సమస్యలను పరిష్కరించడంలో గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్. పద్దతి అభివృద్ధి "గణిత ప్రేరణ పద్ధతి"

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి

రష్యన్ భాషలో ఇండక్షన్ అనే పదానికి మార్గదర్శకం అని అర్థం, మరియు పరిశీలనలు, ప్రయోగాల ఆధారంగా తీర్మానాలు, అనగా ప్రేరక అని పిలుస్తారు. నిర్దిష్ట నుండి సాధారణ వరకు అనుమితి ద్వారా పొందబడింది.

ఉదాహరణకు, సూర్యుడు తూర్పు నుండి ఉదయించడాన్ని మనం ప్రతిరోజూ గమనిస్తాము. అందువల్ల, రేపు అది పశ్చిమాన కాకుండా తూర్పున కనిపిస్తుందని మీరు అనుకోవచ్చు. ఆకాశం అంతటా సూర్యుని కదలికకు కారణం గురించి ఎటువంటి ఊహలను ఆశ్రయించకుండా మేము ఈ తీర్మానాన్ని చేస్తాము (అంతేకాకుండా, భూగోళం వాస్తవానికి కదులుతున్నందున ఈ కదలిక స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది). ఇంకా ఈ ప్రేరక ముగింపు మనం రేపు చేసే పరిశీలనలను సరిగ్గా వివరిస్తుంది.

ప్రయోగాత్మక శాస్త్రాలలో ప్రేరక ముగింపుల పాత్ర చాలా గొప్పది. వారు ఆ నిబంధనలను ఇస్తారు, దాని నుండి తగ్గింపు ద్వారా తదుపరి ముగింపులు తీసుకోబడతాయి. సైద్ధాంతిక మెకానిక్స్ న్యూటన్ యొక్క మూడు చలన నియమాలపై ఆధారపడి ఉన్నప్పటికీ, ఈ చట్టాలు ప్రయోగాత్మక డేటా ద్వారా లోతైన ఆలోచనల ఫలితంగా ఉన్నాయి, ప్రత్యేకించి కెప్లర్ యొక్క గ్రహ చలన నియమాలు, అతను డానిష్ ఖగోళ శాస్త్రవేత్త టైకోచే అనేక సంవత్సరాల పరిశీలనల ప్రాసెసింగ్ నుండి తీసుకోబడింది. బ్రహే. పరిశీలన మరియు ఇండక్షన్ చేసిన ఊహలను స్పష్టం చేయడానికి భవిష్యత్తులో ఉపయోగపడతాయి. కదిలే మాధ్యమంలో కాంతి వేగాన్ని కొలవడానికి మిచెల్సన్ చేసిన ప్రయోగాల తర్వాత, భౌతిక శాస్త్ర నియమాలను స్పష్టం చేయడం మరియు సాపేక్షత సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించడం అవసరం అని తేలింది.

గణితశాస్త్రంలో, ఇండక్షన్ పాత్ర ఎక్కువగా అది ఎంచుకున్న యాక్సియోమాటిక్స్‌కు ఆధారం. దీర్ఘకాల అభ్యాసం వక్ర లేదా విరిగిన మార్గం కంటే సరళమైన మార్గం ఎల్లప్పుడూ తక్కువగా ఉంటుందని చూపించిన తర్వాత, ఒక సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించడం సహజం: ఏదైనా మూడు పాయింట్లు A, B మరియు C, అసమానత

కింది భావన, ఇది అంకగణితానికి ఆధారం, సైనికులు, నౌకలు మరియు ఇతర ఆర్డర్ సెట్ల ఏర్పాటు యొక్క పరిశీలనల నుండి కూడా కనిపించింది.

ఏది ఏమైనప్పటికీ, ఇది గణితంలో ఇండక్షన్ పాత్రను నిర్వీర్యం చేస్తుందని భావించకూడదు. వాస్తవానికి, సిద్ధాంతాల నుండి తార్కికంగా తీసివేయబడిన సిద్ధాంతాలను మనం ప్రయోగాత్మకంగా పరీక్షించకూడదు: ఉత్పన్నం సమయంలో ఎటువంటి తార్కిక లోపాలు జరగకపోతే, మేము అంగీకరించిన సిద్ధాంతాలు నిజం అయినంత వరకు అవి నిజమైనవి. కానీ ఈ సిద్ధాంతాల వ్యవస్థ నుండి చాలా ప్రకటనలను తీసివేయవచ్చు. మరియు నిరూపించబడవలసిన ఆ ప్రకటనల ఎంపిక మళ్లీ ఇండక్షన్ ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఇది పనికిరాని వాటి నుండి ఉపయోగకరమైన సిద్ధాంతాలను వేరు చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, ఏ సిద్ధాంతాలు నిజం కావచ్చో సూచిస్తుంది మరియు రుజువు యొక్క మార్గాన్ని వివరించడానికి కూడా సహాయపడుతుంది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క సారాంశం

అంకగణితం, బీజగణితం, జ్యామితి మరియు విశ్లేషణ యొక్క అనేక శాఖలలో, సహజ వేరియబుల్ ఆధారంగా వాక్యాల A(n) యొక్క సత్యాన్ని నిరూపించడం అవసరం. వేరియబుల్ యొక్క అన్ని విలువలకు ప్రతిపాదన A(n) యొక్క సత్యం యొక్క రుజువు తరచుగా గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది, ఇది క్రింది సూత్రంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

కింది రెండు షరతులు నెరవేరినట్లయితే వేరియబుల్ యొక్క అన్ని సహజ విలువలకు ప్రతిపాదన A(n) నిజమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది:

ప్రతిపాదన A(n) n=1కి నిజం.

n=k (ఇక్కడ k అనేది ఏదైనా సహజ సంఖ్య)కి A(n) సరైనది అనే ఊహ నుండి, అది తదుపరి విలువ n=k+1కి సరైనదని అనుసరిస్తుంది.

ఈ సూత్రాన్ని గణిత ప్రేరణ సూత్రం అంటారు. ఇది సాధారణంగా సంఖ్యల సహజ శ్రేణిని నిర్వచించే సిద్ధాంతాలలో ఒకటిగా ఎంపిక చేయబడుతుంది మరియు అందువల్ల రుజువు లేకుండా ఆమోదించబడుతుంది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి అంటే క్రింది రుజువు పద్ధతి. మీరు అన్ని సహజ n కోసం A(n) వాక్యం యొక్క సత్యాన్ని రుజువు చేయాలనుకుంటే, ముందుగా, మీరు A(1) స్టేట్‌మెంట్ యొక్క సత్యాన్ని తనిఖీ చేయాలి మరియు రెండవది, A(k) స్టేట్‌మెంట్ యొక్క సత్యాన్ని ఊహిస్తూ ఉండాలి. ప్రకటన A(k +1) నిజమని నిరూపించడానికి ప్రయత్నించండి. ఇది నిరూపించగలిగితే మరియు k యొక్క ప్రతి సహజ విలువకు రుజువు చెల్లుబాటు అయ్యేలా ఉంటే, గణిత ప్రేరణ సూత్రానికి అనుగుణంగా, A(n) ప్రతిపాదన n యొక్క అన్ని విలువలకు నిజమైనదిగా గుర్తించబడుతుంది.

గణిత ప్రేరణ యొక్క పద్ధతి సిద్ధాంతాలు, గుర్తింపులు, అసమానతలను నిరూపించడంలో, విభజన సమస్యలను పరిష్కరించడంలో, కొన్ని రేఖాగణిత మరియు అనేక ఇతర సమస్యలను పరిష్కరించడంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది.

సమస్యలను పరిష్కరించడంలో గణిత ప్రేరణ పద్ధతి

విభజన

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి, మీరు సహజ సంఖ్యల విభజనకు సంబంధించి వివిధ ప్రకటనలను నిరూపించవచ్చు.

కింది ప్రకటన సాపేక్షంగా సరళంగా నిరూపించబడుతుంది. గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఇది ఎలా పొందబడుతుందో చూపిద్దాం.

ఉదాహరణ 1. n అనేది సహజ సంఖ్య అయితే, ఆ సంఖ్య సరి.

n=1 మన ప్రకటన నిజం అయినప్పుడు: - సరి సంఖ్య. అది సరిసంఖ్య అని అనుకుందాం. కాబట్టి, 2k అనేది సరి సంఖ్య కూడా. కాబట్టి, n=1 కోసం సమానత్వం నిరూపించబడింది, సమానత్వం నుండి సమానత్వం తీసివేయబడుతుంది .ఇది n యొక్క అన్ని సహజ విలువలకు కూడా అని అర్థం.

ఉదాహరణ 2.వాక్యం యొక్క సత్యాన్ని నిరూపించండి

A(n)=(సంఖ్య 5 అనేది 19 యొక్క గుణకం), n అనేది సహజ సంఖ్య.

పరిష్కారం.

ప్రకటన A(1)=(19చే భాగించబడే సంఖ్య) నిజం.

కొంత విలువ n=k అని అనుకుందాం

A(k)=(సంఖ్య 19 ద్వారా భాగించబడుతుంది) నిజం. అప్పుడు, నుండి

సహజంగానే, A(k+1) కూడా నిజం. నిజానికి, A(k) నిజం అనే ఊహ కారణంగా మొదటి పదం 19తో భాగించబడుతుంది; రెండవ పదం కూడా 19 ద్వారా భాగించబడుతుంది ఎందుకంటే ఇది 19 కారకాన్ని కలిగి ఉంటుంది. గణిత ప్రేరణ సూత్రం యొక్క రెండు షరతులు సంతృప్తి చెందాయి, కాబట్టి, ప్రతిపాదన A(n) n యొక్క అన్ని విలువలకు నిజం.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్

సంగ్రహించే సిరీస్

ఉదాహరణ 1.సూత్రాన్ని నిరూపించండి

, n అనేది సహజ సంఖ్య.

పరిష్కారం.

n=1 అయినప్పుడు, సమానత్వం యొక్క రెండు భుజాలు ఒకదానికి మారుతాయి మరియు అందువల్ల, గణిత ప్రేరణ సూత్రం యొక్క మొదటి షరతు సంతృప్తి చెందుతుంది.

n=kకి ఫార్ములా సరైనదని అనుకుందాం, అనగా.

.

ఈ సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా జోడించి, కుడి వైపును మారుద్దాం. అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

ఈ విధంగా, సూత్రం n=kకి నిజం అయినందున, ఇది n=k+1కి కూడా సరైనదని అనుసరిస్తుంది. ఈ ప్రకటన k యొక్క ఏదైనా సహజ విలువకు వర్తిస్తుంది. కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ సూత్రం యొక్క రెండవ షరతు కూడా సంతృప్తి చెందింది. సూత్రం నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ 2.సహజ శ్రేణిలోని మొదటి n సంఖ్యల మొత్తం సమానమని నిరూపించండి.

పరిష్కారం.

అవసరమైన మొత్తాన్ని సూచిస్తాము, అనగా. .

n=1 ఉన్నప్పుడు పరికల్పన నిజం.

వీలు . అది చూపిద్దాం .

నిజానికి,

సమస్య పరిష్కారమైంది.

ఉదాహరణ 3.సహజ శ్రేణిలోని మొదటి n సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం సమానమని నిరూపించండి .

పరిష్కారం.

వీలు .

.

అలా నటిద్దాం . అప్పుడు

మరియు చివరకు.

ఉదాహరణ 4.నిరూపించు .

పరిష్కారం.

ఉంటే, అప్పుడు

ఉదాహరణ 5.నిరూపించు

పరిష్కారం.

n=1 ఉన్నప్పుడు పరికల్పన స్పష్టంగా నిజం.

వీలు .

అని నిరూపిద్దాం.

నిజంగా,

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని వర్తించే ఉదాహరణలు

అసమానతలకు రుజువు

ఉదాహరణ 1.ఏదైనా సహజ సంఖ్య n>1 కోసం నిరూపించండి

.

పరిష్కారం.

అసమానత యొక్క ఎడమ వైపుని ద్వారా సూచిస్తాము.

కాబట్టి, n=2కి అసమానత నిజం.

కొందరికి లెట్. అప్పుడు దానిని నిరూపిద్దాం మరియు. మన దగ్గర ఉంది , .

పోల్చడం మరియు , మేము కలిగి ఉన్నాము , అనగా .

ఏదైనా సానుకూల పూర్ణాంకం k కోసం, చివరి సమానత్వం యొక్క కుడి వైపు సానుకూలంగా ఉంటుంది. అందుకే . కానీ అది కూడా అర్థం.

ఉదాహరణ 2.తార్కికంలో లోపాన్ని కనుగొనండి.

ప్రకటన. ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు n అసమానత నిజం.

రుజువు.

. (1)

అసమానత n=k+1కి కూడా చెల్లుబాటు అవుతుందని నిరూపిద్దాం, అనగా.

.

నిజానికి, ఏదైనా సహజ k కోసం 2 కంటే తక్కువ కాదు. అసమానత యొక్క ఎడమ వైపుకు (1) మరియు కుడి వైపున 2కి జోడిద్దాం. మేము న్యాయమైన అసమానతను పొందుతాము, లేదా . ప్రకటన నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ 3.నిరూపించు , ఇక్కడ >-1, , n అనేది 1 కంటే ఎక్కువ సహజ సంఖ్య.

పరిష్కారం.

n=2 కోసం అసమానత నిజం, నుండి .

అసమానత n=k కోసం నిజమైనదిగా ఉండనివ్వండి, ఇక్కడ k అనేది కొంత సహజ సంఖ్య, అనగా.

. (1)

అసమానత n=k+1కి కూడా చెల్లుబాటు అవుతుందని చూపిద్దాం, అనగా.

