ఈ పాఠం హేతుబద్ధ సంఖ్యల కూడిక మరియు వ్యవకలనాన్ని కవర్ చేస్తుంది. అంశం సంక్లిష్టంగా వర్గీకరించబడింది. ఇక్కడ గతంలో సంపాదించిన జ్ఞానం యొక్క మొత్తం ఆర్సెనల్ను ఉపయోగించడం అవసరం.
పూర్ణాంకాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం నియమాలు హేతుబద్ధ సంఖ్యలకు కూడా వర్తిస్తాయి. హేతుబద్ధ సంఖ్యలు భిన్నం వలె సూచించబడే సంఖ్యలు అని గుర్తుంచుకోండి a -ఇది భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్, బిభిన్నం యొక్క హారం. ఇందులో, బిసున్నా ఉండకూడదు.
ఈ పాఠంలో, మేము భిన్నాలు మరియు మిశ్రమ సంఖ్యలను ఒక సాధారణ పదబంధం ద్వారా ఎక్కువగా పిలుస్తాము - హేతుబద్ధ సంఖ్యలు.
పాఠం నావిగేషన్:ఉదాహరణ 1.వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:
ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్యను దాని సంకేతాలతో పాటు బ్రాకెట్లలో చేర్చుదాం. ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లో ఇచ్చిన ప్లస్ అనేది ఆపరేషన్ గుర్తు మరియు భిన్నానికి వర్తించదని మేము పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము. ఈ భిన్నం దాని స్వంత ప్లస్ గుర్తును కలిగి ఉంది, ఇది వ్రాయబడని వాస్తవం కారణంగా కనిపించదు. కానీ మేము దానిని స్పష్టత కోసం వ్రాస్తాము:
ఇది వివిధ సంకేతాలతో హేతుబద్ధ సంఖ్యల జోడింపు. విభిన్న సంకేతాలతో హేతుబద్ధ సంఖ్యలను జోడించడానికి, మీరు పెద్ద మాడ్యూల్ నుండి చిన్న మాడ్యూల్‌ను తీసివేయాలి మరియు ఫలిత సమాధానానికి ముందు మాడ్యూల్ పెద్దదిగా ఉన్న హేతుబద్ధ సంఖ్య యొక్క చిహ్నాన్ని ఉంచండి. మరియు ఏ మాడ్యులస్ ఎక్కువ మరియు ఏది చిన్నదో అర్థం చేసుకోవడానికి, మీరు ఈ భిన్నాలను లెక్కించే ముందు వాటి మాడ్యులీని సరిపోల్చగలగాలి:
హేతుబద్ధ సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ హేతుబద్ధ సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. కాబట్టి, మేము నుండి తీసివేసాము. మాకు సమాధానం వచ్చింది. అప్పుడు, ఈ భిన్నాన్ని 2 తగ్గించి, మాకు తుది సమాధానం వచ్చింది.
బ్రాకెట్లలో సంఖ్యలను ఉంచడం మరియు మాడ్యూల్‌లను జోడించడం వంటి కొన్ని ఆదిమ చర్యలు దాటవేయబడతాయి. ఈ ఉదాహరణ క్లుప్తంగా వ్రాయవచ్చు:
ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:
ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్యను దాని సంకేతాలతో పాటు బ్రాకెట్లలో చేర్చుదాం. హేతుబద్ధ సంఖ్యల మధ్య ఉన్న మైనస్ అనేది ఆపరేషన్‌కు సంకేతం మరియు భిన్నానికి వర్తించదని మేము పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము. ఈ భిన్నం దాని స్వంత ప్లస్ గుర్తును కలిగి ఉంది, ఇది వ్రాయబడని వాస్తవం కారణంగా కనిపించదు. కానీ మేము దానిని స్పష్టత కోసం వ్రాస్తాము:
తీసివేతను కూడికతో భర్తీ చేద్దాం. దీన్ని చేయడానికి మీరు సబ్‌ట్రాహెండ్‌కు ఎదురుగా ఉన్న సంఖ్యను మినియెండ్‌కు జోడించాలని మేము మీకు గుర్తు చేద్దాం:
మేము ప్రతికూల హేతుబద్ధ సంఖ్యల జోడింపును పొందాము. ప్రతికూల హేతుబద్ధ సంఖ్యలను జోడించడానికి, మీరు వాటి మాడ్యూల్‌లను జోడించాలి మరియు ఫలిత సమాధానం ముందు మైనస్‌ను ఉంచాలి:
గమనిక.ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్యను కుండలీకరణాల్లో చేర్చడం అవసరం లేదు. హేతుబద్ధ సంఖ్యలు ఏ సంకేతాలను కలిగి ఉన్నాయో స్పష్టంగా చూడడానికి ఇది సౌలభ్యం కోసం చేయబడుతుంది.
ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:
ఈ వ్యక్తీకరణలో, భిన్నాలు వేర్వేరు హారంలను కలిగి ఉంటాయి. మన పనిని సులభతరం చేయడానికి, ఈ భిన్నాలను సాధారణ హారంకి తగ్గించండి. దీన్ని ఎలా చేయాలో మేము వివరంగా చెప్పము. మీరు ఇబ్బందులు ఎదుర్కొంటే, పాఠాన్ని పునరావృతం చేయాలని నిర్ధారించుకోండి.
భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించిన తర్వాత, వ్యక్తీకరణ క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:
ఇది వివిధ సంకేతాలతో హేతుబద్ధ సంఖ్యల జోడింపు. మేము పెద్ద మాడ్యూల్ నుండి చిన్న మాడ్యూల్‌ను తీసివేస్తాము మరియు ఫలిత సమాధానానికి ముందు మేము మాడ్యూల్ ఎక్కువగా ఉన్న హేతుబద్ధ సంఖ్య యొక్క చిహ్నాన్ని ఉంచుతాము:
ఈ ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని సంక్షిప్తంగా వ్రాస్దాం:
ఉదాహరణ 4.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి
ఈ వ్యక్తీకరణను ఈ క్రింది విధంగా గణిద్దాం: హేతుబద్ధ సంఖ్యలను జోడించి, ఆపై ఫలిత ఫలితం నుండి హేతుబద్ధ సంఖ్యను తీసివేయండి. 
మొదటి చర్య:
రెండవ చర్య:
ఉదాహరణ 5. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:
పూర్ణాంకం −1ని భిన్నం వలె సూచిస్తాము మరియు మిశ్రమ సంఖ్యను సరికాని భిన్నంగా మారుద్దాం:
ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్యను దాని సంకేతాలతో పాటు బ్రాకెట్లలో చేర్చుదాం:
మేము వివిధ సంకేతాలతో హేతుబద్ధ సంఖ్యల జోడింపును పొందాము. మేము పెద్ద మాడ్యూల్ నుండి చిన్న మాడ్యూల్‌ను తీసివేస్తాము మరియు ఫలిత సమాధానానికి ముందు మేము మాడ్యూల్ ఎక్కువగా ఉన్న హేతుబద్ధ సంఖ్య యొక్క చిహ్నాన్ని ఉంచుతాము:
మాకు సమాధానం వచ్చింది.
రెండవ పరిష్కారం ఉంది. ఇది మొత్తం భాగాలను విడిగా ఉంచడం కలిగి ఉంటుంది.
కాబట్టి, అసలు వ్యక్తీకరణకు తిరిగి వెళ్దాం:
ప్రతి సంఖ్యను కుండలీకరణాల్లో చేర్చుదాం. దీన్ని చేయడానికి, మిశ్రమ సంఖ్య తాత్కాలికంగా ఉంటుంది:
పూర్ణాంక భాగాలను గణిద్దాం:
(−1) + (+2) = 1
ప్రధాన వ్యక్తీకరణలో, (−1) + (+2) బదులుగా, మేము ఫలిత యూనిట్‌ను వ్రాస్తాము:
ఫలితంగా వ్యక్తీకరణ . దీన్ని చేయడానికి, యూనిట్ మరియు భిన్నాన్ని కలిపి వ్రాయండి:
ఈ విధంగా పరిష్కారాన్ని చిన్న మార్గంలో వ్రాస్దాం:
ఉదాహరణ 6.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి
మిశ్రమ సంఖ్యను సరికాని భిన్నానికి మారుద్దాం. మిగిలిన వాటిని మార్చకుండా మళ్లీ వ్రాద్దాం:
ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్యను దాని సంకేతాలతో పాటు బ్రాకెట్లలో చేర్చుదాం:
వ్యవకలనాన్ని కూడికతో భర్తీ చేద్దాం:
ఈ ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని సంక్షిప్తంగా వ్రాస్దాం:
ఉదాహరణ 7.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి
పూర్ణాంకం −5ని భిన్నం వలె సూచిస్తాము మరియు మిశ్రమ సంఖ్యను సరికాని భిన్నం వలె మారుద్దాం:
ఈ భిన్నాలను ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకువద్దాం. అవి సాధారణ హారంకి తగ్గించబడిన తర్వాత, అవి క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటాయి:
ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్యను దాని సంకేతాలతో పాటు బ్రాకెట్లలో చేర్చుదాం:
వ్యవకలనాన్ని కూడికతో భర్తీ చేద్దాం:
మేము ప్రతికూల హేతుబద్ధ సంఖ్యల జోడింపును పొందాము. ఈ సంఖ్యల మాడ్యూల్‌లను జోడించి, ఫలిత సమాధానం ముందు మైనస్‌ని ఉంచుదాం:
అందువలన, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ .
