ్‌ను గ్రాఫికల్‌గా పరిష్కరించడం అంటే ఏమిటి?
మొదట మీరు రెండు తెలియని వ్యక్తులతో ఒక సరళ అసమానతకు పరిష్కారం ఏమిటో అర్థం చేసుకోవాలి.
రెండు తెలియని వాటితో సరళ అసమానతను పరిష్కరించడం అంటే అసమానత కలిగి ఉన్న అన్ని జత తెలియని విలువలను నిర్ణయించడం.
ఉదాహరణకు, అసమానత 3 x
– 5వై≥ 42 సంతృప్తికరమైన జతలు ( x , వై) : (100, 2); (3, –10), మొదలైనవి. అటువంటి అన్ని జతలను కనుగొనడం పని.
రెండు అసమానతలను పరిశీలిద్దాం: గొడ్డలి
+ ద్వారా≤ సి, గొడ్డలి + ద్వారా≥ సి. నేరుగా గొడ్డలి + ద్వారా = సివిమానాన్ని రెండు అర్ధ-విమానాలుగా విభజిస్తుంది, తద్వారా వాటిలో ఒక పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తాయి గొడ్డలి + ద్వారా >సి, మరియు ఇతర అసమానత గొడ్డలి + +ద్వారా <సి.
నిజానికి, కోఆర్డినేట్‌తో ఒక పాయింట్‌ని తీసుకుందాం x = x 0 ; ఆపై ఒక రేఖపై పడి ఒక అబ్సిస్సా కలిగి ఉన్న పాయింట్ x 0, ఒక ఆర్డినేట్ కలిగి ఉంది
నిశ్చయత కోసం లెట్ a< 0, బి>0,
సి>0. అబ్సిస్సాతో అన్ని పాయింట్లు x 0 పైన ఉంది పి(ఉదాహరణకు, డాట్ ఎం), కలిగి y M>వై 0 , మరియు పాయింట్ క్రింద ఉన్న అన్ని పాయింట్లు పి, abscissa తో x 0, కలిగి y N<వై 0 . ఎందుకంటే x 0 అనేది ఏకపక్ష బిందువు, అప్పుడు రేఖకు ఒకవైపు పాయింట్లు ఎల్లప్పుడూ ఉంటాయి గొడ్డలి+ ద్వారా > సి, ఒక సగం విమానం ఏర్పాటు, మరియు ఇతర వైపు - ఇది కోసం పాయింట్లు గొడ్డలి + ద్వారా< సి.
చిత్రం 1
సగం విమానంలో అసమానత గుర్తు సంఖ్యలపై ఆధారపడి ఉంటుంది a, బి , సి.
ఇది రెండు వేరియబుల్స్‌లోని సరళ అసమానతలను గ్రాఫికల్‌గా పరిష్కరించడానికి క్రింది పద్ధతిని సూచిస్తుంది. మీకు అవసరమైన సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించడానికి:
- ప్రతి అసమానత కోసం, ఈ అసమానతకు సంబంధించిన సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.
- సమీకరణాల ద్వారా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌ల సరళ రేఖలను రూపొందించండి.
- ప్రతి పంక్తి కోసం, అసమానత ద్వారా ఇవ్వబడిన సగం-విమానాన్ని నిర్ణయించండి. దీన్ని చేయడానికి, ఒక లైన్‌పై పడని ఏకపక్ష పాయింట్‌ని తీసుకోండి మరియు అసమానతలో దాని కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. అసమానత నిజమైతే, ఎంచుకున్న పాయింట్‌ను కలిగి ఉన్న సగం-విమానం అసలు అసమానతకు పరిష్కారం. అసమానత తప్పు అయితే, రేఖకు అవతలి వైపున ఉన్న సగం విమానం ఈ అసమానత్వానికి పరిష్కారాల సమితి.
- అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి, వ్యవస్థ యొక్క ప్రతి అసమానతకు పరిష్కారంగా ఉండే అన్ని అర్ధ-విమానాల ఖండన ప్రాంతాన్ని కనుగొనడం అవసరం.