. (2)

నిజానికి, షరతు ప్రకారం, , కాబట్టి అసమానత నిజం

, (3)

ప్రతి భాగాన్ని గుణించడం ద్వారా అసమానత (1) నుండి పొందబడింది. అసమానత (3)ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాద్దాం: . చివరి అసమానత యొక్క కుడి వైపున ఉన్న సానుకూల పదాన్ని విస్మరిస్తే, మేము సరసమైన అసమానతను పొందుతాము (2).

ఉదాహరణ 4.నిరూపించు

(1)

ఇక్కడ , n అనేది 1 కంటే ఎక్కువ సహజ సంఖ్య.

పరిష్కారం.

n=2 అసమానత (1) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

. (2)

అప్పటి నుండి, అసమానత నిజం

. (3)

అసమానత (3) యొక్క ప్రతి భాగానికి జోడించడం ద్వారా మేము అసమానత (2) ను పొందుతాము.

ఇది n=2 అసమానత (1) నిజమని రుజువు చేస్తుంది.

అసమానత (1) n=k కోసం నిజమైనదిగా ఉండనివ్వండి, ఇక్కడ k అనేది కొంత సహజ సంఖ్య, అనగా.

. (4)

అసమానత (1) n=k+1కి కూడా తప్పక నిజమని నిరూపిద్దాం, అనగా.

(5)

అసమానత యొక్క రెండు వైపులా (4) a+bతో గుణిద్దాం. షరతుల ప్రకారం, మేము ఈ క్రింది న్యాయమైన అసమానతను పొందుతాము:

. (6)

అసమానత (5) యొక్క చెల్లుబాటును నిరూపించడానికి, దానిని చూపించడానికి సరిపోతుంది

, (7)

లేదా, అదే ఏమిటి,

. (8)

అసమానత (8) అసమానతతో సమానం

. (9)

ఒకవేళ , అప్పుడు , మరియు అసమానత యొక్క ఎడమ వైపున (9) మనకు రెండు సానుకూల సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఉంటుంది. ఒకవేళ , అప్పుడు , మరియు అసమానత యొక్క ఎడమ వైపున (9) మనకు రెండు ప్రతికూల సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఉంటుంది. రెండు సందర్భాల్లో, అసమానత (9) నిజం.

n=k కోసం అసమానత (1) యొక్క చెల్లుబాటు n=k+1 కోసం దాని చెల్లుబాటును సూచిస్తుందని ఇది రుజువు చేస్తుంది.

ఇతరులకు వర్తించే గణిత ప్రేరణ పద్ధతి

పనులు

జ్యామితిలో గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అత్యంత సహజమైన అప్లికేషన్, సంఖ్య సిద్ధాంతం మరియు బీజగణితంలో ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించడం దగ్గరగా, రేఖాగణిత గణన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి దాని అప్లికేషన్. కొన్ని ఉదాహరణలు చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1.R వ్యాసార్థం యొక్క వృత్తంలో వ్రాయబడిన సాధారణ చతురస్రం యొక్క ప్రక్కను లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

n=2 సరిగ్గా ఉన్నప్పుడు 2 n - ఒక చతురస్రం ఒక చతురస్రం; అతని వైపు. ఇంకా, రెట్టింపు సూత్రం ప్రకారం

సాధారణ అష్టభుజి వైపు అని మేము కనుగొన్నాము , సాధారణ షడ్భుజి వైపు , సాధారణ ముప్పై రెండు త్రిభుజం వైపు . కాబట్టి మనం సరైన లిఖించిన వైపు 2 అని భావించవచ్చు n - ఏదైనా సమానం కోసం చదరపు

. (1)

సాధారణ లిఖిత చతురస్రం యొక్క వైపు ఫార్ములా (1) ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిందని అనుకుందాం. ఈ సందర్భంలో, రెట్టింపు సూత్రం ప్రకారం

,

ఆ ఫార్ములా (1) అన్ని n కోసం చెల్లుబాటు అయ్యేది.

ఉదాహరణ 2.ఒక n-gon (తప్పనిసరిగా కుంభాకారం కాదు) దాని అసమ్మతి కర్ణాల ద్వారా ఎన్ని త్రిభుజాలుగా విభజించవచ్చు?

పరిష్కారం.

ఒక త్రిభుజం కోసం, ఈ సంఖ్య ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది (త్రిభుజంలో ఒక్క వికర్ణం కూడా డ్రా చేయబడదు); చతుర్భుజం కోసం ఈ సంఖ్య స్పష్టంగా రెండు.

ప్రతి k-gon, ఎక్కడ k అని మనకు ఇప్పటికే తెలుసు అని అనుకుందాం 1 A 2 ...A n త్రిభుజాలలోకి.

ఒక ఎన్

ఎ 1 ఎ 2

A 1 A k ఈ విభజన యొక్క వికర్ణాలలో ఒకటిగా ఉండనివ్వండి; ఇది n-gon A 1 A 2 ...A n ను k-gon A 1 A 2 ...A k మరియు (n-k+2)-gon A 1 A k A k+1 ..గా విభజిస్తుంది. .ఎ ఎన్ . చేసిన ఊహ కారణంగా, విభజనలోని మొత్తం త్రిభుజాల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

అందువలన, మా ప్రకటన అన్ని n కోసం నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ 3.ఒక కుంభాకార n-gonను విడదీయబడిన వికర్ణాల ద్వారా త్రిభుజాలుగా విభజించే మార్గాల సంఖ్య P(n)ని గణించే నియమాన్ని పేర్కొనండి.

పరిష్కారం.

త్రిభుజం కోసం, ఈ సంఖ్య స్పష్టంగా ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది: P(3)=1.

మేము ఇప్పటికే అన్ని k కోసం P(k) సంఖ్యలను నిర్ణయించామని అనుకుందాం 1 A 2 ...A n . ఇది త్రిభుజాలుగా విభజించబడినప్పుడల్లా, వైపు A 1 ఎ 2 విభజన త్రిభుజాలలో ఒకదాని వైపు ఉంటుంది, ఈ త్రిభుజం యొక్క మూడవ శీర్షం A బిందువులలో ప్రతి ఒక్కటితో సమానంగా ఉంటుంది 3, A 4, …, A n . ఈ శీర్షం పాయింట్ Aతో కలిసే n-gonని విభజించే మార్గాల సంఖ్య 3 , (n-1)-gon Aని త్రిభుజాలుగా విభజించే మార్గాల సంఖ్యకు సమానం 1 A 3 A 4 …A n , అనగా P(n-1)కి సమానం. ఈ శీర్షం Aతో కలిసే విభజన పద్ధతుల సంఖ్య 4 , (n-2)-gon Aని విభజించే మార్గాల సంఖ్యకు సమానం 1 A 4 A 5 …A n , అనగా సమానం P(n-2)=P(n-2)P(3); విభజన పద్ధతుల సంఖ్య Aతో సమానంగా ఉంటుంది 5 , P(n-3)P(4)కి సమానం, ఎందుకంటే (n-3)-gon A యొక్క ప్రతి విభజన 1 A 5 ...A n చతుర్భుజం A యొక్క ప్రతి విభజనతో కలపవచ్చు 2 ఎ 3 ఎ 4 ఎ 5 , మొదలైనవి కాబట్టి, మేము ఈ క్రింది సంబంధానికి చేరుకుంటాము:

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -1).

ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మేము స్థిరంగా పొందుతాము:

P(4)=P(3)+P(3)=2,

P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,

P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14

మొదలైనవి

మీరు గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి గ్రాఫ్‌లతో సమస్యలను కూడా పరిష్కరించవచ్చు.

విమానంలో కొన్ని పాయింట్లను కనెక్ట్ చేసే లైన్ల నెట్‌వర్క్ ఉండనివ్వండి మరియు ఇతర పాయింట్లు లేవు. అటువంటి పంక్తుల నెట్‌వర్క్‌ను మేము మ్యాప్ అని పిలుస్తాము, దాని శీర్షాలుగా ఇచ్చిన పాయింట్లు, రెండు ప్రక్కనే ఉన్న శీర్షాల మధ్య వంపుల విభాగాలు - మ్యాప్ యొక్క సరిహద్దులు, సరిహద్దుల ద్వారా విభజించబడిన విమానం యొక్క భాగాలు - మ్యాప్‌లోని దేశాలు.

విమానంలో కొంత మ్యాప్ ఇవ్వనివ్వండి. దానిలోని ప్రతి దేశం ఒక నిర్దిష్ట రంగుతో పెయింట్ చేయబడితే అది సరిగ్గా రంగులో ఉందని మేము చెబుతాము మరియు ఉమ్మడి సరిహద్దు ఉన్న ఏవైనా రెండు దేశాలు వేర్వేరు రంగులతో పెయింట్ చేయబడతాయి.

ఉదాహరణ 4.విమానంలో n సర్కిల్‌లు ఉన్నాయి. ఈ సర్కిల్‌ల యొక్క ఏదైనా అమరిక కోసం, అవి రూపొందించే మ్యాప్‌ను రెండు రంగులతో సరిగ్గా రంగు వేయవచ్చని నిరూపించండి.

పరిష్కారం.

n=1 కోసం మా ప్రకటన స్పష్టంగా ఉంది.

n సర్కిల్‌ల ద్వారా ఏర్పడిన ఏదైనా మ్యాప్‌కు మన ప్రకటన సరైనదని అనుకుందాం మరియు విమానంలో n+1 సర్కిల్‌లు ఉండనివ్వండి. ఈ సర్కిల్‌లలో ఒకదానిని తీసివేయడం ద్వారా, మేము ఊహించిన కారణంగా, రెండు రంగులతో సరిగ్గా రంగులు వేయగల మ్యాప్‌ను పొందుతాము, ఉదాహరణకు, నలుపు మరియు తెలుపు.

అన్ని సమయాల్లో నిజమైన జ్ఞానం ఒక నమూనాను స్థాపించడం మరియు కొన్ని పరిస్థితులలో దాని సత్యాన్ని నిరూపించడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. లాజికల్ రీజనింగ్ ఉనికిలో ఉన్న సుదీర్ఘ కాలంలో, నియమాల సూత్రీకరణలు ఇవ్వబడ్డాయి మరియు అరిస్టాటిల్ "సరైన తార్కికం" యొక్క జాబితాను కూడా సంకలనం చేశాడు. చారిత్రాత్మకంగా, అన్ని అనుమితులను రెండు రకాలుగా విభజించడం ఆచారం - కాంక్రీటు నుండి బహుళ (ఇండక్షన్) మరియు వైస్ వెర్సా (డిడక్షన్). నిర్దిష్ట సాక్ష్యం నుండి సాధారణం మరియు సాధారణం నుండి ప్రత్యేకం అనేవి సంయోగంలో మాత్రమే ఉన్నాయని మరియు పరస్పరం మార్చుకోలేమని గమనించాలి.

గణితంలో ఇండక్షన్

"ఇండక్షన్" అనే పదం లాటిన్ మూలాలను కలిగి ఉంది మరియు అక్షరాలా "మార్గదర్శకత్వం"గా అనువదించబడింది. నిశితంగా అధ్యయనం చేసిన తర్వాత, పదం యొక్క నిర్మాణాన్ని హైలైట్ చేయవచ్చు, అవి లాటిన్ ఉపసర్గ - ఇన్- (లోపలికి లేదా లోపల ఉన్న చర్యను సూచిస్తుంది) మరియు -డక్షన్ - పరిచయం. పూర్తి మరియు అసంపూర్ణ ఇండక్షన్ - ఇది రెండు రకాలు ఉన్నాయి పేర్కొంది విలువ. పూర్తి రూపం ఒక నిర్దిష్ట తరగతి యొక్క అన్ని వస్తువుల అధ్యయనం నుండి తీసుకోబడిన ముగింపుల ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది.

అసంపూర్తి - తరగతిలోని అన్ని సబ్జెక్టులకు వర్తించే ముగింపులు, కానీ కొన్ని యూనిట్ల అధ్యయనం ఆధారంగా మాత్రమే రూపొందించబడ్డాయి.

పూర్తి గణిత ప్రేరణ అనేది ఈ ఫంక్షనల్ కనెక్షన్ యొక్క జ్ఞానం ఆధారంగా సహజ శ్రేణి సంఖ్యల సంబంధాల ద్వారా క్రియాత్మకంగా అనుసంధానించబడిన ఏదైనా వస్తువుల యొక్క మొత్తం తరగతి గురించి సాధారణ ముగింపు ఆధారంగా ఒక అనుమితి. ఈ సందర్భంలో, రుజువు ప్రక్రియ మూడు దశల్లో జరుగుతుంది:

• మొదటిది గణిత ప్రేరణ యొక్క స్థానం యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని రుజువు చేస్తుంది. ఉదాహరణ: f = 1, ఇండక్షన్;
• తదుపరి దశ అన్ని సహజ సంఖ్యలకు స్థానం చెల్లుబాటు అవుతుందనే భావనపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అంటే, f=h అనేది ప్రేరక పరికల్పన;
• మూడవ దశలో, మునుపటి పాయింట్ యొక్క స్థానం యొక్క ఖచ్చితత్వం ఆధారంగా f=h+1 సంఖ్య కోసం స్థానం యొక్క ప్రామాణికత నిరూపించబడింది - ఇది ఇండక్షన్ ట్రాన్సిషన్ లేదా గణిత ప్రేరణ యొక్క దశ. ఒక ఉదాహరణ వరుసలో మొదటి రాయి పడితే (ఆధారం), అప్పుడు వరుసలోని అన్ని రాళ్ళు (పరివర్తన) వస్తాయి.

