యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తం యొక్క గణిత నిరీక్షణకు సమానం. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిరీక్షణ మరియు వైవిధ్యం

పంపిణీ చట్టాలతో పాటు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కూడా వివరించవచ్చు సంఖ్యా లక్షణాలు .

గణిత నిరీక్షణయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క M (x)ని దాని సగటు విలువ అంటారు.

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది

ఎక్కడ – యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ విలువలు, p నేను -వారి సంభావ్యతలు.

గణిత నిరీక్షణ యొక్క లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం:

1. స్థిరాంకం యొక్క గణిత నిరీక్షణ స్థిరాంకానికి సమానం

2. యాదృచ్ఛిక చరరాశిని నిర్దిష్ట సంఖ్య kతో గుణిస్తే, గణిత అంచనా అదే సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది

M (kx) = kM (x)

3. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తం యొక్క గణిత నిరీక్షణ వాటి గణిత అంచనాల మొత్తానికి సమానం

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ x 1, x 2, … x n కోసం, ఉత్పత్తి యొక్క గణిత అంచనా వారి గణిత అంచనాల ఉత్పత్తికి సమానం

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

ఉదాహరణ 11 నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం గణిత అంచనాను గణిద్దాం.

M(x) = = .

ఉదాహరణ 12.యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ x 1, x 2 పంపిణీ చట్టాల ద్వారా తదనుగుణంగా పేర్కొనబడనివ్వండి:

x 1 టేబుల్ 2

x 2 టేబుల్ 3

M (x 1) మరియు M (x 2) లను గణిద్దాం

M (x 1) = (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 = 0

రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క గణిత అంచనాలు ఒకేలా ఉంటాయి - అవి సున్నాకి సమానం. అయితే, వాటి పంపిణీ స్వభావం భిన్నంగా ఉంటుంది. x 1 యొక్క విలువలు వాటి గణిత నిరీక్షణ నుండి కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటే, అప్పుడు x 2 యొక్క విలువలు వాటి గణిత నిరీక్షణ నుండి చాలా వరకు భిన్నంగా ఉంటాయి మరియు అటువంటి విచలనాల సంభావ్యత చిన్నది కాదు. ఈ ఉదాహరణలు దాని నుండి చిన్నవి మరియు పెద్దవి రెండింటిలో ఏ విచలనాలు సంభవిస్తాయో సగటు విలువ నుండి గుర్తించడం అసాధ్యం అని చూపిస్తుంది. కాబట్టి, రెండు ప్రాంతాలలో ఒకే సగటు వార్షిక వర్షపాతంతో, ఈ ప్రాంతాలు వ్యవసాయ పనులకు సమానంగా అనుకూలంగా ఉన్నాయని చెప్పలేము. అదేవిధంగా, సగటు జీతం సూచిక ఆధారంగా, అధిక మరియు తక్కువ-చెల్లింపు కార్మికుల వాటాను నిర్ధారించడం సాధ్యం కాదు. అందువలన, ఒక సంఖ్యా లక్షణం ప్రవేశపెట్టబడింది - చెదరగొట్టడం D(x) , యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ దాని సగటు విలువ నుండి విచలనం యొక్క డిగ్రీని వర్ణిస్తుంది:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

డిస్పర్షన్ అనేది గణిత నిరీక్షణ నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనం యొక్క గణిత నిరీక్షణ. వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం, వైవిధ్యం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

D(x)= = (3)

వ్యాప్తి యొక్క నిర్వచనం నుండి అది D (x) 0ని అనుసరిస్తుంది.

వ్యాప్తి లక్షణాలు:

1. స్థిరాంకం యొక్క వైవిధ్యం సున్నా

2. యాదృచ్ఛిక చరరాశిని నిర్దిష్ట సంఖ్య kతో గుణించినట్లయితే, ఆ వ్యత్యాసం ఈ సంఖ్య యొక్క వర్గంతో గుణించబడుతుంది

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. పెయిర్‌వైజ్ ఇండిపెండెంట్ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ x 1 , x 2 , … x n మొత్తము యొక్క భేదం వ్యత్యాసాల మొత్తానికి సమానం.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

ఉదాహరణ 11 నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం వ్యత్యాసాన్ని గణిద్దాం.

గణిత నిరీక్షణ M (x) = 1. కాబట్టి, ఫార్ములా (3) ప్రకారం మనకు:

D (x) = (0 - 1) 2 1/4 + (1 - 1) 2 1/2 + (2 - 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

మీరు ప్రాపర్టీ 3ని ఉపయోగిస్తే వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడం సులభం అని గమనించండి:

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఉదాహరణ 12 నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ x 1 , x 2 కోసం వ్యత్యాసాలను గణిద్దాం. రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క గణిత అంచనాలు సున్నా.

D (x 1) = 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 = 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 = 0.00204

D (x 2) = (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 = 240 +20 = 260

వ్యత్యాస విలువ సున్నాకి దగ్గరగా ఉంటే, సగటు విలువకు సంబంధించి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క చిన్న వ్యాప్తి.

పరిమాణం అంటారు ప్రామాణిక విచలనం. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మోడ్ x వివిక్త రకం Mdఅత్యధిక సంభావ్యత కలిగిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువను అంటారు.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మోడ్ x నిరంతర రకం Md, అనేది సంభావ్యత పంపిణీ సాంద్రత f(x) యొక్క గరిష్ట బిందువుగా నిర్వచించబడిన వాస్తవ సంఖ్య.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మధ్యస్థం x నిరంతర రకం Mnసమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే వాస్తవ సంఖ్య

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ అనేది నిర్వచనం

చెక్‌మేట్ వేచి ఉందిగణిత గణాంకాలు మరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో అత్యంత ముఖ్యమైన భావనలలో ఒకటి, విలువల పంపిణీని వర్గీకరించడం లేదా సంభావ్యతలుయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్. సాధారణంగా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అన్ని పారామితుల యొక్క బరువున్న సగటుగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. సాంకేతిక విశ్లేషణ, సంఖ్యల శ్రేణి అధ్యయనం మరియు నిరంతర మరియు సమయం తీసుకునే ప్రక్రియల అధ్యయనంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది నష్టాలను అంచనా వేయడంలో ముఖ్యమైనది, ఆర్థిక మార్కెట్లలో ట్రేడింగ్ చేసేటప్పుడు ధర సూచికలను అంచనా వేయడం మరియు గేమింగ్ వ్యూహాల యొక్క వ్యూహాలు మరియు పద్ధతులను అభివృద్ధి చేయడంలో ఉపయోగించబడుతుంది. జూదం సిద్ధాంతాలు.

చెక్‌మేట్ వేచి ఉన్నారు- ఇదియాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ, పంపిణీ సంభావ్యతలుయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో పరిగణించబడుతుంది.

చెక్‌మేట్ వేచి ఉందిసంభావ్యత సిద్ధాంతంలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ యొక్క కొలత. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిరీక్షణను చెక్‌మేట్ చేయండి xద్వారా సూచించబడుతుంది M(x).

గణిత అంచనా (జనాభా సగటు)

చెక్‌మేట్ వేచి ఉంది

చెక్‌మేట్ వేచి ఉందిసంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ తీసుకోగల అన్ని సాధ్యమైన విలువల సగటు.

చెక్‌మేట్ వేచి ఉందియాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువల ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు ఈ విలువల సంభావ్యత.

గణిత అంచనా (జనాభా సగటు)

చెక్‌మేట్ వేచి ఉందిఒక నిర్దిష్ట నిర్ణయం నుండి సగటు ప్రయోజనం, అటువంటి నిర్ణయం పెద్ద సంఖ్యలు మరియు సుదూర సిద్ధాంతం యొక్క చట్రంలో పరిగణించబడుతుంది.

చెక్‌మేట్ వేచి ఉందిజూదం సిద్ధాంతంలో, ఒక స్పెక్యులేటర్ ప్రతి పందెం మీద సగటున సంపాదించగల లేదా కోల్పోయే విజయాల మొత్తం. జూదం భాషలో సట్టావ్యాపారులుదీనిని కొన్నిసార్లు "ప్రయోజనం" అని పిలుస్తారు స్పెక్యులేటర్" (అది స్పెక్యులేటర్‌కు సానుకూలంగా ఉంటే) లేదా "హౌస్ ఎడ్జ్" (స్పెక్యులేటర్‌కు ప్రతికూలంగా ఉంటే).

గణిత అంచనా (జనాభా సగటు)

వర్వెండెన్ కుకీలు ఫర్ డై బెస్ట్ ప్రెజెంటేషన్ అన్సెరర్ వెబ్‌సైట్. Wen Sie diese వెబ్‌సైట్ weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. అలాగే

నిరీక్షణ అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సంభావ్యత పంపిణీ

గణిత నిరీక్షణ, నిర్వచనం, వివిక్త మరియు నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ, నమూనా, షరతులతో కూడిన నిరీక్షణ, గణన, లక్షణాలు, సమస్యలు, అంచనా అంచనా, వ్యాప్తి, పంపిణీ ఫంక్షన్, సూత్రాలు, గణన ఉదాహరణలు

విషయాలను విస్తరించండి

కంటెంట్‌ని కుదించు

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ అనేది నిర్వచనం

గణిత గణాంకాలు మరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో అత్యంత ముఖ్యమైన భావనలలో ఒకటి, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువలు లేదా సంభావ్యతలను పంపిణీ చేస్తుంది. సాధారణంగా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అన్ని పారామితుల యొక్క బరువున్న సగటుగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. సాంకేతిక విశ్లేషణ, సంఖ్యల శ్రేణి అధ్యయనం మరియు నిరంతర మరియు సమయం తీసుకునే ప్రక్రియల అధ్యయనంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది నష్టాలను అంచనా వేయడంలో ముఖ్యమైనది, ఆర్థిక మార్కెట్లలో వ్యాపారం చేసేటప్పుడు ధర సూచికలను అంచనా వేయడం మరియు జూదం సిద్ధాంతంలో గేమింగ్ వ్యూహాల వ్యూహాలు మరియు పద్ధతులను అభివృద్ధి చేయడంలో ఉపయోగించబడుతుంది.

గణిత నిరీక్షణ ఉందియాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సంభావ్యత పంపిణీ సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో పరిగణించబడుతుంది.

గణిత నిరీక్షణ ఉందిసంభావ్యత సిద్ధాంతంలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ యొక్క కొలత. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిరీక్షణ xద్వారా సూచించబడుతుంది M(x).

గణిత నిరీక్షణ ఉంది

గణిత నిరీక్షణ ఉందిసంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ తీసుకోగల అన్ని సాధ్యమైన విలువల సగటు.

గణిత నిరీక్షణ ఉందియాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువల ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు ఈ విలువల సంభావ్యత.

గణిత నిరీక్షణ ఉందిఒక నిర్దిష్ట నిర్ణయం నుండి సగటు ప్రయోజనం, అటువంటి నిర్ణయం పెద్ద సంఖ్యలు మరియు సుదూర సిద్ధాంతం యొక్క చట్రంలో పరిగణించబడుతుంది.

గణిత నిరీక్షణ ఉందిజూదం సిద్ధాంతంలో, ఒక ఆటగాడు ప్రతి పందెం కోసం సగటున సంపాదించగల లేదా కోల్పోగల విజయాల మొత్తం. జూదం పరిభాషలో, దీనిని కొన్నిసార్లు "ప్లేయర్స్ ఎడ్జ్" (ఆటగాడికి సానుకూలంగా ఉంటే) లేదా "హౌస్ ఎడ్జ్" (ఆటగాడికి ప్రతికూలంగా ఉంటే) అని పిలుస్తారు.

గణిత నిరీక్షణ ఉందిసగటు లాభంతో గుణించిన లాభం శాతం, నష్ట సంభావ్యత సగటు నష్టంతో గుణించబడుతుంది.

గణిత సిద్ధాంతంలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ముఖ్యమైన సంఖ్యా లక్షణాలలో ఒకటి దాని గణిత అంచనా. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ వ్యవస్థ యొక్క భావనను పరిచయం చేద్దాం. అదే యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం యొక్క ఫలితాలు అయిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ సమితిని పరిశీలిద్దాం. సిస్టమ్ యొక్క సాధ్యమయ్యే విలువలలో ఒకటి అయితే, ఈ సంఘటన కోల్మోగోరోవ్ యొక్క సిద్ధాంతాలను సంతృప్తిపరిచే నిర్దిష్ట సంభావ్యతకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా సాధ్యమైన విలువల కోసం నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్‌ను ఉమ్మడి పంపిణీ చట్టం అంటారు. ఈ ఫంక్షన్ ఏదైనా ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతను లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ప్రత్యేకించి, రాండమ్ వేరియబుల్స్ యొక్క ఉమ్మడి పంపిణీ చట్టం మరియు, ఇది సెట్ నుండి విలువలను తీసుకుంటుంది మరియు సంభావ్యత ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది.

"గణిత నిరీక్షణ" అనే పదాన్ని పియరీ సైమన్ మార్క్విస్ డి లాప్లేస్ (1795) పరిచయం చేశారు మరియు ఇది "విజయాల అంచనా విలువ" అనే భావన నుండి వచ్చింది, ఇది 17వ శతాబ్దంలో బ్లైస్ పాస్కల్ మరియు క్రిస్టియాన్ రచనలలో జూదం యొక్క సిద్ధాంతంలో మొదటిసారి కనిపించింది. హైజెన్స్. ఏదేమైనా, ఈ భావన యొక్క మొదటి పూర్తి సైద్ధాంతిక అవగాహన మరియు అంచనాను పాఫ్నుటీ ల్వోవిచ్ చెబిషెవ్ (19వ శతాబ్దం మధ్య) అందించారు.

యాదృచ్ఛిక సంఖ్యా చరరాశుల పంపిణీ చట్టం (పంపిణీ ఫంక్షన్ మరియు పంపిణీ శ్రేణి లేదా సంభావ్యత సాంద్రత) యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రవర్తనను పూర్తిగా వివరిస్తుంది. కానీ అనేక సమస్యలలో, అడిగిన ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి అధ్యయనంలో ఉన్న పరిమాణం యొక్క కొన్ని సంఖ్యా లక్షణాలను (ఉదాహరణకు, దాని సగటు విలువ మరియు దాని నుండి సాధ్యమయ్యే విచలనం) తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ప్రధాన సంఖ్యా లక్షణాలు గణిత అంచనా, వైవిధ్యం, మోడ్ మరియు మధ్యస్థం.