ఈ ప్రాంతం ఖాళీగా మారవచ్చు, అప్పుడు అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు లేవు మరియు అస్థిరంగా ఉంటుంది. లేదంటే వ్యవస్థ నిలకడగా ఉంటుందన్నారు.
పరిమిత సంఖ్య లేదా అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉండవచ్చు. ప్రాంతం ఒక క్లోజ్డ్ బహుభుజి కావచ్చు లేదా అపరిమితం కావచ్చు.
సంబంధిత మూడు ఉదాహరణలను చూద్దాం.
ఉదాహరణ 1. సిస్టమ్‌ను గ్రాఫికల్‌గా పరిష్కరించండి:
x + y - 1 ≤ 0;
–2x - 2వై + 5 ≤ 0.
- అసమానతలకు అనుగుణంగా x+y–1=0 మరియు –2x–2y+5=0 సమీకరణాలను పరిగణించండి;
- ఈ సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడిన సరళ రేఖలను నిర్మిస్తాం.
మూర్తి 2
అసమానతలచే నిర్వచించబడిన అర్ధ-విమానాలను నిర్వచిద్దాం. ఒక ఏకపక్ష పాయింట్ తీసుకుందాం, (0; 0). పరిగణలోకి తీసుకుందాం x+ y- 1 0, పాయింట్‌ను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. అంటే బిందువు (0; 0) ఉన్న సగం ప్లేన్‌లో, x + వై –
1 ≤ 0, అనగా. రేఖకు దిగువన ఉన్న సగం విమానం మొదటి అసమానతకు పరిష్కారం. ఈ పాయింట్ (0; 0)ని రెండవదానికి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, అనగా. బిందువు (0; 0) ఉన్న అర్ధ-తలంలో, –2 x – 2వై+ 5≥ 0, మరియు ఎక్కడ –2 అని మమ్మల్ని అడిగారు x
– 2వై+ 5 ≤ 0, కాబట్టి, ఇతర సగం విమానంలో - సరళ రేఖకు ఎగువన ఉన్నదానిలో.
ఈ రెండు అర్ధ-విమానాల ఖండనను కనుగొనండి. పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి, కాబట్టి విమానాలు ఎక్కడైనా కలుస్తాయి, అంటే ఈ అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు లేవు మరియు అస్థిరంగా ఉంటాయి.
ఉదాహరణ 2. అసమానతల వ్యవస్థకు గ్రాఫికల్ పరిష్కారాలను కనుగొనండి: 
మూర్తి 3
1. అసమానతలకు సంబంధించిన సమీకరణాలను వ్రాసి సరళ రేఖలను నిర్మిస్తాము.
x + 2వై– 2 = 0
| x | 2 | 0 |
| వై | 0 | 1 |
వై – x – 1 = 0
| x | 0 | 2 |
| వై | 1 | 3 |
వై + 2 = 0;
వై = –2.
2. పాయింట్ (0; 0) ఎంచుకున్న తరువాత, మేము సగం-విమానాలలో అసమానతల సంకేతాలను నిర్ణయిస్తాము:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, అనగా. x + 2వై– 2 ≤ 0 సరళ రేఖకు దిగువన ఉన్న సగం విమానంలో;
0 - 0 - 1 ≤ 0, అనగా. వై –x– 1 ≤ 0 సరళ రేఖకు దిగువన ఉన్న సగం విమానంలో;
0 + 2 =2 ≥ 0, అనగా. వై+ 2 ≥ 0 సరళ రేఖకు ఎగువన ఉన్న సగం విమానంలో.
3. ఈ మూడు అర్ధ-విమానాల ఖండన త్రిభుజంగా ఉండే ప్రాంతం. సంబంధిత రేఖల ఖండన బిందువులుగా ప్రాంతం యొక్క శీర్షాలను కనుగొనడం కష్టం కాదు
ఈ విధంగా, ఎ(–3; –2), IN(0; 1), తో(6; –2).
సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కార డొమైన్ పరిమితం కాని మరొక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.