ఈ ఉదాహరణను రెండవ మార్గంలో పరిష్కరిద్దాం. అసలు వ్యక్తీకరణకు తిరిగి వెళ్దాం:
మిశ్రమ సంఖ్యను విస్తరించిన రూపంలో వ్రాస్దాం. మిగిలిన వాటిని మార్పులు లేకుండా మళ్లీ వ్రాద్దాం:
మేము ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్యను బ్రాకెట్లలో దాని సంకేతాలతో కలుపుతాము:
పూర్ణాంక భాగాలను గణిద్దాం:
ప్రధాన వ్యక్తీకరణలో, ఫలిత సంఖ్య −7ని వ్రాయడానికి బదులుగా
వ్యక్తీకరణ అనేది మిశ్రమ సంఖ్యను వ్రాయడానికి విస్తరించిన రూపం. తుది సమాధానాన్ని రూపొందించడానికి మేము సంఖ్య −7 మరియు భిన్నాన్ని కలిపి వ్రాస్తాము:
ఈ పరిష్కారాన్ని క్లుప్తంగా వ్రాస్దాం:
ఉదాహరణ 8.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి
మేము ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్యను బ్రాకెట్లలో దాని సంకేతాలతో కలుపుతాము:
వ్యవకలనాన్ని కూడికతో భర్తీ చేద్దాం:
మేము ప్రతికూల హేతుబద్ధ సంఖ్యల జోడింపును పొందాము. ఈ సంఖ్యల మాడ్యూల్‌లను జోడించి, ఫలిత సమాధానం ముందు మైనస్‌ని ఉంచుదాం:
కాబట్టి వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ
ఈ ఉదాహరణను రెండవ మార్గంలో పరిష్కరించవచ్చు. ఇది మొత్తం మరియు పాక్షిక భాగాలను విడిగా జోడించడాన్ని కలిగి ఉంటుంది. అసలు వ్యక్తీకరణకు తిరిగి వెళ్దాం:
ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్యను దాని సంకేతాలతో పాటు బ్రాకెట్లలో చేర్చుదాం:
వ్యవకలనాన్ని కూడికతో భర్తీ చేద్దాం:
మేము ప్రతికూల హేతుబద్ధ సంఖ్యల జోడింపును పొందాము. ఈ సంఖ్యల మాడ్యూల్‌లను జోడించి, ఫలితంగా వచ్చే సమాధానం ముందు మైనస్‌ని ఉంచుదాం. కానీ ఈసారి మేము మొత్తం భాగాలను (−1 మరియు −2) జోడిస్తాము, పాక్షిక మరియు
ఈ పరిష్కారాన్ని క్లుప్తంగా వ్రాస్దాం:
ఉదాహరణ 9.వ్యక్తీకరణ వ్యక్తీకరణలను కనుగొనండి 
మిశ్రమ సంఖ్యలను సరికాని భిన్నాలకు మారుద్దాం:
హేతుబద్ధ సంఖ్యను బ్రాకెట్లలో దాని గుర్తుతో జత చేద్దాం. కుండలీకరణాల్లో హేతుబద్ధ సంఖ్యను ఉంచాల్సిన అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఇది ఇప్పటికే కుండలీకరణాల్లో ఉంది:
మేము ప్రతికూల హేతుబద్ధ సంఖ్యల జోడింపును పొందాము. ఈ సంఖ్యల మాడ్యూల్‌లను జోడించి, ఫలిత సమాధానం ముందు మైనస్‌ని ఉంచుదాం:
కాబట్టి వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ
ఇప్పుడు అదే ఉదాహరణను రెండవ మార్గంలో పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం, అవి పూర్ణాంకం మరియు భిన్న భాగాలను విడిగా జోడించడం ద్వారా.
ఈసారి, చిన్న పరిష్కారాన్ని పొందడానికి, మిశ్రమ సంఖ్యను విస్తరించిన రూపంలో రాయడం మరియు వ్యవకలనాన్ని అదనంగా భర్తీ చేయడం వంటి కొన్ని దశలను దాటవేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం:
దయచేసి పాక్షిక భాగాలు సాధారణ హారంకు తగ్గించబడిందని గమనించండి.
