వర్గమూలం. ఉదాహరణలతో వివరణాత్మక సిద్ధాంతం

మూలాలు మరియు శక్తులతో వ్యక్తీకరణలను మార్చడానికి తరచుగా మూలాలు మరియు శక్తుల మధ్య ముందుకు వెనుకకు వెళ్లడం అవసరం. ఈ ఆర్టికల్లో అటువంటి పరివర్తనాలు ఎలా జరుగుతాయి, వాటికి ఏది ఆధారం మరియు ఏ పాయింట్ల వద్ద లోపాలు ఎక్కువగా జరుగుతాయో చూద్దాం. మేము పరిష్కారాల యొక్క వివరణాత్మక విశ్లేషణతో సాధారణ ఉదాహరణలతో ఇవన్నీ అందిస్తాము.

పేజీ నావిగేషన్.

పాక్షిక ఘాతాంకాలతో కూడిన శక్తుల నుండి మూలాలకు మార్పు

పాక్షిక ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ నుండి మూలానికి వెళ్లే అవకాశం డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనం ద్వారా నిర్దేశించబడుతుంది. అది ఎలా నిర్ణయించబడిందో మనం గుర్తుచేసుకుందాం: పాక్షిక ఘాతాంకం m/nతో ధనాత్మక సంఖ్య యొక్క శక్తి, ఇక్కడ m ఒక పూర్ణాంకం మరియు n అనేది సహజ సంఖ్య, దీనిని m యొక్క nవ మూలం అంటారు, అంటే a>0 , m∈Z, n∈ N. సున్నా యొక్క పాక్షిక శక్తి అదేవిధంగా నిర్వచించబడింది , ఒకే తేడాతో ఈ సందర్భంలో m ఇకపై పూర్ణాంకంగా పరిగణించబడదు, కానీ సహజమైనది, కాబట్టి సున్నా ద్వారా విభజన జరగదు.

అందువలన, డిగ్రీని ఎల్లప్పుడూ రూట్ ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు నుండి వెళ్ళవచ్చు మరియు డిగ్రీని రూట్ ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు. కానీ మీరు వ్యక్తీకరణ నుండి రూట్‌కి వెళ్లకూడదు, ఎందుకంటే డిగ్రీ మొదట్లో అర్ధవంతం కాదు (ప్రతికూల సంఖ్యల డిగ్రీ నిర్వచించబడలేదు), మూలానికి అర్థం ఉన్నప్పటికీ.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, సంఖ్యల శక్తుల నుండి మూలాలకు మారడంలో గమ్మత్తైనది ఏమీ లేదు. పాక్షిక ఘాతాంకాలతో ఉన్న శక్తుల మూలాలకు పరివర్తన, దీని బేస్ వద్ద ఏకపక్ష వ్యక్తీకరణలు, ఇదే విధంగా నిర్వహించబడతాయి. పేర్కొన్న పరివర్తన అసలు వ్యక్తీకరణ కోసం వేరియబుల్స్ యొక్క ODZపై నిర్వహించబడుతుందని గమనించండి. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ ఈ వ్యక్తీకరణ కోసం వేరియబుల్ x యొక్క మొత్తం ODZలో రూట్‌తో భర్తీ చేయవచ్చు . మరియు డిగ్రీ నుండి మూలానికి వెళ్ళండి , అసలు వ్యక్తీకరణ కోసం ODZ నుండి ఏదైనా వేరియబుల్స్ x, y మరియు z కోసం అటువంటి భర్తీ జరుగుతుంది.

మూలాలను శక్తులతో భర్తీ చేయడం

రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్ కూడా సాధ్యమే, అంటే, మూలాలను పాక్షిక ఘాతాంకాలతో శక్తులతో భర్తీ చేయడం. ఇది సమానత్వంపై కూడా ఆధారపడి ఉంటుంది, ఈ సందర్భంలో కుడి నుండి ఎడమకు, అంటే రూపంలో ఉపయోగించబడుతుంది.

సానుకూల కోసం సూచించిన పరివర్తన స్పష్టంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, మీరు డిగ్రీని తో భర్తీ చేయవచ్చు మరియు ఫారమ్ యొక్క పాక్షిక ఘాతాంకంతో రూట్ నుండి డిగ్రీకి వెళ్లవచ్చు.

మరియు ప్రతికూలత కోసం సమానత్వం అర్ధవంతం కాదు, కానీ మూలం ఇప్పటికీ అర్ధవంతంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, మూలాలు అర్థవంతంగా ఉంటాయి, కానీ వాటిని శక్తులతో భర్తీ చేయలేము. కాబట్టి వాటిని అధికారాలతో వ్యక్తీకరణలుగా మార్చడం కూడా సాధ్యమేనా? మీరు ప్రాథమిక పరివర్తనలను నిర్వహిస్తే ఇది సాధ్యమవుతుంది, అవి వాటి క్రింద ప్రతికూల సంఖ్యలతో మూలాలకు వెళ్లడం ఉంటాయి, అవి పాక్షిక ఘాతాకాలతో శక్తులతో భర్తీ చేయబడతాయి. ఈ ప్రాథమిక పరివర్తనలు ఏమిటో మరియు వాటిని ఎలా నిర్వహించాలో చూపిద్దాం.

రూట్ విషయంలో, మీరు క్రింది పరివర్తనలను చేయవచ్చు: . మరియు 4 అనేది ధనాత్మక సంఖ్య కాబట్టి, చివరి మూలాన్ని శక్తితో భర్తీ చేయవచ్చు. మరియు రెండవ సందర్భంలో ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క బేసి మూలాన్ని నిర్ణయించడం−a (ఎక్కడ సానుకూలంగా ఉంటుంది), సమానత్వం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది , రూట్‌ని ఎక్స్‌ప్రెషన్‌తో భర్తీ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, దీనిలో రెండు యొక్క క్యూబ్ రూట్ ఇప్పటికే డిగ్రీతో భర్తీ చేయబడుతుంది మరియు అది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది.