అసమానతలను పరిష్కరించడం. వివిధ రకాల అసమానతలు ఉన్నాయి మరియు వాటిని పరిష్కరించడానికి విభిన్న విధానాలు అవసరం. మీరు అసమానతలను పరిష్కరించడానికి సమయం మరియు కృషిని వెచ్చించకూడదనుకుంటే లేదా అసమానతను మీరే పరిష్కరించుకుని, మీకు సరైన సమాధానం వచ్చిందో లేదో తనిఖీ చేయాలనుకుంటే, మీరు ఆన్‌లైన్‌లో అసమానతలను పరిష్కరించి, దీని కోసం మా Math24.su సేవను ఉపయోగించమని మేము సూచిస్తున్నాము. ఇది అహేతుక మరియు పాక్షిక అసమానతలతో సహా సరళ మరియు చతుర్భుజ అసమానతలను పరిష్కరిస్తుంది. తగిన ఫీల్డ్‌లలో అసమానత యొక్క రెండు వైపులా నమోదు చేసి, వాటి మధ్య అసమానత గుర్తును ఎంచుకుని, ఆపై "పరిష్కారం" బటన్‌ను క్లిక్ చేయండి. సేవ అసమానతల పరిష్కారాన్ని ఎలా అమలు చేస్తుందో ప్రదర్శించడానికి, మీరు వివిధ రకాల ఉదాహరణలను మరియు వాటి పరిష్కారాలను చూడవచ్చు ("పరిష్కరించు" బటన్ యొక్క కుడి వైపున ఎంపిక చేయబడింది). సేవ పరిష్కార విరామాలు మరియు పూర్ణాంక విలువలు రెండింటినీ అందిస్తుంది. మొదటిసారి Math24.suకి వచ్చిన వినియోగదారులు సేవ యొక్క అధిక వేగాన్ని ఆరాధిస్తారు, ఎందుకంటే మీరు ఆన్‌లైన్‌లో కొన్ని సెకన్లలో అసమానతలను పరిష్కరించవచ్చు మరియు మీరు సేవను అపరిమిత సంఖ్యలో ఉచితంగా ఉపయోగించవచ్చు. సేవ యొక్క పని స్వయంచాలకంగా ఉంటుంది; గణనలు ప్రోగ్రామ్ ద్వారా చేయబడతాయి, ఒక వ్యక్తి కాదు. మీరు మీ కంప్యూటర్‌లో ఏ సాఫ్ట్‌వేర్‌ను ఇన్‌స్టాల్ చేయనవసరం లేదు, నమోదు చేసుకోండి, వ్యక్తిగత డేటా లేదా ఇ-మెయిల్‌ను నమోదు చేయండి. గణనలలో అక్షరదోషాలు మరియు లోపాలు కూడా మినహాయించబడ్డాయి; పొందిన ఫలితాన్ని 100% విశ్వసించవచ్చు. ఆన్‌లైన్‌లో అసమానతలను పరిష్కరించడం వల్ల కలిగే ప్రయోజనాలు. అధిక వేగం మరియు వాడుకలో సౌలభ్యం కారణంగా, Math24.su సేవ చాలా మంది పాఠశాల పిల్లలకు మరియు విద్యార్థులకు నమ్మకమైన సహాయకుడిగా మారింది. పాఠశాల పాఠ్యాంశాలు మరియు ఉన్నత గణితంలో ఇన్‌స్టిట్యూట్ కోర్సులలో అసమానతలు తరచుగా కనిపిస్తాయి మరియు మా ఆన్‌లైన్ సేవను ఉపయోగించే వారు ఇతరుల కంటే గొప్ప ప్రయోజనాలను పొందుతారు. Math24.su అన్ని సమయాలలో అందుబాటులో ఉంది, నమోదు లేదా ఉపయోగం కోసం రుసుము అవసరం లేదు మరియు బహుభాషా కూడా. అసమానతలకు సొంతంగా పరిష్కారాలు వెతుకుతున్న వారు ఆన్‌లైన్ సేవను నిర్లక్ష్యం చేయకూడదు. అన్నింటికంటే, Math24.su అనేది మీ లెక్కల యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని తనిఖీ చేయడానికి, పొరపాటు