ఉదాహరణ 10.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి 
వ్యవకలనాన్ని కూడికతో భర్తీ చేద్దాం:
ఫలిత వ్యక్తీకరణ ప్రతికూల సంఖ్యలను కలిగి ఉండదు, ఇది లోపాలకు ప్రధాన కారణం. మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలు లేనందున, మేము సబ్‌ట్రాహెండ్ ముందు ఉన్న ప్లస్‌ని తీసివేయవచ్చు మరియు కుండలీకరణాలను కూడా తీసివేయవచ్చు:
ఫలితం లెక్కించడానికి సులభమైన ఒక సాధారణ వ్యక్తీకరణ. మనకు అనుకూలమైన ఏ విధంగానైనా గణిద్దాం:
ఉదాహరణ 11.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి
ఇది వివిధ సంకేతాలతో హేతుబద్ధ సంఖ్యల జోడింపు. పెద్ద మాడ్యూల్ నుండి చిన్న మాడ్యూల్‌ను తీసివేద్దాం మరియు ఫలిత సమాధానానికి ముందు మేము మాడ్యూల్ ఎక్కువగా ఉన్న హేతుబద్ధ సంఖ్య యొక్క చిహ్నాన్ని ఉంచుతాము:
ఉదాహరణ 12.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి 
వ్యక్తీకరణ అనేక హేతుబద్ధ సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది. ప్రకారం, అన్ని మొదటి మీరు బ్రాకెట్లలో దశలను నిర్వహించడానికి అవసరం.
మొదట, మేము వ్యక్తీకరణను లెక్కిస్తాము, ఆపై మేము పొందిన ఫలితాలను జోడిస్తాము.
మొదటి చర్య:
రెండవ చర్య:
మూడవ చర్య:
సమాధానం:వ్యక్తీకరణ విలువ సమానం
ఉదాహరణ 13.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి 
మిశ్రమ సంఖ్యలను సరికాని భిన్నాలకు మారుద్దాం:
హేతుబద్ధ సంఖ్యను దాని గుర్తుతో పాటు బ్రాకెట్లలో ఉంచుదాం. హేతుబద్ధ సంఖ్యను కుండలీకరణాల్లో ఉంచాల్సిన అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఇది ఇప్పటికే కుండలీకరణాల్లో ఉంది:
ఈ భిన్నాలను ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకువద్దాం. అవి సాధారణ హారంకి తగ్గించబడిన తర్వాత, అవి క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటాయి:
వ్యవకలనాన్ని కూడికతో భర్తీ చేద్దాం:
మేము వివిధ సంకేతాలతో హేతుబద్ధ సంఖ్యల జోడింపును పొందాము. పెద్ద మాడ్యూల్ నుండి చిన్న మాడ్యూల్‌ను తీసివేద్దాం మరియు ఫలిత సమాధానానికి ముందు మేము మాడ్యూల్ ఎక్కువగా ఉన్న హేతుబద్ధ సంఖ్య యొక్క చిహ్నాన్ని ఉంచుతాము:
అందువలన, వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం సమానం
దశాంశాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం చూద్దాం, అవి కూడా హేతుబద్ధ సంఖ్యలు మరియు సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు.
ఉదాహరణ 14.వ్యక్తీకరణ −3.2 + 4.3 విలువను కనుగొనండి
ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్యను దాని సంకేతాలతో పాటు బ్రాకెట్లలో చేర్చుదాం. ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లో ఇచ్చిన ప్లస్ అనేది ఆపరేషన్ గుర్తు అని మరియు దశాంశ భిన్నం 4.3కి వర్తించదని మేము పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము. ఈ దశాంశ భిన్నం దాని స్వంత ప్లస్ గుర్తును కలిగి ఉంది, ఇది వ్రాయబడని వాస్తవం కారణంగా కనిపించదు. కానీ మేము దానిని స్పష్టత కోసం వ్రాస్తాము:
(−3,2) + (+4,3)
ఇది వివిధ సంకేతాలతో హేతుబద్ధ సంఖ్యల జోడింపు. విభిన్న సంకేతాలతో హేతుబద్ధ సంఖ్యలను జోడించడానికి, మీరు పెద్ద మాడ్యూల్ నుండి చిన్న మాడ్యూల్‌ను తీసివేయాలి మరియు ఫలిత సమాధానానికి ముందు మాడ్యూల్ పెద్దదిగా ఉన్న హేతుబద్ధ సంఖ్యను ఉంచండి. మరియు ఏ మాడ్యూల్ పెద్దది మరియు ఏది చిన్నదో అర్థం చేసుకోవడానికి, మీరు ఈ దశాంశ భిన్నాల మాడ్యూల్‌లను లెక్కించే ముందు వాటిని సరిపోల్చగలగాలి:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