సరదాగా మరియు తీవ్రంగా

సులభంగా అర్థం చేసుకోవడానికి, గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కారాల ఉదాహరణలు జోక్ సమస్యల రూపంలో ప్రదర్శించబడతాయి. ఇది "మర్యాద క్యూ" టాస్క్:

• ప్రవర్తనా నియమాలు స్త్రీ ముందు మలుపు తీసుకోవడాన్ని నిషేధిస్తాయి (అటువంటి పరిస్థితిలో, ఆమె ముందుకు వెళ్ళడానికి అనుమతించబడుతుంది). ఈ ప్రకటన ఆధారంగా, వరుసలో చివరి వ్యక్తి ఒక వ్యక్తి అయితే, మిగిలిన అందరూ మగవారే.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతికి ఒక అద్భుతమైన ఉదాహరణ "డైమెన్షన్‌లెస్ ఫ్లైట్" సమస్య:

• మినీబస్సులో ఎంతమంది అయినా సరిపోతారని నిరూపించడం అవసరం. ఒక వ్యక్తి వాహనం లోపల ఇబ్బంది లేకుండా (ప్రాతిపదికన) సరిపోతాడన్నది నిజం. కానీ మినీబస్సు ఎంత నిండినప్పటికీ, 1 ప్రయాణీకుడు ఎల్లప్పుడూ దానిపై సరిపోతారు (ఇండక్షన్ స్టెప్).

తెలిసిన సర్కిల్‌లు

గణిత ప్రేరణ ద్వారా సమస్యలు మరియు సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు చాలా సాధారణం. ఈ విధానానికి ఉదాహరణగా, ఈ క్రింది సమస్యను పరిగణించండి.

పరిస్థితి: విమానంలో h సర్కిల్‌లు ఉన్నాయి. బొమ్మల యొక్క ఏదైనా అమరిక కోసం, అవి రూపొందించే మ్యాప్‌ను రెండు రంగులతో సరిగ్గా రంగులు వేయవచ్చని నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

పరిష్కారం: h=1 ప్రకటన యొక్క నిజం స్పష్టంగా ఉన్నప్పుడు, h+1 సర్కిల్‌ల సంఖ్యకు రుజువు నిర్మించబడుతుంది.

ఏదైనా మ్యాప్‌కు స్టేట్‌మెంట్ చెల్లుబాటు అవుతుందని మరియు విమానంలో h+1 సర్కిల్‌లు ఉన్నాయని మేము ఊహను అంగీకరిస్తాము. మొత్తం నుండి సర్కిల్‌లలో ఒకదానిని తీసివేయడం ద్వారా, మీరు రెండు రంగులతో (నలుపు మరియు తెలుపు) సరిగ్గా మ్యాప్‌ను పొందవచ్చు.

తొలగించబడిన సర్కిల్‌ను పునరుద్ధరించేటప్పుడు, ప్రతి ప్రాంతం యొక్క రంగు వ్యతిరేకతకు మారుతుంది (ఈ సందర్భంలో, సర్కిల్ లోపల). ఫలితం రెండు రంగులలో సరిగ్గా రంగులో ఉన్న మ్యాప్, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

సహజ సంఖ్యలతో ఉదాహరణలు

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్ స్పష్టంగా క్రింద చూపబడింది.

పరిష్కారాల ఉదాహరణలు:

ఏదైనా h కోసం కింది సమానత్వం సరైనదని నిరూపించండి:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. లెట్ h=1, అంటే:

R 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

దీని నుండి h=1కి సంబంధించిన స్టేట్‌మెంట్ సరైనదని తెలుస్తుంది.

2. h=d అని ఊహిస్తే, సమీకరణం పొందబడుతుంది:

R 1 =d 2 =d(d+1)(2d+1)/6=1

3. h=d+1 అని ఊహిస్తే, అది ఇలా అవుతుంది:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

ఈ విధంగా, h=d+1 కోసం సమానత్వం యొక్క చెల్లుబాటు నిరూపించబడింది, కాబట్టి గణిత ప్రేరణ ద్వారా ఉదాహరణ పరిష్కారంలో చూపిన విధంగా ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు ప్రకటన నిజం.

టాస్క్

పరిస్థితి: h యొక్క ఏదైనా విలువకు 7 h -1 వ్యక్తీకరణ శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడుతుందని రుజువు అవసరం.

పరిష్కారం:

1. ఈ సందర్భంలో h=1 అనుకుందాం:

R 1 =7 1 -1=6 (అంటే శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడింది)

కాబట్టి, h=1 కోసం ప్రకటన నిజం;

2. h=d మరియు 7 d -1ని శేషం లేకుండా 6తో భాగించనివ్వండి;

3. h=d+1 కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటు యొక్క రుజువు సూత్రం:

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

ఈ సందర్భంలో, మొదటి పదం మొదటి పాయింట్ యొక్క ఊహ ప్రకారం 6 ద్వారా భాగించబడుతుంది మరియు రెండవ పదం 6కి సమానం. 7 h -1 ఏదైనా సహజ h కోసం శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడుతుంది అనే ప్రకటన నిజం.

తీర్పులో లోపాలు

ఉపయోగించిన తార్కిక నిర్మాణాల యొక్క సరికాని కారణంగా రుజువులలో తరచుగా తప్పు తార్కికం ఉపయోగించబడుతుంది. రుజువు యొక్క నిర్మాణం మరియు తర్కం ఉల్లంఘించినప్పుడు ఇది ప్రధానంగా జరుగుతుంది. సరికాని తార్కికానికి ఉదాహరణ క్రింది ఉదాహరణ.

టాస్క్

పరిస్థితి: ఏ రాళ్ల కుప్ప అయినా కుప్ప కాదని రుజువు అవసరం.

పరిష్కారం:

1. h=1 అనుకుందాం, ఈ సందర్భంలో కుప్పలో 1 రాయి ఉంది మరియు ప్రకటన నిజం (ఆధారం);

2. రాళ్ల కుప్ప కుప్ప కాదు (ఊహ);

3. h=d+1ని లెట్, దాని నుండి మరొక రాయిని జోడించినప్పుడు, సెట్ కుప్పగా ఉండదు. అన్ని సహజ h కోసం ఊహ చెల్లుబాటు అవుతుందని ముగింపు స్వయంగా సూచిస్తుంది.

పొరపాటు ఏమిటంటే, ఎన్ని రాళ్ళు కుప్పగా ఏర్పడతాయో నిర్వచనం లేదు. గణిత ప్రేరణ పద్ధతిలో ఇటువంటి విస్మయాన్ని త్వరిత సాధారణీకరణ అంటారు. ఒక ఉదాహరణ దీనిని స్పష్టంగా చూపిస్తుంది.

ఇండక్షన్ మరియు లాజిక్ చట్టాలు

చారిత్రాత్మకంగా, వారు ఎల్లప్పుడూ "చేతితో నడుస్తారు." తర్కం మరియు తత్వశాస్త్రం వంటి శాస్త్రీయ విభాగాలు వాటిని వ్యతిరేక రూపంలో వివరిస్తాయి.

తర్కం యొక్క చట్టం యొక్క దృక్కోణం నుండి, ప్రేరక నిర్వచనాలు వాస్తవాలపై ఆధారపడతాయి మరియు ప్రాంగణంలోని నిజాయితీ ఫలిత ప్రకటన యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని నిర్ణయించదు. తరచుగా నిర్ధారణలు ఒక నిర్దిష్ట స్థాయి సంభావ్యత మరియు ఆమోదయోగ్యతతో పొందబడతాయి, ఇది సహజంగానే, అదనపు పరిశోధన ద్వారా ధృవీకరించబడాలి మరియు ధృవీకరించబడాలి. లాజిక్‌లో ఇండక్షన్‌కి ఉదాహరణగా ఈ క్రింది స్టేట్‌మెంట్ ఉంటుంది:

ఎస్టోనియాలో కరువు, లాట్వియాలో కరువు, లిథువేనియాలో కరువు.

ఎస్టోనియా, లాట్వియా మరియు లిథువేనియా బాల్టిక్ రాష్ట్రాలు. అన్ని బాల్టిక్ రాష్ట్రాల్లో కరువు ఉంది.

ఉదాహరణ నుండి ఇండక్షన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి కొత్త సమాచారం లేదా సత్యాన్ని పొందలేమని మేము నిర్ధారించగలము. గణించదగినది ముగింపుల యొక్క కొంత వాస్తవికత మాత్రమే. అంతేకాకుండా, ప్రాంగణంలోని నిజం అదే ముగింపులకు హామీ ఇవ్వదు. అయితే, ఈ వాస్తవం తగ్గింపు యొక్క అంచులలో ఇండక్షన్ క్షీణిస్తుందని కాదు: ఇండక్షన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి భారీ సంఖ్యలో నిబంధనలు మరియు శాస్త్రీయ చట్టాలు నిరూపించబడ్డాయి. ఒక ఉదాహరణ అదే గణితం, జీవశాస్త్రం మరియు ఇతర శాస్త్రాలు. ఇది ఎక్కువగా పూర్తి ఇండక్షన్ పద్ధతి కారణంగా ఉంటుంది, అయితే కొన్ని సందర్భాల్లో పాక్షిక ప్రేరణ కూడా వర్తిస్తుంది.

ఇండక్షన్ యొక్క గౌరవనీయమైన వయస్సు మానవ కార్యకలాపాల యొక్క దాదాపు అన్ని రంగాలలోకి ప్రవేశించడానికి అనుమతించింది - ఇది సైన్స్, ఎకనామిక్స్ మరియు రోజువారీ ముగింపులు.

శాస్త్రీయ సమాజంలో ఇండక్షన్

ఇండక్షన్ పద్ధతికి నిష్కపటమైన వైఖరి అవసరం, ఎందుకంటే చాలా ఎక్కువ మొత్తం అధ్యయనం చేసిన భాగాల సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉంటుంది: ఎక్కువ సంఖ్యలో అధ్యయనం చేస్తే, ఫలితం మరింత నమ్మదగినది. ఈ లక్షణం ఆధారంగా, ఇండక్షన్ ద్వారా పొందిన శాస్త్రీయ చట్టాలు సాధ్యమయ్యే అన్ని నిర్మాణ అంశాలు, కనెక్షన్లు మరియు ప్రభావాలను వేరుచేయడానికి మరియు అధ్యయనం చేయడానికి సంభావ్య అంచనాల స్థాయిలో చాలా కాలం పాటు పరీక్షించబడతాయి.

సైన్స్‌లో, యాదృచ్ఛిక నిబంధనలను మినహాయించి, ప్రేరక ముగింపు ముఖ్యమైన లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. శాస్త్రీయ జ్ఞానం యొక్క ప్రత్యేకతలకు సంబంధించి ఈ వాస్తవం ముఖ్యమైనది. సైన్స్‌లో ఇండక్షన్ ఉదాహరణలలో ఇది స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది.

శాస్త్రీయ ప్రపంచంలో రెండు రకాల ప్రేరణలు ఉన్నాయి (అధ్యయన పద్ధతికి సంబంధించి):

1. ఇండక్షన్-ఎంపిక (లేదా ఎంపిక);
2. ఇండక్షన్ - మినహాయింపు (తొలగింపు).

మొదటి రకం దాని విభిన్న ప్రాంతాల నుండి ఒక తరగతి (సబ్‌క్లాస్‌లు) యొక్క నమూనాల పద్దతి (నిర్ధారణ) ఎంపిక ద్వారా వేరు చేయబడుతుంది.

ఈ రకమైన ఇండక్షన్ యొక్క ఉదాహరణ క్రింది విధంగా ఉంది: వెండి (లేదా వెండి లవణాలు) నీటిని శుద్ధి చేస్తుంది. ముగింపు అనేక సంవత్సరాల పరిశీలనలపై ఆధారపడి ఉంటుంది (ఒక రకమైన నిర్ధారణలు మరియు తిరస్కరణల ఎంపిక - ఎంపిక).

రెండవ రకం ఇండక్షన్ కారణ సంబంధాలను ఏర్పరుచుకునే మరియు దాని లక్షణాలకు అనుగుణంగా లేని పరిస్థితులను మినహాయించే తీర్మానాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది, అవి సార్వత్రికత, తాత్కాలిక క్రమానికి కట్టుబడి ఉండటం, అవసరం మరియు అస్పష్టత.

తత్వశాస్త్రం యొక్క స్థానం నుండి ప్రేరణ మరియు తగ్గింపు

చారిత్రాత్మకంగా తిరిగి చూస్తే, ఇండక్షన్ అనే పదాన్ని మొదట సోక్రటీస్ ప్రస్తావించారు. అరిస్టాటిల్ తత్వశాస్త్రంలో ప్రేరణ యొక్క ఉదాహరణలను మరింత ఉజ్జాయింపుగా పరిభాష నిఘంటువులో వివరించాడు, అయితే అసంపూర్ణ ప్రేరణ యొక్క ప్రశ్న తెరిచి ఉంది. అరిస్టాటిలియన్ సిలోజిజం యొక్క హింస తర్వాత, ప్రేరక పద్ధతి ఫలవంతమైనదిగా మరియు సహజ శాస్త్రంలో సాధ్యమయ్యే ఏకైక పద్ధతిగా గుర్తించడం ప్రారంభమైంది. బేకన్ ఒక స్వతంత్ర ప్రత్యేక పద్ధతిగా ఇండక్షన్ యొక్క పితామహుడిగా పరిగణించబడ్డాడు, అయితే అతని సమకాలీనులు కోరినట్లుగా, అతను ఇండక్షన్‌ను తగ్గింపు పద్ధతి నుండి వేరు చేయడంలో విఫలమయ్యాడు.