ఎక్కడ జరిగిందో కనుగొనడానికి మరియు వివిధ రకాల అసమానతలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో చూడటానికి ఒక అద్భుతమైన అవకాశం. అసమానతలను ఆన్‌లైన్‌లో పరిష్కరించడం మరింత సమర్థవంతంగా ఉండటానికి మరొక కారణం ఏమిటంటే, అసమానతలను పరిష్కరించడం ప్రధాన పని కాదు, కానీ దానిలో కొంత భాగం మాత్రమే. ఈ సందర్భంలో, గణనలపై ఎక్కువ సమయం మరియు కృషిని ఖర్చు చేయడంలో అర్థం లేదు మరియు మీరు ప్రధాన సమస్యను పరిష్కరించడంపై దృష్టి సారించినప్పుడు దానిని ఆన్‌లైన్ సేవకు అప్పగించడం మంచిది. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అసమానతలను పరిష్కరించడానికి ఆన్‌లైన్ సేవ ఈ రకమైన గణిత సమస్యలను స్వతంత్రంగా పరిష్కరించే వారికి మరియు సుదీర్ఘమైన గణనలపై సమయం మరియు కృషిని వృథా చేయకూడదనుకునేవారికి, కానీ త్వరగా సమాధానం పొందాల్సిన వారికి ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, మీరు అసమానతలను ఎదుర్కొన్నప్పుడు, ఆన్‌లైన్‌లో ఏవైనా అసమానతలను పరిష్కరించడానికి మా సేవను ఉపయోగించడం మర్చిపోవద్దు: లీనియర్, క్వాడ్రాటిక్, అహేతుకం, త్రికోణమితి, లాగరిథమిక్. అసమానతలు అంటే ఏమిటి మరియు అవి ఎలా నియమించబడ్డాయి. అసమానత అనేది సమానత్వం యొక్క రివర్స్ సైడ్ మరియు ఒక భావనగా రెండు వస్తువుల పోలికతో ముడిపడి ఉంటుంది. పోల్చిన వస్తువుల లక్షణాలను బట్టి పొడుగ్గా, తక్కువ, పొట్టి, పొడుగ్గా, మందంగా, సన్నగా, ఇలా అంటాం. గణితంలో, అసమానతల యొక్క అర్థం కోల్పోలేదు, కానీ ఇక్కడ మనం గణిత వస్తువుల అసమానతల గురించి మాట్లాడుతున్నాము: సంఖ్యలు, వ్యక్తీకరణలు, పరిమాణాల విలువలు, బొమ్మలు మొదలైనవి. అనేక అసమానత సంకేతాలను ఉపయోగించడం ఆచారం: , ≤, ≥. అటువంటి సంకేతాలతో కూడిన గణిత వ్యక్తీకరణలను అసమానతలు అంటారు. గుర్తు > (దానికంటే ఎక్కువ) పెద్ద మరియు చిన్న వస్తువుల మధ్య ఉంచబడుతుంది. గుర్తు కఠినమైన అసమానతలను సూచిస్తుంది. కఠినమైన అసమానతలు ఒక వ్యక్తీకరణ మరొకదాని కంటే "ఎక్కువ కాదు" ("తక్కువ కాదు") అయినప్పుడు పరిస్థితిని వివరిస్తాయి. “ఎక్కువ కాదు” అంటే తక్కువ లేదా అదే, మరియు “తక్కువ కాదు” అంటే ఎక్కువ లేదా అదే.
అంశంపై పాఠం మరియు ప్రదర్శన: "అసమానతల వ్యవస్థలు. పరిష్కారాల ఉదాహరణలు"
అదనపు పదార్థాలు
ప్రియమైన వినియోగదారులు, మీ వ్యాఖ్యలు, సమీక్షలు, శుభాకాంక్షలు తెలియజేయడం మర్చిపోవద్దు! అన్ని పదార్థాలు యాంటీ-వైరస్ ప్రోగ్రామ్ ద్వారా తనిఖీ చేయబడ్డాయి.