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ అనేది దాని సాధ్యమైన విలువలు మరియు వాటి సంబంధిత సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం. కొన్నిసార్లు గణిత అంచనాను వెయిటెడ్ యావరేజ్ అని పిలుస్తారు, ఎందుకంటే ఇది పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటుకు దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది. గణిత నిరీక్షణ యొక్క నిర్వచనం నుండి దాని విలువ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అతిచిన్న సాధ్యం విలువ కంటే తక్కువ కాదు మరియు అతిపెద్దది కంటే ఎక్కువ కాదు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా అనేది యాదృచ్ఛికం కాని (స్థిరమైన) వేరియబుల్.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు సరళమైన భౌతిక అర్ధం ఉంటుంది: మీరు ఒక యూనిట్ ద్రవ్యరాశిని సరళ రేఖపై ఉంచినట్లయితే, నిర్దిష్ట ద్రవ్యరాశిని కొన్ని పాయింట్ల వద్ద (వివిక్త పంపిణీ కోసం) ఉంచడం లేదా నిర్దిష్ట సాంద్రతతో "స్మెరింగ్" చేయడం (పూర్తిగా నిరంతర పంపిణీ కోసం) , అప్పుడు గణిత నిరీక్షణకు సంబంధించిన పాయింట్ కోఆర్డినేట్ "గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం" నేరుగా ఉంటుంది.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య, అంటే దాని "ప్రతినిధి" మరియు దానిని సుమారుగా ఉజ్జాయింపు లెక్కల్లో భర్తీ చేస్తుంది. మేము ఇలా చెప్పినప్పుడు: "సగటు దీపం ఆపరేటింగ్ సమయం 100 గంటలు" లేదా "ప్రభావం యొక్క సగటు పాయింట్ లక్ష్యానికి సంబంధించి 2 మీటర్లు కుడివైపుకి మార్చబడుతుంది" అని మేము దాని స్థానాన్ని వివరించే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిర్దిష్ట సంఖ్యా లక్షణాన్ని సూచిస్తాము. సంఖ్యా అక్షం మీద, అనగా. "స్థాన లక్షణాలు".

సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో స్థానం యొక్క లక్షణాలలో, చాలా ముఖ్యమైన పాత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ ద్వారా ఆడబడుతుంది, దీనిని కొన్నిసార్లు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ అని పిలుస్తారు.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను పరిగణించండి X, సాధ్యమైన విలువలను కలిగి ఉంటుంది x1, x2, ..., xnసంభావ్యతతో p1, p2, ..., pn. ఈ విలువలు వేర్వేరు సంభావ్యతలను కలిగి ఉన్నాయనే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుని, x- అక్షంపై యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువల స్థానాన్ని మనం కొంత సంఖ్యతో వర్గీకరించాలి. ఈ ప్రయోజనం కోసం, విలువల యొక్క "వెయిటెడ్ యావరేజ్" అని పిలవబడేది ఉపయోగించడం సహజం xi, మరియు సగటు సమయంలో ప్రతి విలువ xi ఈ విలువ యొక్క సంభావ్యతకు అనులోమానుపాతంలో "బరువు"తో పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. అందువలన, మేము యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటును గణిస్తాము X, మేము సూచిస్తాము M |X|:

ఈ వెయిటెడ్ యావరేజ్‌ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా అంటారు. అందువల్ల, మేము సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన భావనలలో ఒకదాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకున్నాము - గణిత నిరీక్షణ భావన. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అన్ని సాధ్యమైన విలువల యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు ఈ విలువల సంభావ్యత.

Xపెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటుతో ఒక విచిత్రమైన ఆధారపడటం ద్వారా అనుసంధానించబడింది. ఈ ఆధారపడటం అనేది ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు సంభావ్యత మధ్య ఆధారపడటం వంటిది, అవి: పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలతో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటు దాని గణిత నిరీక్షణకు (సంభావ్యతలో కలుస్తుంది) విధానాలు. ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు సంభావ్యత మధ్య కనెక్షన్ ఉనికి నుండి, అంకగణిత సగటు మరియు గణిత అంచనాల మధ్య సారూప్య కనెక్షన్ ఉనికిని పర్యవసానంగా అంచనా వేయవచ్చు. నిజానికి, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను పరిగణించండి X, పంపిణీ శ్రేణి ద్వారా వర్గీకరించబడింది:

దానిని ఉత్పత్తి చేయనివ్వండి ఎన్స్వతంత్ర ప్రయోగాలు, ప్రతి దానిలో విలువ Xఒక నిర్దిష్ట విలువను తీసుకుంటుంది. విలువ అని అనుకుందాం x1కనిపించాడు m1సార్లు, విలువ x2కనిపించాడు m2సార్లు, సాధారణ అర్థం xi mi సార్లు కనిపించింది. X విలువ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటును గణిద్దాం, ఇది గణిత అంచనాకు భిన్నంగా ఉంటుంది. M|X|మేము సూచిస్తాము M*|X|:

పెరుగుతున్న ప్రయోగాలతో ఎన్ఫ్రీక్వెన్సీలు పైసంబంధిత సంభావ్యతలను చేరుస్తుంది (సంభావ్యతలో కలుస్తుంది). పర్యవసానంగా, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటు M|X|ప్రయోగాల సంఖ్య పెరుగుదలతో అది దాని గణిత నిరీక్షణకు చేరుకుంటుంది (సంభావ్యతలో కలుస్తుంది). పైన రూపొందించిన అంకగణిత సగటు మరియు గణిత అంచనాల మధ్య కనెక్షన్ పెద్ద సంఖ్యల చట్టం యొక్క రూపాలలో ఒకదాని యొక్క కంటెంట్‌ను ఏర్పరుస్తుంది.

పెద్ద సంఖ్యల చట్టం యొక్క అన్ని రూపాలు పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలలో కొన్ని సగటులు స్థిరంగా ఉన్నాయనే వాస్తవాన్ని తెలియజేస్తాయని మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఇక్కడ మనం అదే పరిమాణంలోని పరిశీలనల శ్రేణి నుండి అంకగణిత సగటు యొక్క స్థిరత్వం గురించి మాట్లాడుతున్నాము. తక్కువ సంఖ్యలో ప్రయోగాలతో, వాటి ఫలితాల యొక్క అంకగణిత సగటు యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది; ప్రయోగాల సంఖ్యలో తగినంత పెరుగుదలతో, ఇది "దాదాపు యాదృచ్ఛికం" అవుతుంది మరియు స్థిరీకరించడం, స్థిరమైన విలువను చేరుకుంటుంది - గణిత అంచనా.

పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలపై సగటుల స్థిరత్వం ప్రయోగాత్మకంగా సులభంగా ధృవీకరించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, ఖచ్చితమైన ప్రమాణాలపై ప్రయోగశాలలో శరీరాన్ని బరువుగా ఉంచినప్పుడు, బరువు ఫలితంగా ప్రతిసారీ కొత్త విలువను పొందుతాము; పరిశీలన లోపాన్ని తగ్గించడానికి, మేము శరీరాన్ని అనేక సార్లు బరువుగా ఉంచుతాము మరియు పొందిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటును ఉపయోగిస్తాము. ప్రయోగాల సంఖ్య (బరువులు) మరింత పెరగడంతో, అంకగణిత సగటు ఈ పెరుగుదలకు తక్కువ మరియు తక్కువ ప్రతిస్పందిస్తుంది మరియు తగినంత పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలతో, ఆచరణాత్మకంగా మారడం ఆగిపోతుందని చూడటం సులభం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క స్థానం యొక్క అతి ముఖ్యమైన లక్షణం - గణిత అంచనా - అన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌కు ఉనికిలో లేదని గమనించాలి. గణిత నిరీక్షణ ఉనికిలో లేని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఉదాహరణలను కంపోజ్ చేయడం సాధ్యపడుతుంది, ఎందుకంటే సంబంధిత మొత్తం లేదా సమగ్రం వేరుగా ఉంటుంది. అయితే, ఇటువంటి కేసులు ఆచరణలో ముఖ్యమైన ఆసక్తిని కలిగి ఉండవు. సాధారణంగా, మేము వ్యవహరించే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ పరిమిత శ్రేణి సాధ్యమైన విలువలను కలిగి ఉంటాయి మరియు వాస్తవానికి, గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణను కలిగి ఉంటాయి.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క స్థానం యొక్క అతి ముఖ్యమైన లక్షణాలతో పాటు - గణిత నిరీక్షణ - ఆచరణలో, స్థానం యొక్క ఇతర లక్షణాలు కొన్నిసార్లు ఉపయోగించబడతాయి, ప్రత్యేకించి, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ మరియు మధ్యస్థం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ దాని అత్యంత సంభావ్య విలువ. ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే "అత్యంత సంభావ్య విలువ" అనే పదం నిరంతర పరిమాణాలకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది; నిరంతర పరిమాణం కోసం, మోడ్ అనేది సంభావ్యత సాంద్రత గరిష్టంగా ఉండే విలువ. బొమ్మలు వరుసగా నిరంతర మరియు నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం మోడ్‌ను చూపుతాయి.

పంపిణీ బహుభుజి (పంపిణీ వక్రరేఖ) గరిష్టంగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉంటే, పంపిణీని "మల్టీమోడల్" అంటారు.

కొన్నిసార్లు గరిష్టంగా కాకుండా మధ్యలో కనిష్టంగా ఉండే పంపిణీలు ఉన్నాయి. ఇటువంటి పంపిణీలను "యాంటీ-మోడల్" అంటారు.

సాధారణ సందర్భంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ మరియు గణిత నిరీక్షణ ఏకీభవించవు. నిర్దిష్ట సందర్భంలో, పంపిణీ సుష్టంగా మరియు మోడల్‌గా ఉన్నప్పుడు (అనగా మోడ్‌ను కలిగి ఉంటుంది) మరియు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ ఉన్నప్పుడు, అది పంపిణీ యొక్క మోడ్ మరియు సెంటర్ ఆఫ్ సిమెట్రీతో సమానంగా ఉంటుంది.

మరొక స్థానం లక్షణం తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది - యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మధ్యస్థం అని పిలవబడేది. ఈ లక్షణం సాధారణంగా నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం మాత్రమే ఉపయోగించబడుతుంది, అయినప్పటికీ ఇది నిరంతర వేరియబుల్ కోసం అధికారికంగా నిర్వచించబడుతుంది. రేఖాగణితంగా, మధ్యస్థం అనేది డిస్ట్రిబ్యూషన్ వక్రరేఖతో చుట్టబడిన ప్రాంతం సగానికి విభజించబడిన బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా.

సిమెట్రిక్ మోడల్ పంపిణీ విషయంలో, మధ్యస్థం గణిత అంచనా మరియు మోడ్‌తో సమానంగా ఉంటుంది.

గణిత అంచనా అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ - యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సంభావ్యత పంపిణీ యొక్క సంఖ్యా లక్షణం. అత్యంత సాధారణ మార్గంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ X(w)సంభావ్యత కొలతకు సంబంధించి Lebesgue సమగ్రంగా నిర్వచించబడింది ఆర్అసలు సంభావ్యత స్థలంలో:

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణను లెబెస్గూ సమగ్రంగా కూడా లెక్కించవచ్చు Xసంభావ్యత పంపిణీ ద్వారా pxపరిమాణంలో X:

అనంతమైన గణిత నిరీక్షణతో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ భావనను సహజ మార్గంలో నిర్వచించవచ్చు. కొన్ని యాదృచ్ఛిక నడకల రిటర్న్ టైమ్స్ ఒక విలక్షణ ఉదాహరణ.

గణిత నిరీక్షణను ఉపయోగించి, పంపిణీ యొక్క అనేక సంఖ్యా మరియు క్రియాత్మక లక్షణాలు నిర్ణయించబడతాయి (యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సంబంధిత ఫంక్షన్ల యొక్క గణిత నిరీక్షణగా), ఉదాహరణకు, ఉత్పాదక ఫంక్షన్, లక్షణం ఫంక్షన్, ఏదైనా క్రమం యొక్క క్షణాలు, ప్రత్యేకించి వ్యాప్తి, సహసంబంధం .

గణిత అంచనా అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ (దాని పంపిణీ యొక్క సగటు విలువ) యొక్క విలువల స్థానం యొక్క లక్షణం. ఈ సామర్థ్యంలో, గణిత నిరీక్షణ అనేది కొన్ని "విలక్షణమైన" పంపిణీ పారామీటర్‌గా పనిచేస్తుంది మరియు దాని పాత్ర మెకానిక్స్‌లో స్టాటిక్ మూమెంట్ - మాస్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ యొక్క గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం యొక్క కోఆర్డినేట్ పాత్రను పోలి ఉంటుంది. పంపిణీని సాధారణ పరంగా వివరించిన ప్రదేశం యొక్క ఇతర లక్షణాల నుండి - మధ్యస్థాలు, మోడ్‌లు, గణిత నిరీక్షణ సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క పరిమితి సిద్ధాంతాలలో అది మరియు సంబంధిత స్కాటరింగ్ లక్షణం - వ్యాప్తి - ఎక్కువ విలువలో భిన్నంగా ఉంటుంది. గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క అర్థం పెద్ద సంఖ్యల చట్టం (చెబిషెవ్ యొక్క అసమానత) మరియు పెద్ద సంఖ్యల యొక్క బలపరిచిన చట్టం ద్వారా పూర్తిగా వెల్లడి చేయబడింది.

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిరీక్షణ

అనేక సంఖ్యా విలువలలో ఒకదానిని తీసుకోగల కొన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ ఉండనివ్వండి (ఉదాహరణకు, పాచికలు విసిరేటప్పుడు పాయింట్ల సంఖ్య 1, 2, 3, 4, 5 లేదా 6 కావచ్చు). తరచుగా ఆచరణలో, అటువంటి విలువ కోసం, ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: పెద్ద సంఖ్యలో పరీక్షలతో "సగటున" ఏ విలువను తీసుకుంటుంది? ప్రతి ప్రమాదకర లావాదేవీల నుండి మన సగటు ఆదాయం (లేదా నష్టం) ఎంత?