సంఖ్య 4.3 యొక్క మాడ్యులస్ సంఖ్య −3.2 మాడ్యులస్ కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది, కాబట్టి మేము 4.3 నుండి 3.2ని తీసివేసాము. మేము సమాధానం 1.1 అందుకున్నాము. సమాధానం సానుకూలంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే సమాధానానికి ముందు మాడ్యులస్ ఎక్కువగా ఉన్న హేతుబద్ధ సంఖ్య గుర్తు ఉండాలి. మరియు సంఖ్య 4.3 యొక్క మాడ్యులస్ సంఖ్య −3.2 మాడ్యులస్ కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది
ఈ విధంగా, వ్యక్తీకరణ −3.2 + (+4.3) విలువ 1.1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
ఉదాహరణ 15.వ్యక్తీకరణ 3.5 + (−8.3) విలువను కనుగొనండి
ఇది వివిధ సంకేతాలతో హేతుబద్ధ సంఖ్యల జోడింపు. మునుపటి ఉదాహరణలో వలె, మేము పెద్ద మాడ్యూల్ నుండి చిన్నదాన్ని తీసివేస్తాము మరియు సమాధానానికి ముందు మేము మాడ్యూల్ ఎక్కువగా ఉన్న హేతుబద్ధ సంఖ్య యొక్క చిహ్నాన్ని ఉంచుతాము:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
అందువలన, వ్యక్తీకరణ 3.5 + (-8.3) విలువ −4.8
ఈ ఉదాహరణ క్లుప్తంగా వ్రాయవచ్చు:
3,5 + (−8,3) = −4,8
ఉదాహరణ 16.వ్యక్తీకరణ −7.2 + (-3.11) విలువను కనుగొనండి
ఇది ప్రతికూల హేతుబద్ధ సంఖ్యల జోడింపు. ప్రతికూల హేతుబద్ధ సంఖ్యలను జోడించడానికి, మీరు వాటి మాడ్యూల్‌లను జోడించాలి మరియు ఫలిత సమాధానం ముందు మైనస్‌ని ఉంచాలి.
వ్యక్తీకరణను అస్తవ్యస్తం చేయకుండా మీరు మాడ్యూల్‌లతో ఎంట్రీని దాటవేయవచ్చు:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
అందువలన, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ -7.2 + (-3.11) -10.31
ఈ ఉదాహరణ క్లుప్తంగా వ్రాయవచ్చు:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
ఉదాహరణ 17.వ్యక్తీకరణ −0.48 + (-2.7) విలువను కనుగొనండి
ఇది ప్రతికూల హేతుబద్ధ సంఖ్యల జోడింపు. వాటి మాడ్యూల్‌లను జోడించి, ఫలితంగా వచ్చే సమాధానం ముందు మైనస్‌ని ఉంచుదాం. వ్యక్తీకరణను అస్తవ్యస్తం చేయకుండా మీరు మాడ్యూల్‌లతో ఎంట్రీని దాటవేయవచ్చు:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
ఉదాహరణ 18.వ్యక్తీకరణ −4.9 - 5.9 విలువను కనుగొనండి
ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్యను దాని సంకేతాలతో పాటు బ్రాకెట్లలో చేర్చుదాం. హేతుబద్ధ సంఖ్యలు −4.9 మరియు 5.9 మధ్య ఉన్న మైనస్ అనేది ఆపరేషన్ గుర్తు మరియు 5.9 సంఖ్యకు చెందినది కాదని మేము పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము. ఈ హేతుబద్ధ సంఖ్య దాని స్వంత ప్లస్ గుర్తును కలిగి ఉంది, ఇది వ్రాయబడని వాస్తవం కారణంగా కనిపించదు. కానీ మేము దానిని స్పష్టత కోసం వ్రాస్తాము:
(−4,9) − (+5,9)
వ్యవకలనాన్ని కూడికతో భర్తీ చేద్దాం:
(−4,9) + (−5,9)
మేము ప్రతికూల హేతుబద్ధ సంఖ్యల జోడింపును పొందాము. వాటి మాడ్యూల్‌లను జోడించి, ఫలితంగా వచ్చే సమాధానం ముందు మైనస్‌ని ఉంచుదాం:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
అందువలన, వ్యక్తీకరణ −4.9 - 5.9 విలువ −10.8
−4,9 − 5,9 = −10,8
ఉదాహరణ 19.వ్యక్తీకరణ 7 - 9.3 విలువను కనుగొనండి
ప్రతి సంఖ్యను దాని సంకేతాలతో పాటు బ్రాకెట్లలో ఉంచుదాం.