గ్రేడ్ 9 కోసం ఇంటిగ్రల్ ఆన్‌లైన్ స్టోర్‌లో ఎడ్యుకేషనల్ ఎయిడ్స్ మరియు సిమ్యులేటర్‌లు
గ్రేడ్ 9 కోసం ఇంటరాక్టివ్ పాఠ్య పుస్తకం "జ్యామితిలో నియమాలు మరియు వ్యాయామాలు"
7-9 తరగతులకు ఎలక్ట్రానిక్ పాఠ్య పుస్తకం "అర్థమయ్యే జ్యామితి"
అసమానతల వ్యవస్థ
గైస్, మీరు లీనియర్ మరియు క్వాడ్రాటిక్ అసమానతలను అధ్యయనం చేసారు మరియు ఈ అంశాలపై సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకున్నారు. ఇప్పుడు గణితంలో కొత్త భావనకు వెళ్దాం - అసమానతల వ్యవస్థ. అసమానతల వ్యవస్థ సమీకరణాల వ్యవస్థను పోలి ఉంటుంది. సమీకరణాల వ్యవస్థలు మీకు గుర్తున్నాయా? మీరు ఏడవ తరగతిలో సమీకరణాల వ్యవస్థలను అధ్యయనం చేసారు, మీరు వాటిని ఎలా పరిష్కరించారో గుర్తుంచుకోవడానికి ప్రయత్నించండి.అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేద్దాం.
కొన్ని వేరియబుల్ xతో ఉన్న అనేక అసమానతలు అసమానతల వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తాయి, మీరు x యొక్క అన్ని విలువలను కనుగొనవలసి వస్తే, ప్రతి అసమానతలు సరైన సంఖ్యా వ్యక్తీకరణను ఏర్పరుస్తాయి.
ప్రతి అసమానత సరైన సంఖ్యా వ్యక్తీకరణను తీసుకునే x యొక్క ఏదైనా విలువ అసమానతకు పరిష్కారం. ప్రైవేట్ పరిష్కారం అని కూడా పిలవవచ్చు.
ప్రైవేట్ పరిష్కారం అంటే ఏమిటి? ఉదాహరణకు, సమాధానంలో మేము x>7 అనే వ్యక్తీకరణను అందుకున్నాము. అప్పుడు x=8, లేదా x=123, లేదా ఏడు కంటే ఎక్కువ ఏదైనా ఇతర సంఖ్య ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం, మరియు వ్యక్తీకరణ x>7 ఒక సాధారణ పరిష్కారం. సాధారణ పరిష్కారం అనేక ప్రైవేట్ పరిష్కారాల ద్వారా ఏర్పడుతుంది.
మేము సమీకరణాల వ్యవస్థను ఎలా మిళితం చేసాము? అది సరియైనది, ఒక గిరజాల కలుపు, కాబట్టి వారు అసమానతలతో అదే చేస్తారు. అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క ఉదాహరణను చూద్దాం: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
అసమానతల వ్యవస్థ ఒకే విధమైన వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉంటే, ఉదాహరణకు, $\begin(cases)x+7>5\\x+7
కాబట్టి, దీని అర్థం ఏమిటి: అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం?
అసమానతకు పరిష్కారం అనేది వ్యవస్థలోని రెండు అసమానతలను ఒకేసారి సంతృప్తిపరిచే అసమానతకు పాక్షిక పరిష్కారాల సమితి.
మేము అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ రూపాన్ని $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$గా వ్రాస్తాము
అసమానత f(x)>0కి సాధారణ పరిష్కారంగా $Х_1$ని సూచిస్తాము.
$X_2$ అనేది అసమానత g(x)>0కి సాధారణ పరిష్కారం.
$X_1$ మరియు $X_2$ నిర్దిష్ట పరిష్కారాల సమితి.
అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారం $X_1$ మరియు $X_2$ రెండింటికి చెందిన సంఖ్యలు.
సెట్స్‌లో ఆపరేషన్‌లను గుర్తుంచుకుందాం. ఒకేసారి రెండు సెట్‌లకు చెందిన సెట్‌లోని ఎలిమెంట్‌లను ఎలా కనుగొనాలి? నిజమే, దీని కోసం ఒక ఖండన ఆపరేషన్ ఉంది. కాబట్టి, మా అసమానతకు పరిష్కారం $A= X_1∩ X_2$ సెట్ అవుతుంది.