ఏదో లాటరీ ఉందనుకుందాం. దానిలో పాల్గొనడం లాభదాయకంగా ఉందా లేదా (లేదా పదేపదే, క్రమం తప్పకుండా పాల్గొనడం) మేము అర్థం చేసుకోవాలనుకుంటున్నాము. ప్రతి నాల్గవ టికెట్ విజేత అని చెప్పండి, బహుమతి 300 రూబిళ్లు మరియు ఏదైనా టిక్కెట్ ధర 100 రూబిళ్లు. అనంతమైన పెద్ద సంఖ్యలో పాల్గొనడంతో, ఇది జరుగుతుంది. మూడు వంతుల కేసులలో మనం కోల్పోతాము, ప్రతి మూడు నష్టాలకు 300 రూబిళ్లు ఖర్చు అవుతుంది. ప్రతి నాల్గవ సందర్భంలో మేము 200 రూబిళ్లు గెలుస్తాము. (బహుమతి మైనస్ ఖర్చు), అంటే, నాలుగు పాల్గొనడం కోసం మేము సగటున 100 రూబిళ్లు కోల్పోతాము, ఒకదానికి - సగటున 25 రూబిళ్లు. మొత్తంగా, మా వినాశనం యొక్క సగటు రేటు టిక్కెట్‌కు 25 రూబిళ్లు.

మేము పాచికలు త్రో. ఇది మోసం కాకపోతే (గురుత్వాకర్షణ కేంద్రాన్ని మార్చకుండా, మొదలైనవి), అప్పుడు మనకు సగటున ఒక సమయంలో ఎన్ని పాయింట్లు ఉంటాయి? ప్రతి ఎంపిక సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి, మేము కేవలం అంకగణిత సగటును తీసుకొని 3.5ని పొందుతాము. ఇది సగటు కాబట్టి, నిర్దిష్ట రోల్ 3.5 పాయింట్లను ఇవ్వదని ఆగ్రహం చెందాల్సిన అవసరం లేదు - సరే, ఈ క్యూబ్‌కు అలాంటి సంఖ్యతో ముఖం లేదు!

ఇప్పుడు మన ఉదాహరణలను సంగ్రహిద్దాం:

ఇప్పుడే ఇచ్చిన చిత్రాన్ని చూద్దాం. ఎడమవైపు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ పట్టిక ఉంది. X విలువ n సాధ్యమయ్యే విలువలలో ఒకదాన్ని తీసుకోవచ్చు (ఎగువ లైన్‌లో చూపబడింది). వేరే అర్థాలు ఉండకూడదు. ప్రతి సాధ్యమైన విలువ క్రింద, దాని సంభావ్యత క్రింద వ్రాయబడింది. కుడివైపున ఫార్ములా ఉంది, ఇక్కడ M(X)ని గణిత నిరీక్షణ అంటారు. ఈ విలువ యొక్క అర్థం ఏమిటంటే, పెద్ద సంఖ్యలో పరీక్షలతో (పెద్ద నమూనాతో), సగటు విలువ ఇదే గణిత నిరీక్షణకు మొగ్గు చూపుతుంది.

మళ్లీ అదే ప్లేయింగ్ క్యూబ్‌కి తిరిగి వెళ్దాం. విసిరేటప్పుడు పాయింట్ల సంఖ్య యొక్క గణిత అంచనా 3.5 (మీరు నన్ను నమ్మకపోతే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మీరే లెక్కించండి). మీరు రెండు సార్లు విసిరారు అనుకుందాం. ఫలితాలు 4 మరియు 6. సగటు 5, ఇది 3.5కి దూరంగా ఉంది. వారు దానిని మరోసారి విసిరారు, వారికి 3 వచ్చింది, అంటే సగటున (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు కొంత దూరంలో ఉంది. ఇప్పుడు ఒక వెర్రి ప్రయోగం చేయండి - క్యూబ్‌ను 1000 సార్లు చుట్టండి! మరియు సగటు సరిగ్గా 3.5 కాకపోయినా, అది దానికి దగ్గరగా ఉంటుంది.

పైన వివరించిన లాటరీ కోసం గణిత అంచనాను గణిద్దాం. ప్లేట్ ఇలా కనిపిస్తుంది:

మేము పైన స్థాపించిన విధంగా గణిత నిరీక్షణ ఉంటుంది:

మరొక విషయం ఏమిటంటే, మరిన్ని ఎంపికలు ఉంటే ఫార్ములా లేకుండా “వేళ్లపై” చేయడం కష్టం. సరే, 75% ఓడిపోయిన టిక్కెట్లు, 20% గెలిచిన టిక్కెట్లు మరియు 5% ముఖ్యంగా గెలిచినవి ఉన్నాయని అనుకుందాం.

ఇప్పుడు గణిత నిరీక్షణ యొక్క కొన్ని లక్షణాలు.

నిరూపించడం సులభం:

స్థిరమైన కారకాన్ని గణిత నిరీక్షణకు చిహ్నంగా తీసుకోవచ్చు, అంటే:

ఇది గణిత నిరీక్షణ యొక్క రేఖీయత లక్షణం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం.

గణిత నిరీక్షణ యొక్క సరళత యొక్క మరొక పరిణామం:

అంటే, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తం యొక్క గణిత నిరీక్షణ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క గణిత అంచనాల మొత్తానికి సమానం.

X, Y స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక చరరాశులుగా ఉండనివ్వండి, అప్పుడు:

ఇది నిరూపించడం కూడా సులభం) పని XYఇది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్, మరియు ప్రారంభ విలువలు తీసుకోగలిగితే nమరియు mవిలువలు తదనుగుణంగా, అప్పుడు XY nm విలువలను తీసుకోవచ్చు. స్వతంత్ర సంఘటనల సంభావ్యత గుణించబడుతుందనే వాస్తవం ఆధారంగా ప్రతి విలువ యొక్క సంభావ్యత లెక్కించబడుతుంది. ఫలితంగా, మేము దీన్ని పొందుతాము:

నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిరీక్షణ

నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ పంపిణీ సాంద్రత (సంభావ్యత సాంద్రత) వంటి లక్షణాన్ని కలిగి ఉంటాయి. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ వాస్తవ సంఖ్యల సమితి నుండి కొన్ని విలువలను మరింత తరచుగా మరియు కొన్ని తక్కువ తరచుగా తీసుకునే పరిస్థితిని ఇది తప్పనిసరిగా వర్ణిస్తుంది. ఉదాహరణకు, ఈ గ్రాఫ్‌ను పరిగణించండి:

ఇక్కడ X- వాస్తవ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్, f(x)- పంపిణీ సాంద్రత. ఈ గ్రాఫ్ ద్వారా నిర్ణయించడం, ప్రయోగాల సమయంలో విలువ Xతరచుగా సున్నాకి దగ్గరగా ఉండే సంఖ్య. అవకాశాలు మించిపోయాయి 3 లేదా చిన్నదిగా ఉండాలి -3 కాకుండా పూర్తిగా సైద్ధాంతికంగా.

ఉదాహరణకు, ఏకరీతి పంపిణీ ఉండనివ్వండి:

ఇది సహజమైన అవగాహనతో చాలా స్థిరంగా ఉంటుంది. మనం అనేక యాదృచ్ఛిక వాస్తవ సంఖ్యలను ఏకరీతి పంపిణీతో స్వీకరిస్తే, ప్రతి సెగ్మెంట్ |0; 1| , అప్పుడు అంకగణిత సగటు సుమారు 0.5 ఉండాలి.

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం వర్తించే గణిత నిరీక్షణ - లీనియారిటీ మొదలైన లక్షణాలు ఇక్కడ కూడా వర్తిస్తాయి.

గణిత నిరీక్షణ మరియు ఇతర గణాంక సూచికల మధ్య సంబంధం

గణాంక విశ్లేషణలో, గణిత అంచనాతో పాటు, దృగ్విషయాల సజాతీయత మరియు ప్రక్రియల స్థిరత్వాన్ని ప్రతిబింబించే పరస్పర ఆధారిత సూచికల వ్యవస్థ ఉంది. వైవిధ్య సూచికలకు తరచుగా స్వతంత్ర అర్ధం ఉండదు మరియు తదుపరి డేటా విశ్లేషణ కోసం ఉపయోగించబడతాయి. మినహాయింపు అనేది వైవిధ్యం యొక్క గుణకం, ఇది డేటా యొక్క సజాతీయతను వర్ణిస్తుంది, ఇది విలువైన గణాంక లక్షణం.

గణాంక శాస్త్రంలో ప్రక్రియల వైవిధ్యం లేదా స్థిరత్వం యొక్క డిగ్రీని అనేక సూచికలను ఉపయోగించి కొలవవచ్చు.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వేరియబిలిటీని వివరించే అతి ముఖ్యమైన సూచిక చెదరగొట్టడం, ఇది గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు చాలా దగ్గరగా మరియు నేరుగా సంబంధించినది. ఈ పరామితి ఇతర రకాల గణాంక విశ్లేషణలలో చురుకుగా ఉపయోగించబడుతుంది (పరికల్పన పరీక్ష, కారణం-మరియు-ప్రభావ సంబంధాల విశ్లేషణ మొదలైనవి). సగటు లీనియర్ విచలనం వలె, వ్యత్యాసం సగటు విలువ చుట్టూ డేటా వ్యాప్తి యొక్క పరిధిని కూడా ప్రతిబింబిస్తుంది.

సంకేతాల భాషని పదాల భాషలోకి అనువదించడానికి ఇది ఉపయోగపడుతుంది. చెదరగొట్టడం అనేది విచలనాల సగటు చతురస్రం అని తేలింది. అంటే, సగటు విలువ మొదట లెక్కించబడుతుంది, ఆపై ప్రతి అసలు మరియు సగటు విలువ మధ్య వ్యత్యాసం తీసుకోబడుతుంది, స్క్వేర్ చేయబడింది, జోడించబడుతుంది, ఆపై జనాభాలోని విలువల సంఖ్యతో భాగించబడుతుంది. వ్యక్తిగత విలువ మరియు సగటు మధ్య వ్యత్యాసం విచలనం యొక్క కొలతను ప్రతిబింబిస్తుంది. ఇది స్క్వేర్ చేయబడింది, తద్వారా అన్ని విచలనాలు ప్రత్యేకంగా సానుకూల సంఖ్యలుగా మారతాయి మరియు వాటిని సంగ్రహించేటప్పుడు సానుకూల మరియు ప్రతికూల విచలనాల పరస్పర విధ్వంసం నివారించడానికి. అప్పుడు, స్క్వేర్డ్ విచలనాలు ఇచ్చినప్పుడు, మేము కేవలం అంకగణిత సగటును గణిస్తాము. సగటు - చదరపు - విచలనాలు. విచలనాలు వర్గీకరించబడ్డాయి మరియు సగటు లెక్కించబడుతుంది. "డిస్పర్షన్" అనే మేజిక్ పదానికి సమాధానం కేవలం మూడు పదాలలో ఉంది.

అయినప్పటికీ, అంకగణిత సగటు లేదా సూచిక వంటి దాని స్వచ్ఛమైన రూపంలో, వ్యాప్తి ఉపయోగించబడదు. ఇది ఇతర రకాల గణాంక విశ్లేషణల కోసం ఉపయోగించే సహాయక మరియు ఇంటర్మీడియట్ సూచిక. దీనికి సాధారణ కొలత యూనిట్ కూడా లేదు. ఫార్ములా ద్వారా నిర్ణయించడం, ఇది అసలు డేటా యొక్క కొలత యూనిట్ యొక్క స్క్వేర్.

యాదృచ్ఛిక చరరాశిని కొలుద్దాం ఎన్సార్లు, ఉదాహరణకు, మేము గాలి వేగాన్ని పదిసార్లు కొలుస్తాము మరియు సగటు విలువను కనుగొనాలనుకుంటున్నాము. పంపిణీ ఫంక్షన్‌కి సగటు విలువ ఎలా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది?

లేదా మేము పాచికలు పెద్ద సంఖ్యలో రోల్ చేస్తాము. ప్రతి త్రోతో డైస్‌పై కనిపించే పాయింట్ల సంఖ్య యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మరియు 1 నుండి 6 వరకు ఏదైనా సహజ విలువను తీసుకోవచ్చు. అన్ని డైస్ త్రోల కోసం లెక్కించిన డ్రాప్ చేయబడిన పాయింట్‌ల అంకగణిత సగటు కూడా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్, కానీ పెద్దది ఎన్ఇది చాలా నిర్దిష్ట సంఖ్యకు మొగ్గు చూపుతుంది - గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ Mx. ఈ సందర్భంలో Mx = 3.5.

మీరు ఈ విలువను ఎలా పొందారు? లోనికి అనుమతించు ఎన్పరీక్షలు n1మీరు 1 పాయింట్‌ని పొందిన తర్వాత, n2ఒకసారి - 2 పాయింట్లు మరియు మొదలైనవి. అప్పుడు ఒక పాయింట్ పడిపోయిన ఫలితాల సంఖ్య:

అదేవిధంగా 2, 3, 4, 5 మరియు 6 పాయింట్లు రోల్ చేయబడినప్పుడు ఫలితాల కోసం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x యొక్క పంపిణీ చట్టం మనకు తెలుసని ఇప్పుడు మనం ఊహించుదాం, అనగా, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x సంభావ్యతలతో p1, p2, ..., x1, x2, ..., xk విలువలను తీసుకోగలదని మనకు తెలుసు. pk.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x యొక్క గణిత అంచనా Mx దీనికి సమానం:

గణిత నిరీక్షణ ఎల్లప్పుడూ కొన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సహేతుకమైన అంచనా కాదు. అందువల్ల, సగటు జీతం అంచనా వేయడానికి, మధ్యస్థం అనే భావనను ఉపయోగించడం మరింత సహేతుకమైనది, అంటే, సగటు కంటే తక్కువ మరియు ఎక్కువ మంది జీతం పొందే వ్యక్తుల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x x1/2 కంటే తక్కువగా ఉండే సంభావ్యత p1 మరియు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x x1/2 కంటే ఎక్కువగా ఉండే సంభావ్యత p2 ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు 1/2కి సమానంగా ఉంటాయి. అన్ని పంపిణీలకు మధ్యస్థం ప్రత్యేకంగా నిర్ణయించబడదు.