(+7) − (+9,3)
తీసివేతను కూడికతో భర్తీ చేద్దాం
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
అందువలన, వ్యక్తీకరణ 7 - 9.3 విలువ −2.3
ఈ ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని సంక్షిప్తంగా వ్రాస్దాం:
7 − 9,3 = −2,3
ఉదాహరణ 20.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి -0.25 - (-1.2)
వ్యవకలనాన్ని కూడికతో భర్తీ చేద్దాం:
−0,25 + (+1,2)
మేము వివిధ సంకేతాలతో హేతుబద్ధ సంఖ్యల జోడింపును పొందాము. పెద్ద మాడ్యూల్ నుండి చిన్న మాడ్యూల్‌ను తీసివేద్దాం మరియు సమాధానానికి ముందు మేము మాడ్యూల్ ఎక్కువగా ఉన్న సంఖ్య యొక్క గుర్తును ఉంచుతాము:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
ఈ ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని సంక్షిప్తంగా వ్రాస్దాం:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
ఉదాహరణ 21.వ్యక్తీకరణ −3.5 + (4.1 - 7.1) విలువను కనుగొనండి
చర్యలను బ్రాకెట్లలో చేద్దాం, ఆపై ఫలిత సమాధానాన్ని −3.5 సంఖ్యతో జోడించండి
మొదటి చర్య:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
రెండవ చర్య:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
సమాధానం:వ్యక్తీకరణ −3.5 + (4.1 - 7.1) విలువ -6.5.
ఉదాహరణ 22.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి (3.5 - 2.9) - (3.7 - 9.1)
కుండలీకరణాల్లో దశలను చేద్దాం. అప్పుడు, మొదటి బ్రాకెట్‌లను అమలు చేయడం వల్ల పొందిన సంఖ్య నుండి, రెండవ బ్రాకెట్‌లను అమలు చేయడం వల్ల పొందిన సంఖ్యను తీసివేయండి:
మొదటి చర్య:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
రెండవ చర్య:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
మూడవ చర్య
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
సమాధానం:వ్యక్తీకరణ విలువ (3.5 - 2.9) - (3.7 - 9.1) 6.
ఉదాహరణ 23.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్యను దాని సంకేతాలతో పాటు బ్రాకెట్లలో చేర్చుదాం
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
సాధ్యమైన చోట వ్యవకలనాన్ని కూడికతో భర్తీ చేద్దాం:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
వ్యక్తీకరణ అనేక పదాలను కలిగి ఉంటుంది. సంకలన చట్టం ప్రకారం, వ్యక్తీకరణ అనేక పదాలను కలిగి ఉంటే, మొత్తం చర్యల క్రమంపై ఆధారపడి ఉండదు. అంటే నిబంధనలను ఏ క్రమంలోనైనా జోడించవచ్చు.
మనం చక్రాన్ని తిరిగి ఆవిష్కరిద్దాం, కానీ అన్ని నిబంధనలను అవి కనిపించే క్రమంలో ఎడమ నుండి కుడికి జోడించండి:
మొదటి చర్య:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
రెండవ చర్య:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
మూడవ చర్య:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
సమాధానం:వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ -3.8 + 17.15 - 6.2 - 6.15 1.
ఉదాహరణ 24.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి
దశాంశ భిన్నం −1.8ని మిశ్రమ సంఖ్యగా మారుద్దాం. మిగిలిన వాటిని మార్చకుండా మళ్లీ వ్రాద్దాం:
డ్రాయింగ్. హేతుబద్ధ సంఖ్యలపై అంకగణిత కార్యకలాపాలు.