వ్యక్తీకరణలు ఉన్న మూలాలు బేస్‌లో ఈ వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉన్న శక్తులతో ఎలా భర్తీ చేయబడతాయో గుర్తించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. దానితో భర్తీ చేయడానికి తొందరపడవలసిన అవసరం లేదు, మేము ఒక నిర్దిష్ట వ్యక్తీకరణను సూచించడానికి A అక్షరాన్ని ఉపయోగించాము. దీని అర్థం ఏమిటో వివరించడానికి ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం. నేను సమానత్వం ఆధారంగా రూట్‌ని డిగ్రీతో భర్తీ చేయాలనుకుంటున్నాను. కానీ అటువంటి భర్తీ షరతు x−3≥0 క్రింద మాత్రమే సరిపోతుంది మరియు ODZ నుండి వేరియబుల్ x యొక్క మిగిలిన విలువలకు (పరిస్థితి x−3ని సంతృప్తిపరుస్తుంది<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.

ఫార్ములా యొక్క ఈ సరికాని అనువర్తనం కారణంగా, మూలాల నుండి శక్తులకు మారినప్పుడు తరచుగా లోపాలు సంభవిస్తాయి. ఉదాహరణకు, పాఠ్యపుస్తకంలో హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తి రూపంలో వ్యక్తీకరణను సూచించడానికి టాస్క్ ఇవ్వబడుతుంది మరియు షరతు b>0 నిర్బంధాన్ని పేర్కొననందున ప్రశ్నలను లేవనెత్తే సమాధానం ఇవ్వబడుతుంది. మరియు పాఠ్యపుస్తకంలో వ్యక్తీకరణ నుండి పరివర్తన ఉంది , చాలా మటుకు అహేతుక వ్యక్తీకరణ యొక్క క్రింది రూపాంతరాల ద్వారా

వ్యక్తీకరణకు. తాజా మార్పు కూడా ప్రశ్నలను లేవనెత్తుతుంది, ఎందుకంటే ఇది DZని తగ్గిస్తుంది.

ఒక తార్కిక ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: "ODZ నుండి వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విలువల కోసం రూట్ నుండి పవర్‌కి సరిగ్గా ఎలా వెళ్లాలి?" ఈ భర్తీ కింది ప్రకటనల ఆధారంగా నిర్వహించబడుతుంది:

రికార్డ్ చేసిన ఫలితాలను సమర్థించే ముందు, మూలాల నుండి శక్తులకు మారడం కోసం మేము వాటి ఉపయోగం యొక్క అనేక ఉదాహరణలను ఇస్తాము. మొదట, వ్యక్తీకరణకు తిరిగి వెళ్దాం. ఇది భర్తీ చేయబడి ఉండాలి , కానీ (ఈ సందర్భంలో m=2 అనేది సరి పూర్ణాంకం, n=3 అనేది సహజ పూర్ణాంకం). మరొక ఉదాహరణ: .

ఇప్పుడు ఫలితాల వాగ్దానం సమర్థన.

m అనేది బేసి పూర్ణాంకం మరియు n అనేది సరి సహజ పూర్ణాంకం అయినప్పుడు, వ్యక్తీకరణ కోసం ODZ నుండి ఏదైనా వేరియబుల్స్ సెట్ కోసం, వ్యక్తీకరణ A యొక్క విలువ సానుకూలంగా ఉంటుంది (m అయితే<0 ) или неотрицательно (если m>0) అందుకే, .

రెండవ ఫలితానికి వెళ్దాం. m అనేది ధనాత్మక బేసి పూర్ణాంకం మరియు n బేసి సహజ సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి. ODZ నుండి వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విలువలకు, వ్యక్తీకరణ A యొక్క విలువ ప్రతికూలంగా ఉండదు, , మరియు ఇది ప్రతికూలమైనది,

కింది ఫలితం ప్రతికూల మరియు బేసి పూర్ణాంకాల m మరియు బేసి సహజ పూర్ణాంకాల n కోసం అదే విధంగా నిరూపించబడింది. ODZ నుండి వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విలువలకు, వ్యక్తీకరణ A యొక్క విలువ సానుకూలంగా ఉంటుంది, , మరియు ఇది ప్రతికూలమైనది,

చివరగా, చివరి ఫలితం. m ఒక సరి పూర్ణాంకం, n ఏదైనా సహజ సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి. ODZ నుండి వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విలువలకు, వ్యక్తీకరణ A యొక్క విలువ సానుకూలంగా ఉంటుంది (m అయితే<0 ) или неотрицательно (если m>0 ), . మరియు ఇది ప్రతికూలమైనది, . కాబట్టి, m అనేది సరి పూర్ణాంకం అయితే, n అనేది ఏదైనా సహజ సంఖ్య, అప్పుడు వ్యక్తీకరణ కోసం ODZ నుండి వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువల సెట్ కోసం దాన్ని భర్తీ చేయవచ్చు.

గ్రంథ పట్టిక.

1. బీజగణితంమరియు విశ్లేషణ ప్రారంభం: ప్రో. 10-11 తరగతులకు. సాధారణ విద్య సంస్థలు / A. N. కోల్మోగోరోవ్, A. M. అబ్రమోవ్, యు. పి. డడ్నిట్సిన్ మరియు ఇతరులు; Ed. A. N. కోల్మోగోరోవ్ - 14వ ఎడిషన్ - M.: ఎడ్యుకేషన్, 2004. - 384 pp.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
2. బీజగణితంమరియు గణిత విశ్లేషణ ప్రారంభం. 11వ తరగతి: విద్యా. సాధారణ విద్య కోసం సంస్థలు: ప్రాథమిక మరియు ప్రొఫైల్. స్థాయిలు / [యు. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. ఫెడోరోవా, M. I. షాబునిన్]; ద్వారా సవరించబడింది A. B. జిజ్చెంకో. – M.: ఎడ్యుకేషన్, 2009.- 336 pp.: ill.- ISBN 979-5-09-016551-8.

ఇది క్రమబద్ధీకరించడానికి సమయం రూట్ వెలికితీత పద్ధతులు. అవి మూలాల లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి, ప్రత్యేకించి, సమానత్వంపై ఆధారపడి ఉంటాయి, ఇది ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్య b కోసం వర్తిస్తుంది.