ప్రామాణిక లేదా ప్రామాణిక విచలనంగణాంకాలలో, సగటు విలువ నుండి పరిశీలనాత్మక డేటా లేదా సెట్‌ల విచలనం యొక్క డిగ్రీని అంటారు. s లేదా s అక్షరాలతో సూచించబడుతుంది. ఒక చిన్న ప్రామాణిక విచలనం సగటు చుట్టూ డేటా క్లస్టర్‌లను సూచిస్తుంది, అయితే పెద్ద ప్రామాణిక విచలనం ప్రారంభ డేటా దాని నుండి దూరంగా ఉందని సూచిస్తుంది. ప్రామాణిక విచలనం వైవిధ్యం అని పిలువబడే పరిమాణం యొక్క వర్గమూలానికి సమానం. ఇది సగటు విలువ నుండి వైదొలిగే ప్రారంభ డేటా యొక్క స్క్వేర్డ్ తేడాల మొత్తం సగటు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రామాణిక విచలనం భేదం యొక్క వర్గమూలం:

ఉదాహరణ. లక్ష్యాన్ని కాల్చేటప్పుడు పరీక్ష పరిస్థితులలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వ్యాప్తి మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించండి:

వైవిధ్యం- హెచ్చుతగ్గులు, జనాభా యొక్క యూనిట్లలో ఒక లక్షణం యొక్క విలువ యొక్క మార్పు. అధ్యయనంలో ఉన్న జనాభాలో కనిపించే లక్షణం యొక్క వ్యక్తిగత సంఖ్యా విలువలను విలువల వైవిధ్యాలు అంటారు. జనాభాను పూర్తిగా వర్గీకరించడానికి సగటు విలువ యొక్క లోపం అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క వైవిధ్యాన్ని (వైవిధ్యం) కొలవడం ద్వారా ఈ సగటుల యొక్క విలక్షణతను అంచనా వేయడానికి అనుమతించే సూచికలతో సగటు విలువలను భర్తీ చేయడానికి మమ్మల్ని బలవంతం చేస్తుంది. వైవిధ్యం యొక్క గుణకం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

వైవిధ్యం యొక్క పరిధి(R) అధ్యయనం చేయబడుతున్న జనాభాలో లక్షణం యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట విలువల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని సూచిస్తుంది. ఈ సూచిక అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క అత్యంత సాధారణ ఆలోచనను ఇస్తుంది, ఎందుకంటే ఇది ఎంపికల గరిష్ట విలువల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని మాత్రమే చూపుతుంది. ఒక లక్షణం యొక్క విపరీతమైన విలువలపై ఆధారపడటం వైవిధ్యం యొక్క పరిధిని అస్థిరమైన, యాదృచ్ఛిక పాత్రను ఇస్తుంది.

సగటు సరళ విచలనంవారి సగటు విలువ నుండి విశ్లేషించబడిన జనాభా యొక్క అన్ని విలువల యొక్క సంపూర్ణ (మాడ్యులో) వ్యత్యాసాల యొక్క అంకగణిత సగటును సూచిస్తుంది:

జూదం సిద్ధాంతంలో గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ

గణిత నిరీక్షణ ఉందిజూదగాడు ఇచ్చిన బెట్టింగ్‌లో గెలవగల లేదా ఓడిపోగల సగటు డబ్బు. ఆటగాడికి ఇది చాలా ముఖ్యమైన అంశం ఎందుకంటే ఇది చాలా గేమింగ్ పరిస్థితులను అంచనా వేయడానికి ప్రాథమికమైనది. ప్రాథమిక కార్డ్ లేఅవుట్‌లు మరియు గేమింగ్ పరిస్థితులను విశ్లేషించడానికి గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ సరైన సాధనం.

మీరు స్నేహితుడితో కాయిన్ గేమ్ ఆడుతున్నారని అనుకుందాం, ప్రతిసారీ $1కి సమానంగా బెట్టింగ్‌లు వేస్తున్నారు. తోకలు అంటే మీరు గెలుస్తారు, తలలు అంటే మీరు ఓడిపోతారు. అసమానతలు ఒకదానికొకటి పైకి వస్తాయి, కాబట్టి మీరు $1 నుండి $1 వరకు పందెం వేయండి. అందువలన, మీ గణిత నిరీక్షణ సున్నా, ఎందుకంటే గణిత కోణం నుండి, మీరు రెండు త్రోల తర్వాత లేదా 200 తర్వాత లీడ్ చేస్తారా లేదా ఓడిపోతారా అనేది మీకు తెలియదు.

మీ గంటకు వచ్చే లాభం సున్నా. గంట వారీ విజయాలు అంటే మీరు ఒక గంటలో గెలవాలని ఆశించే మొత్తం. మీరు ఒక గంటలో 500 సార్లు నాణేన్ని టాసు చేయవచ్చు, కానీ మీరు గెలవలేరు లేదా ఓడిపోరు ఎందుకంటే... మీ అవకాశాలు సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉండవు. సీరియస్ ప్లేయర్ కోణంలో చూస్తే.. ఈ బెట్టింగ్ విధానం చెడ్డది కాదు. కానీ ఇది కేవలం సమయం వృధా.

అయితే అదే గేమ్‌లో మీ $1కి వ్యతిరేకంగా ఎవరైనా $2 పందెం వేయాలనుకుంటున్నారని అనుకుందాం. అప్పుడు మీరు వెంటనే ప్రతి పందెం నుండి 50 సెంట్ల సానుకూల నిరీక్షణను కలిగి ఉంటారు. 50 సెంట్లు ఎందుకు? సగటున, మీరు ఒక పందెం గెలిచి రెండవదాన్ని కోల్పోతారు. మొదటి డాలర్‌ను పందెం వేయండి మరియు మీరు $1 కోల్పోతారు, రెండవది పందెం వేయండి మరియు మీరు $2 గెలుస్తారు. మీరు రెండుసార్లు $1 పందెం వేసి $1 కంటే ముందున్నారు. కాబట్టి మీ ఒక్కొక్క డాలర్ పందెం మీకు 50 సెంట్లు ఇచ్చింది.

ఒక నాణెం ఒక గంటలో 500 సార్లు కనిపిస్తే, మీ గంటకు ఇప్పటికే $250 ఉంటుంది, ఎందుకంటే... సగటున, మీరు ఒక డాలర్‌ను 250 సార్లు కోల్పోయారు మరియు రెండు డాలర్లను 250 సార్లు గెలుచుకున్నారు. $500 మైనస్ $250 $250కి సమానం, ఇది మొత్తం విజయాలు. దయచేసి మీరు ఒక్కో పందెం గెలిచిన సగటు మొత్తం అంచనా విలువ 50 సెంట్లు అని గమనించండి. మీరు ఒక డాలర్‌ను 500 సార్లు బెట్టింగ్ చేయడం ద్వారా $250 గెలుచుకున్నారు, ఇది ఒక్కో పందెంకు 50 సెంట్లు.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు స్వల్పకాలిక ఫలితాలతో సంబంధం లేదు. మీకు వ్యతిరేకంగా $2 పందెం వేయాలని నిర్ణయించుకున్న మీ ప్రత్యర్థి, వరుసగా మొదటి పది రోల్స్‌లో మిమ్మల్ని ఓడించగలడు, కానీ మీరు 2 నుండి 1 బెట్టింగ్ ప్రయోజనాన్ని కలిగి ఉంటే, అన్ని ఇతర అంశాలు సమానంగా ఉంటే, ప్రతి $1 పందెం మీద 50 సెంట్లు సంపాదిస్తారు పరిస్థితులలో. మీరు ఒక పందెం లేదా అనేక పందాలను గెలిచినా లేదా ఓడిపోయినా తేడా లేదు, ఖర్చులను సౌకర్యవంతంగా కవర్ చేయడానికి మీకు తగినంత నగదు ఉన్నంత వరకు. మీరు అదే విధంగా పందెం వేయడం కొనసాగిస్తే, చాలా కాలం పాటు మీ విజయాలు వ్యక్తిగత త్రోలలోని అంచనాల మొత్తానికి చేరుకుంటాయి.

మీరు ఉత్తమ పందెం వేసిన ప్రతిసారీ (దీర్ఘకాలంలో లాభదాయకంగా మారే పందెం), అసమానత మీకు అనుకూలంగా ఉన్నప్పుడు, మీరు దానిలో ఓడిపోయినా, కోల్పోకపోయినా, మీరు దానిపై ఏదో ఒకదానిని గెలవవలసి ఉంటుంది. చేతికి ఇచ్చారు. దీనికి విరుద్ధంగా, అసమానత మీకు వ్యతిరేకంగా ఉన్నప్పుడు మీరు అండర్‌డాగ్ పందెం (దీర్ఘకాలంలో లాభదాయకం లేని పందెం) చేస్తే, మీరు గెలిచినా లేదా ఓడినా అనే దానితో సంబంధం లేకుండా మీరు ఏదైనా కోల్పోతారు.

మీ నిరీక్షణ సానుకూలంగా ఉంటే మీరు ఉత్తమ ఫలితంతో పందెం వేస్తారు మరియు అసమానత మీ వైపు ఉంటే అది సానుకూలంగా ఉంటుంది. మీరు చెత్త ఫలితంతో పందెం వేసినప్పుడు, మీకు ప్రతికూల నిరీక్షణ ఉంటుంది, అసమానత మీకు వ్యతిరేకంగా ఉన్నప్పుడు ఇది జరుగుతుంది. తీవ్రమైన ఆటగాళ్ళు ఉత్తమ ఫలితంపై మాత్రమే పందెం వేస్తారు; చెత్తగా జరిగితే, వారు మడతపెట్టారు. మీకు అనుకూలంగా ఉన్న అసమానతలు అంటే ఏమిటి? మీరు నిజమైన అసమానతల కంటే ఎక్కువ గెలుపొందవచ్చు. ల్యాండింగ్ హెడ్‌ల యొక్క నిజమైన అసమానత 1 నుండి 1 వరకు ఉంటుంది, కానీ అసమానత నిష్పత్తి కారణంగా మీరు 2 నుండి 1 వరకు పొందుతారు. ఈ సందర్భంలో, అసమానత మీకు అనుకూలంగా ఉంటుంది. ప్రతి పందెంకు 50 సెంట్ల సానుకూల అంచనాతో మీరు ఖచ్చితంగా ఉత్తమ ఫలితాన్ని పొందుతారు.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణ ఇక్కడ ఉంది. ఒక స్నేహితుడు ఒకటి నుండి ఐదు వరకు సంఖ్యలను వ్రాస్తాడు మరియు మీరు నంబర్‌ను ఊహించలేరని మీ $1కి వ్యతిరేకంగా $5 పందెం వేస్తాడు. అలాంటి పందెానికి మీరు అంగీకరించాలా? ఇక్కడ నిరీక్షణ ఏమిటి?

సగటున మీరు నాలుగు సార్లు తప్పు చేస్తారు. దీని ఆధారంగా, మీరు ఊహించిన సంఖ్యకు వ్యతిరేకంగా ఉన్న అసమానత 4 నుండి 1. ఒక ప్రయత్నంలో మీరు డాలర్‌ను కోల్పోయే అవకాశం ఉంది. అయితే, మీరు 5 నుండి 1 గెలుస్తారు, 4 నుండి 1 ఓడిపోయే అవకాశం ఉంది. కాబట్టి అసమానత మీకు అనుకూలంగా ఉంటుంది, మీరు పందెం తీసుకోవచ్చు మరియు ఉత్తమ ఫలితం కోసం ఆశిస్తున్నాము. మీరు ఈ పందెం ఐదు సార్లు చేస్తే, సగటున మీరు నాలుగు సార్లు $1 కోల్పోతారు మరియు ఒకసారి $5 గెలుస్తారు. దీని ఆధారంగా, మొత్తం ఐదు ప్రయత్నాలకు మీరు ప్రతి పందెం 20 సెంట్ల సానుకూల గణిత అంచనాతో $1 సంపాదిస్తారు.

పై ఉదాహరణలో ఉన్నట్లుగా, అతను పందెం వేసిన దానికంటే ఎక్కువ గెలవబోతున్న ఆటగాడు, అవకాశాలను తీసుకుంటున్నాడు. దీనికి విరుద్ధంగా, అతను బెట్టింగ్ కంటే తక్కువ గెలవాలని ఆశించినప్పుడు అతను తన అవకాశాలను నాశనం చేస్తాడు. పందెం వేసే వ్యక్తి సానుకూల లేదా ప్రతికూల అంచనాలను కలిగి ఉండవచ్చు, ఇది అతను గెలుస్తాడా లేదా అసమానతలను నాశనం చేస్తాడా అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

మీరు 4 నుండి 1 గెలిచే అవకాశంతో $10 గెలవడానికి $50 పందెం వేస్తే, మీరు $2 ప్రతికూల అంచనాను పొందుతారు ఎందుకంటే సగటున, మీరు నాలుగు సార్లు $10 గెలుస్తారు మరియు ఒకసారి $50 కోల్పోతారు, ఇది ఒక్కో పందెం నష్టాన్ని $10 అని చూపిస్తుంది. మీరు $10 గెలవడానికి $30 పందెం వేస్తే, అదే అసమానతతో 4 నుండి 1 గెలుపొందినట్లయితే, ఈ సందర్భంలో మీకు $2 సానుకూల అంచనా ఉంటుంది, ఎందుకంటే మీరు మళ్లీ $10ని నాలుగుసార్లు గెలుస్తారు మరియు $10 లాభం కోసం ఒకసారి $30ని కోల్పోతారు. ఈ ఉదాహరణలు మొదటి పందెం చెడ్డదని మరియు రెండవది మంచిదని చూపిస్తుంది.