J. మిల్ చేత ఇండక్షన్ మరింత అభివృద్ధి చేయబడింది, అతను నాలుగు ప్రధాన పద్ధతుల దృక్కోణం నుండి ప్రేరక సిద్ధాంతాన్ని పరిగణించాడు: ఒప్పందం, వ్యత్యాసం, అవశేషాలు మరియు సంబంధిత మార్పులు. ఈ రోజు జాబితా చేయబడిన పద్ధతులు, వివరంగా పరిశీలించినప్పుడు, తగ్గింపుగా ఉండటంలో ఆశ్చర్యం లేదు.

బేకన్ మరియు మిల్ సిద్ధాంతాల అస్థిరత యొక్క అవగాహన శాస్త్రవేత్తలు ఇండక్షన్ యొక్క సంభావ్య ప్రాతిపదికను అధ్యయనం చేయడానికి దారితీసింది. అయినప్పటికీ, ఇక్కడ కూడా కొన్ని విపరీతాలు ఉన్నాయి: అన్ని తదుపరి పరిణామాలతో సంభావ్యత సిద్ధాంతానికి ప్రేరణను తగ్గించడానికి ప్రయత్నాలు జరిగాయి.

ఇండక్షన్ నిర్దిష్ట సబ్జెక్ట్ ప్రాంతాలలో ప్రాక్టికల్ అప్లికేషన్ ద్వారా విశ్వాసం యొక్క ఓటును పొందుతుంది మరియు ప్రేరక ప్రాతిపదిక యొక్క మెట్రిక్ ఖచ్చితత్వానికి ధన్యవాదాలు. తత్వశాస్త్రంలో ప్రేరణ మరియు తగ్గింపు యొక్క ఉదాహరణ సార్వత్రిక గురుత్వాకర్షణ నియమంగా పరిగణించబడుతుంది. చట్టం యొక్క ఆవిష్కరణ తేదీలో, న్యూటన్ దానిని 4 శాతం ఖచ్చితత్వంతో ధృవీకరించగలిగాడు. మరియు రెండు వందల సంవత్సరాల తర్వాత తనిఖీ చేసినప్పుడు, ఖచ్చితత్వం 0.0001 శాతం ఖచ్చితత్వంతో నిర్ధారించబడింది, అయినప్పటికీ ధృవీకరణ అదే ప్రేరక సాధారణీకరణల ద్వారా నిర్వహించబడింది.

ఆధునిక తత్వశాస్త్రం మినహాయింపుపై ఎక్కువ శ్రద్ధ చూపుతుంది, ఇది అనుభవం లేదా అంతర్ దృష్టిని ఆశ్రయించకుండా, "స్వచ్ఛమైన" తార్కికతను ఉపయోగించకుండా, ఇప్పటికే తెలిసిన వాటి నుండి కొత్త జ్ఞానాన్ని (లేదా సత్యాలను) పొందాలనే తార్కిక కోరిక ద్వారా నిర్దేశించబడుతుంది. తగ్గింపు పద్ధతిలో నిజమైన ప్రాంగణాన్ని సూచించేటప్పుడు, అన్ని సందర్భాల్లో అవుట్‌పుట్ నిజమైన ప్రకటన.

ఈ చాలా ముఖ్యమైన లక్షణం ప్రేరక పద్ధతి యొక్క విలువను కప్పివేయకూడదు. ఇండక్షన్, అనుభవం యొక్క విజయాల ఆధారంగా, దానిని ప్రాసెస్ చేసే సాధనంగా కూడా మారుతుంది (సాధారణీకరణ మరియు వ్యవస్థీకరణతో సహా).

ఆర్థికశాస్త్రంలో ఇండక్షన్ అప్లికేషన్

ఇండక్షన్ మరియు తగ్గింపు ఆర్థిక వ్యవస్థను అధ్యయనం చేయడానికి మరియు దాని అభివృద్ధిని అంచనా వేయడానికి చాలా కాలంగా పద్ధతులుగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి.

ఇండక్షన్ పద్ధతి యొక్క ఉపయోగం యొక్క పరిధి చాలా విస్తృతమైనది: సూచన సూచికల నెరవేర్పును అధ్యయనం చేయడం (లాభాలు, తరుగుదల మొదలైనవి) మరియు సంస్థ యొక్క స్థితి యొక్క సాధారణ అంచనా; వాస్తవాలు మరియు వాటి సంబంధాల ఆధారంగా సమర్థవంతమైన ఎంటర్‌ప్రైజ్ ప్రమోషన్ పాలసీని రూపొందించడం.

ఇండక్షన్ యొక్క అదే పద్ధతి "షెవార్ట్ మ్యాప్స్"లో ఉపయోగించబడుతుంది, ఇక్కడ, ప్రక్రియల విభజనను నియంత్రిత మరియు అనియంత్రితంగా విభజించడం ద్వారా, నియంత్రిత ప్రక్రియ యొక్క ఫ్రేమ్‌వర్క్ నిష్క్రియంగా ఉందని పేర్కొనబడింది.

ఇండక్షన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి శాస్త్రీయ చట్టాలు నిరూపించబడ్డాయి మరియు ధృవీకరించబడతాయని గమనించాలి మరియు ఆర్థికశాస్త్రం అనేది గణిత విశ్లేషణ, ప్రమాద సిద్ధాంతం మరియు గణాంకాలను తరచుగా ఉపయోగించే శాస్త్రం కాబట్టి, ఇండక్షన్ ప్రధాన పద్ధతుల జాబితాలో ఉండటంలో ఆశ్చర్యం లేదు.

ఆర్థిక శాస్త్రంలో ఇండక్షన్ మరియు తగ్గింపుకు ఉదాహరణ క్రింది పరిస్థితి. ఆహారం (వినియోగదారుల బుట్ట నుండి) మరియు నిత్యావసర వస్తువుల ధరల పెరుగుదల రాష్ట్రంలో పెరుగుతున్న అధిక ధర (ఇండక్షన్) గురించి ఆలోచించేలా చేస్తుంది. అదే సమయంలో, అధిక ధరల వాస్తవం నుండి, గణిత పద్ధతులను ఉపయోగించి, వ్యక్తిగత వస్తువులు లేదా వస్తువుల వర్గాలకు (తగ్గింపు) ధర పెరుగుదల సూచికలను పొందడం సాధ్యమవుతుంది.

చాలా తరచుగా, నిర్వహణ సిబ్బంది, నిర్వాహకులు మరియు ఆర్థికవేత్తలు ఇండక్షన్ పద్ధతికి మారతారు. సంస్థ యొక్క అభివృద్ధి, మార్కెట్ ప్రవర్తన మరియు పోటీ యొక్క పరిణామాలను తగినంత నిజాయితీతో అంచనా వేయడానికి, సమాచారం యొక్క విశ్లేషణ మరియు ప్రాసెసింగ్‌కు ప్రేరక-తగింపు విధానం అవసరం.

తప్పుడు తీర్పులకు సంబంధించిన ఆర్థికశాస్త్రంలో ప్రేరణకు స్పష్టమైన ఉదాహరణ:

• కంపెనీ లాభం 30% తగ్గింది;
  ఒక పోటీ సంస్థ తన ఉత్పత్తి శ్రేణిని విస్తరించింది;
  ఇంకేమీ మారలేదు;
• పోటీ సంస్థ యొక్క ఉత్పత్తి విధానం లాభాలలో 30% తగ్గింపుకు కారణమైంది;
• కాబట్టి, అదే ఉత్పత్తి విధానాన్ని అమలు చేయాలి.

ఇండక్షన్ పద్ధతి యొక్క అసమర్థ ఉపయోగం సంస్థ యొక్క నాశనానికి ఎలా దోహదపడుతుందో ఉదాహరణగా రంగురంగుల ఉదాహరణ.

మనస్తత్వశాస్త్రంలో తగ్గింపు మరియు ప్రేరణ

ఒక పద్ధతి ఉన్నందున, తార్కికంగా, సరిగ్గా వ్యవస్థీకృత ఆలోచన (పద్ధతిని ఉపయోగించడానికి) కూడా ఉంది. మానసిక ప్రక్రియలు, వాటి నిర్మాణం, అభివృద్ధి, సంబంధాలు, పరస్పర చర్యలను అధ్యయనం చేసే శాస్త్రంగా మనస్తత్వశాస్త్రం, తగ్గింపు మరియు ఇండక్షన్ యొక్క అభివ్యక్తి రూపాలలో ఒకటిగా "డడక్టివ్" ఆలోచనకు శ్రద్ధ చూపుతుంది. దురదృష్టవశాత్తు, ఇంటర్నెట్‌లోని మనస్తత్వ శాస్త్ర పేజీలలో తగ్గింపు-ప్రేరక పద్ధతి యొక్క సమగ్రతకు ఆచరణాత్మకంగా ఎటువంటి సమర్థన లేదు. వృత్తిపరమైన మనస్తత్వవేత్తలు తరచుగా ఇండక్షన్ యొక్క వ్యక్తీకరణలను ఎదుర్కొన్నప్పటికీ, లేదా బదులుగా, తప్పు ముగింపులు.

మనస్తత్వశాస్త్రంలో ఇండక్షన్ యొక్క ఉదాహరణ, తప్పుడు తీర్పుల ఉదాహరణగా, ఈ ప్రకటన: నా తల్లి మోసం చేస్తోంది, అందువల్ల, మహిళలందరూ మోసగాళ్లు. మీరు జీవితం నుండి ఇండక్షన్ యొక్క మరింత "తప్పు" ఉదాహరణలను సేకరించవచ్చు:

• గణితంలో చెడ్డ గ్రేడ్ వస్తే విద్యార్థి దేనికీ అసమర్థుడు;
• అతడు మూర్ఖుడు;
• అతడు చురుకైనవాడు;
• నేను ఏదైనా చేయగలను;

మరియు అనేక ఇతర విలువ తీర్పులు పూర్తిగా యాదృచ్ఛికంగా మరియు కొన్ని సమయాల్లో, ప్రాముఖ్యత లేని ప్రాంగణాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి.

ఇది గమనించాలి: ఒక వ్యక్తి యొక్క తీర్పు యొక్క తప్పు అసంబద్ధత స్థాయికి చేరుకున్నప్పుడు, మానసిక చికిత్సకుడికి పని యొక్క సరిహద్దు కనిపిస్తుంది. నిపుణుల నియామకంలో ఇండక్షన్ యొక్క ఒక ఉదాహరణ:

“రోగి ఎరుపు రంగు తనకు ఏ రూపంలోనైనా ప్రమాదకరమని ఖచ్చితంగా తెలుసు. ఫలితంగా, వ్యక్తి తన జీవితం నుండి ఈ రంగు పథకాన్ని మినహాయించాడు - వీలైనంత. ఇంట్లో సౌకర్యవంతంగా ఉండటానికి అనేక అవకాశాలు ఉన్నాయి. మీరు అన్ని ఎరుపు వస్తువులను తిరస్కరించవచ్చు లేదా వాటిని వేరే రంగు పథకంలో చేసిన అనలాగ్‌లతో భర్తీ చేయవచ్చు. కానీ బహిరంగ ప్రదేశాల్లో, పనిలో, దుకాణంలో - ఇది అసాధ్యం. ఒక రోగి ఒత్తిడితో కూడిన పరిస్థితిలో తనను తాను కనుగొన్నప్పుడు, ప్రతిసారీ అతను పూర్తిగా భిన్నమైన భావోద్వేగ స్థితుల యొక్క "పోటు"ను అనుభవిస్తాడు, ఇది ఇతరులకు ప్రమాదాన్ని కలిగిస్తుంది.

ప్రేరణ మరియు అపస్మారక ప్రేరణ యొక్క ఈ ఉదాహరణను "స్థిర ఆలోచనలు" అంటారు. ఇది మానసికంగా ఆరోగ్యకరమైన వ్యక్తికి జరిగితే, మానసిక కార్యకలాపాల సంస్థ లేకపోవడం గురించి మనం మాట్లాడవచ్చు. అబ్సెసివ్ స్టేట్స్ వదిలించుకోవడానికి ఒక మార్గం తగ్గింపు ఆలోచన యొక్క ప్రాథమిక అభివృద్ధి. ఇతర సందర్భాల్లో, మనోరోగ వైద్యులు అటువంటి రోగులతో పని చేస్తారు.

ఇండక్షన్ యొక్క పై ఉదాహరణలు "చట్టం యొక్క అజ్ఞానం మిమ్మల్ని పరిణామాల నుండి (తప్పుడు తీర్పుల) మినహాయించదు" అని సూచిస్తున్నాయి.

మనస్తత్వవేత్తలు, డిడక్టివ్ థింకింగ్ అంశంపై పనిచేస్తున్నారు, ప్రజలు ఈ పద్ధతిని నేర్చుకోవడంలో సహాయపడటానికి రూపొందించిన సిఫార్సుల జాబితాను సంకలనం చేశారు.

మొదటి పాయింట్ సమస్య పరిష్కారం. చూడగలిగినట్లుగా, గణితంలో ఉపయోగించే ఇండక్షన్ రూపాన్ని "క్లాసికల్" గా పరిగణించవచ్చు మరియు ఈ పద్ధతి యొక్క ఉపయోగం మనస్సు యొక్క "క్రమశిక్షణ"కు దోహదం చేస్తుంది.

తగ్గింపు ఆలోచన అభివృద్ధికి తదుపరి షరతు ఒకరి క్షితిజాలను విస్తరించడం (స్పష్టంగా ఆలోచించే వారు తమను తాము స్పష్టంగా వ్యక్తం చేస్తారు). ఈ సిఫార్సు సైన్స్ మరియు సమాచారం (లైబ్రరీలు, వెబ్‌సైట్‌లు, విద్యా కార్యక్రమాలు, ప్రయాణం మొదలైనవి) ట్రెజరీలకు "బాధ"ని నిర్దేశిస్తుంది.