క్రింద మేము మూలాలను ఒక్కొక్కటిగా వెలికితీసే ప్రధాన పద్ధతులను పరిశీలిస్తాము.

సరళమైన కేసుతో ప్రారంభిద్దాం - చతురస్రాల పట్టిక, ఘనాల పట్టిక మొదలైనవాటిని ఉపయోగించి సహజ సంఖ్యల నుండి మూలాలను సంగ్రహించడం.

చతురస్రాలు, క్యూబ్‌లు మొదలైన వాటి పట్టికలు ఉంటే. మీ వద్ద అది లేనట్లయితే, మూలాన్ని వెలికితీసే పద్ధతిని ఉపయోగించడం తార్కికం, ఇది రాడికల్ సంఖ్యను ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోయేలా చేస్తుంది.

బేసి ఘాతాంకాలతో మూలాలకు ఏది సాధ్యమో ప్రత్యేకంగా పేర్కొనడం విలువ.

చివరగా, మూల విలువ యొక్క అంకెలను వరుసగా కనుగొనడానికి అనుమతించే పద్ధతిని పరిశీలిద్దాం.

ప్రారంభిద్దాం.

చతురస్రాల పట్టిక, ఘనాల పట్టిక మొదలైనవాటిని ఉపయోగించడం.

సరళమైన సందర్భాల్లో, చతురస్రాలు, ఘనాల, మొదలైన వాటి పట్టికలు మీరు మూలాలను సేకరించేందుకు అనుమతిస్తాయి. ఈ పట్టికలు ఏమిటి?

0 నుండి 99 వరకు పూర్ణాంకాల చతురస్రాల పట్టిక (క్రింద చూపబడింది) రెండు జోన్‌లను కలిగి ఉంటుంది. పట్టిక యొక్క మొదటి జోన్ బూడిదరంగు నేపథ్యంలో ఉంది; నిర్దిష్ట అడ్డు వరుస మరియు నిర్దిష్ట నిలువు వరుసను ఎంచుకోవడం ద్వారా, ఇది 0 నుండి 99 వరకు సంఖ్యను కంపోజ్ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఉదాహరణకు, 8 పదుల వరుసను మరియు 3 యూనిట్ల నిలువు వరుసను ఎంచుకుందాం, దీనితో మేము 83 సంఖ్యను పరిష్కరించాము. రెండవ జోన్ మిగిలిన పట్టికను ఆక్రమించింది. ప్రతి సెల్ నిర్దిష్ట అడ్డు వరుస మరియు నిర్దిష్ట నిలువు వరుస యొక్క ఖండన వద్ద ఉంది మరియు 0 నుండి 99 వరకు సంబంధిత సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని కలిగి ఉంటుంది. మేము ఎంచుకున్న 8 పదుల వరుస మరియు నిలువు వరుస 3 ఖండన వద్ద 6,889 సంఖ్యతో సెల్ ఉంది, ఇది 83 సంఖ్య యొక్క స్క్వేర్.

క్యూబ్‌ల పట్టికలు, 0 నుండి 99 వరకు ఉన్న సంఖ్యల నాల్గవ శక్తుల పట్టికలు మరియు మొదలైనవి చతురస్రాల పట్టికను పోలి ఉంటాయి, అవి రెండవ జోన్‌లో ఘనాలు, నాల్గవ శక్తులు మొదలైనవి మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి. సంబంధిత సంఖ్యలు.

చతురస్రాలు, ఘనాల పట్టికలు, నాల్గవ శక్తులు మొదలైనవి. వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు, నాల్గవ మూలాలు మొదలైనవాటిని సంగ్రహించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. తదనుగుణంగా ఈ పట్టికలలోని సంఖ్యల నుండి. మూలాలను వెలికితీసేటప్పుడు వాటి ఉపయోగం యొక్క సూత్రాన్ని వివరించండి.

a సంఖ్య యొక్క nవ మూలాన్ని సంగ్రహించవలసి ఉందని అనుకుందాం, అయితే a సంఖ్య nth శక్తుల పట్టికలో ఉంటుంది. ఈ పట్టికను ఉపయోగించి మనం a=b n అనే సంఖ్యను కనుగొంటాము. అప్పుడు , కాబట్టి, b సంఖ్య nవ డిగ్రీకి కావలసిన రూట్ అవుతుంది.

ఉదాహరణగా, 19,683 యొక్క క్యూబ్ రూట్‌ను సంగ్రహించడానికి క్యూబ్ టేబుల్‌ను ఎలా ఉపయోగించాలో చూపిద్దాం. మేము ఘనాల పట్టికలో 19,683 సంఖ్యను కనుగొంటాము, దాని నుండి ఈ సంఖ్య 27 సంఖ్య యొక్క క్యూబ్ అని మేము కనుగొన్నాము, కాబట్టి, .

మూలాలను సంగ్రహించడానికి n వ శక్తుల పట్టికలు చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉన్నాయని స్పష్టమవుతుంది. అయినప్పటికీ, అవి తరచుగా చేతిలో ఉండవు మరియు వాటిని కంపైల్ చేయడానికి కొంత సమయం అవసరం. అంతేకాకుండా, సంబంధిత పట్టికలలో లేని సంఖ్యల నుండి మూలాలను సేకరించడం తరచుగా అవసరం. ఈ సందర్భాలలో, మీరు రూట్ వెలికితీత ఇతర పద్ధతులను ఆశ్రయించవలసి ఉంటుంది.

రాడికల్ సంఖ్యను ప్రధాన కారకాలుగా కారకం

సహజ సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించడానికి చాలా అనుకూలమైన మార్గం (నిజానికి, మూలం సంగ్రహించబడినట్లయితే) రాడికల్ సంఖ్యను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీయడం. తన పాయింట్ ఇది: ఆ తర్వాత దానిని కావలసిన ఘాతాంకంతో శక్తిగా సూచించడం చాలా సులభం, ఇది రూట్ విలువను పొందేందుకు మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఈ విషయాన్ని స్పష్టం చేద్దాం.