ఏదైనా గేమింగ్ పరిస్థితికి గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ కేంద్రంగా ఉంటుంది. ఒక బుక్‌మేకర్ ఫుట్‌బాల్ అభిమానులను $11 పందెం వేసి $10 గెలవమని ప్రోత్సహించినప్పుడు, అతను ప్రతి $10పై 50 సెంట్లు సానుకూలంగా అంచనా వేస్తాడు. కాసినో పాస్ లైన్ నుండి కూడా డబ్బును క్రాప్స్‌లో చెల్లిస్తే, కాసినో యొక్క సానుకూల అంచనా ప్రతి $100కి సుమారు $1.40 అవుతుంది, ఎందుకంటే ఈ గేమ్ నిర్మాణాత్మకమైనది, తద్వారా ఈ లైన్‌లో పందెం కాసే ఎవరైనా సగటున 50.7% కోల్పోతారు మరియు మొత్తం సమయంలో 49.3% గెలుస్తారు. నిస్సందేహంగా, ఇది ప్రపంచవ్యాప్తంగా ఉన్న కాసినో యజమానులకు అపారమైన లాభాలను తెచ్చిపెట్టే కనీస సానుకూల అంచనా. వెగాస్ వరల్డ్ క్యాసినో యజమాని బాబ్ స్టుపక్ పేర్కొన్నట్లుగా, "తగినంత దూరం కంటే వెయ్యి శాతం ప్రతికూల సంభావ్యత ప్రపంచంలోని అత్యంత సంపన్నుడిని నాశనం చేస్తుంది."

పోకర్ ఆడుతున్నప్పుడు నిరీక్షణ

పోకర్ గేమ్ అనేది గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క సిద్ధాంతం మరియు లక్షణాలను ఉపయోగించే దృక్కోణం నుండి అత్యంత సచిత్ర మరియు దృష్టాంత ఉదాహరణ.

పోకర్‌లో ఆశించిన విలువ అనేది ఒక నిర్దిష్ట నిర్ణయం నుండి సగటు ప్రయోజనం, అటువంటి నిర్ణయాన్ని పెద్ద సంఖ్యలు మరియు సుదూర సిద్ధాంతం యొక్క ఫ్రేమ్‌వర్క్‌లో పరిగణించవచ్చు. విజయవంతమైన పోకర్ గేమ్ ఎల్లప్పుడూ సానుకూల అంచనా విలువతో కదలికలను అంగీకరించడం.

పోకర్ ఆడుతున్నప్పుడు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క గణిత అర్ధం ఏమిటంటే, నిర్ణయాలు తీసుకునేటప్పుడు మనం తరచుగా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌ను ఎదుర్కొంటాము (ప్రత్యర్థి చేతిలో ఏ కార్డులు ఉన్నాయో మాకు తెలియదు, తదుపరి రౌండ్లలో బెట్టింగ్‌లలో ఏ కార్డులు వస్తాయి). పెద్ద సంఖ్య సిద్ధాంతం యొక్క దృక్కోణం నుండి మేము ప్రతి పరిష్కారాలను పరిగణించాలి, ఇది తగినంత పెద్ద నమూనాతో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ దాని గణిత అంచనాకు అనుగుణంగా ఉంటుందని పేర్కొంది.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణను గణించే ప్రత్యేక సూత్రాలలో, పోకర్‌లో కిందివి ఎక్కువగా వర్తిస్తాయి:

పోకర్ ఆడుతున్నప్పుడు, పందెం మరియు కాల్‌లు రెండింటికీ అంచనా విలువను లెక్కించవచ్చు. మొదటి సందర్భంలో, మడత ఈక్విటీని పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి, రెండవది, బ్యాంకు యొక్క స్వంత అసమానతలను పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. నిర్దిష్ట కదలిక యొక్క గణిత నిరీక్షణను అంచనా వేసేటప్పుడు, ఒక మడతకు ఎల్లప్పుడూ సున్నా నిరీక్షణ ఉంటుందని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి. అందువల్ల, ఏదైనా ప్రతికూల చర్య కంటే కార్డులను విస్మరించడం ఎల్లప్పుడూ లాభదాయకమైన నిర్ణయం.

మీరు రిస్క్ చేసే ప్రతి డాలర్‌కు మీరు ఏమి ఆశించవచ్చో (లాభం లేదా నష్టం) నిరీక్షణ మీకు తెలియజేస్తుంది. క్యాసినోలు డబ్బు సంపాదిస్తాయి ఎందుకంటే వాటిలో ఆడే అన్ని ఆటల గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ క్యాసినోకు అనుకూలంగా ఉంటుంది. "అసమానతలు" కాసినోకు అనుకూలంగా ఉన్నందున, తగినంత సుదీర్ఘమైన గేమ్‌లతో, క్లయింట్ తన డబ్బును కోల్పోతారని మీరు ఆశించవచ్చు. అయినప్పటికీ, ప్రొఫెషనల్ క్యాసినో ప్లేయర్‌లు తమ గేమ్‌లను తక్కువ వ్యవధికి పరిమితం చేస్తారు, తద్వారా వారికి అనుకూలంగా అసమానతలను పేర్చుకుంటారు. పెట్టుబడికి కూడా ఇదే వర్తిస్తుంది. మీ నిరీక్షణ సానుకూలంగా ఉంటే, మీరు తక్కువ వ్యవధిలో అనేక లావాదేవీలు చేయడం ద్వారా ఎక్కువ డబ్బు సంపాదించవచ్చు. నిరీక్షణ అనేది మీ సగటు లాభంతో గుణించబడిన ప్రతి విజయానికి మీ లాభం శాతం, మైనస్ మీ నష్ట సంభావ్యత మీ సగటు నష్టంతో గుణించబడుతుంది.

పోకర్ గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ దృక్కోణం నుండి కూడా పరిగణించబడుతుంది. ఒక నిర్దిష్ట కదలిక లాభదాయకంగా ఉంటుందని మీరు అనుకోవచ్చు, కానీ కొన్ని సందర్భాల్లో ఇది ఉత్తమమైనది కాకపోవచ్చు ఎందుకంటే మరొక కదలిక మరింత లాభదాయకంగా ఉంటుంది. మీరు ఐదు కార్డుల డ్రా పోకర్‌లో పూర్తి హౌస్‌ని కొట్టారని అనుకుందాం. మీ ప్రత్యర్థి పందెం వేస్తాడు. మీరు పందెం పెంచితే, అతను స్పందిస్తాడని మీకు తెలుసు. అందువల్ల, పెంచడం ఉత్తమ వ్యూహంగా కనిపిస్తుంది. కానీ మీరు పందెం పెంచితే, మిగిలిన ఇద్దరు ఆటగాళ్ళు ఖచ్చితంగా మడతపెడతారు. కానీ మీరు కాల్ చేస్తే, మీ వెనుక ఉన్న మరో ఇద్దరు ఆటగాళ్లు కూడా అదే చేస్తారని మీకు పూర్తి విశ్వాసం ఉంది. మీరు మీ పందెం పెంచినప్పుడు మీకు ఒక యూనిట్ లభిస్తుంది మరియు మీరు కాల్ చేసినప్పుడు మీకు రెండు లభిస్తాయి. అందువల్ల, కాలింగ్ మీకు అధిక సానుకూల అంచనా విలువను ఇస్తుంది మరియు ఇది ఉత్తమ వ్యూహంగా ఉంటుంది.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ ఏ పోకర్ వ్యూహాలు తక్కువ లాభదాయకం మరియు ఏది ఎక్కువ లాభదాయకం అనే ఆలోచనను కూడా ఇస్తుంది. ఉదాహరణకు, మీరు ఒక నిర్దిష్ట చేతిని ఆడితే మరియు మీ నష్టం యాంటీతో సహా సగటున 75 సెంట్లు ఉంటుందని మీరు భావిస్తే, మీరు ఆ చేతిని ఆడాలి ఎందుకంటే ముందు $1 ఉన్నప్పుడు మడతపెట్టడం కంటే ఇది ఉత్తమం.

ఆశించిన విలువ యొక్క భావనను అర్థం చేసుకోవడానికి మరొక ముఖ్యమైన కారణం ఏమిటంటే, మీరు పందెం గెలిచినా, గెలవకపోయినా మీకు మనశ్శాంతి కలిగిస్తుంది: మీరు మంచి పందెం వేసినా లేదా సరైన సమయంలో మడతపెట్టినా, మీరు సంపాదించినట్లు మీకు తెలుస్తుంది లేదా బలహీనమైన ఆటగాడు ఆదా చేయలేని కొంత మొత్తాన్ని ఆదా చేశాడు. మీ ప్రత్యర్థి చేతిని బలంగా లాగినందున మీరు కలత చెందితే మడవడం చాలా కష్టం. వీటన్నింటితో, బెట్టింగ్‌లకు బదులుగా మీరు ఆదా చేయని డబ్బు రాత్రి లేదా నెలలో మీ విజయాలకు జోడించబడుతుంది.

మీరు మీ చేతులను మార్చినట్లయితే, మీ ప్రత్యర్థి మిమ్మల్ని పిలిచేవారని గుర్తుంచుకోండి మరియు మీరు పోకర్ యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతంలో చూసినట్లుగా, ఇది మీ ప్రయోజనాల్లో ఒకటి మాత్రమే. ఇది జరిగినప్పుడు మీరు సంతోషంగా ఉండాలి. మీరు చేతిని కోల్పోవడాన్ని ఆనందించడం కూడా నేర్చుకోవచ్చు, ఎందుకంటే మీ స్థానంలో ఉన్న ఇతర ఆటగాళ్లు చాలా ఎక్కువ నష్టపోతారని మీకు తెలుసు.

ప్రారంభంలో కాయిన్ గేమ్ ఉదాహరణలో పేర్కొన్నట్లుగా, లాభం యొక్క గంట రేటు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణతో పరస్పర సంబంధం కలిగి ఉంటుంది మరియు వృత్తిపరమైన ఆటగాళ్లకు ఈ భావన చాలా ముఖ్యమైనది. మీరు పేకాట ఆడటానికి వెళ్ళినప్పుడు, మీరు ఒక గంట ఆటలో ఎంత గెలుస్తారో మానసికంగా అంచనా వేయాలి. చాలా సందర్భాలలో మీరు మీ అంతర్ దృష్టి మరియు అనుభవంపై ఆధారపడవలసి ఉంటుంది, కానీ మీరు కొంత గణితాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు డ్రా లోబాల్ ఆడుతున్నారు మరియు ముగ్గురు ఆటగాళ్ళు $10 పందెం వేసి, ఆపై రెండు కార్డ్‌లను వర్తకం చేయడాన్ని మీరు చూస్తారు, ఇది చాలా చెడ్డ వ్యూహం, వారు $10 పందెం వేసిన ప్రతిసారీ వారు సుమారు $2 కోల్పోతారని మీరు గుర్తించవచ్చు. ప్రతి ఒక్కరు గంటకు ఎనిమిది సార్లు ఇలా చేస్తారు, అంటే ముగ్గురూ గంటకు సుమారు $48 కోల్పోతారు. మీరు దాదాపు సమానంగా ఉన్న మిగిలిన నలుగురు ఆటగాళ్లలో ఒకరు, కాబట్టి ఈ నలుగురు ఆటగాళ్ళు (మరియు వారిలో మీరు) తప్పనిసరిగా $48ని విభజించాలి, ఒక్కొక్కరు గంటకు $12 లాభాన్ని పొందుతారు. ఈ సందర్భంలో మీ గంట వారీ అసమానత కేవలం ఒక గంటలో ముగ్గురు చెడ్డ ఆటగాళ్లు కోల్పోయిన డబ్బు మొత్తంలో మీ వాటాకు సమానంగా ఉంటుంది.

చాలా కాలం పాటు, ఆటగాడి మొత్తం విజయాలు వ్యక్తిగత చేతుల్లో అతని గణిత అంచనాల మొత్తం. మీరు సానుకూల నిరీక్షణతో ఎంత ఎక్కువ చేతులు ఆడితే, మీరు అంత ఎక్కువగా గెలుస్తారు మరియు ప్రతికూల అంచనాలతో మీరు ఎంత ఎక్కువ చేతులు ఆడితే అంత ఎక్కువగా మీరు కోల్పోతారు. ఫలితంగా, మీరు మీ సానుకూల నిరీక్షణను పెంచే గేమ్‌ను ఎంచుకోవాలి లేదా మీ ప్రతికూల అంచనాలను తిరస్కరించవచ్చు, తద్వారా మీరు మీ గంటవారీ విజయాలను పెంచుకోవచ్చు.

గేమింగ్ వ్యూహంలో సానుకూల గణిత నిరీక్షణ

కార్డ్‌లను ఎలా లెక్కించాలో మీకు తెలిస్తే, వారు గమనించి మిమ్మల్ని బయటకు విసిరేయనంత కాలం, మీరు క్యాసినోపై ప్రయోజనాన్ని పొందవచ్చు. క్యాసినోలు తాగిన ఆటగాళ్ళను ఇష్టపడతారు మరియు కార్డ్ లెక్కింపు ఆటగాళ్లను సహించరు. కాలక్రమేణా మీరు ఓడిపోయిన దానికంటే ఎక్కువ సార్లు గెలవడానికి ఒక ప్రయోజనం మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఆశించిన విలువ గణనలను ఉపయోగించి మంచి డబ్బు నిర్వహణ మీ అంచు నుండి మరింత లాభం పొందడంలో మరియు మీ నష్టాలను తగ్గించడంలో మీకు సహాయపడుతుంది. ప్రయోజనం లేకుండా, మీరు దాతృత్వానికి డబ్బు ఇవ్వడం మంచిది. స్టాక్ ఎక్స్ఛేంజ్లో ఆటలో, గేమ్ సిస్టమ్ ద్వారా ప్రయోజనం ఇవ్వబడుతుంది, ఇది నష్టాలు, ధర వ్యత్యాసాలు మరియు కమీషన్ల కంటే ఎక్కువ లాభాలను సృష్టిస్తుంది. ఎటువంటి డబ్బు నిర్వహణ చెడు గేమింగ్ సిస్టమ్‌ను సేవ్ చేయదు.

సానుకూల అంచనా సున్నా కంటే ఎక్కువ విలువగా నిర్వచించబడింది. ఈ సంఖ్య ఎంత పెద్దదైతే, గణాంక అంచనాలు అంత బలంగా ఉంటాయి. విలువ సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటే, గణిత అంచనా కూడా ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. ప్రతికూల విలువ యొక్క మాడ్యూల్ పెద్దది, పరిస్థితి అధ్వాన్నంగా ఉంటుంది. ఫలితం సున్నా అయితే, వేచి ఉండటం బ్రేక్-ఈవెన్. మీకు సానుకూల గణిత నిరీక్షణ మరియు సహేతుకమైన ఆట విధానం ఉన్నప్పుడు మాత్రమే మీరు గెలవగలరు. అంతర్ దృష్టితో ఆడటం విపత్తుకు దారితీస్తుంది.