అసమానతల వ్యవస్థలకు పరిష్కారాల ఉదాహరణలు
అసమానతల పరిష్కార వ్యవస్థల ఉదాహరణలను చూద్దాం.అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి.
ఎ) $\begin(కేసులు)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(కేసులు)2x-4≤6\\-x-4
పరిష్కారం.
ఎ) ప్రతి అసమానతను విడిగా పరిష్కరించండి.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10
ఒక కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో మన విరామాలను గుర్తించండి.
సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారం మా విరామాల ఖండన విభాగంగా ఉంటుంది. అసమానత కఠినంగా ఉంటుంది, అప్పుడు సెగ్మెంట్ తెరవబడుతుంది.
సమాధానం: (1;3).
బి) మేము ప్రతి అసమానతను విడిగా పరిష్కరిస్తాము.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ $5.
$-x-4 -5$. 
సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారం మా విరామాల ఖండన విభాగంగా ఉంటుంది. రెండవ అసమానత కఠినమైనది, అప్పుడు సెగ్మెంట్ ఎడమవైపు తెరవబడుతుంది.
సమాధానం: (-5; 5].
మనం నేర్చుకున్న వాటిని క్లుప్తంగా చెప్పండి.
అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం అవసరమని చెప్పండి: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
అప్పుడు, విరామం ($x_1; x_2$) మొదటి అసమానతకు పరిష్కారం.
విరామం ($y_1; y_2$) అనేది రెండవ అసమానతకు పరిష్కారం.
అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారం ప్రతి అసమానతకు పరిష్కారాల ఖండన. 
అసమానతల వ్యవస్థలు మొదటి-ఆర్డర్ అసమానతలను మాత్రమే కాకుండా, ఇతర రకాల అసమానతలను కూడా కలిగి ఉంటాయి.
అసమానతల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి ముఖ్యమైన నియమాలు.
వ్యవస్థ యొక్క అసమానతలలో ఒకదానికి పరిష్కారాలు లేకుంటే, మొత్తం వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు లేవు.
వేరియబుల్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు అసమానతలలో ఒకటి సంతృప్తి చెందితే, సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారం మరొక అసమానతకు పరిష్కారం అవుతుంది.
ఉదాహరణలు.
అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: $\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
పరిష్కారం.
ప్రతి అసమానతను విడిగా పరిష్కరిద్దాం.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.
రెండవ అసమానతను పరిష్కరిద్దాం.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.
అసమానతకు పరిష్కారం విరామం. 
ఒకే రేఖపై రెండు విరామాలను గీయండి మరియు ఖండనను కనుగొనండి. 
విరామాల ఖండన విభాగం (4; 6].
సమాధానం: (4;6].
అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి.
ఎ) $\begin(కేసులు)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(కేసులు)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(కేసులు) )$.
పరిష్కారం.
ఎ) మొదటి అసమానత x>1 అనే పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
రెండవ అసమానత కోసం వివక్షను కనుగొనండి.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D నియమాన్ని మనం గుర్తుంచుకుందాం: అసమానతలలో ఒకదానికి పరిష్కారాలు లేనప్పుడు, మొత్తం వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు లేవు.
సమాధానం: పరిష్కారాలు లేవు.
బి) మొదటి అసమానత x>1 అనే పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
రెండవ అసమానత అన్ని x కోసం సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. అప్పుడు వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారం మొదటి అసమానత యొక్క పరిష్కారంతో సమానంగా ఉంటుంది.
సమాధానం: x>1.
స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం అసమానతల వ్యవస్థలపై సమస్యలు
అసమానతల వ్యవస్థలను పరిష్కరించండి:ఎ) $\begin(కేసులు)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(కేసులు)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(కేసులు)x^2-25 d) $\begin(కేసులు)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(cases)$
ఇ) $\ ప్రారంభం(కేసులు)x^2+36