సహజ సంఖ్య a యొక్క nవ మూలాన్ని తీసుకోనివ్వండి మరియు దాని విలువ bకి సమానం. ఈ సందర్భంలో, సమానత్వం a=b n నిజం. సంఖ్య b, ఏదైనా సహజ సంఖ్య వలె, దాని అన్ని ప్రధాన కారకాల యొక్క ఉత్పత్తిగా సూచించబడుతుంది p 1 , p 2 , ..., p m రూపంలో p 1 ·p 2 ·…·p m , మరియు ఈ సందర్భంలో రాడికల్ సంఖ్య a (p 1 ·p 2 ·…·p m) n గా సూచించబడుతుంది. ఒక సంఖ్యను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీయడం విశిష్టమైనది కాబట్టి, రాడికల్ సంఖ్య a ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోవడం వల్ల రూపం (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ఉంటుంది, ఇది రూట్ విలువను గణించడం సాధ్యపడుతుంది. వంటి.

ఒక రాడికల్ సంఖ్య a యొక్క ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోవడాన్ని (p 1 ·p 2 ·...·p m) n రూపంలో సూచించలేకపోతే, అటువంటి సంఖ్య a యొక్క nవ మూలం పూర్తిగా సంగ్రహించబడదని గమనించండి.

ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు దీనిని గుర్తించండి.

ఉదాహరణ.

144 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

పరిష్కారం.

మీరు మునుపటి పేరాలో ఇచ్చిన స్క్వేర్‌ల పట్టికను చూస్తే, మీరు 144 = 12 2 అని స్పష్టంగా చూడవచ్చు, దాని నుండి 144 యొక్క వర్గమూలం 12కి సమానం అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

కానీ ఈ పాయింట్ వెలుగులో, రాడికల్ సంఖ్య 144ని ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోవడం ద్వారా రూట్ ఎలా సంగ్రహించబడుతుందనే దానిపై మాకు ఆసక్తి ఉంది. ఈ పరిష్కారాన్ని చూద్దాం.

కుళ్ళిపోదాం 144 నుండి ప్రధాన కారకాలు:

అంటే, 144=2·2·2·2·3·3. ఫలితంగా కుళ్ళిపోవడం ఆధారంగా, కింది పరివర్తనాలు నిర్వహించబడతాయి: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. అందుకే, .

డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలు మరియు మూలాల లక్షణాలను ఉపయోగించి, పరిష్కారాన్ని కొద్దిగా భిన్నంగా రూపొందించవచ్చు: .

సమాధానం:

పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, మరో రెండు ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను పరిగణించండి.

ఉదాహరణ.

రూట్ విలువను లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

రాడికల్ సంఖ్య 243 యొక్క ప్రధాన కారకం 243=3 5 రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఈ విధంగా, .

సమాధానం:

ఉదాహరణ.

మూల విలువ పూర్ణాంకమా?

పరిష్కారం.

ఈ ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి, రాడికల్ సంఖ్యను ప్రధాన కారకాలుగా పరిశీలిద్దాం మరియు దానిని పూర్ణాంకం యొక్క క్యూబ్‌గా సూచించవచ్చో లేదో చూద్దాం.

మాకు 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 ఉంది. ప్రధాన కారకం 7 యొక్క శక్తి మూడు యొక్క గుణకం కానందున, ఫలితంగా వచ్చే విస్తరణ పూర్ణాంకం యొక్క ఘనం వలె సూచించబడదు. కాబట్టి, 285,768 యొక్క క్యూబ్ రూట్ పూర్తిగా సంగ్రహించబడదు.

సమాధానం:

నం.

భిన్న సంఖ్యల నుండి మూలాలను సంగ్రహించడం

పాక్షిక సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని ఎలా సంగ్రహించాలో గుర్తించడానికి ఇది సమయం. భిన్న రాడికల్ సంఖ్యను p/q అని వ్రాయనివ్వండి. గుణకం యొక్క మూలం యొక్క లక్షణం ప్రకారం, కింది సమానత్వం నిజం. ఈ సమానత్వం నుండి అది అనుసరిస్తుంది భిన్నం యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించే నియమం: భిన్నం యొక్క మూలం హారం యొక్క మూలంతో భాగించబడిన న్యూమరేటర్ యొక్క మూలం యొక్క భాగానికి సమానం.

భిన్నం నుండి మూలాన్ని సంగ్రహించే ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

సాధారణ భిన్నం 25/169 వర్గమూలం ఏమిటి?

పరిష్కారం.

చతురస్రాల పట్టికను ఉపయోగించి, అసలు భిన్నం యొక్క లవం యొక్క వర్గమూలం 5కి సమానం మరియు హారం యొక్క వర్గమూలం 13కి సమానం. అప్పుడు . ఇది సాధారణ భిన్నం 25/169 యొక్క మూలం యొక్క సంగ్రహణను పూర్తి చేస్తుంది.

సమాధానం:

రాడికల్ సంఖ్యలను సాధారణ భిన్నాలతో భర్తీ చేసిన తర్వాత దశాంశ భిన్నం లేదా మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క మూలం సంగ్రహించబడుతుంది.

ఉదాహరణ.

దశాంశ భిన్నం 474.552 యొక్క ఘనమూలాన్ని తీసుకోండి.

పరిష్కారం.

అసలు దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంలా ఊహించుకుందాం: 474.552=474552/1000. అప్పుడు . ఫలిత భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంలో ఉన్న క్యూబ్ మూలాలను సంగ్రహించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. ఎందుకంటే 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 మరియు 1 000 = 10 3, ఆపై మరియు . లెక్కలు పూర్తి చేయడమే మిగిలి ఉంది .

సమాధానం:

.

ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని తీసుకోవడం

ప్రతికూల సంఖ్యల నుండి మూలాలను సంగ్రహించడంపై నివసించడం విలువైనదే. మూలాలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, మూల ఘాతాంకం బేసి సంఖ్య అయినప్పుడు, మూల చిహ్నం క్రింద ప్రతికూల సంఖ్య ఉండవచ్చని మేము చెప్పాము. మేము ఈ ఎంట్రీలకు క్రింది అర్థాన్ని ఇచ్చాము: ప్రతికూల సంఖ్య -a మరియు రూట్ 2 n−1 యొక్క బేసి ఘాతాంకం కోసం, . ఈ సమానత్వం ఇస్తుంది ప్రతికూల సంఖ్యల నుండి బేసి మూలాలను సంగ్రహించే నియమం: ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించడానికి, మీరు వ్యతిరేక సానుకూల సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని తీసుకోవాలి మరియు ఫలితం ముందు మైనస్ గుర్తును ఉంచాలి.