గణిత అంచనా మరియు స్టాక్ ట్రేడింగ్

ఫైనాన్షియల్ మార్కెట్లలో ఎక్స్ఛేంజ్ ట్రేడింగ్ నిర్వహించేటప్పుడు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ అనేది చాలా విస్తృతంగా ఉపయోగించబడే మరియు ప్రజాదరణ పొందిన గణాంక సూచిక. అన్నింటిలో మొదటిది, ట్రేడింగ్ యొక్క విజయాన్ని విశ్లేషించడానికి ఈ పరామితి ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ విలువ ఎక్కువ అని ఊహించడం కష్టం కాదు, అధ్యయనం చేయబడుతున్న వాణిజ్యాన్ని విజయవంతంగా పరిగణించడానికి మరిన్ని కారణాలు. వాస్తవానికి, ఈ పరామితిని ఉపయోగించి మాత్రమే వ్యాపారి పని యొక్క విశ్లేషణ నిర్వహించబడదు. అయితే, లెక్కించిన విలువ, పని నాణ్యతను అంచనా వేసే ఇతర పద్ధతులతో కలిపి, విశ్లేషణ యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని గణనీయంగా పెంచుతుంది.

గణిత నిరీక్షణ తరచుగా ట్రేడింగ్ ఖాతా పర్యవేక్షణ సేవలలో లెక్కించబడుతుంది, ఇది డిపాజిట్‌పై చేసిన పనిని త్వరగా అంచనా వేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మినహాయింపులలో లాభదాయకం లేని ట్రేడ్‌లను "సిట్టింగ్ అవుట్" ఉపయోగించే వ్యూహాలు ఉన్నాయి. ఒక వ్యాపారి కొంతకాలం అదృష్టవంతుడు కావచ్చు, అందువల్ల అతని పనిలో ఎటువంటి నష్టాలు ఉండకపోవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, గణిత నిరీక్షణ ద్వారా మాత్రమే మార్గనిర్దేశం చేయడం సాధ్యం కాదు, ఎందుకంటే పనిలో ఉపయోగించే నష్టాలు పరిగణనలోకి తీసుకోబడవు.

మార్కెట్ ట్రేడింగ్‌లో, ఏదైనా ట్రేడింగ్ వ్యూహం యొక్క లాభదాయకతను అంచనా వేసేటప్పుడు లేదా అతని మునుపటి ట్రేడింగ్ నుండి గణాంక డేటా ఆధారంగా వ్యాపారి ఆదాయాన్ని అంచనా వేసేటప్పుడు గణిత నిరీక్షణ చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది.

మనీ మేనేజ్‌మెంట్‌కు సంబంధించి, ప్రతికూల అంచనాలతో లావాదేవీలు చేస్తున్నప్పుడు, ఖచ్చితంగా అధిక లాభాలను తెచ్చే మనీ మేనేజ్‌మెంట్ స్కీమ్ లేదని అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం. మీరు ఈ పరిస్థితులలో స్టాక్ మార్కెట్‌ను ఆడటం కొనసాగిస్తే, మీరు మీ డబ్బును ఎలా నిర్వహించారనే దానితో సంబంధం లేకుండా, మీరు మీ మొత్తం ఖాతాను కోల్పోతారు, అది ఎంత పెద్దదైనా ప్రారంభించబడుతుంది.

ఈ సిద్ధాంతం ప్రతికూల అంచనాలతో గేమ్‌లు లేదా ట్రేడ్‌లకు మాత్రమే కాదు, సమాన అవకాశాలు ఉన్న గేమ్‌లకు కూడా వర్తిస్తుంది. అందువల్ల, మీరు సానుకూల అంచనా విలువతో ట్రేడ్‌లను తీసుకుంటే మాత్రమే మీకు దీర్ఘకాలిక లాభం పొందే అవకాశం ఉంటుంది.

ప్రతికూల నిరీక్షణ మరియు సానుకూల నిరీక్షణ మధ్య వ్యత్యాసం జీవితం మరియు మరణం మధ్య వ్యత్యాసం. నిరీక్షణ ఎంత సానుకూలంగా ఉన్నా లేదా ఎంత ప్రతికూలంగా ఉన్నా అది పట్టింపు లేదు; ఇది సానుకూలమా లేదా ప్రతికూలమా అనేది ముఖ్యం. అందువల్ల, డబ్బు నిర్వహణను పరిగణనలోకి తీసుకునే ముందు, మీరు సానుకూల అంచనాతో గేమ్‌ను కనుగొనాలి.

మీకు ఆ గేమ్ లేకపోతే, ప్రపంచంలోని డబ్బు నిర్వహణ అంతా మిమ్మల్ని రక్షించదు. మరోవైపు, మీరు సానుకూల నిరీక్షణను కలిగి ఉంటే, మీరు సరైన డబ్బు నిర్వహణ ద్వారా దానిని ఘాతాంక వృద్ధి ఫంక్షన్‌గా మార్చవచ్చు. సానుకూల అంచనాలు ఎంత తక్కువగా ఉన్నా పర్వాలేదు! మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒకే ఒప్పందంపై ఆధారపడిన వ్యాపార వ్యవస్థ ఎంత లాభదాయకంగా ఉంది. మీరు ఒక్కో ట్రేడ్‌కు $10 చొప్పున గెలుచుకునే సిస్టమ్‌ను కలిగి ఉంటే (కమీషన్‌లు మరియు జారడం తర్వాత), ప్రతి ట్రేడ్‌కు సగటున $1,000 (కమీషన్‌లు మరియు జారడం తర్వాత) ఉండే సిస్టమ్ కంటే మీరు దానిని మరింత లాభదాయకంగా మార్చడానికి డబ్బు నిర్వహణ పద్ధతులను ఉపయోగించవచ్చు.

సిస్టమ్ ఎంత లాభదాయకంగా ఉంది అనేది ముఖ్యం కాదు, కానీ భవిష్యత్తులో కనీసం కనీస లాభాన్ని చూపుతుందని సిస్టమ్ ఎంత ఖచ్చితంగా చెప్పగలదు. అందువల్ల, ఒక వ్యాపారి చేయగలిగే అతి ముఖ్యమైన తయారీ వ్యవస్థ భవిష్యత్తులో సానుకూల అంచనా విలువను చూపుతుందని నిర్ధారించుకోవడం.

భవిష్యత్తులో సానుకూల అంచనా విలువను కలిగి ఉండటానికి, మీ సిస్టమ్ యొక్క స్వేచ్ఛ స్థాయిలను పరిమితం చేయకుండా ఉండటం చాలా ముఖ్యం. ఆప్టిమైజ్ చేయవలసిన పారామితుల సంఖ్యను తొలగించడం లేదా తగ్గించడం ద్వారా మాత్రమే కాకుండా, వీలైనన్ని ఎక్కువ సిస్టమ్ నియమాలను తగ్గించడం ద్వారా కూడా ఇది సాధించబడుతుంది. మీరు జోడించే ప్రతి పరామితి, మీరు చేసే ప్రతి నియమం, సిస్టమ్‌లో మీరు చేసే ప్రతి చిన్న మార్పు స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్యను తగ్గిస్తుంది. ఆదర్శవంతంగా, మీరు దాదాపు ఏదైనా మార్కెట్‌లో స్థిరంగా చిన్న లాభాలను సృష్టించే చాలా ప్రాచీనమైన మరియు సరళమైన వ్యవస్థను నిర్మించాలి. మళ్ళీ, ఇది లాభదాయకంగా ఉన్నంత వరకు వ్యవస్థ ఎంత లాభదాయకంగా ఉన్నప్పటికీ అది ముఖ్యం కాదని మీరు అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యం. మీరు ట్రేడింగ్‌లో సంపాదించే డబ్బు సమర్థవంతమైన మనీ మేనేజ్‌మెంట్ ద్వారా చేయబడుతుంది.

ట్రేడింగ్ సిస్టమ్ అనేది మీకు సానుకూల అంచనా విలువను అందించే సాధనం, తద్వారా మీరు డబ్బు నిర్వహణను ఉపయోగించవచ్చు. ఒకటి లేదా కొన్ని మార్కెట్‌లలో మాత్రమే పని చేసే (కనీసం కనిష్ట లాభాలను చూపే) సిస్టమ్‌లు లేదా వివిధ మార్కెట్‌లకు వేర్వేరు నియమాలు లేదా పారామితులను కలిగి ఉంటాయి, చాలా వరకు నిజ సమయంలో పని చేయవు. చాలా సాంకేతికంగా ఆధారిత వ్యాపారుల సమస్య ఏమిటంటే వారు వాణిజ్య వ్యవస్థ యొక్క వివిధ నియమాలు మరియు పారామీటర్ విలువలను ఆప్టిమైజ్ చేయడానికి ఎక్కువ సమయం మరియు కృషిని వెచ్చిస్తారు. ఇది పూర్తిగా వ్యతిరేక ఫలితాలను ఇస్తుంది. వాణిజ్య వ్యవస్థ యొక్క లాభాలను పెంచడానికి శక్తి మరియు కంప్యూటర్ సమయాన్ని వృధా చేయడానికి బదులుగా, కనీస లాభం పొందే విశ్వసనీయత స్థాయిని పెంచడానికి మీ శక్తిని నిర్దేశించండి.

మనీ మేనేజ్‌మెంట్ అనేది కేవలం నంబర్‌ల గేమ్ అని తెలుసుకోవడం వల్ల సానుకూల అంచనాలను ఉపయోగించడం అవసరం, ఒక వ్యాపారి స్టాక్ ట్రేడింగ్ యొక్క "హోలీ గ్రెయిల్" కోసం శోధించడం మానివేయవచ్చు. బదులుగా, అతను తన వ్యాపార పద్ధతిని పరీక్షించడం ప్రారంభించవచ్చు, ఈ పద్ధతి ఎంత తార్కికంగా ఉందో మరియు అది సానుకూల అంచనాలను ఇస్తుందో లేదో తెలుసుకోవచ్చు. సరైన డబ్బు నిర్వహణ పద్ధతులు, ఏదైనా, చాలా మధ్యస్థమైన వ్యాపార పద్ధతులకు కూడా వర్తింపజేస్తే, మిగిలిన పనిని స్వయంగా చేస్తారు.

ఏ వ్యాపారి అయినా తన పనిలో విజయం సాధించాలంటే, అతను మూడు ముఖ్యమైన పనులను పరిష్కరించాలి: . విజయవంతమైన లావాదేవీల సంఖ్య అనివార్యమైన తప్పులు మరియు తప్పుడు లెక్కల కంటే ఎక్కువగా ఉందని నిర్ధారించడానికి; మీ వ్యాపార వ్యవస్థను సెటప్ చేయండి, తద్వారా మీరు వీలైనంత తరచుగా డబ్బు సంపాదించడానికి అవకాశం ఉంటుంది; మీ కార్యకలాపాల నుండి స్థిరమైన సానుకూల ఫలితాలను సాధించండి.

మరియు ఇక్కడ, మాకు పని చేసే వ్యాపారులకు, గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ గొప్ప సహాయంగా ఉంటుంది. ఈ పదం సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో కీలకమైన వాటిలో ఒకటి. దాని సహాయంతో, మీరు కొంత యాదృచ్ఛిక విలువ యొక్క సగటు అంచనాను ఇవ్వవచ్చు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ గురుత్వాకర్షణ కేంద్రాన్ని పోలి ఉంటుంది, మీరు అన్ని సంభావ్య సంభావ్యతలను వేర్వేరు ద్రవ్యరాశితో పాయింట్లుగా ఊహించినట్లయితే.

వ్యాపార వ్యూహానికి సంబంధించి, లాభం (లేదా నష్టం) యొక్క గణిత అంచనా దాని ప్రభావాన్ని అంచనా వేయడానికి చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ పరామితి లాభం మరియు నష్టాల యొక్క ఇచ్చిన స్థాయిల ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు వాటి సంభవించే సంభావ్యతగా నిర్వచించబడింది. ఉదాహరణకు, అభివృద్ధి చెందిన వర్తక వ్యూహం మొత్తం లావాదేవీలలో 37% లాభాన్ని తెస్తుంది మరియు మిగిలిన భాగం - 63% - లాభదాయకం కాదు. అదే సమయంలో, విజయవంతమైన లావాదేవీ నుండి సగటు ఆదాయం $7 ఉంటుంది మరియు సగటు నష్టం $1.4 అవుతుంది. ఈ వ్యవస్థను ఉపయోగించి ట్రేడింగ్ యొక్క గణిత నిరీక్షణను గణిద్దాం:

ఈ సంఖ్య అంటే ఏమిటి? ఈ సిస్టమ్ యొక్క నియమాలను అనుసరించి, మేము ప్రతి క్లోజ్డ్ లావాదేవీ నుండి సగటున $1,708 అందుకుంటామని ఇది చెప్పింది. ఫలితంగా సమర్ధత రేటింగ్ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉన్నందున, అటువంటి వ్యవస్థ నిజమైన పని కోసం ఉపయోగించబడుతుంది. గణన ఫలితంగా, గణిత నిరీక్షణ ప్రతికూలంగా మారినట్లయితే, ఇది ఇప్పటికే సగటు నష్టాన్ని సూచిస్తుంది మరియు అటువంటి వ్యాపారం నాశనానికి దారి తీస్తుంది.

లావాదేవీకి వచ్చే లాభం మొత్తాన్ని కూడా % రూపంలో సాపేక్ష విలువగా వ్యక్తీకరించవచ్చు. ఉదాహరణకి:

– 1 లావాదేవీకి ఆదాయం శాతం - 5%;

– విజయవంతమైన ట్రేడింగ్ కార్యకలాపాల శాతం - 62%;

– 1 లావాదేవీకి నష్టం శాతం - 3%;

– విజయవంతం కాని లావాదేవీల శాతం - 38%;

అంటే, సగటు వాణిజ్యం 1.96% తెస్తుంది.

లాభదాయకమైన ట్రేడ్‌ల ప్రాబల్యం ఉన్నప్పటికీ, దాని MO>0 నుండి సానుకూల ఫలితాన్ని అందించే వ్యవస్థను అభివృద్ధి చేయడం సాధ్యపడుతుంది.