"మానసిక ప్రేరణ" అని పిలవబడే వాటి గురించి ప్రత్యేకంగా ప్రస్తావించాలి. ఈ పదం, తరచుగా కానప్పటికీ, ఇంటర్నెట్‌లో కనుగొనవచ్చు. అన్ని మూలాధారాలు ఈ పదం యొక్క నిర్వచనానికి కనీసం సంక్షిప్త సూత్రీకరణను అందించవు, అయితే "జీవితం నుండి ఉదాహరణలు" అని సూచిస్తాయి, అయితే ఒక కొత్త రకం ప్రేరణగా సూచించడం లేదా కొన్ని రకాల మానసిక అనారోగ్యం లేదా తీవ్రమైన స్థితి మానవ మనస్తత్వం. పైన పేర్కొన్న అన్నింటి నుండి, తప్పుడు (తరచుగా అవాస్తవ) ప్రాంగణాల ఆధారంగా "కొత్త పదం"ను రూపొందించే ప్రయత్నం ప్రయోగాత్మకంగా తప్పుగా (లేదా తొందరపాటు) ప్రకటనను పొందేలా చేస్తుంది.

1960 నాటి ప్రయోగాలకు సంబంధించిన సూచన (స్థానం, ప్రయోగాత్మకుల పేర్లు, విషయాల నమూనా మరియు ముఖ్యంగా, ప్రయోగం యొక్క ఉద్దేశ్యం సూచించకుండా) తేలికగా చెప్పాలంటే, నమ్మశక్యం కానిదిగా మరియు అవగాహన యొక్క అన్ని అవయవాలను దాటవేసే సమాచారాన్ని మెదడు గ్రహిస్తుంది అనే ప్రకటన (ఈ సందర్భంలో "ప్రభావితం" అనే పదబంధం మరింత సేంద్రీయంగా సరిపోతుంది), ప్రకటన రచయిత యొక్క మోసపూరిత మరియు విమర్శనాత్మకత గురించి ఆలోచించేలా చేస్తుంది.

ముగింపుకు బదులుగా

శాస్త్రాల రాణి, గణిత శాస్త్రం, ఇండక్షన్ మరియు తగ్గింపు పద్ధతి యొక్క అన్ని నిల్వలను ఉపయోగిస్తుంది. పరిగణించబడిన ఉదాహరణలు చాలా ఖచ్చితమైన మరియు నమ్మదగిన పద్ధతుల యొక్క ఉపరితలం మరియు అసమర్థమైన (ఆలోచనలేని, వారు చెప్పినట్లుగా) అప్లికేషన్ ఎల్లప్పుడూ తప్పు ఫలితాలకు దారితీస్తుందని నిర్ధారించడానికి మాకు అనుమతిస్తాయి.

సామూహిక స్పృహలో, తగ్గింపు పద్ధతి ప్రసిద్ధ షెర్లాక్ హోమ్స్‌తో ముడిపడి ఉంది, అతను తన తార్కిక నిర్మాణాలలో సరైన పరిస్థితులలో తగ్గింపును ఉపయోగించి ఇండక్షన్ యొక్క ఉదాహరణలను తరచుగా ఉపయోగిస్తాడు.

వ్యాసం వివిధ శాస్త్రాలు మరియు మానవ కార్యకలాపాల రంగాలలో ఈ పద్ధతుల యొక్క అప్లికేషన్ యొక్క ఉదాహరణలను పరిశీలించింది.

MBOU లైసియం "టెక్నికల్ అండ్ ఎకనామిక్"

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి.

వివరణాత్మక గమనిక

పద్దతి అభివృద్ధి "గణిత ప్రేరణ పద్ధతి" గణిత ప్రొఫైల్ యొక్క 10 వ తరగతి విద్యార్థుల కోసం సంకలనం చేయబడింది.

ప్రాథమిక లక్ష్యాలు: గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని విద్యార్థులకు పరిచయం చేయడం మరియు వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించడంలో దానిని ఎలా ఉపయోగించాలో నేర్పడం.

మెథడాలాజికల్ డెవలప్‌మెంట్ ప్రాథమిక గణిత శాస్త్ర సమస్యలను పరిష్కరిస్తుంది: విభజన సమస్యలు, గుర్తింపుల రుజువు, అసమానతల రుజువు, ఒలింపియాడ్స్‌లో ప్రతిపాదించిన సమస్యలతో సహా వివిధ స్థాయిల సంక్లిష్టత సమస్యలు ప్రతిపాదించబడ్డాయి.

ప్రయోగాత్మక శాస్త్రాలలో ప్రేరక ముగింపుల పాత్ర చాలా గొప్పది. వారు ఆ నిబంధనలను ఇస్తారు, దాని నుండి తగ్గింపు ద్వారా తదుపరి ముగింపులు తీసుకోబడతాయి. పేరు గణిత ప్రేరణ యొక్క పద్ధతిమోసపూరితం - వాస్తవానికి, ఈ పద్ధతి తగ్గింపు మరియు ఇండక్షన్ ద్వారా ఊహించిన స్టేట్‌మెంట్‌ల యొక్క కఠినమైన రుజువును అందిస్తుంది. గణిత ప్రేరణ యొక్క పద్ధతి గణితశాస్త్రంలోని వివిధ శాఖల మధ్య సంబంధాలను గుర్తించడంలో సహాయపడుతుంది మరియు విద్యార్థి యొక్క గణిత సంస్కృతి అభివృద్ధికి సహాయపడుతుంది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క నిర్వచనం. పూర్తి మరియు అసంపూర్ణ ప్రేరణ. అసమానతలకు రుజువు. గుర్తింపు రుజువు. విభజన సమస్యలను పరిష్కరించడం. "గణిత ప్రేరణ పద్ధతి" అనే అంశంపై వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించడం.

ఉపాధ్యాయుల కోసం సాహిత్యం

1. M.L. గలిట్స్కీ. బీజగణితం మరియు గణిత విశ్లేషణ కోర్సు యొక్క లోతైన అధ్యయనం. – M. విద్య. 1986.

2. L.I.Zvavich. బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ ప్రారంభం. సందేశాత్మక పదార్థాలు. M. బస్టర్డ్.2001.

3. N.Ya.Vilenkin. బీజగణితం మరియు గణిత విశ్లేషణ. M జ్ఞానోదయం.1995.

4. యు.వి.మిఖీవ్. గణిత ప్రేరణ పద్ధతి. NSU.1995.

విద్యార్థుల కోసం సాహిత్యం

1. N.Ya.Vilenkin. బీజగణితం మరియు గణిత విశ్లేషణ. M జ్ఞానోదయం.1995.

2. యు.వి.మిఖీవ్. గణిత ప్రేరణ పద్ధతి. NSU.1995.

కీలకపదాలు

ఇండక్షన్, సిద్ధాంతం, గణిత ప్రేరణ సూత్రం, పూర్తి ఇండక్షన్, అసంపూర్ణ ప్రేరణ, ప్రకటన, గుర్తింపు, అసమానత, విభజన.

టాపిక్‌కి డిడాక్టిక్ అనుబంధం

"మెథడ్ ఆఫ్ మ్యాథమెటికల్ ఇండక్షన్".

పాఠము 1.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క నిర్వచనం.

గణిత ప్రేరణ యొక్క పద్ధతి కొత్త ఫలితాల కోసం శోధించడానికి మరియు చేసిన ఊహల సత్యాన్ని నిరూపించడానికి అత్యంత ప్రభావవంతమైన పద్ధతుల్లో ఒకటి. గణితంలో ఈ పద్ధతి కొత్తది కానప్పటికీ, దానిపై ఆసక్తి తగ్గదు. స్పష్టమైన ప్రదర్శనలో మొదటిసారిగా, గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని 17వ శతాబ్దంలో అత్యుత్తమ ఫ్రెంచ్ శాస్త్రవేత్త బ్లెయిస్ పాస్కల్ సంఖ్య త్రిభుజం యొక్క లక్షణాలను రుజువు చేసేటప్పుడు ఉపయోగించారు, ఇది అతని పేరును కలిగి ఉంది. అయినప్పటికీ, గణిత ప్రేరణ యొక్క ఆలోచన పురాతన గ్రీకులకు తెలుసు. గణిత ప్రేరణ యొక్క పద్ధతి గణిత ప్రేరణ సూత్రంపై ఆధారపడి ఉంటుంది, ఇది ఒక సిద్ధాంతంగా అంగీకరించబడుతుంది. ఉదాహరణలను ఉపయోగించి గణిత ప్రేరణ యొక్క ఆలోచనను చూద్దాం.

ఉదాహరణ సంఖ్య 1.

చతురస్రం ఒక సెగ్మెంట్ ద్వారా రెండు భాగాలుగా విభజించబడింది, అప్పుడు ఫలిత భాగాలలో ఒకటి రెండు భాగాలుగా విభజించబడింది మరియు మొదలైనవి. చతురస్రం ఎన్ని భాగాలుగా విభజించబడుతుందో నిర్ణయించండి పిఅడుగులు?

పరిష్కారం.

మొదటి దశ తర్వాత, పరిస్థితి ప్రకారం, మేము 2 భాగాలను పొందుతాము. రెండవ దశలో, మేము ఒక భాగాన్ని మార్చకుండా వదిలివేస్తాము మరియు రెండవ భాగాన్ని 2 భాగాలుగా విభజించి 3 భాగాలను పొందండి. మూడవ దశలో, మేము 2 భాగాలను మార్చకుండా వదిలివేస్తాము మరియు మూడవ భాగాన్ని రెండు భాగాలుగా విభజించి 4 భాగాలను పొందండి. నాల్గవ దశలో, మేము 3 భాగాలను మార్చకుండా వదిలివేస్తాము మరియు చివరి భాగాన్ని రెండు భాగాలుగా విభజించి 5 భాగాలను పొందండి. ఐదవ దశలో మనకు 6 భాగాలు లభిస్తాయి. దీని ద్వారా ఆ సూచనను వేడుకున్నారు పిమేము పొందే దశలు (n+1)భాగం. కానీ ఈ ప్రతిపాదన నిరూపించబడాలి. ఆ తర్వాత అనుకుందాం కుచతురస్రం దశలుగా విభజించబడింది (k+1)భాగం. తర్వాత (k+1)మేము వేసే అడుగు కుభాగాలు మారకుండా ఉంటాయి, కానీ (k+1)భాగాన్ని రెండు భాగాలుగా విభజించి పొందండి (k+2)భాగాలు. మీకు నచ్చినంత కాలం మీరు ఈ విధంగా వాదించవచ్చని మీరు గమనించవచ్చు, ప్రకటన అనంతం. అంటే, మా ఊహ దాని ద్వారా పిచతురస్రం దశలుగా విభజించబడింది (n+1)భాగం నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ సంఖ్య 2.

నా అమ్మమ్మ నిజంగా జామ్‌ను ఇష్టపడే మనవరాలు మరియు ముఖ్యంగా లీటరు కూజాలో వచ్చే రకం. కానీ అమ్మమ్మ నన్ను ముట్టుకోనివ్వలేదు. ఇక మనవరాలు అమ్మమ్మను మోసం చేయాలని ప్లాన్ చేశారు. అతను ప్రతిరోజూ ఈ కూజా నుండి 1/10 లీటరు తినాలని నిర్ణయించుకున్నాడు మరియు దానిని నీటితో నింపి, పూర్తిగా కలపాలి. నీళ్లతో సగానికి పలుచన చేస్తే జామ్ కనిపించకుండా అలాగే ఉంటే బామ్మ మోసాన్ని కనిపెట్టడానికి ఎన్ని రోజులు పడుతుంది?

పరిష్కారం.

తర్వాత కూజాలో ఎంత స్వచ్ఛమైన జామ్ మిగిలి ఉందో తెలుసుకుందాం పిరోజులు. మొదటి రోజు తర్వాత, 9/10 జామ్ మరియు 1/10 నీటితో కూడిన మిశ్రమం కూజాలో ఉంటుంది. రెండు రోజుల తరువాత, నీరు మరియు జామ్ మిశ్రమంలో 1/10 కూజా నుండి అదృశ్యమవుతుంది మరియు అలాగే ఉంటుంది (1 లీటరు మిశ్రమంలో 9/10 లీటర్ల జామ్, 1/10 లీటర్ మిశ్రమంలో 9/100 లీటర్ల జామ్ ఉంటుంది. )

9/10 – 9/100=81/100=(9/10) 2 లీటర్ల జామ్. మూడవ రోజు, 81/100 జామ్ మరియు 19/100 నీటితో కూడిన మిశ్రమం యొక్క 1/10 లీటర్ కూజా నుండి అదృశ్యమవుతుంది. 1 లీటరు మిశ్రమంలో 81/100 లీటర్ల జామ్, 1/10 లీటర్ మిశ్రమంలో 81/1000 లీటర్ల జామ్ ఉంటుంది. 81/100 – 81/1000=

729/1000=(9/10) 3 లీటర్ల జామ్ 3 రోజుల తర్వాత ఉంటుంది మరియు మిగిలినది నీటి ద్వారా తీసుకోబడుతుంది. ఒక నమూనా బయటపడుతుంది. ద్వారా పిబ్యాంకులో మిగిలి ఉన్న రోజులు (9/10) పి l జామ్. కానీ ఇది మళ్ళీ, మా అంచనా మాత్రమే.