ఉదాహరణ పరిష్కారాన్ని చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

రూట్ విలువను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

మూల సంకేతం క్రింద సానుకూల సంఖ్య ఉండేలా అసలు వ్యక్తీకరణను మారుద్దాం: . ఇప్పుడు మిశ్రమ సంఖ్యను సాధారణ భిన్నంతో భర్తీ చేయండి: . మేము సాధారణ భిన్నం యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించడానికి నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము: . ఫలిత భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంలోని మూలాలను లెక్కించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది: .

పరిష్కారం యొక్క సంక్షిప్త సారాంశం ఇక్కడ ఉంది: .

సమాధానం:

.

మూల విలువ యొక్క బిట్‌వైస్ నిర్ణయం

సాధారణ సందర్భంలో, రూట్ కింద ఒక సంఖ్య ఉంది, పైన చర్చించిన సాంకేతికతలను ఉపయోగించి, ఏదైనా సంఖ్య యొక్క nవ శక్తిగా సూచించబడదు. కానీ ఈ సందర్భంలో కనీసం ఒక నిర్దిష్ట సంకేతం వరకు ఇచ్చిన రూట్ యొక్క అర్ధాన్ని తెలుసుకోవలసిన అవసరం ఉంది. ఈ సందర్భంలో, మూలాన్ని సంగ్రహించడానికి, మీరు కావలసిన సంఖ్య యొక్క తగినంత సంఖ్యలో అంకెల విలువలను వరుసగా పొందేందుకు మిమ్మల్ని అనుమతించే అల్గోరిథంను ఉపయోగించవచ్చు.

ఈ అల్గోరిథం యొక్క మొదటి దశ రూట్ విలువ యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన బిట్ ఏమిటో కనుగొనడం. దీన్ని చేయడానికి, 0, 10, 100, ... సంఖ్యలు రాడికల్ సంఖ్యను అధిగమించిన క్షణం వరకు n శక్తికి వరుసగా పెంచబడతాయి. అప్పుడు మేము మునుపటి దశలో పవర్ nకి పెంచిన సంఖ్య సంబంధిత అత్యంత ముఖ్యమైన అంకెను సూచిస్తుంది.

ఉదాహరణకు, ఐదు వర్గమూలాన్ని సంగ్రహిస్తున్నప్పుడు అల్గోరిథం యొక్క ఈ దశను పరిగణించండి. 0, 10, 100, ... సంఖ్యలను తీసుకుని, మనం 5 కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను పొందే వరకు వాటిని వర్గీకరించండి. మనకు 0 2 =0 ఉంది<5 , 10 2 =100>5, అంటే అత్యంత ముఖ్యమైన అంకె ఒక అంకెగా ఉంటుంది. ఈ బిట్ యొక్క విలువ, అలాగే దిగువ వాటిని, రూట్ వెలికితీత అల్గోరిథం యొక్క తదుపరి దశలలో కనుగొనబడుతుంది.

అల్గోరిథం యొక్క అన్ని తదుపరి దశలు రూట్ యొక్క కావలసిన విలువ యొక్క తదుపరి బిట్‌ల విలువలను కనుగొనడం ద్వారా, అత్యధికంగా ప్రారంభించి, అత్యల్ప వాటికి వెళ్లడం ద్వారా రూట్ విలువను వరుసగా స్పష్టం చేయడం లక్ష్యంగా పెట్టుకున్నాయి. ఉదాహరణకు, మొదటి దశలో రూట్ విలువ 2, రెండవది - 2.2, మూడవది - 2.23, మరియు 2.236067977…. అంకెల విలువలు ఎలా కనుగొనబడతాయో వివరిస్తాము.

అంకెలు వాటి సాధ్యం విలువలు 0, 1, 2, ..., 9 ద్వారా శోధించడం ద్వారా కనుగొనబడతాయి. ఈ సందర్భంలో, సంబంధిత సంఖ్యల యొక్క n వ శక్తులు సమాంతరంగా లెక్కించబడతాయి మరియు అవి రాడికల్ సంఖ్యతో పోల్చబడతాయి. ఏదో ఒక దశలో డిగ్రీ విలువ రాడికల్ సంఖ్యను మించి ఉంటే, మునుపటి విలువకు సంబంధించిన అంకె యొక్క విలువ కనుగొనబడినట్లు పరిగణించబడుతుంది మరియు రూట్ వెలికితీత అల్గోరిథం యొక్క తదుపరి దశకు మార్పు చేయబడుతుంది; ఇది జరగకపోతే, అప్పుడు ఈ అంకె విలువ 9.

ఐదు యొక్క వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించే అదే ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ పాయింట్లను వివరిస్తాము.

మొదట మనం యూనిట్ల అంకెల విలువను కనుగొంటాము. మేము రాడికల్ సంఖ్య 5 కంటే ఎక్కువ విలువను పొందే వరకు మేము వరుసగా 0, 1, 2, ..., 9, 0 2, 1 2, ..., 9 2, గణన ద్వారా వెళ్తాము. ఈ లెక్కలన్నింటినీ పట్టిక రూపంలో ప్రదర్శించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది:

కాబట్టి యూనిట్ల అంకెల విలువ 2 (2 2 నుండి<5 , а 2 3 >5 ). పదవ స్థానం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి వెళ్దాం. ఈ సందర్భంలో, మేము 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 సంఖ్యలను వర్గీకరిస్తాము, ఫలిత విలువలను రాడికల్ సంఖ్య 5 తో పోల్చండి:

2.2 2 నుండి<5 , а 2,3 2 >5, అప్పుడు పదవ స్థానం విలువ 2. మీరు వందవ స్థానం విలువను కనుగొనడానికి కొనసాగవచ్చు:

ఈ విధంగా ఐదు యొక్క మూలం యొక్క తదుపరి విలువ కనుగొనబడింది, ఇది 2.23కి సమానం. కాబట్టి మీరు విలువలను కనుగొనడం కొనసాగించవచ్చు: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, మేము పరిగణించబడిన అల్గోరిథంను ఉపయోగించి రూట్ యొక్క వెలికితీతను వందవ వంతు ఖచ్చితత్వంతో విశ్లేషిస్తాము.

మొదట మేము అత్యంత ముఖ్యమైన అంకెను నిర్ణయిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము 0, 10, 100 మొదలైన సంఖ్యలను క్యూబ్ చేస్తాము. మేము 2,151,186 కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను పొందే వరకు. మనకు 0 3 =0 ఉంది<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , కాబట్టి అత్యంత ముఖ్యమైన అంకె పదుల అంకె.

దాని విలువను నిర్ధారిద్దాం.

10 3 నుండి<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, అప్పుడు పదుల స్థలం విలువ 1. యూనిట్లకు వెళ్దాం.

ఈ విధంగా, ఒక అంకె విలువ 2. పదవ వంతుకు వెళ్దాం.

12.9 3 కూడా రాడికల్ సంఖ్య 2 151.186 కంటే తక్కువ కాబట్టి, పదవ స్థానం విలువ 9. ఇది అల్గోరిథం యొక్క చివరి దశను నిర్వహించడానికి మిగిలి ఉంది; ఇది మాకు అవసరమైన ఖచ్చితత్వంతో రూట్ విలువను ఇస్తుంది.

ఈ దశలో, రూట్ విలువ వందవ వంతు వరకు ఖచ్చితమైనదిగా కనుగొనబడింది: .

ఈ వ్యాసం ముగింపులో, మూలాలను తీయడానికి అనేక ఇతర మార్గాలు ఉన్నాయని నేను చెప్పాలనుకుంటున్నాను. కానీ చాలా పనులకు మనం పైన అధ్యయనం చేసినవే సరిపోతాయి.

గ్రంథ పట్టిక.

• మకరిచెవ్ యు.ఎన్., మిండియుక్ ఎన్.జి., నెష్కోవ్ కె.ఐ., సువోరోవా ఎస్.బి. బీజగణితం: 8వ తరగతికి పాఠ్య పుస్తకం. విద్యా సంస్థలు.
• కోల్మోగోరోవ్ A.N., అబ్రమోవ్ A.M., డడ్నిట్సిన్ యు.పి. మరియు ఇతరులు. బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభం: సాధారణ విద్యా సంస్థల 10 - 11 తరగతులకు పాఠ్య పుస్తకం.
• గుసేవ్ V.A., మోర్డ్కోవిచ్ A.G. గణితం (సాంకేతిక పాఠశాలల్లోకి ప్రవేశించే వారి కోసం ఒక మాన్యువల్).

మళ్ళీ గుర్తు వైపు చూసాను... మరి, వెళ్దాం!

సరళమైన వాటితో ప్రారంభిద్దాం:

ఒక్క నిమిషం. ఇది, అంటే మనం దీన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

దొరికింది? మీ కోసం తదుపరిది ఇక్కడ ఉంది:

ఫలిత సంఖ్యల మూలాలు ఖచ్చితంగా సంగ్రహించబడలేదా? సమస్య లేదు - ఇక్కడ కొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి:

రెండు కాదు, ఎక్కువ గుణకాలు ఉంటే? అదే! మూలాలను గుణించడం కోసం సూత్రం ఎన్ని కారకాలతో పని చేస్తుంది:

ఇప్పుడు పూర్తిగా మీ స్వంతంగా:

సమాధానాలు:బాగా చేసారు! అంగీకరిస్తున్నారు, ప్రతిదీ చాలా సులభం, ప్రధాన విషయం గుణకారం పట్టిక తెలుసుకోవడం!

రూట్ విభజన

మేము మూలాల గుణకారాన్ని క్రమబద్ధీకరించాము, ఇప్పుడు విభజన యొక్క ఆస్తికి వెళ్దాం.

సాధారణ సూత్రం ఇలా ఉందని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను:

అంటే మూలం యొక్క మూలం మూలాల భాగానికి సమానం.

సరే, కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం:

సైన్స్ అంటే అంతే. ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ:

ప్రతిదీ మొదటి ఉదాహరణలో వలె మృదువైనది కాదు, కానీ, మీరు చూడగలిగినట్లుగా, సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు.

మీరు ఈ వ్యక్తీకరణను చూసినట్లయితే ఏమి చేయాలి:

మీరు వ్యతిరేక దిశలో సూత్రాన్ని వర్తింపజేయాలి:

మరియు ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ:

మీరు ఈ వ్యక్తీకరణను కూడా చూడవచ్చు:

ప్రతిదీ ఒకేలా ఉంటుంది, ఇక్కడ మాత్రమే మీరు భిన్నాలను ఎలా అనువదించాలో గుర్తుంచుకోవాలి (మీకు గుర్తులేకపోతే, అంశాన్ని చూసి తిరిగి రండి!). నీకు గుర్తుందా? ఇప్పుడు నిర్ణయించుకుందాం!

మీరు అన్నింటినీ అధిగమించారని నేను ఖచ్చితంగా అనుకుంటున్నాను, ఇప్పుడు మూలాలను డిగ్రీలకు పెంచడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

ఎక్స్పోనెన్షియేషన్

వర్గమూలాన్ని వర్గీకరించినట్లయితే ఏమి జరుగుతుంది? ఇది చాలా సులభం, సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం యొక్క అర్ధాన్ని గుర్తుంచుకోండి - ఇది వర్గమూలానికి సమానమైన సంఖ్య.

కాబట్టి, వర్గమూలం సమానమైన సంఖ్యను వర్గీకరిస్తే, మనకు ఏమి లభిస్తుంది?

బాగా, వాస్తవానికి, !

ఉదాహరణలను చూద్దాం:

ఇది సులభం, సరియైనదా? రూట్ వేరే డిగ్రీలో ఉంటే? ఇట్స్ ఓకే!

అదే తర్కాన్ని అనుసరించండి మరియు డిగ్రీలతో లక్షణాలు మరియు సాధ్యమయ్యే చర్యలను గుర్తుంచుకోండి.