వచనం:
హేతుబద్ధ సంఖ్యలతో కార్యకలాపాల కోసం నియమాలు:
. ఒకే సంకేతాలతో సంఖ్యలను జోడించేటప్పుడు, వాటి మాడ్యూల్‌లను జోడించడం మరియు మొత్తం ముందు వాటి సాధారణ గుర్తును ఉంచడం అవసరం;
. పెద్ద మాడ్యులస్ ఉన్న సంఖ్య నుండి వేర్వేరు సంకేతాలతో రెండు సంఖ్యలను జోడించేటప్పుడు, సంఖ్యను చిన్న మాడ్యులస్‌తో తీసివేసి, ఫలిత వ్యత్యాసం ముందు పెద్ద మాడ్యులస్‌తో సంఖ్య యొక్క చిహ్నాన్ని ఉంచండి;
. ఒక సంఖ్య నుండి మరొక సంఖ్యను తీసివేసేటప్పుడు, మీరు తీసివేసిన దానికి ఎదురుగా ఉన్న సంఖ్యను minuendకి జోడించాలి: a - b = a + (-b)
. ఒకే సంకేతాలతో రెండు సంఖ్యలను గుణించినప్పుడు, వాటి మాడ్యూల్స్ గుణించబడతాయి మరియు ఫలిత ఉత్పత్తికి ముందు ప్లస్ గుర్తు ఉంచబడుతుంది;
. వేర్వేరు సంకేతాలతో రెండు సంఖ్యలను గుణించినప్పుడు, వాటి మాడ్యూల్స్ గుణించబడతాయి మరియు ఫలిత ఉత్పత్తికి ముందు మైనస్ గుర్తు ఉంచబడుతుంది;
. అదే సంకేతాలతో సంఖ్యలను విభజించేటప్పుడు, డివిడెండ్ యొక్క మాడ్యూల్ డివైజర్ యొక్క మాడ్యూల్ ద్వారా విభజించబడింది మరియు ఫలిత భాగానికి ముందు ప్లస్ గుర్తు ఉంచబడుతుంది;
. వేర్వేరు సంకేతాలతో సంఖ్యలను విభజించేటప్పుడు, డివిడెండ్ యొక్క మాడ్యూల్ డివైజర్ యొక్క మాడ్యూల్ ద్వారా విభజించబడింది మరియు ఫలిత భాగానికి ముందు ఒక మైనస్ గుర్తు ఉంచబడుతుంది;
. సున్నాకి సమానం కాని ఏదైనా సంఖ్యతో సున్నాని విభజించి, గుణించినప్పుడు, ఫలితం సున్నా:
. మీరు సున్నాతో భాగించలేరు.
ఈ వ్యాసం ఒక అవలోకనాన్ని అందిస్తుంది హేతుబద్ధ సంఖ్యలతో కార్యకలాపాల లక్షణాలు. మొదట, అన్ని ఇతర లక్షణాలు ఆధారంగా ఉన్న ప్రాథమిక లక్షణాలు ప్రకటించబడ్డాయి. దీని తరువాత, హేతుబద్ధ సంఖ్యలతో కార్యకలాపాల యొక్క తరచుగా ఉపయోగించే కొన్ని ఇతర లక్షణాలు ఇవ్వబడ్డాయి.
పేజీ నావిగేషన్.
జాబితా చేద్దాం హేతుబద్ధ సంఖ్యలతో కార్యకలాపాల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు(a, b మరియు c అనేవి ఏకపక్ష హేతుబద్ధ సంఖ్యలు):
- సంకలనం యొక్క పరివర్తన ఆస్తి a+b=b+a.
- సంకలనం యొక్క సంయోగ లక్షణం (a+b)+c=a+(b+c) .
- సంకలనం ద్వారా తటస్థ మూలకం ఉనికి - సున్నా, ఏ సంఖ్యతో కలిపినా ఈ సంఖ్య మారదు, అంటే a+0=a.
- ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్య aకి వ్యతిరేక సంఖ్య -a అంటే a+(-a)=0.
- హేతుబద్ధ సంఖ్యల a·b=b·a గుణకారం యొక్క పరివర్తన లక్షణం.
- గుణకారం యొక్క సమ్మేళన లక్షణం (a·b)·c=a·(b·c) .
- గుణకారం కోసం తటస్థ మూలకం యొక్క ఉనికి ఒక యూనిట్, గుణకారం, దీని ద్వారా ఏదైనా సంఖ్య ఈ సంఖ్యను మార్చదు, అనగా a·1=a.
- ప్రతి సున్నా కాని హేతుబద్ధ సంఖ్య a కోసం a·a −1 =1 అనే విలోమ సంఖ్య a −1 ఉంటుంది.
- చివరగా, హేతుబద్ధ సంఖ్యల సంకలనం మరియు గుణకారం కూడికకు సంబంధించి గుణకారం యొక్క పంపిణీ లక్షణంతో సంబంధం కలిగి ఉంటాయి: a·(b+c)=a·b+a·c.
హేతుబద్ధ సంఖ్యలతో కార్యకలాపాల యొక్క జాబితా చేయబడిన లక్షణాలు ప్రాథమికమైనవి, ఎందుకంటే వాటి నుండి అన్ని ఇతర లక్షణాలను పొందవచ్చు.