వీలు కు- ఏకపక్ష సహజ సంఖ్య. ఆ తర్వాత అనుకుందాం కురోజులు కూజాలో (9/10) లీటర్ల జామ్ మిగిలి ఉంటుంది. ఇంకో రోజు బ్యాంకులో ఏముంటుందో చూద్దాం (k+1)రోజు. కూజా నుండి అదృశ్యమవుతుంది 1/10లీకలిగి మిశ్రమం (9/10) కు ఎల్జామ్ మరియు నీరు. IN 1లీమిశ్రమం ఉంది (9/10) కు ఎల్జామ్, ఇన్ 1/10లీమిశ్రమాలు (9/10) k+1 ఎల్జామ్. ఇప్పుడు మనం సురక్షితంగా చెప్పగలం పిబ్యాంకులో రోజులు మిగిలాయి (9/10) పి ఎల్జామ్. 6 రోజుల్లో బ్యాంకు ఉంటుంది 531444/1000000lజామ్, 7 రోజుల తర్వాత - 4782969/10000000lజామ్, అంటే సగం కంటే తక్కువ.

సమాధానం: 7 రోజుల తర్వాత, అమ్మమ్మ మోసాన్ని కనుగొంటుంది.

పరిగణించబడిన సమస్యలను పరిష్కరించడంలో అత్యంత ముఖ్యమైన విషయాలను హైలైట్ చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం. మేము వ్యక్తిగతంగా లేదా వారు చెప్పినట్లుగా, ప్రత్యేక కేసులను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి పరిష్కరించడం ప్రారంభించాము. అప్పుడు, మా పరిశీలనల ఆధారంగా, మేము కొన్ని ఊహలను చేసాము P(n), సహజంగా ఆధారపడి ఉంటుంది పి.

ప్రకటన ధృవీకరించబడింది, అంటే నిరూపించబడింది P(1), P(2), P(3);

అని సూచించారు P(n)చెల్లుబాటు అవుతుంది p=kమరియు అది తరువాతి కాలంలో నిజమవుతుంది అని ముగించారు n, n=k+1.

ఆపై వారు ఇలా వాదించారు: పి(1)కుడి, P(2)కుడి, P(3)కుడి, P(4)సరి... అంటే సరైనది పి(పి)

గణిత ప్రేరణ సూత్రం.

ప్రకటన P(n), సహజంగా ఆధారపడి ఉంటుంది పి, అన్ని సహజమైన వాటికి చెల్లుబాటు అవుతుంది పి, ఉంటే

1) ప్రకటన యొక్క ప్రామాణికత ఎప్పుడు నిరూపించబడింది n=1;

2) ప్రకటన యొక్క చెల్లుబాటు యొక్క ఊహ నుండి P(n)వద్ద p=kఉండాలి

న్యాయం P(n)వద్ద n=k+1.

గణితంలో, గణిత ప్రేరణ సూత్రం, ఒక నియమం వలె, సంఖ్యల సహజ శ్రేణిని నిర్వచించే సిద్ధాంతాలలో ఒకటిగా ఎంపిక చేయబడింది మరియు అందువల్ల, రుజువు లేకుండా అంగీకరించబడుతుంది. గణిత ప్రేరణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రుజువు చేసే పద్ధతిని సాధారణంగా గణిత ప్రేరణ పద్ధతి అంటారు. ఈ పద్ధతి సిద్ధాంతాలు, గుర్తింపులు, విభజన సమస్యలను పరిష్కరించడంలో అసమానతలు మరియు అనేక ఇతర సమస్యలను నిరూపించడంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుందని గమనించండి.

పాఠం #2

పూర్తి మరియు అసంపూర్ణ ప్రేరణ.

ఒక గణిత ప్రకటన పరిమిత సంఖ్యలో వస్తువులకు సంబంధించిన సందర్భంలో, ప్రతి వస్తువును పరీక్షించడం ద్వారా దానిని నిరూపించవచ్చు, ఉదాహరణకు, "ప్రతి రెండు అంకెల సరి సంఖ్య రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తం." మేము పరిమిత సంఖ్యలో కేసుల కోసం స్టేట్‌మెంట్‌ను పరీక్షించే రుజువు పద్ధతిని పూర్తి గణిత ప్రేరణ అంటారు. ఈ పద్ధతి చాలా అరుదుగా ఉపయోగించబడుతుంది, ఎందుకంటే స్టేట్‌మెంట్‌లు చాలా తరచుగా అనంతమైన సెట్‌లలో పరిగణించబడతాయి. ఉదాహరణకు, “ఏదైనా సరి సంఖ్య రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తానికి సమానం” అనే సిద్ధాంతం ఇంకా నిరూపించబడలేదు లేదా నిరూపించబడలేదు. మేము మొదటి బిలియన్ కోసం ఈ సిద్ధాంతాన్ని పరీక్షించినప్పటికీ, అది దాని రుజువుకు ఒక్క అడుగు కూడా ముందుకు తీసుకురాదు.

సహజ శాస్త్రాలలో, అసంపూర్ణ ఇండక్షన్ ఉపయోగించబడుతుంది, ప్రయోగాన్ని అనేక సార్లు తనిఖీ చేయడం మరియు ఫలితాన్ని అన్ని సందర్భాల్లో బదిలీ చేయడం.

ఉదాహరణ సంఖ్య 3.

అసంపూర్ణ ఇండక్షన్ ఉపయోగించి, సహజ సంఖ్యల ఘనాల మొత్తానికి సూత్రాన్ని ఊహించుదాం.

పరిష్కారం.

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; ...; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .

రుజువు.

ఇది నిజం కానివ్వండి p=k.

అది నిజమని నిరూపిద్దాం n=k+1.

ముగింపు: సహజ సంఖ్యల ఘనాల మొత్తానికి సూత్రం ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు నిజం పి.

ఉదాహరణ సంఖ్య 4.

సమానత్వాలను పరిగణించండి మరియు ఈ ఉదాహరణలు ఏ సాధారణ చట్టానికి దారితీస్తాయో ఊహించండి.

పరిష్కారం.

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

ఉదాహరణ సంఖ్య 5.

కింది వ్యక్తీకరణలను మొత్తంగా వ్రాయండి:

1)
2)
3)
; 4)
.

గ్రీకు అక్షరం "సిగ్మా".

ఉదాహరణ సంఖ్య 6.

గుర్తును ఉపయోగించి క్రింది మొత్తాలను వ్రాయండి
:

2)

ఉదాహరణ సంఖ్య 7.

కింది వ్యక్తీకరణలను ఉత్పత్తులుగా వ్రాయండి:

1)

3)
4)

ఉదాహరణ సంఖ్య 8.

గుర్తును ఉపయోగించి క్రింది రచనలను వ్రాయండి

(పెద్ద గ్రీకు అక్షరం "పై")

1)
2)

ఉదాహరణ సంఖ్య 9.

బహుపది విలువను గణిస్తోంది f ( n )= n 2 + n +11 , వద్ద n=1,2,3,4.5,6,7 ఏదైనా సహజంగా ఒక ఊహ చేయవచ్చుపిసంఖ్య f ( n ) సాధారణ.

ఈ ఊహ సరైనదేనా?

పరిష్కారం.

మొత్తం యొక్క ప్రతి పదం ఒక సంఖ్యతో భాగించబడినట్లయితే, మొత్తం ఆ సంఖ్యతో భాగించబడుతుంది,
ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు ప్రధాన సంఖ్య కాదుపి.

పరిమిత సంఖ్యలో కేసుల విశ్లేషణ గణితంలో ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తుంది: నిర్దిష్ట ప్రకటనకు రుజువు ఇవ్వకుండా, ఈ ప్రకటన ఇంకా తెలియకపోతే సరైన సూత్రీకరణను అంచనా వేయడంలో సహాయపడుతుంది. ఈ విధంగా సెయింట్ పీటర్స్‌బర్గ్ అకాడమీ ఆఫ్ సైన్సెస్ సభ్యుడు గోల్డ్‌బాచ్, ఏ సహజ సంఖ్య అయినా, రెండుతో మొదలై, మూడు ప్రధాన సంఖ్యల కంటే ఎక్కువ ఉండకూడదనే పరికల్పనకు వచ్చారు.

పాఠం #3.

గణిత ప్రేరణ యొక్క పద్ధతి వివిధ గుర్తింపులను నిరూపించడానికి అనుమతిస్తుంది.

ఉదాహరణ సంఖ్య 10.ప్రతి ఒక్కరికీ అని నిరూపిద్దాం పిగుర్తింపు కలిగి ఉంటుంది

పరిష్కారం.

పెడతాం

అని మనం నిరూపించుకోవాలి

గుర్తింపు యొక్క సత్యం నుండి అప్పుడు అని నిరూపిద్దాం

గుర్తింపు యొక్క సత్యాన్ని అనుసరిస్తుంది

గణిత ప్రేరణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, గుర్తింపు యొక్క నిజం అందరికీ నిరూపించబడింది పి.

ఉదాహరణ సంఖ్య 11.

గుర్తింపు నిరూపిద్దాం

రుజువు.

ఫలితంగా వచ్చే సమానత్వం పదం వారీగా.

;
. ఈ గుర్తింపు ప్రతి ఒక్కరికీ నిజమైనదని దీని అర్థంపి .

పాఠం సంఖ్య 4.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి గుర్తింపు రుజువు.

ఉదాహరణ సంఖ్య 12. గుర్తింపు నిరూపిద్దాం

రుజువు.

గణిత ప్రేరణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, అందరికీ సమానత్వం నిజమైనదని మేము నిరూపించాము పి.

ఉదాహరణ సంఖ్య 13. గుర్తింపు నిరూపిద్దాం

రుజువు.

గణిత ప్రేరేపణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, ఈ ప్రకటన ఏదైనా సహజమైనదని మేము నిరూపించాము పి.

ఉదాహరణ సంఖ్య 14. గుర్తింపు నిరూపిద్దాం

రుజువు.

ఉదాహరణ సంఖ్య 15. గుర్తింపు నిరూపిద్దాం

1) n=1;

2) కోసం p=k సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది

3) సమానత్వం కోసం మేము నిరూపిస్తాము p=k+1:

ముగింపు: గుర్తింపు ఏదైనా సహజమైనదానికి చెల్లుతుంది పి.

ఉదాహరణ సంఖ్య 16.గుర్తింపు నిరూపిద్దాం

రుజువు.

ఉంటే n=1 , ఆ

గుర్తింపును నిలబెట్టుకోనివ్వండి p=k.

గుర్తింపు కోసం అని నిరూపిద్దాం n=k+1.

అప్పుడు ఏ సహజమైనా గుర్తింపు నిజమైనది పి.

పాఠం సంఖ్య 5.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి గుర్తింపు రుజువు.

ఉదాహరణ సంఖ్య 17.గుర్తింపు నిరూపిద్దాం

రుజువు.

ఉంటే n=2 , అప్పుడు మనకు సరైన సమానత్వం లభిస్తుంది:

సమానత్వం నిజం కానివ్వండిp=k:

ప్రకటన యొక్క చెల్లుబాటును ఎప్పుడు నిరూపిద్దాం n=k+1.

గణిత ప్రేరణ సూత్రం ప్రకారం, గుర్తింపు నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ సంఖ్య 18. గుర్తింపు నిరూపిద్దాం
n≥2 ఉన్నప్పుడు.

వద్ద n=2 ఈ గుర్తింపు చాలా సులభమైన రూపంలో తిరిగి వ్రాయబడుతుంది

మరియు స్పష్టంగా నిజం.

వద్ద లెట్ p=kనిజంగా

.

ప్రకటన యొక్క చెల్లుబాటును ఎప్పుడు నిరూపిద్దాంn=k+1, అంటే, సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది: .

కాబట్టి, ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు గుర్తింపు నిజమైనదని మేము నిరూపించాము n≥2.

ఉదాహరణ సంఖ్య 19. గుర్తింపు నిరూపిద్దాం

వద్ద n=1 మేము సరైన సమానత్వాన్ని పొందుతాము:

అది ఎప్పుడనే అనుకుందాం p=kమేము సరైన సమానత్వాన్ని కూడా పొందుతాము:

సమానత్వం చెల్లుతుందని నిరూపిద్దాం p=k+1:

అప్పుడు ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు గుర్తింపు చెల్లుతుంది పి.

పాఠం సంఖ్య 6.

విభజన సమస్యలను పరిష్కరించడం.

ఉదాహరణ సంఖ్య 20.అని గణిత ప్రేరణ ద్వారా నిరూపించండి

భాగించబడిన 6 ఆధారం లేకుండా.

రుజువు.

వద్ద n=1 ఒక విభజన ఉంది6 ఆధారం లేకుండా,
.

వద్ద లెట్ p=k వ్యక్తీకరణ
బహుళ6.

అది ఎప్పుడొస్తుందో నిరూపిద్దాం p=k+1 వ్యక్తీకరణ
బహుళ6 .

ప్రతి పదం బహుళమైనది 6 , కాబట్టి మొత్తం మల్టిపుల్ 6 .

ఉదాహరణ సంఖ్య 21.
పై5 ఆధారం లేకుండా.

రుజువు.

వద్ద n=1 వ్యక్తీకరణ మిగిలిన లేకుండా విభజించబడింది
.

వద్ద లెట్ p=k వ్యక్తీకరణ
గా కూడా విభజించబడింది5 ఆధారం లేకుండా.

వద్ద p=k+1భాగించబడిన 5 .

ఉదాహరణ సంఖ్య 22. వ్యక్తీకరణ యొక్క విభజనను నిరూపించండి
పై16.

రుజువు.

వద్ద n=1బహుళ 16 .

వద్ద లెట్ p=k
బహుళ16.

వద్ద p=k+1

అన్ని నిబంధనలు భాగించబడతాయి 16: మొదటిది స్పష్టంగా ఉంటుంది, రెండవది ఊహ ద్వారా, మరియు మూడవది బ్రాకెట్లలో సరి సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ సంఖ్య 23. విభజనను నిరూపించండి
పై676.

రుజువు.

ముందుగా దానిని నిరూపిద్దాం
భాగించబడిన
.

వద్ద n=0
.

వద్ద లెట్ p=k
భాగించబడిన26 .

అప్పుడు వద్ద p=k+1భాగించబడిన 26 .

ఇప్పుడు మేము సమస్య ప్రకటనలో రూపొందించిన ప్రకటన యొక్క రుజువును అమలు చేస్తాము.

వద్ద n=1భాగించబడిన 676.

వద్ద p=k అది నిజం
భాగించబడిన26 2 .

వద్ద p=k+1 .

రెండు పదాలు భాగించబడతాయి 676 ; మొదటిది - ఎందుకంటే మేము విభజనను నిరూపించాము 26 కుండలీకరణాల్లో వ్యక్తీకరణ, మరియు రెండవది ఇండక్షన్ యొక్క ఊహ ప్రకారం విభజించబడింది.

పాఠం సంఖ్య 7.

విభజన సమస్యలను పరిష్కరించడం.

ఉదాహరణ సంఖ్య 24.

నిరూపించు
భాగించబడిన5 ఆధారం లేకుండా.

రుజువు.

వద్ద n=1
భాగించబడిన5.

వద్ద p=k
భాగించబడిన5 ఆధారం లేకుండా.

వద్ద p=k+1 ప్రతి పదం ద్వారా విభజించబడింది5 ఆధారం లేకుండా.

ఉదాహరణ సంఖ్య 25.

నిరూపించు
భాగించబడిన6 ఆధారం లేకుండా.

రుజువు.

వద్ద n=1
భాగించబడిన6 ఆధారం లేకుండా.

వద్ద లెట్ p=k
భాగించబడిన6 ఆధారం లేకుండా.

వద్ద p=k+1భాగించబడిన 6 శేషం లేకుండా, ప్రతి పదం ద్వారా భాగించబడుతుంది6 మిగిలినవి లేకుండా: మొదటి పదం ఇండక్షన్ పరికల్పన ద్వారా, రెండవది స్పష్టంగా ఉంటుంది, మూడవది ఎందుకంటే
సరి సంఖ్య.

ఉదాహరణ సంఖ్య 26.

నిరూపించు
విభజించినప్పుడు9 మిగిలినది ఇస్తుంది 1 .

రుజువు.

అని నిరూపిద్దాం
భాగించబడిన9 .

వద్ద n=1
భాగించబడిన 9 . వద్ద లెట్ p=k
భాగించబడిన9 .

వద్ద p=k+1భాగించబడిన 9 .

ఉదాహరణ సంఖ్య 27.

దీని ద్వారా భాగించబడుతుందని నిరూపించండి15 ఆధారం లేకుండా.

రుజువు.

వద్ద n=1భాగించబడిన 15 .

వద్ద లెట్ p=kభాగించబడిన 15 ఆధారం లేకుండా.

వద్ద p=k+1

మొదటి పదం బహుళమైనది15 ఇండక్షన్ పరికల్పన ద్వారా, రెండవ పదం గుణకం15 - సహజంగానే, మూడవ పదం గుణకం15 , ఎందుకంటే
బహుళ5 (ఉదాహరణ సంఖ్య 21లో నిరూపించబడింది), నాల్గవ మరియు ఐదవ పదాలు కూడా గుణకాలు5 , ఇది స్పష్టంగా ఉంటుంది, అప్పుడు మొత్తం మల్టిపుల్15 .

పాఠం సంఖ్య 8-9.

గణిత ప్రేరణ ద్వారా అసమానతలను రుజువు చేయడం

ఉదాహరణ సంఖ్య 28.
.

వద్ద n=1మన దగ్గర ఉంది
- కుడి.

వద్ద లెట్ p=k
- నిజమైన అసమానత.

వద్ద p=k+1

అప్పుడు అసమానత ఏదైనా సహజంగా చెల్లుతుంది పి.

ఉదాహరణ సంఖ్య 29.అసమానత నిజమని నిరూపించండి
ఏదైనా వద్ద పి.

వద్ద n=1మేము సరైన అసమానతను పొందుతాము 4 >1.

వద్ద లెట్ p=kఅసమానత నిజం
.

అది ఎప్పుడొస్తుందో నిరూపిద్దాం p=k+1అసమానత నిజం

ఏదైనా సహజ కోసం కుఅసమానత ఉంది.

ఉంటే
వద్ద
ఆ

ఉదాహరణ సంఖ్య 30.

ఏదైనా సహజ కింద పిమరియు ఏదైనా

వీలు n=1
, సరియైనది.

అసమానత కొనసాగుతుందని అనుకుందాం p=k:
.

వద్ద p=k+1

ఉదాహరణ సంఖ్య 31.అసమానత యొక్క ప్రామాణికతను నిరూపించండి

ఏదైనా సహజ కింద పి.

ఏదైనా సహజమైనదని మొదట నిరూపిద్దాం టిఅసమానత నిజం

అసమానత యొక్క రెండు వైపులా గుణిద్దాం
. మేము సమానమైన అసమానతను పొందుతాము లేదా
;
; - ఈ అసమానత ఏదైనా సహజంగా ఉంటుంది టి.

వద్ద n=1అసలు అసమానత సరైనది
;
;
.

అసమానతను నిలబెట్టుకోనివ్వండి p=k:
.

వద్ద p=k+1

పాఠం సంఖ్య 10.

అంశంపై సమస్యలను పరిష్కరించడం

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి.

ఉదాహరణ సంఖ్య 32.బెర్నౌలీ అసమానతను నిరూపించండి.

ఉంటే
, అప్పుడు అన్ని సహజ విలువలకుపి అసమానత కలిగి ఉంటుంది

రుజువు.

వద్ద n=1 నిరూపించబడుతున్న అసమానత రూపాన్ని తీసుకుంటుంది
మరియు స్పష్టంగా న్యాయమైనది. ఇది నిజం అని అనుకుందాంp=k , అంటే ఏమిటి
.

షరతు ప్రకారం
, ఆ
, అందువలన అసమానత దాని రెండు భాగాలను గుణించినప్పుడు దాని అర్థాన్ని మార్చదు
:

ఎందుకంటే
, అప్పుడు మేము దానిని పొందుతాము

.

కాబట్టి, అసమానత నిజం n=1, మరియు దాని సత్యం నుండి p=kఅది నిజమే అయినప్పటికీ n=k+1.దీని అర్థం, గణిత ప్రేరేపణ ద్వారా, ఇది అన్ని సహజంగా ఉంటుంది పి.

ఉదాహరణకి,

ఉదాహరణ సంఖ్య 33. అన్ని సహజ విలువలను కనుగొనండిపి , దీనికి అసమానత నిజం

పరిష్కారం.

వద్ద n=1అసమానత న్యాయమైనది. వద్ద n=2అసమానత కూడా నిజం.

వద్ద n=3అసమానత ఇకపై ఉండదు. కేవలం ఎప్పుడైతే n=6అసమానత కలిగి ఉంది, కాబట్టి మనం ఇండక్షన్ ఆధారంగా తీసుకోవచ్చు n=6.

అసమానత కొంత సహజంగా నిజమని అనుకుందాం వీరికి:

అసమానతను పరిగణించండి

చివరి అసమానత ఉంటే సంతృప్తి చెందుతుంది
టాపిక్‌పై పరీక్ష పని p=1 పునరావృతంగా ఇవ్వబడుతుంది: p≥5, ఎక్కడ పి--సహజ సంఖ్య.

పీనో యొక్క సూత్రం 4 ఆధారంగా రుజువు పద్ధతి అనేక గణిత లక్షణాలను మరియు వివిధ ప్రకటనలను నిరూపించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. దీనికి ఆధారం ఈ క్రింది సిద్ధాంతం.

సిద్ధాంతం. ప్రకటన ఉంటే A(n)సహజ వేరియబుల్ తో nకోసం నిజమైన n= 1 మరియు ఇది నిజం అనే వాస్తవం నుండి n = k, తదుపరి సంఖ్యకు ఇది నిజం అని అనుసరిస్తుంది n=k,అప్పుడు ప్రకటన A(n) n.

రుజువు. ద్వారా సూచిస్తాము ఎంప్రకటన కోసం ఆ సహజ సంఖ్యల సమితి A(n)నిజం. అప్పుడు సిద్ధాంతం యొక్క పరిస్థితుల నుండి మనకు: 1) 1 ఎం; 2) కి.మీకెఎం. ఇక్కడ నుండి, సూత్రం 4 ఆధారంగా, మేము దానిని ముగించాము M =ఎన్, అనగా ప్రకటన A(n)ఏదైనా సహజంగా నిజం n.

ఈ సిద్ధాంతం ఆధారంగా రుజువు పద్ధతి అంటారు గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా,మరియు సూత్రం అనేది ప్రేరణ యొక్క సూత్రం. ఈ రుజువు రెండు భాగాలను కలిగి ఉంటుంది:

1) ప్రకటన అని నిరూపించండి A(n)కోసం నిజమైన n= A(1);

2) ప్రకటన అని భావించండి A(n)కోసం నిజమైన n = k, మరియు, ఈ ఊహ ఆధారంగా, ఆ ప్రకటన నిరూపించండి A(n)కోసం నిజమైన n = k + 1, అనగా ప్రకటన నిజం అని A(k) A(k + 1).

ఉంటే A( 1) ఎ(k) A(k + 1) - నిజమైన ప్రకటన, అప్పుడు వారు ప్రకటన అని ముగించారు A(n)ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు నిజం n.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా రుజువు ప్రకటన యొక్క సత్యాన్ని నిర్ధారించడంతో మాత్రమే ప్రారంభమవుతుంది n= 1, కానీ ఏదైనా సహజ సంఖ్య నుండి కూడా m. ఈ సందర్భంలో ప్రకటన A(n)అన్ని సహజ సంఖ్యలకు నిరూపించబడుతుంది nm.

సమస్య: ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు సమానత్వం 1 + 3 + 5 ... + (2 అని నిరూపిద్దాం n- 1) = n.

పరిష్కారం.సమానత్వం 1 + 3 + 5 … + (2 n- 1) = nమొదటి వరుస బేసి సహజ సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి ఉపయోగించే సూత్రం. ఉదాహరణకు, 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (మొత్తం 4 పదాలను కలిగి ఉంటుంది), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (మొత్తం 6 పదాలను కలిగి ఉంటుంది); ఈ మొత్తం సూచించిన రకానికి చెందిన 20 నిబంధనలను కలిగి ఉంటే, అది 20 = 400, మొదలైన వాటికి సమానం. ఈ సమానత్వం యొక్క సత్యాన్ని నిరూపించిన తర్వాత, మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పేర్కొన్న రకం యొక్క ఎన్ని నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనగలుగుతాము.

1) ఈ సమానత్వం యొక్క సత్యాన్ని ధృవీకరిద్దాం n= 1. ఎప్పుడు n= 1 సమానత్వం యొక్క ఎడమ వైపు 1కి సమానమైన ఒక పదాన్ని కలిగి ఉంటుంది, కుడి వైపు 1= 1కి సమానం. 1 = 1 కాబట్టి, తర్వాత n= 1 ఈ సమానత్వం నిజం.

2) ఈ సమానత్వం నిజమని అనుకుందాం n = k, అనగా ఆ 1 + 3 + 5 + ... + (2 k- 1) = కె.ఈ ఊహ ఆధారంగా, ఇది నిజమని మేము నిరూపిస్తాము n = k + 1, అనగా 1 + 3 + 5 + … + (2 కె- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

చివరి సమానత్వం యొక్క ఎడమ వైపు చూద్దాం.

ఊహ ప్రకారం, మొదటి మొత్తం కెనిబంధనలు సమానం కెఅందువలన 1 + 3 + 5 + … + (2 కె- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2కె- 1) + (2కె+ 1)=

= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. వ్యక్తీకరణ k+ 2k + 1 వ్యక్తీకరణకు సమానంగా ఉంటుంది ( k + 1).

అందువలన, కోసం ఈ సమానత్వం యొక్క నిజం n = k + 1 నిరూపించబడింది.

కాబట్టి, ఈ సమానత్వం నిజం n= 1 మరియు దాని నిజం నుండి n = kకోసం నిజం ఉండాలి n = k + 1.

ఈ సమానత్వం ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు సరైనదని ఇది రుజువు చేస్తుంది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి, మీరు సమానత్వం మాత్రమే కాకుండా, అసమానతల సత్యాన్ని కూడా నిరూపించవచ్చు.

టాస్క్. అది నిరూపించండి, ఎక్కడ nN.

పరిష్కారం.వద్ద అసమానత యొక్క సత్యాన్ని తనిఖీ చేద్దాం n= 1. మనకు ఉంది - నిజమైన అసమానత.

అసమానత నిజమైనదని అనుకుందాం n = k,ఆ. - నిజమైన అసమానత. అది కూడా నిజమేనని ఊహ ఆధారంగా నిరూపిద్దాం n = k + 1, అనగా (*).

అసమానత (*) యొక్క ఎడమ వైపును పరివర్తన చేద్దాం, దీనిని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే: .

కానీ , ఏమిటంటే .

కాబట్టి, ఈ అసమానత నిజం n= 1, మరియు, అసమానత కొందరికి నిజం అనే వాస్తవం నుండి n= కె, ఇది కూడా నిజమని మేము కనుగొన్నాము n= k + 1.

ఈ విధంగా, సిద్ధాంతం 4ని ఉపయోగించి, ఈ అసమానత ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు నిజమైనదని మేము నిరూపించాము.

ఇతర ప్రకటనలను గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి నిరూపించవచ్చు.

టాస్క్. ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు ప్రకటన నిజమని నిరూపించండి.

పరిష్కారం. ఆ ప్రకటనలో నిజమెంతో సరిచూద్దాం n= 1:-నిజమైన ప్రకటన.

ఈ ప్రకటన నిజం అని అనుకుందాం n = k: . దీన్ని ఉపయోగించి, ప్రకటన యొక్క సత్యాన్ని ఎప్పుడు చూపిద్దాం n = k + 1: .

వ్యక్తీకరణను మారుద్దాం: . తేడాను కనుక్కోండి కెమరియు k+ 1 సభ్యులు. ఫలిత వ్యత్యాసం 7 యొక్క గుణకం అని మరియు ఉపగ్రహం 7 ద్వారా భాగించబడుతుందని తేలితే, మైన్యూఎండ్ కూడా 7 యొక్క గుణకం:

ఉత్పత్తి 7 యొక్క గుణకం, కాబట్టి, మరియు .

కాబట్టి, ఈ ప్రకటన నిజం n= 1 మరియు దాని నిజం నుండి n = kకోసం నిజం ఉండాలి n = k + 1.

ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు ఈ ప్రకటన సరైనదని ఇది రుజువు చేస్తుంది.

టాస్క్. ఏదైనా సహజ సంఖ్య కోసం నిరూపించండి n 2 ప్రకటన (7-1)24 నిజం.

పరిష్కారం. 1) ప్రకటన యొక్క సత్యాన్ని ఎప్పుడు తనిఖీ చేద్దాం n= 2: - నిజమైన ప్రకటన.

బ్రయాన్స్క్ సిటీ లైసియం నం. 1

అంశంపై పరిశోధన పని:

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి

పూర్తయింది

ఎంకేవలం TOకాన్స్టాంటైన్

విద్యార్థి 10 భౌతిక శాస్త్రం మరియు గణితం

బ్రయాన్స్క్ సిటీ లైసియం నం. 1

తనిఖీ చేయబడింది

టియుకచేవా గురించిఅబద్ధం మరియువనోవ్నా

పరిచయం_ _ _ _ _ _ _ _

ముఖ్య భాగం

పూర్తి మరియు అసంపూర్ణ ప్రేరణ_ _ _ _ _ _ _ _ _ 3-4

గణిత ప్రేరణ సూత్రం_ _ _ _ _4-5

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి_ _ _ _ _ 6

గణిత ప్రేరణ ద్వారా పరిష్కారం

సమ్మషన్ సమస్యలకు_ _ _ _ _ _ _ _ 7

అసమానతలను నిరూపించడంలో సమస్యలకు_ _8

విభజన సమస్యలకు _ _ _ _ __

గుర్తింపులను నిరూపించడంలో సమస్యలకు _ _ _12

ఇతర పనులకు _ _

తీర్మానం_ _ _ _ _ _ _ _ _

ఉపయోగించిన సాహిత్యాల జాబితా _ _ _ _17

పరిచయం

మాట ప్రేరణరష్యన్ భాషలో అంటే మార్గదర్శకత్వం, మరియు ప్రేరకపరిశీలనలు, ప్రయోగాల ఆధారంగా చేసిన తీర్మానాలను కాల్ చేయండి, అనగా. నిర్దిష్ట నుండి సాధారణ వరకు అనుమితి ద్వారా పొందబడింది.

ప్రయోగాత్మక శాస్త్రాలలో ప్రేరక ముగింపుల పాత్ర చాలా గొప్పది. వారు ఆ నిబంధనలను ఇస్తారు, దాని నుండి తగ్గింపు ద్వారా తదుపరి ముగింపులు తీసుకోబడతాయి. సైద్ధాంతిక మెకానిక్స్ న్యూటన్ యొక్క మూడు చలన నియమాలపై ఆధారపడి ఉన్నప్పటికీ, ఈ చట్టాలు ప్రయోగాత్మక డేటా ద్వారా లోతైన ఆలోచనల ఫలితంగా ఉన్నాయి, ప్రత్యేకించి కెప్లర్ యొక్క గ్రహ చలనాల నియమాలు, అతను డానిష్ ఖగోళ శాస్త్రవేత్త టైకోచే అనేక సంవత్సరాల పరిశీలనల ప్రాసెసింగ్ నుండి తీసుకోబడింది. బ్రహే. పరిశీలన మరియు ఇండక్షన్ చేసిన ఊహలను స్పష్టం చేయడానికి భవిష్యత్తులో ఉపయోగపడతాయి. కదిలే మాధ్యమంలో కాంతి వేగాన్ని కొలవడానికి మిచెల్సన్ చేసిన ప్రయోగాల తర్వాత, భౌతిక శాస్త్ర నియమాలను స్పష్టం చేయడం మరియు సాపేక్ష సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించడం అవసరం అని తేలింది.

గణితశాస్త్రంలో, ఇండక్షన్ పాత్ర ఎక్కువగా అది ఎంచుకున్న యాక్సియోమాటిక్స్‌కు ఆధారం. దీర్ఘ-కాల అభ్యాసం వక్ర లేదా విరిగిన మార్గం కంటే సరళమైన మార్గం ఎల్లప్పుడూ తక్కువగా ఉంటుందని చూపించిన తర్వాత, ఒక సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించడం సహజం: ఏదైనా మూడు పాయింట్లు A, B మరియు C, అసమానత

.

అంకగణితానికి ఆధారమైన “ఫాలోయింగ్” అనే భావన సైనికులు, నౌకలు మరియు ఇతర ఆర్డర్ సెట్‌ల ఏర్పాటు యొక్క పరిశీలనల నుండి కూడా కనిపించింది.

ఏది ఏమైనప్పటికీ, ఇది గణితంలో ఇండక్షన్ పాత్రను నిర్వీర్యం చేస్తుందని భావించకూడదు. వాస్తవానికి, సిద్ధాంతాల నుండి తార్కికంగా తీసివేయబడిన సిద్ధాంతాలను మనం ప్రయోగాత్మకంగా పరీక్షించకూడదు: ఉత్పన్నం సమయంలో ఎటువంటి తార్కిక లోపాలు జరగకపోతే, మేము అంగీకరించిన సిద్ధాంతాలు నిజం అయినంత వరకు అవి నిజం. కానీ ఈ సిద్ధాంతాల వ్యవస్థ నుండి చాలా ప్రకటనలను తీసివేయవచ్చు. మరియు నిరూపించబడవలసిన ఆ ప్రకటనల ఎంపిక మళ్లీ ఇండక్షన్ ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఇది పనికిరాని వాటి నుండి ఉపయోగకరమైన సిద్ధాంతాలను వేరు చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, ఏ సిద్ధాంతాలు నిజం కావచ్చో సూచిస్తుంది మరియు రుజువు యొక్క మార్గాన్ని వివరించడానికి కూడా సహాయపడుతుంది.

గణిత ప్రేరణ యొక్క సారాంశం

ఉపయోగించడాన్ని ఉదాహరణగా చూపిద్దాం ఎంపద్ధతి ఎంగణిత మరియుఇండక్షన్ మరియు ముగింపులో మేము సాధారణీకరణ ముగింపు చేస్తాము.

4లోపు ప్రతి సరి సహజ సంఖ్యను నిర్ధారించడం అవసరం< n< 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

ఈ తొమ్మిది సమానత్వాలు మనకు ఆసక్తి ఉన్న ప్రతి సంఖ్య వాస్తవానికి రెండు సాధారణ పదాల మొత్తంగా సూచించబడుతుందని చూపిస్తుంది.

అందువల్ల, పూర్తి ఇండక్షన్ అనేది పరిమిత సంఖ్యలో సాధ్యమయ్యే సందర్భాలలో ఒక్కొక్కటిగా సాధారణ ప్రకటనను విడిగా రుజువు చేస్తుంది.

కొన్నిసార్లు సాధారణ ఫలితాన్ని అన్నింటిని కాకుండా, తగినంత పెద్ద సంఖ్యలో నిర్దిష్ట కేసులను (అసంపూర్ణ ఇండక్షన్ అని పిలవబడేవి) పరిగణనలోకి తీసుకున్న తర్వాత అంచనా వేయవచ్చు.

అసంపూర్ణ ఇండక్షన్ ద్వారా పొందిన ఫలితం, అయితే, అన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలను కవర్ చేస్తూ, ఖచ్చితమైన గణితశాస్త్ర రీజనింగ్ ద్వారా నిరూపించబడే వరకు కేవలం పరికల్పన మాత్రమే మిగిలి ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, గణితంలో అసంపూర్ణ ప్రేరణ అనేది కఠినమైన రుజువు యొక్క చట్టబద్ధమైన పద్ధతిగా పరిగణించబడదు, కానీ కొత్త సత్యాలను కనుగొనే శక్తివంతమైన పద్ధతి.

ఉదాహరణకు, మీరు మొదటి n వరుస బేసి సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనాలనుకుంటున్నాము. ప్రత్యేక సందర్భాలను పరిశీలిద్దాం:

1+3+5+7+9=25=5 2

ఈ కొన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలను పరిశీలించిన తర్వాత, కింది సాధారణ ముగింపు స్వయంగా సూచిస్తుంది:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

ఆ. మొదటి n వరుస బేసి సంఖ్యల మొత్తం n 2

వాస్తవానికి, చేసిన పరిశీలన ఇంకా ఆర్డర్ యొక్క చెల్లుబాటుకు రుజువుగా ఉపయోగపడదు.

ఇచ్చిన ఫార్ములా.

కంప్లీట్ ఇండక్షన్‌కు గణితంలో పరిమిత అప్లికేషన్‌లు మాత్రమే ఉన్నాయి. అనేక ఆసక్తికరమైన గణిత ప్రకటనలు అనంతమైన ప్రత్యేక కేసులను కవర్ చేస్తాయి, కానీ మేము వాటిని అనంతమైన కేసుల కోసం పరీక్షించలేము. అసంపూర్ణ ఇండక్షన్ తరచుగా తప్పుడు ఫలితాలకు దారి తీస్తుంది.

అనేక సందర్భాల్లో, ఈ రకమైన కష్టం నుండి బయటపడే మార్గం గణిత ప్రేరణ పద్ధతి అని పిలువబడే ఒక ప్రత్యేక తార్కిక పద్ధతిని ఆశ్రయించడం. ఇది క్రింది విధంగా ఉంది.

మీరు ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం ఏదైనా స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును నిరూపించాలని అనుకుందాం (ఉదాహరణకు, మీరు మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం n 2కి సమానమని నిరూపించాలి). n యొక్క ప్రతి విలువకు ఈ ప్రకటన యొక్క ప్రత్యక్ష ధృవీకరణ అసాధ్యం, ఎందుకంటే సహజ సంఖ్యల సమితి అనంతం. ఈ ప్రకటనను నిరూపించడానికి, ముందుగా n=1 కోసం దాని చెల్లుబాటును తనిఖీ చేయండి. అప్పుడు వారు k యొక్క ఏదైనా సహజ విలువ కోసం, n=k కోసం పరిశీలనలో ఉన్న స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటు n=k+1 కోసం దాని చెల్లుబాటును సూచిస్తుంది.

అప్పుడు ప్రకటన అన్ని n కోసం నిరూపితమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది. వాస్తవానికి, ప్రకటన n=1కి నిజం. కానీ తర్వాతి సంఖ్య n=1+1=2కి కూడా ఇది నిజం. n=2 కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటు n=2+కి దాని చెల్లుబాటును సూచిస్తుంది

1=3. ఇది n=4 మొదలైన వాటి కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును సూచిస్తుంది. చివరికి, మనం ఏదైనా సహజ సంఖ్య nకి చేరుకుంటామని స్పష్టమవుతుంది. దీని అర్థం ఏదైనా n కోసం ప్రకటన నిజం.

చెప్పబడిన వాటిని సంగ్రహించి, మేము ఈ క్రింది సాధారణ సూత్రాన్ని రూపొందిస్తాము.

గణిత ప్రేరణ సూత్రం.

ప్రతిపాదన ఉంటే A( n ), సహజ సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉంటుంది n , నిజం n =1 మరియు ఇది నిజం అనే వాస్తవం నుండి n = కె (ఎక్కడ కె -ఏదైనా సహజ సంఖ్య), తదుపరి సంఖ్యకు ఇది నిజం అని అనుసరిస్తుంది n = కె +1, ఆపై ఊహ A( n ) ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు నిజం n .

అనేక సందర్భాల్లో, ఒక నిర్దిష్ట స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును అన్ని సహజ సంఖ్యల కోసం కాకుండా, n> p కోసం మాత్రమే నిరూపించడం అవసరం కావచ్చు, ఇక్కడ p అనేది స్థిర సహజ సంఖ్య. ఈ సందర్భంలో, గణిత ప్రేరణ సూత్రం క్రింది విధంగా రూపొందించబడింది.

ప్రతిపాదన ఉంటే A( n ) నిజం n = p మరియు ఒకవేళ A( కె ) Þ A( కె +1) ఎవరికైనా కె > p , తర్వాత ప్రతిపాదన A( n ) ఎవరికైనా నిజం n > p .

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి రుజువు క్రింది విధంగా నిర్వహించబడుతుంది. ముందుగా, నిరూపించాల్సిన స్టేట్‌మెంట్ n=1 కోసం తనిఖీ చేయబడుతుంది, అనగా. ప్రకటన A(1) యొక్క సత్యం స్థాపించబడింది. రుజువు యొక్క ఈ భాగాన్ని ఇండక్షన్ ఆధారం అంటారు. అప్పుడు ప్రూఫ్‌లో ఇండక్షన్ స్టెప్ అనే భాగం వస్తుంది. ఈ భాగంలో, వారు n=k (ఇండక్షన్ ఊహ) కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటు యొక్క ఊహ కింద n=k+1 కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును రుజువు చేస్తారు, అనగా. A(k)ÞA(k+1) అని నిరూపించండి.

సమ్మషన్ సమస్యలలో గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్

సమ్మషన్ సమస్యలలో గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్