అయితే, ఒక్క నిరీక్షణ సరిపోదు. సిస్టమ్ చాలా తక్కువ ట్రేడింగ్ సిగ్నల్స్ ఇస్తే డబ్బు సంపాదించడం కష్టం. ఈ సందర్భంలో, దాని లాభదాయకత బ్యాంకు వడ్డీతో పోల్చవచ్చు. ప్రతి ఆపరేషన్ సగటున 0.5 డాలర్లు మాత్రమే ఉత్పత్తి చేయనివ్వండి, అయితే సిస్టమ్ సంవత్సరానికి 1000 కార్యకలాపాలను కలిగి ఉంటే ఏమి చేయాలి? సాపేక్షంగా తక్కువ సమయంలో ఇది చాలా ముఖ్యమైన మొత్తం అవుతుంది. ఇది తార్కికంగా మంచి వ్యాపార వ్యవస్థ యొక్క మరొక విలక్షణమైన లక్షణాన్ని హోల్డింగ్ పొజిషన్ల స్వల్ప వ్యవధిగా పరిగణించవచ్చు.

మూలాలు మరియు లింక్‌లు

dic.academic.ru – అకడమిక్ ఆన్‌లైన్ నిఘంటువు

mathematics.ru – గణితంలో విద్యా వెబ్‌సైట్

nsu.ru - నోవోసిబిర్స్క్ స్టేట్ యూనివర్శిటీ యొక్క విద్యా వెబ్‌సైట్

webmath.ru అనేది విద్యార్థులు, దరఖాస్తుదారులు మరియు పాఠశాల పిల్లల కోసం ఒక విద్యా పోర్టల్.

exponenta.ru విద్యా గణిత వెబ్‌సైట్

ru.tradimo.com – ఉచిత ఆన్‌లైన్ ట్రేడింగ్ స్కూల్

crypto.hut2.ru - మల్టీడిసిప్లినరీ ఇన్ఫర్మేషన్ రిసోర్స్

poker-wiki.ru – పోకర్ యొక్క ఉచిత ఎన్సైక్లోపీడియా

sernam.ru – ఎంచుకున్న సహజ విజ్ఞాన ప్రచురణల యొక్క శాస్త్రీయ లైబ్రరీ

reshim.su – వెబ్‌సైట్ మేము పరీక్షా కోర్సు సమస్యలను పరిష్కరిస్తాము

unfx.ru - UNFXలో ఫారెక్స్: శిక్షణ, ట్రేడింగ్ సిగ్నల్స్, ట్రస్ట్ మేనేజ్‌మెంట్

slovopedia.com – బిగ్ ఎన్సైక్లోపెడిక్ డిక్షనరీ స్లోవోపీడియా

pokermansion.3dn.ru – పోకర్ ప్రపంచంలో మీ గైడ్

statanaliz.info – సమాచార బ్లాగ్ “గణాంక డేటా విశ్లేషణ”

forex-trader.rf - ఫారెక్స్-ట్రేడర్ పోర్టల్

megafx.ru - ప్రస్తుత ఫారెక్స్ విశ్లేషణలు

fx-by.com - వ్యాపారి కోసం ప్రతిదీ

సంభావ్యత సిద్ధాంతం అనేది గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రత్యేక విభాగం, దీనిని ఉన్నత విద్యా సంస్థల విద్యార్థులు మాత్రమే అధ్యయనం చేస్తారు. మీకు లెక్కలు మరియు సూత్రాలు ఇష్టమా? వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధారణ పంపిణీ, సమిష్టి ఎంట్రోపీ, గణిత నిరీక్షణ మరియు వ్యాప్తితో పరిచయం పొందడానికి మీరు భయపడలేదా? అప్పుడు ఈ విషయం మీకు చాలా ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది. సైన్స్ యొక్క ఈ శాఖ యొక్క అనేక ముఖ్యమైన ప్రాథమిక భావనలతో పరిచయం చేసుకుందాం.

బేసిక్స్ గుర్తు చేసుకుందాం

మీరు సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క సరళమైన భావనలను గుర్తుంచుకున్నప్పటికీ, వ్యాసం యొక్క మొదటి పేరాలను విస్మరించవద్దు. ప్రాథమిక విషయాలపై స్పష్టమైన అవగాహన లేకుండా, దిగువ చర్చించిన సూత్రాలతో మీరు పని చేయలేరు.

కాబట్టి, కొన్ని యాదృచ్ఛిక సంఘటనలు సంభవిస్తాయి, కొన్ని ప్రయోగం. మేము తీసుకునే చర్యల ఫలితంగా, మేము అనేక ఫలితాలను పొందవచ్చు - వాటిలో కొన్ని తరచుగా జరుగుతాయి, మరికొన్ని తక్కువ తరచుగా జరుగుతాయి. ఒక ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత అనేది ఒక రకమైన వాస్తవంగా పొందిన ఫలితాల సంఖ్య మరియు సాధ్యమయ్యే మొత్తం సంఖ్యల నిష్పత్తి. ఈ కాన్సెప్ట్ యొక్క క్లాసికల్ డెఫినిషన్ తెలుసుకోవడం మాత్రమే మీరు నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ మరియు వ్యాప్తిని అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించవచ్చు.

సగటు

తిరిగి పాఠశాలలో, గణిత పాఠాల సమయంలో, మీరు అంకగణిత సగటుతో పని చేయడం ప్రారంభించారు. ఈ భావన సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది మరియు అందువల్ల విస్మరించబడదు. ఈ సమయంలో మనకు ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ మరియు వ్యాప్తి కోసం సూత్రాలలో మనం దానిని ఎదుర్కొంటాము.

మేము సంఖ్యల క్రమాన్ని కలిగి ఉన్నాము మరియు అంకగణిత సగటును కనుగొనాలనుకుంటున్నాము. మనకు కావలసిందల్లా అందుబాటులో ఉన్న ప్రతిదానిని సంగ్రహించడం మరియు క్రమంలో మూలకాల సంఖ్యతో విభజించడం. మనకు 1 నుండి 9 వరకు సంఖ్యలు ఉండనివ్వండి. మూలకాల మొత్తం 45కి సమానంగా ఉంటుంది మరియు మేము ఈ విలువను 9 ద్వారా భాగిస్తాము. సమాధానం: - 5.

చెదరగొట్టడం

శాస్త్రీయ పరంగా, చెదరగొట్టడం అనేది అంకగణిత సగటు నుండి ఒక లక్షణం యొక్క పొందిన విలువల విచలనాల సగటు చతురస్రం. ఇది ఒక పెద్ద లాటిన్ అక్షరం D ద్వారా సూచించబడుతుంది. దానిని లెక్కించడానికి ఏమి అవసరం? క్రమం యొక్క ప్రతి మూలకం కోసం, మేము ఇప్పటికే ఉన్న సంఖ్య మరియు అంకగణిత సగటు మధ్య వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించి దానిని వర్గీకరిస్తాము. మేము పరిశీలిస్తున్న ఈవెంట్‌కు ఎన్ని ఫలితాలు ఉండవచ్చో అంత చాలా విలువలు ఉంటాయి. తరువాత, మేము అందుకున్న ప్రతిదాన్ని సంగ్రహించి, క్రమంలో మూలకాల సంఖ్యతో భాగిస్తాము. మనకు ఐదు సాధ్యమైన ఫలితాలు ఉంటే, ఐదుతో భాగించండి.

డిస్పర్షన్‌లో సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఉపయోగించేందుకు గుర్తుంచుకోవలసిన లక్షణాలు కూడా ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను X రెట్లు పెంచుతున్నప్పుడు, వ్యత్యాసం X స్క్వేర్డ్ సార్లు పెరుగుతుంది (అంటే X*X). ఇది ఎప్పుడూ సున్నా కంటే తక్కువ కాదు మరియు సమాన మొత్తాలలో విలువలను పైకి లేదా క్రిందికి మార్చడంపై ఆధారపడదు. అదనంగా, స్వతంత్ర ట్రయల్స్ కోసం, మొత్తం యొక్క వ్యత్యాసం వ్యత్యాసాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు మనం వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మరియు గణిత నిరీక్షణ యొక్క వైవిధ్యం యొక్క ఉదాహరణలను ఖచ్చితంగా పరిగణించాలి.

మేము 21 ప్రయోగాలు చేసాము మరియు 7 విభిన్న ఫలితాలను పొందాము. మేము వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి వరుసగా 1, 2, 2, 3, 4, 4 మరియు 5 సార్లు గమనించాము. వైవిధ్యం దేనికి సమానంగా ఉంటుంది?

మొదట, అంకగణిత సగటును గణిద్దాం: మూలకాల మొత్తం, వాస్తవానికి, 21. దానిని 7 ద్వారా విభజించి, 3 పొందండి. ఇప్పుడు అసలు క్రమంలో ప్రతి సంఖ్య నుండి 3ని తీసివేయండి, ప్రతి విలువను వర్గీకరించండి మరియు ఫలితాలను కలిపి జోడించండి. ఫలితం 12. ఇప్పుడు మనం చేయాల్సిందల్లా మూలకాల సంఖ్యతో సంఖ్యను భాగించడం, మరియు అది కనిపిస్తుంది, అంతే. కానీ ఒక క్యాచ్ ఉంది! దానిని చర్చిద్దాం.

ప్రయోగాల సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉంటుంది

వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించేటప్పుడు, హారం రెండు సంఖ్యలలో ఒకదాన్ని కలిగి ఉంటుంది: N లేదా N-1. ఇక్కడ N అనేది ప్రయోగాల సంఖ్య లేదా క్రమంలోని మూలకాల సంఖ్య (ఇది తప్పనిసరిగా అదే విషయం). ఇది దేనిపై ఆధారపడి ఉంటుంది?

పరీక్షల సంఖ్యను వందల్లో కొలిస్తే, మనం తప్పనిసరిగా N ని హారంలో ఉంచాలి. యూనిట్లలో అయితే, N-1. శాస్త్రవేత్తలు చాలా ప్రతీకాత్మకంగా సరిహద్దును గీయాలని నిర్ణయించుకున్నారు: ఈ రోజు అది 30 సంఖ్య గుండా వెళుతుంది. మేము 30 కంటే తక్కువ ప్రయోగాలు చేస్తే, మేము N-1 ద్వారా మొత్తాన్ని విభజిస్తాము మరియు ఎక్కువ ఉంటే, N ద్వారా.

టాస్క్

వైవిధ్యం మరియు గణిత నిరీక్షణ సమస్యను పరిష్కరించడానికి మా ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం. మాకు ఇంటర్మీడియట్ సంఖ్య 12 వచ్చింది, దానిని N లేదా N-1తో విభజించాల్సిన అవసరం ఉంది. మేము 21 ప్రయోగాలను నిర్వహించాము, ఇది 30 కంటే తక్కువ, మేము రెండవ ఎంపికను ఎంచుకుంటాము. కాబట్టి సమాధానం: వ్యత్యాసం 12/2 = 2.

ఆశించిన విలువ

రెండవ భావనకు వెళ్దాం, ఈ వ్యాసంలో మనం తప్పక పరిగణించాలి. గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ అనేది సంబంధిత సంభావ్యతలతో గుణించబడిన అన్ని సాధ్యమైన ఫలితాలను జోడించడం యొక్క ఫలితం. పొందిన విలువ, అలాగే వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడం వల్ల వచ్చే ఫలితం మొత్తం సమస్యకు ఒకసారి మాత్రమే పొందబడిందని అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం, దానిలో ఎన్ని ఫలితాలను పరిగణనలోకి తీసుకున్నా.

గణిత నిరీక్షణ సూత్రం చాలా సులభం: మేము ఫలితాన్ని తీసుకుంటాము, దాని సంభావ్యతతో గుణించండి, రెండవ, మూడవ ఫలితం మొదలైనవాటికి అదే జోడించండి. ఈ భావనకు సంబంధించిన ప్రతిదీ లెక్కించడం కష్టం కాదు. ఉదాహరణకు, ఊహించిన విలువల మొత్తం మొత్తం అంచనా విలువకు సమానంగా ఉంటుంది. పని విషయంలో కూడా అదే నిజం. సంభావ్యత సిద్ధాంతంలోని ప్రతి పరిమాణం అటువంటి సాధారణ కార్యకలాపాలను నిర్వహించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించదు. సమస్యను తీసుకుందాం మరియు మనం అధ్యయనం చేసిన రెండు భావనల అర్థాన్ని ఒకేసారి లెక్కించండి. అంతేకాకుండా, మేము సిద్ధాంతం ద్వారా పరధ్యానంలో ఉన్నాము - ఇది సాధన చేయడానికి సమయం.

ఇంకొక ఉదాహరణ

మేము 50 ట్రయల్‌లను అమలు చేసాము మరియు 10 రకాల ఫలితాలను పొందాము - 0 నుండి 9 వరకు సంఖ్యలు - విభిన్న శాతాలలో కనిపిస్తాయి. ఇవి వరుసగా: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. సంభావ్యతలను పొందడానికి, మీరు శాతం విలువలను 100 ద్వారా విభజించాలని గుర్తుంచుకోండి. అందువలన, మనకు 0.02 వస్తుంది; 0.1, మొదలైనవి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మరియు గణిత నిరీక్షణ యొక్క వైవిధ్యం కోసం సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఒక ఉదాహరణను అందిద్దాం.

మేము ప్రాథమిక పాఠశాల నుండి గుర్తుంచుకునే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి అంకగణిత సగటును గణిస్తాము: 50/10 = 5.

ఇప్పుడు లెక్కించడాన్ని సులభతరం చేయడానికి సంభావ్యతలను "ముక్కలుగా" ఫలితాల సంఖ్యగా మారుద్దాం. మనకు 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 మరియు 9 లభిస్తాయి. పొందిన ప్రతి విలువ నుండి, మేము అంకగణిత సగటును తీసివేస్తాము, దాని తర్వాత మేము పొందిన ప్రతి ఫలితాలను వర్గీకరిస్తాము. మొదటి మూలకాన్ని ఉదాహరణగా ఉపయోగించి దీన్ని ఎలా చేయాలో చూడండి: 1 - 5 = (-4). తదుపరి: (-4) * (-4) = 16. ఇతర విలువల కోసం, ఈ కార్యకలాపాలను మీరే చేయండి. మీరు ప్రతిదీ సరిగ్గా చేస్తే, వాటిని జోడించిన తర్వాత మీకు 90 వస్తుంది.