ఇతర ముఖ్యమైన లక్షణాలు
హేతుబద్ధ సంఖ్యలతో కార్యకలాపాల యొక్క తొమ్మిది జాబితా చేయబడిన ప్రాథమిక లక్షణాలతో పాటు, చాలా విస్తృతంగా ఉపయోగించే అనేక లక్షణాలు ఉన్నాయి. వాటిని క్లుప్తంగా తెలియజేయండి.
అక్షరాలను ఉపయోగించి వ్రాయబడిన ఆస్తితో ప్రారంభిద్దాం a·(−b)=−(a·b)లేదా గుణకారం యొక్క కమ్యుటేటివ్ ప్రాపర్టీ ద్వారా (-a) b=-(a b). విభిన్న సంకేతాలతో హేతుబద్ధ సంఖ్యలను గుణించే నియమం ఈ ఆస్తి నుండి నేరుగా అనుసరిస్తుంది; దాని రుజువు కూడా ఈ కథనంలో ఇవ్వబడింది. ఈ లక్షణం "ప్లస్ మైనస్ ద్వారా గుణిస్తే మైనస్, మరియు మైనస్ గుణిస్తే ప్లస్ మైనస్" అనే నియమాన్ని వివరిస్తుంది.
ఇక్కడ కింది ఆస్తి ఉంది: (−a)·(−b)=a·b. ఇది ప్రతికూల హేతుబద్ధ సంఖ్యలను గుణించే నియమాన్ని సూచిస్తుంది; ఈ వ్యాసంలో మీరు పై సమానత్వానికి రుజువును కూడా కనుగొంటారు. ఈ లక్షణం గుణకార నియమానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది “మైనస్ రెట్లు మైనస్ ప్లస్.”
నిస్సందేహంగా, ఏకపక్ష హేతుబద్ధ సంఖ్యను సున్నాతో గుణించడంపై దృష్టి పెట్టడం విలువ: a·0=0లేదా 0 a=0. ఈ ఆస్తిని రుజువు చేద్దాం. ఏదైనా హేతుబద్ధమైన dకి 0=d+(−d), ఆపై a·0=a·(d+(−d)) . డిస్ట్రిబ్యూషన్ ప్రాపర్టీ ఫలిత వ్యక్తీకరణను a·d+a·(−d) గా తిరిగి వ్రాయడానికి అనుమతిస్తుంది మరియు a·(−d)=−(a·d) , తర్వాత a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). కాబట్టి మేము a·d మరియు −(a·d)కి సమానమైన రెండు వ్యతిరేక సంఖ్యల మొత్తానికి వచ్చాము, వాటి మొత్తం సున్నాని ఇస్తుంది, ఇది a·0=0 సమానత్వాన్ని రుజువు చేస్తుంది.
పైన మనం కూడిక మరియు గుణకారం యొక్క లక్షణాలను మాత్రమే జాబితా చేసాము, అయితే వ్యవకలనం మరియు భాగహారం యొక్క లక్షణాల గురించి ఒక్క మాట కూడా చెప్పలేదు. హేతుబద్ధ సంఖ్యల సమితిలో, వ్యవకలనం మరియు భాగహారం యొక్క చర్యలు వరుసగా కూడిక మరియు గుణకారం యొక్క విలోమంగా పేర్కొనబడటం దీనికి కారణం. అంటే, a−b అనేది మొత్తం a+(−b), మరియు quotient a:b అనేది a·b−1 (b≠0) ఉత్పత్తి.
వ్యవకలనం మరియు భాగహారం యొక్క ఈ నిర్వచనాలు, అలాగే కూడిక మరియు గుణకారం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు, మీరు హేతుబద్ధ సంఖ్యలతో కార్యకలాపాల యొక్క ఏదైనా లక్షణాలను నిరూపించవచ్చు.
ఉదాహరణగా, వ్యవకలనానికి సంబంధించి గుణకారం యొక్క పంపిణీ లక్షణాన్ని నిరూపిద్దాం: a·(b−c)=a·b−a·c. కింది సమానత్వాల గొలుసు కలిగి ఉంది: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, ఇది రుజువు.
తెలివైన విద్యార్థుల ద్వారా కాపీరైట్
అన్ని హక్కులు ప్రత్యేకించబడ్డాయి.
కాపీరైట్ చట్టం ద్వారా రక్షించబడింది. www.site యొక్క అంతర్గత మెటీరియల్స్ మరియు ప్రదర్శనతో సహా ఏ భాగాన్ని ఏ రూపంలోనైనా పునరుత్పత్తి చేయకూడదు లేదా కాపీరైట్ హోల్డర్ యొక్క ముందస్తు వ్రాతపూర్వక అనుమతి లేకుండా ఉపయోగించబడదు.