"" అంశంపై సిద్ధాంతాన్ని చదవండి మరియు ప్రతిదీ మీకు చాలా స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది.

ఉదాహరణకు, ఇక్కడ ఒక వ్యక్తీకరణ ఉంది:

ఈ ఉదాహరణలో, డిగ్రీ సరి, కానీ అది బేసిగా ఉంటే ఏమి చేయాలి? మళ్ళీ, ఘాతాంకాల లక్షణాలను వర్తింపజేయండి మరియు ప్రతిదానికీ కారకం చేయండి:

దీనితో ప్రతిదీ స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది, కానీ సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని శక్తికి ఎలా సంగ్రహించాలి? ఇక్కడ, ఉదాహరణకు, ఇది:

చాలా సులభం, సరియైనదా? డిగ్రీ రెండు కంటే ఎక్కువ ఉంటే ఏమి చేయాలి? మేము డిగ్రీల లక్షణాలను ఉపయోగించి అదే తర్కాన్ని అనుసరిస్తాము:

బాగా, ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉందా? ఆపై ఉదాహరణలను మీరే పరిష్కరించండి:

మరియు ఇక్కడ సమాధానాలు ఉన్నాయి:

రూట్ యొక్క సైన్ కింద ప్రవేశిస్తోంది

మూలాలతో మనం ఏమి నేర్చుకోలేదు! రూట్ సైన్ కింద సంఖ్యను నమోదు చేయడం ప్రాక్టీస్ చేయడమే మిగిలి ఉంది!

ఇది నిజంగా సులభం!

మన దగ్గర ఒక నంబర్ రాసి ఉందనుకుందాం

దానితో మనం ఏమి చేయగలం? సరే, అయితే, మూడింటిని రూట్ కింద దాచిపెట్టండి, మూడు అనేది వర్గమూలం అని గుర్తుంచుకోండి!

మనకు ఇది ఎందుకు అవసరం? అవును, ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు మా సామర్థ్యాలను విస్తరించడానికి:

మీరు ఈ మూలాల ఆస్తిని ఎలా ఇష్టపడతారు? ఇది జీవితాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తుందా? నాకు, ఇది ఖచ్చితంగా సరైనది! మాత్రమే వర్గమూలం గుర్తు కింద మాత్రమే మనం ధనాత్మక సంఖ్యలను నమోదు చేయగలమని గుర్తుంచుకోవాలి.

ఈ ఉదాహరణను మీరే పరిష్కరించండి -
మీరు నిర్వహించారా? మీరు ఏమి పొందాలో చూద్దాం:

బాగా చేసారు! మీరు రూట్ సైన్ కింద నంబర్‌ను నమోదు చేయగలిగారు! సమానమైన ముఖ్యమైనదానికి వెళ్దాం - వర్గమూలం ఉన్న సంఖ్యలను ఎలా పోల్చాలో చూద్దాం!

మూలాల పోలిక

వర్గమూలం ఉన్న సంఖ్యలను పోల్చడం మనం ఎందుకు నేర్చుకోవాలి?

చాలా సింపుల్. తరచుగా, పరీక్షలో ఎదురయ్యే పెద్ద మరియు పొడవైన వ్యక్తీకరణలలో, మేము అహేతుక సమాధానాన్ని అందుకుంటాము (ఇది ఏమిటో గుర్తుంచుకోండి? మేము ఈ రోజు దీని గురించి ఇప్పటికే మాట్లాడాము!)

మేము అందుకున్న సమాధానాలను కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఉంచాలి, ఉదాహరణకు, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ఏ విరామం అనుకూలంగా ఉందో నిర్ణయించడానికి. మరియు ఇక్కడ సమస్య తలెత్తుతుంది: పరీక్షలో కాలిక్యులేటర్ లేదు, మరియు అది లేకుండా, ఏ సంఖ్య ఎక్కువ మరియు ఏది తక్కువ అని మీరు ఎలా ఊహించగలరు? అంతే!

ఉదాహరణకు, ఏది గొప్పదో నిర్ణయించండి: లేదా?

మీరు వెంటనే చెప్పలేరు. సరే, మూల సంకేతం క్రింద సంఖ్యను నమోదు చేయడానికి విడదీయబడిన ఆస్తిని ఉపయోగించాలా?

ఆపై ముందుకు సాగండి:

బాగా, సహజంగానే, రూట్ సైన్ కింద పెద్ద సంఖ్య, రూట్ కూడా పెద్దది!

ఆ. అయితే, అప్పుడు, .

దీని నుండి మేము దానిని గట్టిగా ముగించాము. మరియు ఎవరూ మమ్మల్ని ఒప్పించరు!

పెద్ద సంఖ్యల నుండి మూలాలను సంగ్రహించడం

దీనికి ముందు, మేము రూట్ యొక్క గుర్తు క్రింద గుణకం నమోదు చేసాము, కానీ దానిని ఎలా తీసివేయాలి? మీరు దానిని కారకాలుగా పరిగణించాలి మరియు మీరు సంగ్రహించే వాటిని సంగ్రహించాలి!

వేరొక మార్గాన్ని తీసుకోవడం మరియు ఇతర కారకాలకు విస్తరించడం సాధ్యమైంది:

చెడ్డది కాదు, సరియైనదా? ఈ విధానాలలో ఏదైనా సరైనది, మీరు కోరుకున్నట్లు నిర్ణయించుకోండి.

అటువంటి ప్రామాణికం కాని సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఫ్యాక్టరింగ్ చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది:

భయపడవద్దు, కానీ పని చేద్దాం! రూట్ కింద ప్రతి కారకాన్ని ప్రత్యేక కారకాలుగా విడదీద్దాం:

ఇప్పుడు దీన్ని మీరే ప్రయత్నించండి (కాలిక్యులేటర్ లేకుండా! ఇది పరీక్షలో ఉండదు):

ఇదేనా ముగింపు? సగంలోనే ఆగిపోదాం!

అంతే, ఇది చాలా భయానకంగా లేదు, సరియైనదా?

జరిగిందా? బాగా చేసారు, అది నిజమే!

ఇప్పుడు ఈ ఉదాహరణను ప్రయత్నించండి:

కానీ ఉదాహరణ పగులగొట్టడానికి కఠినమైన గింజ, కాబట్టి మీరు దానిని ఎలా చేరుకోవాలో వెంటనే గుర్తించలేరు. కానీ, వాస్తవానికి, మేము దానిని నిర్వహించగలము.

సరే, కారకాన్ని ప్రారంభిద్దాం? మీరు సంఖ్యను దీని ద్వారా విభజించవచ్చని వెంటనే గమనించండి (విభజన సంకేతాలను గుర్తుంచుకోండి):

ఇప్పుడు, మీరే ప్రయత్నించండి (మళ్ళీ, కాలిక్యులేటర్ లేకుండా!):

బాగా, అది పని చేసిందా? బాగా చేసారు, అది నిజమే!

సారాంశం చేద్దాం

1. నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం (అంకగణిత వర్గమూలం) అనేది నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య, దీని వర్గానికి సమానం.
   .
2. మనం ఏదైనా దాని వర్గమూలాన్ని తీసుకుంటే, మనకు ఎల్లప్పుడూ ఒక ప్రతికూల ఫలితం వస్తుంది.
3. అంకగణిత మూలం యొక్క లక్షణాలు:
4. వర్గమూలాలను పోల్చినప్పుడు, రూట్ గుర్తు క్రింద పెద్ద సంఖ్య, మూలం కూడా పెద్దదని గుర్తుంచుకోవాలి.

వర్గమూలం ఎలా ఉంది? అంతా సవ్యం?

స్క్వేర్ రూట్ గురించి పరీక్షలో మీరు తెలుసుకోవలసిన ప్రతిదానిని మేము ఎటువంటి జంకు లేకుండా మీకు వివరించడానికి ప్రయత్నించాము.

ఇక మీ వంతు. ఈ అంశం మీకు కష్టంగా ఉందో లేదో మాకు వ్రాయండి.

మీరు కొత్తగా ఏదైనా నేర్చుకున్నారా లేదా ప్రతిదీ ఇప్పటికే స్పష్టంగా ఉందా?

వ్యాఖ్యలలో వ్రాయండి మరియు మీ పరీక్షలకు శుభాకాంక్షలు!

డిగ్రీ సూత్రాలుసంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణలను తగ్గించే మరియు సరళీకృతం చేసే ప్రక్రియలో, సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడంలో ఉపయోగిస్తారు.

సంఖ్య సిఉంది n-ఒక సంఖ్య యొక్క శక్తి aఎప్పుడు:

డిగ్రీలతో కార్యకలాపాలు.

1. ఒకే ఆధారంతో డిగ్రీలను గుణించడం ద్వారా, వాటి సూచికలు జోడించబడతాయి:

ఒక m·a n = a m + n .

2. డిగ్రీలను ఒకే ఆధారంతో విభజించేటప్పుడు, వాటి ఘాతాంకాలు తీసివేయబడతాయి:

3. 2 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క శక్తి గుణకాలుఈ కారకాల యొక్క శక్తుల ఉత్పత్తికి సమానం:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. డిగ్రీ భిన్నాలుడివిడెండ్ మరియు డివైజర్ యొక్క అధికారాల నిష్పత్తికి సమానం:

(a/b) n = a n /b n .

5. శక్తికి శక్తిని పెంచడం, ఘాతాంకాలు గుణించబడతాయి:

(a m) n = a m n .

ఎగువన ఉన్న ప్రతి ఫార్ములా ఎడమ నుండి కుడికి మరియు వైస్ వెర్సా దిశలలో నిజం.

ఉదాహరణకి. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

మూలాలతో కార్యకలాపాలు.

1. అనేక కారకాల ఉత్పత్తి యొక్క మూలం సమానంగా ఉంటుంది పనిఈ కారకాల మూలాలు:

2. నిష్పత్తి యొక్క మూలం డివిడెండ్ మరియు మూలాల విభజన నిష్పత్తికి సమానం:

3. ఒక శక్తికి మూలాన్ని పెంచేటప్పుడు, ఈ శక్తికి రాడికల్ సంఖ్యను పెంచడానికి సరిపోతుంది:

4. మీరు ఇన్ రూట్ యొక్క డిగ్రీని పెంచినట్లయితే nఒకసారి మరియు అదే సమయంలో నిర్మించడానికి nవ శక్తి రాడికల్ సంఖ్య, అప్పుడు రూట్ విలువ మారదు:

5. మీరు ఇన్ రూట్ డిగ్రీని తగ్గిస్తే nఅదే సమయంలో మూలాన్ని సంగ్రహించండి nరాడికల్ సంఖ్య యొక్క -వ శక్తి, అప్పుడు రూట్ విలువ మారదు:

ప్రతికూల ఘాతాంకంతో డిగ్రీ.నాన్-పాజిటివ్ (పూర్ణాంకం) ఘాతాంకం ఉన్న నిర్దిష్ట సంఖ్య యొక్క శక్తిని అదే సంఖ్య యొక్క శక్తితో భాగించబడిన ఒక ఘాతాంకం నాన్-పాజిటివ్ ఘాతాంకం యొక్క సంపూర్ణ విలువకు సమానమైనదిగా నిర్వచించబడుతుంది:

ఫార్ములా ఒక m:a n =a m - nకోసం మాత్రమే ఉపయోగించవచ్చు m> n, కానీ తో కూడా m< n.

ఉదాహరణకి. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

సూత్రానికి ఒక m:a n =a m - nఎప్పుడు న్యాయంగా మారింది m=n, సున్నా డిగ్రీ ఉనికి అవసరం.

సున్నా సూచికతో ఒక డిగ్రీ.సున్నా ఘాతాంకంతో సున్నాకి సమానం కాని ఏదైనా సంఖ్య యొక్క శక్తి ఒకదానికి సమానం.

ఉదాహరణకి. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ.నిర్మించడానికి వాస్తవ సంఖ్య ఎడిగ్రీ వరకు m/n, మీరు రూట్ సేకరించేందుకు అవసరం nయొక్క డిగ్రీ m-ఈ సంఖ్య యొక్క శక్తి ఎ.