90ని Nతో భాగించడం ద్వారా వైవిధ్యం మరియు అంచనా విలువను గణించడం కొనసాగిద్దాం. మనం N-1 కాకుండా Nని ఎందుకు ఎంచుకుంటాము? సరైనది, ఎందుకంటే ప్రదర్శించిన ప్రయోగాల సంఖ్య 30ని మించిపోయింది. కాబట్టి: 90/10 = 9. మేము వైవిధ్యాన్ని పొందాము. మీరు వేరే సంఖ్యను పొందినట్లయితే, నిరాశ చెందకండి. చాలా మటుకు, మీరు గణనలలో ఒక సాధారణ తప్పు చేసారు. మీరు వ్రాసిన వాటిని ఒకటికి రెండుసార్లు తనిఖీ చేయండి మరియు ప్రతిదీ బహుశా సరిగ్గా అమలులోకి వస్తుంది.

చివరగా, గణిత నిరీక్షణ సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోండి. మేము అన్ని గణనలను ఇవ్వము, అవసరమైన అన్ని విధానాలను పూర్తి చేసిన తర్వాత మీరు తనిఖీ చేయగల సమాధానాన్ని మాత్రమే మేము వ్రాస్తాము. అంచనా విలువ 5.48గా ఉంటుంది. 0*0.02 + 1*0.1... మరియు మొదలైనవి: మొదటి మూలకాలను ఉదాహరణగా ఉపయోగించి, కార్యకలాపాలను ఎలా నిర్వహించాలో మాత్రమే మనం గుర్తుచేసుకుందాం. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మేము ఫలిత విలువను దాని సంభావ్యత ద్వారా గుణిస్తాము.

విచలనం

విక్షేపణ మరియు గణిత నిరీక్షణకు దగ్గరి సంబంధం ఉన్న మరొక భావన ప్రామాణిక విచలనం. ఇది లాటిన్ అక్షరాలు sd ద్వారా లేదా గ్రీకు చిన్న అక్షరం "సిగ్మా" ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఈ భావన కేంద్ర లక్షణం నుండి సగటున విలువలు ఎంత భిన్నంగా ఉంటాయో చూపిస్తుంది. దాని విలువను కనుగొనడానికి, మీరు వ్యత్యాసం యొక్క వర్గమూలాన్ని లెక్కించాలి.

మీరు సాధారణ పంపిణీ గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేసి, దానిపై నేరుగా స్క్వేర్డ్ విచలనాన్ని చూడాలనుకుంటే, ఇది అనేక దశల్లో చేయవచ్చు. మోడ్ (సెంట్రల్ వాల్యూ) యొక్క ఎడమ లేదా కుడి వైపున ఉన్న చిత్రంలో సగం తీసుకోండి, క్షితిజ సమాంతర అక్షానికి లంబంగా గీయండి, తద్వారా ఫలిత బొమ్మల ప్రాంతాలు సమానంగా ఉంటాయి. డిస్ట్రిబ్యూషన్ మధ్య భాగం మరియు క్షితిజ సమాంతర అక్షం మీద వచ్చే ప్రొజెక్షన్ మధ్య సెగ్మెంట్ పరిమాణం ప్రామాణిక విచలనాన్ని సూచిస్తుంది.

సాఫ్ట్‌వేర్

సూత్రాల వివరణలు మరియు అందించిన ఉదాహరణల నుండి చూడగలిగినట్లుగా, వైవిధ్యం మరియు గణిత నిరీక్షణను లెక్కించడం అనేది అంకగణిత కోణం నుండి సరళమైన ప్రక్రియ కాదు. సమయాన్ని వృథా చేయకుండా ఉండటానికి, ఉన్నత విద్యా సంస్థలలో ఉపయోగించే ప్రోగ్రామ్‌ను ఉపయోగించడం అర్ధమే - దీనిని "R" అని పిలుస్తారు. ఇది గణాంకాలు మరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతం నుండి అనేక భావనల కోసం విలువలను లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే విధులను కలిగి ఉంది.

ఉదాహరణకు, మీరు విలువల వెక్టర్‌ను పేర్కొనండి. ఇది క్రింది విధంగా జరుగుతుంది: వెక్టర్<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

చివరగా

చెదరగొట్టడం మరియు గణిత నిరీక్షణ లేకుండా భవిష్యత్తులో ఏదైనా లెక్కించడం కష్టం. విశ్వవిద్యాలయాలలో ఉపన్యాసాల యొక్క ప్రధాన కోర్సులో, వారు ఈ అంశాన్ని అధ్యయనం చేసిన మొదటి నెలల్లో ఇప్పటికే చర్చించబడ్డారు. ఈ సాధారణ భావనలపై సరైన అవగాహన లేకపోవడం మరియు వాటిని లెక్కించలేకపోవడం వల్ల చాలా మంది విద్యార్థులు వెంటనే ప్రోగ్రామ్‌లో వెనుకబడి ఉండటం మరియు తరువాత సెషన్ చివరిలో బ్యాడ్ గ్రేడ్‌లు పొందడం వల్ల స్కాలర్‌షిప్‌లను కోల్పోతారు.

ఈ ఆర్టికల్‌లో అందించిన వాటికి సమానమైన పనులను పరిష్కరించడం ద్వారా కనీసం ఒక వారం, రోజుకు అరగంట ప్రాక్టీస్ చేయండి. అప్పుడు, సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో ఏదైనా పరీక్షలో, మీరు అదనపు చిట్కాలు మరియు చీట్ షీట్లు లేకుండా ఉదాహరణలను ఎదుర్కోగలుగుతారు.

టాస్క్ 1.గోధుమ గింజల అంకురోత్పత్తి సంభావ్యత 0.9. విత్తిన నాలుగు విత్తనాలలో కనీసం మూడు మొలకెత్తే సంభావ్యత ఎంత?

పరిష్కారం. ఈవెంట్ లెట్ ఎ- 4 విత్తనాల నుండి కనీసం 3 విత్తనాలు మొలకెత్తుతాయి; సంఘటన IN- 4 విత్తనాల నుండి 3 విత్తనాలు మొలకెత్తుతాయి; సంఘటన తో- 4 విత్తనాల నుండి 4 విత్తనాలు మొలకెత్తుతాయి. సంభావ్యతల జోడింపు సిద్ధాంతం ద్వారా

సంభావ్యతలు
మరియు
మేము బెర్నౌలీ సూత్రం ద్వారా నిర్ణయిస్తాము, ఈ క్రింది సందర్భంలో వర్తించబడుతుంది. సిరీస్ జరగనివ్వండి పిస్వతంత్ర పరీక్షలు, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి సమయంలో జరిగే సంఘటన యొక్క సంభావ్యత స్థిరంగా మరియు సమానంగా ఉంటుంది ఆర్, మరియు ఈ సంఘటన జరగని సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది
. అప్పుడు సంభావ్యత ఈవెంట్ ఎవి పిపరీక్షలు ఖచ్చితంగా కనిపిస్తాయి సార్లు, బెర్నౌలీ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది

ఎక్కడ
- కలయికల సంఖ్య పిద్వారా అంశాలు . అప్పుడు

అవసరమైన సంభావ్యత

టాస్క్ 2.గోధుమ గింజల అంకురోత్పత్తి సంభావ్యత 0.9. నాటిన 400 విత్తనాలలో 350 విత్తనాలు మొలకెత్తే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. అవసరమైన సంభావ్యతను లెక్కించండి
లెక్కల గజిబిజి కారణంగా బెర్నౌలీ సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కష్టం. కాబట్టి, మేము లాప్లేస్ యొక్క స్థానిక సిద్ధాంతాన్ని వ్యక్తీకరించే సుమారు సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తాము:

ఎక్కడ
మరియు
.

సమస్య పరిస్థితుల నుండి. అప్పుడు

మేము కనుగొన్న అనుబంధాల పట్టిక 1 నుండి. అవసరమైన సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది

టాస్క్ 3.గోధుమ గింజల్లో 0.02% కలుపు మొక్కలు ఉంటాయి. 10,000 విత్తనాలను యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేస్తే, 6 కలుపు విత్తనాలు కనిపించే సంభావ్యత ఎంత?

పరిష్కారం. తక్కువ సంభావ్యత కారణంగా లాప్లేస్ యొక్క స్థానిక సిద్ధాంతం యొక్క అప్లికేషన్
ఖచ్చితమైన విలువ నుండి సంభావ్యత యొక్క గణనీయమైన విచలనానికి దారితీస్తుంది
. అందువలన, చిన్న విలువలతో ఆర్లెక్కించేందుకు
అసిమ్ప్టోటిక్ పాయిసన్ ఫార్ములాను వర్తింపజేయండి

, ఎక్కడ .

ఈ ఫార్ములా ఎప్పుడు ఉపయోగించబడుతుంది
, మరియు తక్కువ ఆర్ఇంకా చాలా పి, మరింత ఖచ్చితమైన ఫలితం.

సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం
;
. అప్పుడు

టాస్క్ 4.గోధుమ గింజల అంకురోత్పత్తి రేటు 90%. నాటిన 500 విత్తనాలలో 400 నుండి 440 విత్తనాలు మొలకెత్తే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. ఈవెంట్ సంభవించే సంభావ్యత ఉంటే ఎప్రతిదాంట్లో పిపరీక్షలు స్థిరంగా మరియు సమానంగా ఉంటాయి ఆర్, అప్పుడు సంభావ్యత
ఆ సంఘటన ఎఅటువంటి పరీక్షలలో తక్కువ ఉండదు ఒకసారి మరియు ఎక్కువ కాదు కింది ఫార్ములా ద్వారా లాప్లేస్ యొక్క సమగ్ర సిద్ధాంతం ద్వారా సమయాలు నిర్ణయించబడతాయి:

, ఎక్కడ

,
.

ఫంక్షన్
లాప్లేస్ ఫంక్షన్ అని పిలుస్తారు. అనుబంధాలు (టేబుల్ 2) ఈ ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను అందిస్తాయి
. వద్ద
ఫంక్షన్
. ప్రతికూల విలువల కోసం Xలాప్లేస్ ఫంక్షన్ యొక్క అసమానత కారణంగా
. లాప్లేస్ ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించి, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

విధి యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం. పై సూత్రాలను ఉపయోగించి మనం కనుగొంటాము
మరియు :

టాస్క్ 5.వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ చట్టం ఇవ్వబడింది X:

కనుగొనండి: 1) గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ; 2) వ్యాప్తి; 3) ప్రామాణిక విచలనం.

పరిష్కారం. 1) వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ చట్టం పట్టిక ద్వారా ఇవ్వబడినట్లయితే

మొదటి పంక్తి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x యొక్క విలువలను కలిగి ఉంటుంది మరియు రెండవ పంక్తి ఈ విలువల సంభావ్యతలను కలిగి ఉంటుంది, అప్పుడు గణిత అంచనా సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది

2) వైవిధ్యం
వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ Xదాని గణిత నిరీక్షణ నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనం యొక్క గణిత నిరీక్షణ అంటారు, అనగా.

ఈ విలువ స్క్వేర్డ్ విచలనం యొక్క సగటు అంచనా విలువను వర్ణిస్తుంది Xనుండి
. మేము కలిగి ఉన్న చివరి ఫార్ములా నుండి

వైవిధ్యం
దాని క్రింది ఆస్తి ఆధారంగా మరొక విధంగా కనుగొనవచ్చు: వ్యాప్తి
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క స్క్వేర్ యొక్క గణిత అంచనా మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం Xమరియు దాని గణిత నిరీక్షణ యొక్క వర్గము
, అంటే

లెక్కించేందుకు
పరిమాణం పంపిణీ యొక్క క్రింది చట్టాన్ని రూపొందించండి
:

3) యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ దాని సగటు విలువ చుట్టూ సాధ్యమయ్యే విలువల స్కాటరింగ్‌ను వర్గీకరించడానికి, ప్రామాణిక విచలనం ప్రవేశపెట్టబడింది
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X, భేదం యొక్క వర్గమూలానికి సమానం
, అంటే

ఈ ఫార్ములా నుండి మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

టాస్క్ 6.నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ Xసంచిత పంపిణీ ఫంక్షన్ ద్వారా అందించబడింది

కనుగొనండి: 1) అవకలన పంపిణీ ఫంక్షన్
; 2) గణిత నిరీక్షణ
; 3) వైవిధ్యం
.

పరిష్కారం. 1) అవకలన పంపిణీ ఫంక్షన్
నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ Xసంచిత పంపిణీ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం అంటారు
, అంటే

కోరిన అవకలన ఫంక్షన్ క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉంది:

2) నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అయితే Xఫంక్షన్ ద్వారా ఇవ్వబడింది
, అప్పుడు దాని గణిత అంచనా సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

ఫంక్షన్ నుండి
వద్ద
మరియు వద్ద
సున్నాకి సమానం, అప్పుడు మనకు ఉన్న చివరి ఫార్ములా నుండి

3) వైవిధ్యం
మేము ఫార్ములా ద్వారా నిర్ణయిస్తాము

టాస్క్ 7.భాగం యొక్క పొడవు 40 mm యొక్క గణిత అంచనా మరియు 3 mm యొక్క ప్రామాణిక విచలనంతో సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్. కనుగొనండి: 1) ఏకపక్షంగా తీసుకున్న భాగం యొక్క పొడవు 34 mm కంటే ఎక్కువ మరియు 43 mm కంటే తక్కువగా ఉండే సంభావ్యత; 2) భాగం యొక్క పొడవు 1.5 మిమీ కంటే ఎక్కువ దాని గణిత అంచనా నుండి వైదొలగే సంభావ్యత.

పరిష్కారం. 1) వీలు X- భాగం యొక్క పొడవు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అయితే Xఅవకలన ఫంక్షన్ ద్వారా ఇవ్వబడింది
, అప్పుడు సంభావ్యత ఆ Xవిభాగానికి చెందిన విలువలను తీసుకుంటుంది
, ఫార్ములా ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది